数值分析实验报告-插值、三次样条Word版
数值分析实验报告-插值、三次样条
实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2． 编写相关程序并进行实验；3． 调试程序，得到最终结果；4． 分析解释实验结果；5． 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。
实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p ;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
(精品)数值分析课程设计-三次样条插值
《数值分析课程设计-三次样条插值》报告掌握三次样条插值函数的构造方法，体会三次样条插值函数对被逼近函数的近似。
三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。
以第1 边界条件为例，用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。
通过Matlab 编制三次样条函数的通用程序，可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。
引言分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。
利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。
故给出分段三次样条插值的构造过程算法步骤，利用Matlab软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。
三次样条函数的定义及特征定义：设[a,b] 上有插值节点，a＝x1＜x2<…xn＝b，对应函数值为y1,y2,⋯yn。
若函数S(x) 满足S(xj) ＝ yj （ j ＝ 1,2, ⋯,n ）， S(x) 在[xj,xj+1] （ j ＝1,2,⋯,n-1）上都是不高于三的多项式（为了与其对应j 从1 开始，在Matlab 中元素脚标从1 开始）。
当S(x) 在 [a,b] 具有二阶连续导数。
则称S(x) 为三次样条插值函数。
要求S(x) 只需在每个子区间[xj,xj+1] 上确定 1 个三次多项式，设为：Sj(x)＝ajx3＋bjx2＋cjx＋dj, (j＝1,2,⋯,n-1) (1)其中aj,bj,cj,dj 待定，并要使它满足：S(xj)＝yj, S(xj-0)=S(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (2)S'(xj-0)=S'(xj＋0), S"(xj-0)=S"(xj＋0), (j=2,⋯,n-1) (3)式(2)、(3)共给出n＋3(n-2)＝4n-6 个条件，需要待定4(n-1) 个系数，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个边界条件。
数值分析课程设计报告书三次样条插值的三弯矩法
数值分析课程设计报告书院系名称：学生姓名：专业名称：班级：时间：实验一 三次样条插值的三弯矩法一、实验目的已知数据i x ,()i i y f x =,0,,i n =及边界条件()n j x y j j 1,0),(2=,求)(x f 的三次样条插值函数)(x S .要求输出用追赶法解出的弯矩向量0[,,]n M M M =及()(),0,,,0,1,2k i S t i m k ==的值.画出)(x S y =的图形,图形中描出插值点(,)i i x y 及(,())i i t S t 分别用‘o ’和‘*’标记.二、实验原理1.用追赶法求解第二类边界条件的三弯矩方程:0010012111121111[,,]21[,,]26[,,]212[,,]n n n n n n n n n n f x x x M f x x x M M f x x x M f x x x μλμλ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中1111,,j jj j j j j j j j j h h h x x h h h h μλ-+--===-++.2.得出样条函数表达式:332211111()()()()()6666j j j j j j j j j j j j j j j jx x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h +++++----=++-+-. 3.计算(k)(),0,,,0,1,2i S t i m k ==.三、实验结果所用数据:x=[-2.223,-1.987,-1.8465,-1.292,-1.2266,-1.1056,-0.8662,-0.6594,-0.2671,-0.0452,0.5385,1.2564,1.4398,1.5415,1.7646,1.9678,2.236];y=[0.83995,1.1696,1.3141,1.6992,1.7312,1.7847,1.8708,1.9262,1.9881,1.9997,1.9511,1.7169,1.618,1.5543,1.3871,1.191,0.81662];d2s1= -4.5000;d2sn= -4.8967; %第二种边界条件t=[-2.223,-1.9443,-1.6656,-1.3869,-1.1083,-0.82956,-0.55088,-0.27219,0.0065,0.28519,0.56387,0.84256,1.1212,1.3999,1.6786,2.236]; ;(指定计算点)计算结果:-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.50.811.21.41.61.82四、实验分析通过实验结果我们，知道三弯矩法求出满足初始条件的三次样条函数，与其他插值函数的构造相比，三次样条插值法的计算量要小得多。
数值分析实验报告
数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。
在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。
数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。
