中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线
角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
角平分线试讲讲义
1、什么是角平分线？
角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、什么是点到直线的距离？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离
3、什么是垂直平分线？
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
性质：垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
思考：角平分线有哪些性质？
通过折纸的方法，我们发现
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
怎么证明呢？
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
思考:垂直平分线的已逆定理：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线
那角平分线的逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
是不是真命题？如何证明？
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
思考：三角形的三条垂直平分线的交点叫外心？那么角平分线的交点呢？
挑战一下。
初中数学 几何培优讲义
几何中点问题与角平分线培优讲义一：基础知识点12、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（两点确定一条直线。
）（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
3、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（两点之间线段最短。
）（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
4、线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
AM = BM =1/2AB （或AB=2AM=2BM）。
5、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。
或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
6、角的表示角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
7、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”8、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
二：例题分析（中点问题）：例1：如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC的长度．【解答】解：因为AB＝97，AD＝40，所以BD＝AB﹣AD＝57因为DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，所以设DC＝x，则CE＝2x，EB＝，因为BD＝DC+CE+EB所以x+2x+＝57解得x＝9所以AC＝AD+DC＝40+9＝49．答：AC的长度为49．例2：（1）如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，若AB＝n，且使关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解．①求线段AB的长；②线段MN的长与点P在线段AB上的位置有关吗？请说明理由；（2）如图2，点C为线段AB的中点，点P在线段CB的延长线上，试说明的值不变．【解答】解：（1）①方程（n﹣4）x＝6﹣n可化为（m﹣2）x＝2m﹣4，∵关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解，∴n﹣4＝0，即n＝4，∴线段AB的长为4；②如图1，∵点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，AB＝n，∴PM＝BP，PN＝AP，∴MN＝MP+NP＝AB＝n；∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关；（2）如图2，∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB，∴P A+PB＝PC﹣AC+PC+BC＝2PC，∴＝2，∴的值不变．三：课堂练习1．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．2．如图，AB＝10cm，线段BD＝4cm，线段AC＝7cm，E是线段BC的中点，FD＝2AF，求EF的长．3．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC 上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m 有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．4．如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．5．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．6．如图，点B、C在线段AD上，且AB：BC：CD＝2：3：4，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点，且MN＝9．（1）若点N是线段CD的中点，求BD的长；（2）若点N是线段CD的三等分点，求BD的长．7．如图1，点C为线段AB延长线上的一点，点D是AC的中点，且点D不与点B重合，AB＝8，设BC＝x．（1）①若x＝6，如图2，则BD＝；②用含x的代数式表示CD，BD的长，直接写出答案；CD＝，BD＝；（2）若点E为线段CD上一点，且DE＝4，你能说明点E是线段BC的中点吗？8．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣17|+（b﹣5.5）2＝0，求线段AB、CE的长；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；（3）如图2，若AB＝20，AD＝2BE，求线段CE的长．9．【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A 时停止运动，设运动的时间为t秒．（2）点M在运动过程中表示的数为（用含t的代数式表示）；（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．10．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．（1）若AP＝8cm，①运动1s后，求CD的长；②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．角平分线问题：例3：已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．（2）在图①中，若∠AOC＝a，求∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE＝2∠DOB．