黑龙江省哈尔滨市宾县2019-2020年八年级(上)期末数学试卷 解析版
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市宾县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在代数式35a，6x−y，a−bπ−3，1a+1b中，分式共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是()A. 2，2，4B. 12，5，6C. 8，6，4D. 2，3，63.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为()A. 16B. 18C. 20D. 16或204.点M(3,−4)关于y轴的对称点是M1，则M1关于x轴的对称点M2的坐标为()A. (−3,4)B. (−3,−4)C. (3,4)D. (3,−4)5.下列图形中，不是轴对称图形的是()A. B.C. D.6.全等三角形是()A. 三个角对应相等的两个三角形B. 周长相等的两个三角形C. 面积相等的两个三角形D. 能完全重合的两个三角形7.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是()A. SSSB. SASC. AASD. ASA8.下列运算正确的是()A. 3a2−2a2=1B. (a2)3=a5C. a2⋅a4=a6D. (3a)2=6a29.若2m=5，4n=3，则43n−m的值是()A. 910B. 2725C. 2D. 410.已知关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m的取值范围是()A. B. m≥2 C. m≥2且m≠3 D. 且m≠3二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为_____________12.一个多边形的每个外角都等于60°，这个多边形的内角和为______．13.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的最小值为______．14.若a−1a =√6，则a2+1a2的值为．15.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是_________．16.因式分解：2x2−18=．17.计算(4x2y−xy)÷2xy=______ ．18.11.已知三角形的三边长分别是4、5、x，则x的取值范围是_____．19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.连接AF，∠AFC的度数为______．20.如图，一个八边形的八个内角都是135°，连续六条边长依次为6，3，6，4，4，3(如图所示)，则这个八边形的周长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）21.计算：(1)x5÷x3+(x−2)(x+3)(2)(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）22.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标；A1(______，______).(2)在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请画出图形并直接写出点P的坐标：P(______，______).23. 先化简，再求值：(a +1−4a−5a−1)÷(1a−1−2a 2−a )，其中a =(3−π)0+(14)−1．24. 已知：如图，AB ，CD 交于点O ，E ，F 为AB 上两点，OA =OB ，OE =OF ，∠A =∠B ，∠ACE =∠BDF.求证：△ACE≌△BDF ．25. 甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工20天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，才能完成该项工程．(1)若甲队单独施工，需要______天才能完成任务．(2)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(3)若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？26.已知AD与BC相交于点O．(1)如图1，试探究，∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系；(2)若∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E，如图2，试探究∠A，∠C，∠E之间的数量关系．27.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，∠BDE=∠ABC，BE⊥DE于E，BE交AC于点G．(1)求证：∠A=∠DBE；(2)如图2，过E作EF⊥AC于F，连接BF，若BF平分∠ABE，求证：AB=EB；(3)在(2)的条件下，如图3，连接DG，若AF=2FG，S△BDG=8，求BG的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查的是分式的定义的有关知识，由题意利用分式的定义进行求解即可．解：分式有6x−y ,1a+1b共2个．故选B．2.答案：C解析：本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：A.2+2=4，不能组成三角形，故本选项错误；B.5+6=11<12，不能组成三角形，故本选项错误；C.4+6=10>8，能够组成三角形，故本选项正确；D.2+3=5<6，不能组成三角形，故本选项错误．故选C．3.答案：C解析：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4=8，故不构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是8，8．4+8>8，符合条件．成立．故周长为：4+8+8=20．故选C．4.答案：A解析：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出M1，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解即可．解：∵点M(3,−4)关于y轴的对称点是M1，∴M1的坐标为(−3,−4)，∴M1关于x轴的对称点M2的坐标为(−3,4)．故选A．5.答案：C解析：解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．6.答案：D解析：此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的概念是解题关键．直接利用全等三角形的概念得出答案．解：A、三个角对应相等的两个三角形，各边长不一定相等，故不一定全等，故此选项不合题意；B、周长相等的两个三角形不一定重合，所以不一定全等，故此选项不合题意；C、面积相等的两个三角形不一定重合，所以不一定全等，故此选项不合题意；D、能够完全重合的两个三角形，是全等三角形，符合题意．故选D．7.答案：D解析：本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．8.答案：C解析：此题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算．根据合并同类项法则、幂的乘方法则与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算即可．解：A.3a2−2a2=a2，错误；B.(a2)3=a6，错误；C.a2⋅a4=a6，正确；D.(3a)2=9a2，错误；故选C．9.答案：B解析：本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方和同底数幂的除法法则求解．∵2m=5，4n=3，∴43n−m=43n4m=(4n)3(2m)2=3352=2725故选B．10.答案：C解析：此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．解：分式方程去分母得：m−3=x−1，解得：x=m−2，由方程的解为非负数，得到m−2≥0，且m−2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C．11.答案：2.5×10−6解析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的所有0的个数所决定．解：0.0000025=2.5×10−6；故答案为2.5×10−6．12.答案：720°解析：解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于60°，=6，∴n=360°60∘∴这个多边形的内角和=(6−2)×180°=720°．故答案为720°．由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n−2)⋅180°；也考查了n边形的外角和为360°．13.答案：2解析：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB 垂直时PN的值最小是解题的关键．根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ=PD．解：如图：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ=PD=2，即线段PQ的最小值是2．故答案为2．14.答案：8解析：本题主要考查了代数式求值和完全平方公式的应用，由(a−1a )2=a2−2+1a2，可得a2+1a2=(a−1a )2+2，由此代入计算即可．解：因为a−1a=√6，所以(a−1a )2=a2+1a2−2=6，所以a2+1a2=6+2=8．15.答案：9：30解析：解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，故答案为：9：30．关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案．此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案．16.答案：2(x+3)(x−3)解析：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式2，再运用平方差公式因式分解．解：2x2−18=2(x2−9)=2(x+3)(x−3)．故答案为2(x+3)(x−3)．17.答案：2x−12．解析：解：(4x2y−xy)÷2xy=2x−12．故答案为：2x−12直接利用整式除法运算法则求出答案．此题主要考查了整式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．18.答案：1<x<9．解析：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．解：根据三角形的三边关系可得：5−4<x<5+4，即1<x<9，故答案为1<x<9．19.答案：60°解析：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=(180°−120°)÷2=30°，∵EF垂直平分AB，∴BF=AF，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°．故答案是：60°．20.答案：38−2√2解析：解：如图，双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，∵一个八边形的八个内角都是135°，∴每一个外角等于45°，∴四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．设GH=x，HA=y，∵MQ=NP，∴MF+EF+EQ=NA+AB+BP，即3√22+4+2√2=√22y+6+3√22，解得y=4−2√2．同理可得x=8，∴该八边形的周长=6+3+6+4+4+3+8+4−2√2=38−2√2．故答案为：38−2√2．双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，根据八边形的八个内角都是135°，可得出其外角的度数，由此得出四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．设GH=x，HA=y，根据MQ=NP可得出y的值，同理得出x的值，进而可得出结论．本题考查的是三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．21.答案：解：(1)x5÷x3+(x−2)(x+3)=x2+x2+x−6=2x2+x−6；(2)(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)=4x2+12xy+9y2−(4x2−y2)=12xy+10y2．解析：(1)直接利用整式的除法运算法则以及多项式乘以多项式运算法则计算得出答案；(2)直接利用完全平方公式以及平方差公式计算得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22.答案：(1)−3；−2；(2)−2；0解析：解：(1)如图所示：A 1(−3,−2)，故答案为：−3；−2；(2)如图所示：P(−2,0)．(1)确定A 、B 、C 三点关于x 轴对称的对称点位置，再连接即可；(2)连接A 1B ，与x 轴交点就是P 的位置．此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是掌握在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．23.答案：解：∵a =(3−π)0+(14)−1=1+4=5， ∴原式=a 2−1−4a+5a−1÷a−2a 2−a=(a −2)2a −1÷a −2a (a −1)=(a −2)2a −1·a (a −1)a −2=a(a −2)=5×(5−2)=5×3 =15．解析：本题主要考查的是零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值的有关知识，由题意先求出a ，然后将给出的分式进行化简，再代入求值即可．24.答案：证明：∵OA =OB ，OE =OF ，∴OA−OE=OB−OF，∴AE=BF，在△AEC和△BFD中，{∠ACE=∠BDF ∠A=∠BAE=FB，∴△ACE≌△BDF(AAS)．解析：根据等式的性质可得AE=BF，然后再利用AAS判定△ACE≌△BDF．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．25.答案：解：(1)60；(2)设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，根据题意可得：1 3+16×(160+1x)=1，解得：x=40，经检验x=40是原方程的根．答：乙队单独施工，需要40天才能完成该项工程；(3)设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：1 60×30+y×140≥1．解得：y≥20，答：乙队至少施工20天才能完成该项工．解析：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出数量关系是解题关键．