勾股定理、平行四边形测试卷
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试题(答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cmB ．40cmC ．48cmD ．无法确定 2．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAE 的度数是（ ）A ．90°B ．108°C ．120°D ．135°3．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，∠B ＝60°，AC ＝23cm ，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm 4．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E ，点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC ．设ED kAE =，下列结论：①若1k =，则BE CE =；②若2k =，则EFC 与OBE △面积相等；③若ABE FEC ≌，则EF BD ⊥．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．②③ 5．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A．30米B．60米C．40米D．25米6．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF；②AF=CF+CD；③AF=CF+AD；④AB＝BF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①③④7．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是1160度，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形8．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为21，则对角线AC与BD的和是（）A．16 B．21 C．32 D．429．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－3D点的坐标是 ( )A ．(4,0)B ．(92,0)C ．(5,0)D ．(112,0) 11．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．∠BDC ＝∠ABDB ．∠DAB ＝∠DCBC ．AD ＝BCD ．AC ⊥BD 12．如图，在周长为12cm 的▱ABCD 中，AB ＜AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm二、填空题 13．如图，AE 平分∠BAC ，DE 平分∠BDC ，已知∠B =10°，∠C =40°，则∠E =____________．14．如图，在ABCD 中，70A ∠=︒，将ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到111A BC D ，当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角为_______度．15．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．16．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60°，∠BCD 的平分线交AD 点E ，若CD=3，四边形ABCE 的周长为13，则BC 长为__．18．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，CE 平分BCD ∠，交AD 于点E ，6AB =，2EF =，则BC 长为_________．20．如图，在▱ABCD 中，AB >AD ，以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于EF 的一半长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ．若AD ＝2，则DH ＝_____．三、解答题21．已知：在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 和BC 上，点G 、H 在对角线AC 上，且BF=DE ，AH=CG ，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF 的度数．22．如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．23．如图，已知1,23180BDE ︒∠=∠∠+∠=．（1）证明：//AD EF ．（2）若DA 平分BDE ∠，FE AF ⊥于点F ，140∠=︒，求BAC ∠的度数． 24．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．25．已知直线y=kx+b 经过点A （5，0），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标，并根据图象，直接写出关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集．（3）动点P 在y 轴上运动，动点Q 在x 轴上运动，是否存在以P 、Q 、A 、C 为顶点，且以AC 为边的平行四边形，若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，等边ABC ∆的边长为4,,D B 分别是,AB AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连接,CD EF ． （1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；（2）求EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，及OE BD ⊥交AD 于E 可以证明OE 是线段BD 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到BE DE =，再利用线段间的关系可以证明ABCD 的周长为ABE △周长的两倍.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，BO DO =；∵OE BD ⊥交AD 于E ；∴OE 是线段BD 的垂直平分线，∴BE DE =；∴AE ED AE BE +=+；∴ABE △的周长为12AE BE +=∴ABCD 的周长为2()21224AB AD +=⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 2．B解析：B【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．【详解】解：正五边形的内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴∠BAE=5401085=︒︒， 故选：B ．此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．3．C解析：C【分析】可设AB x =，因为AB AC ⊥，60B ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，所以2BC x =，在t R ABC △中，利用勾股定理可求x ，则平行四边形的边AB ，BC 的长度可求，则周长可求．【详解】如图：9060906030AB ACBAC B ACB ⊥∴∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒设AB x =，则2BC x =在t R ABC △中，由勾股定理可得： 222BC AB AC -= 23AC =()(222223x x ∴-= 2312x ∴=24222,4x x x x AB BC ∴=∴=±>∴=∴==∴平行四边形ABCD 周长为： ()24212+⨯=故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解4．B解析：B【分析】由1k =，则有E ，F 分别是AD ，BC 的中点，进而可判定①，当2k =时，则有EFC 的面积=12BEF S ，OBE △的面积=12BEF S ，然后可判定②；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，进而可判定③．【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∠DEO=∠BFO ，∵点O 是对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∴△DEO ≌△BFO （AAS ），∴DE=BF ，∵1k =，∴E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EC AF BE =≠，故①错；连接EC ，如图所示：∵2k =，∴EFC 的面积=12BEF S ， ∵点O 是EF 的中点， ∴OBE △的面积=12BEF S ，所以EFC 与OBE △面积相等，故②对；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，得不到CE BF =，故③错；故选B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．C解析：C根据三角形中位线定理可得DE=12BC ，代入数据可得答案． 【详解】解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，∴DE=12BC ， ∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．A解析：A【分析】首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM=EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ．【详解】延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD；故①，③正确，②错误．∵AF不一定是∠BAD的角平分线，∴AB不一定等于BF，故④错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．D解析：D【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．【详解】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程得，（n－2）•180°＋x＝1160°，∵0°＜x＜180°，∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，∴549＜n−2＜649，∵n是整数，∴n＝8．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．8．C解析：C【分析】首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为21，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，OA＝OC，OB＝OD，∵△OCD的周长为21，∴OD+OC＝21﹣5＝16，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴BD+AC＝2（OD+OC）＝32，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．9．A解析：A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【详解】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．10．C解析：C【详解】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3∴C的坐标为（7，3∴CH3CE3，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．11．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故选项C正确；由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是根据平行四边形的性质得出OB=OD，再结合线段垂直平分线的定义解答．二、填空题13．15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC∠EDC=∠BDC再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠E解析：15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，∴∠BDC﹣∠BAC=50°，∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，∴∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，∴∠EDC﹣∠EAC==12∠BDC﹣12∠BAC=25°，设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．14．40【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1得到∠BCC1=∠C1又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1∴BC=BC解析：40【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1，得到∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：∵▱ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到▱A 1BC 1D 1，∴BC=BC 1，∴∠BCC 1=∠C 1，∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C 1=70°，∴∠BCC 1=∠C 1=70°，∴∠CBC 1=180°-2×70°=40°，∴当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角为40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC 1是等腰三角形．15．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形解析：12【分析】根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．【详解】如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，∵瓷片为正多边形，∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，∴四边形ACBD 为等腰梯形，∴BD ∥AC ，∴∠1==30ACB ∠︒，∴正多边形的边数为：360=1230︒︒， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键．16．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．17．5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行进而得出DE=CD=3再求出AE+BC=7BC-AE=3即可求出BC 的长【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ∴∠ECD=∠ECB ∵在平行四边形ABCD解析：5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC-AE=3，即可求出BC 的长．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3，AD=BC ，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB ，∴∠DEC=∠DCE ，∴DE=CD=3，∴△CDE 是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE 的周长为13，∴AE+BC=13-3-3=7①，∵AD-AE ═DE=3，即BC-AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE是解题关键．18．18【解析】∵点DE分别是△ABC的边ABAC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2AD=2×3=6AC=2AE＝2×2=4BC=2DE=2×4=8∴AB+AC+BC=18即△ABC的周长为18故解析：18【解析】∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2AD=2×3=6，AC=2AE＝2×2=4，BC=2DE=2×4=8，∴AB+AC+BC=18，即△ABC的周长为18，故答案为18.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理的内容是解题的关键. 19．10【分析】先证明AB＝AF＝6DC＝DE再根据EF＝AF＋DE−AD求出AD即可得出答案【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝6BC＝ADAD∥BC∵BF平分∠ABC交AD于FCE平分解析：10【分析】先证明AB＝AF＝6，DC＝DE，再根据EF＝AF＋DE−AD求出AD，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF＋DE−AD＝6＋6−AD＝2．∴AD＝10，∴BC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．20．2【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质即可得到∠DAH＝∠DHA进而得到DA＝DH【详解】解：由作图可得AH平分∠BAD∴∠BAH＝∠DAH ∵平行四边形ABCD 中CD ∥AB ∴∠BAH ＝∠D解析：2【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到∠DAH ＝∠DHA ，进而得到DA ＝DH ．【详解】解：由作图可得，AH 平分∠BAD ，∴∠BAH ＝∠DAH ，∵平行四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠BAH ＝∠DHA ，∴∠DAH ＝∠DHA ，∴DA ＝DH ，又∵AD ＝2，∴DH ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查基本作图以及平行四边形的性质的运用，解题关键是掌握平行四边形的对边平行．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）77°【分析】（1）根据平行四边形的性质可得//AD BC ，AD BC =，通过证明AEH △≌CFG △即可得证；（2）利用角平分线的定义可得35GFH CFH ∠=∠=︒，再根据平行四边形的性质求出18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴EAH FCG ∠=∠，∵BF DE =，∴AD DE BC BF -=-，即AE CF =，在AEH △和CFG △中，AE CF EAH FCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH △≌CFG △，∴FG=EH ；（2）∵FH 平分∠CFG ，∠GFH=35°，∴35GFH CFH ∠=∠=︒，∵FG//AB ，∴70B GFC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴70D B ∠=∠=︒，∴18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∴77GHF CFH ACB ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．22．（1）CE BF =，CE BF ⊥；（2）成立，证明见解析；（3）7或19【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE 与BF 相交于点M ，∵△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC ，DE=DB ，∵四边形CAFD 是平行四边形，∴CA=DF=BC ，CA ∥DF ，∠ACB=∠FDB ，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC ≌△DBF （SAS ），∴CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，⊥．∴CE BF（2）成立证明：如图，延长FD交BC于点G．四边形ACDF是平行四边形，=，∴，AC FDAC FD//DGB ACB∴∠=∠=︒，90∴∠=∠+∠，FDB DGB DBG∴∠=︒+∠，90FDB DBG∠=︒，90DBE∴∠=︒+∠，CBE DBG90∠=∠，FDB CBEABC是等腰直角三角形，∴=，AC BC=，又AC DF∴=，BC DF=，BD BECBE FDB∴≌，∴=，ECB BFGCE BF∠=∠，∠+∠=︒，90BFG FBG∴∠+∠=︒，90ECB FBG∴⊥．