无锡一中07-08上期中高三数学
江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
18．已知函数
f
(x)
=
2ax + b x2 + 4
是定义在 [ -2,2]
上的奇函数，且
f
(1)
=
1 5
.
(1)求 a ， b 的值； (2)判断并证明函数 f (x) 在定义域内的单调性； (3)若 f (t2 - 3) + f (1- t) < 0 ，求实数 t 的取值范围. 19．已知函数 f (x) = -x2 + 2x | x - a | +1(a Î R) . (1)当 a = -2 时，求函数 f (x) 的单调区间（不需证明）；
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 C
B
C
D
B
A
A
A
题号 11
答案 BCD
1．C 【分析】先确定集合 B ，再求集合的交集.
【详解】由 x2 - 4 > 0 Þ x < -2 或 x > 2 ，所以 B = (-¥, -2) U (2, +¥) .
9
10
BD
AD
所以 A I B = (2,3].
江苏省无锡市 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ } 1．已知集合 A = {x - 2 £ x £ 3} ， B = x x2 - 4 > 0 ，则 A I B = （ ）
故选：C 2．B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可.
【详解】令 f (2x -1) = 4x +1 = 5 ，解得 x = 1 ，
无锡一中2014届高三上学期期初考试数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置） 1．已知集合{1,2,3},{2,3,5}A B ==，则A B = ▲ ．2．为了调查各地域的城市 2.5PM 值的情况，把36个城市按地域分成甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的城市数分别为6,12,18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ ． 3．复数12ii+（i 为虚数单位）的实部为 ▲ ． 4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ▲ ．5．根据如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出y 的值为▲ ．6．已知函数sin()y x ωϕ=+（0,02πωϕ><≤）的部分图象如图所示，则ϕ的值为 ▲ ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m = ▲ ．8．若单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，向量c 满足||1c a b --= ，则||c的取值范围为 ▲ ．9．已知,αβ为平面，,m n 为直线，下列命题：① 若//,//m n n α，则//m α； ② 若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； ③ 若,//,//n m m αβαβ= ，则//m n ； ④ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥． 其中是真命题的有 ▲ ．（填写所有正确命题的序号）10．设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则实数m的取值范围为 ▲ ． 11．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积：用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面， P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得1PA cm =，则球的表面积等于 ▲ 2cm12．在平面直角坐标系xOy 中，A 是曲线31:1(0)C y ax a =+>与曲线2225:2C x y +=的一个公共点，若曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．13．如图，12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ▲ ．14．已知函数 421()421x x x x k f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，不等式123()()()f x f x f x +>恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 的中点． （1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，求证：1AD DC ⊥． 16．（本小题满分14分）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，（1）证明：cos cos a B b A c +=；（2）若222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---，求角B 的大小．17．（本小题满分14分） 如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了,A B 两个报名点，满足,,A B C 中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将,A B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于,A B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛．据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设CDA α∠=，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元．（1）写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？ 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A，离心率为3，若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且0AP AQ ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AP 的斜率为1，求直线PQ 的方程； （3）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．19．（本小题满分16分）设2012()()kk k f n c c n c n c n k N =++++∈ ，其中012,,,,k c c c c 为非零常数；又数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，对于*n N ∀∈，()n n k a S f n +=．（1）若0k =，求证：数列{}n a 是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{}n a 能成等差数列．20．（本小题满分16分）设函数2(),()ln (0)f x x g x a x bx a ==+≠ （1）若0b =，求()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若1a b ==，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+恒成立？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由；（3）若已知0a >，设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x 且102,,x x x成等差数列，试探究0()G x '的符号．高三数学期初调研（附加题部分）2013．921．【选做题】每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， （1）求A 的逆矩阵1A -； （2）求A 的特征值和特征向量．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆:4cos C ρθ=被直线:sin()6l a πρθ-=截得的弦长为数a 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段1D O 上一点，且1D E EO λ=（1）若1λ=，求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面1CD O ，求λ的值．23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率(7)P X ≥；（2）求X 的概率分布列，并求其数学期望()E X ．参考答案【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥，要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）． (iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列． 综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．⑶0()G x '的符号为正，理由如下：因为2()2ln G x x a x bx =+--有两个零点12,x x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+,0ln 2,0ln 222221121bx x a x bx x a x 两式相减得----)ln (ln 122122x x a x x 0)(12=-x x b ，即121212)ln (ln x x x x a b x x --=-+，于是b x a x x G --=0002)(')(21b x x -+=212x x a +-2112122)ln (ln x x a x x x x a +---=])(2[ln 21121212x x x x x x x x a+---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=121212121)1(2ln x x x x x x x x a ①当210x x <<时，令t x x =12，则1>t ，且]1)1(2[ln )('120tt t x x a x G +---=， 设)1(1)1(2ln )(>+--=t tt t t u ，则2)1(41)('t t t u +-=0)1()1(22>+-=t t t ， 故tt t t u +--=1)1(2ln )(在),1(+∞上为增函数，又0)1(=u ，所以0)(>t u ， 即01)1(2ln >+--tt t ，又因为0>a ，012>-x x ，所以0)('0>x G ．②当120x x <<时，同理可得0)('0>x G ．综上所述，)('0x G 的符号为正．22．【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)，E ()111442，，， 于是()111442DE = ，，，()1011CD =- ，，. 由cos 1DE CD 〈〉 ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅.所以异面直线AE 与CD 1.（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．。
数学-江苏省苏州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷
2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数 学2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a bD ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为3．已知4cos 35-πα（=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，ABAB ，则sin =C A B C D 注 意 事 项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．6．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则A ．1e ,1-==-a bB ．1e ,1-==a bC ．e,1==-a bD ．e,1==a b7．满足2{}{,}==x m x n y y x m x n …………的实数对m ，n 构成的点(,m n )共有二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．10．函数()tan 4=-f x x π（2），则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称 D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象 11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16 B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为 D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． （第14题图）（第15题图）．如图，一个半径为3的半圆，C 、两点为直径AB 的三等分点，E 、F 两点为弧等分点，则⋅CF DE= ▲ ．已知函数2()33=--f x x ，若m 的取值范围为 ▲ . （本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．▲▲▲18． (本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． △ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B . （1）求c ; （2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．▲▲▲19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD . （1）求证：⊥PD 平面ABCD ； （2）求二面角--D PC B 的余弦值．▲▲▲20．(本小题满分12分)▲▲▲21．(本小题满分12分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．▲▲▲22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．▲▲▲2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题 号 9 10 11 12 答 案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20 ; 14; 15．12; 16．( ，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π==+x x x f x ，…………………………………………… 2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2， ……………… 4分 所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ． ……………… 5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin(23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos(0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ， ……………………… 8分所以2,3π=--π∈m k k Z ， ………………………………………………………………… 9分又因为0>m ，所以min 53π=m ． …………………………………………………………… 10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B ，……… 2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac， (4)分所以3c =． …………………………………………………………………………………… 5分 （2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△， ………………………………………………………………………………………… 6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ， (7)。
2023-2024学年江苏省无锡市高级中学实验学校九年级(上)期中数学(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．122．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√54．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．都不对5．（3分）在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．40°B ．160°C ．80°或160°D ．40°或140°6．（3分）下列说法中，正确的是（ ） A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+29．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√310．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tan α=45，则cos α＝ ．12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 m ． 13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ °． 14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．15．（3分）如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝6∠OAC＝48°，则∠BCI＝°．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，sin∠BCD=14，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，则AC的值为．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．20．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知3b＝2c，斜边上的高CD=√3．（1）求tan A的值；（2）求BD的长．̂上一点，连接BD，AD，OC，21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；̂的长．（结果保留π）（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BC22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP．（1）求AP的长；（2）求tan∠DCP的值．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a＝．24．（10分）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当t ＝2时，PQ ＝ ； （2）在运动过程中，当∠DPQ ＝45°时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的⊙O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD ＝；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．12【分析】直接根据sin60°=√32求解． 【解答】解：sin60°=√32．故选：A ．2．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定【分析】点在圆上，则d ＝r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 【解答】解：∵OP ＝3＜4，故点P 与⊙O 的位置关系是点P 在圆内． 故选：A ．3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√5【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得 AB =√AC 2+BC 2=√5． 由锐角的余弦，得cos A =ACAB =15=√55． 故选：C ．4．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A．35°B．55°C．65°D．都不对【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD ＝35°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠ABD＝35°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝55°，故选：B．5．（3分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．40°B．160°C．80°或160°D．40°或140°【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据切线的判定定理对A 进行判断；根据三角形内心的定义对B 、D 进行判断；根据确定圆的条件对C 进行判断．【解答】解：A 、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A 选项错误； B 、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B 选项正确； C 、不共线的三点确定一个圆，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选：B ．7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【分析】由cos30°=√32，cos45°=√22，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵√22＜34＜√32， 又∵cos30°=√32，cos45°=√22，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A ＜45°． 故选：B ．8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+2【分析】连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．证明TA ＝TC =√2EC ，EC ＝DE ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵点C 是AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴AC ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵点D 为BC ̂的中点， ∴CD̂=DB ̂， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝22.5°，∵∠ADC ＝∠ABC ＝45°，CE ⊥DE ，DE ＝1， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ECD ＝∠EDC ＝45°， ∴EC ＝DE ＝1，∴EC ＝DE ＝1，CT =√2， ∵∠ETC ＝45°＝∠TAC +∠ACT ， ∴∠TAC ＝∠TCA ＝22.5°， ∴AT ＝TC =√2， ∴AE ＝AT +TE =√2+1． 故选：C ．9．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√3【分析】作△ABC 的外接圆，延长AO 交BC 于D ，因此A 在BAĈ上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，AO =23AD ，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，求出AD =√32BC =√32×6＝3√3，推出3＜AD ≤3√3，得到3×23＜AO ≤3√3×23，即可求出AO 的取值范围． 