(1)直接利用队单独施工20天完成该项工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；(2)根据甲的工作量+乙的工作量=1列出方程解答；(3)直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，得出不等式求出答案．解：(1)∵甲队单独施工20天完成该项工程的13，∴甲队单独施工60天完成该项工程．故答案为60．(2)见答案；(3)见答案．26.答案：解：(1)在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，又∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；(2)由(1)的结论可知∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠EBC，∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠EBC.又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠CDE，∴∠A+∠C=2∠E．解析：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键(1)利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；(2)根据(1)的关系式求出∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠EBC，再根据角平分线的定义求出∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠CDE，然后利用等量代换列式整理即可得解．27.答案：证明：(1)如图1，∵DE⊥BE，∴∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠E，∴∠A=∠DBE；(2)如图2，∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF//BC，∴∠FEB=∠DBE，由(1)知：∠BAC=∠DBE，∴∠BAC=∠FEB，∵BF平分∠ABG，∴∠ABG=∠EBG，在△ABF和△EBF中，∵{∠BAC=∠FEB ∠ABF=∠EBF BF=BF，∴△ABF≌△EBF(AAS)，∴AB=BE；(3)解：由(2)得△ABF≌△EBF，∴AF=EF，∵AF=2FG，∴EF=AF=2FG，设FG=x，则EF=2x，EG=√5x，∵EF//BC，∴BCCG =EFFG=2，∴BC=2CG，∵∠FEG=∠CBG=∠CAB，∠GFE=∠ACB=90°，∴△EFG∽△ACB，∴AC=2BC，∴AC=4CG，∵AC=3FG+CG，∴FG=CG，∵∠EFG=∠BCG=90°，∠EFG=∠BCG ∴△EFG≌△BCG(ASA)，∴EG=BG=√5x，∵△EFG∽△BED，∴DEBE =12，DE=√5x，∵BG=EG，∴S△BDG=S△DGE，∵S△BDG=8=12S△BED，∴12⋅12⋅√5x⋅2√5x=8，5x2=16，∵BG2=5x2=16，∴BG=4或−4(舍)．解析：(1)根据三角形的内角和定理可得结论；(2)证明△ABF≌△EBF(AAS)，可得AB=BE；(3)根据△ABF≌△EBF，得AF=EF，设FG=x，则EF=2x，EG=√5x，证明△EFG∽△BCG，得BC=2CG，证明△EFG∽△ACB，得AC=2BC，证明△EFG∽△BED得：DE=√5x，根据BG=EG，同高三角形面积相等，则S△BDG=S△DGE，列式可得5x2=16，可得结论．本题考查三角形综合题、全等和相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，勾股定理表示线段的长，证明全等和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2019-2020学年八年级上期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年八年级上期末考试数学试卷一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a102．（2分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A．B．C．D．4．（2分）下列图形中有稳定性的是（）A．正方形B．长方形C．直角三角形D．平行四边形5．（2分）下列计算正确的是（）A．5a4•2a＝7a5B．（﹣2a2b）2＝4a2b2C．2x（x﹣3）＝2x2﹣6x D．（a﹣2）（a+3）＝a2﹣66．（2分）在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）7．（3分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．8．（3分）因式分解：4a3b3﹣ab＝．9．（3分）请用代数式表示：一个长方形的长为a，宽是长的，则这个长方形的周长是．10．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝度．11．（3分）如果x2﹣mx+81是一个完全平方式，那么m的值为．12．（3分）如果分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是．13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB 于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC 于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为。
【精选3份合集】2019-2020年哈尔滨市八年级上学期期末联考数学试题
八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°【答案】C 【分析】根据等边对等角可得∠B ＝∠ACB ＝50°,再根据三角形内角和计算出∠A 的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC ＞∠A , 再因为∠B ＝50°，所以∠BPC ＜180°－50°＝130°进而可得答案.【详解】∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∴∠B ＝∠ACB ＝50°，∴∠A ＝180°－50°×2＝80°，∵∠BPC ＝∠A ＋∠ACP ，∴∠BPC ＞∠A ，∴∠BPC ＞80°.∵∠B ＝50°，∴∠BPC ＜180°－50°＝130°，则∠BPC 的值可能是100°.故选C.【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质,关键是掌握等腰三角形两底角相等.2．已知α，β是方程2201910x x ++=的两个根，则代数式()()221202112021ααββ++++的值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】根据题意得到2201910αα++=，2201910ββ++=，1c aαβ==，把它们代入代数式去求解．【详解】解：∵α、β是方程2201910x x ++=的根，∴2201910αα++=，2201910ββ++=，1c aαβ==， ()()221202112021ααββ++++()()22120192120192αααβββ=++++++()()0202αβ=++4αβ=4=．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是抓住一元二次方程根的意义和根与系数的关系． 3．满足下列条件的△ABC 不是直角三角形的是（ ）A ．AC ＝1，BC AB ＝2B ．AC ：BC ：AB ＝3：4：5 C ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3D ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5 【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理可判定即可．【详解】解：A 、∵12+）2＝4，22＝4，∴12+2＝22，∴AC ＝1，BC ，AB ＝2满足△ABC 是直角三角形；B 、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5满足△ABC 是直角三角形；C 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴∠C ＝3123++×180°＝90°， ∴∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3满足△ABC 是直角三角形；D 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴∠C ＝5345++×180°＝75°， ∴∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，△ABC 不是直角三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，解题关键是掌握直角三角形的判定方法.4x 的取值范围（ ）A ．x≥2B ．x≤2C ．x ＞2D ．x ＜2【答案】A【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x 的取值范围． 【详解】∵2x -在实数范围内有意义，∴x−2≥0，解得x≥2.故答案选A.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.5．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P -关于x 轴对称的点为( ) A ．()2,3- B ．()2,3--C ．()23D ．()23-， 【答案】B【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】点P （−2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（−2，−3）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．6．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm【答案】C 【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】如图，连接AD ．∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC•AD=12×4×AD=12，解得：AD=6（cm ）．∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM +MD 的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8（cm）．故选C．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．7．下列各组数值是二元一次方程x﹣3y＝4的解的是（）A．11xy=⎧⎨=-⎩B．21xy=⎧⎨=⎩C．12xy=-⎧⎨=-⎩D．41xy=⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】试题分析：A、将x=1，y=-1代入方程左边得：x-3y=1+3=4，右边为4，本选项正确；B、将x=2，y=1代入方程左边得：x-3y=2-3=-1，右边为4，本选项错误；C、将x=-1，y=-2代入方程左边得：x-3y=-1+6=5，右边为4，本选项错误；D、将x=4，y=-1代入方程左边得：x-3y=4+3=7，右边为4，本选项错误.故选A考点：二元一次方程的解.8．4的算术平方根是（）A．±4 B．4 C．±2 D．2【答案】D【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2=a（x>0），那么这个正数x 叫做a的算术平方根.【详解】解：4的算术平方根是2.故选D.【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键.9．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能．．．是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形. 故选：C【点睛】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案. 10．若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m 的取值范围是（ ） A ．68m <<B ．67≤<mC ．67m ≤≤D ．67m <≤ 【答案】D【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围． 【详解】解不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②，由①式得，x m <，由②式得3x ≥，即故m 的取值范围是67m <≤，故选D ．【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m 的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．二、填空题11．当x 时，分式43x x +-有意义. 【答案】3≠【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．【详解】根据题意得：x ﹣1≠0，解得：x ≠1．故答案为：≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，是一个基础题目．12．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为________． 【答案】k ＞﹣2且k≠﹣1【分析】先解分式方程，然后根据分式方程解的情况列出不等式即可求出结论． 【详解】解：211x k x x-=--()21--=-x x k解得：x=2＋k∵关于x 的分式方程211x k x x-=--的解为正数， ∴010x x >⎧⎨-≠⎩∴20210k k +>⎧⎨+-≠⎩解得：k ＞﹣2且k≠﹣1故答案为：k ＞﹣2且k≠﹣1．【点睛】此题考查的是根据分式方程根的情况求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和增根的定义是解决此题的关键．13．已知x 、y 满足方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩，则代数式x y -=______． 【答案】－1 【分析】先利用加减消元法解方程，521x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，把①+②得到3x=6，解得x=2，然后把x=2代入①可求出y ，最后把x 、y 的值都代入x-y 中进行计算即可；【详解】解：521x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， 把①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①得2+y=5，解得y=3，∴方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩， ∴231x y -=-=-；故答案为：－1；【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组是解题的关键.14．