高一下学期数学期末考试模拟试题(文科)(1)

2010—2011学年度武汉中学高一下学期数学期末考试模拟试题（文科）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设R U =,{}022>-=x x x M ,则（ ）A.[]2,0B.()2,0C.()()+∞∞-,20,D.(][)+∞∞-,20,答案：选A2．在平面直角坐标系中，不等式组,040⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为（ ）A ．223+B ．－223+C ．－5D ．1答案：D 解析：如图，∵AC AB ⊥,ABC ∆ 是等腰直角三角形，平面区域面积是()6469412=--+⇒=⇒=a a BC BC ， 1=a ，5-=a （舍去），所以选D ． 3. 已知向量,,,,且与共线,那么A.1B.2C.3D.4 答案：D4．在下列区间中，函数()34-+=x e x f x的零点所在的区间为A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)24答案：选C解析：因为=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛24141e f 0164141<-e ，=-=⎪⎭⎫⎝⎛12121e f 01>-e ，02141<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，所以函数()34-+=x e x f x 的零点所在的区间为⎪⎭⎫⎝⎛21,41， 5．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为 （ ）A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x y2题图C ．)324sin(π-=x y D ．)3sin(π+=x y答案：选B 6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A ．1升B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 7．已知长度为2的线段AB 在圆O 的圆周上，O 为圆心，则=∙ A ．1 B ．2 C ．4 D ．和动圆O 的半径有关 B.解析：取AB 中点H ，连结OH ，则AOAB AOAH OAB 2cos ==∠,2222==⋅⋅=∠=∙AB AOAB AO AB OAB AO AB 8. 已知函数()x f y =的图象如图右图，则以下四个函数()x f y -=，()x f y -=，()x f y = 与()x f y =的图象分别和下面四个图的正确对应关系是 （ ）A.①②④③B.①②③④C. ④③②①D.④③①② 答案：选A9．设0,0>>y x ，且xy x y -+=()1，则OAB第7题图A ．x y +≥+221() B.xy ≤+21C.)12(+≤+y xD.1)xy =答案：选.A10．已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ） A.3 BCD . 1 答案：选C解析：过D 作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角，AC l ⊥得AC ⊥平面β，进而AC DE ⊥， 又,BC DE BCAC C ⊥=，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离． 在Rt BCD ∆中，利用等面积法得BD DC DE BC ⨯===二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为 ． 答案：11012．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 答案：413题图14题图13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．答案：110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤； 0.6 14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱81=AA ， 若侧面B B AA 11水平放置时，液面恰好过AC ,BC ，11C A ,11C B 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为 ．答案：615．函数()xax x f -=2的定义域为(]1,0（a 为实数）.若函数()x f y =在定义域上是减函数，求的取值范围 ． 答案：(]2,-∞-解析：若函数()x f y =在定义域上是减函数，则任取(]1,0,21∈x x 且21x x <都有()()21x f x f > 恒成立， 即()022121>⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-x x a x x ，只要212x x a -<即可，由(]1,0,21∈x x ，故()0,2221-∈-x x ，所以2-≤a ，故a 的取值范围是(]2,-∞-．三．解答题：本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知集合{}101032≤--=x x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若B B A = ，求实数m 的取值范围．答案 m ∈(－∞，3]解析∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则{ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，m －1≤5.解得2≤m ≤3.空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．综上可知，m ∈(－∞，3]．17．已知函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎪⎭⎫⎝⎛+-=2,6,14sin 22cos 32πππx x x x f ．（Ⅰ）求()x f 的最大值，并求出当()x f 取得最大值时x 的取值； （Ⅱ）求()x f 的单调递增区间．18. （本小题满分12分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACC 1A ；（Ⅱ）若二面角C 1-BD-C 的大小为60°， 求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值.解析：（Ⅰ）∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱∴CC 1⊥平面ABCD ∴BD ⊥CC 1∴ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC又∵AC ，CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1=C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1（Ⅱ）设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O 。

∵CC 1⊥平面ABCD 、BD ⊥AC 。

∴BD ⊥C 1O ∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD-C 的平面角 ∴∠C 1OC=60° 连接A 1B ∵A 1C 1∥AC∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成角.设BC=a,则CO =a 22 a CO CC 2660tan 01=⨯=a BC B A 21011==，a C A 211=在△A 1BC 1中，由余弦定理得∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55. ABCD C 1A 1B 1D 1ABCDC 1A 1B 1D 1O19．（本小题满分14分）已知圆C 经过点()0,3-A ，圆心落在x 轴上（圆心与坐标原点不重合），且与直线0323:1=-+y x l 相切．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）求直线x y = 被圆C 所截得 的弦长；（Ⅲ）2l 是与1l 垂直并且在y 轴上的截距为b 的直线，若2l 与圆C 有两个不同的交点，求b 的取值范围．解析：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为()0,a C ，半径为r ，则由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.3132,13r a a 解得34-=a 或0=a 舍去），33=r ． ∴ 圆C 的标准方程为()273422=++y x ．………………………… 5分（Ⅱ）取所截弦的中点，并和圆心相连结，则该线段就是圆心到弦所在直线的距离（弦心距）．再连结圆心和弦的一个端点（所连线段即为一条半径），易知由弦心距、半径和弦的一半可构成一个直角三角形．∵ 由点到直线的距离公式可求得弦心距为621134=+-，∴ 由勾股定理可求得弦的一半的长度为()362272=-．∴ 所求的弦长为32． ………………………………………………9分 （Ⅲ）易知直线2l 的方程为b x y +=3．………………………10分∵2l 与圆C 有两个不同的交点， ∴ 圆心到2l 的距离小于半径32．∴()3331343<++-⨯b． 整理得3612<-b ．……………………12分解得b 的取值范围为36123612+<<-b ．…………………… 14分20．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。

（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解析：（Ⅰ）由题意， 每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤，从甲地到乙地所用的时间为300x小时， 则从甲地到乙地的运输成本xx x y 3008003005.02⋅+⋅=，(050)x <≤故所求的函数为230030016000.5800150()y x x x x x=⋅+⋅=+，(050)x <≤．（Ⅱ）由（１）160015015012000y x x ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1600x x=，即40x =时取等号．…11分 故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2nn na b =的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，==解得11a =，故21n a n =-；（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， 12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯， ②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-．。