2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第14讲 函数模型及其应用 含答案
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第4讲函数及其表示含答案 (2)
1．函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及几何意义，了解函数的奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1 2，13的指数函数的图象．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数2,10，12的对数函数的图象．(3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化规律．5．函数与方程结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份考查内容分值2014第5题函数的奇偶性的判定第12题函数的零点(结合导数)第15题分段函数、解不等式5分5分5分2015第10题分段函数求值第12题图象的对称性、求值5分5分2016第8题幂、指数、对数比较大小第9题函数图象(结合导数)5分5分2017第8题函数图象(结合奇偶性)第9题单调性、对称性5分5分2018第12题分段函数、不等式第13题已知函数值求参数5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份考查内容分值2014第11题已知单调性求参数第15题奇偶性、对称性应用5分5分2015第12题奇偶性与单调性应用第13题求函数解析式中参数值5分5分2016第10题同一函数问题第12题函数图象的对称性质5分5分2017第8题复合函数的单调性第14题奇偶性、求值5分5分2018第3题函数图象第12题函数的性质，求值5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ的10套试题直接考查本部分内容的试题共21道，除2014年卷Ⅰ考查了3道，占15分，其他各套都考查了2道，占10分．(以导数为主的解答题结合了函数的知识，但没有统计在内)函数是每年高考的必考内容，常以客观题的形式出现，主要考查函数的概念，分段函数的求值、求参数范围；函数的奇偶性、单调性及其应用；指数、对数函数的性质及应用，函数的零点等内容．容易题、中等难度试题及较难试题都有出现．函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了高中数学的全过程，是中学数学与高等数学的结合点，是进一步学习高等数学的重要基础．在复习本部分知识时，要注意如下方面：1．加强函数概念的理解，会求一些简单函数的定义域，能够利用解析式求函数的值，要特别注意加强对分段函数的理解，加强函数与方程、分类讨论及数形结合等思想方法的应用意识．2．理解函数的单调性、奇偶性的定义，切实掌握判断函数的单调性、奇偶性的方法，强化函数性质的应用意识．熟练掌握利用函数性质解决求函数最值、求函数零点、求参数范围及解“函数”不等式等相关问题．3．在复习幂、指数、对数函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线．要注意掌握指数、对数的基本运算．要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及其图象变换，加强函数图象的应用意识．4．对函数的零点及方程根的复习，要理解函数的零点、方程的实根和函数与x轴交点的横坐标的等价性，掌握零点的存在性定理，能通过两函数图象的交点个数来判断方程零点的个数．函数是传统的学习内容，对这一部分的复习历来师生都十分重视，由于导数的引入，对函数的复习的要求就有所变化，因为导数是研究函数强有力的工具，有些问题在导数中研究变得更加轻松(如函数的单调性)，根据全国卷高考对本单元的要求，在复习时，要适当控制难度．第4讲函数及其表示。
专题12+函数模型及其应用-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)+Word版含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题12函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应.用基础知识融会贯通1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .重点难点突破【题型一】用函数图象刻画变化过程【典型例题】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C ）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【解答】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．【再练一题】某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）近似满足函数的关系式为（a，b为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A．35min B．30min C．25min D．20min【解答】解：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象的解析式为，图象过（5，100）和（15，60），则，得，即y＝80（）20，t≥5，当y＝40时，得80（）20＝40，即80（）20，得（），得2，得t＝25，即最少需要的时间为25min，故选：C．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【题型二】已知函数模型的实际问题【典型例题】在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y ＝e kx+b（e＝2.71828…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时【解答】解：由题意可知，∴e30k，∴e10k，∴e20k+b＝（e10k）2•e b•120＝30．故选：A．【再练一题】地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝35，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【题型三】构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型【典型例题】已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．【解答】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴y v2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为：45【再练一题】某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax+b；②f（x）＝2x+a；③f（x）＝x2+b．则你认为最适合的函数模型的序号是．【解答】解：若模型为②，则f（1）＝2+a＝4，解得a＝2，于是f（x）＝2x+2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1+b＝4，解得b＝3，于是f（x）＝x2+3，f（2）＝7，f93）＝12，f（4）＝19，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得，解得a，b，经检验是最适合的函数模型．故答案为：①．命题点2构造指数函数、对数函数模型【典型例题】已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．（1）y与x的关系式为；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到0.1）．