最新北师大版初中九年级数学上册4.1 第1课时线段的比和成比例线段重点习题

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北师大版数学九年级上册第四章第一节 4.1 第1课时成比例线段同步练习 (含答案)

第四章图形的相似 1 成比例线段第1课时成比例线段同步练习一、选择题1. 下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数 ②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比 ③两条线段的比值是一个数量，不带单位 ④两条线段的比有顺序，a b 与ba不同，它们互为倒数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A. 3∶2B. 3∶1C. 2∶ 3D. 1∶ 3 3. 下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2cm ，4cm ，4cm ，8cmB. 2cm ，4cm ，6cm ，8cmC. 1cm ，2cm ，3cm ，4cmD. 2.1cm ，3.1cm ，4.3cm ，5.2cm 4. 已知xy ＝mn ，把它改写成比例式之后，正确的是( )A. x n ＝m yB. y x ＝m nC. x m ＝y nD. x n ＝y m 5. 如果a ∶b ＝4∶3，且b 2＝ac ，则b ∶c 等于( )A. 2∶3B. 3∶2C. 4∶3D. 3∶46. 如图是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的.已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是( )A. 19.4B. 19.5C. 19.6D. 19.7 7. 已知线段b 是线段a ，c 的比例中项，且a ＝9，c ＝4，那么b ＝ .8. 在一幅比例尺是1∶100000的地图上，测得某岛屿的东西走向长为3.6cm ，那么它的东西走向实际长约为米.9. 若2∶3＝(5－x )∶x ，则x ＝ .10. 在中国地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形.用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离为1290千米.那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是千米.11. 已知线段a＝3，b＝8，c＝6，d＝4，则：(1)线段a，b，c，d是否成比例？(2)线段a，d，c，b是否成比例？12. 已知四条线段的长度a＝1.5cm，b＝2cm，c＝2.8cm，d＝2.1cm，试判断它们是不是成比例线段.13. 已知线段a＝1，b＝5－12，c＝3－52，求证：b是a与c的比例中项.14. 在▱ABCD中，作∠DCB的平分线交AB于E，F为AB的中点，已知小明已量出AB＝6，BC＝4，现在小明请大家帮他求出AE∶EF∶FB是多少？15. 如图，A(0，－2)，B(－2，1)，C(3，2).(1)求AB，BC，AC的长；(2)把上述三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′，B′，C′的坐标，求出A′B′，B′C′，A′C′的长，并把它们在坐标系中标出；(3)这些线段成比例吗？16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝3，BC＝4.(1)求CD和AD的长；(2)求证：AC是AD和AB的比例中项.1. D2. C3. A4. A5. C6. C7. 6 8. 3600 9. 3 10. 387011. 解：(1)b a ＝83，d c ＝46＝23，∵b a ≠d c，∴线段a ，b ，c ，d 不成比例. (2)d a ＝43，b c ＝86＝43，∵d a ＝b c，∴a ，d ，c ，b 成比例.12. 解：它们是成比例线段.理由：由题意得：a <b <d <C.∵b a ＝21.5＝43，c d ＝2.82.1＝43，∴b a ＝c d，∴它们是成比例线段.13. 解：∵b 2＝(25－1)2＝45＝25，a ·c ＝25，∴b 2＝ac ，故b 是a 与c 的比例中项.14. 解：在▱ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠CEB .又CE 平分∠DCB ，∴∠DCE ＝∠BCE ，∴∠CEB ＝∠BCE ，∴BE ＝BC ，又BC ＝4，∴BE ＝4.∵F 为AB 的中点，AB ＝6，∴AF ＝FB ＝21AB ＝3，∴EF ＝1，AE ＝2，∴AE ∶EF ∶FB ＝2∶1∶3.15. 解：(1)AB ＝，BC ＝，AC ＝5.(2)在图中表示略.A ′B ′＝2，B ′C ′＝2，A ′C ′＝10. (3)A ′B ′AB ＝A ′C ′AC ＝B ′C ′BC ＝21，这些线段成比例.16. 解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝＝5.又∵AC ·BC ＝AB ·CD ，∴CD ＝512，AD ＝＝＝59.(2)证明：AC 2＝32＝9.AD ·AB ＝59×5＝9，∴AC 2＝AD ·AB ，即AC 是AD 和AB 的比例中项.。

2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第1节成比例线段第1课时成比例线段及比例的基本性质

∵线段 x 是线段 a ， d 的比例中项，
∴ x2＝ ad ＝6×24＝144.
∴ x ＝12(负值已舍去).
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1.1， b ＝2.2， d ＝4.4，则 c ＝
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2.2 .
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知识点3
比例的基本性质

5. 如果＝，则下列各式中不正确的是(
A. ＝

B. 4 a ＝3 b

D. 3 a ＝4 b
C. ＝
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D )
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6.

