2012年研究生计算方法试题
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年硕士研究生计算机统考408考研真题及答案
A. 10
B. 20
C. 32
D. 33
5．对有 n 个结点、e 条边且使用邻接表存储的有向图进行广度优先遍历，其算法时间复杂度是
A. O(n)
B. O(e)
C. O(n+e)
D. O(n*e)
6．若用邻接矩阵存储有向图，矩阵中主对角线以下的元素均为零，则关于该图拓扑序列的结论是
A. 存在，且唯一
B. 存在，且不唯一
A. 程序计数器
B. 程序状态字寄存器
C. 通用数据寄存器
D. 通用地址寄存器
25．下列关于虚拟存储器的叙述中，正确的是
A. 虚拟存储只能基于连续分配技术
B. 虚拟存储只能基于非连续分配技术
C. 虚拟存储容量只受外存容量的限制
D. 虚拟存储容量只受内存容量的限制
26．操作系的 I/O 子系统通常由四个层次组成，每一层明确定义了与邻近层次的接口，其合理的层次组织排列顺序 是
A. 不管系统是否支持线程，进程都是资源分配的基本单位
B. 线程是资源分配的基本单位，进程是调度的基本单位
C. 系统级线程和用户级线程的切换都需要内核的支持
D. 同一进程中的各个线程拥有各自不同的地址空间
32．下列选项中，不能改善磁盘设备 I/O 性能的是 6
D. 360ms
A. 重排 I/O 请求次序
13．假定编译器规定 int 和 short 类型长度占 32 位和 16 位，执行下列 C 语言语句 unsigned short x = 65530; unsigned int y = x; 得到 y 的机器数为
3
A. 0000 7FFA
2012 年全国硕士研究生入学统一考试—计算机专业基础综合试题
2012年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-的渐近线条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是()(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
新东方在线考研资料免费下载中心2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案解析一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim11x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'== . 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=-- .故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=-- 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >= ，123n n S a a a a =++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【详解】因0(1,2,)n a n >= ，所以123n n S a a a a =++++ 单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n = ，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y >（C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π （B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d y dx== .【答案】1【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解答与点评
2012硕士研究生入学统一考试数学一解答与点评来源：超越考研发布时间：1-11 19:332012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解答与点评一、选择题（1）曲线渐近线的条数为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选(C)．解：，，而，所以有两条渐近线和，故选（C）．【点评】本题属于基本题，其难度低于超越数学一模拟三第（1）题．（2）设函数，其中为正整数，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（A）．解法一：，故选（A）．解法二：，故选（A）．【点评】与超越强化班讲义第16页【例3】设求．中函数形式和解题方法完全一致，我们真的没办法猜出函数了．（3）如果函数在处连续，那么下列命题正确的是( ) ．（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在答案：选（B）．解：已知在处连续，设，因为，所以，故．由极限的性质有，其中是当，时的无穷小量，记，则．由全微分的定义知在点处可微分．【点评】本题考察的知识点是极限的基本性质及全微分的定义，所用知识点与2007年数学二的选择题类似．（4）设则有( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（D）．解：，所以．，所以，故选（D）．