二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。
（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。
（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。
（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。
三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值分析实验报告(插值法)
武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。
但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。
对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。
由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。
数值分析插值实验报告
数值分析插值实验报告引言插值是数值分析中常用的一种技术，通过已知点的函数值来推测未知点的函数值。
在实际应用中，我们经常需要根据有限的数据点来估计连续函数的值，这时插值就起到了关键作用。
本实验旨在通过插值方法来推测未知数据点的函数值，并对比不同插值方法的精度和效果。
实验目的1.了解插值的基本概念和方法；2.掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等；3.对比不同插值方法的精度和效果，分析其优缺点。
实验步骤1.数据采集：选取一组已知数据点，作为插值的基础。
这些数据点可以是从实际场景中测量得到的，也可以是人为设定的。
2.插值方法选择：根据实验要求和数据特点，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
3.插值计算：根据选定的插值方法，利用已知数据点进行计算，并得到插值结果。
4.结果分析：比较插值结果与实际数据的差异，并评估插值方法的精度和效果。
可以使用误差分析等方法进行评估。
5.优化调整：根据实验结果和需求，对插值方法进行优化调整，以提高插值的准确性和可靠性。
实验结果与讨论通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并进行了对比和分析。
根据实验数据和误差分析，我们可以得出以下结论：1.拉格朗日插值方法具有较高的插值精度，在一定程度上能够准确地模拟实际数据。
2.牛顿插值方法相对于拉格朗日插值方法而言，对于大量数据点的计算速度更快，但在少量数据点的情况下，两者的精度差异较小。
3.分段线性插值方法适用于数据点较为离散的情况，能够提供较为平滑的插值结果。
4.插值方法的选择应根据具体需求和数据特点进行，没有一种插值方法适用于所有情况。
实验总结通过本次实验，我们对插值方法有了更深入的了解，并掌握了常见的插值方法的原理和应用。
实验结果表明，插值方法在数值分析中起到了重要的作用，能够准确地推测未知点的函数值。
然而，在实际应用中，我们还需要考虑数据的特点、插值方法的适用性以及计算效率等因素。
数值分析实验报告1
p
得到m=(00)T
即M0=0 ;M1=;M2=;M3=;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S(x)=
接着，在Command Window里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[ ];
y=[ ];
plot(x,y)
hold on
for i=1:1:5
y(i)= *(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)*(x(i)
Pn=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+ f[x0,x1,x2](x-x0) (x-x1)+···+ f[x0,x1，···xn](x-x0) ···(x-xn-1)
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
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实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2． 编写相关程序并进行实验；3． 调试程序，得到最终结果；4． 分析解释实验结果；5． 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。
实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p ;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0 202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形从图形中我们可以明显的观察出插值函数在两端点处发生了剧烈的波动，产生了极大的误差，即龙格现象，当n=20时，这一现象将更加明显。
1.2 当n=20时：对n=10的代码进行修改就可以得到n=20时的代码。
将“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。
运行程序，我们得到n=20时的牛顿插值多项式，结果为：P20(x)= 260188.0*x^20 - 1.0121e6*x^18 + 2.6193e-12*x^17 + 1.6392e6*x^16 + 2.248e-11*x^15 - 1.4429e6*x^14 - 4.6331e-11*x^13 + 757299.0*x^12 + 1.7687e-11*x^11 - 245255.0*x^10 + 2.1019e-11*x^9 + 49318.0*x^8 + 3.5903e-12*x^7 - 6119.2*x^6 - 1.5935e-12*x^5 + 470.85*x^4 + 1.3597e-14*x^3 - 24.143*x^2 - 1.738e-14*x + 1.0同样的，这里得到了该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.2）。