已知＝ ( y ≠0)，则
(
A
)
A. 3∶4
B. 2∶3
C. 3∶5
D. 1∶2
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2. 在比例尺为1∶38 000的城市交通地图上，某条道路的长为
B
5 cm，则它的实际长度为(
)
A. 0.19 km
B. 1.9 km
C. 19 km
D. 190 km
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知识点2
成比例线段
3. [2023深圳罗湖区模拟] 下列各组的四条线段是成比例线段

第1课时线段的比和成比例线段北师大版九年级上册数学第1课时线段的比和成比例线段

第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段一、填空题 1.若线段a=12cm,b=3cm,则线段b:a= 。

2．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．3．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______．4．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________．5.已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。

6.已知P 是线段AB 上一点，且AP:PB=2:5,则AB:PB= .7.已知三个数2，4，32，请你再加上一个数使它们成一个比例式，这个数是。

8.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是公里.9.美是一种感觉，人体下半身长与身高的比值接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165cm ，下半身与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm.二、选择题10、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（）A x a c b =B b c x a =C x c b a =D ca b x = 11、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（）A 6:1B 1:6C 3:1D 1:312、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（）A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cmB. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mmC. a=30mm b=2cm c=59cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm13、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（）A. 4：3B. 3：2C. 2：3D. 3：414、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（）A. 5:3B. 5:4C. 5:12D. 25:1215.下列各组线段中，能成比例的是（）A 、4，6，7，8B 、2，3，6，8C 、3，6，9，18D 、1，2，3，516.如果ab=cd(a,b,c,d 都不等于0），那么（）A 、a:b=c:dB 、a:c=b:dC 、b:d=c:aD 、a:d=b:c三、解答题17.已知四条线段a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm.试判断四条线段是否成比例。

北师大版九年级数学上册 4.1 成比例线段(1)同步练习题

4.1 成比例线段（1）（含答案）一、选择题：1、下列说法正确的有（）①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数，不带单位； ④两条线段的比有顺序，b a 与a b不同，它们互为倒数；A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知线段a =2cm ，线段b =10mm ，那么b a=（）A.501B.51C.25D.23、已知53ba=，那么下列式子中一定成立的是（）A.b a 53=B. b a 35=C.b a 3=D.15=ab4、已知）（043≠=b b a ，则下列结论正确的是（） A.43=b aB. b a34= C.34=b a D.43ba =5、下列各组线段（单位：cm ）长度成比例的是（）A.1，2，3，4B. 1，3，4.5，6.5C. 1.1，2.2，3.3，4.4D.1，2，2，46、已知点M 是线段AB 的延长线上一点，且2:5:=BM AM ，则=BM AB :（）A.3:2B. 3:5C. 2:3D.5:37、已知点C 是直线AB 上一点，且3:2:=CB AC ，那么=CB AB :（）A.3:2B. 3:1C. 3:1或1:3D.1:3或3:28、如果233=-n n m ，那么=n m（）A.21B.23C.25D.28 二、填空题：9、已知线段a =2cm ，b =3cm ，c=9cm ，d =6cm ，计算：____=b a ，____=c d ，所以，线段______________是成比例线段；10、如果四条线段a ，b ，c ，d 成比例，且a=2，b=6，d =18，则线段c 的长度为______；11、如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在BC 上，AB=20，BD=3；（1）=CD AC :_______，=AB AC :_______；（2）=BD BC _____，=AB CD _____，=CDAD _____； 12、如果nx x m =，可称x 是m ，n 的比例中项，当8,5==n m 时，x =__________； 13、已知三个数2，3，4，再写一个数，使这四个数成比例，则这个数可以是____或____；三、解答题：14、已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，请判断它们是否成比例？（1）a=16cm ，b=8cm ，c=5cm ，d=10cm ；（2）a=8cm ，b=5cm ，c=6cm ，d=10cm ；（3）a=8cm ，b=16cm ，c=5cm ，d=10cm ；15、已知三条线段的长分别为1cm ，2cm ，3cm ，如果再找一条线段，与上述三条线段组成比例线段，求这条线段的长；16、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC=3，BC=4；（1）线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？为什么？（2）在这个图形中，是否还有其他成比例的四条线段？如果有，请至少写出两组；AC，AD，AB，AC成比例；AB，AC，AC，AD成比例；17、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD 是AC 边上的高，BC=5cm ，AC=13cm ；（1）求BC AB ，ACBD ；（2）再找两条线段，使它们与AB ，BC 为成比例线段；参考答案：1~8 DDBCD CCD9、32，32，a ，b ，d ，c ； 10、6； 11、（1）2:17:10，；（2）；，，717207310 12、102±； 13、6或23； 14、由定义可得：（1）a ，b ，c ，d 不是成比例线段；（2）a ，b ，c ，d 不是成比例线段；（3）a ，b ，c ，d 不是成比例线段；15、设这条线段的长为xcm ，有下列三种情况：（1）3:2:1=x 解得：32=x ；（2）3:21:=x 解得：332=x ；；（3）x :31:2= 解得：23=x ；；综上所述，这条线段的长为,32cm 或cm 332，或cm 23； 16、（1）线段AD ，CD ，CD ，BD 是成比例线段；（2）例如：线段AC ，AD ，AB ，AC 成比例；AB ，AC ，AC ，AD 成比例；17、（1）;16960512==AC BD BC AB ；（2）答案不唯一；如：;1312==BC BD AC AB 这时AB ，AC ，BD ，BC 成比例；。

