西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分

《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。

其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。

3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。

—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。

2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。

3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。

4 图的表示不唯一。

如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。

点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。

2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。

在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。

4 偶点：次为偶数的点。

5 孤立点：次为零的点。

6 悬挂点：次为1的点。

定理()2.v Vd v ε∈=∑推论 任何图中奇点的个数为偶数． 链(chain)的概念1 链：一个点、边的交替的连续序列{}1122,,,,,,i i i i ik ik v e v e v e 称为链.记为μ。

2 圈(cycle)：若链μ的1i ikv v =.即起点＝终点.则称为圈。

3 初等链（圈）：若链（圈）中各点均不同.则称为初等链（圈） 。

4 简单链（圈） ：若链（圈）中各边均不同.则称为间单链（圈） 。

圈一定是链.链不一定是圈 路PATH路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。

若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致.则称μ为路。

（无向图中的路与链概念一致。

） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同.则称为回路。

连通性:点i 和j 点是连通的：G 中存在一条（i.j ）路 G 是连通的：G 中任意两点都是连通的例 在右边的无向图中： 途径或链：ugyexeyfxcw迹或简单链：vbwcxdvaugy 路或路径：uavdxcw圈或回路：uavbwcxfygu在右边的有向图中：{}11233,,,,v e v e v μ= 链 不是路{}12233,,,,v e v e v μ= 链 且是路 {}12211,,,,v e v e v μ= 链 是回路连通图简单图(simple graph)：一个无环、无多重边的图称为间单图。

多重图(multiple graph)：一个无环.但有多重边的图称为多重图。

连通图(connected graph)：若图中任何两点间至少有一条链.则称为连通图 。

否则.为不连通图。

连通分图：非连通图的每个连通部分称为该图的连通分图。

基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头.得到的图称为原有向图的基础图。

图G ＝(V, E)是多重图 图G ＝(V, E)为不连通图但G’＝(V’, E’)是G 的连通分图u gywfv4 ev 3 23 e4 e 1其中：V’＝{v1, v2, v3, v4}E’＝{e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}二．树（tree ） 1、树的定义树：一个无圈的连通图称为树。

2、树的性质（1） 设图G ＝(V, E)是一个树.点数P(G) ≥ 2.则 G 中至少有两个悬挂点。

（2） 图G ＝(V.E)是一个树<==>G 不含圈.且恰有p-1条边（p 是点数）。

（3） 图G ＝(V.E)一个树<==> G 是连通图.且q(G)＝p(G)－1 （q 是边数）。

（4） 图G ＝(V.E)是树 <==> 任意两个顶点之间恰有一条链。

图的支撑树(spanning tree)1 支撑子图：设图G ＝(V.E).图G’＝(V’.E’)的V’＝V. E’ ⊆ E.则称G’是G 的一个支撑子图。

—— 图G’＝(V’.E’)的点集与图G ＝(V.E)的点集相同.V’＝V.但图G’＝(V’.E’)的边集仅是图G ＝(V.E)的子集E’ ⊆ E 。

2 支 撑 树：设图T ＝(V.E’)是图G ＝(V.E)的支撑子图.如果T ＝(V.E’)是一个树.则称 T 是 G 的一个支撑树。

特点——边少、点不少。

最小树(minimum spanning tree)问题 （1） 最小树定义如果T ＝(V.E’)是 G 的一个支撑树.称 T 中所有边的权之和为支撑树T 的权.记为W （T ）.即：(,)()i j ijv v Tw T w ∈=∑若支撑树T* 的权W （T*）是G 的所有支撑树的权中最小者. 则称T* 是G 的最小支撑树（最小树）. 即：W （T*）＝ min W(T)。

（2）求最小树的算法（minimum spanning tree algorithm ）1） 破圈法：在图G 中任取一个圈.从圈中去掉权数最大的边.对余下的图重复这个 步骤. 直到G 中不含圈为止.即可得到 G 的一个最小树。

避圈法是一种选边的过程.其步骤如下：1. 从网络D 中任选一点i v .找出与i v 相关联的权最小的边,i j v v ⎡⎤⎣⎦.得第二个顶点j v ；2. 把顶点集V 分为互补的两部分11,V V .其中v2 3 e35 6 v711 V V ⎧⎪⎨⎪⎩，与已选边相关联的点集，，不与已选边相关联的点集；113. [,],,, i j i j v v v V v V ∈∈考虑所有这样的边其中挑选其中权最小的；114. 3()V V =Φ重复，直至全部顶点属于即。

