2018-2019学年重庆八中高二下学期期中考试数学(理)试题(扫描版)
重庆市第八中学2019年高二下学期期中考试数学试题及答案解析
重庆八中2019-2020学年度度（下学期考试高二年级数学试题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.若复数1iz i-=（i 为虚数单位),则z 的模为( ) A.12 C.2D.2【参考答案】C【试题分析】由复数除法运算可得1i z =--,从而可求出其模. 【试题解答】解:因为()2111i ii z i i i--===--,所以2z =故选:C.本题考查了复数的除法运算,考查了复数模的求解.本题的易错点是化简时,误将2i 当作1进行计算.2.已知3()2sin f x x x =+,则(0)f '=（ )A.2-B.0C.1D.2【参考答案】D【试题分析】利用求导公式,求出2()2cos 3f x x x '=+,进而求出(0)f '.【试题解答】3()2sin f x x x =+,2()2cos 3f x x x '∴=+,则(0)=2f '.故选:D.本题考查了导数的求导公式,导数的运算法则,属于基础题.3.若,x y满足约束条件13020xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩,则z x y=-+的最大值为（ )A.12- B.1-C.12D.1【参考答案】D【试题分析】画出约束条件所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,联立方程组求得最优解对应的点的坐标,代入即可求解.【试题解答】画出约束条件13020xx yx y≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域,如图所示,目标函数z x y=-+,可化为直线y=x+z,当直线y=x+z过点A时,此时直线y=x+z在y轴上的截距最大, 此时目标函数z取得最大值,又由130xx y=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A,所以目标函数的最大值为121z=-+=.故选:D.本题主要考查简单线性规划求解目标函数最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用"一画、二移、三求",确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力.4.某工艺品厂要制作一批鼠年迎春微章,每一个经检验合格的徽章售出后能产生4元钱的纯利润.统计发现,每个工人每天制作的合格品个数平均值为300,方差为25,那么每个工人每天能为工厂贡献的纯利润的标准差为（ ) A.5 B.20 C.25 D.100【参考答案】B【试题分析】合格品个数为x ,利润为y ,从而可得4y x =,由225x s =可推出2y s 的值,进而可求出纯利润的标准差.【试题解答】合格品个数x ,利润为y ,由225x s = 得22516=400y s =⨯,20y s ∴=.故选:B本题考查了标准差的求解.本题的关键是由个数的方差,结合个数和利润的关系,求出利润的方差.5.已知m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若m 与α所成的角等于n 与α所成的角,则//m n B.若m 与α所成的角等于m 与β所成的角,则//αβ C.若//m n ,//αβ,则m 与α所成的角等于n 与β所成的角 D.若m n ⊥,则m 与α所成的角不可能等于n 与α所成的角 【参考答案】C【试题分析】在正方体中,举出反例,可判断四个选项的正确性.【试题解答】解:A:如图,在正方体中,设下底面为α,点C 为边上中点,此时m 与α所成的角等于n 与α所成的角,其正切值均为2,但m 与n 相交,不平行,则A 错误；B:如图,在正方体中,设其下底面为α,左侧面为β,此时m 与α所成的角等于m 与β所成的角均为45︒,但此时αβ⊥,则B 错误；D:如图,在正方体中,设下底面为α,此时m n ⊥,但m 与α所成的角与n 与α所成的角相等,为45︒,则D 错误.故选:C.本题考查了直线与平面所成角,考查了直线与平面的位置关系.对于此类问题,常结合具体的几何体举出反例说明选项错误,利用排除法选出正确答案.6.2()ln f x ax bx x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,则b a -=（ )A.1-B.0C.1D.2-【参考答案】D【试题分析】求()f x ',根据导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点,解方程组即可求出,a b . 【试题解答】1()2f x ax b x'=++,在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)21k f a b '==++, 由点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-,可得212a b ++=,① 又(1)2120f =⨯-=,所以0a b +=,② 由①②解得1a =,1b =-,所以2b a -=-. 故选:D本题主要考查求切线的斜率,导数的几何意义,属于基础题.7.某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况,抽查了100名学生,统计他们假期参加实践活动的时间,绘成的频率分布直方图如图所示,估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（ )A.7.2B.7.16C.8.2D.7【参考答案】A【试题分析】由中位数两侧的面积相等,可解出中位数.【试题解答】因为在频率分布直方图中,中位数两侧的面积相等,所以0.04×2+0.12×2+（x ﹣6)×0.15＝0.5, 可解出x ＝7.2, 故选A .本题主要考查频率分布直方图,中位数,熟记中位数的计算方法是关键,属于基础题. 8.某平台为一次活动设计了"a "、"b "、"c "三种红包,活动规定:每人可以获得4个红包,若集齐至少三个相同的红包（如:"aaab "),或者集齐两组两个相同的红包（如:"aabb "),即可获奖.已知小赵收集了4个红包,则他能够获奖的不同情形数为( ) A.9B.10C.12D.16【参考答案】C【试题分析】由题意将中奖情况列举出为aabb 型、aaab 型、4个一样,每种情况结合组合的思想即可求出每种情况的数量,将最后结果相加即可.【试题解答】解:由题意知,aabb 型有233C =种；aaab 型有11326C C =种；4个一样有133C =种,则36312++=种, 故选:C.本题考查了计数原理中分类的思想,考查了组合数的计算,考查了排列组合的思想. 9.()()nmx x n N +∈的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为（ ) A.40B.30C.20D.10【参考答案】D【试题分析】根据二项式系数和求得n ,令1x =,以各项系数和列方程,解方程求得m 的值,再结合二项式展开式的通项公式,求得3x 的系数.【试题解答】∵(nmx +的展开式中,各二项式系数和为2n＝32,∴n ＝5.再令x ＝1,可得各项系数和为（m +1)5＝243＝35,∴m ＝2, 则展开式中的通项公式为T r +15rC =•m 5﹣r •52rx -,令52r-=3,可得r ＝4, 故展开式中x 3的系数为45C •2＝10, 故选:D .本小题主要考查二项式系数和、各项系数之和,考查二项式展开式中指定项的系数,属于基础题.10.重庆已经成为中外游客旅游的热门目的地之一,比如洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地.现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览,则每个景点都有人去游玩的概率为（ ) A.89B.49C.619D.34【参考答案】B【试题分析】基本事件总数4381n ==,每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==,由此能求出每个景点都有人去游玩的概率.【试题解答】解:洪崖洞,长江索道,李子坝穿楼轻轨已经成为网红景点,旅游的必到打卡地. 现有4名外地游客来重庆旅游,若每个人只能从上述三个网红景点中选择一处进行游览, 则基本事件总数4381n ==,每个景点都有人去游玩包含的基本事件个数234336m C A ==,则每个景点都有人去游玩的概率为364819m p n ===. 故选:B .本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 11.用一根长为18cm 的铁丝围成正三角形框架,其顶点为,,A B C ,将半径为2cm 的球放置在这个框架上（如图).若M 是球上任意一点,则四面体MABC 体积的最大值为( )A.3334cm B.33cm C.333cm D.393cm【参考答案】D【试题分析】由等边三角形的性质,求出ABC 内切圆半径3r cm =,其面积293ABCScm =,从而可求四面体MABC 的高max 3h =,进而可求出体积的最大值.【试题解答】解:设球的圆心为O ,半径为R ,ABC 内切圆圆心为1O ,由题意知ABC 三边长为6cm ,则ABC 内切圆半径1cos3033r AB cm =⋅⋅︒=,则2211OO R r =-=, 所以四面体MABC 的高max 13h OO R =+=.因为223934ABCSAB cm =⋅=, 所以四面体MABC 体积的最大值3max max 1933ABCV S h cm =⋅=.本题考查了三棱锥体积的求解.本题的难点是求出球心到三角形所在平面的距离.12.已知双曲线 ()2222:10x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点,点P 在双曲线右支上,且()22·0PF OP OF +=,若直线1PF 的倾斜角为θ且5sin 29θ=,则双曲线E 的离心率为（ )A.32B.3【参考答案】A【试题分析】证明12PF PF ⊥,用θ和c 表示出P 到两焦点的距离,根据三角变换公式即可求出ca的值. 【试题解答】解:设2PF 的中点为M ,则22OP OF OM +=, 22()0PF OP OF +=, 2OM PF ∴⊥,又OM 是△12PF F 的中位线,1//OM PF ∴, 12PF PF ∴⊥.又122F F c =,12PF F θ∠=, 12cos PF c θ∴=,22sin PF c θ=,由双曲线的定义可知122PF PF a -=,即2(cos sin )2c a θθ-=,1cos sin c e a θθ∴==-, 24(cos sin )12sin cos 1sin 29θθθθθ-=-=-=, 2cos sin 3θθ∴-=, 故32e =.本题考查了双曲线的定义与性质,向量数量积与向量垂直的关系,考查三角恒等变换,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数,其中m 是实数,则z =_____________.【参考答案】i -【试题分析】根据纯虚数的定义,列出方程组可求出m ,再根据共轭复数的定义,即可求出z .【试题解答】因为复数z 是纯虚数,所以2010m m m ⎧+=⎨+≠⎩,解得0m =,所以zi ,所以z i =-.故答案为:i -本题主要考查了纯虚数的定义及共轭复数的定义,属于基础题.14.在()41x +的二项展开式中,二项式系数最大的项为______. 【参考答案】26x【试题分析】由二项式系数的性质可得,展开式中中间项的系数最大,即最大项为:22246C x x =【试题解答】根据二项式展开式的二项式系数的性质得:二项式系数最大的项为展开式的中间项,即二项式系数最大的项为:22246C x x =.故答案为:26x .主要考查二项式展开式中知识,属于基础题目.15.A ,B ,C ,D ,E ,F 六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A ,B ,C 三人去询问比赛结果,裁判对A 说:"你和B 都不是第一名"；对B 说:"你不是最差的"；对C 说:"你比A ,B 的成绩都好",据此回答分析:六人的名次有_____________种不同情况.【参考答案】180【试题分析】根据裁判所说,对A 的名次分两类:第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C 且C 在B 前面,最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名,根据加法原理即可得到答案.【试题解答】根据裁判所说,对A 的名次分两类:第一类是A 获最后一名,再考虑B ,C ,从前5名中选2两个名次给B ,C 且C 在B 前面有25C 种,最后排D ,E ,F 有33A 种,根据分步计数原理,共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名,此时可同时考虑A ,B ,C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ,B 之前有3252C A 种,最后排D ,E ,F 有33A 种,根据分步计数原理,共有323523120C A A =种；根据分类计数原理,六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为:180本题主要考查分类计数原理和分步计数原理,注意对同学A 进行分类讨论,属于中档题. 16.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ,准线为l ,弦AB 过点F 且中点为M ,过点F ,M 分别作AB 的垂线交l 于点P ,Q ,若|AF |＝3|BF |,则|FP |•|MQ |＝_____. 【参考答案】169【试题分析】利用抛物线的定义以及3AF BF =结合平面几何知识,求得FP 和MQ 的长,由此求得FP MQ ⋅.【试题解答】如图,作BF ⊥l 于F ,作AE ⊥l 于E ,令准线与x 轴交点为S ,AB 交准线于K . 设BH ＝m ,则AF ＝3m ,∵13HB KB AE AK ==,∴BK ＝2m 则sin ∠HKB 122m m ==,∴∠HKB ＝30°. ∵23HB m SF m =,∴213m =,∴23m =, ∴|FK |＝2.∴303PF FK tan =⋅=. |QM |＝|MK |•tan 30°＝4m ×tan 30°.83333=⨯= 则|FP |•|MQ |169333=⋅=. 故答案为:169.本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数32()(2)1().f x x a x a R =--+∈ (1)当1a =时,求()f x 的单调区间；(2)若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.【参考答案】(1) 单调增区间为2(,)3-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3-；(2) (2,)+∞.【试题分析】(1)将1a =代入,求出函数()f x 的解析式,再确定函数()f x 的定义域,利用导数法,即可求出函数()f x 的单调区间；(2)求()f x ',求出()0f x '=的根,然后对a 分类讨论,结合0x =是()f x 的极大值点,即可求出a 的取值范围.【试题解答】(1)当1a =时,32()1f x x x +=+,函数()f x 的定义域为R ,2()32f x x x '=+,令()0f x '>,解得23x <-或0x >；令()0f x '<,解得203x -<<,所以函数()f x 的单调增区间为2(,)3-∞-和(0,)+∞,单调减区间为2(,0)3-.(2)由已知得2()32(2)f x x a x '=--,令()0f x '=得0x =或243a x -=, 当2a >时,2403a x -=>,此时0x =是()f x 的极大值点,故当2a >,符合题意.当2a =时,2()30f x x '=≥,此时()f x 在R 上单调递增,函数()f x 无极值点,故2a =不符合题意； 当2a <时,2403a x -=<,x24(,)3a --∞ 243a - 24(0)3a -， 0 (0,)+∞()f x '＋ 0─ 0＋ ()f x↗极大值 ↘极小值↗此时,0x =是()f x 的极小值点,不符合题意. 综上,a 的取值范围为(2,)+∞本题主要考查利用导数求函数的单调区间,已知极值点求参数范围,属于中档题.需要注意的是:()0f x '=的解要是极大值点,导函数在该点处值需由正变负.18.如图1,在六边形ABCDEF 中,45//3AB AF DC DE BC EF BC EF ＝＝，＝＝，，＝＝.如图2,将ABF DCE ，分别沿着BF CE ，折起,使点A ,点D 恰好重合于点M .（1)求证:平面MBF ⊥平面BCEF ；（2)若2BF ＝,求直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析 (2) 31016【试题分析】（1)推导出BM BC ⊥,FM FE ⊥,由//BC FE ,得BC MF ⊥,从而BC ⊥平面BMF ,由此能证明平面MBF ⊥平面BCEF .（2)取BF 中点O ,连结MO ,则MO BF ⊥,从而MO ⊥平面BCEF ,且15MO =取CE中点N ,连结MN ,由5MC ME ==,则MN CE ⊥,且26MN =,设B 到平面MCE 的距离为h ,由M BCE B MCE V V --=,得310h =,由此能求出直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值. 