4.1成比例线段知识梳理与同步练习北师大版2024—2025学年九年级上册

4.1成比例线段知识梳理与同步练习北师大版2024—2025学年九年级上册知识点一:比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a∶b ＝c∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a∶b ＝b∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a∶b ＝b∶c ⇔b 2=ac （2）合、分比性质:d d c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变的是分子（3）等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. （4）比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 同步练习 1．两地实际距离是3500米，画在图上距离是5厘米，则比例尺为______．若在地图上量得为6厘米，实际距离为______米．2．已知：,346xy z 那么3242x y z x＝______．3．若a 、b 、c 表示三条线段，且a ＝11, b ＝ c 是a 、b 的比例中项，则c ＝______．4．若(a －b ) : b ＝2 : 3. 则a : b ＝______．5.已知线段a 、b 、c 满足，且a +b +c ＝33，求线段a 、b 、c 的长6.∶ABC 与∶DEF 在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1．（1）求、、的值；（2）求∶ABC 的周长与∶DEF 的周长的比；（3）在AB 、BC 、AC 、DE 、EF 、DF 这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．课堂练习1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的比例中项x=___________。

北师大版九年级数学上册习题 4.1 成比例线段

4．1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段01 基础题知识点1 线段的比1．如图，线段AB ∶BC ＝1∶2，则AC ∶BC 等于(D)A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶22．已知a ＝2 cm ，b ＝30 mm ，则a ∶b ＝2∶3．知识点2 成比例线段3．a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，d ＝4 cm ，c ＝6 cm ，则b ＝(D) A ．8 cm B.29 cmC.92cm D ．2 cm4．(常州中考)在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm ，则该道路的实际长度是2.8km.5．如图，已知AD DB ＝AEEC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2. 解得AE ＝5.6.则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．6．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝(x －1)cm ，c ＝5 cm ，d ＝(x ＋1)cm.求x 的值．解：依题意，得3x －1＝5x ＋1. 解得x ＝4.经检验，x ＝4是原方程的解． ∴x ＝4.知识点3 比例的基本性质7．已知x 3＝y2，那么下列式子中一定成立的是(A)A ．2x ＝3yB ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝68．不为0的四个实数a 、b 、c 、d 满足ab ＝cd ，改写成比例式错误的是(D)A.a c ＝d bB.c a ＝b dC.d a ＝b cD.a b ＝c d9．若2y －5x ＝0，则x ∶y 等于(C)A ．5∶2B ．25∶4C ．2∶5D ．4∶25 10．已知线段m ，n ，且m n ＝34，求m ＋n m 的值．解：∵m n ＝34，∴4m ＝3n ，即n ＝43m.∴m ＋n m ＝m ＋43mm ＝73.02 中档题11．有四组线段，每组线段长度如下：①2，2，2，1；②3，2，6，4；③12，1，5，2；④1，3，5，7，是成比例线段的有(B) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组12．将两块长a 米，宽b 米的长方形红布，加工成一个长c 米，宽d 米的长方形，有人就a ，b ，c ，d 的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是(D) A.2a c ＝d b B.a c ＝d 2bC.2a d ＝c bD.a 2c ＝d b13．已知a 2＝b3≠0，求代数式5a －2b a 2－4b 2·(a －2b)的值．解：设a ＝2k ，则b ＝3k.原式＝5a －2b（a ＋2b ）（a －2b ）·(a －2b)＝5a －2b a ＋2b＝10k －6k 2k ＋6k ＝4k 8k ＝12.14．已知线段a ＝2，b ＝2＋3，c ＝2－ 3. (1)若a ∶b ＝c ∶x ，求线段x 的长； (2)若b ∶y ＝y ∶c ，求线段y 的长．解：(1)由题意，得22＋3＝2－3x .解得x ＝12.(2)由题意，得2＋3y ＝y2－3.解得y ＝±1.因为线段y 的长为正数，所以y ＝1.15．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．解：设另一条线段长为x cm ，有四种情况： ①x 1＝22，解得x ＝2； ②1x ＝22，解得x ＝22； ③12＝x 2，解得x ＝22； ④12＝2x，解得x ＝2 2. 综上所述，另外一条线段的长是 2 cm ，2 2 cm 或22cm.16．如图所示，若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB ＝10，AP BP ＝AQ BQ ＝32，求线段PQ 的长．解：设AP ＝3x ，BP ＝2x. ∵AB ＝10，∴AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10. 解得x ＝2.∴AP ＝6，BP ＝4. 设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y.∵AQ BQ ＝32，∴10＋y y ＝32.解得y ＝20. ∴PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.03 综合题17．在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且AD DB ＝AEEC .(1)求AD 的长；(2)试问DB AB ＝ECAC 能成立吗？请说明理由．