构建轴对称模型求线段和的最小值
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构建轴对称模型求线段和的最小值
张店区沣水中学 高刚
近几年来,最小值问题成为中考命题的热点,其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。
例1．如图4,菱形ABCD中，AB＝2，∠ＢAＤ=60°，E是AＢ的中点，Ｐ是对角线ＡＣ上的一个动点，则PＥ+PB的最小值是__＿_＿_＿_。
图4
分析:首先分解此图形,构建如图5模型,因为E、B在直线AC的同侧,要在AＣ上找一点P,使PE+ＰＢ最小，关键是找出点B或E关于AC的对称点。如图6，由菱形的对称性可知点B和D关于AC对称,连结ＤE，此时DE即为PＥ+ＰB的最小值,
（1)求Ａ、B、Ｃ的坐标．
(2)把△ＡBC绕AＢ的中点Ｍ旋转 ,得到四边形AEＢC:
①求E点坐标．②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由.
(3)试探索:在直线ＢＣ上是否存在一点P，使得△PＡＤ的周长最小，若存在，请求出Ｐ点的坐标；若不存在，请说明理由．
学生总结:
分层作业:
A组：1、如图11,梯形ＡＢＣD中，AD//BC,AＢ＝CD=AD=1,∠B＝６0°，直线MＮ为梯形ＡBCD的对称轴，P为MN上一点，那么PＣ+ＰD的最小值为_＿＿＿____＿____。
分析:将这一问题转化为数学问题,即已知直线ｌ及ｌ同侧的点A和点B,在l上确定一点C,使AC＋BC最小。
首先我们思考若点A和B点分别在直线l的两侧,则点C的位置应如何确定，根据两点之间线段最短,点C应是与AB直线ｌ的交点,如图(2），这就是说,设线段ＡB交l于点C,点Ｃ/是直线上异于点C的任意一点，总有AC＋ＢC＜AC／+BC/。因此,解决上述问题的关键是将点A(或点B）移至l的另一侧（设点Ａ移动后的点为Ａ/），且使A、A/到直线l上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。
(1)求点A、E的坐标;
(２)若y= 过点A、E，求抛物线的解析式。
(3)连结PB、PD,设L为△ＰＢＤ的周长，当L取最小值时，求点Ｐ的坐标及Ｌ的最小值,并判断此时点P是否在（2)中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。
学习目标:知识目标:掌握轴对称图形的做法和三角形三边的关系，根据问题建构数学模型,解决实际问题。
能力目标:通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题,解决问题的能力,进一步强化分类归纳综合的思想，提高综合能力。
情感目标：通过自己的参与和教师的指导,享受学习数学的快乐,提高应用数学的能力。
引例：例:如图(1)，草原上两居民点A，B在笔直河流ｌ的同旁，一汽车从Ａ处出发到B处,途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短?并在途中画出这一点。
图8
例2.如图9，抛物线 与ｘ轴交于 、 两点。
（１）求该抛物线的解析式。
（2)设（1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Ｑ,使得 的周长最小？如果存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由。
图９
重点分析第（2）问,要使△ＱＡC的周长最小即ＡＣ＋ＣQ＋QA最小，由于AC长度一定，故只要CQ＋QA最小时，周长最小。设抛物线的对称轴为直线MN,则可分解出图形，构建模型，要在直线MN上找点Ｑ，使ＣＱ＋QA最小。由抛物线的对称性可知,点A、点B关于直线MN对称,连结BC交MＮ于点Q，只要找出点Q的位置,其坐标不难求得。
图11
２、如图12， 在锐角△ABＣ中， ＡB= ，∠BＡC=45°,∠BＡC的平分线交BC于点Ｄ,M,N分别是AＤ，AB上的动点,则BM+MN的最小值是___＿_____＿_．
图12
B组:1、如图，在直角坐标系中，A,B，Ｃ的坐标分别为（-1,0),(３,0）,(０,3),过Ａ，B，Ｃ三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点,
（1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+ＣＤ最小时点Ｄ的坐标;
(３)以点A为圆心,以AD为半径作圆Ａ;
①证明:当AＤ+CＤ最小时，直线BＤ与圆A相切；
②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。
２、已知△AＢC是边长为４的等边三角形,ＢＣ在ｘ轴上，点D为ＢC的中点,点A在第一象限内,AB与ｙ轴的正半轴相交于点E，点B(-1,0），P是AＣ上的一个动点（P与点Ａ、Ｃ不重合)
解:如图(3),作点A关于直线l的对称点Ａ/，连接Ａ/Ｂ交l于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。
总结：作点Ａ关于直线ｌ的对称点A′,连结A′B交直线l于点Ｃ,那么点C就是所求作的点。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置,要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。
跟踪练习3:点A的坐标为(0,2)点，点B是半径为 的⊙Ｂ的圆心，点B的坐标为(4，2）,请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在⊙B上是否存在一个点D,使得AＣ＋ＣD最小,若存在,请你在图中作出点Ｃ和点D，并求出点C、D的坐标和ＡC+CD的最小值;若不存在请说明理由。