过多边形的一个顶点可以作9条对角线，那么这个多边形的内角和比外角和大_____．【答案】1440°【分析】从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形的边数是12，n边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．再根据多边形外角和等于360°列式计算即可．【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线，故该多边形边数为12，∴内角和是（12﹣2）•180°＝1800°，∴这个多边形的内角和比外角和大了：1800°﹣360°＝1440°．故答案为：1440°【点睛】本题主要考查了多边形的对角线、内角和公式．外角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．15．如下图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，AD＝DC，则∠BCD的度数为______．【答案】10°【分析】由余角的性质，得到∠ACB=50°，由AD=DC，得∠ACD=40°，即可求出∠BCD的度数．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ACB=50°，∵AD=DC，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=50°-40°=10°；故答案为：10°．【点睛】本题考查了等边对等角求角度，余角的性质解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质和余角的性质进行解题．16．如图，△ABC是等边三角形，D，E是BC上的两点，且BD＝CE，连接AD、AE，将△AEC沿AC翻折，得到△AMC，连接EM交AC于点N，连接DM．以下判断：①AD＝AE，②△ABD≌△DCM，③△ADM是等边三角形，④CN＝12EC中，正确的是_____．【答案】①③④．【分析】由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACE＝60︒，由SAS证得△ABD≌△ACE，得出∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，由折叠的性质得CE＝CM＝BD，AE＝AM＝AD，∠CAE＝∠CAM＝∠BAD，推出∠DAM＝∠BAC＝60︒，则△ADM是等边三角形，得出DM＝AD，易证AB＞DM，AD＞DC，得出△ABD 与△DCM不全等，由折叠的性质得AE＝AM，CE＝CM，则AC垂直平分EM，即∠ENC＝90︒，由∠ACE＝60︒，得出∠CEN＝30︒，即可得出CN＝12 EC．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACE＝60︒，在△ABD和△ACE中，AB ACB ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，故①正确；由折叠的性质得：CE＝CM＝BD，AE＝AM＝AD，∠CAE＝∠CAM＝∠BAD，∴∠DAM＝∠BAC＝60︒，∴△ADM是等边三角形，∴DM＝AD，∵AB＞AD，∴AB＞DM，∵∠ACD＞∠DAC，∴AD＞DC，∴△ABD与△DCM不全等，故③正确、②错误；由折叠的性质得：AE＝AM，CE＝CM，∴AC垂直平分EM，∴∠ENC＝90︒，∵∠ACE＝60︒，∴∠CEN＝30︒，∴CN＝12EC，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、含30︒角直角三角形的性质等知识；熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点M、N分别是BD 和BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是_____．【答案】1【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE 的长，即为CM+MN 的最小值．【详解】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M 作MN ′⊥BC 于N ′，∵BD 平分∠ABC ，M ′E ⊥AB 于点E ，M ′N ′⊥BC 于N∴M ′N ′＝M ′E ，∴CE ＝CM ′+M ′E∴当点M 与M ′重合，点N 与N ′重合时，CM+MN 的最小值．∵三角形ABC 的面积为30，AB ＝10， ∴12×10×CE ＝30， ∴CE ＝1．即CM+MN 的最小值为1．故答案为1．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．三、解答题18．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 是AC 的中点，//AM BC ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ,DE 的反向延长线交AM 于点F ．（1）求证：AF BE AB +=；（2）求证：AC 垂直平分BM ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证明ADF ∆≌CDE ∆得到AF CE =，再根据等边三角形即可求解；（2）根据//AM BC 得到ABM MBC M ∠=∠=∠，得到△ABM 是等腰三角形，根据三线合一即可求解．【详解】证明：（1）∵点D 是AC 的中点∴AD CD =∵//AM BC∴DAF C ∠=∠在ADF ∆和CDE ∆中DAF C AD CDADF CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩∴ADF ∆≌CDE ∆∴AF CE =∴AF BE CE BE AB +=+=∴AF BE AB +=（2）∵点D 是等边ABC ∆中AC 边的中点∴BD AC ⊥且BD 平分ABC ∠∴AD BM ⊥,30ABD ∠=∵//AM BC∴ABM M ∠=∠∴AB AM =∴ABM ∆是等腰三角形又∵AD BM ⊥∴AD 是ABM ∆中BM 边的中线又AD BM ⊥∴AC 垂直平分BM ．【点睛】此题主要考查等边三角形的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质及垂直。
{3套试卷汇总}2019年哈尔滨市八年级上学期期末达标检测数学试题
八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．对顶角相等 B ．若1x =，则21x = C ．相等的角是同位角 D ．若0x =，则20x =【答案】D【分析】先交换原命题的题设和结论部分,得到四个命题的逆命题,然后再分别判断它们是真命题还是假命题.【详解】解: A. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”, 因为相等的角有很多种, 不一定是对顶角, 所以逆命题错误, 故逆命题是假命题;B. “若1x =，则21x =”的逆命题是“若21x =，则1x =”错误, 因为由21x =可得1x =±, 故逆命题是假命题;C. “相等的角是同位角”的逆命题是“同位角是相等的角”.因为缺少了两直线平行的条件, 所以逆命题错误, 故逆命题是假命题;D. “若0x =，则20x =”的逆命题是“若20x =，则0x =”正确, 故逆命题是真命题; 故选:D. 【点睛】本题主要考查了逆命题和真假命题的定义,对事物做出判断的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题.2．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．﹣x 2+y 2 B ．﹣x 2﹣y 2C ．x 2﹣2xy+y 2D ．x 2+y 2【答案】A【解析】试题分析：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．根据平方差公式的特点可得到只有A 可以运用平方差公式分解， 故选A ．考点：因式分解-运用公式法． 3．下列分式中，最简分式是（ ）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy-+-D ．236212x x -+【答案】A【解析】试题分析：选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A.考点：最简分式.4．在△ABC 中， ∠C=∠B ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC 中与这个角对应的角是 ( ) A ．∠B B ．∠AC ．∠CD ．∠B 或∠C【答案】B【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，∠C 与∠B 不可能为100°，根据全等三角形的性质可得∠A 为所求角.【详解】解：假设=100C B ∠=∠，=200C B ∠+∠，与=180C B A ∠+∠+∠矛盾，∴假设不成立，则100A ∠=,故答案为B. 【点睛】本题考查了全等三角形的基本性质和三角形内角和定理，满足内角和定理的前提下找到对应角是解题关键.5．已知α，β是方程2201910x x ++=的两个根，则代数式()()221202112021ααββ++++的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】根据题意得到2201910αα++=，2201910ββ++=，1caαβ==，把它们代入代数式去求解．【详解】解：∵α、β是方程2201910x x ++=的根，∴2201910αα++=，2201910ββ++=，1caαβ==， ()()221202112021ααββ++++()()22120192120192αααβββ=++++++()()0202αβ=++4αβ= 4=．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是抓住一元二次方程根的意义和根与系数的关系． 6．若分式31a +有意义，则a 的取值范围是( ) A ．0a = B ．1a =C ．1a ≠-D ．0a ≠【答案】C【分析】根据分式有意义时，即分式的分母不等于零解答即可. 【详解】由题意得10a +≠， ∴1a ≠-， 故选：C . 【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分式的分母不等于0，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键. 7．在t R ABC ∆中，3,5a b ==，则c 的长为（ ） A ．2 B ．34C ．4D ．4或34【答案】D【分析】分b 是斜边、b 是直角边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当b 是斜边时，c ＝224b a -=， 当b 是直角边时，c ＝2234b a +=， 则c ＝4或34， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 1＋b 1＝c 1． 8．如图，四边形 ABCD 中，AD //BC ，DC BC ⊥，将四边形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A'处，A'BC 20︒∠=，则A D 'B ∠的度数是 （ ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】B【分析】由题意利用互余的定义和平行线的性质以及轴对称的性质，进行综合分析求解. 【详解】解：∵∠A ′BC=20°，DC BC ⊥，∴∠BA ′C=70°， ∴∠DA ′B=110°， ∴∠DAB=110°， ∵AD //BC ， ∴∠ABC=70°，∴∠ABA ′=∠ABC-∠A ′BC=70°-20°=50°， ∵∠A ′BD=∠ABD ， ∴∠A ′BD=12∠ABA ′=25°． 故选：B. 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变进行分析.9．小意是一位密码翻译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，22x y -，x y -，x y +，22a b -，+a b 分别对应下列六个字：泗、我、大、美、爱、水，现将()()222222x y a x y b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A ．我爱美 B ．我爱水 C ．我爱泗水 D ．大美泗水【答案】D【分析】先提取公因式，再利用平方差公式：22()()a b a b a b -=+-进行因式分解，然后根据密码手册即可得． 【详解】()()222222x ya xy b ---2222)()(x y a b =--)(()))((a x y x a b b y =+--+由密码手册得，可能的四个字分别为：美、大、水、泗 观察四个选项，只有D 选项符合 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等，熟记各方法是解题关键．10．在1x ，12，212x +，3xyπ，3x y +中，分式的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据分式的定义即可得出答案.【详解】根据分式的定义可知是分式的为：1x、3x y共2个，故答案选择A.【点睛】本题考查的主要是分式的定义：①形如AB的式子，A、B都是整式，且B中含有字母.二、填空题11．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为30cm，则此等腰三角形的面积为_____．【答案】115cm1.【解析】根据题意作出图形，求出腰上的高，再代入面积公式即可求解．【详解】解：如图所示，作等腰三角形腰上的高CD，∵∠B＝∠ACB＝15°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝12AC＝12×30＝15cm，∴此等腰三角形的面积＝12×30×15＝115cm1，故答案为：115cm1．【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质定理是解题的关键．12．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为．【答案】（2，－3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标．【详解】∵点（2，3）关于x轴对称；∴对称的点的坐标是（2，-3）．故答案为（2，-3）．13．若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n= .【答案】6【解析】此题涉及多边形内角和和外角和定理多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º所以，由题意可得180(n-2)=2×360º 解得：n=614．