不定积分教案范文
微积分 不定积分 教案
微积分不定积分教案第一章：不定积分的概念与性质教学目标：1. 理解不定积分的概念；2. 掌握不定积分的性质；3. 学会计算基本的不定积分。
教学内容：1. 不定积分的定义；2. 不定积分的符号表示；3. 不定积分的性质；4. 基本不等式的积分；5. 基本三角函数的积分。
教学活动：1. 引入不定积分的概念，引导学生理解不定积分表示的是一个函数的积累效果；2. 讲解不定积分的符号表示，让学生熟悉积分符号；3. 通过示例演示不定积分的性质，如线性函数的积分是线性函数的常数倍，指数函数的积分是指数函数的倒数等；4. 引导学生掌握基本不等式的积分公式，如\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)；（n ≠-1）；5. 教授基本三角函数的积分公式，如\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \) 等；6. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习计算基本不等式的积分；2. 练习计算基本三角函数的积分；3. 完成课后习题。
第二章：换元积分法教学目标：1. 理解换元积分法的概念；2. 掌握换元积分法的步骤；3. 学会运用换元积分法计算不定积分。
教学内容：1. 换元积分法的定义；2. 换元积分法的步骤；3. 常用换元积分法；4. 换元积分法的应用。
教学活动：1. 引入换元积分法，让学生理解通过变量替换简化积分过程；2. 讲解换元积分法的步骤，如选择合适的换元变量，构造新的函数等；3. 介绍常用的换元积分法，如代数换元法、三角换元法等；4. 通过示例演示换元积分法的应用，如计算\( \int \sqrt{1+x^2} dx \) 等；5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
作业布置：1. 练习运用换元积分法计算不定积分；2. 完成课后习题。
第三章：分部积分法教学目标：1. 理解分部积分法的概念；2. 掌握分部积分法的步骤；3. 学会运用分部积分法计算不定积分。
不定积分整章教案
不定积分整章教案1 NO.设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f(x)F(x),x,II都有 , 或 , F(x),f(x)dF(x),f(x)dx则称函数为函数在区间上的一个. F(x)f(x)I2,,例如，cosx是的原函数,因为 .又因为, sinx(sinx),cosx(x),2x222,x ,所以x和x，1都是2的原函数. (x，1),2x一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, F(x)G(x)f(x)I,, , , (F(x)),f(x)(G(x)),f(x),于是有 ,,. (G(x),F(x)),G(x),F(x),f(x),f(x),0所以 ,或 .G(x),F(x),CG(x),F(x)，C：任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:. f(x)f(x)f(x)dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f(x)f(x)dx,为积分变量.由前面的讨论可知：如果是的一个原函数,那么 . F(x)f(x)f(x)dx,F(x)，C,dx 求. 2,1，x11,解由于，所以是的一个原函数，因此 (arctanx),arctanx221，x1，x2 NO.dx . ,arctanx，C2,1，x, 求. dxx,1,，1,,，1,,解当,(x),(,，1)x时,我们知道，，亦有 ,,,,1(x),x,，1 11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此 ; xxxdx,x，C,,，1,1，11,当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 ,,,1dx(lnx),,xx1 ． dx,lnx，C,xd1）或 ; ，，f(x)dx,f(x)，，df(x)dx,f(x)dx,,dx2）, 或. F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C,,如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积 f(x)f(x),，1x, (1) xdx,，C(,,,1),（是常数）; (2) ; kkdx,kx，C,,,，111 (3) ; (4) ; dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，xdx (5) ,arcsinx，C; (6) ; cosxdx,sinx，C,,21,x(7) ; (8) sinxdx,,cosx，C,dx2; ,secxdx,tanx，C2,,cosxdx2 (9) ,cscxdx,,cotx，C; (10) ; secxtanxdx,secx，C,,2,sinxxx （11）; （12）; cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,3 NO.xaxadx,，C （13）; （14）; (a,1)shxdx,chx，C,,lna（15）. chxdx,shx，C,（1） [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,事实上，,,[f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],f(x)，g(x). ,,,, ：有限个函数的和的情况也有这一性质.