Fig.2牛顿插值多项式（n=20）函数和原函数图形当n=20时，端点处发生了更加剧烈的震荡。
表明随着分段不断增加，牛顿插值多项式与原函数的误差不但没有减少，反而变得更大了。
（2）三次样条2.1 当n=10时：在Matlab下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);syms xm1=subs(diff(1/(1+25*x^2)),-1);m2=subs(diff(1/(1+25*x^2)),1);n=length(x1);syms a b h f dfor i=1:n-1h(i)=x1(i+1)-x1(i);f(i)=(y1(i+1)-y1(i))/(x1(i+1)-x1(i));enda(n)=1;b(1)=1;for i=2:n-1a(i)=h(i-1)/(h(i-1)+h(i));b(i)=h(i)/(h(i-1)+h(i));endd(1)=6/h(1)*(f(1)-m1);d(n)=6/h(n-1)*(m2-f(n-1));for i=2:n-1d(i)=6*(f(i)-f(i-1))/(h(i-1)+h(i));endD=d';A=2.*eye(n);for i=1:n-1A(i,i+1)=b(i);A(i+1,i)=a(i+1);endM=A^-1*D;for i=1:n-1s(i)=M(i)*(x1(i+1)-x)^3/h(i)/6+M(i+1)*(x-x1(i))^3/h(i)/6+(y1(i)-M(i)*h(i)^2/6)*(x1( i+1)-x)/h(i)+(y1(i+1)-M(i+1)*h(i)^2/6)*(x-x1(i))/h(i);endS=vpa(expand(s.'),5);for i=1:n-1x0=-1-(2/(n-1))+(2/(n-1))*i:0.001:-1+(2/(n-1))*i;y0=subs(s(i),x,x0);plot(x0,y0)hold onendy2=subs(1/(1+25*x^2),x,-1:0.001:1);plot(-1:0.001:1,y2,'r')grid onxlabel('x')ylabel('y')S即为我们所求的三次样条，其结果为：S10(x) =0.08225*x^3+0.36953*x^2+0.56627*x+0.31745[-1,-0.8]0.96279*x^3+2.4828*x^2+2.2569*x+0.76829[-0.8,-0.6]0.81773*x^3+2.2217*x^2+2.1002*x+0.73696[-0.6,-0.4]13.413*x^3+17.336*x^2+8.1461*x+1.5431[-0.4,-0.2]-54.471*x^3-23.394*x^2-1.8741e-17*x+1.0[-0.2,0]54.471*x^3-23.394*x^2+1.9683e-17*x+1.0[0,0.2]-13.413*x^3+17.336*x^2-8.1461*x+1.5431[0.2,0.4]-0.81773*x^3+2.2217*x^2-2.1002*x+0.73696[0.4,0.6]-0.96279*x^3+2.4828*x^2-2.2569*x+0.76829[0.6,0.8]-0.08225*x^3+0.36953*x^2-0.56627*x+0.31745[0.8,1]并且这里可以得到该三次样条的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.3）。
Fig.3 三次样条（n=10）函数和原函数图形从图形我们可以看出，三次样条图形和原函数图形非常接近，误差相对较小。
2.2 当n=20时：同样的，将上面代码中的“x1=-1:0.2:1;”改为“x1=-1:0.1:1;”即可。
运行程序，我们可以得到n=20时的三次样条，其结果为S20(x) =0.16461*x^3+0.59746*x^2+0.77505*x+0.38066[-1,-0.9]0.27191*x^3+0.88717*x^2+1.0358*x+0.45888[-0.9,-0.8]0.46379*x^3+1.3477*x^2+1.4042*x+0.55712[-0.8,-0.7]0.86962*x^3+2.1999*x^2+2.0008*x+0.69632[-0.7,-0.6]1.5804*x^3+3.4792*x^2+2.7683*x+0.84984[-0.6,-0.5]3.5442*x^3+6.425*x^2+4.2412*x+1.0953[-0.5,-0.4]5.7284*x^3+9.046*x^2+5.2896*x+1.2351[-0.4,-0.3]12.534*x^3+15.171*x^2+7.1273*x+1.4189[-0.3,-0.2]-32.789*x^3-12.023*x^2+1.6884*x+1.0563[-0.2,-0.1]-89.07*x^3-28.907*x^2+5.1067e-17*x+1.0[-0.1,0]89.07*x^3-28.907*x^2-3.9148e-17*x+1.0[0,0.1]32.789*x^3-12.023*x^2-1.6884*x+1.0563[0.1,0.2]-12.534*x^3+15.171*x^2-7.1273*x+1.4189[0.2,0.3]-5.7284*x^3+9.046*x^2-5.2896*x+1.2351[0.3,0.4]-3.5442*x^3+6.425*x^2-4.2412*x+1.0953[0.4,0.5]-1.5804*x^3+3.4792*x^2-2.7683*x+0.84984[0.5,0.6]-0.86962*x^3+2.1999*x^2-2.0008*x+0.69632[0.6,0.7]-0.46379*x^3+1.3477*x^2-1.4042*x+0.55712[0.7,0.8]-0.27191*x^3+0.88717*x^2-1.0358*x+0.45888[0.8,0.9]-0.16461*x^3+0.59746*x^2-0.77505*x+0.38066[0.9,1.0]并且这里也能得到该三次样条的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.4）。
Fig.4 三次样条（n=20）函数和原函数图形当分段数达到20时，三次样条的图像与原函数基本重合，表明随着分段数的增加，三次样条的误差也不断减少。
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