如图，△ABC 申，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，若∠BAC=82︒，则∠BDC=____.【答案】98【解析】首先过点D 作DF ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，易证得△DEB ≌△DFC （HL ），即可得∠BDC=∠EDF ，又由∠EAF+∠EDF=180°，即可求得答案；【详解】解：过点D 作DE ⊥AB ，交AB 延长线于点E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 是∠BOC 的平分线， ∴DE=DF ，∵DP 是BC 的垂直平分线， ∴BD=CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DCDE DF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC ． ∴∠BDE=∠CDF ， ∴∠BDC=∠EDF ， ∵∠DEB=∠DFC=90°， ∴∠EAF+∠EDF=180゜， ∵∠BAC=82°， ∴∠BDC=∠EDF=98°， 故答案为98°．此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．15在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥1【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得到关于x 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x ﹣1≥0， 解得：x≥1， 故答案为x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 16．在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，13AB =，12AC =，则BC =_____． 【答案】1【分析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，则AB 2=AC 2+BC 2，根据题目给出的AB ，AC 的长，则根据勾股定理可以求BC 的长．【详解】∵AB=13，AC=12，∠C=90°，∴==1．故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的根据勾股定理求值是解题的关键．17______6（填“”<或“”>号）【答案】＞【分析】首先将两个二次根式转换形式，然后比较大小即可. 【详解】由题意，得==∴56＞故答案为：＞.此题主要考查二次根式的大小比较，熟练掌握，即可解题.三、解答题18．如图，有六个正六边形，在每个正六边形里有六个顶点，要求用两个顶点连线（即正六边形的对角线）将正六方形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分开．最后形成轴对称图形，图中已画出三个，请你继续画出三个不同的轴对称图形（至少用两条对角线）【答案】见解析；【解析】根据轴对称的定义和六边形的性质求解可得．【详解】解：如图所示．【点睛】考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及正六边形的性质．19．为了方便广大游客到昆明参观游览，铁道部门临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁、昆明两站的路程为828千米，一列普通快车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车后出发2小时，而先于普通快车4小时到达昆明，分别求出两车的速度.【答案】慢车46千米/时，快车1千米/时.【解析】设普通快车的平均速度为x千米/时，则直达快车的平均速度为1.5x千米/时，根据“快车用的时间=普通快车用的时间+2+4”，列出分式方程，求解即可得出答案．【详解】解：设普通快车的平均速度为x千米/时，则直达快车的平均速度为1.5x千米/时，根据题意得：82882824=++，1.5x x解得：x=46，经检验，x=46是分式方程的解，1.5x=1.5×46=1．答：普通快车的平均速度为46千米/时，则直达快车的平均速度为1千米/时． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程，解方程时要注意检验．20．先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b)(2a －b)，其中a ＝2，b ＝1. 【答案】242a ab -，1.【分析】根据整式的除法法则和乘法公式把式子进行化简，再把a 、b 的值代入即可求出结果． 【详解】原式=b 2-2ab+4a 2-b 2=242a ab -， 当a=2，b=1时，原式=4×22-2×2×1=1． 考点：整式的运算．21．我们学过的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ()()()()()224242222222x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-；这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：22216x xy y -+-（2）ABC ∆三边a ，b ，c 满足20a ab ac bc --+=，判断ABC ∆的形状． 【答案】（1）()()44x y x y -+--；（2）ABC ∆是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a ， b ，c 的关系，判断三角形形状即可．【详解】解：（1）22216x xy y -+-()224x y =--=()()44x y x y -+-- （2）∵20a ab ac bc --+= ∴()()0a a b c a b ---= ∴()()0a b a c --= ∴a b =或a c =， ∴ABC ∆是等腰三角形．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．22．勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练的掌握勾股数，对迅速判断、解答题目有很大帮助，观察下列几组勾股数：（1）你能找出它们的规律吗？（填在上面的横线上） （2）你能发现a ，b ，c 之间的关系吗？（3）对于偶数，这个关系 （填“成立”或“不成立”）吗？ （4）你能用以上结论解决下题吗？2222201920201009202010091+⨯-⨯+（）【答案】（1）21n ，222n n +，2221n n ++；（2）222+=a b c ；（3）成立；（4）0 【分析】（1）根据表中的规律即可得出； （2）由前几组数可得出a ，b ，c 之间的关系； （3）另n=2k 代入a ，b ，c 计算即可得出；（4）根据（2）中的关系式，将2222201920201009202010091+⨯-⨯+（）进行合理的拆分，使之符合（2）中的规律即可计算得出．【详解】解：（1）由表中信息可得(1)21a n n n =++=+，22(1)22b n n n n =+=+，22(1)1221c n n n n =++=++，故答案为21n ，222n n +，2221n n ++． （2）由于22(21)441n n n +=++，22432(22)484n n n n n +=++， 22432(221)48841n n n n n n ++=++++∵243243244148448841n n n n n n n n n +++++=++++即222+=a b c ．（3）令n=2k ，则2(21)41a k k k =++=+，222(21)84b k k k k =⨯+=+，222(21)1841c k k k k =⨯++=++∵222(41)1681a k k k =+=++ 222432(84)646416b k k k k k =+=++222243(841)64643281c k k k k k k =++=++++，由于2243243168164641664643281k k k k k k k k k +++++=++++即222+=a b c ，∴对于偶数，这个关系成立（4）∵2222201920201009202010091+⨯-⨯+（） 222(10101009)(210101009)2101010091=++⨯⨯-⨯⨯+（）由（2）中结论可知222(10101009)(210101009)2101010091++⨯⨯=⨯⨯+（） ∴22222019202010092020100910+⨯-⨯+=（） 【点睛】本题考查了勾股定理中的规律探究问题，解题的关键是通过表格找出规律，并应用规律．23．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若DC +DA=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）连接OC ，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD 为 O 的切线；（2）过O 作OF ⊥AB ，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF 为矩形，设AD=x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得（5-x ）2 +（6-x ）2 =25，从而求得x 的值，由勾股定理得出AB 的长．【详解】(1)证明：连接OC ，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC 平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA ，∴CD⊥OC，CO 为O 半径，∴CD 为O 的切线；(2)过O 作OF⊥AB，垂足为F ，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，∴四边形DCOF 为矩形，∴OC=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6−x ，∵O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5−x ，在Rt△AOF 中,由勾股定理得AF 2 +OF 2=OA 2.即(5−x) 2+(6−x) 2=25，化简得x 2−11x+18=0，解得122,9x x == .∵CD=6−x 大于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.24．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．【答案】证明见解析【详解】解：∵AD平分∠EDC∴∠ADE=∠ADC又DE=DC，AD=AD∴△ADE≌△ADC∴∠E=∠C又∠E=∠B，∴∠B=∠C∴AB=AC25．已知：如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．（1）求证：CD＝CE；（2）连接DE，交AB于点F，猜想△BEF的形状，并给予证明．【答案】（1）见解析；（2）△BEF为等腰三角形，证明见解析.【分析】（1）先由AD∥BE得出∠A＝∠B，再利用SAS证明△ADC≌△BCE即得结论；（2）由（1）可得CD＝CE，∠ACD＝∠BEC，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BFE＝∠BEF，进一步即得结论.【详解】（1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中AD BC A B AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BCE （SAS ），∴CD ＝CE ；（2）解：△BEF 为等腰三角形，证明如下：由（1）知△ADC ≌△BCE ，∴CD ＝CE ，∠ACD ＝∠BEC ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠CDE+∠ACD ＝∠CED+∠BEC ，即∠BFE ＝∠BEF ，∴BE ＝BF ，∴△BEF 是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，属于基础题型，难度不大，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的判定和性质是解题的关键.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，ABC ∆≌DEF ∆，下列结论正确的是( )A ．AB DF =B ．BE CF =C ．B F ∠=∠D ．ACB DEF ∠=∠【答案】B 【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此逐一判断即可的答案．【详解】∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，∠B=∠DEF ，∠ACB=∠F ，故A 、C 、D 选项错误，不符合题意，∵△ABC ≌△DEF ，∴BC=EF ，∴BC-CE=EF-CE ，∴BE=CF ，故B 选项正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，正确找出对应边与对应角是解题关键．2．函数3y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x <B ．3x ≤C ．3x >D ．3x ≥【答案】B【解析】试题分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数．所以1﹣x ≥0，解得x≤1．故选B ．考点：函数自变量的取值范围．3．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，BE ＝5，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】试题分析：根据三角形全等可以得出BD=AC=7，则DE=BD-BE=7-5=2.4．在△ABC 中和△DEF 中，已知BC=EF ，∠C=∠F ，增加下列条件后还不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AC=DFB ．∠B=∠EC ．∠A=∠D D ．AB=DE【答案】D【解析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理进行判断即可. 【详解】解：如图：A, 根据SAS 即可推出△ABC ≌△DEF,;B. 根据ASA 即可推出△ABC ≌△DEFC.根据AAS 即可推出△ABC ≌△DEF;D, 不能推出△ABC ≌△DEF;故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用, 注意: 全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.5．如图，ABC ∆的周长为26cm ，分别以A B 、为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧交于点D E 、，直线DE 与AB 边交于点F ，与AC 边交于点G ，连接BG ，GBC ∆的周长为14cm ，则BF 的长为 （ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．