（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）【解答】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y ＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x（mg ）， 即y 与x 的关系式为 y ＝2500×0.8x；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险， 令2500×0.8x≥500， ∴0.8x≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y ＝0.8x是单调减函数， ∴x ≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 故答案为：（1）y ＝2500×0.8x，（2）7.2．【再练一题】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2，单位是m /s ，其中O 表示燕子的耗氧量的单位数．记v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，则O 1是O 2的 16 倍．【解答】解：v ＝5log 2，当v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，则25＝5log 2，即25，即O 1＝10×25，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，5＝5log 2，即2，即O 2＝10×2，∴24＝16，故则O 1是O 2的16倍， 故答案为：16命题点3 构造y ＝x ＋ax (a >0)型函数【典型例题】某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是．【解答】解：设总费用为y，则y＝3x+103x2240，当且仅当3x即x＝40时取等号．故答案为：40．【再练一题】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，由题意可得y，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5（120﹣k），解得k＝100，∴y（x﹣100）∵每小时的油耗不超过9L，∴（x﹣100）≤0，即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]，故答案为：[60，100]命题点4构造分段函数模型【典型例题】2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额，税款＝应纳税额×适用税率﹣速算扣除数，税后工资＝纳税所得额﹣税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，则甲的应纳税额对应的税率为10%，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为2000×10%﹣105＝95元；（2）根据题意，设乙的工资为x元，个税改革之前其应缴的个税为y元，个税改革之后其应缴的个税为y′元，则y，y′，若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即y′＝14660，分析可得有0.1（x﹣5000）﹣210＝x﹣14660，解可得x＝15500，该职工的税款15500﹣14660＝840元，在个税改革之前，该职工的税款y＝0.25×（15500﹣3500）﹣1005＝1995元，则职工乙享受减税红利为1995﹣840＝1155元；故答案为：（1）95，（2）1155．【再练一题】某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18﹣x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．【解答】解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）＝k1（18﹣x）2，由题意可知h（15）＝9，即9＝9k1，故k1＝1，此时利润f（x）＝（x﹣8）（18﹣x）2，当15≤x≤30且x∈N×时，设h（x），又h（15）＝9，故9，故k2＝3．此时利润f（x）＝（x﹣8）．∴f（x）．（2）当10≤x≤15且x∈N×时，f′（x）＝（x﹣18）（3x﹣34），令f′（x）＝0可得x＝18（舍）或x，∴当10≤x时，f′（x）＞0，当x≤15时，f′（x）＜0，∴f（x）在[10，）上单调递增，在（，15]上单调递减，∵x∈N×，且f（11）＝147，f（12）＝144，∴当x＝11时，f（x）取得最大值147．当15≤x≤30且x∈N×时，f′（x），令f′（x）＝0可得x＝10±2（舍），∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增，∴当x＝30时，f（x）取得最大值f（30）＝99．综上，当x＝11时，f（x）取得最大值147．答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．基础知识训练1．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH= ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当时该别墅总造价最低【解析】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为)．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．答：当时该别墅总造价最低．2．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．已知在时刻时点P距离地面的高度为，其中，求的解析式；在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【答案】（1）．；（2）摩天轮转动的一圈内，有点P距离地面超过70m.【解析】（1）由题意可得（2）由解得：故摩天轮转动的一圈内，有距离地面超过3．小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式，并写出这个函数的定义域；当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润最大，并求出这个最大值．【答案】（1）见解析；（2）32400【解析】由题每本书的成本为7元设每本纪念册的销售价格为x元．当时，当时，，小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式为：．此函数的定义域为．．，当，则当时，当，则当时，所以当时，小王获得的利润最大为4．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．【解析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x–80）件．x+（x–80）=320，解得x=200．∴x–80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8–m）辆．得：，解得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？需说明理由至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】由题意，把，2，3代入得：，解得，所以，所以，；把，2，3代入，得：，解得，所以，所以；更接近真实值，应将作为模拟函数．，解得，至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因为.且时，.所以解得. .（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.所以商场每日销售该商品所获得的利润：因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.7．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，将（30，800），（60，2000）代入得，，解得，∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，则，解得．