全等三角形和图形变换(图形的变换)
初中全等三角形变换招式20191119
招式 4： 已知：AB//DC,E 为 BC 的重点，∠BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点
F。 证明：AB=AF+CF
招式 5： 如图，AD 为△ABC 的角平分线，M 为 BC 的中点，ME//AD 交 BA 的延长线于
E，交 AC 于 F。求证：BE=CF
如图所示，Rt△ABC 中，AB=BC，BD⊥AC 于点 D，AE 为∠BAC 平分线，交 BD 于点 F。
求证：(1) BF=BE (2)AB+BE=AC
招式 2： 已知等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC 的平分线交 AC 于 D，求证：BD+AD=BC
招式 3： 已知，如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于 E,F,G 分别是 OA,OB 上的点，且 PF=PG。 求证：DF=EG
初中全等三角形变换模式 第一式：斗转星移之倍长中线 修炼条件：过中点的线段（D 为 BC 的中点） 修炼方法：
1、 倍长过中点的线段： ①如图一，延长 AD 至 E 使得 ED=AD（注意构造的线段写在等式左边），连接 BE，结 论：△BDE≌△CDA（注意全等的对应关系） ②如图二，延长 ED 至 F 使得 FD=ED,连接 BF，则△BDF≌△CDE
招式 7： 在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90°，CM⊥AD 于点 M，BN⊥AD 于点 N，求
证：AM=MN+BN。
招式 8： 如图，梯形 ABCD 中，AD//BC,CE⊥AB 于点 E，交梯形的对角线 BD 于 F，连
接 AF，若△BDC 为等腰直角三角形，且∠BDC=90°。求证：CF=AB+AF。
中考数学知识点总结：图形的变换
中考数学知识点总结：图形的变换1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
中考数学总复习：图形的变换--知识讲解(基础)【含解析】
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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
初中数学_从图形变换看三角形全等教学设计学情分析教材分析课后反思
从图形变换看三角形全等教学设计一、教学目标１.知识与技能：（1）能在图形变换中找对应相等的关系。
（2）能熟练运用全等的性质和判定解决问题。
２. 过程与方法：经历观察、猜想、证明结论的过程。
３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识，提高识图及数学推理能力。
二、重点、难点分析教学重点：能在图形变换中找对应相等的关系，从而利用全等的性质和判定解决问题。
教学难点：能够从图形变换的角度理解三角形全等，提高识图及数学推理能力。
三、教学过程（一）进入课题，明确目标。
今天我们从图形变换的角度看三角形全等，首先看图形是通过什么方式得到的，带着这种猜测再去看条件，有利于帮助我们找到对应元素。
（二）常见的基本图形。
师：在学习全等时遇到很多基本图形，今天汇总一下，你知道下列图形中两个三角形通过什么方式能够重合吗？并说出对应关系。
学生依次回答问题。
（三）基础过关（1）在第一幅轴对称的进本图中，已知若△ABE≌△ACD，且AB=5，AE=3，则EC 的长为？（2）在第二幅旋转的基本图形中如图，△ABC≌△ADE，∠BAD=50°，则∠EAC 的度数为？（3）在第三幅平移的基本图中，AB∥DE，AB＝DE，现要证明△ABC≌△DEF，还需添加一个条件。
说明白添的条件和用到的判定。
（4）在第四幅轴对称的基本图中，在AC上加一个点E，连BE、DE，图中全等的图形有（）对？师：从图形变换角度快速找到对应的边角。
（小结）既然图形变换给我们提供了办法，让我们进行一下练习，实际上在基本图形中，大家通过图形变换的知识不难找出全等三角形和对应元素，但是在题目考察的过程中，都是把这些基本图形放在复杂图形中来考察，在平时的学习中，大家还是要有意识的积累基本图形，下面我们来看一下是如何考察和应用这些基本图形的。
1、2两题比较简单，可以选派每个小组下游的同学来回答，锻炼学生的分析问题解决问题的能力，也给基础薄弱的同学一定展示的机会，锻炼上台展示的胆量。
5-全等三角形与图形变换-文库
方程与不等式目录方程与不等式 (1)一、章节目录 (2)二、地位和作用 (2)三、知识点总结 (3)（一）三角形 (3)（二）全等三角形 (4)（三）轴对称和中心对称 (5)四、常考题型 (6)（一）三角形 (6)（二）全等三角形 (7)（三）轴对称，垂直平分线，角平分线 (10)一、章节目录二、地位和作用本节内容可以分为两部分，三角形和图形对称变换. 初中阶段，三角形是几何证明的主要内容，在经过平行线和相交线章节的学习，初步有了命题的观念后，就可以按照概念、性质、定理这样的模板来对三角形进行系统的学习，并且在今后学习其他几何图形时也都遵循着这样的思路. 全等三角形是描述两个三角形关系的一个概念，学习全等主要涉及判定以及性质，也就是如何证明全等以及利用全等如何进一步证明其他的结论. 通过此模块学习旨在训练缜密的数学逻辑，培养分析条件，推理证明的能力.对称是图形自身具有的性质，或者是图形的基本变换之一. 由对称可以产生许多几何性质（等边，等角…），可以与全等三角形等几何证明综合进行考察.在考试地位上，全等三角形是中考的一个难点，综合性强，并且可能与二次函数的题目相结合.是区分学生学习程度的一道坎.学习这部分内容的过程中一是强调良好的做题习惯，如进行有条理的审题，整理条件，书写证明过程；二是练习，总结思路，模型，对一些题目的证明套路能有感受，以便遇到难题有的放矢.三、知识点总结（一）三角形1、三角形的基本概念（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连组成的图形叫做三角形.以ABC为顶点的三角形记作△ABC，面积S=底×高2（2）顶点：A、B、C.（3）边：线段AB（或线段c）、BC（或线段a）、AC（或线段b）.（4）内角：∠A(∠BAC)、∠B(∠ABC)、∠C(∠ACB).2、三角形的三边关系两边长之和大于第三边，两边长之差小于第三边.（a+b>c;|a−b|<c）3、三角形中的角（1）（三角形的内角和定理）三角形内角和为180°.