12cm【答案】A 【分析】将△GBC 的周长转化为BC+AC ，再根据△ABC 的周长得出AB 的长，由作图过程可知DE 为AB 的垂直平分线，即可得出BF 的长.【详解】解：由作图过程可知：DE 垂直平分AB ，∴BF=12AB ，BG=AG ， 又∵△GBC 的周长为14，则BC+BG+GC=BC+AC=14，∴AB=26- BC-AC=12，∴BF=12AB=6.故选A.【点睛】本题考查了作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形的周长，解题的关键是△GBC的周长转化为BC+AC 的长，突出了“转化思想”.6．如图，在等边△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A．8 B．10 C．43D．12【答案】D【分析】首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：则BE′=12BD=3，∴点E′与点E重合，∴∠BDE=30°，33∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，90PED DHFEDP DFHDP FD︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPE≌△FDH（AAS），∴∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠F2DQ=∠DAE，在△DF2Q和△ADE中，222F QD DEA90F DQ DAEDF AD︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DF2Q≌△ADE（AAS），∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，∴F1F2=DQ=12，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，故选：D．【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.7．计算22222a b a b a ba b a b ab⎛⎫+---⨯⎪-+⎝⎭的结果是( )A．1a b-B．1a b+C．a－b D．a＋b【答案】B【分析】先算小括号里的，再算乘法，约分化简即可．【详解】解：2222a b a b a ba b a b ab⎛⎫+---⨯⎪-+⎝⎭=()()()2222a b a b a ba b a b ab+---⨯+-=1a b+故选B．【点睛】本题考查分式的混合运算．8．下列交通标志是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，故错误；B 、不是轴对称图形，故错误；C 、是轴对称图形，故正确；D 、不是轴对称图形，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 9．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）A ．80.710-⨯B ．9710-⨯C ．8710-⨯D ．10710-⨯ 【答案】B【分析】由题意根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-1．故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．丽丽同学在参加演讲比赛时，七位评委的评分如下表：她得分的众数是（ ） 评委代号A B C D E F G 评分85 90 95 90 90 85 90 A ．95分B ．90分C ．85分D ．10分 【答案】B【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．【详解】这组数据出现次数最多的是1，故这组数据的众数是1．故选：B ．【点睛】本题考查了众数的定义，解题时牢记定义是关键．二、填空题11．如图，AB=AC ，BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD 的度数是_________.【答案】30°；【分析】利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”定理计算．【详解】由AB=AC 、BD=BC 得∠ABC=∠ACB 、∠C=∠BDC ，在△ABC 中,∠A=40°，∠C=∠ABC ，∴∠C=∠ABC=12 (180°−∠A)= 12(180°−40°)=70°； 在△ABD 中，由∠BDC=∠A+∠ABD 得∠ABD=∠BDC−∠A=70°−40°=30°故答案为30°【点睛】此题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题关键在于利用等边对等角 12．计算：2(23)-=___________．【答案】3.【分析】依据完全平方公式222()2a b a ab b -=-+进行计算. 【详解】2443(37233)=-=--【点睛】此题考查完全平方公式以及二次根式的混合运算，熟记公式即可正确解答.13．已知，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，12AB =，D 为AB 中点，则CD =__________.【答案】1【分析】先画出图形，再根据直角三角形的性质求解即可．【详解】依题意，画出图形如图所示： 12AB =，点D 是斜边AB 的中点1112622CD AB ∴==⨯=（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） 故答案为：1．【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，这是常考知识点，需重点掌握，做这类题时，依据题意正确图形往往是关键．14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A的坐标是(-2，0)，点B在y轴上，若OA=2OB，则点B的坐标是______．【答案】（0，1）或（0，-1）【分析】先得出OA的长度，再结合OA=2OB且点B在y轴上，从而得出答案．【详解】∵点A的坐标是（-2，0），∴OA=2，又∵OA=2OB，∴OB=1，∵点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，1）或（0，-1），故答案为：（0，1）或（0，-1）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．15．三角形三个内角的度数之比是1：2：3，它的最大边长是6cm，则它最短边长为________．【答案】3cm【分析】先根据三角形三个内角之比为1：2：3求出各角的度数判断出三角形的形状，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】解：∵三角形三个内角之比为1：2：3，∴设三角形最小的内角为x，则另外两个内角分别为2x，3x，∴x+2x+3x=180°，∴x=30°，3x=90°，∴此三角形是直角三角形．∴它的最小的边长，即30度角所对的直角边长为：12×6=3cm．故答案为：3cm.【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，解答此题的关键是根据三角形三个内角度数的比值判断出三角形的形状．16．如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点C的距离是5厘米．一只小虫在长方体表面从A爬到B的最短路程是__________【答案】25【解析】分析：求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．详解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=2222AD BD++=25cm；=1520只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10cm，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=2222=1025=529AD BD ++cm ；只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：∵长方体的宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C 的距离是5cm ，∴AC=CD+AD=20+10=30cm ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：∴2222=305=537AC BC ++cm ；∵25＜29＜37， ∴自A 至B 在长方体表面的连线距离最短是25cm ．故答案为25厘米【点评】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．1722(3)0a b -++=，则2()a b -=______.【答案】25【分析】先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可.22(3)0a b -++=，∴20a -=，30b +=，解得2a =，3b =-.∴2()a b -=2(23)25+=. 故答案为25.【点睛】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.三、解答题18．请你观察下列等式，再回答问题．2211111111121112+++-+＝＝； 2211111111232216+++-+＝＝; 2211111111.3433112++=+-=+(1)(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加以验证．【答案】（11120，验证见解析；（21111n n=+-+，验证见解析.【解析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．【详解】（11111144120+-+＝，验证略.（21111n n=+-+.验证如下：1111111nn n n n==+==-=+-++【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算是平方根的概念.19．请你先化简：2344111x xxx x⎛⎫-+⎛⎫-+÷ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，然后从12x-≤≤中选一个合适的整数作为x的值代入求值．【答案】22xx+-，当0x=时，原式1=.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）．【详解】2344111x xxx x⎛⎫-+⎛⎫-+÷ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=()22231111xxx x x-⎛⎫--÷⎪+++⎝⎭=()()()222112x x xx x+-++-=22xx+-，当0x=时，原式1=.20．已知：如图，一次函数y=34x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点C(2，0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线CD与y轴相交于点E．(1)直线CD的函数表达式为______；(直接写出结果)(2)在x轴上求一点P使△PAD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．(3)若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．点Q是否存在某个位置，将△BQD沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=3x-6；(2)点P的坐标为(94，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)；(3)存在，点Q的坐标为(187，117)【分析】(1)求出D的坐标，即可求解；(2)分PA=PD、当PA=AD、DP=AD三种情况，分别求解即可；(3)利用BD=BD′，DQ=D′Q，即可求解．【详解】解：(1)将点D的横坐标为4代入一次函数y=34x+3表达式，解得：y=6，即点D的坐标为(4，6)，将点C、D的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：64 02,k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：36, kb=⎧⎨=-⎩故答案为y=3x-6；(2)①当PA=PD时，点B是AD的中点，故：过点B且垂直于AD的直线方程为：y=-43x+3，令y=0，则x=94，即点P的坐标为(94，0)；②当PA=AD时，()22446--+=10，故点P的坐标为(6，0)或(-14，0)；③当DP=AD 时，同理可得：点P 的坐标为(12，0)；故点P 的坐标为(94，0)或(6，0)或(-14，0)或(12，0)； (3)设翻转后点D 落在y 轴上的点为D′，设点Q 的坐标为(x ，3x-6)，则：BD=BD′，DQ=D′Q ，BD′=BD=()22436+- =5，故点D′的坐标为(0，-2)，DQ 2=D′Q 2，即：x 2+(3x-6+2)2=(x-4)2+(3x-6-6)2，解得：x=187， 故点Q 的坐标为(187，117)． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到图象翻折、勾股定理运用等知识点，其中(2)要分类讨论，避免遗漏．21．甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存量的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．求甲、乙仓库原来各存粮多少吨？【答案】甲仓库原来存粮240吨，乙仓库原来存粮210吨．【分析】设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨，根据“甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存量的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨，根据题意得：，解得：． 答：甲仓库原来存粮240吨，乙仓库原来存粮210吨．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，设出未知数，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 22．有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，对于方案一，小明是这样验证的：。
宾县中学初二期末试卷数学
