第五章数字滤波器的基本结构
数字滤波器的基本结构
群延迟
定义：群延迟是指数字滤波器在单位频率下输出信号相对于输入信号的延迟时间
影响因素：滤波器的阶数、滤波器的类型、滤波器的参数等
重要性：群延迟是衡量数字滤波器性能的重要指标之一对于信号处理、通信系统等应用具有重要 意义
测量方法：可以通过仿真或实验方法测量群延迟常用的测量方法有傅里叶变换、快速傅里叶变换 等
数字滤波器的分类
按照滤波器的 实现方式可以 分为FIR滤波器 和IIR滤波器
按照滤波器的 频率响应可以 分为低通滤波 器、高通滤波 器、带通滤波 器和带阻滤波
器
按照滤波器的 阶数可以分为 一阶滤波器、 二阶滤波器、 三阶滤波器等
按照滤波器的 应用领域可以 分为通信滤波 器、图像滤波 器、音频滤波
器等
数字滤波器的基本原理
数字滤波器是一 种信号处理设备 用于处理数字信 号
基本原理：通过 改变信号的频率 成分实现信号的 滤波
滤波器类型：包 括低通滤波器、 高通滤波器、带 通滤波器和带阻 滤波器等
应用领域：广泛 应用于通信、信 号处理、图像处 理等领域
03
数字滤波器的结构
IIR数字滤波器结构
结构类型：直接 型、间接型、状 态空间型
单击此处添加副标题
数字滤波器的基本结构
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目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 数字滤波器的概述 数字滤波器的结构 数字滤波器的性能指标 数字滤波器的实现方法 数字滤波器的应用
01
添加目录项标题
02
数字滤波器的概述
数字滤波器的定义
数字滤波器是一种信号处理设备用于处理数字信号 主要功能：对输入信号进行滤波处理以消除或减弱某些频率成分 应用领域：通信、雷达、图像处理、音频处理等领域 数字滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等类型每种类型都有其特定的应用场合。
iir和fir基本结构
x[k]
b0
w[k]
y[k ]
z 1
b1
a1
z 1
z 1
b2
z 1
a2
z 1
a N 1 z 1
z 1
bN
aN z 1
直接 II 型结构
x[k]
x[k]
a1
a1
z 1
z 1
aa2 2
z 1
z 1
aaNN1z1z1 1
aaNN zz1 1
b0
z 1
b1b0
b1
z 1 b2b2 z1
k 0
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
z 1 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 3] h[ M 1]
2
2
相同系数的共用乘法器，只需(M+1) /2个乘法器
三、 FIR 数字滤波器的级联型结构
将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相
乘
L
H (z) h[0] (1 1,k z 1 2,k z 2 )
j 1
w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k M ]
y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
直接 I 型结构
设M=N w[k] b0 x[k] b1x[k 1] bN x[k N ] y[k] w[k] a1x[k 1] a2 x[k 2] aN x[k N ]
第5章 数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器的基本结构 FIR数字滤波器的基本结构 格型结构
IIR数字滤波器的基本结构
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字滤波器的基本结构(3)-sw_OK
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
数字滤波器的基本结构
H (z)
A
m1 N1
m1 N2
(1 ck z1) (11k z1 2k z2 )
k 1
k 1
将单实根因子看作二阶因子的特例：
46
M 1 2
(1 1m z1 2m z2 )
H (z) A m1 N 1 2 (1 1k z1 2k z2 ) k 1
：表示取整。
其中
Hi
(z)
1 1i z1 11i z1
2i 2i
z 2 z 2
,
级联结构：
i 0,1,..., m
X(n) H1（Z）
H2（Z）
。。。
Y(n) Hm（Z）
48
H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现：
Z-1
Z 1 a1
y(n 1)
Z 1
a2
y(n 2)
Z 1 bM
x(n M )
Z 1
aN 1
y(n N 1)
Z 1
aN
y(n N)
实现N阶差分方程的直接I型结构
36
M=N
37
1）可直接差分方程或系统函数的标准形式画 出。两个网络级联：第一个横向结构M节延 时网络实现零点（分子，输入），第二个有 反馈的N节延时网络实现极点（分母，输 出） 。需要N+M级延时单元。
32
◦ 系统函数 ◦ 差分方程
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
Y (z) X (z)
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
(完整版)数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
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k 1
k 0
z变换
M
H (z)
Y (z) X (z)
bk z k
k0 N 1 ak zk
k 1
2、结构表示：方框图和信流图
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
基本运算单元
方框图
流图
单位延时
z 1 z 1
常数乘法器
a
a
加法器
x(n)
a0
a1
1/z
+
y(n) 1/z
1/ 3 1/z 1/8
10/ 3 1/z 1/ 2
x(n) 1/z
1/ 4 1/3
y(n) 1/z 1/ 2
转置定理——
对于一个信流图，如果将原网络中所有支路方 向加以倒转，且将输入 x(n) 和输出有 y(n) 相 互交换，则其系统函数 H(z) 仍不改变。
直接II型的转置:
§5.3 FIR 数字滤波器结构
一、IIR滤波器的特点
1、单位冲激响应h(n)是无限长的（定义的由来）
2、系统函数H(z)在有限z平面上（0 z )有极点存在；
3、结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上的递归 型的。
二、有限阶IIR的表达式：（其中至少有一个 ak≠0）
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
H (z)
Y (z) X (z)
M
bk z k
k 0
N
1 ak zk
k 1
三、IIR滤波器四种结构
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k 0
1、直接 I 型
x(n)
b0
y(n) 结构特点：
1/z b1
a1 1/z
直接实现
1/z b2
a2 1/z
第一个网络实现零点
一阶离散系统方框图
b1
x(n) 1/z
a0
1/z
a1
- b1
一阶离散系统信流图
y(n)
3、实现方式：软件与硬件 4、软件方式：通用计算机或专用计算机 5、核心算法：乘加器 6、典型结构——
无限长单位冲激响应（IIR）滤波器 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器
§5.2 IIR滤波器的基本结构
z -1
h(0) h(1) h(2)
h(N-2) h(N-1)
y(n)
特点: N个延迟单元；不方便调整零点。
2、级联型结构：
将H(z)分解为二阶实系数因式的乘积。
M
H (z) (0i 1i z 1 2i z 2 ) i 1
x(n)
01
02
0M
......