（为常数，）. kk,0kf(x)dx,kf(x)dx,,1 求. [3,2x，,5sinx]dx2,x1dx 解 [3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx221,，xx ,3(x，C),2(，C)，(，C),5(,cosx，C) 12342,2，112 ,. 3x,x,，5cosx，Cx2xx1，， . dx2,xx(1，)21111xx1，，解 ,(，)dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx(1，),. ，Carctanx，lnx4x 求dx. 2,x1，4224,1，1(，1)(,1)，1xxxx 解 dxdxdx== 222,,,x1，1，1，xx4 NO.1122, (x,1，)dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx3x ,,x，arctanx，C. 3x2 求 sindx,2x112 解 sindx,(1,cosx)dx,(1,cosx)dx,,,22211 ,. [dx,cosxdx],(x,sinx)，C,,221 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P(x,y)k,x45y, ，求此曲线方程． (2)2 1 解设曲线方程为,，由假设， y,f(x)f(x),x4x112故 ,= ，，，，fx,fxdx,xdxx，C ,,84图5.1-1 2x5即 y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 C82254x y,，2 ，解得 .因此所求方程为. ,，CC,28282 已知某产品的边际收入函数为,xR(x),60,2x,2x(为销售量),求总收入函数. R(x)2解 , R(x),R(x)dx,(60,2x,2x)dx,,223 . ,60x,x,x，C3当时,,从而,于是 x,0R,0C,0223 R(x),60x,x,x35 NO.求． cos2xdx,1解 x,u ，令2，得 cos2xdx,cos2xd(2x),,2111 , cos2xd(2x),cosudu,sinu，C,2221代回原变量，得 . cos2xdx,sin2x，C,2一般的我们有如下结论：设u是的连续函数，且， f(u)f(u)du,F(u)，C,设,,有连续的导数，则=． u,,(x),(x)F[,(x)]，Cf[,(x)],(x)dx,dF[,(x)]证明只需证明 ,即可． ,f[,(x)],(x)dxdF[,(x)]dF[,(x)],,,,，又由，故 ,F[,(x)],(x)F(u),f(u),f[,(x)],(x)dxdx1 求. dx,3,2x解令，则，故 u,3,2xdu,,2dxdx1d(3,2x)1du11. ,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22求,tanxdx．sinx解 = 因为， dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx设 u,cosx，则，因此， du,,sinxdxsinxdu ,tanxdx,=. dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu练习：． ,cotxdx,lnsinx，C熟练以后，可直接写出结果:1 求. dx22,，ax6 NO.1111x1x1,dx,d(),arctan，C 解 =. dx,2,22,xxaaaaa，ax221，()1，()aadx 求(a>）. 0,22ax,xd()dx1dxxa 解 ,,,arcsin，C. ,,,22aaxxa,x221,()1,()aa1求. dx22,,xa 1111解由于,所以 ,(,)22ax,ax，a2x,adx111111 ,(,)dx,(dx,dx)22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa111 ,[d(x,a),d(x，a)],,2ax,ax，a1x,a1 ,, ln，C. [lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a3求. sinxdx,322 解 sinxdx,sinxsinxdx,,(1,cosx)d(cosx),,,132 ,=. ,cosx，cosx，C,d(cosx)，cosxd(cosx),,322求与 . cosxdxsinxdx,,1，cos2x11x12 解 =. dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224 1,cos2xx12 . sinxdx,dx,,sin2x，C,,224求. cscxdx,7 NO.xxx2d()secd()dxdx222解 ,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222xd(tan)x2 ,. ,，Clntan,x2tan2xx22sinsin1,cosxx22又 =. ,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2所以上述不定积分又可表示为. cscxdx,lncscx,cotx，C,练习： secxdx,lnsecx，tanx，C,求sin2xcos3xdx. ,解利用积化和差公式1 , sin,cos,,,,sin(,，,)，sin(,,,)21得 , sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2111所以 sin2xcos3xdx, (sin5x,sinx)dx,sin5xdx,sinxdx,,,,22211 ,. ,cos5x，cosx，C102设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,(t),(t),0f[,(t)],(t),1数.