分式及分式方程知识点总结

分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解

一、分式

1、分式的概念

一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B

A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子，

B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

(1）分式的基本性质:

分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则

;;bc

ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⨯=÷=⨯ );()(为整数n b

a b a n n n = ;c

b a

c b c a ±=± bd

bc ad d c b a ±=± 二、分式方程

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:

(１)去分母,方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

(3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、分式的值

【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6

265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____.

【点睛】分式6

265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】

1.要使分式x 1x 2

+-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=-

２.（2０15·湖南常德)若分式211

x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简

【例2】化简：2x x x 1x 1

---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、

1

x x -

【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.

【举一反三】 1．化简22

a b ab b a

--结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a

+⋅=--，则w ＝（ ）

A.a 2(a 2)+≠- B ． a 2(a 2)-+≠ Ｃ． a 2(a 2)-≠ Ｄ． a 2(a 2)--≠-

3．计算：2111

a a a -=-- 考点典例三、分式方程

【例３】(2015自贡）方程01

12=+-x x 的解是( ） A ．１或﹣１ B.﹣１ C ．0 Ｄ.1

【点睛】先去掉分母,观察可得最简公分母是x+1,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

【举一反三】

１.(2015攀枝花)分式方程

1311

x x =-+的根为 ． 2.(２015绵阳)(８分）解方程:311221x x =-++. 考点典例四、分式方程的应用

【例5】((2０１5遂宁)遂宁市某生态示范园,计划种植一批核桃,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求，现决定改良核桃品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了９万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划每亩平均产量x 万千克,则改良后平均每亩产量为１.５x 万千克,根据题意列方程为（ ) Ａ．

36369201.5x x +-= B.3636201.5x x -= C.36936201.5x x +-= D.36369201.5x x ++=

【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.

【举一反三】

1.．甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ )

A.42042021.5x x += Ｂ．42042021.5x x -= Ｃ． 1.52420420x x +=D ． 1.52420420

x x -= ２.甲、乙两地之间的高速公路全长20０千米,比原来国道的长度减少了20千米.高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了４5千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为ｘ千米/时,根据题意，下列方程正确的是（ ）

A ．2001801452x x =⋅+

B ．2002201452x x =⋅+

C .2001801452x x =⋅-

D . 2002201452x x =⋅- 课时作业☆能力提升

一.选择题

1.（2０15·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)关于ｘ的分式方程52

a x x =-有解,则字母ａ的取值范围是（ ）

A.a =5或a =0 B ．a ≠0 C ．a ≠5 Ｄ．a ≠５且a ≠０

2.（20１5·辽宁营口)若关于x 的分式方程2

233x m

x x ++=--有增根,则m 的值是( ).

Ａ.1m =- B.0m = C ．3m = D.0m =或=3

m

3.(2０１5·湖南常德）分式方程2

3122x

x x +=--的解为：( )

Ａ、1 B 、2 C 、1

3 Ｄ、０

４.(2015·山东济宁)解分式方程22

311x x x 时，去分母后变形正确的为( )

A ．2+(x+２)＝3(x-1) B.２－x+2=３(x-1）

C ．２-（ｘ＋２）＝3 D. 2-(x+2)＝3(x-1）

二．填空题

5． （20１５·湖北衡阳，16题，3分)方程13

2x x =-的解为 .

6.(201５·湖北襄阳,14题)分式方程2110

051025x x x 的解是 ．

7.分式方程21

2

011x x +=--的解是___＿___＿__．

8.若分式方程1x x -﹣1m

x -=2有增根，则这个增根是 .

9.(山东威海,第１6题，4分）分式方程的解为 ．

三、解答题

10．计算:22a 1a 1

a 2a a --÷+．

１1.先化简，再求值:222

1a a

a 1a a 2a 1+⎛⎫

-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a a 20+-=.