初中数学·分式知识点归纳
(完整版)初中数学分式章节知识点及典型例题解析
分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B ） 3 (C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。
(2）下列式子,哪些是分式？5a -； 234x +；3y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145b-+。
2、分式有，无意义,总有意义:(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A ．122+x x B 。
12+x x C 。
133+x x D 。
25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（ ）A. 2 B 。
—1或—3 C 。
-1 D 。
3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了，那么要舍去.例1：当x 时,分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B 。
初中数学知识归纳分式的简化与等价
初中数学知识归纳分式的简化与等价分式，在初中数学中占据着重要的地位。
简化与等价是分式的基本操作，掌握好这两个概念及其应用，对于学习代数和解方程等进阶数学内容都有着重要的帮助。
本文将对初中数学中分式的简化与等价进行归纳总结，并探讨其实际应用。
一、分式的简化简化分式就是将分式化简为最简形式，即分子与分母互不含有相同的因式，且约分到最简。
下面以几个例子来说明分式的简化方法。
1. 例子一：简化分式将分式3/6进行简化。
解答：首先，观察分子3和分母6，可以发现它们都能被3整除。
因此，将分子分母同时除以3，得到1/2。
所以，分数3/6可以简化为1/2。
2. 例子二：简化分式将分式12/16进行简化。
解答：首先，观察分子12和分母16，它们都能同时被2整除。
所以，将分子分母同时除以2，得到6/8。
然后，继续简化6/8分式，观察到分子分母都能被2整除，继续除以2，得到3/4。
分式的简化需要注意以下几点：- 分式的简化是将分子和分母约分到最简形式；- 可以通过找出分子分母的最大公因数，将其约去；- 多进行试除，直到不能再进行约分为止；- 在简化分式时，应保持分子分母的符号一致。
二、分式的等价等价分式，指的是分子与分母相等的两个分式，它们的值是相等的，只是表达方式不同。
下面以几个例子来说明分式的等价性质。
1. 例子一：等价分式将分式2/3和4/6进行等价变换。
解答：观察到分子3乘以2等于分母6，分子2乘以3等于分母6。
因此，可以得出2/3=4/6。
所以，分数2/3和4/6是等价的。
2. 例子二：等价分式将分式8/12和2/3进行等价变换。
解答：观察到分子8乘以1/4等于分母12，分子2乘以4等于分母8。
因此，可以得出8/12=2/3。
在进行分式的等价变换时，需要注意以下几点：- 可以对分式的分子和分母同时乘以一个同样的非零数，得到一个等价的分式；- 可以对分式的分子和分母同时除以一个同样的非零数，得到一个等价的分式；- 等价的分式，在计算数值时具有相同的结果。
初中数学知识点归纳：整式与分式
初中数学知识点归纳：整式与分式初中数学知识点归纳：整式与分式整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中，所有字母的指数和叫做那个单项式的次数。
③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做那个多项式的次数。
整式运算：加减运算时，假如遇到括号先去括号，再合并同类项。
幂的运算：AM+AN=A(M+N)(AM)N=AMN(A/B)N=AN/BN 除法一样。
整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，确实是依照分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;关于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把那个多项式分解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：①整式A除以整式B，假如除式B中含有分母，那么那个确实是分式，关于任何一个分式，分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以那个分式的倒数。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
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初中数学知识归纳分式的化简和运算
初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。
我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。
一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。
在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。
首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。
例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。
2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。
具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。
例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。
约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。
再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。
二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。
例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。
最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。
2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
初二数学分式知识点
初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。
本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。
二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。
2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。
三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。
2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。
3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。
4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。
四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。
- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。
2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。
3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。
4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。
五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。
2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。
六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。
2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。
3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。
七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。
2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。
3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。
八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。
通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。
初中数学分式方程知识点复习总结大全
分式方程知识点复习总结大全 重点：1理解分式的概念、有意义的条件，分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算.6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10利用分式方程组解决实际问题.难点： 1能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数.9会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.16.1 分式及其基本性质1.分式的概念：形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式。