CE BF（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，3，∵AC=3，AC=DF，∴FG=DF+DG=3+1=4，∴()2222=+=+=，BF FG BG4319∴CE=19，如图所示，延长CB交DF于点M，∵AC∥DF，AC⊥BC，∴BM⊥DF，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，3，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2，∴22347=+=+，BF BM FM∴7，∴CE719【点睛】本题是四边形几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；23．（1）见解析；（2）70°【分析】（1）根据平行线的判定得出AC//DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，求出∠3的度数，根据四边形的内角和定理求出∠B，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：∵∠1=∠BDE，∴AC//DE，∴∠2=∠ADE，∵∠2+∠3=180°，∴∠3+∠ADE=180°，∴AD//EF ；（2）∵∠1=∠BDE ，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE=12∠BDE=20°， ∴∠2=∠ADE=20°，∵∠2+∠3=180°∴∠3=160°，∵FE ⊥AF ，∴∠F=90°，∴∠B=360°-90°-160°-40°=70°，在△ABC 中，∠BAC=180°-∠1-∠B=180°-40°-70°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，多边形的内角和定理，角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．24．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题． 试题∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ． 考点：平行四边形的判定与性质．25．（1）5y x =-+；（2）3x >；（3）存在，（0，2）或（0，2-）．【分析】（1）利用待定系数法把点A （5，0），B （1，4）代入y kx b =+可得关于k 、b 得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得点C 的坐标；根据C 点坐标可直接得到关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集；（3）分CQ 为对角线和CP 为对角线时两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）∵直线y kx b =+经过点A （5，0），B （1，4），∴504k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：5y x =-+；（2）∵若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，∴524y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩， ∴点C （3，2）；根据图象：当3x >时，直线24y x=﹣在直线y kx b =+的上方， ∴不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集为：3x >；（3）存在，理由如下：当CQ 为对角线时，如图1所示：根据平行四边形的性质得PC ∥AQ ，∴点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，此时点P 的坐标为（0，2）；当CP 为对角线时，如图2所示：根据平行四边形的性质得PC 的中点在x 轴上，设点P 的坐标为（0，n ）， 则202n ，解得2n =-，此时点P 的坐标为（0，2-）；综上，点P 的坐标为（0，2）或（0，2-）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息，利用数形结合思想解决问题．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【详解】解：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵延长BC至点F，使CF=12BC，∴DE=FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）∵DE∥FC，DE=FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是4，∴AD=BD=2，CD⊥AB，BC=4，∴．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理等知识，得出DE∥BC，DE=12BC是解题关键．。
(典型题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）A ．63+B ．43C ．23D ．623+ 2．已知平行四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝110°，则∠B 的度数为（ ）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°3．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，已知BE ＝4cm ，AB ＝6cm ，则AD 的长度是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）A ．AB ＝CD B ．∠BAD ＝∠DCBC ．AC ＝BDD ．∠ABC ＋∠BAD ＝180°5．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）A．12 B．122C．123D．1256．正多边形的每个外角为60度，则多边形为（）边形．A．4 B．6 C．8 D．107．已知如图：为估计池塘的宽度BC，在池塘的一侧取一点A，再分别取AB、AC的中点D、E，测得DE的长度为20米，则池塘的宽BC的长为（）A．30米B．60米C．40米D．25米8．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若一个正多边形的每个内角度数都为135°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD三个顶点坐标分别为A（-1，-2），D（1，1），C（5，2），则顶点B的坐标为（）A．（-1，3）B．（4，-1）C．（3，-1）D．（3，-2）11．给出下列4个命题：①四边形的内角和等于外角和；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若|x|＝2，则x＝2；④同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是1160度，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形二、填空题13．一个正多边形的内角和为720 ，则这个多边形的外角的度数为______．14．三角形的三边长分别是 4cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是______________cm．15．如图，在平行四边形ABCD中，13AD=4，AC⊥BC．则BD=____．16．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．17．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8cm ，AB=6cm ，BE 平分∠ABC 交AD 边于点E ，则线段DE 的长度为_____．18．一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______． 19．如图，已知矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 的周长等于_____cm ．20．如图，平行四边形ABCD ，将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN ，已知68BNM ︒∠=，则AMP ∠=_______．三、解答题21．如图，在ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ．求证：DC=DF ．22．在平面直角坐标系中，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(4,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）抛物线上是否存在点Q ，且满足AB 平分CAQ ∠，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由；（4）点N 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点M ，使以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，ABCD 的对角线AC BD 、相交于点，,,3,5O AB AC AB BC ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．()1求BQ 的长（用含t 的代数式表示)；()2问t 取何值时，四边形ABQP 是平行四边形?24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，连接EC ． （1）求证：OE ＝OF ；（2）若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求平行四边形ABCD 的周长．25．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF求证：AC、EF互相平分．26．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH3△DFH的面积，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∵∠B=60°，EF⊥AB，∴∠FEB=30°，∴BF=1，由勾股定理得：EF3，∵AB∥CD，∴∠B=∠ECH，在△BFE和△CHE中，B ECH BE CE BEF CEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BFE ≌△CHE （ASA ）， ∴EF =EH =3，CH=BF =1， ∴DH=4， ∵S △DHF =12DH •FH =43， ∴S △DEF =12S △DHF =23， 故选：C ．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．2．A解析：A 【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C ， ∵∠A+∠C=110°， ∴∠A=∠C=55°， ∴∠B=125°． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．3．D解析：D 【分析】由已知平行四边形ABCD ，DE 平分∠ADC 可推出△DCE 为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE ，从而求出AD ．【详解】解：已知平行四边形ABCD ，DE 平分∠ADC ， ∴AD ∥BC ，CD=AB=6cm ，∠EDC=∠ADE ，AD=BC ， ∴∠DEC=∠ADE ， ∴∠DEC=∠CDE ， ∴CE=CD=6cm ， ∴BC=BE+CE=4+6=10cm ， ∴AD=BC=10cm ， 故选：D ． 【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD ．4．B解析：B 【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可． 【详解】A 错误,当四边形ABCD 是等腰梯形时,也满足条件．B 正确，∵//AD BC ， ∴180BAD ABC ︒∠+∠=， ∵BAD DCB ∠=∠， ∴180DCB ABC ︒∠+∠=， ∴//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．C 错误，当四边形ABCD 是等腰梯形时，也满足条件． D 错误，∵180ABC BAD ︒∠+∠=，∴//AD BC ，与题目条件重复，无法判断四边形ABCD 是不是平行四边形． 故选:B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．5．C解析：C 【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为BC 的长度，最终计算面积即可． 【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线， ∴AE=BE ， 又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4， ∴BF=2，BE=4，2223EF BE BF =-=，∴ABCD 在BC 边上的高为23，又∵:2:1BE EC =，BE=4， ∴EC=2，BC=2+4=6， ∴ABCDS=23×6=123，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．6．B解析：B 【分析】利用多边形的外角和360除以外角60得到多边形的边数． 【详解】多边形的边数为36060÷=6， 故选：B ． 【点睛】此题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，利用外角和除以外角的度数求正多边形的边数是最简单的题型．7．C解析：C 【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC ，代入数据可得答案． 【详解】解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，∴DE=1BC，2∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．C解析：C【分析】⨯=︒,设这个多边形是n边形，内角和是多边形的外角和是360︒，则内角和是2360720()-⋅︒，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值.n2180【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得()-⨯︒=⨯，n21802360=．解得：n6即这个多边形为六边形．故选：C.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决. 9．B解析：B【分析】根据题意可先求出这个正多边形的每个外角度数，再根据多边形的外角和是360°即可求出答案．【详解】解：因为一个正多边形的每个内角度数都为135°，所以这个正多边形的每个外角度数都为45°，所以这个正多边形的边数是360°÷45°=8．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的有关概念和多边形的外角和，属于基本题目，熟练掌握多边形的基本知识是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质，CD=AB，CD∥AB，根据平移的性质即可求得顶点B的坐标．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、D、C的坐标分别是A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），D（1，1）向左平移2个单位，再向下3个单位得到A（-1，-2），则C（5，2）向左平移2个单位，再向下3个单位得到（3，-1），∴顶点B的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．11．B解析：B【分析】根据四边形内角和、直角三角形性质和绝对值性质判断即可；【详解】解：①四边形的内角和和外角和都是360°，∴四边形的内角和等于外角和，是真命题；②有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；③若|x|＝2，则x＝±2，本说法是假命题；④两直线平行时，同旁内角的平分线互相垂直，本说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了四边形的内角和、直角三角形两锐角互余、绝对值的性质和平行线的知识点，准确分析是解题的关键．12．D解析：D【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．【详解】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程得，（n－2）•180°＋x＝1160°，∵0°＜x＜180°，∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，∴549＜n−2＜649，∵n是整数，∴n＝8．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．二、填空题13．60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720继而可求得答案【详解】解：设这个正多边形的边数为n∵一个正多边形的内角和为720°∴180（n-2）=72解析：60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵一个正多边形的内角和为720°，∴180（n-2）=720，解得：n=6，∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．14．【分析】三角形两边中点的连线是三角形的中位线如下图DEDFEF都是△ABC的中位线根据中位线的性质可分别求出长度从而得到周长【详解】如下图在△ABC中点DEF分别是ABBCCA的中点AB=4cmBC解析：15 2【分析】三角形两边中点的连线是三角形的中位线，如下图，DE，DF，EF都是△ABC的中位线，根据中位线的性质可分别求出长度，从而得到周长.【详解】如下图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点 ∴DE 是△BAC 的中位线∴DE=12AC =3cm 同理，EF=12AB =2cm ，DF=1522CB =cm∴△DEF 的周长=3+2+51522=cm 故答案为：152【点睛】本题考查三角形中位线的定理，需要注意，三角形的中位线平行且等于对应底边的一半，且不可弄错边之间的关系.15．10【分析】由BC ⊥ACAB=2BC=AD=4由勾股定理求得AC 的长得出OA 长然后由勾股定理求得OB 的长即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC=AD=4OB=ODOA=OC ∵AC ⊥BC ∴解析：10 【分析】由BC ⊥AC ，13BC=AD=4，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=4，OB=OD ，OA=OC ， ∵AC ⊥BC ， ∴()2222=213-4AB BC -，∴OC=3，∴2222=3+4OC BC +， ∴BD=2OB=10 故答案为：10． 【点睛】此题考查平行四边形的性质以及勾股定理．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．16．八【分析】首先设这个多边形的边数为n由n边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n根据题意得:180（n-2）=108解析：八【分析】首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180 （n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．【详解】解:设这个多边形的边数为n,根据题意得:180（n-2）=1080,解得:n=8,故答案为:八．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．17．2cm【解析】试题解析：2cm．【解析】试题∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC=8cm，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=6cm，∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.18．720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°根据公式即可得出多边形的边数然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和n边形内角和等于(n-2)×180°【详解】解：∵任何多边形解析：720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．【详解】解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∴n=360°÷60°=6，∴此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．19．