【解答】解：作△ABC 的外接圆O ′，延长AO 交BC 于D ，∵∠BAC 的大小不变，∴A 在BAC ̂上运动（不与B 、C 重合），∵O 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD =√32BC =√32×6＝3√3，∵A 不与B 、C 重合，∴12BC ＜AD ， ∴3＜AD ≤3√3，∵O 是△ABC 的重心，∴AO =23AD ，∴3×23＜AO ≤3√3×23，∴2＜AO ≤2√3．故选：D ．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，证明BD ＝DG ，根据直角三角形斜边中线的性质得AD ＝BD ，可作判断；②如图2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，设AE ＝x ，则BF ＝EF ＝x ，BE =√2x ，AB ＝AC ＝x +√2x ，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据sin ∠ABC =EF BE =AC BC =13，设EF ＝a ，BE ＝3a ，则AE ＝EF ＝a ，证明Rt △ACE ≌Rt △FCE （HL ），得AC ＝CF =√2a ，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④如图4，延长BD ，CA 交于点G ，证明△AEC ∽△AGB ，列比例式，并结合三角函数可作判断．【解答】解：①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝BD，故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=√2x，AB＝AC＝x+√2x，∴CE=√AE2+AC2=√x2+(x+√2x)2=√4+2√2x，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE =（CEBE）2=(4+2√2)x22x2=2+√2，∴S△ACE＝（2+√2）S△BDE，故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EFBE=ACBC=13，设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝2√2a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=√2a，延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝3√2a，BD＝DG，∴AG＝2√2a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×2√2a×4a＝2√2a2，S△ABC=12•√2a•4a＝2√2a2，∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG =ACAB，由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB=m，∴CE2BD=m，∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tanα=45，则cosα＝5√4141．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．【解答】解：设∠A＝α，所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tanα=45，即ab=45，设a＝4k，则b＝5k，∴c=√a2+b2=√41k，∴cosα=bc=41k=5√4141．故答案为：5√4141． 12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 25 m ．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝50m ，则BC =12AB =12×50＝25（m ），所以这山的高度是25m ，故答案为：25．13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ 120 °．【分析】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形的性质求出x ，得到∠B 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，则2x +7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 24π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl ＝π•3•8＝24π（cm 2）．故答案为：24π．15．（3分）如图，点O 、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心，若∠CAB ＝6∠OAC ＝48°，则∠BCI ＝ 25 °．【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝8°，再根据三角形外心的性质得到OA＝OC，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC＝164°，接着根据圆周角定理得到∠ABC＝82°，则利用三角形内角和可计算出∠ACB＝50°，然后根据三角形内心的性质得到∠BCI的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠CAB＝6∠OAC＝48°，∴∠OAC＝8°，∵点O是锐角△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝8°，∴∠AOC＝180°﹣8°﹣8°＝164°，∴∠ABC=12∠AOC＝82°，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣82°＝50°，∵点O是锐角△ABC的内心，∴∠BCI=12∠ACB=12×50°＝25°．故答案为：25．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1.（结果保留π）【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．故答案为：π﹣1．17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为（﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．【分析】如图，设G（m，0），由点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，可得A′（3+m，m+3），根据OA′＝2，构建方程求出m即可．【解答】解：如图，设G（m，0），∵点A （﹣3，3）绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴A ′（3+m ，m +3），∵OA ′＝2，∴（3+m ）2+（3+m ）2＝22，解得，m ＝﹣3±√2，∴G （﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．故答案为：(−3+√2，0)或(−3−√2，0)．18．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，sin ∠BCD =14，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为 2√13或√73 ．【分析】由△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，因此要分以下两种情况进行讨论：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，先证△BAD ∽△BCE 得∠ABD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠BEC ，进而证△ABC 和△DBE 全等得AC ＝DE ，然后在Rt △DCE 中，利用勾股定理求出DE 即可；（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ，在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，先证△ABD ∽CBM ，得∠ABD ＝∠CBM ，进而证△ABC ∽△DBM 得BC ：DM ＝AB ：BD ＝1：2，则BC =12DM ，然后在Rt △DCM 中，利用勾股定理求出DM ．【解答】解：∵△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，如图1所示：∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BAD＝∠BDA，AD＝2AH，∠BAD+∠ABH＝90°，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCD，∵sin∠BCD=1 4，∴sin∠ABH=AHAB=14，∴AB＝4AH＝2AD，∴AD：AB＝1：2，∵CE=12BC＝4，∴BC：CE＝1：2，∴AD：AB＝BC：CE，∵CE⊥CD，∴∠BCE+∠BCD＝90°．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，又AD：AB＝BC：CE，∴△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，∠BDA＝∠BEC，∴∠BDA＝∠BEC＝∠BDA＝∠BCE，∴BC＝BE＝8，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ， 即∠ABC ＝∠DBE ， 在△ABC 和△DBE 中， {BD =BA∠ABC =∠DBE BC =BE， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）， ∴AC ＝DE ，在Rt △DCE 中，CD ＝6，CE ＝4，由勾股定理得：DE =√CD 2+CE 2=2√13， ∴AC ＝DE =2√13．（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ， 在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，如图2所示：∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝2AN ，∠ADN +∠BAD ＝90°， 又∵∠BAD +∠BCD ＝90°， ∴∠ADN ＝∠BCD ， ∵sin ∠BCD =14，∴sin∠ADN=ANAD=14，∴AD＝4AN＝2AB，∴AB：AD＝1：2，∵CM＝2BC＝16，∴BC：CM＝1：2，∴AB：AD＝BC：CM，∵CM⊥CD，∴∠BCM+∠BCD＝90°，又∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCM，又∵AB：AD＝BC：CM，∴△ABD∽CBM，∴∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD＝∠CBM＝∠DAB＝∠BCM，∴BM＝CM＝2BC＝16，∵∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC，即∠ABC＝∠DBM，∵AB：BD＝1：2，BC：BM＝1：2，∴AB：BD＝BC：BM，∴△ABC∽△DBM，∴BC：DM＝AB：BD＝1：2，∴BC=12 DM，在Rt△DCM中，CD＝6，CM＝16，由勾股定理得：DM=√CD2+CM2=2√73，∴BC=12DM=√73．综上所述：AC的长为2√13或√73．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°； （2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．【分析】（1）先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1）(√3)2−π°+√3cos30° ＝3﹣1+√3×√32 ＝3﹣1+32 =72；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5| ＝4﹣1+5 ＝8．20．（9分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，已知3b ＝2c ，斜边上的高CD =√3． （1）求tan A 的值； （2）求BD 的长．【分析】（1）首先利用勾股定理用b 表示a ，然后利用tan A 的定义即可求解； （2）首先利用已知条件证明∠A ＝∠BCD ，然后利用已知条件即可求解． 【解答】解：（1）∵3b ＝2c ， ∴c =32b ，而a =√c 2−b 2=√52b ， ∴tan A =a b =√52； （2）∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴tan A ＝tan ∠BCD ， ∴BD CD=√52，而CD=√3，∴BD=√152．21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BĈ上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BĈ的长．（结果保留π）【分析】（1）连接OB，结合垂径定理得到弧AB＝弧AC，，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到∠AOB和∠AOC之间的关系，进而求出∠AOC的度数；（2）要求劣弧弧BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE的长，进而在Rt△BOE中利用勾股定理求出OE的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【解答】解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴弧AB＝弧AC，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°．（2）∵OA⊥BC，∴BE =12BC =9，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°， ∴OB ＝2OE ，∴BE =√OB 2−OE 2=√3OE =9， ∴OE =3√3cm ，OB =6√3cm ． ∴劣弧BC 的长=120π×6√3180=4√3π(cm)． 22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ． （1）求AP 的长； （2）求tan ∠DCP 的值．【分析】（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，H 是AB 的中点，得∠ABC ＝90°，AH ＝BH =32，则CH =√BH 2+BC 2=52，由折叠得PH ＝BH ＝AH ，CH 垂直平分PB ，则∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，可证明∠APB ＝90°，则AP ∥CH ，∠P AB ＝∠BHC ，所以AP AB=cos ∠BHC =35，则AP =35AB =95；（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，则EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝∠AFP ＝90°，所以AF AP =cos ∠P AB =35，PF AP=sin ∠BHC =45，则AF =35AP =2725，PF =45AP =3625，所以CE ＝BF =4825，PE =1425，即可求得tan ∠DCP =PECE =724．【解答】解：（1）连接PB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点， ∴∠ABC ＝90°，AH ＝BH =12AB =32， ∴CH =√BH 2+BC 2=√(32)2+22=52，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH ＝BH ＝AH ， ∴CH 垂直平分PB ，∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，∴∠APB ＝∠HPB +∠HP A ＝∠HBP +∠HAP =12×180°＝90°， ∵AP ⊥BP ，CH ⊥BP ， ∴AP ∥CH ， ∴∠P AB ＝∠BHC ，∴APAB =cos ∠P AB ＝cos ∠BHC =BH CH =3252=35， ∴AP =35AB =35×3=95， ∴AP 的长是95．（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ， ∵∠FEC ＝∠ECB ＝∠FBC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形， ∴EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝90°， ∴∠AFP ＝90°， ∴AF AP=cos ∠P AB =35，PFAP=sin ∠P AB ＝sin ∠BHC =BC CH =252=45， ∴AF =35AP =35×95=2725，PF =45AP =45×95=3625， ∴CE ＝BF ＝AB ﹣AF ＝3−2725=4825，PE ＝EF ﹣PF ＝2−3625=1425， ∴tan ∠DCP =PE CE =14254825=724， ∴tan ∠DCP 的值为724．23．（10分）如图，在等边△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 边上．（1）在BC 边上求作点P ，使∠MPN ＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB ＝9，BM ＝5，设CN ＝a ，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则a ＝8120．【分析】（1）以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ，作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2，即可完成作图；（2）证△MBP ∽△PCN ，可得MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，列出方程5x=9−x a，整理得x 2﹣9x +5a ＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P 有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P 只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P 不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ， ②作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2， 如图，点P 1、P 2即为所求；（2）如图，∵∠MP 1N ＝60°， ∴∠MP 1B +∠CP 1N ＝120°， 在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠MP 1B +∠BMP 1＝120°， ∴∠BMP 1＝∠CP 1N ， ∴△MBP 1∽△P 1CN ， ∴MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，∴5x =9−x a，∴5a ＝9x ﹣x 2， ∴x 2﹣9x +5a ＝0， ∵只能作出唯一的点P ， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣9）2﹣20a ＝81﹣20a ＝0， ∴a =8120． 故答案为：8120．24．（10分）如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 是⊙O 上一点，过C 作CE ⊥AC ，交AD 的延长线于点E ，连接DB ，且CD ＝CE ． （1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC ＝90°，则OD ⊥DC ，可得出结论；（2）证明△BCD ∽△DCA ，由相似三角形的性质得出BC CD=CD AC=BD AD，设CB ＝x ，则CD ＝2x ，得出方程（2x ）2＝x •（x +15），解方程求出x 即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵CE ⊥AC ， ∴∠ACE ＝90°， ∴∠A +∠E ＝90°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∴∠A +∠CDE ＝90°， ∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠ADO +∠CDE ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 与⊙O 相切；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠A +∠ABD ＝90°， 又∵∠BDC +∠ODB ＝90°， ∴∠BDC ＝∠A ， ∵∠BCD ＝∠ACD ， ∴△BCD ∽△DCA ， ∴BC CD=CD AC=BD AD，∵tan ∠BDC ＝tan ∠A =BDAD =12， 设CB ＝x ，则CD ＝2x ， ∴CD 2＝CB •CA ，∴（2x ）2＝x •（x +15）， ∴x ＝5， ∴CD ＝CE ＝10．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【分析】过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，解直角三角形求出CN 、BN 的长，得出BF 的长，再求出AE AB≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE＝（3x +4.5）米，然后证AF ＝AD ，则4x +3.5＝3x +4.5，解得x ＝1，即可求解． 【解答】解：过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，如图所示： 则CN ∥AD ，∴∠NCF ＝∠ADC ＝45°，在Rt △BCN 中，CN ＝BC •sin37°≈2.5×35=1.5（米），BN ＝BC •cos37°≈2.5×45=2（米）， 在Rt △CNF 中，∠NCF ＝45°， ∴△CNF 是等腰直角三角形， ∴NF ＝CN ＝1.5（米）， ∴BF ＝BN +NF ＝3.5（米）， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝53°， ∴∠ABE ＝37°，∴tan ∠ABE ＝tan37°=AE AB ≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE ＝（3x +4.5）米， 在Rt △ADF 中，∠ADC ＝45°， ∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当t＝2时，PQ＝4√2cm；（2）在运动过程中，当∠DPQ＝45°时，求t的值；（3）在运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围．【分析】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm），可得BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），故PQ=√BP2+BQ2=4√2（cm）；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，由∠DPQ＝45°，可得△PQM是等腰直角三角形，从而△PMN≌△MQK（AAS），PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则（6﹣t）+x＝2t﹣x，得x=3t−62，证明△MPN∽△DP A，有即3t−62t=t+6212，即可解得t的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q与AD相切于T时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，连接QT，可得√(6−t)2+(2t)2=6，解得t＝0（舍去）或t＝2.4，当⊙Q经过D时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，可得√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足2.4＜t＜6√13−18．