32种结晶学点群
结晶学第六讲—点群(2)
{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立 方 晶 系
x
-0 -0 -1 -0 -0 -1
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001) (010) (100)
001 010
001
010 001
010
z
100
100
x
(101) (011) (110)
y
110 011 011
110 101 101
110 011 011
(110)
110
100
110
(111) (111)
4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三 斜 晶 系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三 斜 晶 系
2 (L2)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
y
x
四 方 晶 系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四 方 晶 系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
山东大学结晶化学课件第三节 2013-10-15上课
第三节晶体的32点群(point group)•晶体32点群的推导 •晶体的分类 •点群的符号1•晶体32点群的推导原则晶体的宏观对称性允许有L1, L2, L3, L4, L6, L4 , m和i. i因为旋转轴之间的组合不会产生反映 面，而反映面的组合却会产生旋转轴。
所以推导从轴的组合开始。
所以推导从轴的组合开始组合原理：两个反映面相交，其交线为旋转轴 组合原理：两个反映面相交 其交线为旋转轴.2晶体32点群的推导1. 旋转轴的组合 2. 旋转轴与反映面的组合 3. 旋转轴与对称中心的组合 4. 四次反轴与其它对称元素的组合31. 旋转轴的组合•单 单一旋转轴 旋转轴•高次轴与二次轴的组合 •高次轴的组合4单一旋转轴 单 旋转轴：L1, L2, L3, L4, L6。
由对称性定律：晶体中只能出现1， 2， 3， 4， 6次旋转轴。
次旋转轴5L16L27L38L49L610•高次轴与二次轴的组合：组合原理欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个 旋转轴112次轴与2次轴（高次轴与2次轴）每个2次轴均可看作两互相垂直的反映面的连 续动作 把两个反映面重合于两个L2决定的 续动作，把两个反映面重合于两个 平面中，另两个反映面将垂直于此平面，这 两个反映面交成新的旋转轴。
两个反映面交成新的旋转轴 以两个2次轴的组合为例说明之： L2 + L2 = m1•m2 • m3•m4 = m1•I•m4 = m1•m4 = L2 m2, m3重合于两个L2决定的平面， m1，m4 垂直于此平面12图示推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，则有n个 二次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为 次轴相交 且相邻两二次轴的交角为n 次轴基转角的一半。
13L2 + L2 = 3 L214L3 + L2 = L3 3 L215L4 + L2 = L4 4 L216L6 + L2 = L6 6 L217高次轴与二次轴的组合总结L2 + L2 = 3 L2 L4 + L2 = L4 4 L2 L3 + L2 = L3 3 L2 L6 + L2 = L6 6 L218•高次轴的组合几个高次轴组合时，如 Ln 和Lm （m, n ＞ 2), 两高次轴交于O点，Ln周围能找 到n个Lm ，连接在每个Lm 上距O等距离 的地方的点得到正n边形。
32种点群
晶序
晶 类
符 号
系
号
熊夫利符号
国际符号 (全写)
国际符号 (简写)
三1
C1
1
1
斜2
Ci (S2)
1
1
对称素 —— γi
对称 素数目
具体对称操作
对称 操作数
—— E= 1
1
1
E= 1 反演
2
3
C s (C 1h)
m (= 2)
m
单
4
C2
2
2
斜5
C 2h
32 种点群按是否为纯旋轴对称, 可分为两类: 第一类是纯旋转轴点群; 第二类是除旋转轴外, 还可以 通过其它对称操作与自身重合.
第一类点群——纯旋转轴点群, 包括单轴点群 Cn, D n 点群和多面体群. Cn 点群指只有 1 根 n 次旋转 对称轴的点群. 由于晶体中只能有 5 种旋转轴, 所以它只有 5 种, 即 C1, C2, C3, C4, C6; D n 点群即指具有 n 次旋转轴及 n 个与之垂直的 2 次旋转轴, 共 4 种: D 2, D 3, D 4, D 6 (D 1 即 C2 已并入 Cn 群内) ; 多面体群只有 2 种: 即四面体群 T 和八面体群O. 四面体群 T 表示有 4 个 3 次旋转轴和 3 个 2 次轴. 八面体群O 表示 3 个 互相垂直的 4 次旋转对称轴及 6 个 2 次旋转轴, 4 个 3 次旋转轴. 至此, 我们已找出了点群中所有可能的 纯旋转群, 合计 11 种.
D nh点群是在 D n 群的基础上, 再加上 (n+ 1) 个平面形成的. (这些平面分别垂直主轴和 2 次轴) 共有 4 种: D 2h , D 3h , D 4h 和 D 6h (D 1h 等效于 C 2v).
第五章 32种结晶学点群
这一章我们将学习32种结晶学点群 这一章我们将学习32种结晶学点群， 种结晶学点群， 它们的推演方案和它们的表示方法. 它们的推演方案和它们的表示方法.
