考研数学强化班讲义参考答案(李铮
考研数学强化讲义之真题分类解析(吐血力荐)
求:(1)证明
lim
x
xn
存在,并求之.
1
(2)计算 lim
x
xn1 xn
xn2
.
例 8 设数列xn满足：x1 0, xnexn1 exn 1(n 1, 2,
),
证明xn
收敛，并求
lim
n
xn
.
例 9 设 an
1 xn
0
1 x2 dx
(n 0,1, 2,
)
（1）证明：数列 {an } 单调减少，且
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导 （D） f x 在 x 0 处可导
例
9
设
f
(
x)
lim
n
(n 1)x nx2 1
,
则
f (x) 的间断点为 x
.
例
10
求函数
f
(x)
= lim(
sin t
x
)sintsin x
的表达式，并指出函数
(D) F(x) 是单调函数 f (x) 是单调函数
例 2 设 f (x) 是周 期为 4 的可导奇 函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7)
__________.
例 3 设 f (x)
x
2 sin t dt ,
x
(Ⅰ)证明 f (x) 是以 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f (x) 的值域.
（D）3
例
7
函数
f
(x)
lim(1
sin
t
)
x2 t
在 (, ) 内（）
t 0
x
（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
考研超越考研强化班讲义习题答案
超越考研强化班讲义高等数学部分同步练习解答第一章 函数、极限与连续练习11.解：当0x <时，()10f x =>，从而[()]1f f x =-； 当0x =时，(0)10f =-<，从而[()]1f f x =； 当0x >时，()10f x =-<，从而[()]1f f x =。
于是1,0,[()]1,0.x f f x x -<⎧=⎨≥⎩2.因为对任意大的正数M ，总存在点1(0,1)2([]1)2M x M ππ=∈++，使得()2([]1)2M f x M M ππ=++>，故11()sin f x x x=在区间(0,1)上是无界函数。
练习21.解：法1（排除法，特例法）反例1：(1),0n n n x y =-=，排除（A ）; 反例2：0,n n x y n ==，排除（B ）； 反例3：0,(1)nn n x y ==-，排除（C ）。
法2（直接法）1lim lim 000n n n n n ny x y x →∞→∞=⋅=⋅=。
练习31.解：原式2212221(1)lim 1(1)x x x e x e e x --→∞-===+。
2.解：原式2sin cos sin222limlim limcos cos 22x a x a x a x a x a x a x a a x a x a →→→-+-+==⋅=--。
练习41.解：由等价无穷小和重要极限可得原式201sin 12lim 2x x xx →==。
2.11ln[1(1)]lim tanln(2)limsin(1)22sin 2x x xx x x x πππ→→+--=--1121lim (1)2x x x ππ→-=⋅=--，∴原式2e π=。
练习51.解：有理化可得原式002tan tan 1lim 2lim[]1(1tan 1tan )1tan 1tan x x x x x x x x x x →→==⋅=++-++-。
2017年数学强化班讲义练习题解答
1 x sin x 1 2 原式 lim 。 2 x 0 x 2
2. lim tan
x 1
x
2
ln(2 x) limsin
x 1
x ln[1 (1 x )] x ln[1 (1 x )] limsin x 1 x ( x 1) 2 2
cos 2 sin 2
1 lim
1 x 2 ， x 1 ( x 1) 2
2
原式 e 。
练习 5 1.解：有理化可得 原式 lim
x 0
2 tan x tan x 1 2lim[ ] 1。 x 0 x x( 1 tan x 1 tan x ) 1 tan x 1 tan x
y
x3 x3 ， lim y ， lim y ，故曲线有垂直渐近线 x 2 x 1 x 2 x 2 ( x 1)( x 2)
x 1 和 x 2 。
②
lim
x
y x2 lim 2 1 k ， x x x x 2 x3 x2 2x x ) lim 1 b ， x x 2 x 2 x2 x 2
lim f ( x) lim arctan
x 0
1 不存在。 x
练习 10
1.解：
1 2 ax 1 ax 2 1 2 3 lim lim 3 a 1， a 。 x 0 x 0 1 cos x 1 3 2 x2 2
3
2.解：
x3 ax b c ，且 lim(2 x3 3x 2 1) 0 ， x 1 x 1 2 x 3 3 x 2 1 lim
10考研高等数学强化讲义(第三章)全
第三章 一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。
则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。
原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。
2．不定积分的性质 设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。