解：(1)∵AD DB ＝AE EC ＝64＝32，∴DB ＝23AD.又∵AB ＝AD ＋DB ＝12， ∴AD ＝365.(2)能，由AB ＝12，AD ＝365，得DB ＝245.∴DB AB ＝24512＝25. 又∵EC AC ＝410＝25，∴DB AB ＝EC AC.第2课时等比性质01 基础题知识点1 等比性质1．已知a b ＝c d ＝ef＝2，且a ＋c ＋e ＝16，则b ＋d ＋f 等于(B)A ．4B ．8C ．32D ．2 2．已知a 2＝b 3＝c4≠0，则a －b c的值为(B)A.14 B ．－14 C ．2 D.123．已知a b ＝cd ，则下列式子中正确的是(C)A ．a ∶b ＝c 2∶d 2B ．a ∶d ＝c ∶bC ．a ∶b ＝(a ＋c)∶(b ＋d)D ．a ∶b ＝(a －d)∶(b －d)4．已知x 4＝y 5＝z7，则下列等式成立的是(D)A.x －y x ＋y ＝19B.x ＋y ＋z z ＝716C.x ＋y ＋z x ＋y －z ＝83 D ．y ＋z ＝3x5．已知a b ＝c d ＝ef ＝3(b ＋d ＋f ≠0)．求a －c ＋e b －d ＋f .解：∵a b ＝c d ＝ef ＝3，∴a b ＝－c －d ＝e f ＝3. ∴a －c ＋e b －d ＋f＝3.知识点2 等比性质的简单应用 6．若x y ＝m n ＝45(y ≠n)，则x －m y －n ＝45．7．已知在△ABC 和△A′B′C′中，AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′＝23，且△A′B′C′的周长为80 cm ，求△ABC的周长．解：∵A′B′＋B′C′＋A′C′≠0，根据等比性质，得AB ＋BC ＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′＝23，即C △ABC 80＝23.∴C △ABC ＝1603cm.8．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝36，a 3＝b 4＝c5，求△ABC 三边的长．解：∵a 3＝b 4＝c 5＝a ＋b ＋c 3＋4＋5＝a ＋b ＋c 12＝3612＝3，∴a ＝9，b ＝12，c ＝15.02 中档题9．若a 2＝b 3＝c4，且a ＋b －c ＝1，则a －b ＋c 的值为(A)A ．3B ．4C ．5D ．6 10．(牡丹江中考)若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋bc －2b的值是(B)A ．2B ．－2C ．3D ．－311．若x 2＝y 7＝z 5，设A ＝yx ＋y ＋z ，B ＝x ＋z y ，C ＝x ＋y －z x ，则A ，B ，C 的大小顺序为(B)A ．A>B>CB ．A<B<C C ．C>A>BD ．A<C<B12．已知a ＋b ＋c ≠0，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝p ，则直线y ＝px ＋p 不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．已知a －b 2＝b －2c 3＝3c －a 4，求代数式5a ＋6b －7c4a －3b ＋9c 的值．解：设a －b 2＝b －2c 3＝3c －a4＝t ，则（a －b ）＋（b －2c ）＋（3c －a ）2＋3＋4＝t ，即c ＝9t.将c ＝9t 代入b －2c 3＝3c －a4＝t ，解得b ＝21t ，a ＝23t.∴5a ＋6b －7c 4a －3b ＋9c ＝5×23t ＋6×21t －7×9t 4×23t －3×21t ＋9×9t ＝8955.14．设a 、b 、c 为△ABC 的三边且a －b b ＝b －c c ＝c －aa ，试判断△ABC 的形状，并给出证明．解：△ABC 为等边三角形，证明如下： ∵a －b b ＝b －c c ＝c －aa ，∴a b －1＝b c －1＝c a －1. ∴a b ＝b c ＝c a ＝a ＋b ＋c b ＋c ＋a ＝1. ∴a ＝b ＝c.∴△ABC 为等边三角形．15．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝zc －a (a 、b 、c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值．解：设x a －b ＝y b －c ＝zc －a ＝k ，则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)， ∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0. ∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：a ，b ，c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，当a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋ca时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc 的值．解：设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a ＝k ，则a ＋b －c ＝kc ，①a －b ＋c ＝kb ，② －a ＋b ＋c ＝ka ，③ 由①＋②＋③，得 a ＋b ＋c ＝k(a ＋b ＋c)． ∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1.∴a ＋b ＝2c ，c ＋a ＝2b ，b ＋c ＝2a.∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ×2a ×2b abc ＝8.03 综合题16．我们知道：若a b ＝c d ，且b ＋d ≠0，那么a b ＝c d ＝a ＋cb ＋d .(1)若b ＋d ＝0，则a 、c 满足什么关系？ (2)若b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋bc ＝t ，求t 2－t －2的值．解：(1)∵a b ＝cd ，b ＋d ＝0，∴a b ＝c－b ，即a ＝－c. ∴a ＋c ＝0.(2)①当a ＋b ＋c ≠0时，b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋bc ＝t ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2，∴t 2－t －2＝22－2－2＝0.②当a ＋b ＋c ＝0时，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ， ∴b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c ＝t ＝－1.∴t 2－t －2＝0.综上所述，t 2－t －2的值为0.。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.1成比例线段第1课时比例线段同步练习及答案