20【分析】连接ACBD根据三角形的中位线求出HGGFEFEH的长再求出四边形EFGH的周长即可【详解】如图连接ACBD四边形ABCD是矩形AC＝BD＝8cmEFGH分别是ABBCCDDA的中点HG解析：20【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG，GF，EF，EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可.【详解】如图，连接AC、BD，四边形ABCD是矩形，AC＝BD＝8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，HG＝EF＝12AC＝4cm，EH＝FG＝12BD＝4cm，四边形EFGH的周长等于4＋4＋4＋4＝16cm.【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 20．【分析】根据平行四边形的性质得得根据折叠的性质得根据平角的性质即可求解【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∵将四边形CDMN沿线段MN折叠得到四边形QPMN∴∴故答案为【点睛】本题考察了平行四边解析：44【分析】根据平行四边形的性质得//AD BC ，得68NMD ︒∠=，根据折叠的性质得68PMN NMD ︒∠=∠=，根据平角的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴//AD BC∴68NMD BNM ︒∠=∠=∵将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN ∴68PMN NMD ︒∠=∠=∴18044AMP PMN NMD ︒∠=︒-∠-∠= 故答案为44︒． 【点睛】本题考察了平行四边形的性质，平行线的性质，和利用平角求解未知角的度数；其中两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．三、解答题21．见解析 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，AB=DC ，易证得△DEF ≌△AEB ，则可得DF=AB ，继而证得DC=DF ． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB=DC ， ∴∠F=∠EBA ， ∵E 是AD 边的中点， ∴DE=AE ，在△DEF 和△AEB 中，F EBA DEF AEB DE AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△DEF ≌△AEB （AAS ）， ∴DF=AB ， ∴DC=DF ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 22．（1）233384y x x =--+；（2）(2,3)P -；（3）(4,6)Q -；（4）1(2,3)M -，2(13)M ---，3(13)M -+-．【分析】（1）将点(4,0)A -，(2,0)B 代入抛物线的一般式解析式，利用待定系数法解题； （2）设直线:AC y kx b =+，代入(4,0)A -，(0,3)C ，利用待定系数法解得一次函数解析式为334y x =+，过点P 作PD x ⊥轴，交AC 于点D ，设3,34D t t ⎫⎛+ ⎪⎝⎭，233,384P t t t ⎫⎛--+ ⎪⎝⎭，计算23382PD t t =--，结合三角形面积公式及配方法可解得二次函数的最值；（3）作点C 关于x 轴的对称点E ，连接AE 交抛物线于点Q ，设直线:AE y mx n =+，代入(4,0)A -，(0,3)-E ，利用待定系数法解得直线AE 的解析式为334y x =--，再与233384y x x =--+联立方程组，解得交点Q 点坐标，舍去不符合题意的解即可；（4）设点(,)M x y ，分两种情况讨论：以BN 为边，或以BN 为对角线，分别画出示意图，根据平行四边形对应边相等的性质列出一元二次方程，利用公式法解得点M 的坐标，即可解题． 【详解】解：（1）将点(4,0)A -，(2,0)B 代入23y ax bx =++得，22(4)4302230a b a b ⎧--+=⎨++=⎩164304230a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得3834a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩233384y x x ∴=--+；（2）设直线:AC y kx b =+，代入(4,0)A -，(0,3)C 得：403k b b -+=⎧⎨=⎩．解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线3:34AC y x =+，过点P 作PD x ⊥轴，交AC 于点D ，设3,34D t t ⎫⎛+ ⎪⎝⎭，则233,384P t t t ⎫⎛--+ ⎪⎝⎭，22333333384482PD t t t t t ⎫⎫⎛⎛∴=--+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，22133423(2)3244APC S PD PD t t t ∴=⋅⋅==--=-++△， ∴当2t =-时最大，S 的最大值为3，此时，(2,3)P -；（3）作点C 关于x 轴的对称点E ，连接AE 交抛物线于点Q ，则(0,3)-E ，设直线:AE y mx n =+，代入(4,0)A -，(0,3)-E ，4003m n n -+=⎧⎨+=⎩ 343m n ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 解得：334y x =-- 联立方程组233384334y x x y x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：14x =-（舍），24x =，存在(4,6)Q -；（4）存在，1(2,3)M -，2(117,3)M --，3(117,3)M --，理由如下： 如图，设点(,)M x y ，以BN 为边，当//MC BN 时，M 在x 轴上方， 在平行四边形B C M N 中，3c y =3M y ∴=在233384y x x =--+中， 当3y =时，2333384x x --+= 33()084x x ∴--=120,2x x ∴==- 2M x ∴=- 1(2,3)M ∴-；当以BN 为对角线，//NC BM 时，M 在x 轴下方，C M y y =3M y ∴=-在233384y x x =--+中， 当3y =-时，2333384x x --+=- 22160x x ∴+-= 1,2,16a b c ===-224241(16)68b ac ∴-=-⨯⨯-=1222112222b b x x a a -+----∴===-===-2(13)M ∴--，3(13)M --，综上所述，1(2,3)M -，2(13)M --，3(13)M --．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数与一元二次方程综合、平行四边形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）5-t；（2）5 2【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=5，∴BQ=5-t；（2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=5-t，52t=,∴当52t=时，四边形ABQP是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．24．（1）证明见解析；（2）20.【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD=OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO=∠EBO ，证△DFO ≌△BEO 即可；（2）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE ，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出平行四边形ABCD 的周长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO=∠EBO ，在△DFO 和△BEO 中，{FDO EBOOD OB FOD EOB∠=∠=∠=∠，∴△DFO ≌△BEO （ASA ），∴OE=OF ．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC ，OA=OC ，∵EF ⊥AC ，∴AE=CE ，∵△BEC 的周长是10，∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD 的周长=2（BC+AB ）=20．25．证明见解析【分析】连接AE 、CF ，证明四边形AECF 为平行四边形即可得到AC 、EF 互相平分．【详解】解：连接AE 、CF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ﹦BC ，又∵DF ﹦BE ，∴AF ﹦CE ，又∵AF ∥CE ，∴四边形AECF为平行四边形，∴AC、EF互相平分．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键．26．1800°．【分析】设正多边形一个外角是x°，根据题意列方程，求出外角的度数，再根据多边形的外角和为360°，即可求出边数，进而求出内角和．【详解】解：设正多边形一个外角是x°，则与它相邻的内角是（4x°+30°），∴x°+4 x°+30°=180°，解得x°=30°，∵多边形的外角和是360°，∴个多边形的边数是360°÷30°=12，∴内角和为（12-2）×180°=1800°．答：这个多边形的内角和为1800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，外角和定理，内角与外角的关系，熟练掌握多边形的内角和定理，外角和定理是解题关键．。
第18章 平行四边形 达标测试卷(含答案) 华师大版数学八年级下册
第18章平行四边形达标测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．1 ∶2 ∶3 ∶4 B．1 ∶2 ∶1 ∶2C．1 ∶1 ∶2 ∶2 D．1 ∶2 ∶2 ∶12．将一副三角板在平行四边形ABCD中按如图摆放，则∠α＝() A．55°B．65°C．75°D．85°(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，DE＝CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．AD＝BC B．AB＝CDC．CE＝BC D．∠A＝∠D4．如图，▱ABCD的周长为32，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AB，△BCO 的周长比△ABO的周长长4，则BO的长为()A.52B.13 C．4 D．55．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P从左向右运动时，△PCD的面积将()A．变大B．变小C．不变D．无法确定(第5题) (第6题) (第7题)6．如图，在▱ABCD 中，∠BDC ＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数是( ) A ．67°29′B ．67°9′C ．66°29′D ．66°9′7．如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若∠B ＝60°，AB ＝3，则△ADE 的周长为( ) A ．12B ．15C ．18D ．218．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD (如图)，下列说法错误的是( )A ．将线段AB 沿BC 的方向平移至DC ，连结BC ，AD 可以得到▱ABCD B ．将△ABC 绕边AC 的中点O 旋转180°可以得到▱ABCDC ．将△AOB 绕点O 旋转180°得到△COD ，连结BC ，AD 可以得到▱ABCD D ．将△ABC 沿AC 翻折可以得到▱ABCD9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)、()6，0、()8，5，则顶点D 的坐标是( ) A ．(5，5)B ．(5，3)C ．(2，5)D ．(3，5)(第8题) (第9题) (第10题)10．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ，其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．在四边形ABCD 中，(1)若AB ＝3，BC ＝4，CD ＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD ＝________；(2)若∠A ＝60°，∠B ＝120°，则当∠D ＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．12．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，BD ＝20，BE ＝7，AE＝4，则AC的长等于________．(第12题)(第13题)13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1处，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．14．如图，在▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE 与DF交于点H，则∠BHF＝________.15．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为________．(第14题)(第15题)16．在平面直角坐标系中，有A(2，5)，B(5，1)，C(m，－m)，D(m－3，－m＋4)四个点，当四边形ABCD的周长最小时，m的值为________．三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(8分)如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26.(1)求△ADO的周长；(2)求证：△ADO是直角三角形．3(第17题)18.(10分)已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AB，CD于点E，F，连结BD，EF.求证：BD，EF互相平分．(第18题) 19．(12分)如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE，EH，HF，FG.求证：四边形GEHF是平行四边形．(第19题)20．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠CBD＝90°，BE∥CD交AD于点E，且EA＝EB.若AB＝80，DB＝4.求四边形ABCD的面积．(第20题)21．(14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝ 2 cm，BC＝12 cm，∠B＝45°，5点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为2 cm/s，点Q在边AD上，与点P同时出发，由点D向点A运动，速度为1 cm/s，连结PQ，设运动时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形？(2)设四边形ABPQ的面积为y cm2，请用含有t的代数式表示y；(不必写出t的取值范围)(3)当点P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是▱ABCD面积的34(第21题)22．(14分)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(第22题)(1)如图①，求证：BP＝DQ；(2)由图①易得BP＋BQ＝BC，请分别写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，请直接写出BC的长．7答案一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D7.C8.D9.D 10．D二、11.(1)4(2)120°12.1013.55°14.61°15．616.2三、17.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD.∵AC＝26，BD＝10，∴OA＝13，OD＝5.∵AD＝12，∴△ADO的周长＝5＋12＋13＝30.(2)证明：由(1)知OA＝13，OD＝5，AD＝12，∴在△AOD中，AD2＋DO2＝122＋52＝169，AO2＝132＝169，∴AD2＋DO2＝AO2，∴△AOD是直角三角形．18．证明：∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC.∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF.∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴AE＝AD，CF＝CB.∴AE＝CF.∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD，EF互相平分．19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠GBE＝∠HDF.∵AG＝CH，∴AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH.又∵BE＝DF，∴△GBE≌△HDF.∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD.∴∠GEF＝∠HFE.∴GE∥HF.∴四边形GEHF是平行四边形．20．解：∵∠ADB＝∠CBD＝90°，∴DE∥CB.9 ∵BE ∥CD ，∴四边形BEDC 是平行四边形． ∴BC ＝DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－DB 2＝（80）2－42＝8. 设DE ＝x ，则EA ＝8－x ，∴EB ＝EA ＝8－x . 在Rt △BDE 中，由勾股定理得 DE 2＋DB 2＝EB 2， ∴x 2＋42＝(8－x )2.解得x ＝3.∴BC ＝DE ＝3，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝12AD ·DB ＋12DB ·BC ＝16＋6＝22.21．解：(1)由已知可得BP ＝2t cm ，DQ ＝t cm ，AD ＝BC ＝12 cm ，∴AQ ＝(12－t )cm.∵四边形ABPQ 为平行四边形， ∴BP ＝AQ ，即12－t ＝2t ，∴t ＝4， ∴当t ＝4时，四边形ABPQ 为平行四边形． (2)过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠B ＝45°，∴AE ＝BE . 由勾股定理可知AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AE ＝1 cm. ∴S 四边形ABPQ ＝12(BP ＋AQ )·AE ＝12(12＋t )cm 2， 即y ＝12(12＋t )＝12t ＋6.(3)S ▱ABCD ＝1×12＝12(cm 2)．由题意得34×12＝12t ＋6，∴t ＝6.∴BP ＝2×6＝12(cm)．此时BP ＝BC ，∴当点P 运动至点C 处时，四边形ABPQ 的面积是▱ABCD 面积的34.22．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴∠ADB ＝∠CBD . ∵AP ∥CQ ，∴∠APQ ＝∠CQB .∴△ADP ≌△CBQ . ∴DP ＝BQ .∴BQ －PQ ＝PD －PQ ，即BP ＝DQ . (2)解：图②：BQ －BP ＝BC ，证明： ∵AP ∥CQ ，∴∠APB ＝∠CQD .∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.∴∠ABP＝∠CDQ. ∵AB＝CD，∴△ABP≌△CDQ.∴BP＝DQ.∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP. 图③：BP－BQ＝BC，证明略．(3)解：BC＝2或4.。