y(n)
3
4
8
解：正准型、一阶级联和并联的系统函数表示：
H(z)
1 1 z 1 3
(
1
1 1 z 1 )( 3 )
1 3 z 1 1 z 2 1 1 z 1 1 1 z 1
48
2
4
73
10 3
1 1 z 1 1 1 z 1
4
2
图示如下：
x(n)
1/z 3/ 4
y(n)
7/3
x(n)
1/z 1/ 4
y(n)
N N1 2N2
组合成实系数二阶多项式：
N 1
N 1
H (z) G0
k
2 1
1
0k 1k
1k z1 z1 2k
z
2
G0
2
Hk (z)
k 1
结构：将H(z)分解为一阶及 二阶系统的并联(部分分式
A 0
A 1
1/z
展开)，每级子系统都用典
A L
1/z
x (n)
y (n )
1/z
1/z
...
1/z bN
aN 1/z
第二个网络实现极点 N+M个时延单元
2、直接II型:典范型
H (z)
Y (z) X (z)
H（1 z）H（2 z）
H（2 z）H（1 z）
M
bk z k
1
N
ak z k
1
1
N
ak
z
k
•
M
bk z k
k 0
k 1
k 1
k0
x(n)
b
y ( n ) x(n)
第五章 数字滤波器的基本结构
主要内容
理解数字滤波器结构的表示方法 掌握IIR滤波器的基本结构 掌握FIR滤波器的直接型、级联型、线
性相位结构，理解频率抽样型结构 了解数字滤波器的格型结构
§4.1 数字滤波器结构特点及表示
1、数字滤波器的表示：差分方程和系统函数
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
x(n)
11
1/z
11
1/z
21
21
12
1/z
12
1/z
22
22
y(n)
...
1M
1/z 1M
2M
1/z
2M
4、并联型(Paralle Form)
将因式分解的H(z)展成部分分式：(M N )
H (z)
G0
N1
Ak
k 1 1 ck z 1
N2
0k 1k z1
k 1 1 1k z 1 2k z 2
范型实现。
H (z) H1(z) H 2 (z) ... H r (z)
1/z
11
11
1/z
21
21
特点: 方便调整极点，不便
于调整零点；部分分式展 开计算量大。
1/z
1M
1M
1/z
2M
2M
IIR滤波器结构表示举例
例：用典范型和一阶级联型、并联型实现方程：
y(n) x(n) 1 x(n 1) 3 y(n 1) 1 y(n 2)
0
a 1
1/z 1/z
b 1
a1
a
1/z 1/z b
2
2
a2
1/z 1/z
a3
1/z b M
a
1/z
N
aN
b 0 y(n)
1/z b1
1/z b2
1/z b3
结构特点： Max(N、M)
个时延单元。
1/z bM
1/z
直接型的共同缺点：
系数ak，bk 对滤波器的性能控制作用不明显
极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或 较大误差
运算的累积误差较大
3、级联型(Cascade Form)
将系统Байду номын сангаас数按零极点因式分解:
M
bk zk
M1
M2
(1 pk z1) (1 qk z1)(1 qk*z1)
H(z)
k 0 N
A
k 1 N1
k 1 N2
1 ak zk
(1 ck z1)
(1
d
k
z
1
)(1
d
* k
z
1
)
k 1
k 1
k 1
A为常数
M M1 2M2
pk 和ck 分别为实数零、极点
N N1 2N2
qk
,
qk*和d
k
,
d
*分
k
别
为复共轭
零
、
极点
结构：将分解为一阶及二阶系统的串联，每级 子系统都用典范型实现。
H (z) H1(z)H2 (z) ... HM (z)
特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一; 实际中需要优化。
一、FIR的特点：
N 1
H (z) h(n)z n n0
不存在极点(z=0除外)，系统函数在 z 0 处收敛。
系统单位冲击响应在有限个 n 值处不为零。 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。
二、FIR结构
1、横截型
(又称为直接型或卷积型，直接完成差分方程）
X(n)
z -1
z -1