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知方程2x - 3 = 5，则x的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 12. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于x轴的对称点为（）A.（2，-3）B.（-2，3）C.（-2，-3）D.（2，-3）3. 若一个数的平方根是2，则这个数是（）A. 4B. -4C. 8D. -84. 在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 若a、b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a+b的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 76. 若一个等差数列的首项是3，公差是2，则第10项的值为（）A. 15B. 17C. 19D. 217. 已知一次函数y = kx + b，若图象经过点（1，2），则k和b的关系为（）A. k = 2，b = 1B. k = 1，b = 2C. k = 2，b = -1D. k = -1，b = 28. 若一个正方形的边长是2，则它的面积是（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 在平面直角坐标系中，点P（-3，2）关于原点的对称点为（）A.（3，-2）B.（-3，-2）C.（-3，2）D.（3，2）10. 若一个等腰三角形的底边长是6，腰长是8，则这个三角形的面积是（）A. 24B. 32C. 36D. 40二、填空题（每题3分，共30分）1. 若a^2 + b^2 = 5，则a^2 - b^2的值为______。
2. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点为______。
3. 若一个数的平方根是3，则这个数是______。
4. 在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为______。
5. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a+b的值为______。
哈尔滨市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题(I)卷
哈尔滨市2019-2020学年八年级上学期期末数学试题（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 已知多边形内角和与外角和的总和为，则这个多边形的对角线共有（）A．54条B．65条C．60条D．55条2 . 下列计算中，正确的是（）B．x4•x2=x8C．（a2）3•a3=a9D．（a﹣2）0=1 A．（﹣3）﹣2=﹣3 . 如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）A．∠A=∠1+∠2B．∠A=（∠1+∠2）C．∠A=（∠1+∠2）D．∠A=（∠1+∠2）4 . 如图，已知AD∥BC，AB=CD，AC，BD 交于点 O，另加一个条件不能使△ABD≌△CDB 的是（）A．AO=COB．AD=BCC．AC=BDD．OB=OD5 . 以下图形中，对称轴的数量少于3条的是（）A．A B．B C．C D．D6 . 把分式中的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，那么这个分式的值（）A．不变B．变为原来的3倍C．变为原来的D．变为原来的7 . 分式有意义，则取值为（）A．B．C．D．8 . 已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（）A．72°B．60°C．50°D．58°9 . 在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，10 . 下列因式分解正确的是（）A．x2+2x-1=(x-1)2B．a2-a=a(a+1)C．m2+(-n)2=(m+n)(m-n)D．-9+4y2=(3+2y)(2y-3)二、填空题11 . _____．12 . 如图，已知，点是射线上的一个动点．在点的运动过程中，恰好是直角三角形，则此时所有可能的度数为______．13 . 如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB=，CD=1，则BE=____14 . 分解因式：=__________15 . 下图中的四边形均为矩形.根据图形，利用图中的字母，写出一个正确的等式：_____.16 . 如图，，点E在线段BC上，若，，则的度数是______．三、解答题17 . 观察、发现：====﹣1（1）试化简：；（2）直接写出：= ；（3）求值：+++…+．18 . 先化简，再求值：（2a+3）2﹣(2a+1)（2a﹣1），其中a=﹣319 . 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？20 . 如图，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E，∠ADE+∠BCF=180°．（1）请说明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．21 . 计算:(1)(2)(3)(4)22 . 如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F，D是BC边上的中点，连结AD．（1）若∠BAD＝55°，求∠C的度数；（2）猜想FB与FE的数量关系，并证明你的猜想．23 . 为了做好抗震抢险后勤保障工作，某工厂接到了4800顶帐篷的加工任务，在加工完1200顶后，采用新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成任务，那么原计划每天加工多少顶帐篷？24 . 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 E 为BD边上一点，过点 E 作EG∥AD，分别交 AB 和 CA 的延长线于点 F，G，∠AFG=∠A．（1）证明：△ABD≌△ACD（2）若∠B=40°，直接写出∠FAG=°25 . 已知：如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DB=DC，求证：BE=FC．26 . 在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系.（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.。
2019--2020学年度八年级数学(上学期)期末综合检测卷(解析版)
2019--2020学年度八年级数学(上学期)期末综合检测卷姓名分数一、选择题(每小题3分,共30分)1在平面直角坐标系中,点A(1，2)的横坐标乘-1，纵坐标不变，得到点A'，则点A与点A'的关系是( )A.关于x轴对称B.将点A向y轴负方向平移2个单位长度得到点A'C.关于y轴对称D.将点A向x轴负方向平移1个单位长度得到点A'2.下列命题为真命题的是（）A.五边形的内角和为540°B.证明两个三角形全等的方法有SSS,SAS,ASA,SSA及HL等C.同底数幂相乘,指数不变,底数相加D.分式的分子与分母乘(或除以)同一个整式,分式的值不变3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )A.15°B.17.5C.20°D.22.5°4.8x3y3·(-2xy)3等于（）A.0B.-64x6y6C.-16x6y6D.-64x3y55.下列关系式中,正确的是（）A.(a+b)2=a2-2ab+b2B.(a-b)2=a2-b2C.(a+b)(-a+b)=b2-a2D.(a+b)(-a-b)=a2-b26.x2y—x—y2y—x化简的结果是A.-x-yB. y-xC.x-yD.x+y7如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形共有( )A.6个B.7个C.8个D.9个8若m+n=7,mn=12,则m2-mn+n2的值是（）A .11 B.13 C.37 D.619.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,点E,F是中线AD上的两点,且BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积是（）A.6B.12C.24D.3010.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC 上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为（）A.1B.2C.4D.8二、填空题（每小题3分，共15分）1.分解因式：a3b—ab= .2.如图，∠AOB=40°，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，且CD=CE，则∠DOC的度数是.3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，BC=16，且DC：DB=3:5，则点D到AB的距离是.4.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是.（要求写三个）5.如图，在△ABC中，∠B=54°，∠ACB=70°，AD平分∠BAC，MGAD于点G，分别交AB、AC 及BC的延长线于E、F、M，则∠BME的读数为.三、解答题（共75分）1.（8分）（1）因式分解：3x3—12x2y+12xy2；（2）计算：x·x3+(—2x2)2+24x6÷(—4x2)2.（9分）先化简，再求值：x2—2xx2—4÷（x—2—2x—4x+2），其中x=53.（9分）解方程：1x+2—4x4—x 2=3x—24.（9分）已知A=3x2—12，B=5x2y3+10xy3，C=(x+1)(x+3)+1，问：多项式A、B、C是否有公因式？若有，请求出其公因式；若没有，请说明理由。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市八年级(上)期末数学试卷(五四学制)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市八年级（上）期末数学试卷（五四学制）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列式子：1x ,x2x,2x−y,a−1a,13,53x中，分式有()．A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个3.下列计算正确的是()A. m3+m3=m6B. m3⋅m2=m6C. (m3)2=m5D. m3÷m2=m4.若点A(1−a,2−b)与点B(−3,2)关于x轴对称，则a−b的值是()A. −5B. 1C. 0D. −15.计算：√9−|−5|+20190的结果为()A. −1B. −3C. 0D. 96.使式子√3x+2有意义的实数x的取值范围是()A. x≥0B. x>−23C. x≥−32D. x≥−237.下列从左到右的变形是因式分解的是()A. (x+1)(x−1)=x2−1B. (a−b)(m−n)=(b−a)(n−m)C. ax−ay=a(x−y)D. m2−2m−3=m(m−2−3m)8.计算(8a2b3−2a3b2+ab)÷ab的结果是()A. 8ab2−2a2b+1B. 8ab2−2a2bC. 8a2b2−2a2b+1D. 8ab−2a2b+19.关于分式方程x−22x−1= 1.51−2x−1的解，关于下列说法正确的是()A. 无解B. 解是x=−52C. 解是x=32D. 解是x=1210.已知正整数x，y，m，n满足10x=m，10y=n，则102x+3y=()第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.人体红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示为______．12.若分式a−2a+3值为0，则a的值为______．13.计算(√7+1)(√7−1)的结果等于______．14.若分式2a+1有意义，则a的取值范围是______．15.把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是______．16.化简：2aa2−4−1a−2=________．17.如图，∠1=75°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠A=_____度．18.计算：|√3−2|+(−12)−1=______ ．19.16.若m+n=3，mn=54，则m−n=______．20.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，若CE=5，AD=3，则DE的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.化简求值：[(x+2y)2−(x+y)(3x−y)−5y2]÷2x，其中x=−2，y=1．22.计算：(2)(√48+14√6)÷√2723. 先化简，再求值：(1−x x+1)÷x 2−2x+1x 2−1，其中x =3．24. 设2+√6的整数部分和小数部分分别是x ，y ，试求x ，y 的值与x −1的算术平方根．25. 某地发生了地震，某地需550顶帐蓬解决受灾群众临时住宿问题，现由甲、乙两个工厂来加工生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，并且加工生产240顶帐蓬甲工厂比乙工厂少用4天．①求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐蓬？②若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批救灾帐蓬的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产26.如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE=45°．(1)求证：BE=EF；(2)如图2，G在BC的延长线上，连接GA，若GA=GB，求证：AC平分∠DAG；(3)如图3，在(2)的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC=4，∠BAD=15°，求AM的长．27.如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．(1)如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B′关于AD对称，求证：CG=B′G；(2)如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：CG=BG−2GF；答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：在1x ,x2x,2x−y,a−1a,13,53x中，1 x ,x2x,2x−y,a−1a,53x分母中含有字母，因此是分式．总共有5个．故选B．3.【答案】D【解析】解：A、m3+m3=2m3≠m6，故本选项错误；B、m3⋅m2=m5≠m6，故本选项错误；D、m3÷m2=m，故本选项正确．故选：D．分别根据同底数幂的乘法与除法法则、幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方及合并同类项，熟知这些法则是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．【解答】解：∵点A(1−a,2−b)与点B(−3,2)关于x轴对称，∴1−a=−3，2−b=−2，解得：a=4，b=4，故a−b=0．故选：C．5.【答案】A【解析】解：原式=3−5+1=−1．