（2）三角形的外角：三角形的一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的三个外角和为360°，所有凸多边形的外角和均为360°（外角定理）三角形的外角等于不相邻的两个内角和.4、三角形中的重要线段（1）角平分线：一个内角的角平分线与对边相交，连接角的顶点与交点所得的线段叫做三角形的角平分线.相关结论：三角形有三条角平分线，并且交于三角形内一点，这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）.（2）中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线相关结论：三角形有三条中线，并且交于三角形内一点，称为三角形的重心；中线把三角形分成两个面积相等的三角形；（3）高线：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线，连接这个顶点和垂足所得的线段叫做三角形的高.相关结论：锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高不交于一点，但是所在直线交于一点.（二）全等三角形1、全等三角形的概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.①一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变了，但形状大小没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等.②性质：全等图形的形状大小相同.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形.△ABC ≅△FDE①两个三角形能够重合时，重合的一对点、边叫做对应点、对应边. 重合的角叫做对应角.要注意全等符号≅的写法，以及两边对应点顺序相同.（3）全等三角形的性质和判定①性质：两个全等的三角形对应边相等；对应角相等；面积，周长，对应中线长，高线长（等等）也都相等.②判定:两个三角形的三条边分别相等，则两个三角形全等.（边边边/SSS）（三角形的稳定性）两个边和它们夹角分别相等的两个三角形全等.（边角边/SAS）两个角和夹边分别相等的两个三角形全等.（角边角/ASA）两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.（角角边/AAS）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（斜边直角边/HL）性质里最重要的是对应边相等和对应角相等.我们知道全等有这么多的性质，那么根据哪些性质，通过多少性质可以判定两个三角形全等呢？所以判定条件就是能确定全等的性质的组合.注意这一节内容的顺序是性质在前判定在后.（三）轴对称和中心对称1、轴对称（1）概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（轴）对称.（2）轴对称的性质如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分.2、垂直平分线（1）概念垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 中垂线是这条线段的对称轴.（2）性质线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等.连接点与端点构造三角形，可得两个全等三角形，进而得到边等和角等.（3）判定到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.3、角平分线（1）概念：从角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角平分线的判定：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.4、中心对称图形（1）概念如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称，这个点叫做对称中心.（2）性质成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分.四、常考题型（一）三角形1、三角形的三边关系考察（1）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是：（）A、1，2，6B、2，2，4C、1，2，3D、2，3，4（2）已知三角形的三边长分别为3、a、5，那么a的取值范围是：_____（3）已知△ABC的三边长为a、b、c,化简|a+b−c|−|b−a−c|=_____.2、三角形等面积法如图，在△ABC中，AC=8, BC=4,高BD=3,求出BC边上的高AE的长.3、三角形中的角度计算如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB交AC与E，∠A=35o,∠D=42○,求∠ACD的度数.4、三角形的角平分线模型∠A.（1）如图所示，BD、CD是△ABC的角平分线，求证：∠D=90○+12∠A （2）如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB,求证：∠P=90○−12（3）如图，BP是△ABC的角平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP=20○，∠ACP=50○,则∠A+∠P =_____.（二）全等三角形1、全等三角形的判定基础题（1）如图，已知AD=CF,BF//EF,添加一个条件，一定使△ABC ≅△DEF,①∠B=∠E②∠A=∠EDF,③AC=DF, ④BC=EF,下列满足条件的有：（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④思路：分析已有的条件（边角关系），考虑需要的条件.如果想要判定两个三角形全等则至少有一对相等的边.（2）如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB. 求证：BD=CE2、多次全等（1）如图，点D在AB上，点E在AC上，∠B=∠C, BE与CD相交于点O，AB=AC.求证：OB=OC.（2）如图，△ABC中，AC=BC，△ACB=90○，点D,E分别在AB，AC上，且AD=BE ,过E作EF⊥AB于F.①求证：∠FED=∠CED;,直接写出CE的长为_____.②若BF=52一般三角形全等模块的题型中，证明全等不是目的，最终一般是通过全等来证明一些边和角的数量关系. 