【点评】常规题型，但判定时有一定的技巧．（5）设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（C）．【点评】考点（1）列向量组进行行变换后，有相同的相关性；（2）三个三维的向量线性相关的充要条件为所构成的行列式为零．该题与超越最后五套模拟题中的数一模三第5题，数二模拟二第7题完全类似．解法一：，显然有，故线性相关．解法二：因为，故线性相关．附：数二模二（7）已知向量组作为列向量组成矩阵，则（A）不能由其余向量线性表示．（B）不能由其余向量线性表示．（C）不能由其余向量线性表示．（D）不能由其余向量线性表示．（6）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且，若，，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（B）．【点评】考点（1）等价于．（2）也为的三个线性无关的特征向量．故．此题与超越五套模拟中的数一、三模五21题完全相同．每个数字都是一样的，真是惊人的巧合，这大概只有在超越才能把数学模拟到如此完美的地步．附：数一、三模五（21）（本题满分11分）为三阶实对称阵，为三阶正交阵，且．（Ⅰ）证明，；（Ⅱ）若，计算，，并证明与合同但不相似．（7）设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和参数为的指数分布，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（A）．解：的联合密度函数为．故选（A）．【点评】见超越冲刺班概率统计讲义例8．设总体，为来自总体的一个简单随机样本．记．（Ⅰ）求的密度函数；（Ⅱ）求．本例8第（Ⅱ）部分即为此题，只是将9换成4而已．本例8第（Ⅰ）部分为数学三第（23）所考．超越冲刺班学员实在受益．（8）将长度为m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（D）．解：设分别为两段长度，则，，因此．故选（D）．【点评】与超越强化班讲义第190页例1将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于（）．(A) (B) (C) (D)几乎一样．此例1为历年真题．二、填空题（9）若函数满足方程及，则．答案：“”．解：解此二阶常系数齐次线性方程得通解．又因满足可得，故．【点评】此题为一个简单的二阶常系数齐次线性方程的求解问题，与冲刺班模拟二第（12）题类似，只是更简单一些．（10）．答案：“”．解：．【点评】与超越冲刺班一元函数讲义【例5】设为正整数，则．解题思路完全相同，先换元到对称区间，然后利用对称性．（11）．答案：“”．解：记，则．【点评】本题考察的知识点是梯度的定义，在强化班中讲过梯度的定义以后，我们曾说过：“这个问题不需要举例题，人人都会做．”本题也仅仅是超越模拟题数学一模拟四第10题解题过程中的一个步骤．（12）设，则．答案：“”．解：，在面上的投影区域如图所示．．【点评】本题考察的知识点是第一类曲面积分的基本计算方法，这也是历年考研试题中第一类曲面积分最简单的一个计算题．做完了强化班讲义例1及冲刺班例17以后再做本题，感觉本题也太简单了．（13）设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为．【点评】考点（1）实对称矩阵的秩为其非零特征值的个数；（2）时，的特征值为，此题仅数一考，是代数三个小题中最难的一个．若要按照知识点求解出来，对考生来说难度很大，但对超越冲刺班的学员来说，却是易如反掌．因为孙老师和余老师都强调了选择、填空题中的赋值法．并把这些都写进了冲刺班讲义．令我们感到欣慰的是，我们有很多学员都是用赋值法做出来的．答案：“”．解法一：的特征值为，的特征值为，故秩为．解法二：令，则，从而秩为．附：冲刺班讲义（5），为维非零列向量则有①；②；的特征值只能取；③时，必可相似对角化，此时的特征值为一个，个零；特征值对应的特征向量为，特征值对应的特征向量为．（14）设是随机事件，与互不相容，，，．答案：“”．解：．【点评】会做超越冲刺班概率统计讲义例1．设随机事件两两独立，且，，，，已知至少发生一个，则仅有不发生的概率为．本题就是毛毛雨啦．三、解答题（15）证明，．证法一：令，，，所以，当时，，；当时，，．故当时，．即证．证法二：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．．当时，，，所以，，得证．证法三：．即证．证法四：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．．所以得证．【点评】首先不等式证明时今年超越冲刺班强调的第一重点．再仔细比较超越冲刺班数学一模拟二（15）：（15）（本题满分10分）设，证明：．中的不等式两边的函数，有多项式函数，三角函数和指数（对数）函数，惊人地相似．最后看证明方法，均有利用单调性、幂级数展开、积分关系多种方法证明，对超越冲刺班同学真的没说的！（15）【证法一】令，则，，，，，．因为，所以，单调递增，由知．从而单调递增，再由知，从而单调递增，最后由知，故要证的不等式成立．【证法二】，，，故当时，．【证法三】由于当时，，在依次作积分得：，，即，，即．（16）求函数的极值．解：令得驻点，．，，．在点处，，，．因为，且，所以是的极小值点，极小值．在处，，．因为，且，所以是的极大值点，极大值．