【试题解答】解:（1)证明:由已知45AB AF DC DE ＝＝，＝＝,得453BM CM BC ＝，＝，＝, BM BC ∴⊥,同理,FM FE ⊥,又//BC FE BC MF ∴⊥，，BMMF M =,BM ⊂平面BMF ,MF ⊂平面BMF ,BC ∴⊥平面BMF ,BC ⊂平面BCEF ∴，平面MBF ⊥平面BCEF ；（2)解:取BF 中点O ,连结MO , MB MF =,则MO BF ⊥，又平面BMF ⊥平面BCEF 于BF ,则MO ⊥平面BCEF ,且15MO =, 又取CE 中点N ,连结MN ,由5MC ME ==, 则MN CE ⊥,且26MN ＝, 设B 到平面MCE 的距离为h ,由M BCE B MCE V V --＝,得1111153********h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯, 解得3104h =, 设直线BM 与平面CEM 所成角为θ,则直线BM 与平面CEM 所成角的正弦值310sin h BM θ==.本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.图1是甲套设备的样本的频率分布直方图,表1是乙套设备的样本的频数分布表.图1:甲套设备的样本的频率分布直方图表1:乙套设备的样本的频数分布表质量指标数[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数16191851（1)根据上述所得统计数据,计算产品合格率,并对两套设备的优劣进行比较；（2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.甲套设备乙套设备合计合格不合格附:22(), ()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++【参考答案】(1)见解析；(2)没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.【试题分析】(1)根据图1和表1中的数据,分别求出甲、乙的合格率,再比较合格率的大小及各区间产品的分布情况即可；(2)根据图1和表1中的数据,可求得甲、乙的合格和不合格的产品数量,即可完成列联表,将表中的数据代入2K 的公式,求出2K ,查对临界值作出判断,即可得到结论. 【试题解答】(1)根据图1和表1可知:甲套设备生产的合格品概率约为4350, 乙套设备生产的合格品的概率约为4850； 乙设备生产的产品的质量指标主要集中在[105,115)之间, 甲套设备生产的产品的质量指标与乙设备相比较为分散；因此,可以认为乙套设备生产的合格品的概率更高,且质量指标更稳定,从而乙套设备优于甲套设备.(2)根据表1和图1可得列联表:提出假设0H :该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择无关. 根据联表中的数据可以求得22100(432487) 3.053 3.8419195050K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,当0H 成立时,2 3.053K ≥的概率大于5%,故没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. 本题主要考查了统计和独立性检验的相关知识,考查数据处理能力,属于中档题.20.已知函数()()2203xxf x f e e x '+=﹣. （1)求()f x 的解析式；（2)设()22g x x axa +＝﹣,若对任意()()2x f x g x ≥≥，,求a 的取值范围. 【参考答案】(1) ()23xf x e x += (2) 33a e ≤【试题分析】（1)求导,求出(0)f ',代入即可；（2)2x =,显然成立,2x >,分离参数,构造()h x ,求出()h x 的最小值,即可求出a 的范围. 【试题解答】解:（1)2()2(0)3x x f x f e e x ='-+.()2(0)32x f x f e x ''∴=-+,由(0)2(0)30f f ''=-+,得(0)3f '=, 所以2()3x f x e x =+,（2)若对任意2x ,()()f x g x ,即32x e ax a >-,当2x =时,a R ∈；当2x >时,参变分离,32xe a x -恒成立,令3()(2)2xe h x x x =>-,23(3)()(2)x e x h x x -'=-,当(2,3)x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增； 所以3()(3)3min h x h e ==, 故33a e . 综上,33a e .考查求导法求解析式,和分离参数求函数的最值,属于中档题.21.2019年4月,河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案,决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施"312++"高考模式.所谓"312++",即"3"是指考生必选语文、数学、外语这三科；"1"是指考生在物理、历史两科中任选一科；"2"是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.（1)若某考生按照"312++"模式随机选科,求选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学"的概率.（2)新冠疫情期间,为积极应对"312++"新高考改革,某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果,从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试,并给前400名颁发荣誉证书,假设该次网络测试成绩服从正态分布,且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分,考试后不久了解到如下情况:"此次测试平均成绩为171分,351分以上共有57人",请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书,并说明理由； ②考生丙得知他的实际成绩为430分,而考生乙告诉考生丙:"这次测试平均成绩为201分,351分以上共有57人",请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪,并说明理由. 附:()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=； ()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.【参考答案】（1)14；（2)①能,理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假,理由见解析【试题分析】（1)已经选出五科,再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ,计算出从物理、历史里选一门,生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数,即可得其概率. （2)①由题意可知,171μ= ,而570.02282500= ,结合3σ原则可求得σ的值,结合获奖概率,并求得()P X μσ≥+,比较后可求得获奖的最低成绩,即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书.②假设乙所说为真,求得()2P X μσ≥+,进而求得σ的值,从而确定3μσ+的值,即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件,而丙已经有这个成绩,因而可判断乙所说为假.【试题解答】解:（1)设事件A :选出的六科中含有"语文,数学,外语,物理,化学",则()13122414C P A C C ==⋅（2)设此次网络测试的成绩记为X ,则()2,X N μσ①由题知171μ=,因为570.02282500=,且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-==所以351171902σ-==,而4000.162500=, 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分 而270261>,所以甲同学能获得荣誉证书 ②假设乙所说的为真,则201μ=()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===,而570.2282500=,所以351201752σ-==,从而3201375426430μσ+=+⨯=<,而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===<答案示例1:可以认为乙同学信息为假,理由如下:事件"3X μσ≥+"为小概率事件,即"丙同学的成绩为430分"是小概率事件,可认为其不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙同学信息为假； 答案示例2:无法辨别乙同学信息真假,理由如下:事件"3X μσ≥+"即"丙同学的成绩为430分"发生的概率虽然很小,一般不容易发生,但是还是有可能发生的,所以无法辨别乙同学信息真假.本题考查了古典概型概率求法,由组合数求法求概率,结合3σ原则求概率值, 并由3σ原则判断事件真伪,综合性强,属于难题.22.已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线与C 交于A ,B两点.△ABF 2的周长为. （1)求椭圆C 的标准方程:（2)设点P 为椭圆C 下顶点,直线PA ,PB 与y ＝2分别交于点M ,N ,当|MN |最小时,求直线AB 的方程.【参考答案】（1)2212x y +=（2)x ﹣y +1＝0【试题分析】（1)根据三角形2ABF 的周长求得a ,结合椭圆离心率和222b a c =-求得,b c 的值,由此求得椭圆C 的标准方程.（2)设出直线AB 的方程,联立直线AB 的方程和椭圆的方程,写出韦达定理.通过直线PA 的方程求得M x ,通过直线PB 的方程求得N x ,由此求得MN 的表达式并进行化简,对m 进行分类讨论,由此求得MN 的最小值以及此时直线AB 的方程.【试题解答】（1)由题意可得:4a＝2c a =, ∴a =c ＝1,∴b 2＝a 2﹣c 2＝1, ∴椭圆C 的方程为:2212x y +=； （2)点P （0,﹣1),F 1（﹣1,0),设A （x 1,y 1),B （x 2,y 2),显然直线AB 与x 轴不重合,设直线AB 的方程为:x ＝my ﹣1,则可知m ≠﹣1,联立方程22122x my x y =-⎧⎨+=⎩,消去y 得:（m 2+2)y 2﹣2my ﹣1＝0, ∴12222m y y m +=+,12212y y m =-+, 直线PA 的方程为:（y 1+1)x ﹣x 1y ﹣x 1＝0,可得1131M x x y =+, 同理2231N x x y =+, |MN |＝|12123311x x y y -++|＝3|()()()()()()122112111111my y my y y y -+--+++|＝312121211m y y y y y y +-⨯=+++221312122m m m m +⨯=-++++,当m ＝0时,|MN |＝,当m ≠0时,|MN |＝=由于m 1m +∈（﹣∞,﹣2)∪[2,+∞),则()11112211m m ∞⎡⎫∈⋃+⎪⎢⎣⎭++，，,此时|MN |的最小值为6＜在m＝1处取得,综上所述,当|MN|最小时,直线AB的方程为:x＝y﹣1,即x﹣y+1＝0.本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中线段长度的最值的求法,考查运算求解能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.。
重庆市第八中学2018_2019学年高二数学下学期第二次月考试题文(含解析)
重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,0,2,3A =-，集合{}2|20B x x x =+≤，则AB =（ ）A. {}2,3B. {}2-C. ()2,0-D. {}2,0-【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义写出A ∩B 即可． 【详解】集合A ＝{﹣2，0，2，3}，B ＝{x |x 2+2x ≤0}＝{x |﹣2≤x ≤0}，则A ∩B ＝{-2，0}． 故选：D ．【点睛】本题考查了集合的化简与交集的运算问题，是基础题目．2.设命题:p x R *∀∈，1ln x x -≥，则p ⌝为（ ）A. *0x R ∃∈，001ln x x -≥ B. *0x R ∃∉，001ln x x -≥C. *0x R ∃∈，001ln x x -<D. *0x R ∀∈，1ln x x -<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【详解】∵全称命题的否定，是特称命题，只需改量词，否定结论．∴￢p ：*0x R ∃∈，001ln x x -<.故选：C ．【点睛】本题主要考查含有量词的全称命题的否定，比较基础．3.在区间[]1,10上任取一个实数x ，则28x ≤的概率为（ ） A.39B.29C.15D.13【答案】B 【解析】 【分析】本题属于几何概型，利用变量对应的区间长度的比求概率即可．【详解】由已知区间[1，10]上任取一个实数x ，对应集合的区间长度为9， 而满足28x ≤的x ≤3，对应区间长度为2，所以所求概率是29； 故选：B ．【点睛】本题考查了一个变量的几何概型的概率计算；关键是求出变量对应区间长度，利用区间长度的比求概率．4.已知点()00,P x y 在抛物线2:8C y x =上，且点P 到C 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义将点P 到C 的准线的距离转化为P 到焦点F 的距离，再利用|PF |＝|y 0|，即可得到x 0．【详解】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 由抛物线的定义可得点P 到C 的准线的距离即为P 到C 的焦点F 的距离， 由题意可得|PF |＝|y 0|， 则PF ⊥x 轴，可得x 0＝2， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，考查分析问题的能力，属于基础题．5.若命题2:,()0p x R f x x x ∀∈=+≥；命题32:,20q x R x x ∃∈+-=，则下列为真命题的是（ ） A. p q ⌝∧ B. p q ∧⌝ C. p q ∧ D. p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】 【分析】通过举特例判断出命题p ，q 的真假，然后根据真值表即可找到正确选项． 【详解】对于命题p ：当12x =-时，111()0242f -=-<，故p 为假命题； 对于命题q ：当x ＝1时3220x x +-=成立， ∴命题q 是真命题；∴p ∧q 为假命题，￢p 为真命题，（￢p ）∧q 是真命题． 故选：A ．【点睛】本题考查真命题、假命题的概念，以及真值表的应用，关键是判断出命题p ，q 的真假．6.函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据f （x ）的奇偶性及特殊函数值判断．【详解】∵f （﹣x ）＝-f （x ），故f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除A 、B ； 又当x =1时，f （1）＝0，当x ＞1时，f （x ）＞0，∴排除C ， 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了函数奇偶性的判断及应用，属于基础题．7.运行如图所示的程序框图，若输出的n 的值为71，则判断框中可以填（ ）A. 4?i >B. 5?i >C. 6?i >D. 7?i >【答案】A 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得n ＝10，i=1，不满足n 是3的倍数，n=21,i=2, 不满足判断框内的条件，执行循环体，满足n 是3的倍数，n ＝17，i=3，不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足n 是3的倍数，n=35,i=4, 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足n 是3的倍数，n ＝71，i=5，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出n 的值为71， 观察各个选项可得判断框内的条件是i>4？故选：A ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.过原点的直线l 被圆22(2)4x y +-=所截得的弦长为l 的倾斜角为（ ） A.6π B.6π或56π C.3πD.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：当直线l斜率不存在时，可得直线l 为y 轴，不满足被圆C 截得的弦长为当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，表示出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式、垂径定理及勾股定理得出d 与r 的关系式，得到关于k 的方程，得出k 的值，由直线倾斜角与斜率的关系可得直线l 的倾斜角．