则,,(x)f[,(t)],(t)dt]，其中是的反函数. x,,(t)f(x)dx,[,1,,t,,(x) ,1 证设 ,,[F(,(x))，C],f(x)，只需证 f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,1ddFtdt(),1而 ,,f[,(t)],(t),,f[,(t)],f(x). F,x,,(()),,(t)dxdtdx8 NO.dx求. ,1，x2 解作变量代换 x,t( 以消去根式)，于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1 ,2dt,2(1,)dt ,,,1，t1，t1，x,2t,2ln(1，t)，C,2x,2ln(1，x)，C.22求aa,xdx (>). 0,解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令,,22 ， , 则 ,, x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost222222 a,xdx,acost,acostdt,acostdt ,,,21，cos2ta12,, ,adt,t，sin2t，C, ,,,222,,22xx,ax回代变量，由cos,，得 ,, sint,t,arcsintaaa222axxa,x22 故有 a,xdx,(arcsin，)，C 2,2aa2axx22 ,arcsin，a,x，C. 22adx 求> (a0),22x，a22解利用三角公式 1，tant,sect来化去根式，,,2 设 dx,asectdt << ,则 , (,)x,atantt22222222 ,于是 x，a,a，atant,a1，tant,asect9 NO.2asectdx,,dt,,sectdt . ,lnsect，tant，C,22asectx，a22x，xa由 sec,，得 , 因此, tant,taa22xx，adx ,ln(，)，C ,22aax，a22 C,C,lna, 其中 . ,ln(x，x，a)，C11dx 求(a> 0),22xa,解设x>，令， 0x,acht22 利用公式cht,sht,1 有222222 ， dx,ashtdtx,a,a(cht,1),asht,ashtdxasht于是有 ,dt,t，C， ,,22ashtx,a22,xaxt注意：,，,，两边取导数得 eshtchtaa22 t,ln(x，x,a),lnadx22所以 ,ln(x，x,a)，CC,C,lna,其中 . 11,22x,adx求 ,x1，e2dtx2 解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，， dx,e,tt21，,ttdx ,dt,2dt ,,,x(1，)(1，)tttt1，e10 NO.11，， ,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C ,,,t1，t，，2t,, . ,ln，C,,1，t,,2x，，edxx将回代得 . ,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求 . 2,2x，4x，3dx1dx1dx 解 ,,2,,,31222x，4x，322x，2x，(x，1)，22111x，1 ,d(x，1),,2arctan，C,112222(x，1)，()222,arctan2(x，1)，C . 2dx 求 . ,24x，9dx1d(2x)dx 解 ,,,,,2222224x，9(2x)，3(2x)，312 . ,ln(2x，4x，9)，C211 NO.,,,,,, ，移项得, . (uv),uv，uvuv,(uv),uv对这个等式两边求不定积分，得,,. （1） uvdx,uv,uvdx,,简便起见,公式（1）常写成下面的形式：. （2） udv,uv,vdu,,求. xcosxdx,解这个积分用换元积分法不易求得结果。
教案4-不定积分new
第四章 不定积分§4.1 不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。
但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。
“积分”是“微分”的逆运算。
一、 原函数1、 原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间t 变化的规律为()s s t =，那么，在任意时刻t 物体运动的速度为()()v t s t '=。
现在提出相反的问题： 例1已知某物体运动的速度随时间t 变化的规律为()v v t =，要求该物体运动的路程随时间 变化的规律()s s t =。
显然，这个问题就是在关系式()()v t s t '=中，当()v t 为已知时， 要求()s t 的问题。
例2已知曲线()y f x =上任意点(,)x y 处的切线的斜率为2x ，要求此曲线方程，这个问题 就是要根据关系式2y x '=，求出曲线()y f x =。
从数学的角度来说，这类问题是在关系式()()F x f x '=中，当函数()f x 已知时，求出函数()F x 。
由此引出原函数的概念。