【解答】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），∴PQ=√BP2+BQ2=√42+42=4√2（cm），故答案为：4√2cm；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，如图：根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝（6﹣t）cm，由作图可知四边形BQKN是矩形，∴BN＝QK，BQ＝NK＝2t cm，∵∠DPQ＝45°，∴△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ＝90°，PM＝QM，∴∠PMN＝90°﹣∠QMK＝∠KQM，∵∠MNP＝90°＝∠QKM，∴△PMN≌△MQK（AAS），∴PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则MN＝NK﹣MK＝（2t﹣x）cm＝QK，∵BN＝QK，∴（6﹣t）+x＝2t﹣x，∴x=3t−6 2，∴PN=3t−62（cm），MN＝2t−3t−62=t+62（cm），∵∠MPN＝∠DP A，∠MNP＝90°＝∠A，∴△MPN ∽△DP A ，∴PN AP =MN AD ，即3t−62t =t+6212，解得t ＝15+3√17（舍去）或t ＝15﹣3√17；∴t 的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q 与AD 相切于T 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，如图：∵∠A ＝∠B ＝∠ATQ ＝90°，∴四边形ABQT 是矩形，∴QT ＝AB ＝6cm ＝PQ ，∴√(6−t)2+(2t)2=6，解得t ＝0（舍去）或t ＝2.4，由图可知，⊙O 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足t ＞2.4；当⊙Q 经过D 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，如图：此时PQ＝DQ，∴√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足t＜6√13−18；∴当2.4＜t＜6√13−18时，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝5√33；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接OM，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质求得AE，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点G在点P的上方时，过点O作OF⊥CH 于点F，连接AH，利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理求得线段HF的长度，再利用三角形的中位线定理和勾股定理求得GF的长度，则GH＝GF﹣HF；②当点G在点P的下方时，过点O作OK⊥CH 于点K，连接AH，利用①的方法解答即可．【解答】解：（1）连接OD，如图，∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°，∴tan A =OD AD ，∴AD =OD tan60°=5√3=5√33． 故答案为：5√33； （2）连接OM ，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图，∵BC 边与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥BC ，∵OE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形OMCE 为矩形，∴CE ＝OM ＝5．∵AC ＝8，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴OE=√OA2−AE2=√52−32=4，∴OC=√OE2+CE2=√42+52=√41．∴C（√41，0）；（3）①当点G在点P的上方时，如图，过点O作OF⊥CH于点F，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OF⊥CH，∴CF＝HF=12CH＝3．∵OF⊥CH，AC⊥CH，∴OF∥AC，∴OF为△HAC的中位线，∴OF=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP+PG＝5+1＝6，∴GF=√OG2−OF2=√62−42=2√5，∴GH＝GF﹣HF＝2√5−3；②当点G在点P的下方时，如图，过点O作OK⊥CH于点K，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OK⊥CH，∴CF＝HK=12CH＝3．∵OK⊥CH，AC⊥CH，∴OK∥AC，∴OK为△HAC的中位线，∴OK=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP﹣PG＝4，∴OG＝OK，∴点G，K重合，∴GH＝HK＝3．综上，GH的长为2√5−3或3．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是P1，P2（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2√5，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（−12，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO=√5，OP1=√5，AP1=√10，则OP12+OA2=AP12，∴∠AOP1＝90°，∴OP2=√52，AP2=52，则AP22=OA2+OP22，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O 关于点A 的“联络点”是P 1，P 2；故答案为：P 1，P 2；（2）如图2，依题意，点C 关于点D 的“联络点”P 在CD 的垂线上且过点C ，∵直线y =−12x +1与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝2，∴C （2，0），D （1，0），∴OD ＝1，OC ＝2，∴tan ∠COD =OD OC =12，CD =√OD 2+OC 2=√5， ∵tan ∠CPD =12，∴CP 1＝2√5，∴DP 1＝5，则P 1（0，﹣4），设直线CP 的解析式为y ＝kx ﹣4，则0＝2k ﹣4，解得：k ＝2，∴直线CP 的解析式为y ＝2x ﹣4；设P （p ，2p ﹣4），∵tan ∠CPD =12，∴CD CP =12，∴CP＝2CD＝2√5，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2=(2√5)2，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，第41页（共41页）∴T （0，2）或T （0，6），结合图形可得2≤t ≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t ≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t ≤6或﹣2≤t ≤﹣6．。
江苏省无锡市经开区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市经开区七年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）A．﹣5B．±5C．D．52．（3分）下列实数：，，|﹣3|，0，，0.404004004中（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）A．﹣（+2）与﹣|﹣2|B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．（﹣2）3与﹣324．（3分）下列计算正确的是（ ）A．3x2﹣x2＝3B．﹣3a2﹣2a2＝﹣a2C．﹣2（x+1）＝﹣2x﹣2D．3（a﹣1）＝3a﹣15．（3分）已知单项式3x2y m与的和是单项式，那么m﹣n的值是（ ）A．﹣1B．1C．5D．66．（3分）在下列代数式：，，ab2+b+1，，x3+x2﹣3，中，多项式有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个7．（3分）某商品原价是每件m元，销售时每件先加价15元，再降价10%（ ）元A．10%m+15B．（1﹣10%）m+15C．10%（m+15）D．（1﹣10%）（m+15）8．（3分）如果2x﹣y＝3，那么代数式2﹣4x+2y的值为（ ）A．﹣4B．4C．5D．89．（3分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律（ ）个太阳．A．2n B．n+2n﹣1C．n+2n D．2n10．（3分）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差（ ）A．正方形①B．正方形②C．正方形③D．大长方形二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）写一个比﹣5小的整数 ．12．（2分）我国成功完成2200兆帕超级钢的技术突破，打破了潜水艇材料的技术壁垒．数据2200用科学记数法可表示为 ．13．（2分）某单位开展了职工健步走活动，职工每天健步走5000步即为达标．若小夏走了6200步，记为+1200步，记为 步．14．（2分）对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则3☆（﹣2）＝ ．15．（2分）若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则mn ＝ ．17．（2分）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将﹣1，﹣2，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，﹣3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 ．18．（2分）已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2 ．三.解答题（本大题共7题，共64分）19．（16分）计算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；（2）（﹣48）÷8﹣（﹣5）×（﹣6）；（3）（）；（4）．20．（6分）化简：（1）﹣2y 3+xy 2﹣2xy 2+y 3；（2）3（a 2+2ab ）+2（﹣ab +a 2）．21．（6分）有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示：（1）填空（填“＜”、“＞”或“＝”）：a 0；b 0；|a +b | |a |+|b |；（2）化简：|a +b |﹣|b +1|﹣|a ﹣1|．22．（5分）设A ＝2x 2+x ，B ＝kx 2﹣（3x 2﹣x +1）．（1）当x ＝﹣1时，求A 的值；（2）小明认为不论k 取何值，A ﹣B 的值都无法确定，小红认为k 可以找到适当的数23．（8分）杭州亚运会的举办，不仅提升了杭州的国际影响力，也为杭州的旅游业带来了巨大的发展机遇．随着亚运会的到来，接下来7个月的游客人数变化情况如表：月份2345678游客人数（百万人次）+6.2+0.4+1.1﹣0.3﹣0.8+6.5﹣0.6注：表中的数据为当月的游客人数相比前一个月游客人数的变化量．（1）杭州2023年4月份的游客人数是多少百万人次？（2）杭州2023年2月到8月，哪个月游客人数最多？最多是多少百万人次？哪个月游客人数最少？最少是多少百万人次？（3）假设杭州市每个月为旅游业建设支出50亿元，2023年前4个月每百万人次的游客能为杭州市旅游业带来收入10亿元，而随着亚运会的临近，则2023年1月到8月杭州市旅游业的总利润是多少亿元？24．（7分）某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．25．（8分）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c（c﹣16）2互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度．（2）从此时刻开始，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度．26．（8分）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2 次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．2023-2024学年江苏省无锡市经开区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）A．﹣5B．±5C．D．5【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可．【解答】解：﹣5的绝对值是5，即|﹣8|＝5．故选：D．【点评】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）下列实数：，，|﹣3|，0，，0.404004004中（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】整数与分数统称有理数，无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断即可．【解答】解：无理数有共有1个．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）A．﹣（+2）与﹣|﹣2|B．（﹣2）3与﹣23C．（﹣3）2与﹣32D．（﹣2）3与﹣32【分析】分别计算，再根据“只有符号不同的两个数是互为相反数”作判断．【解答】解：A、﹣（+2）＝﹣2，所以选项A不正确；B、（﹣6）3＝﹣8，﹣33＝﹣8，所以选项B不正确；C、（﹣8）2＝9，﹣32＝﹣9，8与﹣9互为相反数；D、（﹣2）5＝﹣8，﹣38＝﹣9，所以选项D不正确；故选：C ．【点评】本题考查了有理数的乘方、绝对值、相反数的定义，比较简单，熟练掌握相反数的定义是关键，要注意乘方运算中（﹣3）2与﹣32的计算方法的不同．4．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．3x 2﹣x 2＝3B ．﹣3a 2﹣2a 2＝﹣a 2C ．﹣2（x +1）＝﹣2x ﹣2D ．3（a ﹣1）＝3a ﹣1【分析】利用合并同类项法则、单项式乘多项式法则逐一判断即可．【解答】解：A ．3x 2﹣x 8＝2x 2，此选项计算错误；B ．﹣8a 2﹣2a 2＝﹣5a 2，此选项计算错误；C ．﹣7（x +1）＝﹣2x ﹣8；D ．3（a ﹣1）＝5a ﹣3；故选：C ．【点评】本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．5．（3分）已知单项式3x 2y m 与的和是单项式，那么m ﹣n 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．5D ．6【分析】根据同类项的概念，首先求出m 与n 的值，然后求出m ﹣n 的值．【解答】解：∵单项式3x 2y m 与的和是单项式，∴8x 2y m 与是同类项，∴m ＝3，n ＝8，∴m ﹣n ＝3﹣2＝2．故选：B ．【点评】本题主要考查同类项，掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，从而得出m ，n 的值是解题的关键．6．（3分）在下列代数式：，，ab 2+b +1，，x 3+x 2﹣3，中，多项式有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】几个单项式的和叫做多项式，据此判断即可．【解答】解：多项式有：，ab2+b+2，x3+x2﹣7，，共4个，故选：B．【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．7．（3分）某商品原价是每件m元，销售时每件先加价15元，再降价10%（ ）元A．10%m+15B．（1﹣10%）m+15C．10%（m+15）D．（1﹣10%）（m+15）【分析】根据题意列出代数式即可得出答案．【解答】解：实际每件的售价＝（m+15）（1﹣10%），故选：D．【点评】本题考查了列代数式，掌握降价10%，则按标价的90%销售是解题的关键．8．（3分）如果2x﹣y＝3，那么代数式2﹣4x+2y的值为（ ）A．﹣4B．4C．5D．8【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：∵2x﹣y＝3，∴原式＝5﹣2（2x﹣y）＝3﹣2×3＝7﹣6＝﹣4．故选：A．【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关键．9．（3分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律（ ）个太阳．A．2n B．n+2n﹣1C．n+2n D．2n【分析】由图形可以看出：第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，由此计算得出答案即可．【解答】解：第一行小太阳的个数为1、2、7、4、…，第5个图形有6个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、6、8、…、2n﹣6，第5个图形有22＝16个太阳，所以第5个图形共有5+16＝21个太阳，所以第n个图形共有（n+3n﹣1）个太阳．故选：B．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．10．（3分）如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差（ ）A．正方形①B．正方形②C．正方形③D．大长方形【分析】要求两个阴影部分周长的差，则需要从“代数”的角度解决此问题，故设HI＝x，HN＝y，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，正方形③的边长为c．进而推断出C六边形PIGRSD＝PI+IG+GR+RS+DS+PD＝2a﹣2y+4b﹣2x以及C四边形OBEN＝ON+OB+BE+NE＝2a﹣2x+2b﹣2y，那么，两个阴影部分的周长之差为2b，所以只需要知道正方形②的边长，即知道正方形②的面积就可以知道两个阴影部分的周长．【解答】解：如图，设HI＝x，HN＝y，正方形②的边长为b，∴ON＝a﹣x，NE＝b﹣y，PI＝a﹣y，GR＝b﹣c，DS＝a+b﹣y﹣c，∴C六边形PIGRSD＝PI+IG+GR+RS+DS+PD＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣y﹣c+b+c﹣x＝2a ﹣2y+4b﹣2x，C四边形OBEN＝ON+OB+BE+NE＝a﹣x+b﹣y+a﹣x+b﹣y＝2a﹣5x+2b﹣2y，∴C六边形PIGRSD﹣C四边形OBEN＝7b，∴只要知道正方形②的边长b，就可以求出两个阴影部分周长的差．∴只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差．故选：B．【点评】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算是解决本题的关键．二.填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）写一个比﹣5小的整数 ﹣6（答案不唯一） ．【分析】根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”可得答案．【解答】解：比﹣5小的整数可以是﹣6等．故答案为：﹣3（答案不唯一）．【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．12．（2分）我国成功完成2200兆帕超级钢的技术突破，打破了潜水艇材料的技术壁垒．数据2200用科学记数法可表示为 2.2×103 ．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：2200＝2.2×106，故答案为：2.2×103．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．13．（2分）某单位开展了职工健步走活动，职工每天健步走5000步即为达标．若小夏走了6200步，记为+1200步，记为 ﹣200 步．【分析】以5000步为达标，多正少负，计算即可．【解答】解：∵5000步达标地，6200步记为+1200步，∴5000﹣4800＝200（步），低于5000步记为负，∴4800步记为﹣200步，故答案为：﹣200．【点评】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是掌握正负数的定义．14．（2分）对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则3☆（﹣2）＝ 7 ．【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．【解答】解：3☆（﹣2）＝22﹣|﹣2|＝3﹣2＝7，故答案为：2．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．15．（2分）若关于x，y的多项式my3+nx2y+2y3﹣x2y+y中不含三次项，则mn＝ ﹣2 ．【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2＝0，n﹣1＝0，求出m、n的值，再代入求出即可．【解答】解：my3+nx2y+5y3﹣x2y+y＝（m+5）y3+（n﹣1）x3y+y，∵多项式my3+nx2y+3y3﹣x2y+y中不含三次项，∴m＝﹣3，n＝1，∴mn＝﹣2×3＝﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查了合并同类项的法则，多项式，求代数式的值，解一元一次方程等知识点，能求出m、n的值是解此题的关键．17．（2分）中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将﹣1，﹣2，1，2，3，4，5分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，﹣3这两个数填入了圆圈，则ab+cd的值为 2 ．【分析】根据：先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据e+d﹣1＝c+d+2＝e+f﹣3＝a﹣1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出ab+cd的值．【解答】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据题意可知，b+d+e﹣3＝d+e﹣1，∴b﹣6＝﹣1，∴b＝2，∵e+d﹣5＝c+d+2，e+d﹣1＝e+f﹣6，e+d﹣1＝a﹣1，∴3（e+d﹣1）＝c+d+2+e+f﹣7+a﹣1＝（﹣1）+（﹣7）+（﹣3）+1+6+3+4+6＝9，∴（e+d﹣1）＝8，∴e+d＝4，∴e＝1，d＝3，∴a＝4，c＝﹣2，∴ab+cd＝3．【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．18．（2分）已知a，b，c均为整数，且|a﹣b|+|b﹣c|＝2 1或2或3或4． ．【分析】首先根据a，b，c均为整数得|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，再根据|a﹣b|+|b﹣c|＝2即可得出①|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝2，②|a﹣b|＝2，|b﹣c|＝0，③|a﹣b|＝1，|b﹣c|＝1，据此根据每一种情况求出|a﹣b|+|a﹣c|的值即可．【解答】解：∵a，b，c均为整数，∴|a﹣b|，|b﹣c|均为非负整数，又∵|a﹣b|+|b﹣c|＝2，∴|a﹣b|＝0，|b﹣c|＝6，|b﹣c|＝0，|b﹣c|＝1，①当|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝2时，|a﹣c|＝|b﹣c|＝2，∴|a﹣b|+|a﹣c|＝3+2＝2；②当|a﹣b|＝4，|b﹣c|＝0时，|a﹣c|＝|a﹣b|＝2，∴|a﹣b|+|a﹣c|＝3+2＝4；③当|a﹣b|＝6，|b﹣c|＝1时，∴|a﹣b|+|a﹣c|＝1+7＝1或|a﹣b|+|a﹣c|＝1+6＝3．综上所述，|a﹣b|+|a﹣c|的值是1或6或3或4．故此题答案为：6或2或3或5．【点评】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．三.解答题（本大题共7题，共64分）19．（16分）计算：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；（2）（﹣48）÷8﹣（﹣5）×（﹣6）；（3）（）；（4）．