《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题
一、填空题:
1、?????
?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为
A ???
?????????=?
??????????
?。
答案:
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ,拉
格朗日插值多项式为 。
答案:-1,
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( );
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );
7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差;
8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b );
10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均
不为零)。
12、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表
达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
19992001-改写为
199920012
+ 。
13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间
为 0、5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0、5,0、75 。
14、 求解方程组??
?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为
?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2
)(2)1(1
k k k k x x x x ,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121
。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具有
( 12+n )次代数精度。
21、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( 10 )次。
22、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(21
1
0)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则
a =( 3 ),
b =( 3 ),
c =( 1 )。
23、
)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑==
n
k k
x l
)(( 1 ),∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x ),当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。
24、
25、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。 26、改变函数f x x x ()=
+-1 (x >>1)的形式,使计算结果较精确
()x x x f ++=
11
。
27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分 10
次。
28、写出求解方程组?
?
?=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()()Λ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ,迭代矩阵为 ????
?
?--64.006.10,此迭代法就是否收敛 收敛 。
31、设
A =?? ???
5443,则=∞A 9 。 32、设矩阵482257136A ????=??
????的A LU =,则U =
4820161002U ??
????=??
??-???? 。 33、若4
321()f x x x =++,则差商2481632[,,,,]f = 3 。
34、线性方程组1210151121
03x ????
????????=?????
???????的最小二乘解为
11??
?
?? 。
36、设矩阵
321204135A ??
??=??
????分解为A LU =,则U =
32141003321002??
??????-???????? 。 二、单项选择题:
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件就是( C )。 A.A 的各阶顺序主子式不为零 B. 1)( 2、设 ?? ??? ?????--=700150322A ,则)(A ρ为( C ). A. 2 B. 5 C . 7 D. 3 4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中,A 须满足的条件就是( B )。 A. 对称阵 B . 正定矩阵 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差就是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 6、3、141580就是π的有( B )位有效数字的近似值。 A. 6 B . 5 C. 4 D. 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差就是( C )误差。 A. 模型 B. 观测 C . 截断 D. 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的就是( A )。 A .控制舍入误差 B. 减小方法误差 C.防止计算时溢出 D. 简化计算 9、用1+3x 近似表示3 1x +所产生的误差就是( D )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D . 截断 10、-324.7500就是舍入得到的近似值,它有( C )位有效数字。 A. 5 B. 6 C . 7 D. 8 11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A . –0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A. 3 B. 4 C . 5 D. 2 13、( D )的3位有效数字就是0、236×102。 (A) 0、0023549×103 (B) 2354、82×10－2 (C) 235、418 (D) 235、54×10－1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),则f(x)=0的根就是 ( B )。 (A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组??? ??-=+--=-+-=+-1 340921433 21321321x x x x x x x x x ,第1次消元,选择主元为 ( A ) 。 (A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9 16、拉格朗日插值多项式的余项就是( B ),牛顿插值多项式的余项就是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn), (B) )!1() ()()()()1(+= -=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn), (D) ) ()!1() ()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++= -=ωξ 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。 )()()D (0 )()()C (0 )()()B (0 )()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f 19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1、3,1、6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并建 立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的就是(A )。 (A) 1 1:,1 1 12-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B)21211:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C) 3 /12123) 1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D) 11:,12 2 1 2 3+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式 g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件就是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ (1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 251732.