也就是说，应该理解一个观点：全等是一个工具，它的用处就体现在性质中，我们利用可以全等的性质来得到或进一步证明一些结论.也就是：因此在有些题目中，要证明边相等/角相等可以想到利用全等证明；有些题目中，全等所得到的性质会用于下一个证明（另一个全等，或者其他证明）. 这类题也就是综合性比较强的题.3、动点与全等三角形如图,在长方形ABCD中,AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒；①PC=_____cm②当t为何值时，△ABP ≅△DCP?③当点P从点B开始运动，同时点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样的v的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.4、全等的常考模型（角平分线）（1）角平分线作垂线如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180○，求证：AE=AD+BE.（2）角平分线作对称如图，在△ABC中，∠B=60○,AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，AE=3,CD=2,求AC的长度.这两个题目同时涉及到了截长补短的思想：在解决一些几何图形中线段长度问题时（线段的长度，或者多条线段长度的关系），思路是将短的线段转移到长的线段上（截长）或将短线段延长为长线段（补短）（将军饮马模型）（3）一次对称的将军饮马模型如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上一动点,则△ABP周长的最小值是:_____.（4）多次对称的将军饮马模型如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=130○,点M、N分别在BC、CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为：_____（倍长中线）（5）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC上的两点，且∠EDF=90○. 求证：BE+CF>EF.（手拉手模型）（6）如下图所示，△ABC,△DCE分别是以C为顶角顶点的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE,连结BD,AE，BD和AE交于M, 求证：①△BCD ≅△ACE②∠AMB=∠BCA③CM是∠BME的角平分线.（三）轴对称，垂直平分线，角平分线1、轴对称图形（折叠问题）如图将一张长方形纸片沿EF折叠，B、C两点落在B’,C’处，如果∠AFB’=70°，求∠B’FE.112、垂直平分线（1）如图，在△ABC 中DE 垂直平分AC ，已知△ABD 周长为14cm ，则△ABC 的周长是：_____.（2）如图，点E 是∠AOB 的角平分线，ED ⊥OB,EC ⊥OA.,求证：①OD=OC②E 在线段DC 的垂直平分线上.3、角平分线（1）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 的中点,DE 平分∠ADC ，①求证EC 平分∠BCD②DE 和EC 有什么样的位置关系？（2）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE=CF.求证：AD 平分∠BAC .。
初中数学 全等三角形中的旋转
内容 基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．【例 1】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【巩固】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．图6DECBA中考要求例题精讲全等三角形中的旋转【巩固】如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．EDCBA【例 2】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例 3】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而变化M N CBA【例 4】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OBECF A【巩固】在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【巩固】等腰直角三角形ABC ，90ABC =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =︒∠，试猜想，BE 、BF 、EF 三者的关系．OBE CFA【例 5】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．【巩固】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例 6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．D CBEFA【巩固】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【巩固】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例 7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BA【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【巩固】如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC(BC ＞AD)，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．【例 8】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．N K DCB A【巩固】等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBAB CA DEB C【例 9】 在等边AB C ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为AB C ∆外一点，且︒=∠60MDN ，︒=∠120BDC ，CD BD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边AB C ∆的周长L 的关系．⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时LQ=__________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=_________(用x ，L 表示)【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD;(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【例10】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．M D NEC BFA【巩固】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．NMEDCBA【巩固】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【巩固】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；⑶CF 平分AFB ∠．M D NEC BFA【例11】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．M DNECBA【巩固】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是( )PMBC DEAA ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形【巩固】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【例12】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 平分．FEDBCA【例13】 已知：如图，ABC ∆、CDE ∆、EHK ∆都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求证：HBD∆也是等边三角形．EKHCDBA【例14】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =【巩固】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．G FE DCBA【巩固】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．OGFEDCBA【例15】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．EDCBA【巩固】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2．求该五边形的面积．EDCBA【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBA【例16】 (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．ABCDE【例17】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE。
全等三角形与图形变换
数学的图形世界是一个精彩纷呈，奥 妙无穷，美丽动人，魅力十足的世界。 它让人，
在好奇中探索世界， 在冲动中发现美丽， 在观察中发现真像， 在思索中获取真理。
下面，请用同学们用智慧的眼睛去 发现如下图形世界里“三角形全等的有 用条件吧！
角等平行隐， 边等和差藏
BC∥BʹCʹ, BBʹ=AAʹ 能作为三角形全 等的条件直接写入大括号号中使用吗？
需要添加一个条件_________。
∠C=∠D
∠1=∠2
1
AB= AB AC= AD
2
∠1=∠2 AB= AB
∠1=∠2 AB= AB ∠CBA= ∠DBA
全等的四个判定方法: ASA 、 SAS 、 AAS 、 SSS
方法与技能
明确目标：证明哪两个三角形全等 转化思想：证边证角相等来证两三角形全等 清楚全等条件： 边角相等证全等，三个条件科学组合道可行， 一般三角全等四方法，HL直三特用它 SSS , SAS , ASA , AAS , HL 注意事项：注意全等隐含条件的挖掘及假性条件的转化
翻折公共边，对顶角勿忘记
旋转型
如此旋转多美妙，和差之中常把边角隐，四边 形的对角线成了公共边。 对顶角，直角，公共角相等千万莫忘记。
和差之中常把边角隐， 同角余角相等需注意。
二、图形变换，把握本质 三角形的平移
1.把△ABC沿直线AB平移，得到△DEF. ①若∠A=42°，∠C=98°求∠E的度数
4.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB,
AD=DC,BD平分∠ABC.
求证: ∠BAD+∠C=1800.
分析：
A
D
①∠BAD+∠C=180°
怎么考虑？-----平角
全等三角形的图形全等变换
鼓励学生讨论、交流、探究，允许他们有不同的拼图方法和结论，培养其合作精神。
活动九
7.两个全等三角形的综合变换：
学生思考、探究解题思路和方法，小组合作交流;
师作图巡视、指导。
(1)一个长方形沿着一条对角线对折剪开,拼成如图位置的两个三角形,使点B、F、C、D在同一直线上.①求证:AB⊥DE;②若PB=BC,找出一对全等三角形,并证明出它们的正确性。
小结
学生谈感受和收获
培养学生的归纳总结能力
作业
教材P—114 （3）（5）（8）
选做题：上面活动九中的“迁移题”
分层次教学
板书
设计
略
注意渗透分类思想
活动七
5.两个全等三角形的“旋转”加“平移”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：三角形旋转任一角度到不同位置再沿着某条直线平移到不同位置。（如图）
已知：等腰△ABC的直角顶点C放在直线a上,作AD⊥a于D,作BE⊥a于E.找出一对三角形,并证明它们是正确的结论.
结论: △ACD≌△CBE;
让学生从实践演示中探究三角形全等的结论，并迁移出其他正确结论。
活动四
2.两个全等三角形的“翻折”变换：
学生演示，师作图指导。
特点：沿着某条直线 “翻折1800”到不同位置。（如图）或沿着过某个点所在的直线“翻折”1800到不同位置。
结论：△ABC≌△ABD; △ABO≌△CDO.
