数值分析报告作业-三次样条插值

数值计算方法作业

实验4.3 三次样条差值函数

实验目的：

掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。

实验函数:

dt e

x f x

t ?∞

--

=

2

2

21

)(π

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x) 0.5000 0.5398 0.5793

0.6179

0.7554

求f(0.13)和f(0.36)的近似值

实验内容：

（1） 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； （2） 计算各插值节点的弯矩值；

（3） 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线

比较插值结果。

实验4.5 三次样条差值函数的收敛性

实验目的：

多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。

实验内容：

按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

实验要求：

（1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情

况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；

（2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考

实验名称 实验 4.3三次样条插值函数（P126）

4.5三次样条插值函数的收敛性（P127） 实验时间

姓名

班级

学号

成绩

虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一

段数据如下： k x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k y 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 k y ' 0.8

0.2

算法描述：

拉格朗日插值：

错误！未找到引用源。

其中错误！未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：()

∏

≠=--=n

i j j j i j

i x x x x x l 0)

()(

牛顿插值：

)

)...()(](,...,,[....))(0](,,[)0](,[)()(1102101210100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N

其中?????

??

??

??????

--=--=

--=

-)/(]),...,[],...,[(]...,[..],[],[],,[)()(],[01102110x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n i k j i k j k j i j

i j i j i

三样条插值：

所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a

],[),6()6(

]6

)

([6)(6)()(111113131i i i

i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x h y M h M h h y x M M h h y y h x x Mi h x x M x S -------∈-+-+---+-+-=

式中Mi=)(i x S ''.

因此，只要确定了Mi 的值，就确定了整个表达式，Mi 的计算方法如下：

令???????????=---+=+=+=+--++++++],,[6)(61111111

11

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i

x x x f h y y h y y h h d h h h h h h λμ

则Mi 满足如下n-1个方程：

1,...2,1,211-==+++-n i d M M M i i i i i i λμ

常用的边界条件有如下几类：

（1） 给定区间两端点的斜率m 0,m n ,即n n n m y x S m y x S ='='='=')(,)(00

0 （2） 给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即n n n M y x S M y x S =''=''=''='')(,)(000 （3） 假设y=f(x)是以b-a 为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S （x ）

也为周期函数，对S （x ）加上周期条件2,1,0),0()0()(0)(=-=+p x S x S n p p

对于第一类边界条件有???

????

--=+--=+--)(62)(6211001110n n n n n n i

h y y m n h M M m h

y y h M M

对于第二类边界条件有???=+=+-n n n n d M M d M M 221

100μλ

其中

n n n n n

n

n M u x x f m h d M m x x f h d )1(2]),[(6)1(2)],[(610000101

0-+-=

-+-=-μλλ

那么解就可以为

?????????

???????????=?????????????????????????????? ??----n n n n n n n d d d d d M M M M M 1210121011...2...............2............................1..2.1......0..2μλμλμλ 对于第三类边界条件，)0()0(,,000-=+==n n n x S x S M M y y ，由此推得

0010012d M M M n =-++μλ，其中

]),1[],[(6

,,101010110n n n

n n n x x f x x f h h d h h h h h h --+=+=+=

μλ，

那么解就可以为： ???????????

??

???????=?????????????????????????????? ??-------1221012101221100...2.............2..............................2..,,.......,..22

n n n n n n n d d d d d M M M M M n μλλμλμμλ 程序代码： 1拉格朗日插值函数

Lang.m

function f=lang(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标 %xi 插值点处的横坐标

%f 求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X); f=0; for i=1:n l=1; for j=1:i-1

l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ; for j=i+1:n

l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j)); end ;%拉格朗日基函数 f=f+l*Y(i); end

fprintf('%d\n',f) return

2 牛顿插值函数

newton.m

function f=newton(X,Y,xi) %X 为已知数据的横坐标 %Y 为已知数据的纵坐标 %xi 插值点处的横坐标

%f 求得的拉格朗日插值多项式的值 n=length(X);

newt=[X',Y'];

%计算差商表

for j=2:n

for i=n:-1:1

if i>=j

Y(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));

else Y(i)=0;

end

end

newt=[newt,Y'];

end

%计算牛顿插值

f=newt(1,2);

for i=2:n

z=1;

for k=1:i-1

z=(xi-X(k))*z;

end

f=f+newt(i-1,i)*z;

end

fprintf('%d\n',f)

return

3三次样条插值第一类边界条件

Threch.m

function S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)

% X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%S求得的三次样条插值函数的值

%dy0左端点处的一阶导数

% dyn右端点处的一阶导数

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:n%求函数的一阶差商

h(i)=X(i+1)-X(i);

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end

for i=2:n%求函数的二阶差商

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end

d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);

d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%?赋初值

A=zeros(n+1,n+1);

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end

A(1,2)=1;

A(n+1,n)=1;

for i=1:n+1

A(i,i)=2;

end

for i=2:n

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\d;

syms x;

for i=1:n

Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))...