【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算即可；（2）先计算乘除，后计算减法即可；（3）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可；（4）先计算乘方，再计算乘除，后计算加减即可．【解答】解：（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15＝12+18﹣7﹣15＝（12+18）﹣（4+15）＝30﹣22＝8；（2）（﹣48）÷8﹣（﹣8）×（﹣6）＝﹣6﹣30＝﹣36；（3）（）＝（）×（﹣36）＝＝30+28﹣63＝﹣3；（4）＝﹣9×＝3﹣1＝2．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．20．（6分）化简：（1）﹣2y3+xy2﹣2xy2+y3；（2）3（a2+2ab）+2（﹣ab+a2）．【分析】（1）合并同类项即可；（2）先去括号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）﹣2y3+xy3﹣2xy2+y3＝（﹣2y3+y5）+（xy2﹣2xy6）＝﹣y3﹣xy2；（2）3（a2+2ab）+6（﹣ab+a2）＝3a5+6ab﹣2ab+4a2＝5a5+4ab．【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．21．（6分）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示：（1）填空（填“＜”、“＞”或“＝”）：a ＞ 0；b ＜ 0；|a+b| ＜ |a|+|b|；（2）化简：|a+b|﹣|b+1|﹣|a﹣1|．【分析】（1）由图可得：a＜﹣1＜0＜a，从而解决此题．（2）由题意可得a+b＜0，b+1＜0，a﹣1＜0，据此去绝对值符号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）由题意得：a＜﹣1＜0＜a，∴a＞4，b＜0，故答案为：＞，＜，＜；（2）∵a＜﹣1＜3＜a，∴a+b＜0，b+1＜7，∴|a+b|﹣|b+1|﹣|a﹣1|＝﹣（a+b）﹣[﹣（b+4）]﹣[﹣（a﹣1）]＝﹣a﹣b+b+1+a﹣6＝2．【点评】本题主要考查有理数的大小比较、绝对值、整式的加减运算，熟练掌握实数的大小关系、绝对值的定义、整式的加减运算法则是解决本题的关键．22．（5分）设A＝2x2+x，B＝kx2﹣（3x2﹣x+1）．（1）当x＝﹣1时，求A的值；（2）小明认为不论k取何值，A﹣B的值都无法确定，小红认为k可以找到适当的数【分析】（1）将x＝﹣1代入A式进行计算；（2）通过求解化简A﹣B的结果进行辨别、表述．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，A＝2×（﹣8）2+（﹣1）＝7×1﹣1＝7﹣1＝1；（2）小红的说法正确，理由如下：∵A﹣B＝（2x2+x）﹣[kx2﹣（3x2﹣x+1）]＝7x2+x﹣kx2+6x2﹣x+1＝（7﹣k）x2+1∴当k＝7时，A﹣B＝1∴小红的说法是正确的．【点评】此题考查了整式加减的综合问题的解决能力，关键是能对整式加减进行准确的计算，并能对结果进行讨论辨别．23．（8分）杭州亚运会的举办，不仅提升了杭州的国际影响力，也为杭州的旅游业带来了巨大的发展机遇．随着亚运会的到来，接下来7个月的游客人数变化情况如表：月份2345678+6.2+0.4+1.1﹣0.3﹣0.8+6.5﹣0.6游客人数（百万人次）注：表中的数据为当月的游客人数相比前一个月游客人数的变化量．（1）杭州2023年4月份的游客人数是多少百万人次？（2）杭州2023年2月到8月，哪个月游客人数最多？最多是多少百万人次？哪个月游客人数最少？最少是多少百万人次？（3）假设杭州市每个月为旅游业建设支出50亿元，2023年前4个月每百万人次的游客能为杭州市旅游业带来收入10亿元，而随着亚运会的临近，则2023年1月到8月杭州市旅游业的总利润是多少亿元？【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（2）分别计算出每个月的实际游客数量后即可求得答案；（3）结合（2）中所求列式计算即可．【解答】解：（1）17+6.2+4.4+1.2＝24.7（百万），即杭州2023年4月份的游客人数是24.2百万人次；（2）2023年1月份的游客人数是17百万；2023年2月份的游客人数是17+2.2＝23.2（百万）；2023年8月份的游客人数是23.2+0.7＝23.6（百万）；2023年4月份的游客人数是24.5百万；2023年5月份的游客人数是24.7﹣2.3＝24.4（百万）；2023年7月份的游客人数是24.4﹣0.6＝23.6（百万）；2023年7月份的游客人数是23.2+6.5＝30.3（百万）；2023年7月份的游客人数是30.1﹣4.6＝29.5（百万）；综上，杭州2023年6月到8月，最多是30.1百万人次，最少是23.6百万人次；（3）（17+23.2+23.6+24.3）×10+（24.4+23.6+30.8+29.5）×20﹣50×8＝88.5×10+107.6×20﹣400＝885+2152﹣400＝2637（亿元），即2023年1月到8月杭州市旅游业的总利润是2637亿元．【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．24．（7分）某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“11/11”期间商场决定开展促销活动方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款．现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款 （200x+10000） 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 （160x+11200） 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉．【解答】解：（1）700×20+200（x﹣20）＝200x+10000（元），（700×20+200x）×80%＝160x+11200（元）；故答案为：（200x+10000）；（160x+11200）；（2）方案一：当x＝40时，原式＝200×40+10000＝18000（元）方案二：当x＝40时，原式＝11200+160×40＝17600（元）∵18000＞17600∴按方案二购买较为合算（3）按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉．总金额为：20×700+20×200×80%＝17200（元）【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．25．（8分）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD＝4（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c（c﹣16）2互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．）（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 24 单位长度．（2）从此时刻开始，若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 2或4 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度．（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．则这段时间t是 0.5 秒，定值是 6 单位长度．【分析】（1）根据非负数的性质求出a＝﹣8，c＝16，再根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据时间＝路程和÷速度和，列式计算即可求解；（3）由于PA+PB＝AB＝2，只需要PC+PD是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间都满足PC+PD是定值，依此分析即可求解．【解答】解：（1）∵|a+8|与（c﹣16）2互为相反数，∴|a+2|+（c﹣16）2＝0，∴a+3＝0，c﹣16＝0，解得a＝﹣6，c＝16．∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）＝24单位长度；故答案为：24；（2）（24﹣8）÷（2+2）＝16÷8＝6（秒）．或（24+8）÷（6+4）＝4（秒）答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；故答案为：2或8；（3）∵PA+PB＝AB＝2，当P在CD之间时，PC+PD是定值4，t＝3÷（6+2）＝8÷8＝0.4（秒），此时PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝8（单位长度）．故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．故答案为：0.5，3．【点评】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间＝路程÷速度，根据数形结合的思想理解和解决问题．26．（8分）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2 7 次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 14 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案；（2）根据三种情况进行分析，进而得出答案；（3）根据将n张牌翻动次数，分几种情况进行分析，进而得出答案．【解答】解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷4＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝3，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣6）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣3+1﹣（﹣1）＝4，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：8＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝4时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，3，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，4，﹣5，0，14无法由8，﹣6，4，0组成，故＝7不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，6，﹣5，2，14＝10+2+8，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，8，﹣8，4，2，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，故n＝8，3，5，3时．【点评】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，根据“奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数”进行解答即可．。
2022-2023学年江苏省无锡一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆C ：x 2+y 2k =1的一个焦点是（0，1），则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．42．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6y ＝0的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．2x +y ﹣3＝03．已知圆x 2+y 2＝25，则过圆上一点A （3，4）的切线方程为（ ） A ．3x +4y ﹣25＝0B ．4x +3y ﹣24＝0C ．3x ﹣4y +7＝0D ．4x ﹣3y ＝04．不论实数m 为何值，直线mx ﹣2y ﹣2m +1＝0恒过定点（ ） A ．（﹣2，12）B ．（﹣2，−12）C ．（2，−12）D ．（2，12）5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量a →=（0，1，﹣1），平面α的法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则1⊥α； ②若平面α，β的法向量分别为n 1→=（0，1，3），n 2→=（1，6，﹣2），则α⊥β；③若平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u +t ＝1；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为√14． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正四面体A ﹣BCD 的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足AP ＝1，CQ ＝2，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ） A ．√112B ．32C ．74D ．√37．直线l 1：x ﹣my ﹣2＝0（m ∈R ）与直线l 2：mx +y ﹣2＝0交于点A ，点B 是圆（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，O 为坐标原点，则|AB |的最大值为（ ） A ．3√2B ．5√2C ．5+2√2D ．3+2√28．已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 225=1的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6B ．5C ．2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项顶中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ） A ．−34B ．23C ．32D ．610．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向量（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a 、2c ，下列结论正确的是（ ） A ．卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向量的最大值与最小值的比值越小，椭圆轨道越圆11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （2，2），B （﹣4，2），点P 满足|PA||PB|=12，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0B ．在C 上存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4 C ．C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为±√151512．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√55B ．存在点P ，使得D 1P =2√23AFC ．三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．经过点（√3，1）且倾斜角为π3的直线方程为 ．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，则椭圆的离心率为 ．15．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线A 1E 的距离为 ．16．已知点P （x 1，y 1）是圆C ：x 2+y 2＝1上的动点，点Q （x 2，y 2）是直线l ：x +2y ﹣2√5=0上的动点，记L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，则L PQ 的最小值是 ．四、解答题．本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知以点C （1，3）为圆心的圆与圆D ：x 2+y 2﹣10x ﹣22y +101＝0相外切，过点P （2，0）的动直线l 与圆C 相交于M 、N 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）当MN ＝4时，求直线l 的方程．18．（12分）已知椭圆E 过点Q （2√2，1），且与椭圆x 29+y 24=1有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若△F 1PF 2的面积等于3，求点P 的坐标； （3）若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2． （1）求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； （2）求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．20．（12分）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米、a 百米的区域，如图，l 1、l 2分别是经过王叔叔家（O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家（C 点）在王叔叔家的北偏东45°方向，以点O 为坐标原点，l 1、l 2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米． （1）求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；（2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线l ：x ﹣2y +10＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？21．（12分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝CC 1＝2，点D 为线段AC 的中点，直线BC 1与B 1C 的交点为M ，若点P 在线段CC 1上运动，CP 的长度为m ． （1）求点M 到平面A 1BD 的距离；（2）是否存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围．22．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16，直线l ：x +y ﹣5＝0，P （x 0，y 0）是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足DT →=3TO →（O 为原点），记点T 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点C （1，0）且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆C ：x 2+y 2k =1的一个焦点是（0，1），则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．4解：∵椭圆C ：x 2+y 2k=1的一个焦点是（0，1）， ∴c ＝1，a 2＝k ，b ＝1， ∴k ＝c 2+b 2＝2． 故选：B ．2．若点P （1，1）为圆x 2+y 2﹣6y ＝0的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．x ﹣2y +1＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．2x +y ﹣3＝0解：由圆的方程可知，圆心C （0，3）， 由圆的性质可知AB ⊥CP ， 因为k CP ＝﹣2，所以k AB =12，故AB 所在的直线方程为y ﹣1=12（x ﹣1）即x ﹣2y +1＝0． 故选：B ．3．已知圆x 2+y 2＝25，则过圆上一点A （3，4）的切线方程为（ ） A ．3x +4y ﹣25＝0B ．4x +3y ﹣24＝0C ．3x ﹣4y +7＝0D ．4x ﹣3y ＝0解：设圆x 2+y 2＝25的圆心为O ，由圆x 2+y 2＝25，得到圆心O 的坐标为（0，0），圆的半径r ＝5，而|OA |＝5＝r ，所以A 在圆上，则过A 作圆的切线与OA 所在的直线垂直， 又A （3，4），得到OA 所在直线的斜率为43，所以切线的斜率为−34，则切线方程为：y ﹣4=−34（x ﹣3）即3x +4y ﹣25＝0． 故选：A ．4．不论实数m 为何值，直线mx ﹣2y ﹣2m +1＝0恒过定点（ ） A ．（﹣2，12）B ．（﹣2，−12）C ．（2，−12）D ．（2，12）解：由mx ﹣2y ﹣2m +1＝0，可得m （x ﹣2）﹣2y +1＝0，由x ﹣2＝0，可得x ＝2，此时y =12， 所以直线横过定点（2，12）．故选：D ．5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量a →=（0，1，﹣1），平面α的法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则1⊥α； ②若平面α，β的法向量分别为n 1→=（0，1，3），n 2→=（1，6，﹣2），则α⊥β；③若平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u +t ＝1；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为√14． A ．1B ．2C ．3D ．4解：①∵不存在实数λ，使得a →=λn →，∴a →与n →不共线，因此1⊥α是假命题； ②∵n 1→•n 2→=0+6﹣6＝0，∴n 1→⊥n 2→，则α⊥β，因此是真命题；③AB →=（﹣1，1，1），AC →=（﹣2，2，1），∵向量n →=（1，u ，t ）是平面α的法向量，∴n →•AB →=n →•AC →=0，∴﹣1+u +t ＝﹣2+2u +t ＝0，解得u ＝1，t ＝0，则u +t ＝1，因此是真命题；④若点A （1，2，3），B （1，﹣1，4），点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则C （﹣1，2，3），∴点B 与C 的距离=√(−1−1)2+(2+1)2+(3−4)2=√14，因此是真命题． 综上可得：真命题个数的是3． 故选：C ．6．已知正四面体A ﹣BCD 的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足AP ＝1，CQ ＝2，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ） A ．√112B ．32C ．74D ．√3解：连接AQ ，作图如下：由题意知：AM →=12AP →+12AQ →=16AB →+12AC →+12CQ =16AB →+12AC →+13CD →=16AB →+12AC →+13AD →−13AC →=16AB →+13AD →+16AC →，则|AM →|2＝（16AB →+13AD →+16AC →）2=136AB →2+19AD →2+136AC →2+ 2（16AB →×13AD →+16AB →×16AC →+13AD →×16AC →），因为正四面体A ﹣BCD 为四面体，且边长为3，所以AB →⋅AD →=AB →⋅AC →=AD →⋅AC →=3×3×cos60°=92， 则|AM →|2=136×9+19×9+136×9+2（118×92+136×92+118×92）=114， 则|AM →|=√112， 故选：A ．7．直线l 1：x ﹣my ﹣2＝0（m ∈R ）与直线l 2：mx +y ﹣2＝0交于点A ，点B 是圆（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，O 为坐标原点，则|AB |的最大值为（ ） A ．3√2B ．5√2C ．5+2√2D ．3+2√2解：由题意可得直线l 1过定点M （2，0），直线l 2过定点N （0，2），且l 1⊥l 2，∴点A 在以MN 为直径的圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2上，且圆心C （1，1），半径r 1=√2， 又点B 是圆D ：（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，且圆心D （﹣2，﹣3），半径r 2=√2， ∴|AB |的最大值为|CD |+r 1+r 2=√9+16+√2+√2=5+2√2． 故选：C ． 8．