1 第1课时成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，a b 与b a 不同，它们互为倒数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x 2＝y 3，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝66．若3a ＝5b ，则a b＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 38．如果a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A.12 B ．2 C.15D ．5 9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)求A ′B ′AB 和B ′C ′BC的值； (2)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.53 7.C8．A9．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12.(2)由(1)知A ′B ′AB ＝12，B′C ′BC ＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2，解得AE ＝5.6(cm)，则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x .当x ∶4＝8∶5时，可求得x ＝325；当x ∶4＝5∶8时，可求得x ＝208＝52；当4∶8＝5∶x 时，可求得x ＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。

北师大版九上数学第4章：成比例线段习题课件

A．0.19 km B．1.9 km C．19 km D．190 km
6．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是 (B )
A．1，2，3，4 C．3，5，9，13
B．1，2，2，4 D．1，2，2，3
7．四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，c＝4
cm，d＝6 cm，则b等于( B )
17．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且a5＝b4＝6c. (1)求2a3＋c b的值；解：设a5＝b4＝6c＝k(k＞0)，则 a＝5k，b＝4k，c＝6k.
∴2a3＋c b＝10k1＋8k4k＝79.
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．解：由题意得 5k＋4k＋6k＝90，解得 k＝6. ∴a＝30，b＝24，c＝36.
16．已知线段 a，b，c 满足a3＝b2＝6c，且 a＋2b＋c＝26. (1)求线段 a，b，c 的长；解：设a3＝b2＝6c＝k(k＞0)， ∴a＝3k，b＝2k，c＝6k. ∵a＋2b＋c＝26， ∴3k＋4k＋6k＝26，解得 k＝2. ∴a＝6，b＝4，c＝12.
(2)若线段 x 是线段 a，b 的比例中项即ax＝xb，求线段 x 的长．解：∵线段 x 是线段 a，b 的比例中项， ∴x2＝ab. ∵a＝6，b＝4， ∴x＝26，即线段 x 的长为 26.
A．3∶4 B．2∶3 C．3∶5 D．1∶2
4．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的
___比___等于c与d的__比____，即___ab_＝__dc______，那么这
四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
5．在比例尺为1：38 000的城市交通地图上，某条道路的长为5 cm，则它的实际长度为( B )