(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．2．如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，过点D 作//DE AC ，//DF AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点．则下列命题是假命题的是（ ）A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若90BC ∠+∠=︒，则四边形AEDF 是矩形C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形D ．若AD BD =，则四边形AEDF 是矩形C解析：C【分析】根据平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理判断即可．【详解】//,//DE AC DF AB∴四边形AEDF 是平行四边形，故A 选项正确；四边形AEDF 是平行四边形，90B C ∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴四边形AEDF 是矩形，故B 选项正确；//DE AC12DE BD AC BC ∴== 12DE AC ∴= 同理12DF AB =要想四边形AEDF 是菱形，只需DE DF =,则需AC AB =显然没有这个条件，故C 选项错误；AD BD =,则B DAB ∠=∠,DAC C ∠=∠,180B C BAC ∠+∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒∴∴四边形AEDF 是矩形，故D 选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理是解题关键．3．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ⊥时，四边形ABCD 是菱形C ．当90ABC ∠=时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC BD =时，四边形ABCD 是正方形D解析：D【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当=时，它是菱形，故本选项不符合题意；AB BC⊥时，四边形ABCD是菱B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC BD形，故本选项不符合题意；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当90∠=时，四边形ABCD是ABC矩形，故本选项不符合题意；=时，它是矩形，不是正方D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC BD形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．4．如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确．．的是（）=，则平行四边形ABCD是矩形A．若AB AD=，则平行四边形ABCD是正方形B．若AB AD⊥，则平行四边形ABCD是矩形C．若AB BC⊥，则平行四边形ABCD是正方形CD．若AC BD解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；故选：C．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．5．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行C 解析：C【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案．【详解】解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C13D．6A解析：A【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝12AB，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝12BD，∵菱形ABCD的面积＝12×AC×BD＝12×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝12BD＝4；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12 BD．7．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．A ．103B ．53C ．10D ．20A解析：A【分析】 由矩形的性质和已知条件求出AB=3BC ，BC=10，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO=CO=DO=BO ，AD=BC ，∠ABC=90°，AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD=30°，∴AB=3BC ，∵△ABC 的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC ，△AOB 的周长=AB ＋AO ＋BO ，又∵ABC 的周长比△AOB 的周长长10，∴AB+AC+BC-（AB ＋AO ＋BO ）=BC=10，∴AB=3BC=103；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC 的长是解题的关键．8．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．43D ．423+D解析：D【分析】 只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．9．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A解析：A【分析】根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1C=221A D CD -=8，∴A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键． 10．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A 3B 423C ．2D 352解析：D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【详解】解：设AG ＝x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD 22AD AB +5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，∠DA′G ＝∠A ＝90°，∴∠BA′G ＝90°，BG ＝AB-AG ＝4-x ，A′B ＝BD-A′D ＝5-3＝2，∵在Rt △A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，∴x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， ∴AG ＝32， ∴在Rt △ADG 中，DG ＝22352AD AG +=． 故选：D ．【点睛】 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题11．点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD AB >，E 、F 分别是AB 边上的点，且12EF AB =；G 、H 分别是BC 边上的点，且13GH BC =；若1S ，2S 分别表示EOF 和GOH 的面积，则1S ，2S 之间的等量关系是1S =__________2S ．【分析】如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S 求出S1S2（用s 表示）即可解决问题【详解】解：如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S ∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心∴S △AOB=S △解析：32【分析】如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．求出S 1，S 2（用s 表示）即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S △AOB =S △BOC =14S 平行四边形ABCD =S ， ∵EF=12AB ，GH=13BC ， ∴S 1=12S ，S 2=13S ， ∴12132123S S S S ==， ∴1232S S =； 故答案为：32． 【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD CD =，F 是AD 的中点，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上．下列结论①DCF ECF ∠=∠；②EF CF =；③3DFE AEF ∠=∠；④2BEC CEF S S <中，一定成立的是_________．（请填序号）②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥BC 交CD 于NFK ∥AB 交BC 于K 利用平行四边形的性质全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题【详解】解：如图延长EF 交CD 的延长线于H 作EN ∥解析：②③④【分析】如图延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交CD 的延长线于H ．作EN ∥BC 交CD 于N ，FK ∥AB 交BC 于K ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CH ，∴∠A=∠FDH ，在△AFE 和△DFH 中，A FDH AFE HFD AF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DFH ，∴EF=FH ，∵CE ⊥AB ，AB ∥CH ，∴CE ⊥CD ，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH ，故②正确，∵DF=CD=AF ，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB ，∵∠FCB ＞∠ECF ，∴∠DCF ＞∠ECF ，故①错误，∵FK ∥AB ，FD ∥CK ，∴四边形DFKC 是平行四边形，∵AD=2CD ，F 是AD 中点，∴DF=CD ，∴四边形DFKC 是菱形，∴∠DFC=∠KFC ，∵AE ∥FK ，∴∠AEF=∠EFK ，∵FE=FC ，FK ⊥EC ，∴∠EFK=∠KFC ，∴∠DFE=3∠AEF ，故③正确，∵四边形EBCN 是平行四边形，∴S △BEC =S △ENC ，∵S △EHC =2S △EFC ，S △EHC ＞S △ENC ，∴S △BEC ＜2S △CEF ，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20证出平行四边形OCED 为矩形得OE ＝CD ＝10即可【详解】解：∵DEACCEBD ∴四边形OCED 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA ＝O解析：10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：∵DE //AC ，CE //BD ，∴四边形OCED 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8， ∴∠DOC ＝90︒，CD 22OC OD +2268+＝10，∴平行四边形OCED 为矩形，∴OE ＝CD ＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．14．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D 是AB 的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键解析：4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =，∴118422CD AB ==⨯=． 故答案为：4．【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 15．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF 故四边形的周长=AD+CD+EF 根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD 中AD ∥BCAC 与BD 互相平分∴AO=OC ∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF ，故四边形EFCD 的周长=AD+CD+EF ，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 互相平分∴AO=OC ，∠DAC=∠ACB ，∠AOE=∠COF∴△AOE ≌△COF∴AE=CF ，OF=OE=2.5∴四边形EFCD 的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=19 2.52+×2 =14.5． 故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．16．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）①③④【分析】连接EH 得出平行四边形EHBG 推出BG=EH 求出∠CEF=∠AFC 得出CE=CF 证△CAE ≌△HAE 推出CE=EH 即可得出答案【详解】解：如图连接EH ∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9解析：①③④【分析】连接EH ，得出平行四边形EHBG ，推出BG=EH ，求出∠CEF=∠AFC ，得出CE=CF ，证△CAE ≌△HAE ，推出CE=EH ，即可得出答案．【详解】解：如图，连接EH ，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠B+∠4=90°，∴∠3=∠B ，故①正确；∵∠ADC=∠ACB=90°，∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠1=∠2，∵∠AED=∠CEF ，∴∠CEF=∠AFC ，∴CE=CF ，∴△CEF 是等腰三角形，故②错误；∵AF 平分∠CAB ，FH ⊥AB ，FC ⊥AC ，∴FH=FC ，在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，AF AF CF FH =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），∴AC=AH ，在△CAE 和△HAE 中，12AC AH AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△HAE （SAS ），∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，∵∠3=∠B ，∴∠AHE=∠B ，∴EH ∥BC ，∵CD ⊥AB ，FH ⊥AB ，∴CD ∥FH ，∴四边形CEHF 是平行四边形，∴CE=FH ，∴CD=CE+DE=FH+DE ，故③正确；∵EG ∥AB ，EH ∥BC ，∴四边形EHBG 是平行四边形，∴EH=BG ，∵CE=EH ，∴BG=CE ．故④正确．所以正确的是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．17．如图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D 是AB 上一动点，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是________．2【分析】平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 当OD ⊥AB 时OD 最小即DE 最小根据直角三角形勾股定理即可求解【详解】解：如图∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O 又AB=AC=4 解析：2【分析】平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，当OD ⊥AB 时，OD 最小，即DE 最小，根据直角三角形勾股定理即可求解．【详解】解：如图∵平行四边形ADCE 的对角线的交点是AC 的中点O ，又AB=AC=4∴OC=OA=12AC=2 当OD ⊥AB 时，OD 最小，即DE 最小．∵OD ⊥BA ，∠BAC=45°，∴∠AOD=45°∴△ADO 为等腰直角三角形在Rt △ADO 由勾股定理可知OD= 22AO=2 ∴DE=2OD=22故答案为：22．【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，即平行四边形对角线互相平分，正确理解DE 最小值的条件是关键．18．如图，在ABC 中，已知AB =8，BC =6，AC =7，依次连接ABC 的三边中点，得到111A B C △，再依次连接111A B C △的三边中点，得到222A B C △，，按这样的规律下去，202020202020A B C △的周长为____．【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案【详解】解：探究规律：AB=8BC=6AC=7分别为的中点同理：总结规律：运用规律：当时故答案为：【点睛】本题考查的是图形周长的解析：2020212 【分析】 由21ABC C AB BC AC =++=，再利用中位线的性质可得：111121,22A B C ABC C C ==2221112121,22A B C A B C C C ==再总结规律可得：21,2n n n A B C n C =从而运用规律可得答案．【详解】解：探究规律：AB =8，BC =6，AC =7， 21ABC C AB BC AC ∴=++=，111,,A B C 分别为,,BC AC AB 的中点，111111111,,,222A B AB B C BC AC AC ∴=== 111121,22A B C ABC C C ∴== 同理：2221112112121,2222A B C A B C C C ==⨯= ······总结规律：21,2n n n A B C n C =运用规律： 当2020n =时，202020202020202021.2A B C C= 故答案为：202021.2 【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．19．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____． 5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角解析：5【分析】根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】F ，G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点，∴132GH CE ==， ∵∠FGH =90°， ∴由勾股定理得， 2222435FH GF GH =+=+=，故答案为：5．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．20．如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结EG 并延长交BD 于点N ，交AD 于点M ．则线段MN 的长是__________．【分析】根据题意易证明和是等腰直角三角形再根据勾股定理即可求出MN 【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形∴∴和是等腰直角三角形∴∴在中故答案为：【点睛】本题考查正方形和平行线的性质等腰直角三角形2【分析】根据题意易证明MND 和MDG 是等腰直角三角形，2DM DC GC =-=．再根据勾股定理即可求出MN ．【详解】∵四边形ABCD 和CEFG 为正方形，//AD BE ．∴45DMG BEM MDN DGM ∠=∠=∠=∠=︒，∴MND 和MDG 是等腰直角三角形，∴422DG DM DC GC ==-=-=． ∴在Rt MND △中，222222MN MD ==⨯=． 故答案为：2．【点睛】本题考查正方形和平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．根据题意证明MND 是等腰直角三角形在结合勾股定理求解是解答本题的关键． 三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．解析：见解析【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A CAD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，连结DE ，点F 在DE 上CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．（1）求证：GF GD =；（2）联结AF ，求证：AF DE ⊥．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由CF CD =可证得CFD CDF ∠=∠，因为90ADC GFC ∠∠==，所以GFD GDF ∠=∠，再由等腰三角形的判定即可得证；（2）因为,CF CD GF GD ==，所以GC 是FD 的垂直平分线，再证DAE CDG △≌△由全等三角形对应边相等可得AE DG =，这样AG GD GF ==即可解决问题；【详解】证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=，FG FC ⊥，90GFC ∠∴=，CF CD =CFD CDE ∴∠=∠，GFC CFD ADC CDE ∠∠∠∠∴-=-，即GFD GDF ∠=∠，GF GD ∴=．（2）如图，连结CG ．,CF CD GF GD ==∴点G 、C 在线段FD 的中垂线上，GC DE ∴⊥，90CDF DCG ∠∠∴+=，90CDF ADE ∠∠+=，DCG ADE ∠∠∴=．四边形ABCD 是正方形，,90AD DC DAE CDG ∠∠∴===，DAE CDG ∴△≌△，AE DG ∴=，点E 是边AB 的中点，∴点G 是边AD 的中点，AG GD GF ∴==，,DAF AFG GDF GFD ∠∠∠∠∴==180DAF AFG GFD GDF ∠∠∠∠+++=，22180AFG GFD ∠∠∴+=90AFD ∠∴=，即AF DE ⊥．【点睛】本题是正方形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，侧重考查了学生的逻辑推理能力和对知识的应用能力．23．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 在边BC 上，DE ∥AB ，AF ∥CD ，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）现有三个论断：①AD AB =；②=B C +∠∠90°；③=2B C ∠∠．