定义4.1 : 设)(x f 是定义在某区间I 内的已知函数，如果存在一个函数)(x F ，对于每一点x I ∈，都有：()()F x f x '= 或 dx x f x dF ⋅=)()(则称函数)(x F 为已知函数)(x f 在区间I 内的一个原函数。
例如，由于(sin )cos x x '=，所以在(,)-∞+∞内，sin x 是cos x 的一个原函数；又因为(sin 2)cos x x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin 2x +是cos x 的一个原函数；更进一步，对任意常数C ，有(sin )cos x C x '+=，所以在(,)-∞+∞内，sin x C +都是cos x 的原函数。
不定积分的概念教案
不定积分的概念教案Lesson Plan on the Concept of Indefinite Integral教学目标：1.了解不定积分的基本概念及意义。
2.掌握不定积分的符号表示和性质。
3.学会计算基本的不定积分。
教学内容：Introduction:In this lesson, we will introduce the concept of indefinite integral and understand its significance.We will also explore the notation and properties of indefinite integrals.引入：本节课我们将介绍不定积分的基本概念及其意义。
我们将探讨不定积分的符号表示和性质。
Section 1: Definition and Significance of Indefinite Integral1.1 Definition:An indefinite integral of a function f(x) is a function whose derivative is f(x), and it is denoted by ∫f(x)dx.The process of finding an indefinite integral is called antiderivative.1.2 Significance:Indefinite integrals play a crucial role in calculus.They are used tosolve problems involving area, volume, and accumulation.They also provide the foundation for calculating definite integrals, which are used to find exact values of functions.1.1 定义：函数f(x)的不定积分是一个导数为f(x)的函数，用符号∫f(x)dx表示。
不定积分概念教学设计
不定积分概念教学设计不定积分是数学中重要的概念之一，也是微积分学中必修的内容之一。
教师在教授不定积分相关知识时，必须有合适的教学设计，通过恰当的学习方式，为学生提供更好的学习环境，进而提高学习效率。
本文将分析不定积分的教学设计，并针对相关课程提出改进建议。
一、不定积分的定义不定积分是在广义微积分中引进的一类特殊函数，用于表示某类函数与变量之间的关系。
它可以帮助学生理解某类函数的发展趋势，以及预测函数的变化行为。
二、不定积分的概念教学1.在对不定积分的概念进行教学时，教师首先应该从函数的概念出发，提出什么是函数，以及它与变量之间的关系，然后讲述不定积分的定义，引出不定积分的意义和用途，让学生尽快熟悉不定积分的概念。
2.接下来，教师可以以实例的形式展示不定积分的用法，利用函数曲线图进行说明，让学生更直观地理解其用法。
同时也可以利用计算机，使学生在计算机平台上进行实践，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
3.教师还可以利用一些练习给予学生一定的指导，以演练的形式帮助学生更好地理解不定积分的定义，以及它的实际运用。
三、不定积分的概念教学的改进建议1.教师可以多利用视频、图片等虚拟现实媒介资源，丰富学生的学习环境，提高学习的体验。
2.教师还可以采取小组合作的方式，鼓励学生自主探究，让学生用自己的思考来领悟不定积分的概念，深入分析其特点。
3.教师还可以及时与学生进行交流，为学生提出解决问题的建议，帮助学生及时复习，更好地记忆不定积分的概念。
结论不定积分是微积分学中的重要知识点，教师在设计教学时，应该从函数的概念出发，让学生理解不定积分的定义，做到实践结合，让学生更好地掌握不定积分的概念。
此外，教师还可以利用虚拟现实媒介资源，以小组合作的形式来提高学生的学习兴趣，帮助学生更好地掌握不定积分的知识。
不定积分的概念和性质教案
注意：原函数和不定积分是个体与全体的关系（强调常数 的重要性）.
三、举例利用定义求简单积分
例1：求 .
解：由于 ,所以 是 的一个原函数.因此
例2：求 .
结论：微分运算与积分运算是互逆的（给出基本积分表）.
例4：求 .(积分表的应用)
解：
五、不定积分的性质
（1）性质1：设函数 的原函数存在,则 .
性质2：设函数 的原函数存在, 为非零常数,则 .
（2）利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
例4：求
解：
例5：求
解：
四、根据微分运算与积分运算是互逆的性质给出基本的积分,并尝试应用其求一些积分.
定理1：……
定理2：……
例4：求
例5：求
例6：求
课堂小结:……
不定积分
已知 ,求函数 ,使得 .
定义1：（原Leabharlann 数的定义）…….（1）（2） 与 的关系？
的全体原函数
定义2：（不定积分的定义）……
例1：求 .
例2：求 .