原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。
可导要求比连续高。
⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
考研名师李铮解析2012年考研数学大纲
考研名师李铮解析2012年考研数学大纲大纲和以往对比没有变化难度也很平衡主持人：大家好，2012年的考研数学大纲已经公布了，我们邀请到了万学海文的考研数学辅导名师李争老师来给我们解析一下2012年的考研数学大纲。
我先介绍一下李铮老师，李争老师是中国著名的考研数学辅导专家，具有多年的考研辅导经验，参加全国高等数学研究生入学考试阅卷工作近二十多年，多年担任阅卷组组长，是上海交通大学数学博士，副教授。
李老师您好。
李铮：你好。
主持人：您给我们说一下2012年的考研数学大纲的高等数学部分和去年相比有什么变化吗？李铮：好的。
我刚拿到大纲仔细对照了我们发现去年的考试大纲和今年的大纲没有变化。
主持人：没有变化在难易程度上有一个什么样的趋势，整体上来说？李铮：就我对考研数学的认识来讲，那么这些年我认为难易程度上趋于平缓。
虽然有可能，比如说去年略微容易一些，可能今年会难度上略有提高，但是总的趋势应该说没有大的变化。
主持人：在命题趋势上是怎样的呢？李铮：命题还是注重于基础，我认为是基础以及并论为主。
高数要先抓基础巩固复习成果主持人：就高等数学部分您能给同学们一些复习建议吗？李铮：我认为我们复习考研来讲，高等数学主要是先抓基础，比如说我们极限部分，因为极限是贯穿我们高等数学的整个一条线，研究方法就是极限。
所以对极限掌握好坏直接影响到我们考研是否成功。
主持人：那还有4个多月的时间，现在是属于考研强化阶段，那对于这期间在考研复习侧重点上有什么变化或者和前一段时间相比您能给出一些建议吗？李铮：这个问题我们是这样想。
我们因为还有4个多个时间，那么理论上前期已经基础或者强化已经上过了，那么在现在阶段里面应该是巩固成果，消化前期已经掌握学习到的知识。
就我的经验来讲，我认为大家应该是善于总结，把老师讲的方法理念灵活的掌握，消化吸收为自己的东西。
然后在解题过程当中如果遇到一些困难的题目，另外方法上我建议可以反思。
因为什么呢？一个题目我们经常讲，一个题目感觉有点困难解不出来，我们寻求其他帮助。
2012年超越考研暑期强化班讲义概率论同步训练解答
P{ X 1 2} P{1 X 3} F (3 0) F (1)
同步训练 P242
2 . 3
x 0, 0, 0.3, 0 x 1, 1. 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) 求 X 的概率分布． 0.6, 1 x 2, x 2, 1,
． （答案：1 p ）
2. 设随机变量 X ~ N (10, 2 ) ，已知 P{ X 20} p ，则 P{ X 0} 解：由题意， P{ X 20} 1 (
20 10 10 ) 1 ( ) p ， 0 10 10 10 P{ X 0} 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 p .
fY ( y ) ． （答案： fY ( y )
3(1 y )2 , y ） [1 (1 y )6 ]
解： FY ( y ) P{Y y} P{1 3 X y} P{ X (1 y )3 } ，
3
(1 y )
1 1 1 dx arctan(1 y )3 y ； 2 (1 x ) 2
1 2 0 . 0.3 0.3 0.4
x 0, 0, 2. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) k 求(1)常数 k ；(2) X 的分布函数 F ( x) ； , x 0, 1 x 2 x 0, 0, 2 1 (3) P arctan X ． （答案： k , F ( x) 2 ） 4 arctan x, x 0, 2
同步训练 P233 1. 设盒子中有十只球，其中四只红球，三只白球和三只黑球，现从中不放回地取三次，每次取一个， 求三次所取的球颜色不同的概率.（答案： 解：设 A ：所取求颜色不同；
中国考研辅导机构排行榜
中国考研辅导机构排行榜编者按：应广大考研学子的要求，我们对中国八大最具实力考研培训机构做了一个评测，目的是帮助考研学子在选择辅导班的时候有一个较为准确的选择，我们通过对各个机构的品牌实力、师资力量、培训模式等方面逐一进行评分，每个分项的满分为100分，最后将各项分值相加再平均即为综合得分。
这些机构是我们在众多机构中选择出来的做得比较成熟和稳定的机构，还有一些机构由于种种原因不在我们的评测范围内，这次评选的这些机构大多都是教育集团，除了考研还有其他的培训，而这次评测只是针对考研的培训，这些指数是参考了行业数据和调查而得出的，希望各位学子能从这些数据中帮助大家根据自身的特点来选择辅导班，在此，也预祝各位考生早日金榜提名。
1.海文品牌实力：94简评：1993年成立，办学14年，全国28个直属省级分校，唯一一家全是直营的考研辅导机构，所以要流转到其他地区相当方便。
师资团队：91政治师资：赵宇、井宇虹、郭继承、王海军、梁伟伟、汪云生、肖秀荣英语师资：吴耀武、宣峰、付博、墨东博、李伟数学师资：李永乐、王式安、李正元、赵达夫、铁军、苏德况培训体系：92模式：面授、光盘、网络、图书综合得分：93综合评价：海文的师资总体来说比较强大，所有考研机构都会说自己机构的老师是命题组老师阅卷组老师，但海文的老师基本上都是有真正学术背景的，比如王海军是中国人民大学的教授，郭继承是中国政法大学的博士后硕士生导师，吴耀武是西安外国语大学国际学院副院长，这些大大提高了海文整体的实力；海文是以钻石卡为主的机构，因为其创始的钻石卡系统曾风靡全国，故风险投资公司红杉资本和联想先后在08年和11年注资了4000万美金，帮助海文更好的升级钻石卡系统，到2010年海文的钻石卡成功率就已经趋近100%，并且鲁豫有约和人民日报相继都报道过海文钻石卡学员。