即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，解方程组，得，即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．8．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．（1）根据题意，填写下表．（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【答案】(1)(2) y=–20x+8300,当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．【解析】（1）填表如下：故答案为80–x，x–10，2×20×（80–x），2×20×（x–10）；（2）y=2×15x+2×25×（110–x）+2×20×（80–x）+2×20×（x–10），整理得y关于x的函数表达式为y=–20x+8300，∵–20<0，且10≤x≤80，∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=–20×80+8300=6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．9．一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．（a）说明图①中点A和点B的实际意义；（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．【答案】(1)A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．(2)（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；【解析】（1）设A,B两站相距千米，行驶时间是小时，依题意得，解得（千米/小时），即如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是（千米/小时）.（2）（a）A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为万元；B点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③，反映公交公司意见的是图②.10．某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(1)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；(2)若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】解：由题意得中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元则转账金额大于1000元，且小于10000元则只需要考虑当时的情况即可由，得即实数t的取值范围是11．2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价辆若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】(1)，且；(2)当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则，令，得，得，得，所以所求函数，且，知，租赁公司的月收益为，则，时，取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．12．2018年末，天猫某商铺为了制定2019年营销方案，分析了2018年每次促销活动时某网红产品的销售量单位：千套与销售价格单位：元的关系关系式为，其中，m为常数，已知销售价格为40元套时，每次促销可售出此产品21千套．求m的值；假设此产品的成本约为每套产品20元只考虑销售出的产品数，试确定销售价格x的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．【答案】（1）320；（2）见解析【解析】代入，得：，．设商铺所获利润为，则，令，则，令，时，，当时，，时，取得最大值，时，取得最大值．故销售价格为套时，该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．13．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中平方米如风吹落叶沙沙声的强度平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源平方米强弱等级分贝求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）将平方米，平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为平方米14．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以的速度航行时考虑到航线安全要求，每小时使用的燃料费用为万元为常数，且，其他费用为每小时万元．若游轮以的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；求该游轮单程航行所需总费用的最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】由题意时，每小时使用的燃料费为，解得；此时每小时的所有费用为，化简得，解得；又，，的取值范围是；设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则，令，则，即；由，得对称轴；，即，则函数上单调递减，在上单调递增；故当，即时，y取得最小值为；，即，则函数上单调递减，故当，即时，y取得最小值为；综上所述，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元．15．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：。
2020年高考一轮复习数学(文)函数模型及其应用
••＞必过教材美i .几类函数模型 函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)= ax + b(a , b 为常数，a * 0) 反比例函数模型 f(x)= k + b(k , b 为常数且 k * 0) 二次函数模型f(x)= ax 2 + bx + c(a , b , c 为常数，a * 0)指数函数模型xf(x) = ba + c(a , b , c 为常数，b *0, a >0 且 a * 1)对数函数模型 f(x) = blog a x + c(a , b , c 为常数，b *0, a >0 且 a * 1) 幕函数模型f(x) = ax n + b(a , b 为常数，a * 0)2.解函数应用问题的 4步骤(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的函数模型；(3) 解模：求解函数模型，得出数学结论； (4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题.以上过程用框图表示如下：［小题体验］1. (2019徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不 超过10立方米的，按每立方米 3元收费；用水超过 10立方米的，超过的部分按每立方米 5元收费•某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为 ___________ 立方米.解析：设该职工某月的实际用水为 x 立方米时，水费为y 元,易知该职工这个月的实际用水量超过 10立方米，所以5x — 20 = 55,解得x = 15.第九节函数模型及其应用由题意得3x , 0< x W 10,30 + 5 x — 10 , x > 10,3x , 0W x < 10, 即y —5x — 20, x > 10.