【点评】本题的解题方法是求无条件极值的最基本方法，这与下列各题的解题方法完全相同：同济大学高等数学教材（五版）下册例4，合肥工业大学高等数学教材下册例2，强化班讲义例1（即2009年数学一、三考研试题）（17）求幂级数的收敛域及和函数．解：记，由，可得．故收敛区间为．当时级数均发散，故收敛域为．设其中，，而，可得．，可得．所以【点评】还记得苏灿荣老师在冲刺班讲过的话吗？级数的大题肯定是考幂级数的大题，并且串讲时的例题就是这种题型．另此题与超越强化班讲义的例1完全相同，既用到了求导又用到了积分．原题为：求幂级数的收敛域及和函数．, <, /B>（18）已知曲线，其中函数具有连续导数，且，，．若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积．解：因为，故曲线上任一点，即点处的切线方程为．由此可得切线与轴的交点为，根据题意有．即，可得．由，可得，故．面积．【点评】微分方程的几何应用是我们在强化班与冲刺班反复强调的题型，且建立方程所用到的知识点在强化班讲义中也列出．此题与强化班讲义的例1类似．（19）已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分．解法一：补充曲线为轴上从点到点的直线段，设与围成区域，由Green公式，．解法二：．在中，，．因为，所以积分与路径无关，取从点到点的直线段为，则．把分成两部分如图所示．．，，．【点评】本题与强化班讲义例1如出一辙，解法完全相同．而对于解法二，只要注意到冲刺班例14的补充说明即可非常容易地解答本题．如果不利用曲线积分与路径无关的等价条件，而把分成两部分，利用解法二中计算同样的方法，直接计算原积分也是可行的，但是计算过程较繁琐一些．（20）设，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求并求的通解．【点评】考点（1）为方阵，有无穷多解的必要条件为；（2）有无穷多解的充要条件为．此题太常规，太简单，超越的基础班，强化班讲义都有完全类似的题目．解：（Ⅰ）．（Ⅱ）得，当时，，，方程组无解舍去．当时，，，方程组有无穷多解，符合题意，通解为．（21）已知，二次型的秩为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求正交变换将化为标准形．【点评】考点（1）二次型的秩为；（2）．本题的关键是要知道，若不知道则很难算出来，因为求行列式计算量太大．同学都应该记得冲刺班上孙老师和余老师是怎么强调要记住这一结果的，并且我们还给出了证明．由此可见这一结论的重要性．而这终于在12年考研中得到了应证．这也充分说明了上超越数学辅导班的好处，因为这一结论在一般教科书上不是很强调的．解法一：由得，从而，，，有三个特征值．分别解三个线性齐次方程组，，．求得特征向量后，再单位化得正交阵，对角阵，正交变换，的标准型为．解法二：若不知也可做但很繁．，．此行列式难算，算出后还要因式分解，不容易！据我了解选择此方法的都没算出，得分也不会超过4分．（22（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）．（Ⅱ），，，，，，，．【点评】哈哈，送分题．（23）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且．设．（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计；（Ⅲ）证明为的无偏估计量．解：（Ⅰ）由于，所以的密度函数为，．（Ⅱ），，，令，解得．（Ⅲ），所以为的无偏估计量．【点评】在超越冲刺班中强调极大似然估计和无偏性是今年统计的两个重点．并列举下列例9.设总体的密度函数为其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本．（I）求的极大似然估计；（II）(数三)求．（II）（数一）问是否为的无偏估计？上一篇：考研数学临场发挥策略。
2012年408真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试计算机科学与技术学科联考计算机学科专业基础综合试题一、单项选择题：第1～40小题，每小题2分，共80分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合试题要求。
1．求整数n(n≥0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是。
int fact(int n){if (n<=1) return 1;return n*fact(n-1);}A. O(log2n)B. O(n)C. O(nlog2n)D. O(n2)2．已知操作符包括…+‟、…-‟、…*‟、…/‟、…(‟和…)‟。
将中缀表达式a+b-a*((c+d)/e-f)+g转换为等价的后缀表达式ab+acd+e/f-*-g+时，用栈来存放暂时还不能确定运算次序的操作符，若栈初始时为空，则转换过程中同时保存在栈中的操作符的最大个数是。
A．5 B．7 C．8 D．113．若一棵二叉树的前序遍历序列为a, e, b, d, c，后序遍历序列为b, c, d, e, a，则根结点的孩子结点。
A. 只有eB. 有e、bC. 有e、cD. 无法确定4．若平衡二叉树的高度为6，且所有非叶结点的平衡因子均为1，则该平衡二叉树的结点总数为。
A. 10B. 20C. 32D. 335．对有n个结点、e条边且使用邻接表存储的有向图进行广度优先遍历，其算法时间复杂度是。