已知F 1，F 2是椭圆x 236+y 225=1的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6B ．5C ．2D ．1解：因为P 是焦点为F 1，F 2的椭圆x 236+y 225=1上的一点，PQ 为∠F 1PF 2的外角平分线，QF 1⊥PQ ，设F 1Q 的延长线交F 2P 的延长线于点M ，所以|PM |＝|PF 1|， ∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝12，∴|MF 2|＝|PF 1|+|PF 2|， 所以由题意得OQ 是△F 1MF 2的中位线，所以|OQ |＝6，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离d ＝6﹣5＝1． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项顶中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ）A ．−34B ．23C ．32D ．6解：由于三条直线2x +3y +1＝0，4x ﹣3y +5＝0，x +my ﹣1＝0不能构成三角形， 则直线必然存在平行关系或交于一点；①当2x +3y +1＝0与x +my ﹣1＝0平行时，则−23=−1m，解得m =32； ②当4x ﹣3y +5＝0与x +my ﹣1＝0平行时，则43=−1m ，解得m =−34．③当三点交于同一点时，{2x +3y +1=04x −3y +5=0，解得{x =−1y =13，代入x +my ﹣1＝0，解得m ＝6．故选：ACD ．10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向量（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a 、2c ，下列结论正确的是（ ） A ．卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向量的最大值与最小值的比值越小，椭圆轨道越圆解：A 选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a ﹣c ，最大值为a +c ，卫星向量的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]，故A 正确；B 选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B 正确；C 选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C 不正确；D 选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即a−c a+c=1−e 1+e=−1+21+e 越小，则e 越大，椭圆轨道越扁，故D 正确． 故选：ABD ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （2，2），B （﹣4，2），点P 满足|PA||PB|=12，设点P所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0B ．在C 上存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4 C ．C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为±√1515解：设P （x ，y ），则|PA||PB|=2222=12，化简得，x 2+y 2﹣8x ﹣4y +4＝0，则选项A 正确；将圆C 的方程化为标准方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝16，则圆心为（4，2），半径为4， 则圆上的点到点（﹣3，﹣2）的最小距离为√(−3−4)2+(−2−2)2−4=√65−4＞4， 则在圆C 上不存在点M 到点（﹣3，﹣2）的距离为4，则选项B 错误；C 上的点到直线3x ﹣4y +6＝0的最大距离为圆心到直线3x ﹣4y +6＝0的距离加半径， 即√9+16+4=6，则选项C 正确；显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x +4），即kx ﹣y +4k +2＝0，由于圆C 的半径为4，则要使C 上恰有三个点到直线l 的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即√k 2=2，解得k =±√1515，则选项D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√55B ．存在点P ，使得D 1P =2√23AF C ．三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值D ．存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →解：设正方体棱长为2，对于A ：连接D 1F ，GF ，D 1E ，作图如下：因为G ，F 都为中点，易知A 1G ∥D 1F ，则角∠D 1FE 即为A 1G 与EF 所成角补角， 易知D 1F =√22+12=√5，EF =√2，D 1E =√22+22+12=3，则cos ∠D 1FE =D 1F 2+EF 2−D 1E 22D 1F⋅EF =5+2−92×√5×√2=−√1010，则直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为√1010，A 错误．对于B ：连接D 1E ，D 1F ，作图如下：由A 知D 1F =√22+12=√5，D 1E =√22+22+12=3， P 为线段EF 上的动点（不含端点），所以D 1P ∈(√5，3)， 易知AF =√22+22+12=3，所以D 1P =2√23AF =2√23×3=2√2∈(√5，3)， 所以存在点P ，使得D 1P =2√23AF ，B 正确． 对于C ：因为EF ∥面ADD 1A 1，所以EF 到平面ADD 1A 1的距离是定值，则点P 到平面ADP 的距离是定值，又因为S △ADP 是定值，所以三棱锥D 1﹣ADP 的体积为定值，C 正确． 对于D ：连接AD 1，D 1F ，作图如下：易知A 1G ∥D 1F ，又因为E ，F 分别为中点，所以易知AD 1∥EF ，则A ，E ，F ，D 1，四点共面， 又因为A 1G ∥D 1F ，所以AEFD 1，则存在实数λ、μ使得A 1G →=λAF →+μAE →，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过点（√3，1）且倾斜角为π3的直线方程为 √3x ﹣y ﹣2＝0 ．解：直线过点（√3，1）且倾斜角为π3，则直线的斜率k ＝tan π3=√3，故直线的方程为y ﹣1=√3（x −√3），即√3x ﹣y ﹣2＝0． 故答案为：√3x ﹣y ﹣2＝0． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，则椭圆的离心率为√5−12． 解：由题意知四边形A 1B 2A 2B 1的四边均与内切圆相切， 故椭圆中心到四边的距离等于椭圆的半焦距， 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右顶点A 1，（a ，0），上顶点B 1，（0，b ），直线A 1B 1的方程为xa+y b=1，即bx +ay ﹣ab ＝0，∴√a 2+b 2=c ，∴a 2（a 2﹣c 2）＝（2a 2﹣c 2）c 2，∴1﹣e 2＝（2﹣e 2）e 2，解得e 2=3+√52（舍去）或e 2=3−√52． ∴e =√5−12．故答案为：√5−12． 15．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线A 1E 的距离为√23． 解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则A 1（2，0，2），O （2，1，1），E （1，2，0）， 所以A 1O →=(0，1，−1)，A 1E →=(−1，2，−2)， 则cos ＜A 1O →，A 1E →＞=A 1O →⋅A 1E→|A 1O →||A 1E →|=2+2√2×3=2√23，又＜A 1O →，A 1E →＞∈[0，π]， 所以sin ＜A 1O →，A 1E →＞=13，故点O 到直线A 1E 的距离为|A 1O →|cos ＜A 1O →，A 1E →＞=√2×13=√23． 故答案为：√23．16．已知点P （x 1，y 1）是圆C ：x 2+y 2＝1上的动点，点Q （x 2，y 2）是直线l ：x +2y ﹣2√5=0上的动点，记L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，则L PQ 的最小值是√52． 解：如图，根据题意设P （sin θ，cos θ），则可得N 为（2√5−2sinθ，sin θ）， 又直线l ：x +2y ﹣2√5=0的斜率为−12，∴MQ =12MN ， ∴L PQ ＝PM +MQ ＝PM +12MN =PN+PM2=|2√5−2sinθ−cosθ|+PM2=|2√5−√5sin(θ+φ)|+PM2≥|2√5−√5|+PM 2≥√52，（tan φ=12）， 当且仅当P ，M 重合时，取得等号， ∴L PQ 的最小值是√52． 故答案为：√52．四、解答题．本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知以点C （1，3）为圆心的圆与圆D ：x 2+y 2﹣10x ﹣22y +101＝0相外切，过点P （2，0）的动直线l 与圆C 相交于M 、N 两点． （1）求圆C 的标准方程；（2）当MN ＝4时，求直线l 的方程．解：（1）∵圆D 方程可化为：（x ﹣5）2+（y ﹣11）2＝45， ∴圆心D （5，11），半径r =3√5， 又圆心C 为（1，3），设圆C 的半径为R ， 又圆C 与圆D 相外切，∴CD ＝r +R ， ∴√16+64=3√5+R ，∴R =√5，∴圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝5； （2）∵弦长MN ＝4，又圆C 的半径R =√5，∴圆心C （1，3）到直线l 的距离d =√R 2−(MN2)2=1， ①当过点P （2，0）的直线l 与x 轴垂直时， l 的方程为x ＝2，满足d ＝1；②当过点P （2，0）的直线l 与x 轴不垂直时， 设l 的方程为y ＝k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k ＝0， ∴d =|k+3|√k +1=1，解得k =−43，∴直线l 的方程为4x +3y ﹣8＝0，综合可得直线l 的方程为x ＝2或4x +3y ﹣8＝0． 18．（12分）已知椭圆E 过点Q （2√2，1），且与椭圆x 29+y 24=1有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若△F 1PF 2的面积等于3，求点P 的坐标； （3）若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积． 解：（1）与x 29+y 24=1有公共的焦点的椭圆的方程：x 29+λ+y 24+λ=1，λ＞﹣4，将Q （2√2，1）代入椭圆方程，可得89+λ+14+λ=1，整理得：λ2+4λ﹣5＝0，解得λ＝1或λ＝﹣5，舍去， 所以椭圆方程x 210+y 25=1；（2）由（1）可知，椭圆的焦点坐标分别为F 1(−√5，0)，F 2(√5，0)，设P （x 0，y 0），y 0＞0，由△F 1PF 2的面积S =12×|F 1F 2|×|y 0|=3，所以y 0=3√5， 代入椭圆方程，x 02=325，则x 0=±4√105， 所以P 点坐标为(±4√105，3√55)； （3）方法一：由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|=2√10，由余弦定理可知，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos∠F 1PF 2，所以(2√5)2=(2√10)2−2|PF 1||PF 2|(1+cos∠F 1PF 2)， 所以|PF 1||PF 2|=203，所以△PF 1F 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin60°=5√33， 所以△PF 1F 2的面积5√33．方法二：在椭圆中△PF 1F 2的面积S =b 2tan θ2．其中b 为半短轴长，∠F 1PF 2＝θ． 因此△PF 1F 2的面积S =5×√33=5√33， 所以，△PF 1F 2的面积5√33． 19．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2． （1）求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； （2）求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．解：（1）在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，P A ＝6，AC ＝4，AB ＝2，所以M （0，0，1），B （2，0，0），C （0，4，0），N （1，2，0），D （0，0，3），P （0，0，6），E （0，2，3），所以ND →=（﹣1，﹣2，3），BE →=（﹣2，2，3）， 设直线ND 与直线BE 所成角为θ， 所以cos θ＝|cos ＜ND →，BE →＞|＝|ND →⋅BE→|ND →||BE →|||√14×√17|√23834，即直线ND 与直线BE 所成角的余弦值为√23834． （2）由（1）得MN →=(1，2，−1)，MC →=(0，4，−1)，ME →=(0，2，2)， 设平面MNE 的一个法向量m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅ME →=2b +2c =0m →⋅MN →=a +2b −c =0，令b ＝﹣1，则a ＝3，c ＝1，得m →=（3，﹣1，1）， 易知AB ⊥平面CEM ，故可设平面CEM 的一个法向量p →=(1，0，0)， 设平面CEM 与平面MNE 的夹角为α，故cosα=|m →⋅p →|m →|⋅|p →||=3+0+0√9+1+1×√1=3√1111，即平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值为3√1111． 20．（12分）新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米、a 百米的区域，如图，l 1、l 2分别是经过王叔叔家（O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家（C 点）在王叔叔家的北偏东45°方向，以点O 为坐标原点，l 1、l 2为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米．（1）求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；（2）王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线l ：x ﹣2y +10＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？解：（1）由题意得王叔叔家（O 点）负责区域边界的曲线方程为x 2+y 2＝32＝9，且A （5，3），B （7，5），由题意可设李阿姨家C （c ，c ），则|CA |＝\CB |，即（c ﹣5）2+（c ﹣3）2＝（c ﹣7）2+（c ﹣5）2，解得c ＝5，则a ＝|CA |=√(5−5)2+(5−3)2=2百米，则李阿姨负责区域边界的曲线方程（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝22＝4，故a ＝2，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为x 2+y 2＝9、（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝4； （2）设王叔叔家O 点关于直线l ：x ﹣2y +10＝0对称点D （m ，n ），则{m 2−2⋅n2+10=0n m=−2，解得m ＝﹣4，n ＝8， 此时直线DC 的方程为y ﹣5=8−5−4−5（x ﹣5），即y =−13x +203， 联立直线DC 与直线l 的方程得{x −2y +10=0x +3y −20=0，解得{x =2y =6，故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点（2，6）处碰面，此时距离之和最近．21．（12分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝CC 1＝2，点D 为线段AC 的中点，直线BC 1与B 1C 的交点为M ，若点P 在线段CC 1上运动，CP 的长度为m ． （1）求点M 到平面A 1BD 的距离；（2）是否存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围．解：（1）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，BC ＝CC 1＝2，则四边形BB 1C 1C 为正方形，点M 为线段C 1B 的中点，则建立以B 为坐标原点，以BA 、BC 、B 1B 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系B ﹣xyz ，如图所示：AB ＝BC ＝CC 1＝2，则B （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），D （1，1，0），M （0，1，1）， 则BM →=（0，1，1），BA 1→=（2，0，2），BD →=（1，1，0）， 设平面A 1BD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BA 1→=0n →⋅BD →=0，即{2x +2z =0x +y =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z ＝﹣1， ∴平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1）， ∴cos ＜BM →，n →＞=|BM →⋅n →||n →|⋅|BM →|=2√2×3=√63， ∴点M 到平面A 1BD 的距离为|BM →|•cos ＜BM →，n →＞=√2×√63=2√33； （2）假设存在点P ，使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，CP ＝m ，则P （0，2，m ）， 由（1）得平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1），设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），BD →=（1，1，0），BP →=（0，2，m ）， 则{m →⋅BD →=x +y =0m →⋅BP →=2y +mz =0，取y ＝﹣m ，则z ＝2，x ＝m ， ∴平面PBD 的一个法向量为m →=（m ，﹣m ，2）， ∵二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2m−2√3⋅√2m 2+4=−13，即（2m ﹣2）2=13（2m 2+4），解得m ＝2（不合题意，舍去）或m =25，∴存在P （0，2，25），使得二面角P ﹣BD ﹣A 1的余弦值为−13，此时m =25；（3）由（1）（2）得P （0，2，m ），D （1，1，0），其中0≤m ≤2，平面A 1BD 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣1），则DP →=（﹣1，1，m ），设直线DP 与平面A 1DB 所成角为θ， ∴sin θ＝cos ＜DP →，n →＞=|DP →⋅n →||DP →|⋅|n →|=|−2−m|√3⋅√2+m 2=√(m+2)23(2+m 2)，令y =(m+2)26+3m 2，m ∈[0，2]，则y '=2(2+m)(6+3m 2)−(m+2)2⋅6m (6+3m 2)2=12(m+2)(1−m)(6+3m 2)2， 由y '＝0得m ＝1，由y '＞0得0≤m ＜1，由y '＜0得1＜m ≤2，∴y =(m+2)26+3m 2在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，∴sin θ在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减 当m ＝1时，sin θ取得最大值且为1， 当m ＝2时，sin θ=2√23， 当m ＝0时，sin θ=√63，∴直线DP 与平面A 1DB 所成角正弦值的取值范围为[√63，1]．22．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16，直线l ：x +y ﹣5＝0，P （x 0，y 0）是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足DT →=3TO →（O 为原点），记点T 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点C （1，0）且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设T （x ，y ），D （m ，n ），所以DT →=（x ﹣m ，y ﹣n ），TO →=（﹣x ，﹣y ），因为DT →=3TO →，所以（x ﹣m ，y ﹣n ）＝3（﹣x ，﹣y ）， 所以{x −m =−3x y −n =−3y ，所以{m =4x n =4y，因为D （m ，n ）在圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝16上运动， 所以（m ﹣1）2+n 2＝16， 所以（4x ﹣1）2+（4y ）2＝16， 整理得，（x −14）2+y 2＝1，所以曲线E 的方程为（x −14）2+y 2＝1； （2）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），联立{(x −14)2+y 2=1y =k(x −1)，化简可得(1+k 2)x 2−(12+2k 2)x +k 2−1516=0， Δ=(2k 2+12)2−4(k 2+1)(k 2−1516)=74k 2+4＞0， 设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， x 1+x 2=12+2k 21+k2，x 1x 2=k 2−15161+k2，若x 轴平分∠ANB ，则k AN +k BN ＝0，所以y 1x 1−t+y 2x 2−t=0，又y 1＝k （x 1﹣1），y 2＝k （x 2﹣1）， 所以2x 1x 2﹣（t +1）（x 1+x 2）+2t ＝0， 所以2⋅k 2−15161+k 2−(t+1)12+2k 21+k2+2t =0，所以k 2−89−(t +1)(13+k 2)+t(1+k 2)=0， 整理得，32t −198=0，解得t =1912， 所以当N(1912，0)时，能使x 轴平分∠ANB ．。
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x 2−4>0}，则A ∩B =( )A. (−2,2)B. [−2,3]C. (2,3)D. (2,3]2.已知函数f(2x−1)=4x +1，且f(t)=5，则t =( )A. 12B. 1C. 2D. 523.命题“任意x >1，则3x−1>5”的否定是( )A. 任意x ≤1，则3x−1≤5 B. 存在x ≤1，则3x−1≤5C. 存在x >1，则3x−1≤5D. 任意x >1，则3x−1≤54.若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2 B. ab <b 2C. ba +ab ≥2D. |a|+|b|>|a +b|5.设函数f(x)=ax 3+bx−1，且f(−3)=1，则f(3)等于( )A. −5B. −3C. 3D. 56.已知奇函数f(x)满足f(1)=0，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则x 3f(x)−f(−x)<0的解集是( )A. (−1,0)∪(0,1) B. (−1,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)7.已知函数f(x)满足f(a)+f(b)=f(ab)，且f(8)=32，则f(12)的值为( )A. −12B. 12C. −3D. 38.已知x⩾0，y⩾0，且x +y =1，则2x +3+12y +1的最小值为( )A. 1B. 2C. 52D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的实数a ，关于实数x 的不等式a(x−a)(ax +a)≥0的解集不可能为( )A. RB. {x|a ≤x ≤−1}C. {x|x ≤a 或x ≥−1}D. ⌀10.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y =[x]，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].如[2024]=2024，[1.7]=1，[−1.5]=−2，记函数f(x)=x−[x]，则( )A. f(−2.1)=0.9B. f(x)的值域为[0,1]C. f(x)在[0,3)上有3个零点D. ∀a ∈R ，方程f(x)+x =a 有两个实根11.对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是( )A. 若f(x)是奇函数，则f(x +1)的图象关于点(1,0)对称B. 若函数f(x−1)的图象关于直线x =1对称，则f(x)为偶函数C. 函数f(x)=(x 2+2)+1x 2+2的最小值为52D. 函数f(x)=x|x|+2+1在区间[−2024,2024]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届无锡市一中高三数学上学期10月考试卷