【解答】解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，又∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣×150°＝15°；（2）由（1）知∠DOE＝∠COD﹣∠BOC，∴∠DOE＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC＝α；（3）设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，分两种情况：当OD在直线AB上方时，∠BOD＝90°﹣α，∵∠COE＝2∠DOB，∴90°﹣α＝2（90°﹣α），解得α＝60°．当OD在直线AB下方时，∠BOD＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，∵∠COE＝2∠DOB，∴90°﹣α＝2（α﹣90°），解得α＝108°．综上所述，当∠AOC的度数是60°或108°时，∠COE＝2∠DOB．巩固练习：11．如图，OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON＝80°（1）若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数；（2）若∠AOD＝x°，求∠BOC的度数（用含x的代数式表示）12．已知∠MON＝150°，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．（1）如图1，若OA与OM重合时，求∠BON的度数；（2）如图2，若∠AOC＝35°，求∠BON的度数；（3）当∠AOB绕点O逆时针旋转到如图3的位置，探究∠AOC与∠BON的数量关系，并说明理由．13．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝80°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数．14．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将一直角的顶点放在点O处，∠MON＝90°．（1）如图1，当∠MON的一边OM与射线OB重合时，则∠NOC＝；（2）将∠MON绕点O逆时针运动至图2时，若∠MOC＝15°，则∠BOM＝；∠AON＝．（3）在上述∠MON从图1运动到图3的位置过程中，当∠MON的边OM所在直线恰好平分∠AOC时，求此时∠NOC是多少度？15．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为；（2）如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为（用含有α的式子表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．（4）将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为．（用含有α的式子表示）16．已知：∠AOB＝90°，∠COD＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（1）如图1，∠COD在∠AOB内部，且∠AOC＝30°．则∠MON的大小为．（2）如图1，∠COD在∠AOB内部，若∠AOC的度数未知，是否能求出∠MON的大小，若能，写出你的解答过程；若不能，说明理由．（3）如图2，∠COD在∠AOB外部（OM在OD上方，∠BOC＜180°），试求出∠MON的大小．17．点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠COD，使得∠COD＝90°．（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请直接写出∠BOD与∠COE之间的倍数关系，即∠BOD＝∠COE（填一个数字）；（2）如图2，过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若∠EOC＝3∠EOF，求∠AOE的度数．18．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t的值．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM 与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．19．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．20．已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．21．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．22．已知∠AOB＝90°，∠BOC是锐角，ON平分∠BOC，OM平分∠AOB．（1）如图1若∠BOC＝30°，求∠MON的度数？（2）若射线OC绕着点O运动到∠AOB的内部（如图2），在（1）的条件下求∠MON的度数；（3）若∠AOB＝α（90°≤α＜180°），∠BOC＝β（0°＜β＜90°），请用含有α，β的式子直接表示上述两种情况∠MON的度数．23．已知∠AOB＝100°，射线OC在∠AOB的内部，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；（2）请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择题．A．如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数为．B．若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC、∠BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，直接写出∠EOF的度数．24．已知，如图（1），∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β（1）如图（2），若α＝90°，β＝30°，则，∠MON＝（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图（3）的位置，求∠MON（用α、β表示）（3）如图（4），若α＝2β，∠COD绕O逆时针旋转，转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD，请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．25．在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．作业题已知∠MON＝100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，OC分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）（1）如图1，若∠AON＝40°，求∠COA的度数；（2）如图2，若∠AON＝120°，求∠COA的度数．26．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为；（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求∠MON的大小，写出解答过程；（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝°．。
中考培优竞赛专题经典讲义 第1讲 角平分线
