决策理论与方法之多属性决策

二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

由 CR=0.1 和表 9.10 中的 RI值,用式(9.15)和式(9.16) 可以求得与 n 相应的临界本征值：
' max CI n 1 n CR RI n 1 n 0.1 RI n 1 n
由上式算得的' max 见表 9.10。一旦从矩阵 A 求得 ' 最大本征值max大于 max ，说明决策人所给出的矩阵 A 中各元素aij 的一致性太差，不能通过一致性检验，需 aij 的值后重新 要决策人仔细斟酌，调整矩阵 A 中元素 计算max，直到max小于 ' max为止。
三、最底层目标权重的计算
n
i l ,i 1
2a a
il l i i il
n
il
2 0
j l , j 1 n
a
lj j
l 1 alll l 1
i l ,i 1
a a
il l
alll l all 0
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

若决策人能够准确估计 aij i, j J ，则有：
aij 1 a ji aii 1 aij aik akj i, j , k J
aij i j
且
当
（9.9）
a
n
n
ij

n

i 1
n
i
（9.10）
i 1
j
（9.11）
ij
1时
i i 1
j
1
a
i 1
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

若决策人对 aij 的估计不准确，则上列各式中 的等号应为近似号。这时可用最小二乘法求w 即解： n n 2 min aij j i （9.12）


三、最底层目标权重计算—网状结构

xi y xi z y j , i 1,, s
r j 1
j
（9.17）

显然，这就是用 y j 对z的总要性 z y xi 去衡量 xi 对于z的优先性。
j

y 乘以 xi对 y j 的重要性
j
三、最底层目标权重计算—网状结构
a
n lj n j l , j 1
j l alll l 2 2
i l ,i 1
2 a il l i 2 l
n
L'l
n
2a
lj lj j
j
l 1 2alll l all 1
a
j 1
l
a 0
il l i i 1
n
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

由式（9.8），得
1 1 1 2 1 2 Aw 2 1 2 2 2 n

1, 2 ,, n
T
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

式9.13的推导：
L
a
n n ij i 1 j 1
j
i
2
2

i
i 1 对l l 1,2,, n 求偏导
找出含 的项：
l
i l , j l时，L1
2

i
i 1
a a a
il l lj i 1
j
l 0, l 1,2,, n
（9.13）
由式（9.13）及

i 1
n
i
1 共n 1 个方程，其中有1, 2 ,, n
及 共 n 1个变量，因此可以求得 w

为什么要引入权？
多目标决策问题的特点也是求解的难点在于目 标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度，求 解多属性决策问题同样需要解决这两个难点。 其中不可公度性可通过属性矩阵的规范化得到 部分解决, 但这些规范化方法无法反映目标的 重要性。因此，引入权的概念，以衡量目标的 重要性。 属性矩阵的规范化：就是对决策数据进行预处 理。主要有6种方法，即线性变换、标准0-1变 换、最优值为给定区间时的变换、向量规范法、 原始数据的统计处理、专家打分数据的预处理。
第九章 多属性决策
《决策理论与方法》
第九章 多属性决策
第二节 确定权的常用方法 第三节 加权和法 第五节 TOPSIS法

第二节 确定权的常用方法
一、权的概念 二、常用的确定各属性权的方法 （一）最小二乘法 （二）本征向量法 三、最底层目标权重的计算

简单回顾
目标间不可公度：各目标没有统一的衡量标准 或计量单位，因而难以进行比较。 目标间的矛盾性：如果采用一种方案去改进某 一目标的值，很可能会使另一目标的值变坏。

一、权的概念


如前所述，权是目标重要性的数量化表示；但在目标 较多时，决策人往往难于直接确定每个目标的权重。 因此，通常的做法是让决策人首先把各目标作成对比 较，这种比较可能不准确，也可能不一致。 例如，决 策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要 性的 3 倍，第二个目标的重要性是第三个目标重要性 的 2 倍，但他并不认为第一个目标的重要性是第三个 目标重要性的 6 倍。 因此，需要用一定的方法把目标间的成对比较结果聚 合起来确定一组权，常用的有最小二乘法、本征向量 法。
b1 j b2 j bij bsj
b1r 1k k b2 r 2 bir k j k bsr r
（9.20）
可以记作：