2025届无锡市一中高三数学上学期10月考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若虚数z 使得2z z +是实数，则z 满足（）A.实部是12-B.实部是12 C.虚部是12-D.虚部是122.已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤．若M N ⋂≠∅，则实数a 的取值集合为（）A.(],0-∞ B.(]0,4 C.()0,∞+ D.[)4,+∞3.已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是+≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB = ，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A.116-B.72C.4D.65.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}11,n n a S na =+为常数列，则n a =（）A.113n - B.2(1)n n + C.2(1)(2)++n n D.523n -6.已知x 、y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（）A.24B.32C.20D.287.已知函数()cos f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>倍得到，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A.4(0,9B.48[,99C.48(,]99D.8(0,98.已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（）A.31ln4+ B.41ln3+ C.3ln 3- D.3ln 3+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且10a <，20002022S S =，则（）A.0d > B.20110a = C.40220S = D.2011n S S ≥10.若函数=sin B +，()0,0,0πA ωϕ>><<的部分图象如图中实线所示，记其与x 轴在原点右侧的第一个交点为C ，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是πB.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11.已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（）A.当0k >时，121x x +>B.当0k >时，21e 2ex x +<C.当0k <时，121x x +< D.当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量(2,)a m = ，(2,1)b = ，且a b ⊥．则||a b += ____________．13.复平面上两个点1Z ，2Z 分别对应两个复数1z ，2z ，它们满足下列两个条件：①212i z z =⋅；②两点1Z ，2Z 连线的中点对应的复数为13i -+，若O 为坐标原点，则12Z OZ △的面积为______．14.若函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则b 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()cos ,sin m x x =-，()cos ,sin n x x x =- ，R x ∈．设()f x m n =⋅ ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()2413f x =，且ππ62x ≤≤，求sin 2x 的值．16.已知数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n *---=≥∈N ，nS表示数列{}n a 的前n 项和（1）求证：21n n a S -=+（2）求使得211100k k a S --≥成立的正整数()3,k k k *≥∈N 的最大值17.已知函数()3231f x x x ax =+++，1x ，2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点．（1）若0a =，()()13f x f x =，13x x ≠，求132x x +的值；（2）若()()125f x f x +≤，求a 的取值范围．18.如图，在ABC V 中，2π3BAC ∠=，点P 在边BC 上，且,2AP AB AP ⊥=．（1）若PC =，求PB ﹔（2）求ABC V 面积的最小值．19.定义函数()()()23*1123nn n x x xf x x n n=-+-++-∈N ．（1）求曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率；（2）若()22e xf x k -≥对任意∈恒成立，求k 的取值范围；（3）讨论函数()n f x 的零点个数，并判断()n f x 是否有最小值．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）。
江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年苏科版七年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.1．（3分）的相反数是（ ）A．B．C．D．2．（3分）点A为数轴上表示﹣3的点，将A点沿着数轴向右移动5个单位长度后到点B，点B表示的数为（ ）A．2B．﹣2C．8D．﹣83．（3分）下列各对数中，相等的一对数是（ ）A．32与23B．与C．+（﹣3）与|﹣3|D．（﹣2）3与﹣234．（3分）下列是一元一次方程的是（ ）A．x+2y＝3B．3x﹣2C．x2+x＝6D．5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）A．3a+2b＝5ab B．2x2+2x3＝4x5C．3a2b﹣3ba2＝0D．5a2b﹣4a2b＝16．（3分）下列变形中，正确的是（ ）A．若x＝y，则x+3＝y﹣3B．若x﹣y＝0，则x＝﹣yC．若mx＝my，则x＝y D．若3x＝﹣3，则﹣6x＝67．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列正确的是（ ）A．0＜﹣b＜﹣a B．b＜﹣a＜1C．﹣b＜1＜﹣a D．﹣b＜﹣1＜﹣a 8．（3分）下列说法：（1）最大的负整数是﹣1；（2）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（3），当负因数的个数为奇数个时，积一定为负数；（4），a2总是正数．其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．（3分）若关于x，y的多项式2x2+axy﹣（bx2﹣3xy+3）不含二次项，则a b的值为（ ）A．6B．﹣6C．9D．﹣910．（3分）如图，把两个正方形放置在周长为2m的长方形ABCD内，两个正方形的周长和为2n（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（ ）A．m+n B．2n﹣2m C．n﹣m D．2n﹣m二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分.只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置.）11．（3分）2023年无锡市中考体育考试评分标准中，女生立定跳远满分成绩是1.9m，小芳跳出了2.1m；若小敏的成绩记为﹣0.3m，则小敏跳远的成绩是 m．12．（3分）2023年国庆期间，我市接待旅游总人数约为1100万人次．其中数据1100万用科学记数法表示为 万．13．（3分）写出一个系数为3且只含字母x、y的三次单项式： ．14．（3分）若x＝2是关于x的方程3x+2k＝8的解，则k＝ ．15．（3分）已知a是正整数，比较大小：23a 32a．（填写“＜”“＞”“＝”）16．（3分）已知a﹣b＝2，则代数式3a﹣7﹣3b的值为 ．17．（3分）如图，这是一个运算程序示意图，不论输入x的值为多大（不变的值），则a+b ＝ ．18．（3分）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…，已知小球从原点出发，按以上规律跳了6次时6所表示的数是3．若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n，所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（8分）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②；③0；④；⑤﹣8；⑦；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩．整数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．20．（12分）计算：（1）﹣4+8﹣（﹣7）+（﹣3）；（2）；（3）；（4）．21．（6分）化简：（1）2m2﹣3n+n+3﹣m2；（2）4（x2﹣2）﹣2（2x2﹣x﹣4）．22．（6分）解方程：（1）4x﹣7＝5﹣2x；（2）．23．（10分）先化简，再求值：（1）3（a2b+ab2）﹣（3a2b﹣1）﹣ab2﹣1，其中a＝1，b＝3．（2），其中|x|＝2，且x与y互为相反数．24．（8分）无锡地铁4号线北起惠山区刘潭站，南至滨湖区博览中心站，大致呈南北走向．如图为地铁4号线部分站点，从西园弄站出发，到A站时，向北为负，李明当天的乘车站点数按先后顺序依次记录如下（单位：站），﹣3，﹣4，﹣8，+7，﹣1．（1）在本次志愿服务过程中，李明到达的离西园弄站最远的站点是 ；（填写车站名称）（2）请通过计算说明A站是哪一站？（3）地铁4号线全长24.1千米，设车站18座，相邻两站之间的平均距离约为1.4千米25．（8分）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（a＞b＞c），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，所需丝带的长度分别为l1，l2，l3（不计打结处丝带长度）．（1）用含a、b、c的代数式分别表示l1，l2，l3；（2）请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．26．（8分）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位．动点P、Q同时出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B期间速度变为原来的一半；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）当P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？（3）当P、O两点在“折线数轴”上相距的长度与Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为 （直接写出结果）．2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.1．（3分）的相反数是（ ）A．B．C．D．【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：的相反数是﹣，故选：D．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（3分）点A为数轴上表示﹣3的点，将A点沿着数轴向右移动5个单位长度后到点B，点B表示的数为（ ）A．2B．﹣2C．8D．﹣8【分析】数轴一般来说是向右为正，故将A点沿着数轴向右移动5个单位长度，则需将﹣3加上5，计算即可得答案．【解答】解：∵将A点沿着数轴向右移动5个单位长度后到点B，∴B表示的数为：﹣3+5＝2，故选：A．【点评】本题考查了数轴上的点所表示的数及移动之后的点所表示的数，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．3．（3分）下列各对数中，相等的一对数是（ ）A．32与23B．与C．+（﹣3）与|﹣3|D．（﹣2）3与﹣23【分析】根据有理数的乘方法则分别计算，然后比较即可得出答案．【解答】解：A、∵32＝6，23＝5，∴32≠43，故此选项不符合题意；B、∵，，∴，故此选项不符合题意；C、∵+（﹣4）＝﹣3，∴+（﹣3）≠|﹣7|；D、∵（﹣2）3＝﹣5，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣63，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方法则是解题的关键．4．（3分）下列是一元一次方程的是（ ）A．x+2y＝3B．3x﹣2C．x2+x＝6D．【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x+2y＝3是二元一次方程，故本选项不符合题意；B．3x﹣2是代数式不是方程，故本选项不符合题意；C．方程x2+x＝3是一元二次方程，不是一元一次方程；D．方程，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）A．3a+2b＝5ab B．2x2+2x3＝4x5C．3a2b﹣3ba2＝0D．5a2b﹣4a2b＝1【分析】根据合并同类项，逐项判断即可求解．【解答】解：A、3a+2b不能计算；B、7x2+2x5不能计算，故本选项不符合题意；C、3a2b﹣2ba2＝0，故本选项符合题意；D、2a2b﹣4a5b＝a2b，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．（3分）下列变形中，正确的是（ ）A．若x＝y，则x+3＝y﹣3B．若x﹣y＝0，则x＝﹣yC．若mx＝my，则x＝y D．若3x＝﹣3，则﹣6x＝6【分析】根据等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A．∵x＝y，∴x+3＝y+3，故本选项不符合题意；B．∵x﹣y＝4，∴x＝y，故本选项不符合题意；C．当m＝0时，故本选项不符合题意；D．3x＝﹣7，乘以﹣2，得﹣6x＝4．故选：D．【点评】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．7．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，下列正确的是（ ）A．0＜﹣b＜﹣a B．b＜﹣a＜1C．﹣b＜1＜﹣a D．﹣b＜﹣1＜﹣a 【分析】由数轴可知a＜﹣1＜0＜b＜1，结合相反数在数轴上的特点可判断﹣a，﹣b与﹣1，0，1的大小关系，从而可选出正确答案．【解答】解：由题意知，a＜﹣1＜0＜b＜5，所以a＜﹣1＜﹣b＜0＜b＜6＜﹣a，故选C．【点评】本题考查了数轴的相关知识．掌握相反数在数轴上的特点是本题解题的关键．8．（3分）下列说法：（1）最大的负整数是﹣1；（2）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（3），当负因数的个数为奇数个时，积一定为负数；（4），a2总是正数．其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】结合数轴可判断（1）；结合相反数在数轴上的特点可判断（2）；由乘法的运算法则可判断（3）（4）．【解答】解：（1）由于数轴上0左侧最靠近原点的整数为﹣1，所以最大的负整数为﹣3；（2）﹣2，3位于原点两旁，所以（2）错误；（3）当这几个有理数中有3时，结果为0不是负数；（4）当a＝0时，a5＝0不是正数，所以（4）错误．故选A．【点评】本题考查了数轴、有理数乘法的运算法则．本题的易错点是忽略0导致错误判断（3）和（4）．9．（3分）若关于x，y的多项式2x2+axy﹣（bx2﹣3xy+3）不含二次项，则a b的值为（ ）A．6B．﹣6C．9D．﹣9【分析】先对多项式2x2+axy﹣（bx2﹣3xy+3）去括号，合并同类项，然后再根据不含二次项可求解a、b的值，进而代入求解即可．【解答】解：2x2+axy﹣（bx2﹣3xy+3）＝7x2+axy﹣bx2+8xy﹣3＝（2﹣b）x2+（a+3）xy﹣3，∵多项式不含二次项，∴，解得：，∴a b＝（﹣7）2＝9．故选：C．【点评】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．10．（3分）如图，把两个正方形放置在周长为2m的长方形ABCD内，两个正方形的周长和为2n（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（ ）A．m+n B．2n﹣2m C．n﹣m D．2n﹣m【分析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长方形周长公式分别得到x+y＝n，x+y﹣b+x+y﹣a＝m，由此即可得到答案．【解答】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y、b，∵两个正方形的周长和为2n，∴4x+2y＝2n，∴x+y＝n，∴BC＝x+y﹣b，AB＝x+y﹣a，∵长方形ABCD的周长为2m，∴BC+AB＝m，∴x+y﹣b+x+y﹣a＝m，∴n﹣a﹣b＝m，∴a+b＝n﹣m，∴2（a+b）＝2n﹣2m，∴阴影部分的周长为（2n﹣7m），故选：B．【点评】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出a+b＝n﹣m是解题的关键．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分.只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置.）11．（3分）2023年无锡市中考体育考试评分标准中，女生立定跳远满分成绩是1.9m，小芳跳出了2.1m；若小敏的成绩记为﹣0.3m，则小敏跳远的成绩是 1.6 m．【分析】由正数和负数表示的实际意义，即可得到答案．【解答】解：1.9﹣5.3＝1.7（m）．∴小敏跳远的成绩是1.6m．故答案为：8.6．【点评】本题考查正数和负数，关键是掌握正数和负数实际意义．12．（3分）2023年国庆期间，我市接待旅游总人数约为1100万人次．其中数据1100万用科学记数法表示为 1.1×103 万．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1100万＝1.1×106万．故答案为：1.1×103．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（3分）写出一个系数为3且只含字母x、y的三次单项式： 3xy2（答案不唯一） ．【分析】直接利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析得出答案．【解答】解：由题意可得：3xy2（答案不唯一）．故答案为：3xy2（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．14．（3分）若x＝2是关于x的方程3x+2k＝8的解，则k＝ 1 ．【分析】把x＝2代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求得k的值．【解答】解：把x＝2代入方程，得：6+4k＝8，解得：k＝1．故答案为：2．【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．15．（3分）已知a是正整数，比较大小：23a ＜ 32a．（填写“＜”“＞”“＝”）【分析】根据幂的乘方求出23a＝8a，32a＝9a，再比较大小即可．【解答】解：23a＝（73）a＝8a，22a＝（38）a＝9a，∵8＜3，a为正整数，∴23a＜52a．故答案为：＜．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能熟记幂的乘方法则是解此题的关键，注意：（a m）n＝a mn．16．（3分）已知a﹣b＝2，则代数式3a﹣7﹣3b的值为 ﹣1 ．【分析】将原式变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴3a﹣3﹣3b＝3（a﹣b）﹣2＝3×2﹣4＝6﹣7＝﹣7，故答案为：﹣1．【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．17．（3分）如图，这是一个运算程序示意图，不论输入x的值为多大（不变的值），则a+b＝ 3 ．【分析】根据题意得到y＝3x﹣3+5﹣（a+b）x，由y的值与x的值无关，可知x的系数为0，即a+b＝0．【解答】解：由题意得：y＝3x﹣3+3﹣（a+b）x，∵不论输入x的值为多大，y都是定值，∴a+b＝3，故答案为：3．【点评】本题考查代数式求值问题，解答本题的关键是明确题意，得出x的系数为0．18．（3分）一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…，已知小球从原点出发，按以上规律跳了6次时6所表示的数是3．若小球按以上规律跳了2n次时，它落在数轴上的点P2n，所表示的数恰好是n+2，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是 2 ．【分析】数轴上点的运动位置问题，可以转化为“有理数”的加法问题来处理．即p0﹣1+2﹣3+4﹣5+…＝n+2．【解答】解：根据题意，可以得到方程p0﹣1+8﹣3+4﹣4+…+2n＝n+2．得p7+1×n＝n+2，解得p5＝2．故答案为：2．【点评】此题考查点在数轴上运动的规律，转化为“有理数的加减”，这是初一“数形”结合问题常规方法．三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（8分）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②；③0；④；⑤﹣8；⑦；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩．整数集合：{ ③⑤⑨ …}；负分数集合：{ ①⑦⑩ …}；正有理数集合：{ ②⑥⑨ …}；无理数集合：{ ④⑧ …}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．20．（12分）计算：（1）﹣4+8﹣（﹣7）+（﹣3）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；（2）利用有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘除即可；（3）利用有理数的混合运算法则，先算乘法，再算加减即可；（4）利用有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝4+7﹣8＝11﹣3＝8；（2）原式＝÷4×＝××＝；（3）原式＝﹣﹣＝＝0；（4）原式＝﹣4﹣3+1÷＝﹣4﹣4+8×9＝﹣4﹣6+9＝1．【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．21．（6分）化简：（1）2m2﹣3n+n+3﹣m2；（2）4（x2﹣2）﹣2（2x2﹣x﹣4）．【分析】（1）直接合并同类项即可；（2）先去括号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）2m2﹣2n+n+3﹣m2＝（3﹣1）m2+（﹣7+1）n+3＝m5﹣2n+3；（2）8（x2﹣2）﹣7（2x2﹣x﹣5）＝4x2﹣3﹣4x2+5x+8＝2x．【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．22．（6分）解方程：（1）4x﹣7＝5﹣2x；（2）．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；（2）移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）4x﹣7＝5﹣2x，移项，得4x+6x＝5+7，合并同类项，得2x＝12，系数化成1，得x＝2；（2），移项，得x+，合并同类项，得x＝4，系数化成3，得x＝3．【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．