迁移：连接CD,推导出CD被AB垂直平分;AB平分∠CAD。
全等三角形的图形全等变换
课 题
全等三角形的图形全等变换
讲课教师
学校
时间
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课题：全等三角形和图形变换(图形的变换)
课型：复习课(第一课时)
教学目标：
1、通过学生对数学问题的解答体验图形变换，理解全等变换：平移、旋转和轴对称；
2、通过学生对教师提供的数学题的解答，使学生掌握三角形全等的证明；
3、学生在活动、总结中感悟、理解全等与图形变换的关系。
教学重点：掌握三角形全等与图形的变换
教学难点：三角形全等与图形的变换二者的关系
教学方法：“做做议议结结”----自主合作探究教学法
教学过程
活动的前言
（1）三角形全等的判定方法？（2）初二年级学习的图形有哪些变换？
第一篇：在简易中看到真理的永恒
教学要点：（1）让四位同学上黑板解答下列三个问题；（2）解答完后，请同学们讨论这些问题有哪些相同点。
(3)小组内分工解答,每人解两个题.
1、如图示，BPD
∠
=
=,
,
=
PA∠
APC
PC
PD
PB
求证：△APB≌△CPD
第1题图
2.如图，等腰直角△ACB中，AC=CB.点D在BC上,E为AC延长线上的一点,且CE=CD,延长AD交BE于点F.
（1）求证：AD=BE
3,如图示，分别以△ABC的边AB、AC为
一边做两个等边△ABE和△ACF
求证：BF=CE
第3题图
4.（用新观点解释老问题）如图示，分别以△ABC的边AB、AC为一边做两个正方形ABEF和正方形ACDG .(1)求证：BG=CF(2)试判断BG与CF(的位置关系，并说明理由。
第二篇：用新理念重温经典知识
5、回忆下列数学知识，并画出证明图形，用图形变换的观点，总结它们的共同点.
(1)等腰三角形的性质; (2)角平分线的性质; (4)线段的垂直平分线的性质.
6、（一碟小菜）：如图，在△ACB中，∠C=90°,AD平分∠ACB,AD=5,AC=4,
则D点到AB 的距离是
.（郑州09预测卷）
7、（考考智力）：如图，点P是∠AOB的角平分线上一点.过点P作PC∥OA交OB于点C.若∠AOB=60°,OC=4,则P到的OA距离PD等于.
8、（测测智商）：如图，AD是等腰Rt ABC的底角的角平分线，作DE⊥AB于点E，若AC=2，则BDE的周长为（）.
A. 2
B. 4
C. 22
D. 22
第三篇：过关与检测
9、如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，若∠A+∠C=180. 求证：DA=DC
第6题图第7题图第8题图
第9题图
第四篇：课后大练兵
10、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5.如图所示，
折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ’处，折痕为PQ ，当点
A ’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定 点P 、Q 分别在A
B 、AD 边上移动，则点A ’在B
C 边上可移动的最大距离为 .
11、（09年河南省中考）（9分）如图所示，∠BAC =∠ABD ,AC =BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点.试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明.
12.（09年河南省中考）(10分)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°,∠B =60°，BC =2．点0是AC 的中点，过点0的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D .过点C 作CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α.
(1)①当α=_____度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为_________； ②当α=______度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为_______；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．
13.本次中心质量检测第22题.
第10题 第11题图
第11题图
课题：全等三角形和图形变换(图形变换)
课型：复习课(第二课时)
教学目标：
1、通过学生对数学问题的解答体验图形变换：平移、旋转和轴对称；
2、通过学生对教师提供的数学题的解答，使学生掌握旋转和轴对称在中招试题解答中的方法；
教学重点：图形变换在解决问题时方法
教学难点：如何实行图形变换
教学方法：“做做议议结结”----自主合作探究教学法
教学过程
活动的前言
（1）我们学习的图形有哪些变换？这些变换要素有哪些？（2）图形变换的过程中，图形保持着哪些不变的性质。
一、典型例题
1、如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
2、如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，有EF=BE+DF．
3、如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
4、如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为RT△ABC内一点，且PA=7，PB=3，PC=1 求∠APC的度数.
二、过关检测
1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =60°，AC =10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是
．
2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，∠B ＝90°，∠A ＝30°，点D 是线段AB 上一动点，作DE ⊥AC ，垂足为点E ，以点D 为旋转中心把△ADE 顺时针旋转180°得到△A /DE /，连接CA /，若CA /平分∠ACB 或其外角，则△ADE 的面积是 ．
3.如图示，P 为等边三角形ABC 内一点，且PA=5，PC=3，PB=
4.试求∠BPC 的度数.
三、课后作业
第1题图 A'E'E
C B
D 第2题图。