推导方案：
从晶系的特征对称元素出发， 从晶系的特征对称元素出发 ， 在保持晶 系不变的前提下， 确定镜面， 系不变的前提下 ， 确定镜面 ， 反演中心 和二次旋转轴是否能够加到晶系的特征 对称元素上( 对称元素上(如果有主轴则加上垂直与主 轴的镜面, 轴的镜面 , 包含主轴的镜面或垂直与主轴 的二次旋转轴) 的二次旋转轴)， 把这种方法应用于每种晶系就将得到全 32种结晶学点群 种结晶学点群. 部32种结晶学点群.
这个点群对称操作的集合为 这个点群对称操作的集合为{1, 2, m, 集合为{ 2 ī }, 点群的国际符号为 m , 熊夫利符号为 点群的国际符号为 C2h, 分母上的 m 指这个镜面与二次旋转 分母上的m 2 轴垂直. 轴垂直. 这样 m 点群等效点的极射赤面 投影图应有4个点. 投影图应有4个点.
2 m
(C2h )。
3 正交晶系 正交晶系的特征对称元素是两个 互相垂直的二次旋转轴或两个互 相垂直的镜面. 相垂直的镜面.
由正交晶的特征对称元 素所要求， 素所要求 ， 正交晶系的晶胞 参数必须是
0，a≠b≠c. α=β=γ=90 a≠b≠c. α=β=γ=90
（为什么？） 为什么？）
定理: 定理 : 两个互相垂直的二次旋转轴 决定另一个二次旋转轴, 决定另一个二次旋转轴 , 三个二次 旋转轴互相垂直. 旋转轴互相垂直.
图5.1 极射赤面投影图
图5.1 极射赤面投影图
1. 三钭晶系
在我们学习七个晶系时知道, 在我们学习七个晶系时知道,三钭晶系 要求对称操作对晶轴和轴间角没有任何限 制,满足这个条件的对称操作有1(C1), ī(i). 因 满足这个条件的对称操作有1(C 三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C ī(i). 此三钭晶系拥有(而且只有)点群1(C1), ī(i).
晶体结构空间群点群
(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。
其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶 系 等轴晶系 晶 族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
7大晶系对应的32种点群
7大晶系对应的32种点群
晶体学中共有7大晶系，它们分别是三方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱斜晶系、三斜晶系和立方晶系。
每一种晶系都对应着若干个点群，下面是这些点群的具体介绍：
1. 三方晶系：三方晶系共有4个点群，分别是32、31、34和33。
其中，32点群对应的晶体有最高的对称性，具有6重旋转轴和反演中心。
2. 四方晶系：四方晶系共有10个点群，分别是16、14、13、12、11、10、8、7、6和4。
其中，16点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转轴和反演中心。
3. 正交晶系：正交晶系共有4个点群，分别是222、mm2、2mm 和mmm。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
4. 单斜晶系：单斜晶系共有2个点群，分别是2和m。
其中，2点群对应的晶体具有最高的对称性，具有2重旋转轴和反演中心。
5. 菱斜晶系：菱斜晶系共有2个点群，分别是222和mm2。
其中，222点群对应的晶体具有最高的对称性，具有3个互相垂直的2重旋转轴和反演中心。
6. 三斜晶系：三斜晶系只有1个点群，即1。
该点群对应的晶体具有最低的对称性，只有反演中心。
7. 立方晶系：立方晶系共有5个点群，分别是432、23、4、3和m3。
其中，432点群对应的晶体具有最高的对称性，具有4重旋转
轴和反演中心。
12-晶体学点群
第四章：晶体的对称性 § 4.4 晶体学点群
32种晶体学点群 1) 旋转群：n(Cn)，n阶 总：5
1
3
⇒ ∞
2
4
6
极性：主轴方向，奇数群中所有方向； 非极性：偶数群中垂直于主轴的方向。 2) 反演转动群： (Sn)，（奇：2n阶；偶：n阶） 总：10 n
1
2=m
3
4
6=3 m
⇒ ∞ m
极性：偶数群中垂直于主轴的方向； 3 非极性：主轴方向， 、1 中垂直于主轴的方向。
⇒ ∞ mm
(1 m = 2 m)
22 → 2
1→2 m
mm → 2
2mm(C2v)，4阶
mm → 2
3 2 m (D3d)，12阶源自3→6 mmm → 2 62 → 2
4 2 m (D4d)，8阶
6 2 m (D6d)，12阶
6=3 m
mm → 2
n m 总：27 （ 7) m (Dnh)， （4n阶） m ⊥ n、 || n ） m 1 3 ⇒ ∞ mmm ( m = mm 2 ) ( m = 6 2 m ) m m 2 4 6 m = mmm m = 4 mmm m = 6 mmm m m m