答案：152 •用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙•若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是 ________ m2.解析:设隔墙长为x m，则面积S= x 18 2 4X=- 2X2+ 9x =- 2\x—4；+ 琴所以当X = 9时，能围成的面积最大，为81 m2.4 8■•卜必过易措美i •函数模型应用不当，是常见的解题错误•所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.2 •要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3 •注意问题反馈•在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.［小题纠偏］1 .据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为X辆次，存车费总收入为y元，则y关于X的函数关系式是____________ •答案：y=—0.1x+ 1 200(0< x w 4 000)2 •某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产•已知1该生产线连续生产n年的累计产量为f(n) = 2n(n + 1)(2n + 1)吨，但如果年产量超过150吨, 将会给环境造成危害•为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________ 年.— 1 1 2 * 解析：各年产量为a n = f(n)- f(n- 1) = ^n(n + 1)(2n+ 1)-?n(n- 1)(2n- 1) = 3n2(n € N ),令3n2w 150,得1w n w 5，,2.又n€ N*,所以1w n W 7,故生产期限最长为7年.答案：7考点一二次函数模型重点保分型考点一一师生共研［典例引领］某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段.已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m .为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h > 1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系.(1) 当h = 1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；6(2) 若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围.解：由题意，最高点为(2 + h,4), h > 1.设抛物线方程为y= a[x - (2 + h)]2+ 4.(1) 当h = 1时，最高点为(3,4),方程为y= a(x- 3)2+ 4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a=- 1.即所求抛物线的方程为y= —x2+ 6x- 5.(2) 将点A(2,3)代入y= a[x - (2 + h)] + 4，得ah =- 1.由题意，方程a[x- (2 + h)]2+ 4= 0在区间[5,6]内有一解.令f(x)= a[x- (2 + h)]2+ 4 =-丰仪一(2 + h)]2+ 4,1 2f(5尸-h^(3- h)+ 4》°，4贝U 解得K h w 4.1 2 3[f (6 = - h^(4 —h ) + 4w °.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是1, 4 I.[由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1) 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2) 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；⑶解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.[即时应用](2019启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的4设该企业裁员x人后纯收益为y万元.(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2) 当140v a w 280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1)由题意，y=(a-x)(1 + 0.01x)-0.4x=- 100x2+ 訖一7 x+ a,因为a - x ＞攀，所以x w£4 4*故x 的取值范围为O w x ＜且x € N .4 ⑵由⑴知 y — 盘x - g - 70)[2+ 蕊-70)+ a ,当 140v a w 280 时，O v a — 70 w 弓,2 4 当a 为偶数时，x = 2 — 70, y 取最大值；当a 为奇数时，x = a ^— 70或x = a -—-^— 70, y 取最大值, 因尽可能少裁员，所以 x = 号一70,考点二 函数y = x +巴模型的应用重点保分型考点 一一师生共研 ［典例引领］为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层•某幢 建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6万元.该建筑物每年k的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)=(0w x w 10),3x + 5若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8万元，设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费 用之和.(1) 求k 的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值. 解：⑴由已知条件得 C(0) = 8，贝U k = 40,当且仅当6x +10=器，即x =5时等号成立.所以当隔热层厚度为 5 cm 时，总费用f(x)达到最小值，最小值为 70万元.［由题悟法］应用函数y = x +:模型的关键点因此 f(x) = 6x + 20C(x)= 6x + 800环3x + 5(0 w x w 10).(2)f(x) = 6x + 10 +800 3x + 5—10＞ 2 6x + 10 8003x + 5—10= 70(万元), 所以当a 为偶数时，应裁员(1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)= ax 与反比例函数f(x)= -叠加而成的.⑵解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)= ax + b 的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)= ax + 9的形式.(3) 利用模型f(x) = ax + b 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成 立的条件.［即时应用］某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过 20 m /s. —列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为 40 m/ s),匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s,根据安全和车流的需要，当 0v x w 10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10v x < 20时，相邻两车之间保持 $2 3 +衣m 的距离.自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).