4.1+平行线分线段成比例+综合练习+++2024-2025学年北师大版九年级数学上册

平行线分线段成比例[时间:60分钟分值:100分]一、选择题(每题4分，共32分)1.已知线段a,b,c,d 是成比例线段,其中a=2cm,b=3cm,d=6 cm,则线段c的长为( )A.1 cmB.2 cmC.4 cmD.9 cm2.在比例尺为1：30 000的地图上量得AB两地的图上距离AB=5 cm，则AB两地的实际距离为( )A.1,5×10²mB.1.5×10³mC.1.5×10⁴mD.1.5×10⁵m3.如图,已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是( )A.CDEF =ADAFB.ABCD=BCECC.ADBC =AFBED.CEBE=AFAD4.小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示.若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则BCAB的值为( )A 12B 23C 35D.25.如图，是某名同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P 表示的数是( )A.1 B √2103C D.56.如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD 于点N,若DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为( )A.2B.4C.6D.87. 如图,正方形ABCD 的边长为4，E 为CD边的中点，G 为BC边上一点,连接AE,DG,相交于点F.若DFFG=45,则FE 的长度是( )A.2√59B.2√37C 12D 478.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点F是边AB的中点,连接CF,把线段CF 沿射线BC方向平移得到DE,点D 在AC上，则线段CF 在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是( )A.16,6B.18,18C.16,12D.12,16二、填空题(每题5分，共20分)9.若ab =12,则aa+b的值为.10.若x6=y4=z3(x,y,z均不为0),则x+3y3y−2z=¯.11.如图,直线l₁∥l₂∥l₃,直线a,b与l₁,l₂,l₃分别相交于点A,B,C和点D,E, F.若ABAC =13,则EFDE=¯.12.在矩形ABCD中，M为对角线BD 的中点,点N 在边AD 上,且AN =AB=1.当以D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为.三、解答题(共48分)13.(12分)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a+43=b+32=c+84,a+b+c=12.14 (1)试求a,b,c的值;(2)判断△ABC的形状.14.(12 分)如图,直线l₁∥l₂∥l₃,且直线l₁,l₂,l₃分别截直线l₄于点A,B,C,截直线l₅于点D,E,F.(1)若AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;(2)若DEEF =23,AB=7,求AC的长.15.(10分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于点N.求证：AN=12CN.16.(14 分)新视屏主题探究题【探究与应用】问题：如图①，AD是△ABC的角平分线，求证：BDCD =ABAC.(1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点C作CE∥AD,交BA的延长线于点E,如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题.请证明：BDCD =ABAC.(2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题:如图③,在四边形ABCD 中,AB=2,BC=4,∠ABC=60°,BD平一、1. C 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B7. A 【点拨】作 FH ∥BC,交 CD 于点 H,则 DHHC =DFFG =45. ∵E 为CD 边的中点， ∴DE=2,易得HE ED=19.∵AD ∥BC,∴FH ∥AD.∴FE=HE 19∵AE =√42+22=2√5, ∴FE =2√59.故选 A.8. C 【点拨】由平移的性质可知 DF ∥CE,DF=CE,∴四边形 CFDE 是平行四边形. 在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6, ∴AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8. ∵DF ∥CE,点F 是边AB 的中点,∠ACB=90°,∴AC=AB 12₂,∠CDF=180°—∠ACB=90°,CF 12AB =5.∴点 D 是AC 的中点.∴DF 是 Rt △ABC 的中位线, CD =12AC =4.∴DF =12BC =3.∴四边形CFDE 的周长为2(DF+CF)=2×(3+5)=16,面积为 DF·CD=3×4=12.二、9.1/310.3 【点拨】设 x 6=y 4=z 3=k (k ≠0)则x=6k,y=4k, z =3k.∴x+3y 3y−2z =6k+12k 12k−6k =18k 6k=3.11.2 【点拨】将 AB AC =13转化为 AB BC =12是解题的关键.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°. ∴MN∥AB.∴ANND =BMMD.∵M为对角线BD的中点,∴BM=MD.∴ANND =BMMD=1,∴ND=AN=1.∴AD=AN+ND=2.当∠NMD=90°时,连接BN,如图②.∵M为对角线BD 的中点,∠NMD=90°. ∴MN为线段BD的垂直平分线.∴BN=ND.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.又∵AN=AB=1,∴BN=√AB2+AN2=√2.∴ND=√2,∴AD=AN+ND=√2+1.综上所述，AD的长为2或√2+1.三、13.【解】(1 ∵a+43=b+32=c+84,∴a+4+b+3+c+83+2+4=a+43,即a+b+c+159=a+43.又:a+b+c=12,∴12+159=a+43,解得a=5.∴b+32=c+84=5+43=3,解得b=3,c=4.(2)∵3²+4²=5²,,即b²+c²=a²,∴△ABC是直角三角形.14.【解】(1)∵l1l2l3,∴ABBC =DEEF.∵AB=4,BC=8,EF=12,∴DE=AB⋅EF=4×12=6,即DE的长为6.(2)∵ABBC =DEEF,DEEF=23,∴ABBC=23.又∵AB=7,∴BC=32AB=212.∴AC=AB+BC=7+212=352.15.【证明】过点D 作DE∥BN,交AC于点E,. ∴CDBD =CENE.∵AD 是BC 边上的中线,∴BD=DC. ∴CE=NE.∵M是AD 的中点,∴AM=DM.∵MNDE,∴ANNE =AMMD=1.∴AN=NE.∴AN=NE=CE.∴CN=NE+CE=2AN,即AN=12CN.16.(1)【证明】∵CE∥AD,交BA的延长线于点E, ∴BA=BD.∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE.∵AD 是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∴∠E=∠ACE.∴AE=AC.∴BDCD =ABAC.(2)【解】∵BO平分∠ABC,∠ABC=60°,∴AOCO =ABBC=24=12,∠ABD=∠DBC=12∠ABC=30∘.∴AOAC =13.∵AD∥BC ∠ADB=∠DBC=30°.. DB 23₃,∠ABD=∠ADB∴AB=AD.如图,过点A作AF⊥BD于点F,∴BF=DF,AF=12AB=1.∴BF=√AB2−AF2=√3.∴BD=2BF=2√3.∴OB=23×2√3=43√3.综上，ODDB =13,OB=43√3.。