第1讲角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC理由：角平分线的性质结论：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CD⊥BD理由：等腰三角形三线合一结论：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BF EF的值是___________.【分析】要求BF EF 的值，一般来说不会直接把BF 和EF 都求出来，所以需要转化BF EF，当过点F 作FG ⊥AB 时，即可将BF EF 转化为BG AG ，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FG ⊥AB 于点GQ ∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BG AGQ AC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又Q BF 平分∠ABC ，∴FG =FC在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BF CF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGQAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 例题2、如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【分析】有AE 平分∠BAC ，且AE ⊥EC ，套用模型2，即可解决该题.【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .Q AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC∴∠FAE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中EAF EAC AE AEAEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△AFE ≌ACE （ASA ）∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又Q D 是BC 的中点，∴BD =CD∴DE 是△CBF 的中位线∴DE =12BF =3 故答案为：3.例题3、如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .Q E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC∴∠CBM =∠EMBQ BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM∴EP +BP =EP +PM =EMQ CQ =13CE ，∴EQ =2CQ 由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ ∴ 2 212 12EM EQ EM BC EP BP BC CQ ==∴==∴+=【巩固练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（）A.SASB.SSSC.ASAD.HL（第1题）（第3题）（第4题）2、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.∠ABC =60°B.AB:BC =1：4C.AB:BC =5：2D.AB:BC =5：84、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（）A.32B.52C.3D.45、如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE AB 于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为 .（第5题）（第6题）（第7题）6、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE 的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为 .7、如图，在△ABC中，点D在BC上，BM平分∠ABD，BM⊥AD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN = .8、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC =2，则DF的长为 .（第8题）（第9题）（第10题）9、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE = .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为 .11、如图，在e O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .（第11题）（第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD =BE =6，则AC的长等于 .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是.（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？15、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.16、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；17、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.18、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A 不重合），∠BPC =∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B （m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
角平分线的性质教学课件
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一 点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两 个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交 点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平 分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质， 我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根 据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。
全等三角形培优竞赛讲义(一)
全等三角形培优竞赛讲义（一）知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：一、全等三角形注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
角平分线的性质课件
角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个相等的角 ，这条射线叫做这个角的平分 线。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质定理的推 论
角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上。
课后作业布置
作业1
阅读教材，复习本节课所学内容，并 完成教材上的练习题。
05
角平分线在几何变换中作 用
旋转对称中心确定方法
旋转对称中心定义
若一个平面图形绕着某一点旋转一定角度后 能与自身重合，则该点称为旋转对称中心。