(1) 将y 表示为x 的函数；(2) 求车队通过隧道的时间 y 的最小值及此时车队的速度. (.3~ 1.73)解：⑴当0 V x w 10时， 2 150 + 10X 55 + 20 X 55- 1 3 780y = x，当 10V x W 20 时,2-700+ 9x + 18, 10V x w 20. L x '2 150 + 10X 55+ 7x 2 + y =上1 =逊 + 9x + 18,x3—8°, 0V x w 10, I x 所以y =因为 17.3 € (10,20］,所以当 x = 17.3(m/s)时，y min = 329.4(s), 因为 378 > 329.4,所以当车队的速度为 17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间y 有最小值329.4 s.(2) 当 x € (0,10］时，在 x = 10 时, y min = 3 78010=378(s ). 当 x € (10,20］时，y = 2-700+ 9x + 18> 18 + 2 Xx,9x X 2［00= 18 + 180 3^ 329.4(s),当且仅当9x =2 700x，即x ~ 17.3(m/s)时取等号［典例引领］已知某物体的温度0单位：摄氏度）随时间t （单位：分钟1 t2 —（t >0,并且 m >0）.（1）如果m = 2,求经过多少时间，物体的温度为 5摄氏度; （2）若物体的温度总不低于 2摄氏度，求m 的取值范围. 解：（1）若 m = 2,贝U 0= 2 2t + 21-1= 2 2t + 当 0= 5 时，2t + ?= 5,‘ 1 5 c 令 2t= x （x > 1），则 x + -= 一，即卩 2x 2— 5x + 2= 0, x 2 解得x = 2或x = 2（舍去），此时t = 1. 所以经过1分钟，物体的温度为 5摄氏度. （2）物体的温度总不低于 2摄氏度，即0= m 2t + 2>2恒成立，亦即 m > 2扌—空恒成立. 1 2令孑=x ，贝U 0v x < 1,所以 m > — 2x + 2x , 因为一2x 2 + 2x = — 2 x — 1 2+ €1所以m > ,因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时，m 的取值范围是［由题悟法］指数函数与对数函数模型的应用技巧（1）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择 模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快 （底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式, 再借助函数的图象求解最值问题.［即时应用］候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的 一Q考点三 指数函数与对数函数模型 重点保分型考点 师生共研）的变化规律是： 0= m2t +5飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v = a+ blog3^^（其中a, b是实数）.据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1) 求出a , b 的值；(2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要多少个单位？解：⑴由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30个单位,30故有 a + blog 330= 0，即 a + b = 0.310 当耗氧量为90个单位时，速度为 1 m/s ，a +b = 0，a =— 1， 解方程组得a + 2b = 1，b = 1.Q Q⑵由(1)知，v = a + blog 3石=—1+1。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第14讲函数模型及其应用含答案
第14讲函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识梳理1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异在区间(0，＋∞)，尽管y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因而总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n<a x(a>1).2．应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．热身练习1．当x>0时，比较y＝log5x，y＝5x，y＝x5三个函数，下列说法正确的是(B)A．y＝5x的图象始终在最上方B．当x增长到足够大时，y＝5x的图象始终在最上方C．y＝x5的图象与y＝5x的图象会不断穿插交汇，有无数个交点D．y＝log5x的图象与y＝x5的图象有一个交点画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选 B.2．方程x2＝2x解的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4画出y＝x2和y＝2x的图象，结合它们的增长情况，观察它们有3个交点，所以有3个解．3．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产的年平均增长率为(D)A.p＋q2B.p＋1q＋1－12C.pqD.p＋1q＋1－1设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝p＋1q＋1－1.4．一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量y 随经过年数x变化的函数关系式为y＝a(1＋p%)x(x∈N*，且x≤m).5．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为x，矩形的面积为S.(1)S关于x的函数关系为S＝－2x2＋12x(0<x<6)；(2)当x＝3时，S有最大值18.二次函数模型加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟由已知得9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15(t－154)2＋1316.所以当t＝154＝3.75时，p最大，即最佳加工时间为 3.75分钟．B实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)A．45.606(万元) B．45.6(万元)C．45.56(万元) D．45.51(万元)依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，因为x∈N，所以x＝10时，S max＝45.6(万元)．指数、对数函数模型现有某种细胞100个，其中每小时有占总数12的细胞分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种。
2020届高考数学一轮复习 2.10 函数模型及其应用精品课
某人定制了一批地砖,每块地砖(如图中(1)所示)是边长 为0.4米的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD 上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成 △CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价 格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中(2)所示的形式 铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.
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（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还
原为实际问题的意义.