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．解析：（1）3BC AD =，见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明四边形ABED 是平行四边形，得到AD BE =，同理得到AD FC =，根据四边形AEFD 是平行四边形，得到AD EF =，从而得到AD BE EF FC ===，进而得到3BC AD =；（2）选择论断②作为条件．根据DE ∥AB ，得到B DEC ∠=∠，从而证明90DEC C ∠+∠=，得到90EDC ∠=，根据EF FC =，得到DF EF =，从而证明平行四边形AEFD 是菱形．【详解】解：（1）线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．证明：∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．∴AD BE =．同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．∴AD FC =．又∵四边形AEFD 是平行四边形，∴AD EF =．∴AD BE EF FC ===．∴3BC AD =．（2）选择论断②作为条件．证明：∵DE ∥AB ，∴B DEC ∠=∠．∵90B C ∠+∠=，∴90DEC C ∠+∠=．即得90EDC ∠=．又∵EF FC =，∴DF EF =．∵四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键．24．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：AE CF =；（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．解析：（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析【分析】（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，又AOE COF ∠=∠，AOE COF ∴≌，AE CF ∴=． （2）四边形AGCH 是菱形．理由：AOE COF ≌，EAO FCO ∴∠=∠，//AG CH ∴，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴四边形AGCH 是平行四边形，//AD BC ，HAC ACB ∠∠∴=，AC 平分HAG ∠，HAC GAC ∠∠∴=，∴GAC ACB ∠=∠，GA GC ∴=，∴平行四边形AGCH 是菱形．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．25．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．解析：（1）是；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为长方形的四个角都是直角，所以长方形是美妙四边形；（2）连接BD ，在Rt △ABD 和Rt △CBD 中，根据勾股定理可以解决；（3）连接AD ，利用等腰直角三角形的性质证明90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，于是可证ADF BDE ∠=∠，继而证明用ASA 证明BED AFD ∆≅∆，根据全等三角形的性质得BE AF =，据此可得AE AF AB +=．【详解】解：（1）∵长方形的四个角都是直角，∴长方形是美妙四边形；故答案是：是；（2）如图1，连接BD ，在Rt △ABD 中，222BD AB AD =+，在Rt △CBD 中，222BD BC CD =+，∴2222CD CB AD AB +=+，∴2222CD AB AD BC -=-；（3）如图2，连接AD ，∵四边形AEDF 是美妙四边形，90A ∠=︒，∴90EDF ∠=︒，∵,90AB AC A =∠=︒，点D 为BC 的中点，∴90ADB ∠=︒，45DAF EBD ∠=∠=︒，AD BD =，∴ADF BDE ∠=∠，在Rt △ADF 和Rt △BDE 中，DAF DBE AD BDADF BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BED AFD ASA ∆≅∆BE AF ∴=，AE AF AE BE AB ∴+=+=【点睛】本题考查了四边形综合问题，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造直角三角形或全等三角形是解题关键．26．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ．（1）证明：//DE CB ；（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）AC ＝12AB 【分析】（1）首先连接CE ，根据直角三角形的性质可得CE ＝12AB ＝AE ，再根据等边三角形的性质可得AD ＝CD ，然后证明△ADE ≌△CDE ，进而得到∠ADE ＝∠CDE ＝30°，再有∠DCB ＝150°可证明DE ∥CB ；（2）当AC ＝12AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形．根据（1）中所求得出DC ∥BE ，进而得到四边形DCBE 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：连结CE ．∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE ．∵△ACD 是等边三角形，∴AD ＝CD ．在△ADE 与△CDE 中，AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SSS ），∴∠ADE ＝∠CDE ＝30°．∵∠DCB ＝150°，∴∠EDC +∠DCB ＝180°．∴DE ∥CB ．（2）当AC ＝12AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形， 理由：∵AC ＝12AB ，∠ACB ＝90°， ∴∠B ＝30°，∵∠DCB ＝150°，∴∠DCB +∠B ＝180°，∴DC ∥BE ，又∵DE ∥BC ，∴四边形DCBE 是平行四边形．【点睛】此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．27．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．（1）求证：四边形BNDM 是平行四边形．（2）猜想：四边形MPNQ 是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．解析：（1）见解析；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）因为M ，N 分别是AD ，BC 的中点，由矩形的性质可得DM=BN ，DM ∥BN ，利用平行四边形的判定定理可得结论；（2）由四边形DMBN 是平行四边形，求出BM=DN ，BM ∥DN ，求出三角形MPNQ 是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质求出MQ=NQ ，根据菱形判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵M 、N 分别AD 、BC 的中点，∴DM=BN ，∴四边形DMBN 是平行四边形；（2）四边形MPNQ 是菱形．∵四边形DMBN 是平行四边形，∴BM=DN ，BM ∥DN ，∵P 、Q 分别BM 、DN 的中点，∴MP=NQ ，MP ∥NQ ，∴四边形MPNC 是平行四边形，连接MN ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵M 、N 分别AD 、BC 的中点，∴DM=CN ，∴四边形DMNC 是矩形，∴∠DMN=∠C=90°，∵Q 是DN 中点，∴MQ=NQ ，∴四边形MPNQ 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键28．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12MN BC =，求证：AN EN CD =+；（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．解析：（1）3；（2）见解析；（3）60︒或15︒或37.5︒【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=12AB=1，即可得出CD 的长；（2）在BD 上截取DF=EN ，可证出AEN ADF △≌△，由全等三角形的性质得AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，可得出,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，则AMN ABF △≌△，可得12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD ；（3）由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD ，②AM=AD ，③AD=MD ，根据等腰三角形的性质求出AMD ∠的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，2,30AB C =∠=︒，∴BC=2AB=4，60B ∠=︒，∵AD BC ⊥∴90,30ADB BAD ∠=︒∠=︒，∴BD=12AB=1， ∴CD =BC-BD=4-1=3；（2）证明：如图2，在BD 上截取DF=EN ，∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，∴AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，∵45ADB ∠=︒，∴45ADF AEN ∠=∠=︒，∴AEN ADF △≌△，∴AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，∵90EAD ∠=︒，EAN DAF ∠=∠，∴90NAF ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，ANE AFD ∠=∠，∴,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，∵AN=AF ，∴AMN ABF △≌△， ∴12BF MN BC ==，即F 是BC 的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD ，∵AN=AF ，∴AN EN CD =+； （3）解：由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，∴45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD 时，∵AM=MD ，∴45EDA MAD ∠=∠=︒，∴90AMD ∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=60︒；②AM=AD 时，∵AM=AD ，∴45EDA AMD ∠=∠=︒，∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=15︒；③AD=MD 时，∵AD=MD ，∴AMD MAD ∠=∠，∴45EDA ∠=︒， ∴1804567.52AMD MAD ︒-︒∠=∠==︒， ∵30C ∠=︒，∴CDM AMD C ∠=∠-∠=37.5︒．∴当ADM △为等腰三角形时，CDM ∠的度数为60︒或15︒或37.5︒．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如果一个多边形的内角和为1260︒，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．A ．4B ．5C ．6D ．7 2．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，∠B ＝60°，AC ＝23cm ，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm3．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．122C ．123D ．125 4．如图，作ABC 关于直线对称的图形A B C '''，接着A B C '''沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（ ）A ．对应点连线相等B ．对应点连线互相平行C ．对应点连线垂直于直线lD ．对应点连线被直线平分5．在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：(0,2)(2,2),(3,),(3,)A B M a N b -，，且1,MN a b =<，那么四边形AMNB 周长的最小值为（ ）A ．625+B ．613+C 34251D 34131 6．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD三个顶点坐标分别为A（-1，-2），D（1，1），C （5，2），则顶点B的坐标为（）A．（-1，3）B．（4，-1）C．（3，-1）D．（3，-2）8．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为()A．60°B．108°C．120°D．240°9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，若AB＝16，则OE 的长为（）A．8 B．6 C．4 D．310．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12 AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB 11．如图，P为□ABCD对角线BD上一点，△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，则S1和S2的关系为（）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断 12．如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且14,5AC BD CD +==，则ABO ∆周长是（ ）A ．10B ．14C ．12D ．22二、填空题13．已知，如图，//,AB DC AF 平分,BAE DF ∠平分CDE ∠，且AFD ∠比∠E 的2倍多30°，则AED =∠_____度．14．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．15．如图，在平行四边形纸片ABCD 中，2cm AB =，将纸片沿对角线AC 对折至CF ，交AD 边于点E ，此时BCF △恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13 cm ，BC ＝12 cm ，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，点F 是BC 的中点，则EF ＝______cm ．17．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，若DE =2，则BC 边的长为____．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()3,0，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接PA ，PB ，使AB PAB DC S S ∆=四边形．则点P 的坐标为_______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8cm ，AB=6cm ，BE 平分∠ABC 交AD 边于点E ，则线段DE 的长度为_____．20．已知//,AD BC 要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是____．(填一个你认为正确的条件)．三、解答题21．如图，在ABC 中，,AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：ADF 是等腰三角形；（2）若5AF BF ==，2BE =，求线段DE 的长．22．如图，点E 在ABCD 外，连接BE ，DE ，延长AC 交DE 于F ，F 为DE 的中点．（1）求证：//AF BE ；（2）若2AD =，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，2AC CF =，求BE 的长．23．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3cm ，BC=5cm ．点P 从A 点出发沿AD 方向匀速运动，速度为lcm/s ．连接PO 并延长交BC 于点Q ，设运动时间为t (0<t<5)（1）求ABCD 面积；（2）设AOP 的面积为y (cm 2)， 求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使点O 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴、y 轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C 在线段OA 上(不 与 )O 、A 重合 )，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转 90° 得到CD ，当点D 恰好落在直线AB 时，过 点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：BOC CED ∆≅∆；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式，如图2,将BCD ∆沿x 轴正方向平移得B C D '''∆，当直线B′C′经过点D 时，求点D 的坐标、B C D '''∆的面积；（3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线AB 上，是否存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，通过画图说明理由，并指出点Q 的个数．25．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点,E F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF交BD于G，连接OE，OF．证明：（l）四边形COEF是平行四边形；（2）线段OB与线段EF相互平分．OA=，26．如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中4 OB=，63AD=，E是线段OD的中点．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.【详解】根据题意,得(n-2)×180=1260，解得n=9，∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：n-3=9-3=6.故选C.【点睛】本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.2．C解析：C【分析】可设AB x =，因为AB AC ⊥，60B ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，所以2BC x =，在t R ABC △中，利用勾股定理可求x ，则平行四边形的边AB ，BC 的长度可求，则周长可求．【详解】如图：9060906030AB ACBAC B ACB ⊥∴∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒设AB x =，则2BC x =在t R ABC △中，由勾股定理可得： 222BC AB AC -= 23AC =()(222223x x ∴-=2312x ∴= 24222,4x x x x AB BC ∴=∴=±>∴=∴==∴平行四边形ABCD 周长为： ()24212+⨯=故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解题关键．3．C解析：C【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为23，再根据比例关系求得BC 的长度，最终计算面积即可．【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线，∴AE=BE ，又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4，∴BF=2，BE=4，2223EF BE BF =-=， ∴ABCD 在BC 边上的高为23，又∵:2:1BE EC =，BE=4，∴EC=2，BC=2+4=6，∴ABCD S =23×6=123，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．4．D解析：D【分析】作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，则AD 被对称轴垂直平分，利用EF 是△A A 'D 的中位线，得到AE=E A '， 同理可知：图形中对应点连线被直线平分．【详解】根据题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，∵A 、D 关于直线l 对称，∴AD 被对称轴垂直平分，又∵EF ∥A 'D ，∴EF 是△A A 'D 的中位线，∴AE=E A '，即A A '被对称轴平分，同理可知：图形中对应点连线被直线平分，故选：D ．．