【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然直线l 为y 轴时，此时截得的弦长为4，不满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，又直线l 过原点， ∴直线l 的方程为y ＝kx ，即kx ﹣y ＝0， ∴圆心到直线的距离d =，又r 2=，＝2d 2=1， ∴241k=+1， 整理得： k 2＝3， 解得：k =，设此时直线l 的倾斜角为α，则有tan α＝k =， ∴α＝60°或120°，综上，l 的倾斜角大小为60°或120°． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及直线倾斜角与斜率的关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.9.某几何体三视图如图所示，则在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由三视图知，该几何体是高为4的四棱锥，观察并计算出最小面的面积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的高为4的四棱锥，由三视图的数据可知：ABE ∆的面积为12⨯1×4＝2，ADE ∆的面积为12⨯4×4＝8，BCE ∆的底边BC=AB ，但高大于ABE ∆的高EA ，∴BCES>ABES，又底面梯形面积为ABD BCD SS+>12ABDS=⨯1×4＝2＝ABES ，∴面积最小的面为ABE ∆，其面积为12⨯1×4＝2， 故选：B ．【点睛】本题考查了几何体三视图的还原问题，也考查了空间想象能力，是基础题目．10.今年六一儿童节，阿曾和爸爸，妈妈，妹妹小丽来到游乐园玩.一家四口走到一个抽奖台前各抽一次奖，抽奖前，爸爸，妈妈，阿曾，小丽对抽奖台结果进行了预测，预测结果如下：妈妈说：“小丽能中奖”；爸爸说：“我或妈妈能中奖”；阿曾说：“我或妈妈能中奖”；小丽说：“爸爸不能中奖”.抽奖揭晓后，一家四口只有一位家庭成员猜中，且只有一位家庭成员的预测结果是正确的，则中奖的是（）A. 妈妈B. 爸爸C. 阿曾D. 小丽【答案】B【解析】【分析】作出四人的预测表，然后分析四个人的话，能够求出结果．【详解】由四人的预测可得下表：1）若爸爸中奖，仅有爸爸预测正确，符合题意2）若妈妈中奖，爸爸、阿曾、小丽预测均正确，不符合题意3）若阿曾中奖，阿曾、小丽预测均正确，不符合题意4）若小丽中奖，妈妈、小丽预测均正确，不符合题意故只有当爸爸中奖时，仅有爸爸一人预测正确． 故选：B ．【点睛】本题考查学生的逻辑推理能力，是中档题．11.函数()f x 的定义域为R 的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+>恒成立，若3(3)a f =，(1)b f =--，2(2)c f =，则（ ）A. a c b >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数g （x ）＝xf （x ），依题意得g （x ）是偶函数，且()g x ' >0恒成立，结合偶函数的对称性得出g （x ）在（0，+∞）上递减，即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】设g （x ）＝xf （x ），依题意得g （x ）是偶函数， 当x ∈（﹣∞，0）时，()()f x xf x '+>0，即()g x ' >0恒成立，故g （x ）在x ∈（﹣∞，0）单调递增， 则g （x ）（0，+∞）上递减，又a ＝3f （3）＝g （3），b ＝-f （-1）＝g （-1）＝g （1），c ＝2f （2）＝g （2）， 故a <c <b ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若22PA PF =，则C 的离心率为（ ）B.12C. 1D. 1+【答案】A【解析】 【分析】由题设条件推导出|F 2P |＝b ，|OP |=a ，可得P 的坐标，由点点距得到|PA |，计算求出离心率e ．【详解】由题设知双曲线C ：2222x y a b-=1的一条渐近线方程为l ：y b a =x ，∵右焦点F （c ，0），∴F 2P ⊥l ， ∴|F 2P|0bc c-===b ，∴|OP |=a ，∴P 2 ,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，∴|PA|222b F P ===，平方化简得222222ac 4a a b b c （）++=，又222c a b =+,∴()()222a c c a 4a c a+=--，∴222a c 4c a c a a+-=-，即2e 141e 1e +=--,又0<e<1，解得e =1e >，故得e =， 故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，考查了点点距公式，考查了运算能力，属于中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知i 为虚数单位，则复数31i i-=___．【答案】12i- 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘方与除法运算化简得答案．【详解】z ()()()31111112i i i i ii i i i -+--====--+-， 故答案为：12i -． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.函数()2xf x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程． 【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1， 又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0， 即x- y +1=0． 故答案为：x- y +1=0．【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．15.变量x 与变量y 之间的一组数据为：y 与x 具有线性相关关系，且其回归直线方程为ˆ0.7 1.05y x =+，则m 的值为_____．【答案】3 【解析】 【分析】先由数据计算出x ，代入回归直线方程可得y ，即可得到结论．【详解】∵回归直线方程为ˆy=0.7x +1.05， 又∵23452x +++==3.5，且回归直线过样本中心点（x y ，），将x =3.5代入ˆy=0.7x +1.05，计算得到y =3.5， ∴m ＝4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5＝3． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查回归方程的应用，根据回归方程过样本中心是解决本题的关键．比较基础．16.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB BC CC ==，E 是AB 的中点，则异面直线DE 与1D C 所成角的余弦值为_____．【解析】 【分析】过E 作EF 11A B D C ，则DEF ∠即为异面直线DE 与1D C 所成角或其补角，在三角形DEF 中，计算可得cos DEF ∠.【详解】取1A A 的中点F ，连接EF ，则EF 11A B D C ，∴DEF ∠即为异面直线DE 与1D C 所成角或其补角，不妨设1222AB BC CC ===，则在△DEF中，DF EF==,∴在等腰三角形DEF中，可得cos DEFDE∠===.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的定义，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在直角坐标系xOy中，直线m过原点，倾斜角为23π，圆C的圆心为(，半径为2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线m和圆C的极坐标方程；（2）已知点A为极轴与圆C的交点（异于极点），点B为直线与圆C在第二象限的交点，求AOB∆的面积.【答案】（1）直线m的极坐标方程为2()3Rπθρ=∈；圆C的极坐标方程为22cos sin0ρρθθ--=.（2）AOBS∆=【解析】【分析】（1）由题意直接可得直线m的极坐标方程．再写出圆在直角坐标系下的标准方程，展开化简后，利用互化公式即可得出极坐标方程．（2）联立极坐标方程，可得A ，B 的极径，由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）由题意直线m 过原点，倾斜角为23π，∴直线m 的极坐标方程为2()3R πθρ=∈；又圆C 的直角坐标方程为221)4x y -+=（（,化简可得2220x y x +--=,由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩可得：圆C 的极坐标方程为22cos sin 0ρρθθ--=. （2）令极轴的极坐标方程为：0θ=，代入圆C 的极坐标方程可得，220ρρ-=， 解得2A ρ=；将23πθ=代入圆C 的极坐标方程可得，230ρρρ+-=，解得2B ρ=所以AOB ∆的面积为12sin23AOB A B S πρρ∆=⋅⋅=【点睛】本题考查了过极点的直线的极坐标方程、圆的极坐标方程的形式及应用，考查了三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数()|1||3|f x x x =++-. （1）求不等式()4f x x <的解集；（2）若关于x 的方程()f x m =存在实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()1,+∞（2）(,4][4,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； （2）求出f （x ）的最小值，解关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式等价于1134x x x x ≤-⎧⎨---+<⎩或13134x x x x -<<⎧⎨+-+<⎩或3134x x x x ≥⎧⎨++-<⎩解得1x >，故原不等式的解集为()1,+∞.（2）因为()|1||3||1(3)|4f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()1(3)4x x +-≤，即13x -≤≤时，取等号， 所以min ()4f x =，所以()f x 的值域为[)4,+∞， 由题意可得[)4,m ∈+∞，解得4m ≤-或4m ≥， 所以m 的取值范围为(,4][4,)-∞-+∞.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题及方程的有解问题的转化，考查分类讨论思想，是一道中档题．19.如图，在等腰梯形ABCD 中，M 为AB 的中点，//AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，现在沿AC 将ABC ∆折起使点B 到点P 处，得到三棱锥P ACD -，且平面PAC ⊥平面ACD .（1）棱AD 上是否存在一点N ，使得//PD 平面MNC ？请说明你的结论； （2）求证：CD ⊥平面PAC ； （3）求点A 到平面PCD 的距离.【答案】（1）见解析；（2）见证明；（3）d =【解析】 【分析】（1）取N 为AD 的中点，连接MN ，CN ，则可得//MN PD ，由线面平行的判定定理可得结论.（2）先计算可得AC ⊥CD ，再利用平面与平面垂直的性质定理，推出CD ⊥平面PAC .； （3）利用等体积法，转化所求即可．【详解】（1）如图，取N 为AD 的中点，连接MN ，CN ， 由,M N 均为,PA AD 的中点，则MN 为APD ∆的中位线，所以//MN PD ，又MN ⊆面MNC ，PD ⊄面MNC ，所以//PD 平面MNC（2）在等腰梯形ABCD 中，由//AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =， 易得3D π∠=，AC =AC CD ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ACD ，CD ⊂面ACD ，面PAC 面ACD AC =，所以CD ⊥平面PAC . （3）由题意得1111322P ACD V -=⨯⨯=，又CD ⊥平面PAC ， 所以CD PC ⊥，所以111122PCD S ∆=⨯⨯=， 设点A 到平面PCD 的距离为d ，由A PCD P ACD V V --=得d =. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查了几何体的体积的求法，考查计算能力．20.“微信运动”已经成为当下热门的健身方式，韩梅梅的微信朋友圈内有800为好友参与了“微信运动”.他随机抽取了50为微信好友（男、女各25人），统计其在某一天的走路步数.其中女性好友的走路步数数据记录如下：12860 8320 10231 6734 7323 8430 3200 4543 11123 9860 8753 6454 7292 4850 10222 9734 7944 9117 6421 2980 1123 1786 2436 3876 4326男性好友走路步数情况可以分为五个类别A （0-2000步）（说明：“0-2000”表示大于等于0，小于等于2000，下同），B （2001-5000）、C （5001-8000）、D （8001-10000步）、E （10001步及以上），且,,A C E 三中类型的人数比例为1:2:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图.若某人一天的走路步数超过8000步则被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”.（1）若以韩梅梅抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计韩梅梅的微信好友圈里参与“微信运动”的800名好友中，每天走路步数在5001-10000步的人数；（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？（3）若从韩梅梅当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查，然后再从这5位好友中选取2人进行访谈，求至少有一位女性好友访谈的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）416人 （2）见解析；（3）710P = 【解析】 【分析】（1）先由柱形图及比例计算得出每天走路步数在5001-10000步的男性人数，再由女性好友的走路步数数据记录得出女性人数，由频率即可得出结论；（2）根据所给数据，得出列联表，计算K 2，与临界值比较，即可得出结论． （3）根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（1）在样本数据中，男性好友A 类别设有x 人， 由题意可得3210325x x x ++++=，2x =，每天走路步数在5001-10000步的男性人数为4+10=14人，女性人数为12人， 所以估计值为141280041650+⨯=人； （2）根据题意，填写22⨯列联表如下：根据表中数据，计算22()50(1615109)2.8853.841()()()()26242525n ad bc a b c d a c b K d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关； （3）在步数大于10000的学生中分层选取5为学生， 男生有3人，记为A 、B 、C ，女生2人，记为d 、e ；从这5人中选取2人，基本事件是AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共10种， 这2人中至少有一位女生的事件是Ad 、Ae 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共7种，故所求的概率为710P =. 【点睛】本题考查了独立性检验知识的运用，考查列举法求古典概型的概率问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为31,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C的上顶点为(B . （1）求椭圆C 的离心率； （2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于,M N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点. 【答案】（1）12e =（2）见证明 【解析】 【分析】（1）设点P ，Q 的坐标，代入椭圆C 的方程，利用点差法及中点坐标公式可得a ，b 的关系，可得e ；（2）联立直线l '方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得M ，N 的横坐标的和与积，由直线AM 与AN 的斜率之和为2可得m 与k 的关系，再由直线系方程得答案．