A．O(n) B．O(e) C．O(n+e) D．O(n*e)6．若用邻接矩阵存储有向图，矩阵中主对角线以下的元素均为零，则关于该图拓扑序列的结论是。
A．存在，且唯一B．存在，且不唯一C．存在，可能不唯一D．无法确定是否存在7．对如下有向带权图，若采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求从源点a到其他各顶点的最短路径，则得到的第一条最短路径的目标顶点是b，第二条最短路径的目标顶点是c，后续得到的其余各最短路径的目标顶点依次是。
A．d,e,f B．e,d,f C．f,d,e D．f,e,d8．下列关于最小生成树的叙述中，正确的是。
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年考研数学二真题及答案
2012年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)．(1)． 设3(),(1),t x f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导,且(0)0f '≠,则0t dy dx ==＿＿＿＿＿＿. (2)． 函数2cos y x x =+在[0,]2π上的最大值为＿＿＿＿＿＿.(3)．0x →=＿＿＿＿＿＿. (4)． 21(1)dx x x +∞=+⎰＿＿＿＿＿＿. (5)． 由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．(1)． 当0x →时,sin x x -是2x 的( )．(A)． 低阶无穷小 (B)． 高阶无穷小(C)． 等价无穷小 (D)． 同阶但非等价的无穷小(2)． 设22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,则( )． (A)． 22 , 0()(),0x x f x x x x ⎧-≤⎪-=⎨-+>⎪⎩ (B)． 22(),0() , 0x x x f x x x ⎧-+<⎪-=⎨-≥⎪⎩ (C)． 22 , 0(),0x x f x x x x ⎧≤⎪-=⎨->⎪⎩ (D)． 22,0() , 0x x x f x x x ⎧-<⎪-=⎨≥⎪⎩ (3)． 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限( )．(A)． 等于2 (B)． 等于0(C)． 为∞ (D)． 不存在但不为∞(4)． 设()f x 连续,220()()x F x f t dt =⎰,则()F x '等于( )．(A)． 4()f x (B)． 24()x f x(C)． 42()xf x (D)． 22()xf x(5)． 若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为( )．(A)． 1sin x + (B)． 1sin x -(C)． 1cos x + (D)． 1cos x -三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)．(1)． 求123lim()6xx x x-→∞++. (2)． 设函数()y y x =由方程1y y xe -=所确定,求220x d y dx =的值.(3)．求3. (4)．求0π⎰.(5)． 求微分方程3()20y x dx xdy --=的通解.四、(本题满分9分)．设21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩,求31(2)f x dx -⎰.五、(本题满分9分)．求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解.六、(本题满分9分)．计算曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的长度.七、(本题满分9分)．求曲线y =的一条切线l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)．已知()0,(0)0f x f ''<=,试证：对任意的二正数1x 和2x ,恒有1212()()()f x x f x f x +<+成立.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：3(2)．【答案】6π(3)．【答案】：0 (4)．【答案】：1ln 22(5)．【答案】：12e - 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)．(1)．【答案】：(B)．(2)．【答案】：(D)．(3)．【答案】：(D)．(4)．【答案】：(C)．(5)．【答案】：(B)．(3)．【答案】：322(1)x C + 其中C 为任意常数.方法1：积分的凑分法结合分项法,有(4)．【答案】：1)(5)．【答案】：315y x =,其中C 为任意常数四、(本题满分9分)．分段函数的积分应六、(本题满分9分)．由于2ln(1)y x =-, 2222222(1),1,1(1)x x y y x x -+''=+=--2211,(0)12x ds dx x x +==≤≤-, 所以 221/21/2220012(1)11x x s dx dx x x +--==--⎰⎰1/21/21/22000211111112dx dx dx x x x ⎛⎫=-=+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰⎰ 1/20111ln ln 3122x x +⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭. 