【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．5．A解析：A【分析】如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，， 连接2A B ，交直线3x =于N ， 连接1A N ，则此时四边形AMNB 的周长最短，再利用勾股定理可得：()()22022225AB =-+--=，()()22262125A B =-+--=，利用AMNB C 四边形2AB MN A B =++从而可得答案．【详解】解：如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，， 连接2A B ，交直线3x =于N ， 连接1A N ，122A N BN A N BN A B ∴+=+=，由111//MN AA MN AA ==，， ∴ 四边形1AMNA 是平行四边形，12,A N AM A N ∴==所以此时：四边形AMNB 的周长最短，()()()2022261A B A --，，，，，， ()()22022225AB ∴=-+--=， ()()22262125A B =-+--=，2AMNB C AM AB BN MN A N BN AB MN =+++=+++四边形2AB MN A B =++ 251525 6.=++=+故选：.A【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 7．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质，CD=AB ，CD ∥AB ，根据平移的性质即可求得顶点B 的坐标．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、D、C的坐标分别是A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），D（1，1）向左平移2个单位，再向下3个单位得到A（-1，-2），则C（5，2）向左平移2个单位，再向下3个单位得到（3，-1），∴顶点B的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．8．D解析：D【分析】利用四边形的内角和得到∠B＋∠C＋∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B＋∠C＋∠D的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．9．A解析：A【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，又∵点E是BC的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝1AB＝8．2故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键．10．D解析：D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．11．B解析：B【解析】分析：根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.详解：∵在□ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h.∴S1= S△ABP=12BP h ,S2= S△CPB=12BP h.∴S 1=S2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质.12．C解析：C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，∵AC+BD=14，∴AO+BO=7，∴△ABO的周长是：AO+BO+ AB=7+5=12．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．二、填空题13．60【分析】过F作FG∥AB即可得出AB∥GF∥CD再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠AFD=∠3+∠4依据四边形内角和等于360°即可得出∠AED的度数【详解】解：如图所示过F作FG∥解析：60【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．【详解】解：如图所示，过F作FG∥AB，∵AB∥DC，∴AB∥GF∥CD，∴∠1=∠DFG，∠2=∠AFG，∴∠AFD=∠1+∠2，∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，∴∠1=∠3，∠2=∠4，设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，∵四边形AEDF中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，∴α+2（2α+30°）=360°，解得α=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．14．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角解析：④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．15．【分析】为等边三角形点A 为BF 的中点可得求得再证明出点E 为AD 的中点得到可求出面积【详解】解：折叠至处AB=AF=2cmBC=BF=CF=4cm 为等边三角形又四边形ABCD 为平行四边形cmCD=AB2cm【分析】BCF △为等边三角形，点A 为BF 的中点，可得90BAC ∠=︒，求得12ACD S AC CD =，再证明出点E 为AD 的中点，得到12ACE ACD S S =，可求出面积． 【详解】解：ABC 折叠至ACF 处，∴AB=AF=2cm ，BC=BF=CF=4cm ，BCF △为等边三角形，AC BF ∴⊥，90BAC ∠=︒，又四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ， 90ACD ∴∠=︒，AC ==，CD=AB=2cm ，12ACD S AC CD ∴==212⨯=2cm ， 点A 为BF 的中点，//AE BC ， ∴AE 为BCF △的中位线，1122AE BC AD ∴==， ∴点E 为AD 的中点， 12ACE ACD S S ∴==12⨯2cm 为折叠重合部分的面积，2cm ．【点睛】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 16．4【分析】根据勾股定理求出AC 得到BD 的长根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE 根据三角形中位线定理解答即可【详解】在△ABC 中∠ACB ＝90°∴AC ＝＝＝5∴AD＝AC＝5∴BD＝AB−AD＝13−5解析：4【分析】根据勾股定理求出AC，得到BD的长，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC5，∴AD＝AC＝5，∴BD＝AB−AD＝13−5＝8，∵AC＝AD，AE⊥CD，∴CE＝DE，∵CE＝DE，CF＝BF，∴EF是△CBD的中位线，∴EF＝1BD＝4，2故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．17．【分析】根据三角形中位线定理解答即可【详解】解：∵DE分别为ABAC 边的中点∴DE是△ABC的中位线∴BC=2DE=4故答案为：4【点睛】本题考查的是三角形中位线定理掌握三角形的中位线平行于第三边且解析：【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．（42）（04）或（0-4）【分析】（1）根据平移规律直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h则S△PAB=×AB×h根据S△PAB=S四边形ABDC列方程求h的值确定P点坐标【详解】解：∵解析：（4，2）（0，4）或（0，-4）【分析】（1）根据平移规律，直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h，则S△PAB=12×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为(3，0)，将点B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D，∴D(4，2)；设点P到AB的距离为h，S△PAB=12×AB×h=2h，S四边形ABDC=AB×y D=8，∵S△PAB=S四边形ABDC，∴2h=8，解得h=4，∴P(0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，解题的关键是理解平移的规律．19．2cm【解析】试题解析：2cm．【解析】试题∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC=8cm，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=6cm，∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.20．AD=BC(答案不唯一)【分析】在已知一组对边平行的基础上要判定是平行四边形则需要增加另一组对边平行或平行的这组对边相等或一组对角相等均可【详解】解：根据平行四边形的判定方法知需要增加的条件是AD=解析：AD=BC(答案不唯一)【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．【详解】解：根据平行四边形的判定方法，知需要增加的条件是AD=BC 或AB ∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ．故答案为：AD=BC （或AB ∥CD ）．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）321DE =．【分析】（1）根据等边对等角和直角三角形两锐角互余可得∠D=∠BFE ，再等量代换可得∠D=∠AFD ，根据等角对等边即可证明；（2）过A 作AH ⊥BC ，根据中位线定理可得EH=2，根据三线合一可得EC ，再根据勾股定理可求．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE ⊥BC ，∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，∴∠D=∠BFE ，又∵∠BFE=∠AFD ，∴∠D=∠AFD ，∴AD=AF ，即△ADF 为等腰三角形；（2）过A 作AH ⊥BC ，∵5AF BF ==，DE ⊥BC ，∴EF//AH ，∴EF 是△BAH 的中位线，∵BE=2，∴EH=2，∵AB=AC ，∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，∵DA=AF=5，AC=AB=10，∴DC=AD+AC=15， ∴22156321DE =-=．【点睛】本题考查中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等．（1）中注意等边对等角，以及等角对等边的使用；（2）中能正确作出辅助线是解题关键．22．（1）见解析；（2）23【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，根据平行四边形的性质可以判定OF 为△DBE 的中位线，即可证明；（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC 的长，再根据中位线的性质即可求解；【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∵DF EF =，∴OF 为△DBE 的中位线∴//AF BE ．（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴3AC =∵OF 是DBE 的中位线，∴2BE OF =．∴222BE OC CF AC CF =+=+．∵2AC CF =，∴223BE AC ==【点睛】本题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键； 23．（1）12cm 2；（2）35y t =(0＜t ＜5)；（3）存在，当16 5t =秒时，使点O 在线段AP的垂直平分线上【分析】（1）利用勾股定理求出AC 即可解决问题．（2）如图1中，作OH ⊥AD 于H ．利用三角形的面积公式求出OH 即可解决问题． （3）由OH 是AP 的垂直平分线，推出AH=12AP=12t ，∠AHO=90°，由（2）知：AO=2，OH=56，由勾股定理得：AH 2+OH 2=AO 2，由此构建方程即可解决问题． 【详解】（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC=90°，∵AB=3cm ，BC=5cm ，∴AC=2222534BC AB -=-=(cm)，∴S 平行四边形ABCD =AB•AC=12(cm 2)；（2）如图1中，作OH ⊥AD 于H ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=5，S △AOD =14S 平行四边形ABCD =3， ∴12AD•OH=3， ∴OH=65(cm)， ∴12y =AP•OH=12•t•6355t =(0＜t ＜5)； （3）存在，如图2，∵OH 是AP 的垂直平分线，∴AH=12AP=12t ，∠AHO=90°， 由（2）知：AO=12AC =2，OH=65， 由勾股定理得：2AH +2OH =2AO ，即22216t 225⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴165t =或165t =-(舍去)， ∴当165t =秒时，使点O 在线段AP 的垂直平分线上． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）见解析；（2）D （3，1），B C D '''∆的面积为52；（3）存在，满足条件点Q 存在三个点，如图所示见解析．【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCO CDE ∠=∠，通过AAS 即可得到结论；（2）通过待定系数法求出直线 AB 的一次函数式，设 OC= ED =m ，从而得到点D 的坐标，进而即可求出B C D '''∆的面积；（3）分别以CD 为平行四边形的边和对角线，画出图形，即可得到结论．【详解】（1）证明：如图 1 中， 90BOC BCD CED ︒∠=∠=∠=90OCB DCE ︒∴∠+∠=,90DCE CDE ︒∠+∠=BCO CDE ∴∠=∠BC CD =BOC CED ∴∆≅∆（2）设直线 AB 的一次函数式为：y kx b =+∵直线 AB 与 x 轴， y 轴交于 A(6,0) , B(0,2)两点，∴062k bb=+⎧⎨=⎩，解得：132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴可求得直线 AB 的一次函数式为：123y x=-+BOC CED∆≅∆∵BO=CE=2，设 OC= ED =m，则 D( m+2,m ),把D(m+2,m) 代入得到123y x=-+,得m=1,∴D(3,1)∴等腰直角△BCD 腰长：5CB CD==,∵B C D'''∆与△BCD 的全等,∴B C D'''∆的面积=△BCD 的面积=52；(3)满足条件点 Q 存在三个点，如图所示【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等的判定和性质定理以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的性质，以及分类讨论思想是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意可知OE、EF是△ABC的两条中位线，然后根据中位线的性质和平行四边形的判定可以得到解答．（2）由题意及（1）的结论可知OE||BF且OE=BF，由此得四边形OEBF是平行四边形，进一步可以得到解答．【详解】证明：（l）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO CO=，即点O为线段AC的中点.又∵点,E F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ，OE BC ∥.∴四边形COEF 是平行四边形.（2）∵点,E F 分别是AB ，BC 的中点，点O 为线段AC 的中点， ∴1OE BC 2=，12BF BC =.∴OE BF =. 由（1）知，OE BC ∥，∴四边形OEBF 是平行四边形. ∴线段OB 与线段EF 相互平分.【点睛】本题考查三角形中位线和平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质和判定是解题关键．26．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在，1N (3，6)，2N (9，2)，3N (3-，2-)【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得OC 的长，从而求得点C ，D 的坐标；（2）分AD 为对角线，DE 为对角线，AE 为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=6，∵OB=3，∴OC=6-3=3，∴点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(6，4)；（2）存在，理由如下：∵E 是线段OD 的中点，∴点E 的坐标为(602+，402+)，即(3，2)， 设点N 的坐标为(x ，y )，当AD 为对角线时，36022x ++=，242y +=，解得：3x =，6y =，∴1N 的坐标为(3，6)；当DE 为对角线时，06322x ++=，44222y ++=， 解得：9x =，2y =，∴2N 的坐标为(9，2)；当AE 为对角线时，60322x ++=，40222y ++=， 解得：3x =-，2y =-，∴3N 的坐标为(3-，2-) ．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．。
2018-2019学年初中数学二次根式、勾股定理、平行四边形一次函数和数据的分析中考模拟考试测试题
②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．
24．某初中在“读书共享月”活动中．学生都从家中带了图书到学校给大家共享阅读．经过抽样调查得知，初一人均带了2册；初二人均带了3.5册：初三人均带了2.5册．已知各年级学生人数的扇形统计图如图所示，其中初三共有210名学生．请根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中，初三年级学生数所对应的圆心角为°；
28．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）根据条件与作图信息知四边形ABEF是
A．非特殊的平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF=4，求AE的长和∠C的度数．
22．随着”互联网+“时代的到来，利用网络呼叫专车的打车方式深受大众欢迎．据了解，在非高峰期时，某种专车所收取的费用y（元）与行驶里程x（km）的函数图象如图所示．请根据图象，回答下列问题：
（1）当x≥5时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若王女士有一次在非高峰期乘坐这种专车外出，共付费47元，求王女士乘坐这种专车的行驶里程．
【详解】
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
二次根式勾股定理平行四边形