+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);

digits(4);

Sx(i)=vpa(Sx(i));%三样条插值函数表达式

end

for i=1:n

disp('S(x)=');

fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));

end

for i=1:n

if xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)

S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M (i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;

end

end

disp('xi S');

fprintf('%d,%d\n',xi,S);

return

4 三次样条插值第二类边界条件

Threch2.m

function [Sx]=Threch2(X,Y,d2y0,d2yn,xi)

X为已知数据的横坐标

%Y为已知数据的纵坐标

%xi插值点处的横坐标

%S求得的三次样条插值函数的值

%d2y0左端点处的二阶导数

% d2yn右端点处的二阶导数

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:n%求一阶差商

h(i)=X(i+1)-X(i);

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end

for i=2:n%求二阶差商

f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end

d(1)=2*d2y0;

d(n+1)=2*d2yn;%赋初值

A=zeros(n+1,n+1);

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end

A(1,2)=0;

A(n+1,n)=0;

for i=1:n+1

A(i,i)=2;

end

for i=2:n

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\d;

syms x;

for i=1:n

Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))... +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);

digits(4);

Sx(i)=vpa(Sx(i));

end

for i=1:n

disp('S(x)=');

fprintf('%s (%d,%d)\n',char(Sx(i)),X(i),X(i+1));

end

for i=1:n

if xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)

S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2 +(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;

end

end

disp('xi S');

fprintf('%d,%d\n',xi,S);

return

5插值节点处的插值结果

main3.m

clear

clc

X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];

Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];

xi=0.13;

%xi=0.36;

disp('xi=0.13');

%disp('xi=0.36');

disp('拉格朗日插值结果');

lang(X,Y,xi);

disp('牛顿插值结果');

newton(X,Y,xi);

disp('三次样条第一类边界条件插值结果');

Threch1(X,Y,0.40,0.36,xi);%0.4,0.36分别为两端点处的一阶导数

disp('三次样条第二类边界条件插值结果');

Threch2(X,Y,0,-0.136,xi);%0,-0.136分别为两端点处的二阶导数

6将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上

main2.m

clear

clc

X=[0.0,0.1,0.2,0.3,0.4];

Y=[0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554];

a=linspace(0,0.4,21);

NUM=21;

L=zeros(1,NUM);

N=zeros(1,NUM);

S=zeros(1,NUM);

B=zeros(1,NUM);

for i=1:NUM

xi=a(i);

L(i)=lang(X,Y,xi);% 拉格朗日插值

N(i)=newton(X,Y,xi);%牛顿插值

B(i)=normcdf(xi,0,1);%原函数

S(i)=Threch1(X,Y,0.4,0.36,xi);%三次样条函数第一类边界条件

end

plot(a,B,'--r');

hold on;

plot(a,L,'b');

hold on;

plot(a,N,'r');

hold on;

plot(a,S,'r+');

hold on;

legend('原函数','拉格朗日插值','牛顿插值','三次样条插值',2);

hold off

7增加插值节点观察误差变化

main4.m

clear;

clc;

N=5;

%4.5第一问

Ini=zeros(1,1001);

a=linspace(-1,1,1001);

Ini=1./(1+25*a.^2);

for i=1:3 %节点数量变化次数

N=2*N;

t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点

ft=1./(1+25*t.^2);%插值节点函数值

val=linspace(-1,1,101);

for j=1:101

L(j)=lang(t,ft,val(j));

S(j)=Threch1(t,ft,0.074,-0.074,val(j));%三样条第一类边界条件插值end

plot(a,Ini,'k')%原函数图象

hold on

plot(val,L,'r')%拉格朗日插值函数图像

hold on

plot(val,S,'b')%三次样条插值函数图像

str=sprintf('插值节点为%d时的插值效果',N);

title(str);

legend('原函数','拉格朗日插值','三次样条插值');%显示图例

hold off

figure

end

8车门曲线

main5.m

clear

clc

X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

Y=[0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29]; dy0=0.8;

dyn=0.2;

n=length(X)-1;

d=zeros(n+1,1);

h=zeros(1,n-1);

f1=zeros(1,n-1);

f2=zeros(1,n-2);

for i=1:nh(i)=X(i+1)-X(i);

f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

end

for i=2:nf2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

d(i)=6*f2(i);

end

d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);

d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1); A=zeros(n+1,n+1);

B=zeros(1,n-1);

C=zeros(1,n-1);

for i=1:n-1

B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

C(i)=1-B(i);

end

A(1,2)=1;

A(n+1,n)=1;

for i=1:n+1

A(i,i)=2;

end

for i=2:n

A(i,i-1)=B(i-1);

A(i,i+1)=C(i-1);

end

M=A\d;

x=zeros(1,n);

S=zeros(1,n);

for i=1:n

x(i)=X(i)+0.5;

S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x(i)-X(i))+M(i)/2*(x(i)-X(i ))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x(i)-X(i))^3;

end

plot(X,Y,'k'); hold on;

plot(x,S,'o');

title('三次样条插值效果图');

legend('已知插值节点','三次样条插值');

hold off

实验结果：

4.3

1计算插值节点处的函数值

xi=0.13时

Xi=0.36时

2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上

4.5.1增加插值节点观察误差变化

4.5.2 车门曲线