2.文都品牌实力：92简评：1996年成立，办学11年，全国120个直属及加盟分校（包含区县市）。
最新09考研高等数学强化讲义(第六章)全 (2)
09考研高等数学强化讲义(第六章)全(2)第六章多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性（甲）内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设«Skip Record If...»是平面上的一个点集，如果对每个点«Skip Record If...»，按照某一对应规则«Skip Record If...»，变量«Skip Record If...»都有一个值与之对应，则称«Skip Record If...»是变量«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»的二元函数，记以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»称为定义域。
二元函数«Skip Record If...»的图形为空间一块曲面，它在«Skip Record If...»平面上的投影域就是定义域«Skip Record If...»。
例如«Skip Record If...»，«Skip Record If...»二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域«Skip Record If...»就是«Skip Record If...»平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与«Skip Record If...»元函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»空间一个点集，称为三元函数«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»元函数。
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2011年考研数学强化班讲义参考答案（李铮）(上册)第一讲 §1、1.[,1]a a --;2.(3,2)(2,1)(1,1]--⋃--⋃-;213.(221)8x x +-22,14.1 5.(())2,10 6.2sin ,0x e x f g x x x x x ⎧<-⎪=-≤≤⎨⎪>⎩周期为；；奇，偶，偶，偶§2、1241111.2;2.1;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.1;33922e e e e ---332322211.(1);(4);(5);(6);(7);(8);62434x x x x xx x121412.;13.;14.;15.;16.(0)1,(0)0,(0);4123f f f ππ'''=-== 12117.2,1;18.,,336a b A B C ==-==-=§3、21.2,;2.3.0,1;4.0(),2();5.0(),1()a b a b x I x II x II x I π==-====±==-连续；第二讲 §1、111.;2.,;3.0,1;4.1,128a b x x a b π======-23cos ,15.();6.1;1111247.(0),(0),(0);8.2()x x f x y x x e ey y y x e e eϕ<⎧'==+⎨>⎩--'''=== 1222229.1;10.0;11.2;12.x d y dy d uy t e dt dt dt-++=+= ; (2)(21)13.(0)0,(0)(1)(2)!k k k f f k +==-(2)(21)1214.(0)0,(0)(1)[(21)!!]k k k f f k +-==--15.0,1,2ααα>>>§3、121.();2.();3.(2),2;4.0,1;5.3;B D y e x y x x x π=-=-==±8.0,k k ≤=第三讲 §1、222212ln 1.2;2.sin ;3.2x xxx e e c x c x c ----+-++ ;4.ln(1)ln(1)x x x e e x e c --++-++ ；5.c -++234116.;7.;11x x dx dx x x±±++⎰⎰28.ln(242)arcsin 2(1)xx x x c x -+-+-+-2ln(1)11119.ln ,1412(1)t t x c t t t t x+-+--+=-++其中 110.(ln sin cos )2x x x c +++ ；211.224242arctan 2x x xe x e e c -----+212.x xec --+13.tan 2xxe c + ;arctan 21114.21x x e c x-++§2、1. 12ln 24-+π; 2. 4π ; 3.122- ;4.2ln 2x5.2ln 8π;6. 4π ;8.244166sin )(ππ-+=x x x f ;9. 22ln )(ex x x f -= 3810.2;11.;12.332ππ-§3、1. )32ln(2++π; 2. ; 3.