数 学 前三章复习 试 题（试题范围：二次根式、勾股定理、平行四边形）一、选择题(共12小题，每小题4分，共48分)下面每小题给出的四个选项中, 有且只有一个是正确的, 请把正确选项前的代号填在答卷指定位置．1、 计算()24-－ 38 的结果是（ ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2或0 Ｄ．0．2、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠= ，则AEF ∠=（ ） A ．110° B ．115°C ．120°D ．130° 3、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm ， 则Rt △ABC 的面积是（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 24、下列各式不是最简二次根式的是（ ）A. 21a +B. 21x +C. 24bD. 0.1y5、 已知：如图,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD相交于点O,OE ∥DC 交BC 于点E,AD=6cm,则OE 的长为（ ）.A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm6、给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③n 2-1 ，2n ，n 2+1；④21+，21-，6 ．其中能组成直角三角形三条边长的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④7、 如图，正方形ABCD 中，以对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则∠FAB 等于（ ）A ．22.5°B ．45°C ．30° D．135°第2题C AB1A 0-1-218、若0<x<1,则(x －1x )2+4 －(x+1x)2－4 等于（ ） A. 2x B. － 2xC. －2xD. 2x 9、如图，在平行四边形ABCD 中(AB ≠BC)，直 线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ， 交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论： ①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ≌△CFN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D.③④ 10、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ).A.2mB.2.5cmC.2.25mD.3m11、如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（ ） A ．2-10 B ．-2-10 C ．2 D ．-2 12、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ， 连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）下列不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答卷指定的位置．13、（－4）2的算术平方根是______，25的平方根是______．14、函数y= x+2x －1中自变量x 的取值范围是 。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）A ．AB ＝CDB ．∠BAD ＝∠DCBC ．AC ＝BD D ．∠ABC ＋∠BAD ＝180°3．如图，在ABC 中，点D 在BC 上，且CD CA =，CF 平分ACB ∠，E 是AB 的中点，7BC =，4AC =，则EF 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．3D ．64．如图，在平行四边形ABCD 中，AB≠BC ，点F 是BC 上一点，AE 平分∠FAD ，且点E 是CD 的中点，有如下结论：①AE ⊥EF ；②AF=CF+CD ；③AF=CF+AD ；④AB ＝BF ，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①③④ 5．在四边形ABCD 中，若∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，∠B 比∠D 大15°，则∠B 的度数等于（ ）A ．150°B ．97.5°C ．82.5°D ．67.5°6．如图，下面不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB //CD,AB CD =B ．,AB CD AD BC ==C ．B DAB 180,AB CD ︒∠+∠==D ．B D,BCA DAC ∠=∠∠=∠7．如图，AD 、BE 分别是ABC 的中线和角平分线，AD BE ⊥，4AD BE ==，F 为CE 的中点，连接DF ，则AF 的长等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．25 8．如图，在ABCD 中，DAB ∠的平分线AE 交CD 于E ，6AB =，4BC =，则EC的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.59．如图，在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，若1,7,3AB BC OE ===则四边形EFCD 的周长是（ ）A ．17B ．14C ．11D ．1010．如图，ABCD 中，点E 在边BC 上，以AE 为折痕，将ABE △向上翻折，点B 正好落在CD 上的点F 处，若FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，则FD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．811．如图，若ABCD 的顶点O ,A ,B 的坐标分别为()0,0，()4,0-，()5,3-，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()4,1--D ．()5,1- 12．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．1＋3二、填空题13．已知，如图，//,AB DC AF 平分,BAE DF ∠平分CDE ∠，且AFD ∠比∠E 的2倍多30°，则AED =∠_____度．14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝124°，分别作AC ，AB 两边的垂直平分线PM ，PN ，垂足分别是点M ，N ．以下说法：①∠P ＝56°；②∠EAF ＝68°；③PE ＝PF ；④点P 到点B 和点C 的距离相等．正确的是_____（填序号）．15．如图，已知点(3,2)A -，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点B 是x 轴正半轴上一个动点，连接AB ，以AB 为斜边，在AB 的上方构造等腰Rt ACB △，连接DC ．在B 点运动的过程中，DC 与DB 的数量关系是____．16．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝4，BC ＝10，则EF 的长为_____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，7AD =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠的平分线交AD 于点F ，则线段EF 的长为_____18．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且DB BC ⊥，垂足为B ，若10AC =，6BD =，则BC 的长等于_______．19．如图，在ABCD 中，点E 是AD 边上的一点，CD=CE ，将CDE △沿CE 翻折得到CEF △，若∠B=55°．那么BCF ∠的度数为__________．20．如图，已知矩形ABCD ，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是PA ，PR 的中点．如果DR=3，AD=4，则EF 的长为______．三、解答题21．如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作MN ∥BC ．分别交AB 、AC 于M 、N ．（1）求证：BM +CN ＝MN ．（2）如图2，若△ABC 是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．若两题都作答，以问题①计分．问题①BC ＝6，求MN 的长．问题②求证：O 是MN 的中点．22．已知直线l ：y ＝kx +3k +1（k ＞0）经过定点A ．（1）探求定点A 的坐标．把函数表达式作如下变形：y ＝kx +3k +1＝k （x +3）+1，当x ＝﹣3时，可以消去k ，求出y ＝1，则定点A 的坐标为 ．（2）如图1，已知△BCD 各顶点的坐标分别为B （0，1），C （﹣4，1），D （0，4），直线l 将△BCD 的周长分成7：17两部分，求k 的值．（3）如图2，设直线l 与y 轴交于点P ，另一条直线y ＝（k ﹣1）x +3k ﹣2与y 轴交于点Q ，交直线l 于点E ，点F 是EQ 的中点．当点P 从（0，5）沿y 轴正方向运动到（0，10）时，求点F 运动经过的路径长．23．在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度α得到ADE ，点B 、C 的对应点分别是D 、E ．（1）如图1，若点E 恰好与点B 重合，DF AB ⊥，垂足为F ，求BDF ∠的大小； （2）如图2，若108α=︒，连接EC 交AB 于点G ，求证：四边形ADEG 是平行四边形．24．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90o ,AD ∥BC ，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/秒的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当点Q 到端点B 时，点P 也随之停止运动，设运动时间为t 秒．求：（1） t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？（2）当 t=7秒时，判断四边形PQCD 的形状．25．如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．n+个角，那么这（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出()1()1n+个角的和是____________°．26．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0,2）、（-1,0）、（2,0）.（1）求直线AB的函数表达式；（2）直线AB上有一点P，使得△PBC的面积等于9，求点P的坐标；（3）设点D与A、B、C点构成平行四边形，直接写出所有符合条件的点D的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．【详解】解：设多边形有n条边，由题意得：180（n﹣2）＝360×4，解得：n＝10，故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．2．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识，对各选项进行判断即可．【详解】A错误,当四边形ABCD是等腰梯形时,也满足条件．B 正确，∵//AD BC ，∴180BAD ABC ︒∠+∠=，∵BAD DCB ∠=∠，∴180DCB ABC ︒∠+∠=，∴//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．C 错误，当四边形ABCD 是等腰梯形时，也满足条件．D 错误，∵180ABC BAD ︒∠+∠=，∴//AD BC ，与题目条件重复，无法判断四边形ABCD 是不是平行四边形．故选:B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质等知识，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．3．A解析：A【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质得到DF=AF ，根据点E 是AB 的中点，推出EF 是△ABD 的中位线，由此得到EF=12BD 计算得出答案． 【详解】∵CD CA =，CF 平分ACB ∠，∴DF=AF ，CD=4，∵E 是AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF=12BD=12(BC-CD)=1.5， 故选：A ．【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线的性质定理，熟记等腰三角形的三线合一的性质进行证明是解题的关键．4．A解析：A【分析】首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM=EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ．【详解】延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD ；故①，③正确，②错误．∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，∴AB 不一定等于BF ，故④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5．B解析：B【分析】根据∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，得到∠A+∠C=180°，根据四边形的内角和为360°∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180°①，根据∠B 比∠D 大15°，得到∠B-∠D=15°②，所以①+②得：2∠B=195°，所以∠B=97.5°．【详解】解：∵∠A 与∠C 之和等于四边形外角和的一半，四边形的外角和为360°，∴∠A+∠C ＝180°，∴∠B+∠D ＝360°﹣（∠A+∠C ）＝180°①，∵∠B 比∠D 大15°，∴∠B ﹣∠D ＝15°②，①+②得：2∠B ＝195°，∴∠B＝97.5°．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记四边形的内角和与外角和．6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．故选C．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．7．D解析：D【分析】已知AD是ABC的中线，F为CE的中点，可得DF为△CBE的中位线，根据三角形的中位线定理可得DF∥BE，DF=12BE=2；又因AD BE⊥，可得∠BOD=90°，由平行线的性质可得∠ADF=∠BOD=90°，在Rt△ADF中，根据勾股定理即可求得AF的长.【详解】∵AD是ABC的中线，F为CE的中点，∴DF为△CBE的中位线，∴DF∥BE，DF=12BE=2；∵AD BE⊥，∴∠BOD=90°，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠BOD=90°，在Rt △ADF 中，AD=4，DF=2，∴== 故选D.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及勾股定理，利用三角形的中位线定理求得DF ∥BE ，DF=12BE=2是解决问题的关键. 8．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质及AE 为角平分线可知：BC=AD=DE=4，又有CD=AB=6，可求EC 的长．【详解】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=6，AD=BC=4．根据平行四边形的对边平行，得：CD ∥AB ，∴∠AED=∠BAE ，又∠DAE=∠BAE ，∴∠DAE=∠AED ．∴ED=AD=4，∴EC=CD-ED=6-4=2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．9．B解析：B【分析】由在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，易证得AOE COF ∆≅∆，则可得DE CF AD ，26EF OE ，继而求得四边形EFCD 的周长．【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，OA OC =，1CD AB ==，7AD BC ==EAO FCO ∴∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ()AOE COF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，3OE OF ==，6EF ∴=，∴四边形EFCD 的周长是：17614CD DE EF CF CD DE AE EF CD AD EF ，故选：B ．【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 10．C解析：C【分析】由题意易得AB=AF ，FE=BE ，然后根据三角形的周长及线段的等量关系进行求解即可．【详解】解：由题意得：AB=AF ，FE=BE ，四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，AB=DC=AF ，FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，∴FE+EC+FC=7，AD+AF+DF=21，∴BC+FC=7，AF=DC=DF+FC ，∴7-FC+DF+FC+DF=21∴DF=7．故选C ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行四边形的性质，熟练掌握平息四边形及折叠的性质是解题的关键．11．A解析：A【分析】利用平行四边形的性质其对边相等，进而得出C 点的横纵坐标．【详解】解：∵▱OABC 的顶点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（-4，0），（-5，3）， ∴AO=BC=4，C 点纵坐标为：3，B 点横坐标为：-5，∴C 点横坐标为：-1，则点C 的坐标为：（-1，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．A解析：A【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：如图∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°，∴AB=2BC=2又∵点D. E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=1AB=12故选：A【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题13．60【分析】过F作FG∥AB即可得出AB∥GF∥CD再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠AFD=∠3+∠4依据四边形内角和等于360°即可得出∠AED的度数【详解】解：如图所示过F作FG∥解析：60【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．【详解】解：如图所示，过F作FG∥AB，∵AB∥DC，∴AB∥GF∥CD，∴∠1=∠DFG，∠2=∠AFG，∴∠AFD=∠1+∠2，∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，∴∠1=∠3，∠2=∠4，设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，∵四边形AEDF中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，∴α+2（2α+30°）=360°，解得α=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．14．①②④【分析】根据垂直的定义四边形的内角和等于360°计算判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EAFB＝FA进而得到∠EAC＝∠C∠FAB＝∠B经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③根据线解析：①②④【分析】根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，进而得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；∵∠BAC＝124°，∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，∴BF不一定等于CE，∴无法判定PE与PF是否相等，③说法错误；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是四边形的内角和，线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．15．【分析】以点C 为旋转中心将△CAD 逆时针旋转90°得△CBD′可得∠CAD=∠CBD′BD′=AD=2CD=CD′由等腰可得∠ADB+∠ACB=180º由四边形内角和∠CAD+∠CBD=360º-（ 解析：22CD BD =+【分析】以点C 为旋转中心，将△CAD 逆时针旋转90°得△CBD′，可得∠CAD=∠CBD′，BD′=AD=2，CD=CD′，由AD x ⊥，等腰Rt ACB △，可得∠ADB+∠ACB=180º，由四边形内角和∠CAD+∠CBD=360º-（∠ADB+∠ACB ）=180º，推出D 、B 、D′三点共线，在Rt △DCD′中，由勾股定理DD′=22CD +C =2CD 'D ，由DD′=BD+BD′=BD+2即可得出结论．【详解】解：以点C 为旋转中心，将△CAD 逆时针旋转90°得△CBD′，∴∠CAD=∠CBD′，BD′=AD=2，CD=CD′，∴AD x ⊥，等腰Rt ACB △，∴∠ADB+∠ACB=180º，∴∠CAD+∠CBD=360º-（∠ADB+∠ACB ）=180º，∴∠CBD′+∠CBD=180º，∴D 、B 、D′三点共线，∵∠DCD′=90º，在Rt △DCD′中，∴DD′=22CD +C =2CD 'D ，∴DD′=BD+BD′=BD+2，∴2CD=BD+2，故答案为：2CD=BD+2．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形的旋转，三点共线，勾股定理的应用等知识，掌握本题考查等腰直角三角形的性质，图形的旋转性质，三点共线证明方法，勾股定理的应用是解题关键．16．3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE 然后再根据直角三角形的性质求出DF 最后运用线段的和差计算即可【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线∴DE ＝BC ＝5∵∠AFB ＝90°D 是AB 的中点∴DF ＝AB ＝解析：3【分析】先根据三角形中位线定理求得DE ，然后再根据直角三角形的性质求出DF ，最后运用线段的和差计算即可．