【详解】（1）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，由于点A 为线段PQ 的中点所以1212232x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，又22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差212121212121x x y y b k a y y x x +--⋅===+-， 所以2234b a =，即12e =；（2）由（1）结合上顶点B ，椭圆的方程为22143x y +=，设点()()3344,,,M x y N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，则韦达定理得， 据题意可得342234283441234km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩343434341122(2(BM BN x xk k k m k m x x x x ⎛⎫+=+=+=+-+=+ ⎪⎝⎭代入韦达定理得2822(412km k m m --==-，化简得m =所以直线l '为(y kx k x =+=+，过定点(， 综上，直线l '过定点(.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了点差法的技巧，是中档题22.已知直线21()12xf x e x ax =--+.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在(,0)-∞单减，在(0,)+∞单增.（2）[1,)-+∞ 【解析】 【分析】（1）求出f （x ）的导数，得到f ′（x ），结合(0)0f '=可解得()0f x '<与()0f x '>的范围，即可求出函数的单调区间．（2）通过讨论a 的范围，得到导函数的正负，进而研究函数f （x ）的单调性，求得不同情况下的函数f （x ）的最小值，解出满足min ()0f x ≥的a 的范围即可. 【详解】（1）当1a =时，21()12xf x e x x =--+，所以()1x f x e x '=-+， 而(0)0f '=，且()f x '在R 单调递增，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞单减，在(0,)+∞单增.（2）因为()1xf x e ax '=+-，()xf x e a ''=+，而当[0,)x ∈+∞时，()1xf x e a a '=+≥+. ①当10a +≥，即1a ≥-时，()10xf x e a a '=+≥+≥，所以()f x '在[0,)x ∈+∞单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=，故()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，符合题意，所以1a ≥-符合题意.②当10a +<，即1a <-时，()f x '在[0,)x ∈+∞单调递增，所以(0)10f a '=+<，取ln(1)0x a =->，则(ln(1))10f a '-=>，所以存在唯一0(0,ln(1))x a ∈-，使得()00fx ''=，所以当()00,x x ∈时，()0f x ''<，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ''>， 进而在()00,x 单减，在()0,x +∞单增.当()00,x x ∈时，()(0)0f x f ''<=，因此()f x 在()00,x 上单减，所以()(0)0f x f <=.因而与题目要求在()00,x x ∈，()0f x ≥恒成立矛盾，此类情况不成立，舍去.综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查了恒成立问题的转化，考查分类讨论思想与分析解决问题的能力，是一道中档题．。
2018-2019学年重庆市第八中学校高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
量关系为：第一次加酒﹣1+（2×一遇店和朋友后剩的酒量﹣1）+（2×二遇店和朋友后剩的
酒量﹣1）=0，把相关数值代入即可求解． 【详解】
7
由题意，解方程：2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1=0，解得 x= ，
8
第 4 页 共 19 页
故选 C． 【点睛】 考查用一元一次方程解决古代数学问题，得到酒的数量为 0 的等量关系是解决本题 的关键，难点是理解题意． 9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
2018-2019 学年重庆市第八中学校高二上学期期末数学（理） 试题
一、单选题
1．设命题 P : n N , n2 2n ，则 P 为（ ）
A． n N , n2 2n
B． n N , n2 2n
C． n N , n2 2n
D． n N , n2 2n
【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命
B． yˆ 1.23x 0.08
C． yˆ 1.23x 0.8 D． yˆ 1.23x 0.08
【答案】D
【解析】由条件知， x 4 ， y 5 ，设回归直线方程为 yˆ 1.23x a ，则
a y 1.23x 0.08 .选 D. 6．（2015 秋•淄博校级期末）已知 f′（x）是函数 f（x）的导数，y=f′（x）的图象如图 所示，则 y=f（x）的图象最有可能是图中（ ）
B．若 a
b
，
a
，b
/
/
，则
或
/
/
，所以
B
错；
C．若 a ，则直线 a 垂直平面 内的任意直线，若 b / / 时， b 平行于 平面内的
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷(理科)含答案
− f (1)
1
B． e f (e)
− f (1)
1
C． e f (e)
− f (1)
1
D． e f (e)
− f (1)
1
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样
本，已知学号为 3 号、16 号、42 号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为 ．
C．若 m / / ， n / / ， m ， n ，则 / / D．若 m / / ， m ， = n ，
则 m / /n
5．（5 分）九江气象台统计，5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 4 ，刮风的概率为 2 ，既刮风
15
15
又下雨的概率为 1 ，设 A 为下雨， B 为刮风，那么 P(A | B) = (
)
10
A． 1 2
B． 3 4
C． 2 5
D． 3 8
6．（5 分） (1 + x − x2 )(x + 1 )6 展开式中 x2 项的系数为 (
)
2x
A． 5 2
B． 15 4
C． 5 4
D． 25 4
7．（5 分）我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和
历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专
B． x0 R ， x02 − x0 0
C． x R ， x2 − x 0
D． x R ， x2 − x 0
2．（5 分）抛物线 y2 = 4x 上的点 M (4, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 ( )
2019学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数的虚部为（）A． B．___________________________________ C．D．2. 最小二乘法的原理是使得（）最小A． B．C． D．3. 若，则（）(已知,)A． B． C．D．4. 下列命题中真命题的个数为（）①两个变量的相关系数越大，则变量的相关性越强；②命题的否定为；③从个男生个女生中随机抽取个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为种.A． B． C．D．5. 已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A．或___________________________________ B．________________________ C．____________________ D．6. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关.参考数据：A．____________________________ B．____________________________ C．___________________________________ D．7. 现有种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（）A．___________________________________ B．___________________________________ C．___________________________________ D．8. 已知函数 ,则过点可以作出（）条图象的切线A． B． C．D．9. 拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次点数均为奇数｝，｛两次点数之和为｝，则（）A． B． C．___________________________________ D．10. 有名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：号或号选手得第一名；观众乙猜测：号选手不可能得第一名；观众丙猜测：号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有人猜对比赛结果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙___________________________________ D．丁11. 如图，网络纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A． B． C．___________________________________ D．12. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是（）A．___________________________________ B． C．D．二、填空题13. 已知随机变量，则 _________ ．14. 展开式中的常数项为 _________ ．15. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为_________ ．16. 将正整数排成如图三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺序为第一群，第二群，… ,第群，第群恰好有个数，则第群中个数的和为_________ ．三、解答题17. 已知正项数列的前项和为，且 .（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明： .18. 一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间与零件数具有相关关系，求关于的回归直线方程；（3）若需加工个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.( ， )19. 如图，在四棱锥中，面，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角的正弦值为，求的长.20. 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，求：（1）椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.21. 已知函数 .（1）时，求的单调区间和极值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.22. 过外一点作的两条割线，其中过圆心，再过作的切线，切点为，已知 .（1）求切线的长；（2）求 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年重庆市第八中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1}A =-，{|ln 0}B x x =≥，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{1}C ．{0,1}D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】首先求出集合B ，然后利用集合的交运算即可求解. 【详解】由{}{|ln 0}1B x x x x =≥=≥，{1,0,1}A =-， 所以{}1A B ⋂=， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了对数函数的定义域，属于基础题.2．若()()12m m i z =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．(2,1)-C ．(1,)-+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】利用复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意可得1020m m +>⎧⎨-<⎩，解得2m >，所以实数m 的取值范围是(2,)+∞， 故选：D 【点睛】本题考查了复数的几何意义，属于基础题.3．已知命题p ：对0x ∀≥，有1x e ≥，则p ⌝为（ ） A ．对0x ∀≥，有1x e <B ．对0x ∀<，有1x e <C ．00x ∃≥，使得0e 1x <D ．00x ∃<，使得0e 1x <【答案】C【解析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定. 【详解】根据全称命题p ：对0x ∀≥，有1x e ≥的否定为特称命题， 即：p ⌝为00x ∃≥，使得0e 1x <. 故选：C 【点睛】本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题.4．若点()3,6P 在双曲线22221x y a b-=的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】首先求出双曲线的渐近线，由题意可求出ba的值，再根据222c a b =+即可求出c e a=【详解】由双曲线22221x y a b-=，故双曲线的渐近线为b y x a =±，又因为点()3,6P 在渐近线上，所以2ba=，即2b a =， Q 222c a b =+，则225c a =，∴ce a==， 故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法、以及222c a b =+、离心率，属于基础题.5．设0.130.1log 2,3,log 2a b c ===，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．a b c >>【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值0,1，即可求解. 【详解】由3330log 1log log 213a =<=<=，0.10331b =>=，0.10.1log 2log 10c =<= 所以b a c >>. 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，解题可采用“中间值”比较出大小，属于基础题.6．设函数()f x 是其定义域内的可导函数，其函数图象如图所示，则其导函数()f x '的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的单调性和导函数符号之间的关系即可判断. 【详解】由函数()f x 的图像可得，当0x <时，函数()f x 单调递减， 所以导函数()0f x '<，故排除B ；当0x >时，函数()f x 先单调递增后单调递减再单调递增，所以导函数()f x ' 先大于0再小于0再大于0，只有C 满足； 故选：C 【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调性和导函数符号之间的关系以及数形结合的思想，属于基础题.7．已知圆22:4M x y +=与圆22:(3)(4)9N x y -++=，则两圆（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】C【解析】求出两圆的圆心与半径，根据圆心距与半径和的大小关系可得答案. 【详解】圆22:4M x y +=，圆心()0,0M ，半径12r =圆22:(3)(4)9N x y -++=，圆心()3,4N ，半径23r =，所以()()2212304055MN r r =-+-==+=所以两圆外切. 故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，同时考查了由圆的标准方程求圆心与半径，属于基础题.8．设01a <<，则“log 1b a >”是“a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用已知可得01b <<，再由对数函数的单调性即可判断出充分性；当1b >时，可得对数值小于0，从而可得必要性不满足. 【详解】由01a <<，且“log 1b a >”，可得01b <<，从而由log 1log b b a b >=，可得a b <，即满足充分性；当01a <<，且a b <，当1b >时，log 0b a <，即不满足必要性； 故01a << ，“log 1b a >”是“a b <”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，同时考查了对数函数的性质，属于基础题.9．