2.常见的几种函数模型
(1)一次函数型y=kx+b;
(2)反比例函数型y= k (k≠0); x
(3)二次函数型y=ax2+bx+c(a≠0);
(4)指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0);
(5)对数函数型y=AlogaN+B(a>0且a≠1,N>0); (6)分段函数型.
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考点1 二次函数模型
如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a), 在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF都等于 x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最 大面积.
4
此时当x=b时，S有最大值为-2b-( a b )2+ (a b)2 =ab-b2.
4
8
综上可知，当a≤3b时，x=
a b时，四边形面积
4
Smax=
(a b)2 8
,当a>3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.
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二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函 数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题,值 得注意的是:一定要注意自变量的取值范围,根据图象的对 称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论 求解.
2020年高考文科数学一轮总复习：函数模型及其应用
2020年高考文科数学一轮总复习：函数模型及其应用第11讲 函数模型及其应用1．几种常见的函数模型常用知识拓展“对勾”函数f (x )＝x ＋ax(a >0)的性质(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )答案：(1)× (2)√ (3)√下列函数中，随x 的增大，y 的增长速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100 ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x答案：A生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. 解得x ＝1 024. 答案：1 024用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．【答案】 D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2 x ·100x ＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]解析：选A.根据题意，要使附加税不少于128万元， 需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]．2.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为时间t (h)内台风所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t ，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70. 当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)当t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．指数、对数函数模型(师生共研)(1)某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2017年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是( )(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】 (1)设从2017年后，第x 年该公司全年投入的研发资金为y 万元，则y ＝300×(1＋10%)x ，依题意得，300×(1＋10%)x >600，即1.1x >2，两边取对数可得x >lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x ≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2025年．故选C.(2)M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109， 5＝lg A 2－lg A 0＝lgA 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 【答案】 (1)C (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a <0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a >0)．(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________元/100 kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80[基础题组练]1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B （x －A ），x >A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：若五月份该家庭使用了22 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元D ．11元解析：选 A.由题意得C ＝4.将(25，14)，(35，19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋B （25－A ）＝14，4＋B （35－A ）＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12（x －5），x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m (m >0)，则y 1＝m x .当x ＝10时，y 1＝m10＝2，所以m ＝20.因为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n (n >0)，则y 2＝nx .当x ＝10时，y 2＝10n ＝8，所以n ＝45.所以两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥220x ·4x 5＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时 C ．5小时D ．10小时解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物．因为P ＝P 0e －kt ，所以(1－90%)P 0＝P 0e－5k，所以0.1＝e－5k.设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t ，由1% P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得e －kt ＝(0.1)2＝(e －5k)2＝e－10k，所以t ＝10，所以排放前至少还需过滤t －5＝5(小时)．故选C.5．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数且a >0)，广告效应为D ＝a A －A .那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：由题意得D ＝a A －A ＝－⎝⎛⎭⎫A －a 22＋a 24，且A ≥0，所以当A ＝a 2，即A ＝a24时，D 最大．答案：a 246.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝____________．解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45.答案：457．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12得10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当x ＝10时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[综合题组练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．(创新型)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.3．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ； 当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b ＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：164．(应用型)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 165．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x －30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120，又(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．6．(综合型)某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W (吨)与时间t (单位：小时，规定早晨六点时t ＝0)的函数关系为W ＝100t ，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？解：设水塔进水量选择第n 级，在t 时刻水塔中的水容量y 等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt 吨，减去生活用水10t 吨，再减去生产用水W ＝100t 吨，即y ＝100＋10nt －10t －100t (0<t ≤16)．若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y ≤300，即0<100＋10nt －10t －100t ≤300，所以－10t ＋10t ＋1<n ≤20t ＋10t ＋1对一切t ∈(0，16]恒成立．因为－10t ＋10t ＋1＝－10⎝⎛⎭⎫1t －122＋72≤72， 20t ＋10t ＋1＝20⎝⎛⎭⎫1t ＋142－14≥194. 所以72<n ≤194，即n ＝4.即进水量应选择4级．。
师说高考人教数学文科一轮总复习点拨课件函数模型及其应用
A．5 年
B．6 年
C．7 年
D．8 年
解析：第 n 年的年产量 y＝ff1n， －nf＝n－1，1，n∈N，n≥2， 因为 f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)，所以 f(1)＝3， 当 n≥2 时，f(n－1)＝12n(n－1)(2n－1)，
所以 f(n)－f(n－1)＝3n2. n＝1 时，也满足上式，所以第 n 年的年产量为 y＝3n2，令 3n2≤150，所以 n2≤50， 因为 n∈N，n≥1，所以 1≤n≤7，所以 nmax＝7.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数， 但由于它们⑪__________不同，而且不在同一个“档次上”，因此