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第四章图形的相似
4.1 成比例线段
第1课时线段的比和成比例线段
一、填空题
1.若线段a=12cm,b=3cm,则线段b:a= 。

2．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．
3．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______．
4．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________．
5.已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。

6.已知P 是线段AB 上一点，且AP:PB=2:5,则AB:PB= .
7.已知三个数2，4，32，请你再加上一个数使它们成一个比例式，这个数是。

8.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际
距离是公里.
9.美是一种感觉，人体下半身长与身高的比值接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165cm ，下半身与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm.
二、选择题
10、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（）
A x a c b =
B b c x a =
C x c b a =
D c
a b x = 11、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么
这三条线段的和与b 的比等于（）
A 6:1
B 1:6
C 3:1
D 1:3
12、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（）
A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm
B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm
C. a=30mm b=2cm c=5
9cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm 13、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（）
A. 4：3
B. 3：2
C. 2：3
D. 3：4
14、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（）
A. 5:3
B. 5:4
C. 5:12
D. 25:12
15.下列各组线段中，能成比例的是（）
A 、4，6，7，8
B 、2，3，6，8
C 、3，6，9，18
D 、1，2，3，5
16.如果ab=cd(a,b,c,d 都不等于0），那么（）
A 、a:b=c:d
B 、a:c=b:d
C 、b:d=c:a
D 、a:d=b:c
三、解答题
17.已知四条线段a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm.试判断四条线段是否成比例。

18．求下列各式中的x:
（1）3：x= x ：6 （2）5：2=（3-x ）：x
19.如图，△ABC 中，EC
AE DB AD =,AB=12,AE=6,EC=4.(1)求AD 的长；（2）试说明
AC EC
AB DB
=成立。