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是边长为4的正方形，则该几何体的体积为（ ）A ．323πB ．12πC ．403πD ．15π【答案】A【解析】根据三视图分析几何体的结构特征，几何体为：圆柱中挖去两个圆锥，然后由几何体的结构特征利用相应的体积公式即可求解. 【详解】由三视图可知，几何体的结构特征： 底面半径为2，高为4的圆柱挖去分别以圆柱的上下底面为底面、以圆柱的高为圆锥的高的和的几何体， 设上圆锥的高为1h ，下圆锥的高为2h ，且124h h +=()221213224233V h h πππ=⨯⨯-⨯⨯+=，故选：A 【点睛】本题考查了几何体的三视图以及圆柱、圆锥的体积公式，解题的关键是分析出几何体的结构特征，属于基础题.10．若函数,0()(2),0xx f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎝⎭⎪-+<⎩，则31log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A．2-B．3-C．2D．3【答案】B【解析】由312log 06-<<，代入相应的解析式，可得3311log log 266f f⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进一步代入解析式即可求解. 【详解】函数,0()3(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎪≥ =⎨⎝⎭⎪-+<⎩，因为312log 06-<<，所以31log 263311log log 266f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()331log 2611log 26133-⨯=-⨯=-⨯⎝⎭⎝⎭()311122log 61113363--⎡⎤⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查了求分段函数函数值，同是考查了指数、对数的运算性质，属于基础题.11．从区间[1,1]-随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ⋯⋯，构成n 个数对()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ） A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn【答案】C【解析】首先分析题意作出图，可得圆周率的近似值为圆的面积比正方形的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，结合正方形与圆的面积的计算公式即可求出π的近似值. 【详解】由题意得()(),1,2,3,,i i x y i n =L ，且11i x -≤≤，11i y -≤≤ 如图：记两数的平方和小于1的数为(){}22,1iiii A x y xy =+≤，在如图所示的阴影中，总区域记为(){},11,11iiiix y x y Ω=-≤≤-≤≤，为图中正方形根据几何概型概率计算公式知4A S mS n πΩ==，可得4m nπ=， 故选：C 【点睛】本题考查的是几何概型，解答本题的关键在于求出圆的面积和正方形的面积，属于基础题.12．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n【答案】D【解析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】Q 函数()()f x x R ∈满足()()42f x x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>L121224n n x x x x -∴+=+==⨯=L 121212n n y y y y -+=+==⨯=L令121nin i xx x x ==++∑L ，则111ni n n i x x x x -==++∑L ，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑L ，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑L ，则111ni n n i y y y y -==++∑L ，()()()1211122ni n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑L ，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.二、填空题13．曲线(31)x y x e =-+（其中e 为自然对数的底数）在点(0,1)处的切线方程为________.【答案】210x y +-=【解析】首先求出()0f '，然后利用点斜式方程即可求解. 【详解】点(0,1)在曲线上，令()(31)xy f x x e ==-+，所以()()()33132x x xy f x e x e e x ''==-+-+=--，所以()02f '=-，故在点(0,1)处的切线方程为()120y x -=--，即210x y +-=. 故答案为：210x y +-= 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、导数的基本运算法则以及基本初等函数的导数，需熟记导数的公式与运算法则，属于基础题.14．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且抛物线24y x x =-与坐标轴的交点都在圆C 上，则圆C 的方程为_________. 【答案】22(2)4x y -+=【解析】首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，从而可求出圆心坐标以及半径，利用圆的标准方程即可求解. 【详解】令240y x x =-=，解得0,4x x ==，Q 圆C 的圆心在坐标轴上，且抛物线24y x x =-与坐标轴的交点都在圆C 上，故圆心为()2,0，2r =，由圆的标准方程可得22(2)4x y -+=. 故答案为：22(2)4x y -+=. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.15．若函数32()1f x x ax x =-++在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】求出函数的导函数()f x '，利用导函数与函数单调性的关系只需在()2,+∞上()0f x '≥即可.【详解】由函数32()1f x x ax x =-++，所以()2321f x x ax '=-+，Q 函数()f x 在()2,+∞上单调递增，则()0f x '≥，即23210x ax -+≥，所以3122x a x≤+， 令()13133222x g x x x x ⎛⎫ ⎪=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,x ∈+∞， 由对勾函数的单调性可知()g x 在()2,+∞单调递增， 故()()1324g x g >=，故134a ≤，即实数a 的取值范围是13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.16．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC，AB AC ==2BC =，PA =则三棱锥P ABC -的外接球半径为__________. 【答案】32【解析】首先利用余弦定理求出cos A ，进而可得sin A ，然后利用正弦定理求出ABC ∆的外接圆半径为r ，最后利用球的半径以及与ABC ∆的外接圆半径为r 的几何关系可得2224PA R r =+，解方程即可求解. 【详解】由余弦定理得2223cos 25AB AC BC A AB BC +-==⋅，所以4sin 5A =，记三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，ABC ∆的外接圆半径为r ，则552sin 24BC r r A ==⇒=，222251136941616164PA R r =+=+==所以32R =. 故答案为：32【点睛】本题考查了多面体的外接球问题、正余弦定理，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数()|21||2|f x x x =---，M 为不等式()1f x <-的解集. （1）求M ；（2）当,a b M ∈且1a b +=时，4a b tab +≥恒成立，求t 的最大值. 【答案】（1）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）9.【解析】（1）去绝对值将函数化为分段函数的形式，解分段函数的不等式即可. （2）采用分离参数法将不等式化为4a bt ab+≤，然后利用基本不等式求出 4a bab+的最小值即可求解. 【详解】（1）11,21()21233,221,2x x f x x x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=---=-<⎨⎪+≥⎪⎪⎩„，当12x <时，则11x --<-，解得0x >，即102x <<当122x <„时，则331x -<-，解得23x <，即1223x ≤<， 当2x ≥时，则11x +<-，解得1x <-，此时无解.综上所述，解得20,3M ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）41414144,()59a b b at a b ab a b a b a b a b +⎛⎫≤=++=++=++≥ ⎪⎝⎭（当且仅当223b a ==时取等），所以t 的最大值为9. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式求最值时，验证等号成立的条件，考查了分类讨论的思想，属于基础题18．已知曲线22:194x y C +=，直线32:2x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点作与直线l 夹角为30°的直线，交于l 点A ，求||PA 的最大值与最小值.【答案】（1）3cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），270x y +-=；（2）最小值为5，最大值为5. 【解析】（1）令cos ,sin 32x yθθ==，进而可求出曲线的参数方程；消去参数t ，整理即可.（2）根据题意可知||PA 是点P 到直线l 的距离的两倍，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式，借助三角函数的性质即可求解. 【详解】 （1）曲线3cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线:270l x y +-= .（2）易知||PA 是点P 到直线l 的距离的两倍，所以：||2|5sin()7|PA θϕ==++，【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的相互转化、点到直线的距离公式、辅助角公式以三角函数的最值，属于基础题.19．直三棱柱1ABC ABC -中，AC CB ⊥，AC =1CC BC ==F 为棱1CC的中点.（1）求证：1AF BA ⊥；（2）点M 在线段AF 上运动，求三棱锥1A MBA -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）83.【解析】（1）连接1A C ，由题意可证出BC AF ⊥，然后证出1AC AF ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可得AF ⊥面1BCA ，从而可证出1AF BA ⊥.（2）由111A MA B B AA M M AA B V V V ---==，从而判断当M 运动到F 点位置时体积最大，然后利用三棱锥的体积公式，属于基础题. 【详解】（1）连接1A C ，由直三棱柱和AC CB ⊥， 易得BC ⊥面11AAC C ，所以BC AF ⊥，又2AC =122CC =，2CF =1AC AF ⊥ 又1AC BC C =I ，所以AF ⊥面1BCA ，所以1AF BA ⊥； （2）111A MA B B AA M M AA B V V V ---==，则显然当M 运动到F 点位置时体积最大，此时111182222333B AA F AA F V S BC -∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以最大体积为83 .【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，需熟记定理内容以及三棱锥的体积公式，属于基础题.20．2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)L ，得到如图所示的直方图：（1）若从总体的9600名网络购票乘客中随机抽取一人，估计其年龄大于35岁的概率； （2）试估计总体中年龄在区间[55,65)内的人数；（3）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数. 【答案】（1）0.4；（2）480人；（3）32.5.【解析】（1）由频率分布直方图，求出年龄大于35的频率：1(0.040.02)100.4-+⨯=，即可求解.（2）求出区间[)55,65的概率，进而利用总人数以及在此区间内的概率即可求解. （3）由直方图可知，设中位数为x ，由题可得0.2(25)0.040.5x +-⨯=，求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知：年龄大于35的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的9600名网购票乘客中随机抽取一人，估计其年龄大于35岁的概率为0.4； （2）设在区间[)55,65内的概率为P ，则()20.010.0220.04101P ++⨯+⨯= 解得0.05P =，估计总体中年龄在区间[)55,65内的人数为96000.05480⨯=人.（3）由直方图可知：中位数在[)25,35区间内，设中位数为x .由题可得：0.2(25)0.040.532.5x x +-⨯=⇒=，所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中，小矩形的面积之和为1，属于基础题.21．已知函数()ln x f x ae x =-.（1）设x e =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）当1a e≥时，求证：()1f x ≥. 【答案】（1）()f x 在(,)e +∞上减，()e +∞上增；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，由x e =是()f x 的极值点可求出a ，即11()x e f x e x--'=-，对导函数再次求导，判断导函数在(0,)+∞上单调递增，由()0f e '=，进而可求出函数的单调区间.（2）由11x x a ae e e-≥⇒≥，进而可得1()ln x f x e x -≥-，记1()ln x g x e x -=-，研究函数()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，进而可得证.【详解】（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()xf x ae x'=-， 由11()00ee f e ae a e e --'=⇒-=⇒=， 所以11()x e f x ex --'=-，又因为121()0x e f x e x--''=+>， 所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，注意到()0f e '=，所以()f x 在(,)e +∞上减，()e +∞上增. （2）由11x x a ae e e-≥⇒≥，所以1()ln x f x e x -≥-, 记1()ln x g x ex -=-，11()x g x e x'-=-， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增 ，所以1x =是()g x 的最小值点，()(1)1g x g ≥=，故()()1f x g x ≥≥. 【点睛】本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.22．已知点A 是椭圆22:154x y E +=的上顶点，斜率为()0k k >的直线交椭圆E 于A 、M 两点，点N 在椭圆E 上，且MA NA ⊥. （1）当||||AM AN =时，求AMN ∆的面积； （2）当2||||AM AN =时，求证：2152k <<. 【答案】（1）40081；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意可知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且1k =，设点(,2)N t t -，代入椭圆方程求出t ，利用三角形的面积公式即可求解.（2）将直线:2AM y kx =+与椭圆E 联立，求出AM 、AN ，由2||||AM AN =可得，32851040k k k -+-=，令32()85104f x x x x =-+-，利用导函数求出函数的单调区间，再利用零点存在性定理即可判断出k 的取值范围. 【详解】（1）由对称性知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且1k =，于是可以设点(,2)N t t -其中0t >，于是22(2)154t t -+=，解得209t =， 所以()22040022981AMNS t t ∆⎛⎫=+-⨯==⎪⎝⎭；（2）据题意，直线:2AM y kx =+，联立椭圆E ，得：2245(2)200x kx ++-=，即：()2245200kxkx ++=，则22045M k x k =-+，那么||AM =同理，知：||AN ==⎝⎭， 由2||||AM AN =，得：()2225445k k k +=+，即：32851040k k k -+-=，令32()85104f x x x x =-+-，则22525()241010241002424f x x x x ⎛⎫'=-+=-+-> ⎪⎝⎭，所以()f x 单调增，又23605125f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，13024f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 故()f x 存在唯一零点021,52x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2152k <<.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，导函数在研究函数单调性的应用、零点存在性定理，属于难题.。