例3:设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
五、尝试利用不定积分的性质去求简单函数的不定积分
教学过程
例6：求
解：
六、课堂小结
（1）原函数及不定积分的概念
（2）能够利用不定积分的定义求简单积分
（3）基本积分表
（4）不定积分的性质
六、与教师一起进行总结
板书设计
;
由于 是 的原函数,则有
大学不定积分教案
教学目标：1. 理解不定积分的概念和性质。
2. 掌握不定积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法等。
3. 能够运用不定积分解决实际问题。
教学重点：1. 不定积分的概念和性质。
2. 换元积分法和分部积分法的运用。
教学难点：1. 换元积分法和分部积分法的灵活运用。
2. 复杂函数的不定积分计算。
教学过程：一、导入1. 回顾导数的概念和求导法则。
2. 提出问题：如何从导数反求原来的函数？二、不定积分的概念与性质1. 引入不定积分的定义：如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，那么f(x)在区间I上的不定积分记作∫f(x)dx，其中F(x) + C为f(x)的不定积分。
2. 讲解不定积分的性质：a. 线性性质：∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb. 可积性质：如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上可积。
c. 积分常数：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x) + C也是f(x)的一个原函数。
三、换元积分法1. 介绍换元积分法的概念：将原积分问题转化为新的积分问题，通过变量替换简化积分计算。
2. 讲解第一类换元法：a. 介绍凑微分法：在原积分中，将微分表达式凑成待积函数的形式。
b. 举例说明第一类换元法的运用。
3. 讲解第二类换元法：a. 介绍根式换元法：将被积函数中含有根式的部分通过换元转化为不含根式的函数。
b. 举例说明第二类换元法的运用。
四、分部积分法1. 介绍分部积分法的概念：利用分部积分公式将原积分问题转化为新的积分问题。
2. 讲解分部积分公式的推导过程。
3. 举例说明分部积分法的运用。
五、巩固练习1. 给出一些不定积分的计算题，让学生运用所学方法进行计算。
2. 对学生的答案进行点评和讲解，帮助学生掌握不定积分的计算方法。
六、总结1. 总结本节课所学的不定积分的概念、性质、基本方法。
2. 强调换元积分法和分部积分法的运用技巧。
七、课后作业1. 完成本节课所学的练习题。
不定积分的优秀教学设计
不定积分的优秀教学设计引言不定积分是高等数学中的重要概念之一，作为微积分的基础知识，不定积分的学习对学生的数学素养和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。
然而，在教学过程中，不定积分的抽象性和复杂性常常会给学生带来困扰。
为了提高不定积分的教学效果，本文将介绍一种优秀的不定积分教学设计，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、教学目标1. 让学生了解不定积分的基本概念和性质；2. 培养学生运用不定积分解决实际问题的能力；3. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
二、教学内容1. 不定积分的定义和性质；2. 基本不定积分法和常见的不定积分公式；3. 利用不定积分解决实际问题的应用。
三、教学步骤1. 导入环节通过一个生活中的例子引出不定积分的概念，例如汽车行驶的速度问题。
让学生思考在已知汽车的速度函数的情况下，如何求出汽车行驶的路程。
2. 知识讲解介绍不定积分的定义和基本性质，引导学生理解不定积分的本质是求取一个函数的原函数。
讲解基本不定积分法和常见的不定积分公式，如导数与不定积分的关系、幂函数、三角函数等的不定积分公式。
3. 案例分析选取一些具有实际意义的问题，如速度与加速度之间的关系、曲线下的面积计算等，通过具体的案例分析，引导学生运用不定积分解决实际问题。
让学生参与思考和讨论，锻炼他们的数学思维能力和逻辑推理能力。
4. 练习与巩固布置一定数量的练习题目，既涵盖了基本的不定积分计算，又包含了一些应用题。
让学生通过练习提升他们的计算能力和综合运用能力。
5. 总结与拓展对本节课的内容进行总结，重点回顾不定积分的基本概念和性质。
同时，引导学生在不定积分的基础上，拓展更深层次的数学知识，如定积分、微分方程等，培养学生对数学的兴趣和探索精神。
四、教学方法在教学过程中，可以采用多种教学方法，如讲述法、示范法、探究法和综合运用法等。
通过一些具体的例子和案例分析，激发学生的学习兴趣和思维活跃性，并结合实际问题，引导学生将数学知识与实际问题相结合。
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不定积分教案范文
一、教学目标：
1.熟练掌握不定积分的概念和性质。
2.能够运用基本积分公式求不定积分。
3.能够运用换元法、分部积分法、有理函数积分法等方法求解不定积分。
4.能够运用不定积分的性质解决实际问题。