其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分母0 B ，分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件：分子等于0，分母不等于0（两者必须同时满足，缺一不可） 例1： （ 重庆江津）下列式子是分式的是( )A.B. C. D. 【答案】B.注意： 不是分式例2：已知 242x x -+ ，当x 为何值时，分式无意义? 当x 为何值时，分式有意义?例3：（四川南充市） 当分式的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0（B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B2.分式的基本性质(1)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=，0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式。
初中数学知识点归纳：整式与分式
初中数学知识点归纳：整式与分式初中数学知识点归纳：整式与分式整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
幂的运算：AM+AN=A(M+N)(AM)N=AMN(A/B)N=AN/BN 除法一样。
整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。
分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。
②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
【初中数学】中考数学分式知识点精讲
【初中数学】中考数学分式知识点精讲
【—
高中入学考试
数学分式精讲】对于数学的学习，下面是老师对分式知识的内容讲解，希望给同学们
的学习很好的帮助哦。
小部分
1、分式定义：形如的式子叫分式，其中a、b是整式，且b中含有字母。
（1）分数无意义：当B=0时，分数无意义；当B≠ 0，分数是有意义的。
（2）分
数的值是0：当a=0，B≠ 0，分数的值等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
方法是
把分子、分母因式分解，再约去公因式。
（4）最简单分数：当一个分数的分子和分母之间没有公因子时，它被称为最简单分数。
如果分数运算的最终结果是分数，则必须将其简化为最简单的分数。
（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫
做分式的通分。
（6）最简单公分母：每个分数的分母与所有因子的最高幂的乘积。
（7）有理公式：积分和分数统称为有理公式。
2、分式的基本性质：
（1）（2）分子分母的任何分母的符号不变，且分母的分母的符号发生变化。
3、分式的运算：
（1）加减法：加减分母相同的分数。
分母不变，分子加减；加减不同分母的分数。
首先把它们分成分母相同的分数，然后加和减。
（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除以：除以一个分数等于乘以它的倒数。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。
学生可以很好地掌握上述数学分数知识的讲解和学习。
稍后，我们将总结并学习更多
知识点。
分式的定义-初中数学知识点
1 / 1 分式的定义
1．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B
叫做分式． （2）因为0 不能做除数，所以分式的分母不能为0 ．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是
A B
的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如12x x ++是分式，如果形式都不是A B
的形式，那就不能算是分式了，如：()()12x x +÷+ ，它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如 ()2a b -+ ，1y - ，则为分式，因为11y y
-= 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．。
初中数学知识归纳分式方程的解法
初中数学知识归纳分式方程的解法初中数学知识归纳：分式方程的解法在初中数学学习中，分式方程是一个重要的知识点。
解决分式方程的问题，需要了解并掌握一些基本的解法和技巧。
本文将对初中数学中分式方程的解法进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式方程的定义分式方程是指方程中存在有分数形式的未知数。
一般形式为：分子是未知数的有理式，分母不含未知数或者含有未知数的有理式。
例如：2/x + 3/x^2 = 1/x二、分式方程的基本解法1. 消去分母法有些分式方程的难点在于方程中含有未知数的分母，导致方程难以求解。
在这种情况下，我们可以利用消去分母的方法化简方程。
具体步骤如下：（1）找到分母的最小公倍数。
（2）将方程两边同乘以最小公倍数，以消去分母。
举例说明：对于方程 2/x + 3/(x+1) = 5/x(x+1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）最小公倍数为 x(x+1)。
（2）两边同乘以 x(x+1)，得到 2x(x+1) + 3x = 5。
（3）化简方程 2x^2 + 2x + 3x = 5。
（4）整理方程得到 2x^2 + 5x - 5 = 0。
（5）利用因式分解或配方法求解上述方程，得到 x 的值。
2. 分离变量法对于分式方程中含有多个分式的情况，我们可以借助分离变量的方法将方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）将方程中的分式分离，分别移至方程两边。
（2）通过移项的方式将方程变为等式。
（3）对方程两边进行合并和化简。
（4）解出未知数。
举例说明：对于方程 1/(x-3) + 1/(x+3) = 2/(x-1)，我们可以采用以下步骤来解方程：（1）方程中存在三个分式，我们将分式分离得到：1/(x-3) + 1/(x+3) - 2/(x-1) = 0。
（2）通过移项得到 (x+3)(x-1)+ (x-3)(x-1) - 2(x-3)(x+3) = 0。
（3）整理方程得到 (x^2+2x-3) + (x^2-4) - 2(x^2-9) = 0。
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初中数学·分式
一、分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为
分母。
二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B）
②分式无意义：分母为0（0B）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（00BA）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：CBC••ABA，CBCABA，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不
变，
即：BBABBAAA
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，
然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
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五、分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
六、分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba•••
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：
cc•••bdadbadcb
a
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nnnbaba
③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bdbcaddcba
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1
的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注
意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，
以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对
对负整数指数幂一样适用。即：
nmnmaaa mnnmaa nnnbbaa nmnmaa
a
（0a）
n
n
b
aba
n
n
a
1
na
0a） 10a（0a
） （任何不等于零的数的零次幂
都等于1）
其中m，n均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
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⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，
则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤：
① 审—仔细审题，找出等量关系。
② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。
④ 解—解出方程（组）。注意检验
⑤ 答—答题。