故选：A．直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和算术平方根的定义分别分析得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．6.【答案】D【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．解：由题可得，3x+2≥0，x≥−23，故选D7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A.是整式的乘法，故A错误；B.原式是几个整式乘积的形式，不是多项式；故B错误；C.是因式分解，故C正确；D.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；故选C．．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.原式先将除法转化为乘法，再依据乘法分配率进行求解即可．【解答】解：原式=(8a2b3−2a3b2+ab)×1ab=8a2b3×1ab−2a3b2×1ab+ab×1ab=8ab2−2a2b+1．9.【答案】A【解析】【分析】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x−2=−1.5−2x+1，解得：x=1，2是增根，分式方程无解．经检验x=12故选A．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，先计算出102x和103y，在根据同底数幂的乘法来求解即可．【解答】解：因为10x=m，10y=n，所以102x+3y=(10x)2×(10y)3=m2n3．故选B．11.【答案】7.7×10−6m【解析】解：0.0000077=7.7×10−6．故答案为：7.7×10−6m.较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10−n，在本题中a应为7.7，10的指数为−6．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．12.【答案】2【解析】解：由题意得：a−2=0，且a+3≠0，解得：a=2，故答案为：2．根据分式值为零的条件可得a−2=0，且a+3≠0，再解可得答案．此题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．13.【答案】6【解析】解：原式=(√7)2−12=7−1=6．故答案是：6．利用平方差公式解答．本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，应用平方差公式计算时，应注意：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．14.【答案】a≠−1【解析】【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵分式2有意义，a+1∴a+1≠0，解得a≠−1．故答案为：a≠−1．15.【答案】n(m+3)2【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】=n(m+3)2．故答案为：n(m+3)2．16.【答案】1a+2【解析】【分析】本题考查分式的加减运算．先通分，再按同分母分式减法法则计算即可．注意：结果一定要化成最简分式．【解答】解：2aa2−4−1a−2=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)=2a−a−2(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2．故答案为1a+2．17.【答案】15【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，以及三角形外角性质的应用．已知AB=BC=CD=DE=EF，从而可推出∠EFD与∠A之间的关系，再根据三角形外角的性质即可求得∠A的度数．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∴∠A=∠ACB，∠CBD=∠CDB，∠DCE=∠DEC，∠EDF=∠EFD，∴∠EFD=4∠A，∵∠1=∠EFD+∠A=5∠A=75°，∴∠A=15°．故答案是：15．18.【答案】−√3【解析】解：原式=2−√3+1−1 2=2−√3−2=−√3．故答案为：−√3．直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别化简求出答案．此题主要考查了绝对值的性质以及负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．19.【答案】±2【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟知完全平方和与完全平方差的关系是解决此题的关键．根据完全平方公式可得(m−n)2=(m+n)2−4mn，代入数值求得(m−n)2的值，然后再开平方即可得出答案．【解答】解：(m−n)2=(m+n)2−4mn=32−4×5 4=4，∴m−n=±2．故答案为：±2．20.【答案】2【解析】解：∵∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，∴∠D=∠CEB=∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CBE=∠BAD，∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE(AAS)，∴BD=CE=5，AD=BE=3，∴DE=BD−BE=5−3=2，故答案为2先判断出证明△ABD≌△BCE(AAS)，可得BD=CE=5，AD=BE=3解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：原式=(x2+4xy+4y2−3x2−2xy+y2−5y2)÷2x=(−2x2+2xy)÷2x=−x+y，当x=−2，y=1时，原式=2+1=3．【解析】原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：(1)原式=3−1+√2×8=2+4=6；(2)原式=(4√3+√64)÷3√3=43+√212．【解析】(1)根据平方差公式和二次根式的乘法法则运算；(2)先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23.【答案】解：原式=(x+1x+1−xx+1)×(x+1)(x−1)(x−1)2=1×x+1=1x−1．把x=3代入，得原式=1x−1=13−1=12．【解析】本题考查了分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先计算括号内的分式减法，然后把除法转化为乘法进行化简，最后代入求值．24.【答案】解：因为4<6<9，所以2<√6<3，即√6的整数部分是2，所以2+√6的整数部分是4，小数部分是2+√6−4=√6−2，即x=4，y=√6−2，所以√x−1=√4−1=√3．【解析】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．先找到√6介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．25.【答案】解：①设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据题意得：240 x −2401.5x=4，解得：x=20，经检验x=20是原方程的解，则甲工厂每天可加工生产1.5×20=30(顶)，答：甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30顶和20顶帐篷；②设甲工厂加工生产y天，根据题意得3y+2.4×550−30y20≤60解得：y≥10，则至少应安排甲工厂加工生产10天．答：至少应安排甲工厂加工生产10天．【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用有关知识．①先设乙工厂每天可加工生产x顶帐篷，则甲工厂每天可加工生产1.5x顶帐篷，根据加工生产240顶帐篷甲工厂比乙工厂少用4天列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案；②设甲工厂加工生产y天，根据加工生产总成本不高于60万元，列出不等式，求出不等式的解集即可．26.【答案】解：(1)∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵∠ACE=45°，∴∠CAE=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ECB+∠CFD=90°，∵∠CFD=∠AFE，∴∠ECB+∠AFE=90°，∵∠EAF+∠AFE=90°，∴∠EAF=∠ECB，∵∠AEF=∠CEB=90°，∴△AEF≌△CEB(ASA)，∴BE=EF；(2)∵△AEF≌△CEB，∴∠AFE=∠B，∵∠AFE=∠ACE+∠CAD=45°+∠CAD，∴∠B=45°+∠CAD，∵AG=BG，∴∠B=∠BAG，∴∠BAG=45°+∠CAD，∵∠BAG=∠CAE+∠CAG=45°+∠CAG，∴∠CAD=∠CAG，∴AC平分∠DAG；(3)∵∠BAD=15°，∠CAE=45°，∴∠CAD=∠CAE−∠BAD=30°，∵∠CAD=∠CAG，∴∠DAG=2∠CAD=60°，在Rt△ADG中，点H是AG的中点，∴DH=AH，∴△ADH是等边三角形，∴∠ADH=60°，AD=AH，∵∠CAD=∠CAG，∴AC⊥DH，即：∠AMD=∠DMC=90°∵∠ADC=90°，∴∠CDM=30°，在Rt△DMC中，DM=√3CM，在Rt△AMD中，AM=√3DM=√3×√3CM=3CM，∴S△AEM=3S△CEM=3×4=12，∴S△ACE=S△CEM+S△AEM=16，∵∠AEC=90°，AE=CE，AE2=16，∴S△ACE=12∴AE=4√2，∴AC=√2AE=8，∴AM+CM=8，∵AM=3CM，∴3CM+CM=8，∴CM=2，∴AM=3CM=6．【解析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出AE是解本题的关键．(1)先判断出AE=CE，再利用等角的余角相等判断出∠EAF=∠ECB，进而判断出△AEF≌△CEB，即可得出结论；(2)先利用三角形外角的性质得出∠AEF=45°+∠CAD，进而得出∠B=45°+∠CAD，而∠B=∠BAG，得出∠BAG=45°+∠CAD，而∠BAG=45°+∠CAG，即可得出结论；(3)先判断出△ADH是等边三角形，进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM= 3CM，进而求出△ACM的面积，即可求出AE，进而求出AC，即可得出结论．27.【答案】(1)证明：如图1，连接AB′，∵B，B′关于AD对称，∴BB′被AD垂直平分，∴AB′=AB，∵AC=AB，∴AC=AB′，∵AF⊥BG，∴∠BAF=∠B′AF，∵∠GAF=55°，∴∠B′AF+GAB′=55°，∵∠CAB=110°，∴∠CAG+∠FAB=55°，∴∠B′AF+∠GAB′=∠CAG+∠FAB，∵∠BAF=∠B′AF，∴∠GAB′=∠CAG，∵AG=AG，∴△CGA≌△B′GA，∴CG=B′G，(2)证明：如图2，在FB上截取FG′=GF，连接AG′，∵BF⊥AD，∴AG=AG′，∴∠GAF=∠G′AF，∴∠GAG′=2∠GAF=110°，∵∠CAB=110°，∴∠GAG′=∠CAB，∴∠GAG′−∠CAG′=∠CAB−∠CAG′，∴∠GAC=∠G′AB，∵AC=AB，∴△GAC≌△G′AB，∴CG=G′B，∵FG′=GF，∴CG′=2GF，∵GB=GG′+G′B，∴GB=2GF+CG，∴CG=GB−2GF．【解析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，垂直平分线的性质，判断出CG=GB′是解本题的关键．(1)先判断出AC=AB′，再用等式的性质判断出∠BAF=∠B′AF，进而判断出△CGA≌△B′GA，即可得出结论；(2)先判断出∠GAF=∠G′AF，再判断出∠GAC=∠G′AB，进而得出△GAC≌△G′AB，即CG=G′B，即可得出结论．。
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2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．在代数式x，，xy2，，，x2﹣中，分式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列线段长能构成三角形的是（）A．3、4、7 B．2、3、6 C．5、6、11 D．4、7、103．一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．20 C．18 D．16或204．点（2，﹣3）关于y轴的对称点是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的对应高相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等7．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．下列计算正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．a﹣（b﹣c+d）＝a+b+c﹣dC．（﹣a2）2＝﹣a4D．﹣x•x2•x4＝﹣x79．若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为（）A．B．C．﹣3 D．10．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3 二．填空题（共10小题）11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为．12．若多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形的边数为．13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为．14．x+＝3，则x2+＝．15．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．16．分解因式：（x2+4）2﹣16x2＝．17．（x2y﹣xy2）÷xy＝．18．三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是．19．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为．20．一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为．三．解答题（共7小题）21．计算：（1）（﹣3a2b）3﹣（2a3）2•（﹣b）3+3a6b3（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）222．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）通过画图，在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB，并直接写出点Q的坐标．点Q的坐标为．23．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝（5﹣π）0+（﹣2）﹣1．