二、教学内容：
1.不定积分的基本概念和性质。
2.基本积分公式及其运用。
3.换元法求不定积分。
4.分部积分法求不定积分。
5.有理函数积分法求不定积分。
6.不定积分的应用。
三、教学过程：
1.不定积分的基本概念和性质：
不定积分是微积分中的重要内容，是函数的一个全体定义域上的原函
数集合。
具体来说，设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则函数 F(x)
在区间 [a, b] 上的不定积分是 f(x) 的一个原函数，记作
∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F(x) 称为 f(x) 的一个原函数，C 为任意常数。
不定积分具有以下性质：
（1）积分的线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx；
（2）积分和求导的逆关系：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则
F'(x)=f(x)；
（3）换元积分法：设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，g(x) 是可导函数，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C；
（4）分部积分法：设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
2.基本积分公式及其运用：
（1）常数函数积分：∫kdx=kx+C，其中 k 为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)x^(n+1)/(n+1)+C，其中 n 为任意实数，n ≠ -1
（3）指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C。
（4）三角函数积分：
a. ∫sinxdx=-cosx+C；
b. ∫cosxdx=sinx+C。
（5）倒数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C。
3.换元法求不定积分：
设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，且 g(x) 在区间 [a, b] 上可导、连续，则∫f[g(x)]g'(x)dx=F[g(x)]+C。
例题：求∫x/(1+x^2)dx。
解析：设 g(x)=1+x^2，则 g'(x)=2x。
则原式可化为
∫(1/2)g'(x)/g(x) dx=1/2∫(1/g(x))g'(x) dx=1/2∫(1/g(x))
dg(x)=1/2ln，g(x)，+C=1/2ln，1+x^2，+C。
4.分部积分法求不定积分：
设 F(x) 和 G(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的原函数，则
∫f(x)g'(x)dx=F(x)g(x)-∫F'(x)g(x)dx。
例题：求∫xlnxdx。
解析：令 u=lnx，dv=xdx，则 du=(1/x)dx，v=∫xdx=(1/2)x^2、则原式可化为∫u dv=uv-∫v du=xlnx-(1/2)x^2+C。
5.有理函数积分法求不定积分：
有理函数是指多项式函数与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的和、积、商所得的函数。
例题：求∫(2x+1)/(x^2-2x-3)dx。
解析：先对分母进行因式分解，得到 x^2-2x-3=(x-3)(x+1)。
再将被积函数进行部分分式分解，得到 (2x+1)/(x^2-2x-3)=A/(x-3)+B/(x+1)。
然后利用等式 (2x+1)/(x^2-2x-3)=A/(x-3)+B/(x+1) 进行求解，最后可得∫(2x+1)/(x^2-2x-3)dx=ln，x-3，-ln，x+1，+C。
6.不定积分的应用：
不定积分在实际问题中常常用于求解曲线的长度、曲线下的面积、体积、质心等问题。
例题：求 y=sinx 在[0, π] 上的弧长。
解析：设弧长为 S，则
S=∫√(1+(y')^2)dx=∫√(1+cos^2x)dx=∫√(2cos^2x)dx=∫√2cosx dx=2√2sinx+C。
根据区间[0, π] 上的连续性，可得S=2√2sinπ-
2√2sin0=0。
四、课堂练习：
1. 求∫(2x^3-3x^2+4x-1)dx。
2. 求∫(3x^2-2x+5)/(x^3-x)dx。
3. 求∫(cosx/sinx)dx。
4. 求 y=ln，x，在 [-1, 2] 上的弧长。
5. 求 y=lnx 在 [1, 3] 上的曲线下的面积。
五、作业布置：
1.完成课堂练习中的题目。
2.自主并解答不定积分的相关问题。
3.阅读相关教材，预习下节课的内容。
六、教学反思：
通过本节课的教学，学生可以初步掌握不定积分的基本概念和性质，并能够熟练运用基本积分公式、换元法、分部积分法和有理函数积分法求不定积分。
通过课堂练习的作业布置，可以进一步巩固和应用所学知识。
同时，教师还可以引导学生思考不定积分在实际问题中的应用，培养学生的应用能力和创新思维。