2018-2019学年重庆一中高二数学下册期中数学试卷(理科)(含答案和解析)
2018-2019学年重庆一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知复数32(Z i i =-为虚数单位），则在复平面内Z 的共轭复数Z 所对应的点为( )A ．(3,2)-B ．(3,2)C ．(2,3)-D ．(2,3)2．（5分）已知随机变量2~(1,)X N σ，且(2)0.2P X >=，则(0)(P X <= )A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.73．（5分）观察下列各式：1x y =⊗，223x y =⊗，334x y =⊗，447x y =⊗，5511x y =⊗，6618x y =⊗，7729x y =⋯⊗，根据以上规律，则88(x y =⊗ )A ．123B ．76C ．47D ．404．（5分）如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是( )A ．该超市这五个月中的营业额一直在增长B ．该超市这五个月的利润一直在增长C ．该超市这五个月中五月份的利润最高D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．5．（5分）已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()(D ξ= )A ．0.09B ．9C ．1D ．0.9 6．（5分）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：( )由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为( )A ．4.9B ．6.65C ．5.95D ．6.157．（5分）抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则(|)(P B A = )A ．112B ．16C ．15D ．568．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种9．（5分）已知二项式2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+++++⋯++，且16a =，则12(n a a a ++⋯+= )A ．128B ．127C ．96D ．6310．（5分）某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为( )A ．118B ．112C ．19D ．53611．（5分）已知在三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=︒，2PB BC ==3PA =，且PA BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．15πB ．C ．21πD ．12．（5分）已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[0，1]内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有123()()()f x f x f x +…，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[e ，4]C ．[1，4]D ．[1，2)(e ⋃，4]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若复数Z 满足(12)|34|(i Z i i -=+为虚数单位），则Z 的虚部为 ．14．（5分）若曲线21()2f x x alnx =-在点(1，f （1）)处的切线与直线310x y ++=垂直，则常数a = ．15．（5分）已知1(2)n x-的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则21(1)(2)n x x+-的展开式中的常数项为 ． 16．（5分）已知双曲线222:1y E x b -=的渐近线方程为y =，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与双曲线E 的右焦点重合，过F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若向量OM 与ON 的夹角为120︒，则MON ∆的面积为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=，直线的参数方程为112(x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）分别求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线C 和直线l 相交于A ，B 两点，求弦长||AB 的值．18．（12分）已知函数()|1|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()2f x x -…的解集；（Ⅱ）记函数()()||g x f x x =+的最小值为m ，若a ，b ，c R +∈且a b c m ++=，求证1119a b c++…． 19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A B 的中点，1AC =，1AB AA == （Ⅰ）求证：1//A C 平面1BMC ；（Ⅱ）若AC BM ⊥，求二面角1C MB A --的余弦值．20．（12分）今年4月23日我市正式宣布实施“312++”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、。
重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第一次月考(文)数学试题(解析版)
重庆八中2018—2019学年度（下）高二年级第一次月考数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为（ ） A. x R ∃∈，1x e x <+ B. x R ∃∈，1x e x ≥+ C. x R ∃∈，1x e x ≤+ D. x R ∃∉，1x e x <+【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改变量词，否定结论，由此可得出结果.【详解】由全称命题的否定可知，命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为“x R ∃∈，1x e x <+”. 故选：A.【点睛】本题考查全称命题的改写，属于基础题.2.曲线3y x x =-在点（1，0）处切线的倾斜角为α，则tan α=（ ）A. 2B. 43-C. -1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】求导得y '，代入1x =，可得切线斜率k ，即tan α的值. 【详解】由题意得：231y x '=-代入1x =，可得切线斜率312k =-= 又tan k α=，得tan 2α= 本题正确选项：A【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.3.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线4:13l y x =+的距离为（ ） A.75B. 1C. 195D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心的坐标，将直线方程表示为一般方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出结果. 【详解】圆的标准方程为()()22144x y -+-=，圆心的坐标为()1,4，直线l 的一般方程为4330x y -+=，所以，圆心到直线l 的距离为1d ==.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线的距离，考查点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4.下课以后，教室里还剩下2位女同学和1位男同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是（ ） A.16B.15C.12D.13【答案】D 【解析】 【分析】2位女同学分别记为a 、b ，1位男同学记为A ，列举出所有的基本事件，并列举出事件“第2位走出的是男同学”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】2位女同学分别记为a 、b ，1位男同学记为A ，所有的基本事件有：(),,a b A ，(),,a A b ，(),,A a b ，(),,A b a ，(),,b a A ，(),,b A a ，共6种，事件“第2位走出的是男同学”所包含的基本事件有：(),,a A b ，(),,b A a ，共2种， 因此，所求事件的概率为2163P ==. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.5.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，则母线与底面所成的角为（ ） A. 30o B. 45oC. 60oD. 75o【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，设母线与底面所成的角为θ，根据题意计算出sin h lθ=，即可求出母线与底面所成的角.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，设母线与底面所成的角为θ， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，则22rl r ππ=，可得2l r =，22h l r r ∴=-=，2sin 2h l θ∴==，则45θ=o ，因此，母线与底面所成的角为45o . 故选：B.【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，同时也考查了圆锥的相关计算，考查计算能力，属于中等题. 6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为34，则判断框中填写的内容可以是（ ）A. 9n <B. 6n <C. 6n ≤D. 4n <【答案】B【解析】 【分析】列举出循环的每一步，根据题意知4n =满足判断条件，6n =不满足判断条件，由此可得出判断框中的条件.【详解】2n =满足判断条件，11022S =+=，224n =+=； 4n =满足判断条件，113244S =+=，426n =+=； 6n =不满足判断条件，输出S 的值为34，故判断框中的条件应为6n <.故选：B.【点睛】本题考查循环结构中判断条件的选择，一般要列举出算法的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知点A 、B 为双曲线的左、右顶点，点P 在双曲线上，ABP ∆是顶角为120o 的等腰三角形，则双曲线的渐近线为（ ）A. 2y x =±B. y =C. y x =±D. y =【答案】C 【解析】 【分析】设点P 在双曲线的右支上，且在第一象限，可计算出点P 的坐标为()2a ，将点P 的坐标代入双曲线的标准方程，可求出ba的值，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则(),0A a -、(),0B a ，则120ABP ∠=o ，且2PB AB a ==，不妨设点P 在右支，坐标为(),x y ，则cos602x a BP a =+=o，sin 60y BP =o，将点P 的坐标()2a 代入双曲线的标准方程得())222221a ab -=，解得1ba=. 因此，该双曲线的渐近线方程为y x =±.故选：C.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出a 、b 的等量关系，考查计算能力，属于中等题.8.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意x ∈R 满足()()()20190f x x x f '++>，下列叙述正确的是（ ）A. ()()()202012019020181f f f <<-B. ()()()201902018120201f f f <-<C. ()()()201812020120190f f f -<<D. ()()()201812019020201f f f -<< 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()()2019g x x f x =+，利用导数分析函数()y g x =的单调性，进而可得出()20181f -、()20190f 、()20201f 三个数的大小关系.【详解】构造函数()()()2019g x x f x =+，则()()()()20190g x f x x f x ''=++>， 所以，函数()y g x =在R 上为增函数，则()()()101g g g -<<， 即()()()201812019020201f f f -<<. 故选：D.【点睛】本题考查函数值的大小比较，构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】 【分析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象．【详解】()()22xf x x x e =-Q ，()()()()222222xxxf x x e x x e x e '∴=-+-=-.解不等式()0f x '<，即220x -<，得22x -<<；解不等式()0f x '>，即220x ->，得2x <-或2x >.所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调递减区间为()2,2-．令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选B.【点睛】本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．10.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，则BC 与1A D 所成角是（ ）A. 45oB. 60oC. 90oD. 120o【答案】C 【解析】 【分析】证明出BC ⊥平面1A CD ，可得出1BC A D ⊥，由此可得出结果. 【详解】Q 四边形ABCD 为矩形，则BC CD ⊥，1A Q 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，1A O ∴⊥平面BCD ，BC ⊂Q 平面BCD ，1BC A O ∴⊥，1AO CD O =Q I ，BC ∴⊥平面1A CD ， 1A D ⊂Q 平面1A CD ，1A D BC ∴⊥，因此，BC 与1A D 所成角是90o .故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题.11.过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M 、N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB ∆，则MF =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设点()11,M x y ，利用导数求出切线AB 的方程，求出点A 、B 的坐标，结合AOB ∆，求出1x 的值，然后利用抛物线的定义求出MF .【详解】设点()11,M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2x y '=，所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-，令0x =，得214x y =-；令0y =，则12x x =.