跟踪练习4：如图10，抛物线 交x轴于A、Ｂ两点，交y轴于点CＤ，AＥ=BE知,
故PE+PＢ的最小值为 。
跟踪练习1：如图７，已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点,点Ｐ是半径ON上的动点，若⊙Ｏ的半径长为1，则AP+ＢP的最小值为＿_＿__＿_＿_______。
图7
跟踪练习2．如图８,正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，Ｐ是ＡC边上的一个动点，求PB+PM的最小值.
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题
最值问题中一个基本的模型——探讨线段和最小值问题在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题：这种模型就是著名的“将军饮马”问题：解决方法如上面图（2），作点B（点A也行）关于直线l的对称点B′,连接A B′交直线l于点C，则点C就是要找的使输气管道最短的位置。
其原理就是“三角形任意两边之和大于第三边”(北师大版七下第五章1 23页第5题类似)。
求两线段之和最小是最值问题中很基本的一个模型，一般已知两定点一动点，动点在某条定线上，两定点在定线同侧。
求解步骤为：①利用轴对称作其中任一定点关于定线的对称点；②连接对称点和另外一个定点，交定直线于某点，此点即为所求；③利用勾股定理等知识求解算出答案。
这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN 的最小值。
这时需平移BN（或AM），转化为求解决，如下图所示．平移NB至MB＇转化为轴对称模型本文讲练结合，对线段和最小值问题的原理、常见题型及解法思路层层剖析，后面附有练习题和配套答案，力求能使大家熟练掌握这种求最值的方法。
【典例】1、如下图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
解析：如下图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥B C，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得DC′=√5，故答案为：√5.2、如下图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解析：因为BQ是定值，所以求△PBQ周长的最小值就是在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小即可，依然是标准的轴对称模型，如果你能这样考虑，恭喜你答对了，下面就按照此类模型的标准解法做就行了。
轴对称最值问题(线段和最小)(北师版)(含答案) (1)
学生做题前请先回答以下问题问题1：解决几何最值问题的理论依据有哪些？问题2：解决几何最值问题的主要方法是______，通过变化过程中_____________的分析，利用_______________________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的___________进而解决问题．轴对称最值问题（线段和最小）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.在平面直角坐标系中，点M的坐标是（4，3），点N的坐标是（1，-2），点P是y轴上一动点，若使PM+PN最小，则点P的坐标是( )A.（0，0）B.（0，1）C.（0，-1）D.（-1，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题2.如图，正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在AB，BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC 上的动点，则PE+PF的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=8，C是OB的中点，D是AB边上一动点，则DC+OD的最小值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题4.如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．且AE=2，则EM+CM的最小值为( )A. B.4 C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的负半轴上，顶点B的坐标为，点C的坐标为（-1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题6.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上找一点Q，OB上找一点R，使得△PQR周长最小，则此时△PQR的周长为( )A.10B.C.20D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小，则此时∠AMN+∠ANM=( )A.130°B.120°C.110°D.100°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：解决几何最值问题的理论依据有哪些？问题2：解决几何最值问题的主要方法是______，通过变化过程中____________的分析，利用_______________________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的___________进而解决问题．问题3：在平面直角坐标系中，点M的坐标是（4，3），点N的坐标是（1，-2），点P是y 轴上一动点，若使PM+PN最小，则点P的坐标是( )A．（0，0）B．（0，1）C．（0，-1）D．（-1，0）本题的特征是什么？目标是什么？如何操作？。