比较复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构。 根据不同层次的目标间的关系，可以把多层次的目标 体系分成两类。一种是树状结构，如图 9.2(a)所示， 另一种是网状结构，如图 9.2(b)所示。
下面分别介绍这两种结构的最低层权重的设定方法。
三、最底层目标权重计算—树状结构
对于树状结构的目标体系，只要自上而下，即由树干 向树梢，求树杈各枝相对于树杈的权，如图 9.2(a)所示 的系统，首先用第二分节介绍的方法确定第二层中的三 个目标 B 、C 、D 相对总目标 A 的权1, 2 , 3 且使 1 2 3 1；其次确定与第二层各目标相关联的第三层 目标的权，共三组，使 j ij 1i 1,2,3 直到最低层目标 相对上一层次目标的各组权全部设定为止。 在求出上述各组权后，只要将上一层次目标的权与该 目标相关的下一层目标的权相乘即得下一层目标关于总 目标的权。例如目标 H 关于总目标的权 H 2 21 ， 这样依次进行即可获得最低层各目标相对于总目标的权。
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

与最小二乘法类似，使用这种方法同样需要求得矩阵 A，为了便于比较第 i 个目标对第 j 个目标的相对重要 性，即给出 aij的值，Saaty根据一般人的认知习惯和 判断能力给出了属性间相对重要性等级表，见表 9.9， 利用该表取 aij 的值，方法虽粗略，但有一定的实用价 值。
2n 2 1 2 2 2 A 21 22 （9.8） a ann n n n n a 1 n2 1 2 n
个目标成对比较的结果为矩阵A。 a a a 11 12 1n 1 1 1 2 1 2 a a n a
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

首先由决策人把目标的重要性作成对比较，设有 n 2 1 n 个目标，则需比较Cn n 1 次。把第 i 个目标对第
2

j 个目标的相对重要性记为 aij ，并认为，这就是属性
n i 的权 i 和属性 j 的权 j 之比的近似值 aij i j ，

三、最底层目标权重计算—网状结构
对网状结构目标体系，可用下述递推方法求最 低层次各目标的权。 设多目标决策问题的目标共有 k+1 级，其中 第 k-1、 k 和 k+1 级如图 9.3 所示， 我们构 xi 对 k-1 级的 造一个 “第k+1 级的某个元素 某个元素 z 的优先函数” （优先函数表示第 x1 , x2 ,, xi ,, xs k+1 级中各元素 对第 k1 级中的元素 z 的相对的重要即优先性），我 们将此函数记作 ，则

如果令
则
（ 9.18） bij y j xi , ik 1 xi , k y j z j
k 1 i


b , i 1,, s
ij k j j 1
r
（9.19）
即
1k 1 b11 b12 k 1 b 2 21 b22 k 1 i bi1 bi 2 k 1 bs1 bs 2 s
即
1 1 2 2 n n n n n n n 1 2 A nI w 0
式中 I 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵A中的值估计准确， 上式严格等于 0( n维 0 向量)，如果A的估计不够准确，则A中元素 的小的摄动意味着本征值的小的摄动，从而有 Aw maxw （9.14） max 是矩阵 A 的最大本征值。由（9.14）式可以求得本征向量即 权向量w 1 , 2 ,, n T 这种方法称为本征向量法。
j 1, j l
a
n lj n il
j
l
2
2
Βιβλιοθήκη Baidu
i l , j l时，L2 alll l i l , j l时，L3
l i 1,i l
a
i
2
Ll L1 L2 L3 2 l
j l , j 1
二、常用的确定各属性权的方法 ——本征向量法

在用该法确定权时，可以用max n来度量 A 中各元素 aij 的估计的一致性。为此引入一致性指标CI： max n （9.15）
CI
n 1
CI与与表 9.10 所给同阶矩阵的随机指标 RI之比称为一致 性比率 CR，即 CR=CI/RI （9.16） 比率 CR可用来判定矩阵 A 能否被接受。 若 CR>0.1， 说明 A 中各元素的估计一致性太差,应重新估计。若 CR<0.1，则可认为 A 中各元素的估计基本一致,这时可以 用(9.14)式求得w ,作为 n 个目标的权。

为什么要引入权？
一、权的概念
权是目标重要性的度量, 即衡量目标重要性的 手段。 权这一概念包含并反映下列几重因素： ①决策人对目标的重视程度 ②各目标属性值的差异程度 ③各目标属性值的可靠程度 权应当综合反映三种因素的作用，而且通过权， 可以通过各种方法将多目标决策问题化为单目 标问题求解。
i 1
n
j 1


受约束于：

i 1
i
1
i 0i 1,2,, n
二、常用的确定各属性权的方法 ——最小二乘法

用拉格朗日乘法解这一有约束纯量优化问题，则拉格朗日函数为
L
n
a
n n ij i 1 j 1
n i il j 1
j
i
2
L 对l l 1,2,, n求偏导数，并令其为0，得 n 个代数方程：