则点1,02x A ⎛⎫ ⎪⎝⎭、210,4x B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOB ∆的面积为32111122416AOB x x x S ∆=⨯⨯== 解得1x =±21124x y ∴==，所以，113MF y =+=.故选：C.【点睛】本题考查抛物线焦半径长的计算，涉及利用导数求抛物线的切线方程以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.12.设函数()f x 满足()()ln f x x f x x '=-⎡⎤⎣⎦，且在()0,∞+上单调递增，则1ef e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的范围是（e 为自然对数的底数）（ ） A. [)1,+∞ B. (],1-∞C. 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】令()()g x f x '=，求出函数()y g x =的导数，根据函数()y g x =的单调性求出()min 1f x f e ⎛⎫''= ⎪⎝⎭，根据函数()y f x =的单调性得到()()ln 0f x f x x x'=+≥在()0,∞+上恒成立，即可求出1ef e ⎛⎫⎪⎝⎭的范围. 【详解】令()()g x f x '=，由()()ln f x x f x x '=-⎡⎤⎣⎦，得()()()1ln f x f x x x g x x ⎡⎤'''=-+-⎢⎥⎣⎦， 所以，()ln 1x g x x +'=，令()10g x x e'=⇒=. 当10x e<<时，()0g x '<；当1x e >时，()0g x '>.所以，函数()()g x f x '=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 1f x f e ⎛⎫''= ⎪⎝⎭. 因为函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，故()()ln 0f x f x x x'=+≥在()0,∞+上恒成立， 即1111ln 101f e f efe e e e⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭'=+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11ef e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）13.已知点P 的直角坐标为(2,2)--，则以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则P 点的极坐标为___(0,02)ρθπ>≤<【答案】54π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由点P 的直角坐标求得OP =，即ρ=P 对应的极角为54π，即可求解.【详解】由题意知，点P 的直角坐标为(2,2)--，则OP =，即ρ= 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则点P 对应的极角为54π，则P 点的极坐标为5)4π，故答案为5)4π 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，其中解答中熟记直角坐标与极坐标的互化公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.设函数()f x 的导数为()f x '，且322()3f x x f x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，则(1)f '=______. 【答案】0 【解析】 【分析】对322()3f x x f x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭求导，可得22()3213f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭，将23x =代入上式即可求得：213f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，即可求得2()321f x x x '=--，将1x =代入即可得解 【详解】因为322()3f x x f x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，所以22()3213f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭. 所以222223213333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21,3f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以32()f x x x x =-- 则2()321f x x x '=--，故()01f '=.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题．15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由三角形和半圆组成，则该几何体的体积为__________.【答案】168144π+ 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分是半径为6的半球，上半部分为正四棱锥，底面正方形的对角线长为12，高为7．然后利用球的体积公式及棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，下半部分是半径为6的半球，上半部分为正四棱锥，底面正方形的对角线长为12，高为7．因此，该组合体的体积为23111412761681443223V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：168144π+.【点睛】本题考查由三视图求体积，关键由三视图还原原几何体，是中档题．16.若函数()22ln f x x x =-在()2,2k k -+上不单调，则实数k 的取值范围是__________.【答案】52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域()0,∞+以及极值点，根据题意知，极值点在区间()2,2k k -+内，且有()()2,20,k k -+⊆+∞，可得出关于实数k 的不等式组，解出即可.【详解】函数()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()21414x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，得12x =.当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =的极小值点为12x =.由于函数()y f x =在()2,2k k -+上不单调，则()12,22k k ∈-+且()()2,20,k k -+⊆+∞，即1022122k k ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得522k ≤<. 因此，实数k 的取值范围是52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，在涉及不单调的问题时，一般转化为极值点在相应的区间内，同时也要注意区间应为定义域的子集，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知a 为实数，函数()32x a f x x x a =+++，且()10f '-=.（1）求a 的值.（2）求函数()y f x =在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 【答案】（1）2a =；（2）最大值为6，最小值为138. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，由()10f '-=可求出实数a 的值； （2）利用导数分析函数()y f x =在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性与极值，并与端点函数值作大小比较，即可得出该函数在区间3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）()32x ax x a f x =+++Q ，()2321a x x f x '∴=++，()1420f a '∴-=-=， 则2a =；（2）由（1）知2a =，()3222x x f x x +∴=++，()()()2341311x x x x f x '∴=++=++，令()0f x '=得11x =-，213x =-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：31328f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ，()12f -=，150327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()16f =.故函数()y f x =在3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，最小值为138【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.18.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数. 【答案】（1）0.005a =；（2）3人；（3）众数75，中位数为77.14.【解析】 【分析】（1）利用所有矩形的面积之和为1可求出实数a 的值； （2）利用位于[)60,70的矩形的面积乘以20可得出结果；（3）利用最高矩形底边的中点值作为20名学生数学考试成绩的众数，设中位数为x ，根据位于区间[]50,x 的矩形面积之和为0.5可求出x 的值，即为所求的中位数.【详解】（1）由频率分布直方图得：()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =； （2）由频率分布直方图得成绩落在[)60,70中的频率为3100.15a ⨯=，∴估计总体中成绩落在[)60,70中的学生人数为：200.153⨯=人；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众位数为75， 设中位数为x ，则()0.10.150.035700.5x ++⨯-=，则54077.147x =≈. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图中的参数、频数以及中位数和众数的计算，考查计算能力，属于基础题.19.重庆某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：万元）的数据如表： 年份2014 201520162017 2018（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，$ˆay bx =-. 【答案】（1）0.54 5.38y x =+；（2）见解析，该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为8.62万元. 【解析】 【分析】（1）计算出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b$和$a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据回归直线的斜率可预测出2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并将6x =代入回归直线方程可计算出该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.【详解】（1）由已知得：()11234535x =++++=，()1 5.8 6.67.17.48.175y =++++=， ()()()522222212101210ii x x =-=-+-+++=∑，()()()()()()512 1.210.4010.42 1.1 5.4iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑，45.410.50b∴==$，730.54 5.38a=-⨯=$， y ∴关于x 的线性回归方程为：0.54 5.38y x =+；（2）由（1）中的回归方程0.54 5.38y x =+，可知0.54b=$， 从2014年至2018年该地区纯收入逐年增加，平均每年增加0.54万元； 将2019年的年份代号6x =代入（1）中的回归方程得8.62y =万元 故该地区在2019年的纯收入约为8.62万元.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归方程对总体进行估计，考查计算能力，属于中等题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，22AD BC ==，22PB =，M 是线段AP 的中点.（1）证明：//BM 平面PCD ；（2）当PA 为何值时，四棱锥P ABCD -的体积最大？并求此最大值.【答案】（1）见解析；（2）当2PA =时，四棱锥P ABCD -的体积最大，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）取PD 中点N ，连接MN 、CN ，证明四边形MNCB 是平行四边形，可得出//BM CN ，然后利用线面平行的判定定理可证明出//BM 平面PCD ；（2）设()022PA x x =<<，可得28AB x =-，求出四棱锥P ABCD -的体积关于x 的函数表达式，然后利用基本不等式可求出四棱锥P ABCD -的体积的最大值. 【详解】（1）取PD 中点N ，连接MN 、CN ，M Q 是AP 的中点，//MN AD ∴且12MN AD =， //AD BC Q ，2AD BC =，//MN BC ∴，MN BC =，∴四边形MNCB 是平行四边形，//MB CN ∴，又BM ⊄平面PCD ，CN ⊂平面PCD ，//BM ∴平面PCD ；（2）设(0PA x x =<<，PA ⊥Q 平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，PA AB ∴⊥，PB =Q AB ∴又AB AD ⊥Q ，22AD BC ==，()22111823324P ABCDABCD x x V S PA AD BC AB PA -+-∴=⨯=⨯+⨯⨯=≤=，当且仅当x 2x =时取等号，故当2PA =时，四棱锥P ABCD -的体积最大，最大值为2.【点睛】本题考查线面平行的判定，同时也考查了四棱锥体积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，过点()1,0-作直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，连接2AF 、2BF ，且2ABF ∆的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若14ABF A=，求直线l 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）10x y ++=或10x y -+=.【解析】 【分析】（1）求出a 、c 的值，可得出b 的值，进而可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由条件14ABF A=得出123y y =-，代入韦达定理，消去1y 与2y ，可得出关于m 的方程，即可求出实数m 的值，进而得出所求直线的方程. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，Q焦距为2，2ABF ∆的周长为1c ∴=，4a =，222a b c =+，解得1c b ==，a =∴椭圆C 的标准方程为：2212x y +=；（2）设直线AB 的方程为：1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立得22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210m y my +--=， 12222m y y m ∴+=+，12212y y m =-+， 14AB F A =Q ，则14AB AF =u u u r u u u r，则2114y y y -=-，213y y ∴=-， 由韦达定理得12222m y y m +=+，12212y y m =-+，213y y =-. 将213y y =-代入12222m y y m +=+，得11222222m my y m m -=⇒=-++，()2212122213322m y y y m m=-=-⨯=-++，整理得2232m m =+，解得：1m =±.∴直线l 的方程为10x y ++=或10x y -+=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了利用焦点弦与焦半径的比值求直线方程，考查韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 22.已知函数()22ln f x a x x ax =-+.