初中数学中利用轴对称性求最值问题例析_王水友
段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求 PC＋PD 的最
小值就转化为求 PC＋PA 的最小值，即求 AC 的长度
即可。
例 2 已知抛物线
y
y =ax2 + c 经 过 A （0，1）， P（2姨 3 ，-3）。
（1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 并 判 定 C（ 姨 3 ，0） 是否在此抛物线上；
A
D
C
O
x
M
P
（2） 点 M 是 抛 物 线
对称轴上的动点，连 MP、MC，试 求△PCM 周 长 的 最
小值。
【分析】 此题第二问是二次函数中利用轴对称
性求三角形周长的最小值问题 。由于 PC 的长度 保
持不变，要使△PCM 的周长最小，只要使 CM+MP的
值最小即可，这样问题就转化成例 1 的类型。
和点 B（2，1）。 （1） 求 此 抛 物 线 解
析式； （2） 点 C、D 分别是
x 轴和 y 轴上的动点， 求 四 边 形 ABCD 的 周 长的最小值。
y A′（-1，3）
D
A（1，3）
B（2，1）
E
C
x
B′（2，-1）
（3） 过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 E 点 ，点 P
A
N
B 线 时 ，BN′ 的 长 就 是 BM + MN 的 最 小 值 ，而 BN′大 于
或等于 BH，所以 BH 的长就是 BM+MN 的最小值，
容易算出 BH=4。
（五） 两动两定型
已知两定点，分别在两条直线上找两点，使这
两点与已知两定点构成的四边形周长最小。
例 7 已知抛物线 y=ax2+bx+1 经过点 A（1，3），
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
线段和的最小值问题
143最值问题——用轴对称解决线段和的最小值问题一：【情景引入】如图：要在河边修建一个水泵站,分别向张村A 和李庄B 送水,问水泵站应修建在河边的什么地方,可使使用的水管最短?图①图②二：【精选例题】 如图：在正方形ABCD 中, E 在BC 上, 且 BE=2, CE=1, 点P 在线段BD 上运动, 求PE+PC 的最小值为多少？三：【巩固练习】1、如下图：E 在菱形ABCD 中，∠DAB=120°,E 为DC 中点，点O 是BD 上一动点，若AB=2，则PE+PC 的最小值是___________________A B2、如右上图：⊙O 的半径为1, 点A 是半圆上一个三等分点，点B 是弧AN 的中点， 点P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为_________________________．1443、若抛物线y= x 2 + bx + c 与x 轴交于A (1, 0 ) 、B (3, 0 ) 两点．①求出抛物线的解析式。
②设此抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小?若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．四：拓展与提高已知在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A(2,-3)、B(4,-1).①若P (x,0 )是x 轴上的一个动点, 则当x 为何值时,△PAB 的周长最短？②设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点, 请问:是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n), 使四边形 ABMN 的周长最短? 若存在, 求出m 、n 的值；若不存在,说明理由。
③若C (a , 0 )、D (a+3 , 0 )是x 轴上的两个动点, 则当a 为何值 时,四边形ABDC 的周长最短；。
「初中数学」利用对称求线段和最值
「初中数学」利用对称求线段和最值用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。
常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等类型一：两定一动型【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA+PB最小。
作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。
验证：如图，AQ+BQ=A'Q+BQ>A'B【例1】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是__________.【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。