利用角平分线确定旋转对 称中心
在角的两边上分别取两点，连接这两点的线 段的中点即为该角的旋转对称中心。
轴对称图形判断依据
轴对称图形定义
若一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形称为轴对 称图形。
根据角平分线的性质，角平分线将相对边按照两邻边的比 例分割。因此，我们可以通过作平行线和利用相似三角形 的性质来证明此结论。
解析
根据角平分线的性质，角平分线是到角的两边距离相等的 点的集合。因此，我们可以通过证明三角形ABD和三角 形ACD全等，从而得出AB=AC。
课堂小结与知识点回顾
课堂小结
本节课我们学习了角平分线的 性质，包括角平分线的定义、 性质定理和性质定理的推论。 通过典型例题的解析，我们加 深了对角平分线性质的理解和 应用。
应用举例
例题1
例题3
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线 ，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且 DE=DF。求证：△ABD≌△ACD。
已知△ABC中，∠B=2∠C，AD是 ∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD 。
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第1讲角平分线1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF点C, DF OB 于点D，则CF = DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解模型1-BD平分/ ABC,且DC BC理由：角平分线的性质结论：△ DCB2 △ DEB模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD理由：等腰三角形三线合一结论：△ BDC BDE模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC理由：平行线的性质结论：△ ABD为等腰三角形OA于【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC,BF/ ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是EFBFEF值得一试.【解答】解：如图，作FG AB于点GQAC BC，/ ACB =90°又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中BF BFAC =16，贝U DE的长度为_________【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题△ BGF BCF ( HL) ，BC = BGQ AC=:BC，/ CBA =45°，AB = 2 BCBF BG BC BC1 . 2 .EF AG AB BG.2BC BC、2 ICF GF例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点,当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型EF AG1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD，BFEFBGAGAE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把EFBF和EF都求出来，所以需要转化【解答】解：如图，延长CE, AB交于点F.QAE 平分/ BAC, AE EC/ FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90°在厶AFE和厶ACE中/ EAF / EACAE AE/ AEF / AEC△ AFE 也ACE (ASA)AF = AC = 16, EF = EC,BF = 6又QD是BC的中点，BD =CDDE是厶CBF的中位线1DE = — BF =32故答案为：3.例题3、如图所示，在△ ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射1线EF 上, BP交CE于D，/ CBP的平分线交CE于Q,当CQ =- CE时，EP+BP= .3 -------------【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.QE、F分别是AB、AC的中点，EF// BC/ CBM = / EMBQ BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM/ EMB = / EBM , EB = EMEP +BP = EP +PM =EM1QCQ = CE, EQ =2CQ3由EF// BC 得，△ EMQ CBQEM EQ2 EM 2BC 12 EP BP 12BC CQ（第 5 题）（第 7 题）【巩固练习】1、如图，/ AOB 是一个任意角，在边 OA , OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N 重合，过角尺顶点 C 的射线OC 便是/ AOB 的平分线OC ,做 法用得到三角形全等的判定定方法是（） A. SASB.SSSC.ASAD.HL2、三角形中到三边距离相等的点是（ A 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分/ ABC , CF 平分/ BCD , BE 、CF 交于 1G.若使EF = AD ，那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是（）4A. /ABC =60°B. AB ： BC = 1 : 4C. AB ： BC = 5： 2D. AB ： BC = 5： 84、 如图，△ ABC 的周长为26,点D , E 都在边BC 上,/ ABC 的平分线垂直于 AE ,垂 足为Q ,/ ACB 的平分线垂直于 AD ，垂足为P ,若BC = 10，则PQ 的长为（）3 5 A 3B. -C.3D. 4'225、 如图，在△ ABC 中，/ C =90°, AC =BC , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D , DE AB 于点丘，若厶BDE 的周长是5cm ,则AB 的长为_. ________（第 1 题）（第 3 题）（第 4 题））B 、三条高的交点D 、三条角平分线的交点（第 6题）6、如图，已知 OB 、OCABC 的角平分线，DE // BC 交AB 、AC 于D 、E ,A ADE的周长为15, BC 长为7,则厶ABC 的周长为 _. _______7、 如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 上, BM 平分/ ABD , BM AD , N 是AC 的中点， 连接 MN ，若 AB = 5, BC = 8，贝MN =.8、 如图，△ ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF AE 于F , AB =5, AC = 2，则 DF 的长为 .9、 如图，已知/ BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点 D , DE AB , DF AC , 垂足分别为 E 、F , AB =6, AC = 3,贝U BE =.10、 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD/ // BC , CE 是/ BCD 的平分线，且 CE AB , E 为垂足，BE =2AE ，若四边形AECD 的面积为1,则四边形 ABCD 的面积为 _.11、 如图，在 e O 的内接四边形 ABCD 中，AB =3, AD =5,/ BAD =60°,点 C 为弧 BD 的中点，贝U AC 的长是——（第11题）（第12题）12、已知：如图， AD 、BE 分别是△ ABC 的中线和角平分线， AD BE , AD = BE = 6, 则AC 的长等于—.13、将弧BC 沿弦BC 折叠，交直径 AB 于点D ，若AD =8, DB =10,则BC 的长是14、如图，F , G 是OA 上两点，M , N 是OB 上两点，且 FG = MN , S/FG =&PMN ，试 问点P 是否在/ AOB 的平分线上？