七、(本题满分9分)．过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为 1()2y t x t t -=-,化简即得 22xt y t =+. 面积 2014()2232x t S t x dx t t t ⎡⎤⎛⎫=+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰, 其一阶导数 3/21/2111()222t S t t t t t---'=-+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为122x y =+.八、(本题满分9分)．证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设210x x >>,要证的不等式是 1221()()()(0)f x x f x f x f +-<-.在1[0,]x 上用中值定理,有 11()(0)(),f x f f x ξ'-=10x ξ<<,在212[,]x x x +上用中值定理,又有 1221212()()(),f x x f x f x x x x ηη'+-=<<+,由()0,f x ''<所以()f x '单调减,而12x x ξη<<<,有()()f f ξη''>,所以12211()()()(0)()f x x f x f x f f x +-<-=,O 2即 1212()()()f x x f x f x +<+. 证法二：用函数不等式来证明.要证 11()()(),0f x x f x f x x +<+>. 令辅助函数11()()()()x f x f x f x x ϕ=+-+,则1()()()x f x f x x ϕ'''=-+. 由()0,()f x f x '''<单调减,1()(),()0f x f x x x ϕ'''>+>,由此, 11()(0)()(0)()0(0)x f x f f x x ϕϕ>=+-=>. 改x 为2x 即得证.。
2012计算机考研408统考真题及答案
2012 年全国硕士研究生入学统一考试—计算机专业基础综合试题2012 年全国硕士研究生入学统一考试计算机科学与技术学科联考计算机学科专业基础综合试题（科目代码 408）1一、单项选择题：第1～40小题，每小题2分，共80分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合试题要求。
1．求整数n(n≥0)阶乘的算法如下，其时间复杂度是int fact(int n){if (n<=1)return 1;return n*fact(n-1);}A. O(log2n)B. O(n)C. (nlog2n)D. O(n2)2．已知操作符包括…+‟、…-‟、…*‟、…/‟、…(‟和…)‟。
将中缀表达式a+b-a*((c d)/e-f)+g转换为等价的后缀表达式ab+acd+e/f-*-g+ 时，用栈来存放暂时还不能确定运算次序的操作符，若栈初始时为空，则转换过程中同时保存在栈中的操作符的最大个数是A. 5B. 7C. 8D. 113.若一棵二叉树的前序遍历序列为a, e, b, d, c，后序遍历序列为b, c, d, e, a，则根结点的孩子结点A.只有eB.有e、bC.有e、cD.无法确定4．若平衡二叉树的高度为6，且所有非叶结点的平衡因子均为1，则该平衡二叉树的结点总数为A. 10B. 20C. 32D. 335．对有n个结点、e条边且使用邻接表存储的有向图进行广度优先遍历，其算法时间复杂度是A. O(n)B. O(e)C. O(n+e)D. O(n*e)6．若用邻接矩阵存储有向图，矩阵中主对角线以下的元素均为零，则关于该图拓扑序列的结论是A.存在，且唯一C.存在，可能不唯一B.存在，且不唯一D.无法确定是否存在7．对如下有向带权图，若采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求源点a到其他各顶点的最短路径，则得到的第一条最短路径的目标顶点是b，第二条最短路径的目标顶点是c，后续得到的其余各最短路径的目标顶点依次是A.d,e,fB.e,d,fC. f,d,eD.f,e,d8．下列关于最小生成树的说法中，正确的是 I. 最小生成树树的代价唯一II. 权值最小的边一定会出现在所有的最小生成树中III. 用普里姆（Prim ）算法从不同顶点开始得到的最小生成树一定相同 IV. 普里姆算法和克鲁斯卡尔（Kruskal ）算法得到的最小生成树总不相同A. 仅 IB. 仅 IIC. 仅 I 、IIID. 仅 II 、IV9．设有一棵 3 阶 B 树，如下图所示。
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
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江西理工大学2012研究生计算方法试卷 专业: 姓名: 学号:
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1.数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有
效数字.