23．（10分）先化简，再求值：（1）3（a2b+ab2）﹣（3a2b﹣1）﹣ab2﹣1，其中a＝1，b＝3．（2），其中|x|＝2，且x与y互为相反数．【分析】（1）将原式化简后代入已知数值计算即可；（2）将原式化简，然后利用绝对值的性质及相反数的性质求得x2及x+y的值，将其代入化简结果计算即可．【解答】解：（1）原式＝3a2b+6ab2﹣3a8b+1﹣ab2﹣8＝2ab2，当a＝2，b＝3时，原式＝2×5×32＝18；（2）原式＝7x2﹣2x+y﹣5x2+x﹣2y＝x3﹣x﹣y，∵|x|＝2，且x与y互为相反数，∴x2＝7，x+y＝0，原式＝x2﹣（x+y）＝5﹣0＝4．【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．24．（8分）无锡地铁4号线北起惠山区刘潭站，南至滨湖区博览中心站，大致呈南北走向．如图为地铁4号线部分站点，从西园弄站出发，到A站时，向北为负，李明当天的乘车站点数按先后顺序依次记录如下（单位：站），﹣3，﹣4，﹣8，+7，﹣1．（1）在本次志愿服务过程中，李明到达的离西园弄站最远的站点是 周新苑 ；（填写车站名称）（2）请通过计算说明A站是哪一站？（3）地铁4号线全长24.1千米，设车站18座，相邻两站之间的平均距离约为1.4千米【分析】（1）通过依次计算每相邻两站的代数和，找出最大是数就是李明到达的离西园弄站最远的站点；（2）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值判断A站的位置；（3）计算所有站数绝对值的和，再乘以1.2即可．【解答】解：（1））∵+4+（﹣3）＝+5，1+（﹣4）＝﹣4，﹣3+（+9）＝+8，6+（﹣8）＝﹣6，﹣2+（+7）＝+2，5+（﹣4）＝+4，1+（﹣1）＝3，∴在本次志愿服务过程中，李明到达的离西园弄站最远的站点是周新苑．故答案为：周新苑；（2）+4﹣3﹣4+9﹣8+5﹣4﹣1＝4，∴A站是西园弄站；（3）|+4|+|﹣3|+|﹣7|+|+9|+|﹣8|+|+3|+|﹣4|+|﹣1|＝40，40×5.4＝56（千米）．答：本次李明志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是56千米．【点评】此题主要考查正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．25．（8分）小颖为妈妈准备了一份生日礼物，礼物外包装盒为长方体形状，长、宽、高分别为a、b、c（a＞b＞c），小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，所需丝带的长度分别为l1，l2，l3（不计打结处丝带长度）．（1）用含a、b、c的代数式分别表示l1，l2，l3；（2）请帮小颖选出最节省丝带的打包方式，并说明理由．【分析】先利用代数式分别表示出三种捆绑方式的长度，然后利用求差法比较三个代数式的大小即可．【解答】解：（1）l1丝带的长度为：2b+6c+4a；l2丝带的长度为：7a+6c+4b；l7丝带的长度为：4a+4b+8c；（2）∵a＞b＞c，∴2a＞2b＞8c，∴2a+2a+3b+2c＞2b+7a+2b+2c＞7c+2a+2b+3c，∴4a+2b+8c＞2a+4b+7c＞2a+2b+4c，∴4a+2b+8c＞2a+4b+3c，∵4a+4b+3c﹣（4a+2b+6c）＝2b﹣2c＞3∴4a+4b+2c＞2b+6c+8a，所以最节省丝带的打包方式为②．【点评】本题考查了列代数式．主要是利用两个算式相减来比较大小进行解决问题．26．（8分）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位．动点P、Q同时出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B期间速度变为原来的一半；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）当P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？（3）当P、O两点在“折线数轴”上相距的长度与Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为 2或5或8或14 （直接写出结果）．【分析】（1）根据时间＝，分段求出每段折线上的时间再求和即可；（2）P、Q两点相遇时，所用时间相等，根据等量关系建立一元一次方程；（3）根据P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等可以判断时间相等，根据等量关系建立一元一次方程，同时需要分情况讨论，即虽然PO＝OP，但PO和OP不是同一条射线．【解答】解：（1）点P从点A运动至C点需要的时间为：t＝8÷2+6÷1+（14﹣8）÷3＝15（秒）．答：点P从点A运动至C点需要的时间是15秒；（2）由题可知，P，Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x，则8÷2+x÷2＝6÷1+（8﹣x）÷2，解得x＝4．∴OM＝7表示P，Q两点相遇在线段OB上于O处．（3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q①当动点Q在CB上，动点P在AO上时，则：6﹣t＝8﹣8t，解得：t＝2；②当动点Q在CB上，动点P在OB上时，则：6﹣t＝（t﹣3）×1，解得：t＝5；③当动点Q在BO上，动点P在OB上时，则：5（t﹣6）＝（t﹣4）×6，解得：t＝8；④当动点Q在OA上，动点P在BC上时，则：t﹣6﹣8＝2（t﹣4﹣6），解得：t＝14．综上所述：t的值为2或5或3或14．故答案为：2或5或5或14．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．。
2023-2024学年江苏省无锡一中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A （0，2），B （3，﹣1），C （a ，0）三点共线，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．抛物线y ＝8x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，132）B ．（132，0） C ．（2，0） D ．（0，2）3．已知方程x 23−k+y 2k−2=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜2B ．k ＞3C ．k ＜2或k ＞3D ．2＜k ＜34．若圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．0D ．45．已知直线l ：kx +y ﹣k +1＝0，直线l 关于直线x +y ﹣2＝0对称的直线为l ′，则l ′必过点（ ） A ．（3，1） B ．（1，3） C ．（2，2） D ．（4，4）6．已知点P 在椭圆x 28+y 22=1上，F 1与F 2分别为左、右焦点，若∠F 1PF 2=2π3，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2√3B ．3√3C ．4√3D ．√37．已知点A ，B 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的任意两点，点P 在双曲线上（异于A ，B 两点），若直线P A ，PB 斜率之积为5c−4a 2a，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．38．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，其短轴长为2且离心率为√63，在椭圆C 1上任取一点P ，过点P 作圆C 2：x 2+(y −3)2=1的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则PM →•PN →的最小值为（ ） A ．﹣1B ．√32C ．2√2−3D ．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线x cos α+y +2＝0（α∈R ）的倾斜角范围是[0，π4]∪[34π，π) B ．若直线ax +3y +4＝0不经过第二象限，则a ＜0C ．过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）D ．直线l ：x cos θ+y sin θ＝2与坐标轴围成的三角形的面积最小值为410．2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P 变轨进入以火星星球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I （环火轨道）绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ（火星停泊轨道），且测得该轨道近火点（离火星表面最近的点）m 千米、远火点（离火星表面最远的点）n 千米，火星半径为r 千米，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）A ．a 1+c 1＝a 2+c 2B ．a 1﹣c 1＝a 2﹣c 2C ．a 2c 1＜a 1c 2D ．椭圆轨道Ⅱ的短轴长 2√(m +r)(n +r)11．设O 为坐标原点，直线y =−√3（x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ） A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形12．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A ．（1，1）B ．（1，3）C ．（3，1）D ．（1，2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知抛物线y 2＝2x 上一点P （m ，2），点P 到抛物线的焦点F 的距离为 ．14．已知直线l 过点（1，2），且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是 ． 15．在平面直角坐标系中，记d 为点P （2cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣3＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 ．16．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →⋅PD →的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 17．（10分）已知直线l 的方程为2x +y +1＝0．（1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线l 1方程；（2）求直线l 2的方程，使直线l 2满足以下两个条件：①与直线l 平行；②点P （3，0）到直线l 2的距离为√5．18．（12分）圆O 1的方程为x 2+（y +1）2＝4，圆O 2的圆心O 2（2，1）． （1）若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；（2）若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2．求圆O 2的方程．19．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB|=163． （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线n 过椭圆x 22+y 2=1的左焦点，且和抛物线C 相切，求直线n 的方程．20．（12分）已知双曲线x 2−y 24=1与直线l ：y ＝kx +m （k ≠±2）有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于A （x ，0），B （0，y ）两点． （1）当m ＝2且k ＞0时，求点M 的坐标； （2）当点M 运动时，求点P （x ，y ）的轨迹方程．21．（12分）设圆x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0的圆心为M ，直线l 过点N （﹣1，0）且与x 轴不重合，l 交圆M 于A ，B 两点，过点N 作AM 的平行线交BM 于点C ． （1）证明|CM |+|CN |为定值，并写出点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线E ，直线l 1：y ＝kx 与曲线E 交于P ，Q 两点，点R 为椭圆C 上一点，若△PQR 是以PQ 为底边的等腰三角形，求△PQR 面积的最小值．22．（12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，右焦点为(2√5，0)，离心率为√5． （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在定直线x ＝﹣1上运动，直线P A 1与P A 2双曲线分别交于M ，N 两点，证明：直线MN 恒过定点．2023-2024学年江苏省无锡一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A （0，2），B （3，﹣1），C （a ，0）三点共线，则a 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：A （0，2），B （3，﹣1），C （a ，0）， 则AB →=(3，−3)，BC →=(a −3，1)， AB →∥BC →，则﹣3（a ﹣3）＝3，解得a ＝2． 故选：D ．2．抛物线y ＝8x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，132） B ．（132，0）C ．（2，0）D ．（0，2）解：抛物线y ＝8x 2可化为x 2=18y ， ∴抛物线y ＝8x 2的焦点在y 轴上， ∵2p =18， ∴12p =132，∴抛物线y ＝8x 2的焦点坐标为（0，132），故选：A ． 3．已知方程x 23−k+y 2k−2=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜2 B ．k ＞3C ．k ＜2或k ＞3D ．2＜k ＜3解：∵方程x 23−k +y 2k−2=1表示双曲线，∴（3﹣k ）（k ﹣2）＜0， ∴k ＜2或k ＞3． 故选：C ．4．若圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．0D ．4解：圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1，若圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，则有：1＜√(a −0)2+(1−0)2＜3，解得﹣2√2＜a ＜0或0＜a ＜2√2， ∴a ∈（﹣2√2，0）∪（0，2√2）． 故选：B ．5．已知直线l ：kx +y ﹣k +1＝0，直线l 关于直线x +y ﹣2＝0对称的直线为l ′，则l ′必过点（ ） A ．（3，1）B ．（1，3）C ．（2，2）D ．（4，4）解：直线l ：kx +y ﹣k +1＝0，整理得k （x ﹣1）+（y +1）＝0，故{x −1=0y +1=0，解得{x =1y =−1，即直线l 恒过点（1，﹣1）；设点（1，﹣1）关于直线x +y ﹣2＝0的对称点的坐标为（a ，b ），故{b+1a−1=1a+12+b−12−2=0，解得{a =3b =1，即直线l ′必过点（3，1）．故选：A ． 6．已知点P 在椭圆x 28+y 22=1上，F 1与F 2分别为左、右焦点，若∠F 1PF 2=2π3，则△F 1PF 2的面积为（ ） A ．2√3 B ．3√3C ．4√3D ．√3解：由椭圆x 28+y 22=1，可得a =√8=2√2，c =√8−2=√6，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由题意可得：cos 2π3=m 2+n 2−(2√6)22mn=−12，m +n ＝2×2√2，解得mn ＝8，∴△F 1PF 2的面积为12×8×sin2π3=2√3．故选：A ．7．已知点A ，B 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的任意两点，点P 在双曲线上（异于A ，B 两点），若直线P A ，PB 斜率之积为5c−4a 2a，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3解：设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ）， 则m 2a 2−n 2b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，∴x 2−m 2a 2−y 2−n 2b 2=0，∴y 2−n 2x 2−m 2=b 2a 2，∴k P A •k PB =y−n x−m ⋅y+n x+m =y 2−n 2x 2−m 2=b 2a 2=5c−4a2a ， ∴2b 2＝5ac ﹣4a 2， ∴2（c 2﹣a 2）＝5ac ﹣4a 2， ∴2c 2﹣5ac +2a 2＝0， ∴2e 2﹣5e +2＝0，∴（2e ﹣1）（e ﹣2）＝0，又e ＞1， ∴e ＝2． 故选：B ． 8．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，其短轴长为2且离心率为√63，在椭圆C 1上任取一点P ，过点P 作圆C 2：x 2+(y −3)2=1的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则PM →•PN →的最小值为（ ） A ．﹣1B ．√32C ．2√2−3D ．32解：由题意可得{2b =2e =c a =√1−b 2a2=√63，可得b ＝1，a =√3，所以椭圆的方程为：x 23+y 2＝1， 由圆C 2可知半径为1，圆心C 2（0，3），设∠MC 2N ＝2θ，cos θ=1PC 2，则PM →•PN →= |PM →||PN →|cos ∠MPN ＝|PM →|2（1﹣2cos 2θ）＝（PC 22− 1）（1﹣2•1PC 22）＝﹣1﹣2+2•1PC 22+PC 22，设t =PC 22，则t ∈[4，16]，所以y ＝t +2•1t在t ∈[4，16]上单调递增，所以t ＝4时，y 最小，且最小值为4+2⋅14=92，所以PM →•PN →的最小值为﹣3+92=32． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线x cos α+y +2＝0（α∈R ）的倾斜角范围是[0，π4]∪[34π，π) B ．若直线ax +3y +4＝0不经过第二象限，则a ＜0C ．过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1）D ．直线l ：x cos θ+y sin θ＝2与坐标轴围成的三角形的面积最小值为4 解：因为直线x cos α+y +2＝0的斜率k ＝﹣cos α， 故直线的斜率k 的范围为﹣1≤k ≤1， 故倾斜角的范围为[0，π4]∪[3π4，π），A 正确；当a ＝0时，直线ax +3y +4＝0不过第二象限，B 错误； 若x 1≠x 2，y 1≠y 2时，过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1），若x 2＝x 1，y 1≠y 2时，过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为x ＝x 1（或x ＝x 2），此时符合（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1），若x 1≠x 2，y 1＝y 2时，过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为y ＝y 1（或y ＝y 2），此时符合（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1），故过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）的直线方程为（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）＝（x ﹣x 1）（y 2﹣y 1），C 正确；直线l ：x cos θ+y sin θ＝2与坐标轴围成的三角形的面积S =12×|2sinθ|×|2cosθ|=2|sinθcosθ|=4|sin2θ|≥4，即最小值为4，D 正确． 故选：ACD ．10．2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P 变轨进入以火星星球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I （环火轨道）绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ（火星停泊轨道），且测得该轨道近火点（离火星表面最近的点）m 千米、远火点（离火星表面最远的点）n 千米，火星半径为r 千米，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（ ）A ．a 1+c 1＝a 2+c 2B ．a 1﹣c 1＝a 2﹣c 2C ．a 2c 1＜a 1c 2D ．椭圆轨道Ⅱ的短轴长 2√(m +r)(n +r)解：由题意可知：a 1+c 1＞a 2+c 2，a 1﹣c 1＝a 2﹣c 2＝m +r ，a 2+c 2＝n +r ，∴2b 2＝2√a 22−c 22=2√(m +r)(n +r)，a 1−c 1c 1＜a 2−c 2c 2，化为a 1c 2＜a 2c 1，∴BD 正确，AC 错误． 故选：BD ．11．设O 为坐标原点，直线y =−√3（x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ） A ．p ＝2B ．|MN |=83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形解：直线y =−√3（x ﹣1）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，可得p 2=1，所以p ＝2， 所以A 正确；抛物线方程为：y 2＝4x ，与C 交于M ，N 两点， 直线方程代入抛物线方程可得：3x 2﹣10x +3＝0，x M +x N =103， 所以|MN |＝x M +x N +p =163，所以B 不正确； M ，N 的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83， 所以以MN 为直径的圆与l 相切，所以C 正确； 3x 2﹣10x +3＝0，不妨可得x M ＝3，x N =13，y M ＝﹣2√3，y N =2√33，|OM |=√9+12=√21，|ON |=√19+129=√133，|MN |=163， 所以△OMN 不是等腰三角形，所以D 不正确． 故选：AC ．12．设A ，B 为双曲线x 2−y 24=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A ．（1，1）B ．（1，3）C ．（3，1）D ．（1，2）解：∵12−124＜1，12−324＜1，32−124＞1，12−224=0＜1，∴（1，1），（1，3），（1，2）在双曲线张口外，（3，1）在双曲线张口内，且（1，2）在渐近线上， ∴（3，1）满足题意，∴C 选项正确；设P （m ，n ）为AB 的中点且P 在抛物线外，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12−y 124=1，x 22−y 224=1， ∴x 12−x 22−y 12−y 224=0， ∴1−14⋅y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=0，∴1−14k AB •k OP ＝0， ∴k OP =4k AB， ∵当P 在抛物线外时，A ，B 分别在两支曲线上，且双曲线x 2−y 24=1的渐近线为y ＝±2x ，∴k AB ∈（﹣2，2），∴k OP ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），而A 选项中k OP ＝1，B 选项中k OP ＝3，D 选项中k OP ＝2，∴A ，B ，D 选项中，只有B 选项满足， ∴A ，D 选项错误，B 选项正确． 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知抛物线y 2＝2x 上一点P （m ，2），点P 到抛物线的焦点F 的距离为 52．解：已知抛物线y 2＝2x 上一点P （m ，2），则4＝2m ，即m ＝2，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为2+12=52． 故答案为：52．14．已知直线l 过点（1，2），且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是 y ＝2x 或2x +y ﹣4＝0 ．解：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为y ＝2x ． 