π/2§4、1. (1)(1,)e ;(2)12e-( 2e );(3)262e ππ-( 26e π)(4) 222111212ln ln 222111e e e ++-+++;2.2,3,3a b c ==-=；3.1[23ln(23)]8-+;4.52π;5.5129,1)2(),32(54)1(4221==-=a a V a V ππ 第四讲一、 1. -3/2 ; 2. 22 ; 3. 30 ; 4. {}2,1,231-± ; 5. /3 ;6. /3 ;二、 1. (1,2,3) ; 2. ⎩⎨⎧=+--=++-072083z y x z y x ; 3. 5/4 ;4. ⎩⎨⎧=+-=-010z x z y ;5. ⎩⎨⎧=-++=-+-026912100143z y x z y x ; 6.x-y-z -3=0（下册）第五讲1.32.343.(2ln 21);4.;dx dy z -++；；(22)(23)5.14x g dx y g dydz g ''-++='+ 21222111122212222216.11[()2]2[()2]z f y f x yz x x f f f xy yf y f f xy x y y y y y∂''=+∂∂''''''''''=-+-+⋅++-+⋅∂∂1117.(0,0),(0,0),(0,0);339x y xy z z z ==-=-8.x t t x y t t F f F f dy dx F f F ''''⋅-⋅=-'''⋅+;9. z uz u =∂∂;12.min 1f e =-;13.min max 2,3f f =-=. 偏导数在几何上的应用1. a =-5,b =-2 ;2.(C);min 113.(,,2),822f = 4. 22(1)(,)(2)(2)(2)(5,5),(5,5)g x y y x x y =-+--- 第六讲1.122002(1)(,),(2)(,)xyy x dx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰;2. 221220010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dx -+⎰⎰⎰⎰; 3. 2222111142400111(,)(,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ----+-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. e e 2183- ; 5.2121-+-e ;6.21(1)2a e -;7. (A) ; 8. -2/5 ; 9.458;10.18;11.19ln 24+;12. 5/3+/2 ; 13.2;2π-14. 2224(,)1()33f x y x y ππ=---- ;18.2(0)3f π';19. 2a 2第七讲一、1. (D) ; 2. (C) ;12623.;4.()cy x ye x y y c +-==+;5. cx xy=2sin ; 6. 3sin arcsin 3y x x y c x ++= ;7. )12(2+x e x; 8.2212y x y += ; 9. 036,v kl x l y ==时当 ;10. 222ln 21arctan ay x x y +=- 二、1．21111)1(1c e c x c x c +-+ ; 2. 2ln x +2-2ln2 ;3. 342+=-x y ;4. y =e x; 三、1. (1) x e c bx ax x y 322*)(++= ;(2) x e a x b x a x c x b x a y 3221121*)cos sin ()(+++++= ;2.xx e c x e c y x x +-+-=-)()(21 ; 3.x e x y y y )12(2+-=-'-'' ;4.440y y y y ''''''-+-= ;5. x e e x x 2sin 545151+-- ;6. ππ++11e ; 7. 1)2sin 21cos (=--y x x8.3131ln 33+-=x x x y ;9.221xc x c y += ;10.xc x c x y 212++=. 第八讲 §2、1.(C);§3、1. (1) R=3 , (2)(-2,4) ; 2. 1e -1243.(1),(,)333R R ==4. 102[(1)()1](1),(0,2)3n n nn x +∞+=---∑;115.(2)42nn n n x ∞=+∑6.210(1)4112,[,];421224n n n n x n ππ+∞+=---+∑;7. [-1,1],222arctan ln(1)x x x x -+ ;8.5ln 2548-; 9.19-;§4、1. 54 ; 2. 2(2)x π-- ; 3. 34;4.112(1)sin ,(0,1),4n n n x x x n πππ-∞=-=∈∑5. 212221(1)14cos 1,[0,],312n n nx x x n πππ-∞=--+=-∈∑三重积分1.712π; 2.82131560π-;3.2224()15abc a b c π+- ;4.2563π; 5.(0)f π';第九讲§1、1. 12a ;2.37a π;3.22213-（）;§2、1.103;2.(1)0,(2)2π-;3.π; 4. 2arctan 22-π ;§3、1. 643π; 2. (C) ; 4.32π;§4、1. 215; 2. 8; 3. 18 ; 4. 2;5. 2Rr2（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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