(A)
21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 2
1
×10－6
2. 设矩阵A ＝⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的 雅可比迭代矩阵为( )
(A)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡04.02.01.002.01.02.00 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡14.02.01.012.01.02.01 (C) ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------04.02.01.002.01.02.00
(D) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102120 3. 已知y =f (x )的均差f [x 0,x 1,x 2]=314，f [x 1,x 2,x 3]=315，f [x 2,x 3,x 4]=15
91
，
f [x 0,x 2,x 3]=
318
, 那么均差f [x 4,x 2,x 3]=( ) (A) 315 (B) 318 (C) 1591 (D) 3
14
4.已知
n =4时牛顿－科特斯求积公式的科特斯系数
,152,4516,907)4(2)4(1)
4(0===
C C C 那么)
4(3
C ＝( )
90
3915245169071)D (152)C (4516)B (907)A (=---
5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( )
(A) e x －x －1＝0，[1,1.5]，令x k +1=1e -k x (B) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令2111k
k x x +
=+
(C) x 3－x 2－1=0，[1.4,1.5], 令32
11k k x x +=+ (D) 4－2x =x ，[1,2], 令)4(log 21x x k -=+
二、填空题(每空2分，共16分)
6. sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 。
7. 设矩阵A 是对称正定矩阵，则用 迭代法解线性方程组A X =b ，其迭代解数列一定收敛。
8. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 .
9. 若1)(37++=x x x f ,则 ]22,2[710 f = ,
]2,2,2[810 f = 。
10. 设求积公式∑⎰=≈n
k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，若对 的多项式积
分公式精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。
则称该求积公式具有m 次代数精度.
11. 如果A=)(ij a 是n 阶方阵,则∞A = ，1A = 。
三、计算题(第一题14分,其余每题15分，共59分)
11.用列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-6
15318153312321
321321x x x x x x x x x 计算过程保留4位小数.
12. 取m =4,即n =8，用复合抛物线求积公式计算积分
⎰
+2
.10
2d )1l n (x x
计算过程保留4位小数.
13. 用牛顿法解方程x －e －x =0在x =0.5附近的近似根. 要求n n x x -+1<0.001. 计算过程保留5位小数. 14.取h =0.1, 用改进欧拉法求下列初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+=6
.0,4.0)0(2sin 2'
2'''y y y
x e y y x 在x =0.1处的近似值. 计算过程保留5位小数. 四、证明题(本题10分）
15. 已知函数表
求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1.
数值分析试题答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. D 2.A 3.C 4. B 5.A 二、填空题(每小题3分，共15分)
6.
00625.01016
1
10821112=⨯=⨯⨯-+- 7. 高斯－赛德尔
8 2x －1. 9.∑=-n
k k k x y 1
2
))((ϕ或∑=---n
k k k k x a x a a y 1
22210)(
10. 不超过m 次
三、计算题(每小题15分，共60分)
11. [A b ]=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----6111151318153312 (选1821-=a 为主元) (5分)
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−6111153312151318)
,(21r r (换行，消元) ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++
7166.54944.07166.105333.210151318
1
3121811812r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元)
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+5428.98142.3001667.54944.01667.10151318
2
3321667
.11)
,(r r r r (10分) 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解
000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0
000.38
142.35
428.9123=-⨯-+-==⨯-===
x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000
0)T
(15分). 12. 解 n =8, h =15.08
02.1=-,f (x )=ln(1+x 2
)
计算列表
)](2)(4[3
d )1ln(6427531802
.102f f f f f f f f f h
x x ++++++++=+⎰
＝4225.0]987.023961.148920.0[315
.0=⨯+⨯+ (15分)
13. 令f (x )= x －e －x
，取x 0=0.5，则)e )(e 5.0()5.0()5.0(5.05.0----=''f f =0.064 61>0，
于是取初始值x 0=0.5. (3分) 牛顿迭代公式为
n
n
x x n n n n n n x x x f x f x x --++--='-=e
1e )()(1
(n =0,1,2,…) (7分)
x 0=0.5,
56631.0e 1e 5.05.05
.05
.01=+--=--x (11分)
31066.001=-x x
14567.0e
1e 31566.031566.031
566.031
566.02=+--=--x
001.083000.012<=-x x
于是取x =0.56714为方程的近似根.
(15分) 14. 预报－校正公式为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+++++=++=+++=+=++++++)2(2)],(),([2)
1(),(21
12
11121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y (5分) h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012
.1)101(1.012
2121y y (10分)
h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488
.1)227.11.01(1.0227.12
22
22y y (14分)
所
求为y (0.1)≈y 1=1.227
y (0.2)≈y 2=1.528
(7分)
(15分)
四、证明题(本题10分)
15. 作均差表
(6分)
3次，(7分)
且其系数为1. (10分)。