若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为xa +y 2a=1，把点（1，2）代入可得1a+22a=1，解得a ＝2．∴直线l 的方程为x 2+y 4=1，即2x +y ﹣4＝0．综上可得直线l 的方程为y ＝2x 或2x +y ﹣4＝0． 故答案为：y ＝2x 或2x +y ﹣4＝0．15．在平面直角坐标系中，记d 为点P （2cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣3＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为 5 ．解：根据题意，对于点P （2cos θ，sin θ），令x ＝2cos θ，y ＝sin θ，则点P 在椭圆x 24+y 2＝1上，直线x ﹣my ﹣3＝0，即my ＝x ﹣3，恒过定点（3，0），设M （3，0）， d 为椭圆x 24+y 2＝1上任意一点到过定点M （3，0）的直线x ﹣my ﹣3＝0的距离，则当m ＝0，即直线x ﹣my ﹣3＝0与x 轴垂直，且点P 的坐标为（﹣2，0）时，d 取得最大值，其最大值为5． 如图：故答案为：5．16．已知⊙O 的半径为1，直线P A 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →⋅PD →的取值范围为 （32，√3+32] ．解：如图，在△OP A 中，OA ⊥P A ，PO ＝2，OA ＝1，则P A =√3，∠OP A =π6，在△OPD 中，OD ⊥PD ，PO ＝2， 设∠OPD ＝α，α∈（−π6，π6），则PD ＝2cos α，所以PA →⋅PD →=|PA →||PD →|cos ∠APD ＝2√3cos αcos （α+π6） ＝3cos 2α−√3cos αsin α＝3×1+cos2α2−√32sin2α =√3cos （2α+π6）+32，因为α∈（−π6，π6），所以2α+π6∈（−π6，π2），当2α+π6=0，即α=−π12时，PA →⋅PD →有最大值，最大值为√3+32，当α=π6时，PA →•PD →=32，PA →⋅PD →的取值范围为（32，√3+32]．故答案为：（32，√3+32]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 17．（10分）已知直线l 的方程为2x +y +1＝0．（1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线l 1方程；（2）求直线l 2的方程，使直线l 2满足以下两个条件：①与直线l 平行；②点P （3，0）到直线l 2的距离为√5．解：（1）由题意设直线l 1的方程为x ﹣2y +a ＝0，将点A （3，2）代入可得3﹣2×2+a ＝0，解得a ＝1， 即直线l 1的方程为：x ﹣2y +1＝0；（2）由题意这直线l 2的方程为2x +y +b ＝0，则P （3，0）到直线l 2的距离为√22+12=√5，解得b ＝﹣1或﹣11，所以直线l 2的方程为：2x +y ﹣1＝0或2x +y ﹣11＝0．18．（12分）圆O 1的方程为x 2+（y +1）2＝4，圆O 2的圆心O 2（2，1）． （1）若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；（2）若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2．求圆O 2的方程． 解：（1）圆O 1的方程为x 2+（y +1）2＝4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2， 圆O 2的圆心O 2（2，1）．圆心距为：√(2−0)2+(1+1)2=2√2，圆O 2与圆O 1外切， 所求圆的半径为：2√2−2，圆O 2的方程（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝12﹣8√2， （2）圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2．所以圆O 1到AB 的距离为：√22−(√2)2=√2， 当圆O 2到AB 的距离为：√2， 圆O 2的半径为：√(√2)2+(√2)2=2． 圆O 2的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4． 当圆O 2到AB 的距离为：3√2，圆O 2的半径为：√(3√2)2+(√2)2=√20． 圆O 2的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝20．综上：圆O 2的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4或（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝20．19．（12分）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB|=163． （1）求抛物线的标准方程； （2）设直线n 过椭圆x 22+y 2=1的左焦点，且和抛物线C 相切，求直线n 的方程．解：（1）易知F(p2，0)，不妨设直线l 的方程为y =√3(x −p2)，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y 2=2px y =√3(x −p 2)，消去y 并整理得3x 2−5px +3p 24=0，此时Δ＝16p 2＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=5p 3， 可得|AB|=x 1+x 2+p =5p3+p =163， 解得p ＝2，则抛物线的标准方程为y 2＝4x ； （2）因为椭圆x 22+y 2=1的左焦点F （﹣1，0），易知直线n 的斜率存在且不为零， 不妨设直线n 的方程为x ＝my ﹣1，联立{x =my −1y 2=4x 消去x 并整理得y 2﹣4my +4＝0，因为直线n 和抛物线C 相切， 所以Δ＝（﹣4m ）2﹣16＝0， 解得m ＝±1，故直线n 的方程为x ＝y ﹣1或x ＝﹣y ﹣1．20．（12分）已知双曲线x 2−y 24=1与直线l ：y ＝kx +m （k ≠±2）有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于A （x ，0），B （0，y ）两点． （1）当m ＝2且k ＞0时，求点M 的坐标； （2）当点M 运动时，求点P （x ，y ）的轨迹方程．解：（1）因为双曲线x 2−y 24=1与直线l ：y ＝kx +m （k ≠±2）有唯一的公共点M ， 所以直线l 与双曲线相切，联立{x 2−y 24=1y =kx +m，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣m 2﹣4＝0，①所以Δ＝4k 2m 2+4（4﹣k 2）（m 2+4）＝0， 即m 2+4＝k 2，②联立①②，可得（mx +k ）2＝0， 若m ＝2， 因为k ≠±2， 所以k 2＝8， 又k ＞0， 所以k =2√2，此时x =−2√22=−√2，y =−2√22•2√2+2＝﹣2， 则点M 的坐标为（−√2，﹣2）； 由（1）知，因为（mx +k ）2＝0， 所以m ≠0， 此时x =−km，y =−k m ⋅k +m =−4m， 所以M(−km ，−4m )， 因为m 2+4＝k 2， 所以k ≠0，则过点M 且与l 垂直的直线为y +4m =−1k (x +km )， 令y ＝0， 解得x =−5k m， 令x ＝0， 解得y =−5m ，所以A(−5km ，0)，B(0，−5m )， 又A （x ，0），B （0，y ）， 可得{m =−5yk =x y ，③联立②③，可得25y 2+4=x 2y 2，即x 225−4y 225=1(y ≠0)．故点P 的轨迹方程为x 225−4y 225=1(y ≠0)．21．（12分）设圆x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0的圆心为M ，直线l 过点N （﹣1，0）且与x 轴不重合，l 交圆M 于A ，B 两点，过点N 作AM 的平行线交BM 于点C ． （1）证明|CM |+|CN |为定值，并写出点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线E ，直线l 1：y ＝kx 与曲线E 交于P ，Q 两点，点R 为椭圆C 上一点，若△PQR 是以PQ 为底边的等腰三角形，求△PQR 面积的最小值． 解：（1）∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝16 所以圆心M （1，0），半径|MB |＝4，又因为过点N 作AM 的平行线交BM 于点C 所以AM ∥NC ， 又因为|MA |＝|MB |所以∠BNC ＝∠BAM ＝∠NBC 所以|CN |＝|CB |， 所以|CM |+|CN |＝|CM |+|CB |＝|MB |＝4＞|MN |＝2，所以点C 的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1（y ≠0）；（2）由（1）可知点C 的轨迹方程为：x 24+y 23=1（y ≠0），直线l 1：y ＝kx 与曲线C 交于P ，Q 两点，可知k ≠0，设P （x 1，y 1） 联立{y =kx x 24+y 23=1消y 得（3+4k 2）x 2＝12解得 { x 12=123+4k 2y 12=12k 23+4k 2， |OP|=√x 12+y 12=√123+4k2+12k23+4k2=√12(1+k 2)3+4k2，∵△PQR 是以PQ 为底的等腰三角形∴RO ⊥PQ ∴k RO •k PQ ＝﹣1则k RO =−1k同理：|OR|=√12(1+(−1k)2)3+4(−1k)2=√12(1+k 2)3k 2+4，∴S △RPQ=12⋅|PQ|⋅|OR|=12⋅2⋅√12(1+k 2)3+4k 2⋅√12(1+k 2)3k 2+4=12(1+k 2)√(3+4k )(4+3k )， S △RPQ =12(1+k 2)√(3+4k )(4+3k )≥12(1+k 2)3+4k 2+4+3k 22=12(1+k 2)72(1+k2)=247， 当且仅当3+4k 2＝4+3k 2，即k ＝±1时取等号， ∴(S △RPQ )min =247． 22．（12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，右焦点为(2√5，0)，离心率为√5． （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在定直线x ＝﹣1上运动，直线P A 1与P A 2双曲线分别交于M ，N 两点，证明：直线MN 恒过定点． 解：（1）设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)， ∵右焦点为(2√5，0)，离心率为√5，c ＝2√5， ∴ca =2√5a=√5，∴a ＝2，b 2＝c 2﹣a 2＝20﹣4＝16，∴C 的方程为x 24−y 216=1．（2）设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），直线MN ：x ＝my +t ，代入4x 2﹣y 2＝16， 得（4m 2﹣1）y 2+8mty +4t 2﹣16＝0，则Δ＝64m 2t 2﹣4（4m 2﹣1）（4t 2﹣16）＞0，且4m 2﹣1≠0，y 1+y 2=−8mt 4m 2−1．y 1y 2=4t 2−164m 2−1，直线A 1M ：y =y 1x 1+2(x +2)，直线A 2N ：y =y2x 2−2(x −2)，由直线A 1M ，A 2N 的交点P 在直线x ＝﹣1上，得y 1x 1+2=−3y 2x 2−2，即y 1my 1+t+2=−3y 2my 2+t−2，∴4my 1y 2+（t ﹣2）（y 1+y 2）+（2t +8）y 2＝0， ∴4m(4t 2−16)4m 2−1+（t ﹣2）（−8mt4m 2−1）+（2t +8）y 2＝0，化为2（t +4）[4m(t−2)4m 2−1+y 2]＝0，若4m(t−2)4m 2−1+y 2＝0，即y 2=4m(2−t)4m 2−1，代入（4m 2﹣1）y 2+8mty +4t 2﹣16＝0， 可得t ＝±2，∴MN 过曲线的顶点，与题意不符，故舍去， ∴t ＝﹣4，∴直线MN 过定点（﹣4，0）．。
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无锡市第一中学2007—2008学年度第一学期期中试卷高 三 数 学命题：惠敏悦 审核：钱铭一、填空题1．已知命题p x x R x p ⌝>+-∈∀则命题,01,:2是______________________．2． 记A ×B={(a,b)|a ∈A,b ∈B}.例如A={1,2},B={3,4},则有A ×B={(1,3), (1,4) , (2,3) ,(2,4)} .现A ×B={(1,1), (2,1) , (3,1) }.则A 的子集个数为_________个.3．︒︒+︒︒167cos 43sin 13sin 43cos 的值为 ．4．若平面向量与)2,1(-=的夹角是180°，且则,53||=等于_____________．5．设，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=1|| 111|| 2|1|)(2x x x x x f 则，))21((f f =__________． 6．函数)2||,0,0)(sin(πφωϕω<>>+=A x A y 的图象如图所示，则y 的表达式为______________________．7．函数x x y sin 2cos -=的最小值为 ．8．设函数x y π21cos =的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 50的坐标是 ． 9．已知数列{}n a 满足12+++=n n n a a a ，1+<n n a a ，*∈N n ，且n a 是正整数，若605=a ，则1a 的最大值是__________．10．定义在R 上的函数)(x f y =满足：①若21x x <，则)()(21x f x f >；②)()()1(2121x f x f x x f ⋅=-+，请写出符合条件的一个函数 ．二、选择题11． 已知向量)1 ,1(b ),1 ,1(a -=-=x xx , 则||+的最小值是---------------------------（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 212． 制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36％，则平均每年应降低成本--------（ ）A ． 6%B ．9%C ． 18%D ． 20%13．已知)(x f 是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 则),25(-=f c -----------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<14．已知n S 是公差为d 的等差数列{a n } ()*N n ∈的前n 项和，且576S S S >>，则下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④013>S 中为真命题的序号为（ ）A ． ②③B ． ③④C ． ①②D ． ①④15．在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是-------------------（ ） A ．2AC AC AB =⋅ B ． 2BC BA BC =⋅C ． 2AB AC CD =⋅ D ． 22()()AC AB BA BC CD AB ⋅⨯⋅= 16．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i +=+=3,2，则k 的可能值个数是---------------------------（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．已知函数32sin sin 32)(2++-=x x x f ．（1）求函数f (x )的单调递减区间； （2）当[]π,0∈x 时，求)(x f 的最大值；（3）求满足)()(x a f x a f +=-(R x ∈)的所有的常数a ．18.如图，在四边形ABCD 中，已知CD AD ⊥，10=AD，28=BC（1）求BD 的长（2）若角C 为钝角，求角C 的度数19．在直角坐标系下，已知A （2，0），B （0，2），)0)(sin ,(cos πααα<<C(1) 7=，求OB 和的夹角；(2) 若⊥，求α2cos 的值．20．已知各项均为正数的数列n n S a a ,1,}{1=中是数列}{n a 的前n 项和，对任意*N n ∈，有2S n =2)(2R p p pa pa n n ∈-+．（1）求常数p 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）记n n n a S b λ+=，（*N n ∈）若数列}{n b 从第二项起每一项都比它的前一项大，求λ的取值范围．21．某大学为了发展需要,准备兴建新校区. 新校区规划分南北两个校区,北区拟建,,A B C三个不同功能的教学小区, 南区拟建,,D E F 三个不同功能的生活小区. 南北校区用 一条中心主干道MN 相连,各功能小区与中心主干道用支道相连,并且各功能小区到中 心干道的端点的距离相等,,,,A C D F 在边长为2公里的正方形顶点位置,,B E 分别在 MN 的延长线上. 已知中心主干道的造价为每公里30万元,支道造价为每公里20万元. 问当中心主干道约为多少公里时,才能使道路总造价最低? 道路总造价最低为多少万 元?(1.732,结果保留三位有效数字)22．定义在R 的函数)(x f 满足：①对任意的实数x 、y R ∈有).()()(y f x f y x f ⋅=+ ②当x>0时，f （x ）>1，数列*)(,)1(1)(),0(}{11N n a f a f f a a n n n ∈--==+且满足 （1）求)(),0(x f f 并判断的单调性；（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；（3）令b n 是最接近++=∈<-2111*,,21||,b b T N b b a a n n n n n 设即的正整数*)(1N n b n∈+ .1000T 求D无锡市第一中学高三数学期中试卷答案1．R x ∈∃，使012≤+-x x 2． 8个 3．21- 4．（－3，6） 5．134 6．)62sin(2π+=x y 7．－2 8．（99，0） 9．9 10．121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 11．B 12．D 13．A 14．C 15．C 16．B17．（1）化简得)32sin(2)(π+=x x f ，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k （Z k ∈） （2）最大值为2 （3）即考虑对称轴，122ππ+=k a （Z k ∈） 18．（1）设BD ＝x ，ABD ∆中ADB COS BD AD BD AD AB ∠⋅⋅-+=2222，即211021014222⨯⨯⨯-+=x x ，得0)6)(16(=+-x x ，负舍，取16=x ，即BD 长为16． （2） 30=∠BDC ，BDC ∆中，C BD BDC BC ∠=∠sin sin ，得22s i n =∠C ，又C ∠为钝角，C ∠＝43π19．（1）)sin ,cos 2(αα+=+，7=+,得7sin )cos 2(22=++αα，21cos =α，又πα<<0，23sin =α，所以)23,21(C ，)2,0(B ，OB 和OC 的夹角为6π．（2）)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ，由BC AC ⊥，0=⋅BC AC 0)2(sin sin )2(cos cos =-+-αααα，21cos sin =+αα， 法一：21cos sin =+αα，21)4sin(2=+πα，42)4sin(=+πα，又4544ππαπ<+<，且2242<，所以ππαπ<+<443，，得414)4cos(-=+πα，47)414(422)4cos()4sin(2)22sin(2cos -=-⨯⨯=++=+=παπαπαα 法二：)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=，下求ααsin -coa ，2)sin (cos )sin (cos 22=-++αααα，47)sin (cos 2=-αα，又πα<<0，21cos sin =+αα，432παπ<<，27sin cos -=-αα，472cos -=α．20．解：（1）由11=a 及)(222*∈-+=N n p pa pa S n n n ，得： p p p -+=22 1=∴p ……………………………………………………4分（2）由1222-+=n n n a a S ①得1221211-+=---n n n a a S （2≥n ，*∈N n ） ② 由②—①，得 )()(221212---+-=n n n n n a a a a a即：0)())((2111=+--+---n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴--n n n n a a a a由于数列{}n a 各项均为正数，1221=-∴-n n a a 即 211=--n n a a （2≥n ，*∈N n ）……………………6分 ∴数列{}n a 是首项为1，公差为21的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是 2121)1(1+=⨯-+=n n a n ……………9分 （3）由题意，数列{}n b 是递增的，n n b b >+1，即n n b b >+1对*∈N n 恒成立，由（2）可得4)3(+=n n S n ，)214)3((224)4)(1(1+++-++++=-+n n n n n n b b n n λλ>0恒成立，化简成)2(+->n λ恒成立，得3->λ．21．解法一:设2,MN x O =为正方形的中心,总造价为y 万元……………………………………….1分 过M 作M P AF ⊥,垂足为P ,则1,1,MP AP x AM ==-……………………………….3分故6203060y AM MN x =⋅+⋅=…………………………………….6分 设x x x y t ++-==222602, 则884)(22+-=-x x x t , 所以08)28(322=-+--t x t x ……………………………………………………….8分 由0)8(12)28(22≥---=∆t t 得: 31+≥t 或31-≤t (舍)………………….10分等号当且仅当33134-=-=t x 时成立. 故当1x =时,有min 60(1164y =+≈(万元) …………………………………12分答: 当中心主干道约为0.845公里时,才能使道路总造价最低. 道路总造价最低约为164万元…………………………………………………………………………………….14分 解法二: (三角法) 设2,MN x O =为正方形的中心,((0,))2FAM πθθ∠=∈ 过M 作//MQ AC 交AF 于Q ,在Rt AQM ∆中,1QM =1,cot 1cot ,1cot sin AM AQ x x θθθθ∴==∴-==-1202cos 6203060(1cot )6060sin sin y AM MN θθθθ-=⋅+⋅=+-=⋅+ 令2cos cos sin 2sin()sin t t θθθθφθ-=⇒+=⇒+=又sin()1,t θφ+≤∴≥ 故60(1y ≥,故min 60(1164y =≈此时: 3πθ=,故1x = 答: 当中心主干道约为0.845公里时,才能使道路总造价最低. 道路总造价最低约为164万元解法三:(利用导数判断函数单调性法)设2,MN x O =为正方形的中心,总造价为y 万元……………………………….1分 过M 作M P AF ⊥,垂足为P ,则1,1,MP AP x AM ==-=……………………………….3分故6203060y AM MN x =⋅+⋅=…………………………………….6分'60y +…………………………………………………………………….8分令'02(1)y x =⇒- 2123620111x x x x ∴-+=∴==+>(舍去)………………………………………………………………………………………….10分当(0,1'0;(1'0x y x y ∈<∈->…………………………………………12分故当1x =-时, min 60(1164y =≈(万元) 答: 当中心主干道约为0.845公里时,才能使道路总造价最低. 道路总造价最低约为164万元………………………………………………………………………………….14分22．解：（1）由)()()(y f x f y x f ⋅=+，令0,1==y x ，则)0()1()1(f f f ⋅=，所以0]1)0()[1(=-f f ，1)(0>>x f x 时， ，则0)1(≠f ，所以只能1)0(=f ，由①知 1)0()()(==-⋅f x f x f1)(0>>x f x 时， ，则1)(0<<x f x ，时，所以R x ∈，有0)(>x f任取21x x <，则)()()]([)(1211212x x f x f x x x f x f -⋅=-+=012>-x x ，则1)(12>-x x f ，又0)(1>x f ，所以)()(12x f x f >所以)(x f 在R 上为增函数。