在(0，＋∞)上随 x 的增大，总会存在一个 x0，当 x＞x0 时，有⑫
______________.
答案：①增函数 ②增函数 ③增函数 ④越来越快 ⑤越来越慢 ⑥y 轴 ⑦x 轴 ⑧快于 ⑨ax＞xn ⑩logax＜xn ⑪增长速度 ⑫ax＞xn＞logax
1．常见函数模型的理解 (1)直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 系数 k＞0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特 点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a＞1)，常形 象地称之为“指数爆炸”．
说明：指数函数 y＝ax(a＞1)，从图象上看，在开始过程中增长 缓慢，但随着 x 的逐渐增大，当 x 增加一个非常小的增量 Δx，其函 数值变化 Δy 会大的惊人，因此常称之为“指数爆炸”．
所以当 t＝4 时，ymax＝127＝8.5，此时 x＝16,18－x＝2. 所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企 业获得最大利润，约为 8.5 万元．
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
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2 2 ) y第 14 讲 函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型的广 泛应用．知识梳理1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异 在区间(0，＋∞)，尽管 y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和 y ＝x n (n >0)都是 增函数 ，但它们的增长速度不同， 而且不在同一“档次”上，随着 x 的增长，＝a x (a>1)的增长速度越来越快 ，会超过并远远 大于 y ＝x n (n >0) 的增长速度，而 y ＝ log a x(a>1) 的增长速度则会越来越 慢 ，因而总存在一个 x 0 ，当 x >x 0 时，就会有 log a x <x n <a x (a>1) . 2．应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把 实际问题抽象转化为 数学问题 ，然后用相应的数学知识去解决，其一般步骤为： (1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．热身练习1．当 x >0 时，比较 y ＝log 5x ，y ＝5x ，y ＝x 5 三个函数，下列说法正确的是(B)A ．y ＝5x 的图象始终在最上方B ．当 x 增长到足够大时，y ＝5x 的图象始终在最上方C ．y ＝x 5 的图象与 y ＝5x 的图象会不断穿插交汇，有无数个交点D ．y ＝log 5x 的图象与 y ＝x 5 的图象有一个交点画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选 B.2．方程 x 2＝2x 解的个数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．4画出 y ＝x 2 和 y ＝2x 的图象，结合它们的增长情况，观察它们有 3 个交点，所以有 3 个解．3．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该市这两年生产的年平均 增长率为(D)p ＋q (p ＋1)(q ＋1)－1 A. B.C. pqD. (p ＋1)(q ＋1)－1设年平均增长率为 x ，则(1＋x)2＝(1＋p )(1＋q )，所以 p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－ (t － )2＋ . 所以当 t ＝ ＝3.75 时，p 最大， 现有某种细胞 100 个，其中每小时有占总数 的细胞分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种 (所以 x ＝ (p ＋1)(q ＋1)－1.4．一种产品的年产量原来是 a 件，在今后 m 年内，计划使年产量平均每年比上一年增加 p %，则年产量 y 随经过年数 x 变化的函数关系式为 y ＝a(1＋p %)x (x ∈N *，且 x ≤m ) .5．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为 x ，矩形 的面积为 S.(1)S 关于 x 的函数关系为 S ＝－2x 2＋12x(0<x<6) ；(2)当 x ＝ 3 时，S 有最大值 18 .二次函数模型加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p ＝at 2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和 实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50 分钟B ．3.75 分钟C ．4.00 分钟D ．4.25 分钟⎧⎪9a ＋3b ＋c ＝0.7，由已知得⎨16a ＋4b ＋c ＝0.8， ⎪⎩25a ＋5b ＋c ＝0.5，⎧⎪a ＝－0.2， 解得⎨b ＝1.5，⎪⎩c ＝－2.1 15 13 5 4 1615 4 即最佳加工时间为 3.75 分钟．B实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次 函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润单位：万元)分别为 L 1＝5.06x －0.15x 2 和 L 2＝2x ，其中 x 为 销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为(B)A ．45.606(万元)B ．45.6(万元)C ．45.56(万元)D ．45.51(万元)依题意可设甲地销售 x 辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润 S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15)，因为 x ∈N ，所以 x ＝10 时，S max ＝45.6(万元)．