222(D2)，4阶
A ′′′
A ′′
A′
A
32(D4)，6阶
422(D3)，8阶
A ′′′ A ′′ A′
A
622(D6)，12阶
4) n/m (Cnh)，2n阶 m ⊥ n） （
总：17
(1 m = m )
(3 m = 6 ) 2 m 4 m
6 m
⇒ ∞ m
极性&非极性：同3)； 2) 、 4)极限群相同，可看作同一族的两个子族。
晶体与空间群概述
极射赤面投影
m3m-Oh点群极射赤平投影图
研究点群的意义
对晶体进一步分类：所有 晶体分属32种晶类，每种晶 类对应一种点群；
点群是空间群的基础； 固体的性质与点群有关。
在32种晶体点群中，有 21种没有对称中心，其中20 种点群的晶体具有压电效应： 10种极性、10种非极性。极 性压电晶体指具有永久偶极 矩，如钛酸钡、铌酸锂晶体 等。
下面一个空间群推导的简单例子，可以帮助我们理解
空间群是如何由对称操作的组合得到的。单斜晶系中 的2/m点群，可能具有2次轴、21螺旋轴、m镜面和c滑
移面这些对称性。为了简明，这里不考虑非标准设置 的单斜晶系空间群及其对称性，即取平行于2次旋转轴 或21螺旋轴方向为b轴，则镜面m和c滑移面垂直于b轴， 则镜面m和c滑移面垂直于b轴。单斜晶体的晶格类型可 能是简单P晶格和底心C晶格。P和C晶格与2次轴、21螺 旋轴、m镜面和c滑移面对称性进行组合，共有8种可能 性：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m, C2/c, C21/m和 C21/c。 由于21螺旋轴可以由C格子和2次旋转对称操作 组合产生，C21/m与C2/c也是等价的，因此，属于2/m 点群的空间群只有6个：P2/m, P2/c, P21/m, P21/c, C2/m 和C2/c。
分 子 与 晶 体 点 群
n? ？
230种空间群
点群一般用于研究有限图 形的对称性—对称元素有限且 必相交于一点。晶体的内部构 造是由无数个化学质点在三维 空间组合而成的，任何相邻两 质点之间均仅有以nm为单位的 微小距离。
晶体构造可认为是沿三维
空间延伸的无限图形，所有对 称元素(包括对称元素的交点) 在三维空间作平行排列，也不 交于一点。
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32种结晶学点群
/course/course/10/build/32.htm
在32种点群中，具有中心对称的有11种，非中心对称的有21种，其中，点群432（O）晶类对称 性很高，通常也不下显压电、线性电光、二次非线性等特性。 极性晶类10种：1，2，3，4，6，m，mm2，4mm，3m，6mm 非极性晶类11种：222，32，422，622，23，432，4，4m2，6，6m2，43m 11种中心对称点群： 1，2/m, 3, 4/m, 6/m，mmm，3m，4/mmm，6/mmm，m3，m3m 介电晶体32种晶类晶体， 压电晶体存在于20种非中心对称的晶类中（需三阶张量）； 热释电晶体存在于10种极性晶类中（需一阶张量）； 铁电晶体存在于热释电晶体中自发极化可随外加电场反向的晶体。 一阶张量：热释电系数 二阶张量：电导率 对称中心无关） 三阶张量：压电模量 四阶张量：弹性顺服常数 ，电光系数 （非中心对称） ，弹光系数 （与对称中心无关） （电极化矢量的改变 ，介电常数 ）（存在于10种极性晶类） ，介电不-渗透性 ，热导率 （与
，电极化率
，弹性劲度常数
1. 循环点群（5种）：1，2，3，4，6 2. 二面体点群（4种）：222，32，422，622 循环点群+加旋转轴（垂直于循环点群旋转轴方 向，要保证主轴仍是对称轴，就只能加2次轴） 3. 立方旋转点群：23，432 4. 11种纯旋转结晶学点群：1，2，3，4，6，222，32，422，622，23，432 5. 11种中心对称点群： 1，2/m, 3, 4/m, 6/m，mmm，3m，4/mmm，6/mmm，m3，m3m 用反演算 符乘所有纯旋转结点群 6. 10种新点群：m，mm2， 4，4m2，4mm，3m ，6，6m2，6mm，43m从11种中心对称点群可以找 到10种新点群，他们没有中心对称（I或I），但有除了纯旋转以外的其它对称操作。
2/m, 4/m, 6/m，mmm，3m， 4/mmm， 6/mmm， m3m （中心对称点群） m，4，6，mm2，3m ，4m2，4mm，6m2，6mm，43m（新）
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32种结晶学点群
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表1-4 7大晶系和14种布喇非格子
上一页格子
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