A（第 8题） （第 9题）（第 10 题）（第13题）15、已知：在厶ABC中，/ B的平分线和外角/ ACE的平分线相交于D，DG// BC，交AC 于F，交AB 于G，求证：GF = BG CF.16、在四边形ABCD中，/ ABC是钝角，/ ABC+Z ADC =180°，对角线AC平分/ BAD.(1)求证：BC = CD ;(2 )若AB +AD = AC，求Z BCD 的度数;17、如图，在△ ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△ BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC = a、AC = b、AB =c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分Z EDF.A18、如图，BA MN，垂足为A, BA = 4，点P是射线AN上的一个动点(点P与点A 不重合)，/ BPC = / BPA, BC BP,过点C作CD MN，垂足为D，设AP =x. CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0 (0, 0)、A (5, 0)、B(m, 2)、C ( m- 5, 2)(1) 问：是否存在这样的 m ,使得在边BC 上总存在点P ,使/ OPA = 90°?若存在, 求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由(2) 当/ AOC 与/ OAB 的平分线的交点 Q 在边BC 上时，求 m 的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”。
如图1,四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中/ B=/ C o(1)在图1所示的“准等腰梯形” ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一 “准等腰梯形” ABCD 中/B=/ C , E 为边BC 上一点，若 AB// DE , BE EC ；(3) 在由不平行于 BC 的直线 AD 截厶PBC 所得的四边形 ABCD 中，/ BAD 与/ ADC 的平分线交于点 E o 若EB=EC ,请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形)， 四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形 ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论。
(不必说明理由)参考答案1. 答案 B2. 答案 D3. 答案 D4. 答案 C种示意图即可)；(2)如图2，在 AE/ DC ，求证：如DC5. 答案 5 cm6. 答案 227. 答案 1.58. 答案 1.59. 答案 1.515 10. 答案” , 7 11. 答案 8丽39丽12. 答案213.答案 6疗14•解：过点P 分别向OA 、OB 作垂线，11S APFG =—PG PE ，S/MN = —MN PH ，FG = MN2 2 PH=PE点P 在Z AOB 的平分线上.15.证明： B D 平分Z ABC ， Z 1 =Z 2， DF// BC ， Z 2 = Z 3，Z 1=Z 3， BF=DF.同理：DE = CE. EF =DF DF, EF =BF CE.16•解:（1）如图，过点C 作CM 丄AB ，交AB 的延长线于点 M;作CN 丄AD ，垂足为N ，AC 平分Z DAB ， CM = CN又 Z ABC +Z ADC = 180°，Z MBC +Z ADC = 180°Z NDC = Z MBC ，在△ NDC 与厶 MBC 中 Z DNC = Z BM C ， Z NDC = Z M BCCN = CMBC=DC（2）如图，延长AB 到B ，使BB = AD AB+AD = AC ，「. AB = AC由（1）知Z ADC = Z BBC;在厶ADC 与厶BBC 中DC= BCZ ADC =Z EBCAD BE•••△ ADC BA EBC ，故 AD = EC• DE =，D E 2 DG 2=1.5又 AE = AC ,A AE = AC = EC故厶ABC 为等边三角形，•••/ CAB = 60°；•••/ BAD = 120°，/ BCD = 360° -180° - 120° = 60° 即/ BCD = 60 °17•解：(1) △ BDG 与四边形ACDG 的周长相等， • BD+BG+DG = AC+CD+DG +AG D 是BC 的中点 • BD = CD • . BG =AC +AGBG +(AC +AG)= AB +AC, 1 1• BG = ( AB +AC)= (b+c)2 2 (2)证明：点D. F 分别是BC 、AB 的中点 1 1 1 1--DF= AC= — b , BF= — AB= — c2 2 2 2又 FG = BG1 BF = (b+c)- 1 1 c = b2 2 2• DF=FG• / FDG = / FGD点D. E 分别是BC 、 AC 的中点，• DB // AB ，•/ EDG = / FGD ，•/ FDG =/ BDG,即 DG 平分/ EDF 18.解：CD 的长度不变 理由如下：如图，延长 CB 和PA ，记交点为点 Q / BPC =/ BPA , BC 丄 BP• QB = BC(等腰三角形“三合一"的性质 ) BA 丄 MN , CD 丄 MM • AB // CD , • △ QABQDCAB/ CD=QB/ QC=1/ 2 • CD = 2AB = 2X 4= 8 即 CD = 8;O(0, 0)、A(5, 0)、B(m , 2)、C(m-5, 2). • OA = BC = 5, BC // OA ,以OA 为直径作D ，与直线BC 分別交于点E. F 则/ OEA =/ OFA = 90°,如图 1作 DG 丄 EF 于 G ,连 DB ,贝 U DB = OD = 2. 5, DG = 2 , EG=GF19.解：（1）存在.(2) QABPDE , B DEC ;QAEPDC , AEBB DEC AB AE .Q在厶ABE和厶DEC中，AEB C AB BEDC EC . ABE ~ DEC/ BFE = / CHE = 90°AEB ;BEECAEDC，••• E(1,2), F(4,2),m 5 4•••当，即1< mW 9时，边BC上总存在这样的点P,使/ OPA= 90°；m 1BC= OA = 5, BC // OA•••四边形OABC是平行四边形• OC // AB,•••/ AOC +/OAB = 180°,OQ 平分/ AOC, AQ 平分/ OAB,•••/ AOQ= 0. 5/ AOC，/ OAQ = 0. 5/ OAB ,•••/ AOQ +/ OAQ = 90°:丄 AQO= 90 ° ,以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E. F ,则/ OEA =/ OFA = 90°,•••点Q只能是点E或点F,当Q在F点时，OF、AF分别是/ AOC与OAB的平分线，BC // OA•••/ CFO = / FOA = / FOC , / BFA = / FAO =/ FAB ,• CF = OC, BF = AB 而OC = AB,• CF = BF，即F是BC的中点。