≈计算4 1)x =,下列方法中哪种最好？( ) (A)28-; (B)24(-; (C ) ; (D) (A); (B)4; (C) ; (D ) 2。 29的Newton 迭代格式为( ) (A) 132k k k x x x += +;(B )1322k k k x x x +=+;(C) 122k k k x x x +=+;(D) 13 3k k k x x x +=+。 30、用二分法求方程32 4100x x +-=在区间12[,]内的实根,要求误差限为31102ε-=?,则对分次数 至少为( ) (A )10; (B)12; (C)8; (D)9。 32、设()i l x 就是以019(,,,)k x k k ==L 为节点的Lagrange 插值基函数,则9 ()i k kl k == ∑( ) (A)x ; (B)k ; (C )i ; (D)1。 35、已知方程3 250x x --=在2x =附近有根,下列迭代格式中在02x =不收敛的就是( ) (A)1k x += ; (B)1k x +=C )315k k k x x x +=--; (D) 3 1225 32k k k x x x ++=-。 (A ) 4; (B)2; (C)1; (D)3。 三、就是非题(认为正确的在后面的括弧中打√,否则打?) 1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，， ，Λ=,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时,)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( ) 2、用1-22 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 3、))(() )((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( √ ) 4、牛顿插值多项式的优点就是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( √ ) 5、矩阵A =? ???? ??-521352113具有严格对角占优。 ( ) 四、计算题: 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ??? ??=++=++=++2252182411 24321321321x x x x x x x x x ,取T )0,0,0()0(=x ,迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案:迭代格式 ??? ??? ???--=--=--=++++++)222(51) 218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 2、已知 分别用拉格朗日插值法与牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ,并求)2(f 的近似值(保留四位小数)。 答案: )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L )45)(35)(15() 4)(3)(1(4 )54)(34)(14()5)(3)(1(5 ------+------+x x x x x x 差商表为 ) 4)(3)(1(41 )3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P 5.5)2()2(3=≈P f 5、已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ,并求)0(f '的近似值。 答案:解: 正规方程组为 ??? ? ?=+==+41 341031015 10520 120a a a a a 1411,103,710210= ==a a a 221411103710)(x x x p ++= x x p 711 103)(2+=' 103 )0()0(2 ='≈'p f 6、已知x sin 区间[0、4,0、8]的函数表 如用二次插值求63891.0sin 的近似值,如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案:解: 应选三个节点,使误差 |)(|!3|)(|33 2x M x R ω≤ 尽量小,即应使|)(|3x ω尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 }7.0,6.0,5.0{最好,实际计算结果 596274.063891.0sin ≈, 且 4 1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(! 31 596274 .063891.0sin -?≤----≤ - 7、构造求解方程0210=-+x e x 的根的迭代格式Λ,2,1,0),(1==+n x x n n ?,讨论其收敛 性,并将根求出来,4 110||-+<-n n x x 。 答案:解:令 010)1(, 02)0(, 210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x 、 且010e )(>+='x x f )(∞+-∞∈?， 对x ,故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根、将方程0)(=x f 变形为 )e 2(101 x x -= 则当)1,0(∈x 时 )e 2(101)(x x -=?,110e 10e |)(|<≤-='x x ? 故迭代格式 )e 2(101 1n x n x -= + 收敛。取5.00=x ,计算结果列表如下: 且满足 6671095000000.0||-<≤-x x 、所以008525090.0*≈x 、 8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ??? ??=++=++=++20 5318252143232 1321321x x x x x x x x x 。 答案:解: ?? ????????--??????????-==244132 11531 21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ,y x =U 得T )3,2,1(=x 、 9﹑对方程组 ? ?? ??=-+=--=++841025410151023321321321x x x x x x x x x （1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式,说明理由; （2） 取初值T )0,0,0()0(=x ,利用(1)中建立的迭代公式求解,要求 3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。 解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优 ??? ??=++=-+=--15 1023841025 410321321321x x x x x x x x x 故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛、迭代格式为 ??? ??? ???+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3) (3)1(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取T )0,0,0() 0(=x ,经7步迭代可得: T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x 、 10、已知下列实验数据 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。 解:当0 d e 1 0?有一位整数、 要求近似值有5位有效数字,只须误差 4) (11021 )(-?≤ f R n 、 由 )(12)()( 2 3 ) (1ξf n a b f R n ''-≤,只要 4 22)(1102112e 12e ) e (-?≤≤≤n n R x n ξ 即可,解得 ???=?≥ 30877.67106e 2n 所以 68=n ,因此至少需将 [0,1] 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程组 ??????????--=??????????????????? ?--11124112345111321x x x 。 解: ??? ?? ?????----???→??????????? ?----111124111123451111212345411121r r ??????????????? ?-----???→?????????? ??? ?????------???→?-585 25 10 57951513 012345579515 130585251 012345 5 2 51 321312r r r r r r ?????? ?? ??????? ?----?? ?→?+135 1350579515 13 0123 45131 23r r 回代得 3,6,1123==-=x x x 。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式 )(2x P ,并估计误差。 解: )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x