【详解】解：∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝5， ∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴DF ＝12AB ＝2， ∴EF ＝DE ﹣DF ＝3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．17．3【分析】由角的等量关系可分别得出△ABE 和△DCF 是等腰三角形得出AB=AEDC=DF 再结合利用线段的和差即可解决【详解】解：∵平行四边形ABCD ∴AD//BCDC=AB=5∴∠DFC=∠FCB 又解析：3【分析】由角的等量关系可分别得出△ABE 和△DCF 是等腰三角形，得出AB=AE ，DC=DF ，再结合5AB =，7AD =利用线段的和差即可解决．【详解】解：∵平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，DC=AB=5，∴∠DFC=∠FCB ，又CF 平分∠BCD ，∴∠DCF=∠FCB ，∴∠DFC=∠DCF ，∴DF=DC=5，同理可证：AE=AB=5，∴5573EF AE DF AD =+-=+-=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．18．4【分析】由平行四边形的性质得出AD ＝BCOC ＝AC ＝5OB ＝BD ＝3cm 由勾股定理得出BC 的长即可【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形AC ＝10BD ＝6∴AD ＝BCOC ＝AC ＝5OB ＝BD ＝3解析：4【分析】由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，OC ＝12AC ＝5，OB ＝12BD ＝3cm ，由勾股定理得出BC 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝10，BD ＝6，∴AD ＝BC ，OC ＝12AC ＝5，OB ＝12BD ＝3， ∵DB ⊥BC ，∴∠OBC ＝90°，∴BC＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19．【分析】先根据平行四边形的性质可得再根据等腰三角形的性质可得然后根据平行线的性质翻折的性质可得最后根据角的和差即可得【详解】四边形ABCD 是平行四边形由翻折的性质得：又故答案为：【点睛】本题考查了平 解析：15︒【分析】先根据平行四边形的性质可得55,//D B AD BC ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得55CED ∠=︒，70DCE ∠=︒，然后根据平行线的性质、翻折的性质可得55BCE CED ∠=∠=︒，70ECF DCE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，55B ∠=︒，55,//D B AD BC ∴∠=∠=︒，CD CE =，55CED D ∴∠=∠=︒，18070DCE CED D ∴∠=︒-∠-∠=︒，由翻折的性质得：70ECF DCE ∠=∠=︒，又//AD BC ，55BCE CED ∴∠=∠=︒，705515BCF ECF BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、翻折的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和翻折的性质是解题关键．20．5【解析】试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF试题解析：5【解析】试题分析：根据勾股定理求AR；再运用中位线定理求EF．试题∵四边形ABCD是矩形，∴△ADR是直角三角形∵DR=3，AD=4∴∵E、F分别是PA，PR的中点∴EF=12AR=12×5=2．5．考点：1．三角形中位线定理；2．矩形的性质．三、解答题21．（1）见解析；（2）①MN=4；②见解析【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质可证得∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，再根据等角对等边的性质可得BM=MO，CN=ON，再由MO+ON=MN即可证得结论；（2）①过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得MN=EF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，进而有∠BME=∠CNF=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可证得BE=12BM，CF=12CN，由BC=BE+EF+CF和BM+CN=MN可得BC=32MN，即可求得MN的长；②过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，可证得四边形MEFN为平行四边形，可得ME=NF，再根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再根据全等三角形的判定可证得△MEB≌△NFC，则有BM=CN，由（1）中BM=MO，CN=ON可得MO=ON，即可证得结论．【详解】（1）证明：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠MBO，∠OCB=∠NCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴BM=MO，CN=ON，∴BM+CN=MO+ON=MN，即BM+CN =MN；（2）若选①，解：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF,∠MEB=∠NFC=90°，∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴MN=EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴∠BME=∠CNF=30°，∴BE=12BM，CF=12CN，∵BC=BE+EF+CF=12BM+MN+12CN=32MN=6，∴MN=4；若选②，证明：如图2，过M、N分别作ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则ME∥NF，∠MEB=∠NFC=90°∵MN∥BC，∴四边形MEFN为平行四边形，∴ME=NF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，又∠MEB=∠NFC=90°，∴△MEB≌△NFC（AAS），∴BM=CN，∵ BM=MO，CN=ON∴MO=ON，即O为MN的中点．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各知识点的运用，借助作辅助线进行计算或证明解答的关键．22．（1） (-3，1)；（2）k=1.5；（3）F 1F 2 2.5=．【分析】（1）y ＝kx +3k +1＝k （x +3）+1，当x ＝﹣3时，可以消去k ，求出y ＝1，则定点A 的坐标(-3，1)；（2）由两点距离可求BC=4，BD=3，在Rt △BCD 中，由勾股定理CD=225BC BD +=，由AC=-3+4=1，由题意CA+CE=7712242⨯=，CE=712-=52，可得CE ：CD=52：5=1：2，可得E 为CD 的中点E （-2，2.5）由点E 在直线l 上，可求k=1.5； （3）当直线l ：y 31kx k =++过（0，5），43k =，另一直线1y 23x =+，点Q 1（0，2），当直线l ：y 31kx k =++过（0，10），3k =，另一直线y 27x =+，点Q 2（0，7），Q 1Q 2=7-2=5，F 1为EQ 1中点，F 2为EQ 2的中点，求出F 1、F 2坐标即可．【详解】解：（1）y ＝kx +3k +1＝k （x +3）+1，当x ＝﹣3时，可以消去k ，求出y ＝1，则定点A 的坐标(-3，1)；（2）BC=4，BD=3，在Rt △BCD 中，由勾股定理CD=225BC BD +=，∵AC=-3+4=1，∵CA+CE=7712242⨯=，CE=712-=52， ∴CE ：CD=52：5=1：2， ∴E 为CD 的中点，40142, 2.522-++=-=，E （-2，2.5）， ∵点E 在直线l 上，则2.5＝-2k +3k +1，则k=1.5；（3）当直线l ：y 31kx k =++过（0，5），则5031k k =⨯++，解得43k =， 另一直线44y 13233x ⎛⎫=-+⨯-⎪⎝⎭， 则1y 23x =+，点Q 1（0，2）， 当直线l ：y 31kx k =++过（0，10），则10031k k =⨯++，解得3k =，另一直线()y 31332x =-+⨯-，则y 27x =+，点Q 2（0，7），Q 1Q 2=7-2=5，F 1为EQ 1中点，E （-3，1），Q 1（0，2），-3+03=-22，1+23=22F 1（32-，32） F 2为EQ 2的中点，E （-3，1），Q 2（0，7），-3+03=-22，1+7=42F 1F 2=4-32=2.5．【点睛】本题考查一次函数过定点，按比例分三角形周长，线段中点坐标，掌握求一次函数过定点方法，按比例分三角形周长方法，线段中点坐标求法是解题关键．23．（1）18BDF ∠=︒；（2）见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ACB=72゜，再由旋转的性质得∠DBF=∠ACB=72゜，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论；（2）分别证明∠DEC=108゜，∠DAG =108゜，可得EG//AD ，AG//DE ，从而可证四边形ADEG 是平行四边形．【详解】解：（1）∵AB AC =，36BAC ∠=︒∴72ABC ACB ∠=∠=︒∴72ADB ABD ∠∠==︒∵DF AB ⊥，∴90DFB ∠=︒∴∠DBF+∠BDF=90゜∴907218BDF ∠=︒-︒=︒（2）∵108α=︒，即108CAE ∠=︒又AE AC =∴36ACE AEC ∠=∠=︒∵∠AED=∠ADE=72゜∴∠DEC=72゜+36゜=108゜∴∠ADE+∠CED=180゜∴EG//AD∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE+∠EAG=∠CAB+∠EAG=108゜∴∠DAG+∠ADE=180゜∴AG//DE∴四边形ADEG 是平行四边形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．24．（1）t ＝6秒，四边形PQCD 平行四边形；（2）t ＝7秒，四边形PQCD 是等腰梯形．【分析】（1）当四边形PQCD 是平行四边形时，必须有PD=CQ ，而PD 、CQ 均可用含有t 的式子表示出来，列方程解答即可．（2）当PQ=CD ，PD≠QC 时，四边形PQCD 为等腰梯形．过P ，D 分别作PE ⊥BC ，DF ⊥BC 后，可求出CF=2，所以当等腰梯形成立时，CQ=PD+4，然后列方程解答即可．【详解】解：（1）∵AD ∥BC ，∴当QC=PD 时，四边形PQCD 是平行四边形．此时有3t=24-t，解得t=6．∴当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形．（2）当t＝7秒时，四边形PQCD是等腰梯形分别过点P、D作PE⊥BC于E， DF⊥BC于F则四边形PEFD和四边形ABFD均为矩形当t=7时PA=7，PD=EF=24-7=17，CQ=21，∵AD=BF=24，∴CF=26-24=2，∴QE=QC-CF-EF=2由此可证△QPE≌△CDF；即，PQ=DC又AD∥BC，∴当t＝7秒时，四边形PQCD是等腰梯形【点睛】本题主要考查了平行四边形、等腰梯形的判定，以及一元一次方程在几何图形中的应用，解题关键是利用数形结合思想找出等量关系解方程．25．（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC ，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n 刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n 度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．26．（1）y=2x+2；（2）（2，6）或（-4，-6）；（3）（3，2）、（-3，2）、（1，-2）【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）设点P 的坐标为（x ，2x+2），根据三角形的面积公式列方程求解即可；（3）分三种情况求解即可：①当AB 、BC 为邻边时，②当AB 为对角线时，③当BC 为对角线时．【详解】解：（1）设直线AB 的函数解析式为y=kx+b ，∵直线AB 经过点A （0，2）、B （-1，0），得20b k b =⎧⎨-+=⎩，解得22 kb=⎧⎨=⎩．∴直线AB的函数解析式为y=2x+2；（2）由题意，设点P的坐标为（x，2x+2），S△POA=12×BC×|p y|=12×3×|2x+2|=9．解得x=2或x=-4．故点P的坐标是（2，6）或（-4，-6）；（3）①当AB、BC为邻边时，作D1E⊥BC于E，∵四边形ABCD1是平行四边形，∴AD1=BC=3，AB=CD1，∠ABC=∠D1CE，又∵∠AOB=∠D1EC，∴△AOB≌△D1EC，∴CE=BO=1，∴D1（3，2）；同理可求：②当AB为对角线时，D2（-3，2）；③当BC为对角线时，D3（1，-2）；综上所述：点D与A、B、C点构成平行四边形，点D的坐标为（3，2）、（-3，2）、（1，-2）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握待定系数法和平行四边形的性质是解答本题的关键。
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第18章勾股定理综合检测题检测试题一、认真选一选，你一定很棒！1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2B.3C.4D.52，已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶13，已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A.52B.3C.3+2D.332+ 4，如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米5，放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ） A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定6，如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） A.L 1 B.L 2 C.L 3 D.L 47，（2006年山西吕梁课改）如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8，在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，109，如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A.1B.2C.3D.210，直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A.182 B.183 C.184 D.185二、仔细填一填，你一定很准！11，根据下图中的数据，确定A ＝_______，B ＝_______，x ＝_______.12，直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______. 13，直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________.14，如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米. 15，如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________. 16，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm.17，[2008年河北省]如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．18，甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，•两船相距＿＿＿海里. 三、细心做一做，你一定会成功！19，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据.AB CABC图25mBCAD图1BCAED图3图5图4图620，从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？21，如图7，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？22，（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积.（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）第19章平行四边形综合检测题一、选择题1，一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（ ） A.三角形的三条角平分线的交点 B.三角形的三条高线的交点C.三角形的三条中线的交点D.三角形的三条边的垂直平分线的交点2，如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对3，平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ） A.4cm 和6cm B.6cm 和8cm C.8cm 和10cm D.10cm 和12cm4，在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CD B.AD //BC ，∠A ＝∠CC.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5，如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH为（ ）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形6，如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定7，矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ） A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 28，如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ） A.123mB.20mC.22mD.24m9，如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( ) A ．3B ．23C ．5D ．2510，如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ） A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m二、填空题（每题3分，共30分）11，如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.A B 小河东北 牧童小屋 图7图8图9图6图4FEDCBA图5图3ADCBH EFG图2OABD C图1D CBA 图7图9图8KNQ CB12，如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1， 则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.15，如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.17，如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.三、解答题（共40分）19，如图1,4，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.20，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组； （2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？21，如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .（1）线段AF 与GB 相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件， 使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.22，如图17，已知□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点E .（1）试说明线段CD 与F A 相等的理由；（2）若使∠F ＝∠BCF ，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？ 请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).23，（08上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形E CDBAO……第一次对折第二次对第三次对图13图11A 1B 1C 1D 1D ABCDABCEF图12图10E D C BA ABCDABCDDCBA图15ABCDEF图17图16FEDCBA 图14。