24．如图，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BC、AO，请直接写出图2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．25．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？26．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．27．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC＝2，求S△CDF的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在代数式x，，xy2，，，x2﹣中，分式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．【解答】解：代数式x，，xy2，，，x2﹣中，分式共有：，，共3个．故选：B．2．下列线段长能构成三角形的是（）A．3、4、7 B．2、3、6 C．5、6、11 D．4、7、10【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．【解答】解：A、3+4＝7，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、5+6＝11，不能构成三角形；D、4+7＞10，能构成三角形．故选：D．3．一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．20 C．18 D．16或20【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去．②若4是底，则腰是8，8．4+8＞8，符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B．4．点（2，﹣3）关于y轴的对称点是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】让两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标．【解答】解：∵所求点与点A（2，﹣3）关于y轴对称，∴所求点的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3，∴点A（2，﹣3）关于y轴的对称点是（﹣2，﹣3）．故选：C．5．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．6．下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的对应高相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形的周长相等D．周长相等的两个三角形全等【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵全等三角形能够完全重合，∴A、全等三角形的对应高相等，正确；B、全等三角形的面积相等，正确；C、全等三角形的周长相等，正确；D、周长相等的两个三角形不一定能够完全重合，所以不一定全等，故本选项错误．故选：D．7．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．8．下列计算正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．a﹣（b﹣c+d）＝a+b+c﹣dC．（﹣a2）2＝﹣a4D．﹣x•x2•x4＝﹣x7【分析】直接利用积的乘方运算法则以及去括号法则分别化简得出答案．【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、a﹣（b﹣c+d）＝a﹣b+c﹣d，故此选项错误；C、（﹣a2）2＝a4，故此选项错误；D、﹣x•x2•x4＝﹣x7，原题正确．故选：D．9．若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为（）A．B．C．﹣3 D．【分析】由3x＝4，9y＝7得3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷（32）y，代入即可求得答案．【解答】解：∵3x＝4，9y＝7，∴3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷（32）y＝4÷7＝．故选：A．10．已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3．故选：C．二．填空题（共10小题）11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．12．若多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，则这个多边形的边数为9 ．【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，又由于内角与外角的和是180度．设内角是x°，外角是y°，列方程组求解即可．【解答】解：设内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组，解得．而任何多边形的外角和是360°，则多边形外角的个数是360÷40＝9，则这个多边形的边数是九边形．故答案为：913．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 3 ．【分析】根据垂线段最短可知PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ＝PA．【解答】解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ＝PA＝3．故答案为：3．14．x+＝3，则x2+＝7 ．【分析】直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，∴x2++2＝9，∴x2+＝7．故答案为：7．15．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30 ．【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案．【解答】解：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30，故答案为：9：30．16．分解因式：（x2+4）2﹣16x2＝（x+2）2（x﹣2）2．【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次因式分解．【解答】解：（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．故答案为：（x+2）2（x﹣2）2．17．（x2y﹣xy2）÷xy＝9x﹣4y+6 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝x2y÷xy﹣xy2÷xy÷xy＝9x﹣4y+6．故答案为：9x﹣4y+6．18．三角形有两条边的长度分别是5和7，则最长边a的取值范围是7＜a＜12 ．【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．【解答】解：根据三角形三边关系定理知：最长边a的取值范围是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．故答案为：7＜a＜12．19．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，若∠EBC＝42°，则∠BAC的度数为32°或152°或88°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EB，得到∠ABE＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：如图1，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∵DE垂直且平分AB，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A，∴∠EBC+∠ACB＝∠AEB，42°+（180°﹣∠A）＝180°﹣2∠A，解得∠BAC＝32°．如图2，同理可得∠BAC＝152°，如图3，同理可得∠BAC＝88°，综上所述∠BAC＝32°或152°或88°，故答案为：32°或152°或88°．20．一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为13.92 ．【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：如图，AB＝2.31，BC＝2.32，CD＝2.33，DE＝2.31，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝2.32，DH＝DE＝2.31．∴GH＝2.32+2.33+2.31＝6.96，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝6.96﹣2.31﹣2.32＝2.33，EF＝PH﹣PF﹣EH＝6.96﹣2.33﹣2.31＝2.32．∴六边形的周长为2.31+2.32+2.33+2.31+2.32+2.33＝13.92．故答案为：13.92．三．解答题（共7小题）21．计算：（1）（﹣3a2b）3﹣（2a3）2•（﹣b）3+3a6b3（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣b）2【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣27a6b3﹣4a6（﹣b3）+3 a6b3＝﹣20a6b3；（2）原式＝4a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝3a2+2ab﹣2b2．22．如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）通过画图，在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB，并直接写出点Q的坐标．点Q的坐标为（2，0）．【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1；（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点Q，则QA与QB之和最小．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，点Q即为所求，点Q的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．23．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝（5﹣π）0+（﹣2）﹣1．【分析】先把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到化简的结果，然后利用零指数幂和非整数指数的意义计算出x，最后把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当x＝1﹣＝时，原式＝＝．24．如图，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BC、AO，请直接写出图2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．【分析】（1）根据“AAS”证明△ABE≌△ACD，从而得到AB＝AC；（2）根据全等三角形的判定方法可得到4对全等三角形．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；（2）解：∵AD＝AE，∴BD＝CE，而△ABE≌△ACD，∴CD＝BE，∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SSS）；∴∠BCD＝∠EBC，∴OB＝OC，∴OD＝OE，而∠BOD＝∠COE，∴△DOB≌△EOC（SAS）；∵AB＝AC，∠ABO＝∠ACO，BO＝CO，∴△AOB≌△AOC（SAS）；∵AD＝AE，OD＝OE，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（SSS）．25．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？【分析】（1）直接利用队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，进而利用总工作量为1得出等式求出答案；（2）直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，检验得：x＝30是原方程的根，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．26．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有 3 个，以点O为交点的“8字型”有 4 个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）①以线段AC为边的“8字型”有3个，以点O为交点的“8字型”有4个；②根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），然后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P＝∠B+2∠C．【解答】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）解：①3；4；故答案为：3，4；②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．27．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC＝2，求S△CDF的值．【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到△ABC为等边三角形，得到AB＝BC，∠ABC ＝∠C＝60°，证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过B作BH⊥AD，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，证明△AHB≌△BFC，根据全等三角形的性质解答；（3）过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，根据角平分线的性质得到CM＝CN，证明△AFB≌△CMA，根据全等三角形的性质得到BF＝AM，AF＝CM，根据三角形的面积公式列式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB＝S△BFC，设S△CDF＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB＝S△BFC＝3x∴S△AFC＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝S△CDF＝．。