指数、对数函数模型1 2×100＋×100×2＝×100；××100＋××100×2＝×100；××100＋××100×2＝×100；××100＋××100×2＝×100；y＝100×()x，x∈N*.(2)由100×()x>1010，得()x>108，(1)y＝100×()x，x∈N*；(2)46由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，2lg3－lg2因为≈≈45.43，两边取对数，得n>≈＝，规律下去．回答下列问题：(1)细胞总数y与时间x(小时)的函数关系为____________；(2)至少经过________小时，细胞总数可以超过1010个(参考数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．(1)从特殊入手，采用归纳的方法，得到所求函数关系式．现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后细胞的总数，1小时后，细胞总数为1132222小时后，细胞总数为13139222243小时后，细胞总数为191927242484小时后，细胞总数为12712781282816可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为323322两边取以10为底的对数，38得xlg>8，所以x>，88lg3－lg20.4771－0.3010所以x>45.43.即至少经过46小时，细胞总数超过1010个．32(1)在求解应用题时，要在认真审清题意，理顺关系上下功夫，设计合理的解题方案．(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．2．(经典真题改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(B)(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2021年B．2022年C．2023年D．2024年设2018年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，2013lg2－lg1.30.30－0.1119lg1.120.0551⎧⎪400x－x2(0≤x≤400)，R(x)＝⎨f(x)＝－(x－300)2＋25000，30天计)，民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似地满足f(x)＝4(1＋)，人均消费g(x)(元)与＝4(1＋)(104－|x－23|)(1≤x≤30，x∈N*)．⎧4(1＋)(81＋x)(1≤x≤23，x∈N)，*114(1＋⎩x)(127－x)(23<x≤30，x∈N).(2)由p(x)＝⎨所以n≥4，所以从2022年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．分段函数模型某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器增加投入100元，已知总收益满足函数：2⎪⎩80000(x>400)，其中x是仪器的月产量．(1)将利润f(x)表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)(1)由已知总收益＝总成本＋利润，知道利润＝总收益－总成本．由于R(x)是分段函数，所以利润f(x)也是分段函数；(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值．(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而：⎧⎪－1x2＋300x－20000(0≤x≤400)，f(x)＝⎨2⎪⎩60000－100x(x>400).(2)当0≤x≤400时，12当x＝300时，有最大值25000；当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，则f(x)<60000－100×400＝20000<25000.所以当x＝300时，f(x)有最大值25000.所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．(1)分段函数的特征是每一段自变量所遵循的规律不同，因此，要根据每一段上函数表达式的特点选择相应的求解方法．(2)分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后进行比较．3．某市2018年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内(以1x时间x(天)的函数关系近似地满足g(x)＝104－|x－23|.(1)求该市旅游收益p(x)(万元)与时间x(1≤x≤30，x∈N*)的函数关系式；(2)若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资．(1)由题意知p(x)＝f(x)g(x)1xx*p(x)＝4(1＋)(81＋x)＝4(82＋x＋)≥4(82＋2x·)＝400.当且仅当x＝，即x＝9时，p(x)取得取小值400.p(x)＝4(1＋)(127－x)＝4(126＋－x)．所以当x＝30时，p(x)min＝4(126＋－30)＝400＋>400.x－x，则有h′(x)＝－①当1≤x≤23时，1x81x81x81x②当23<x≤30时，1127x x127127设h(x)＝x2－1<0，所以h(x)在(23,30]为减函数，则p(x)在(23,30]上也是减函数，127143015所以当x＝9时，p(x)取得最小值400万元．则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%＝648>600.所以600万元的投资可以在两年内收回．1．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题．二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解．2．在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验结果，看是否符合实际问题的要求．。