三．最短路问题最短路问题是图论应用的基本问题.很多实际问题.如线路的布设、运输安排、运输网络最小费用流等问题,都可通过建立最短路问题模型来求解.1) 求赋权图中从给定点到其余顶点的最短路. 2) 求赋权图中任意两点间的最短路.定义 1) 若H 是赋权图G 的一个子图.则称H 的各边的权和()()()e E H w H w e ∈=∑为H 的权. 类似地.若P(u,v)是赋权图G 中从u 到v 的路,称()()()e E P w P w e ∈=∑称为路P 的权．2) 在赋权图G 中.从顶点u 到顶点v 的具有最小权的路P*(u,v).称为u 到v 的最短路．3) 把赋权图G 中一条路的权称为它的长.把(u,v) 路的最小权称为u 和v 之间的距离.并记作 d(u,v).给定一个赋权有向图D ＝ ( V.A ) ,对每一条弧()(),ijija w v v =.相应地有权()ijijw a w=.又有两点,s t v v V ∈,设 p 是 D 中从sv 到tv 的一条路.路 p 的权是 p 中所有弧的权之和,记为()w p ．最短路问题就是求从sv 到tv 的路中一条权最小的路 p*:()()min pw p w p *=最短路问题的算法下面仅介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法——双标号法（Dijkstra 算法）.它是在1959年提出来的。

目前公认.在所有的权0ij w ≥时.这个算法是寻求最短路问题最好的算法。

并且.这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点s v 到任意一个点j v 的最短路。

方法：标号法（Dijkstra.1959） 给每点j v 标号,jid v ⎡⎤⎣⎦。

其中j d 为1v 至j v 的最短距.i v 为最短路上j v 的前一点。

标号法步骤：{}11111117771. [0];:2. :3. [,],,, min )4. 3[,]i j i j i ij j i v v V V V v v v V v V v d c v v d v d ⎧⎪⎨⎪⎩∈∈+给标号，已标号点集，把顶点集分为互补的两部分未标号点集；考虑所有这样的边其中挑选其中与距最短（的进行标号。

重复，直至终点（本例即）标上号，则即最短距，反向追踪可求出最短路。

四． 最大流问题流量问题在实际中是一种常见的问题。

如公路系统中有车辆流量问题.供电系统中有电流量问题等等。

最大流问题是在单位时间内安排一个运送方案.将发点的物质沿着弧的方向运送到收点.使总运输量最大。

网络——赋权图.记D=（V.E.C ）.其中i c 为边i e 上的权。

网络分析主要内容——最小部分树、最短路、最大流。

1. 问题 已知网络D=（V.A.C ）.其中V 为顶点集.A 为弧集.{}ij C c =为容量集.ij c 为弧(),i j v v 上的容量。

现D 上要通过一个流{}ij f f =.其中ij f 为弧(),i j v v 上的流量。

问应如何安排流量ij f 可使D 上通过的总流量v 最大？例如：2. 数学模型,,i j ij v v f 决策变量：各弧（）上的流量() Maxv v f =目标函数：()()0(), 0, ,(),ij ijij ji f c v f i sf f i s tv f i t ⎧≤≤⎪=⎪⎧⎨⎪-=≠⎨⎪⎪⎪-=⎩⎩∑∑容量约束约束条件：平衡条件满足容量约束和平衡条件的流称为可行流。

3. 基本概念与定理v 4 v 2 v s v 1 v tv 3 2 1 3 1 4 5 32 5(1) 0ij ij ij ij ij f c f c f ⎧=⎪<⎨⎪=⎩饱和弧：弧按流量分为未饱和弧：零流弧：2）可增值链（增广链）s t D v v D f μμμμμμμμ+-+-⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩：中的正向弧集中由至的链，记，：中的反向弧集中弧皆未饱若，则称为中关于可行流的中弧皆非零一条可增值链。

（3） 截集与截量{}11111111,, ,,s t i j i j V V V v V v V v v v V v V D V V ∈∈∈∈截集（割集）：将分为二非空互补集与，使。