【答案】10【例2】如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA+PB值最小时，求点P坐标【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B 与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。
【答案】P（2.5，0）类型二：一定两动型【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP+MQ+PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP+MP+PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。
验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP'+MQ'+P'Q'=M'P'+M''Q'+P'Q'>M'M''(两点之间线段最短)【例3】五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____.【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN 的周长最小，最小值即为A'A''的长。
轴对称最值问题(讲义)(含答案)
轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
巧用轴对称性解决线段和最小值问题
．
０， ，
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
（） ａ
（） ｂ
１ ２ 实践运 用 ．
如题（ ） ， ｃ 图 已知 ６Ｏ的直径 Ｃ 为 ４ 弧 Ａ ３ Ｄ ， Ｄ的度 数为 ６ 。点 是弧 Ａ 的 中点 ， 直径 Ｃ ０， Ｄ 在 Ｄ上找 一点 Ｐ使 ＋ Ｐ的值最小 ， ， Ａ 并求 Ｂ Ａ Ｐ＋ Ｐ的最小值
其光路 图． 分 析 ： 题 的 实 质 就 是 镜 本 面反射原 理． 解 ： 点 Ａ关 于 ＭＮ 的对 称 点 Ａ ， 结 Ａ 交 作 连 Ｂ， ＭＮ于点 Ｐ， 连结 Ａ Ｂ ． Ｐ、Ｐ １ 有一 圆柱形 食 品 盒 ， 的高 ． 它 等 于 ４Ｔｍ， 面 直 径 为 １ｃ 蚂 叮 ｃ 底 ６ ｍ， 蚁爬行 的 速度 为 ２ ｍ ｓ 如 果 在 盒 ｃ ／． 外下底 面 的 处 有 一只 蚂蚁 ， 它想 吃到盒 内对 面中部点 Ｂ处 的食 物 ， Ａ
理 中重要 的作 图之一． 其 实数学 问题 中的线段 和的最小值 问题 等价于 物理问题 中的光 的传播 问题 ： 问题 １ 如 图 ， 、 ： Ａ Ｂ在 直 线 ｆ 两侧 ， Ｚ 找 一 点 ， 得 Ｐ到 在 上 使 Ａ、 的距 离之 和最短 ， 何作 出 如 点 Ｐ？ 答： 连结 Ａ Ｂ交 Ｚ Ｐ， Ｐ为所求 点． 于 则 结论一 ： 两点 在 直 线 两 侧 时 （ 在 均 匀介 质 当 光 传播 ） 直接利用 两点之 间线 段最 短 （ 的直 线传 播 ， 光 原理 ）连 结线段 即可． ， 问题 ２ 如 图 ， 在 直 ： Ａ、 线￡ 同侧 ， Ｚ 找 一点 ， 在 上 使 得 Ｐ到 Ａ、 的 距 离 之 和最 Ｂ 短， 如何作 出点 Ｐ ？ 答 ： Ａ关 于 ｆ 对 称 作 的 点 Ａ， 连结 Ｂ Ｚ Ｐ Ａ交 于 ．
中考数学几何模型专题专题五—轴对称
专题五轴对称模型21 将军饮马之“两点一线”模型模型故事唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?模型展现基础模型怎么用?1.找模型遇到两个定点和一条定直线,求定直线上一点,与两点的连线和最小,考虑“两点一线”求最值模型2.用模型异侧两点则直接连接,同侧两点,则需要通过轴对称性质转化为异侧,利用“两点之间线段最短”求最值结论分析结论1:连接AB交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB的长证明:当点A,B,P共线时,P A+PB=AB，当点A,B,P不共线时,P A+PB>AB，∴P A+PB≥AB，∴当点A,B,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB的长.结论2:作点B关于直线∴的对称点B',连接AB',交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB'的长证明:由轴对称性质可知,PB=PB'，∴P A+PB=P A+PB'≥AB'，∴当点A,B' ,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB'的长.(也可以作点A关于直线l的对称点A',同理也可求出P A+PB的最小值)满分技法1.两点之间,线段最短.如图,点A和点B之间的3条线中,线段AB的距离最短,是线路∴.2.对称的性质.如图,若点A,A’关于直线l对称,P是直线l上一点，则P A= P A'.模型拓展模型拓展巧学巧记“两点一线”型问题简记为:线段和最小时,异侧直接连,同侧找对称;线段差最大时,同侧直接连,异侧找对称.典例小试例1 （2020贺州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=6√3，BD=6，点P是AC上一动点（点拨：一动点P），点E是AB的中点，则PD+PE（点拨：两定点D，E，一定线AC，求线段和最小值）的最小值为_________.考什么？轴对称的性质，两点之间线段最短（三角形三边关系），菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判断与性质思路点拨线段和最值问题，先根据已知条件判断定点、动点的个数及定点与定线的位置关系，确定模型，再按照模型结论确定最值点。