（1）若1a =-时，求()f x 的极值； （2）若()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值13ln 24-，无极小值；（2）342,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式，利用导数可求出函数()y f x =的极值；（2）由题意可得出()max 0f x <，分0a >、0a =、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y f x =在定义域上的单调性，求出函数()y f x =的最大值，然后解不等式()max 0f x <，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =--，则()212121x x f x x x x--+=-='-. 令()0f x '=，即2210x x x--+=，得2210x x +-=，解得12x =. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =有极大值113ln 224f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值； （2）因为()0f x <恒成立，所以()max 0f x <，()()()222222x a x a a x ax a f x x a x x x+-+-++='=-+=. ①当0a >时，令()0f x '=，则x a =，当0x a <<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增； 当x a >时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减.()()2222max ln ln 0f x f a a a a a a a ∴==-+=<，01a ∴<<；②当0a =时，()20f x x =-<，成立；③当0a <时，令()0f x '=，则2ax =-， 当02ax <<-时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增； 当2ax >-时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减. ()22222max3ln ln 0224224a a a a a f x f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3ln 24a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得3402a e <-<，解得3420e a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围为342,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数极值，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.。
精品解析：重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
重庆市第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,2,3A =−，集合{}2|20B x xx =+≤，则AB =（ ）A.{}2,3B.{}2− C.()2,0−D.{}2,0−【答案】D 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义写出A ∩B 即可． 【详解】集合A ＝{﹣2，0，2，3}，B ＝{x |x 2+2x ≤0}＝{x |﹣2≤x ≤0}，则A ∩B ＝{-2，0}． 故选：D ．【点睛】本题考查了集合的化简与交集的运算问题，是基础题目． 2.设命题:p x R*∀∈，1l n xx−≥，则p⌝（ ）A. *xR∃∈，01l n x x−≥ B. *xR∃∉，01l n xx−≥C.*xR∃∈，01l n xx−<D.*xR∀∈，1l n xx−<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【详解】∵全称命题的否定，是特称命题，只需改量词，否定结论． ∴￢p ：*xR∃∈，01l n xx−<.故选：C ．【点睛】本题主要考查含有量词的全称命题的否定，比较基础．3.在区间[]1,10上任取一个实数x ，则28x≤的概率为（ ）A.39B.29C.15D.13【答案】B 【解析】 【分析】本题属于几何概型，利用变量对应的区间长度的比求概率即可．【详解】由已知区间[1，10]上任取一个实数x ，对应集合的区间长度为9， 而满足28x≤的x ≤3，对应区间长度为2，所以所求概率是29；故选：B ．【点睛】本题考查了一个变量的几何概型的概率计算；关键是求出变量对应区间长度，利用区间长度的比求概率．4.已知点(),Pxy在抛物线2:8Cyx=上，且点P 到C 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义将点P 到C 的准线的距离转化为P 到焦点F 的距离，再利用|PF |＝|y 0|，即可得到x 0．【详解】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 由抛物线的定义可得点P 到C 的准线的距离即为P 到C 的焦点F 的距离， 由题意可得|PF |＝|y 0|， 则PF ⊥x 轴，可得x 0＝2， 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要是定义法的运用，考查分析问题的能力，属于基础题．。
2018-2019学年重庆市沙坪坝区第八中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年重庆市沙坪坝区第八中学高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】根据逆否命题的定义得，命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥” 故选：D 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>焦点到渐近线的距离为2，则双曲线E 的焦距等于（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D【解析】设双曲线的焦点坐标为12(,0),(,0)F c F c -，求出焦点到渐近线的距离，可求出b ，再由离心率和,,a bc 关系，即可求解.【详解】设双曲线的焦点坐标为12(,0),(,0)F c F c -， 其中一条渐近线l 方程为0bx ay -=， 点1F 到渐近线l 2b ==，2222445c e a b c a c a ====-==，2c c ==故选:D. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．在区间()1,1-上随机取一个实数m ，使得直线()4y m x =-与圆224x y +=相交的概率是（ ）A ．13B C ．2D ．12【答案】B【解析】利用圆心到直线的距离小于半径，结合(1,1)m ∈-求出m 的取值区间，所求区间长度除以()1,1-区间长度，即为所求. 【详解】直线()4y m x =-与圆224x y +=相交,所以直线()4y m x =-到圆心(0,0)O2<，解得33m -<<，m的取值范围为(，所求的概率为32=故选:B. 【点睛】本题考查几何概型的概率，转化为区间长度比，属于基础题.4．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（ ） A ．36种 B ．24种 C ．18种 D ．12种【答案】B【解析】根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有1222C A 4=种排法，其余3人排其它3个位置，共有33A 6=种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4624⨯=种．故选B ．点睛：本题考查的是排列组合问题.（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 5．执行如下的程序框图，若输出的s 值为3-，则判断框中应填（ ）A ．5n <B ．4n ≥C ．5n ≥D ．6n ≥【答案】C【解析】根据循环体的运算功能，求出s ，直至3s =-退出循环体，即可得出判断框中的语句. 【详解】1,1n s ==-，2,1n s ==，3,2n s ==-， 4,2n s ==，5,3n s ==-，退出循环体，判断框为5n ≥. 故选:C. 【点睛】本题考查补全程序框图，读懂程序框图的功能是解题的关键，属于基础题. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．36πB ．32πC ．28πD ．34π【答案】A【解析】根据三视图可得，该几何体是圆柱体与圆柱同底面的两个14球组成，结合图中的数据，即可求解. 【详解】由已知可得，该几何体是圆柱体与圆柱同底面的两个14球组成， 其中圆柱的母线长为5，底面半径和球半径为2， 所以表面积为21452442362ππππ⨯+⨯+⨯⨯=. 故选:A. 【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，将三视图还原为空间图形是解题的关键，属于基础题.7．某中学高二.一班的50名同学参加“垃圾分类”知识竞赛，现从中抽取10名同学的成绩作为样本，并用如右的茎叶图记录，其中一个数字不慎污损，用字母m 代替，则该样本数据的中位数是79的概率为（ ）A ．110B ．710C ．45D ．79【答案】C【解析】中位数为79时，从小到大的中间两位数为77,81，m 的值不超过7，由古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】依题意，中位数为81,77的平均数，所以7m ≤，m 可取值的有8个数，该样本数据的中位数是79的概率为84105=. 故选:C. 【点睛】本题以茎叶图为背景，考查中位数特征，以及古典概型的概率，属于基础题. 8．设定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x +>+的解集为（ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可证()g x 在R 上为增函数，()()121x e f x f x +>+，化为()()2121x x f x f x e e++>，即()(21)g x g x >+，利用()g x 单调性，即可求解. 【详解】设2()()()()()(),()()x x x x x f x f x e f x e f x f x g x g x e e e''⋅-⋅-'===， ()(),()0,()f x f x g x g x ''>∴>Q 在在R 上为增函数， ()()121x e f x f x +>+两边同除以21x e +，得()()2121x x f x f x e e++>，即()(21)g x g x >+， 21,1x x x ∴>+<-，所以不等式的解集为(),1-∞-. 故答案为:B. 【点睛】本题考查构造函数，利用函数的单调性解不等式，解题的关键要根据已知条件或所求的不等式的结构特征构造函数，属于中档题.9．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六名工作人员分配到两个不同的地点进行扶贫验收，要求A 、B 必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（ ） A ．15种 B ．18种 C ．20种 D ．22种【答案】D【解析】先将6人分成2组，按,A B 所在组人数分类，分为2人、3人、4人，剩下人为另一种，求得分组个数，然后再将两组分配到不同的地方有22A 种方法，根据乘法原理，即可求解. 【详解】 再将A 、B 必须在同一组，且每组至少两人，分组的方法有01244411C C C ++=，将两组分配到不同的地方共有分配方案221122A ⨯=.故选:D. 【点睛】本题考查排列组合应用问题，限制条件优先考虑，先分组后排，属于基础题.10．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为4，圆柱体的体积为4π，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（ ） A ．有最小值π B ．有最大值πC ．有最小值4πD ．有最大值4π【答案】C【解析】由条件可得长方体的体积为4π，设长方体的底面相邻两边分别为,,2x y x y +=，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论. 【详解】依题意长方体的体积为4π，设圆柱的高为h 长方体的底面相邻两边分别为,,2x y x y +=，2()12x y xy +≤=，当且仅当1x y ==时，等号成立， 44h xyππ=≥. 故选:C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题. 11．411x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5-B ．6-C ．12-D ．19【答案】A【解析】411x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中将1()x x-看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令x 的指数为0，即可求解. 【详解】44111[1]x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式通项为4444411()(1)(1)()k k k k k rk r r k C x C C x x x------=--4244=(1)k r k rk r k C C x +----，0,4;0,1,4r k k =-=L L令420k r --=，当0,2;2,1;4,0k r k r k r ======时，为常数项即02214444245C C C C C -+=-.故选:A. 【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题. 12．已知函数()x af x x e-=+，()()ln 24a xg x x e-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ） A ．ln21-- B ．1ln2-+ C ．ln 2- D ．ln 2【答案】A【解析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+2），y′=1﹣12x +=12x x ++， 故y=x ﹣ln （x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln2时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A ．二、填空题13．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_____． 【答案】112【解析】由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有2184112C C =种．答案：112 14．已知多项式()()()()()()55432543210211111x a x a x a x a x a x a +=++++++++++，则24a a +=______.【答案】15【解析】5(2)x +化为5[(1)1]x ++， 按1x +展开求出通项，求出42(1)(1)x x ++，系数，即可求解.55(2)[(1)1]x x +=++，按1x +展开通项为 515(1),0,1,2,3,4,5k k k T C x k -+=+=，令3,1k k ==，得31254510,5a C a C ====，2415a a +=故答案为:15. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，解题的关键是要把问题转化为关于“1x + ”的多项式，属于基础题.15．若函数2()()x f x e x ax a -=+-在R 上单调递减，则实数a 的值为_______. 【答案】2-【解析】由于函数在R 上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数a 的值. 【详解】 依题意，()()()20xx a x f x e+-+'=≤在R 上恒成立，则需()()20x a x +-+≤恒成立，()()20x a x +-+=有两个相等的实数根，故2a =-.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.16．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，M 为抛物线C 的准线与x 轴的焦点，若tan AMB ∠=，则AB =______.【答案】6【解析】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，设直线l 方程为1x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，根据韦达定理得出12,y y 关系，可证0MA MN k k +=，可得AMF BMF ∠=∠，设MA 的倾斜角为,tan 2θθ=求出tan θ，进而求出直线MA 的方程，根据对称性，直线MA 与抛物线的另一个交点与B 关于x 轴对称，将直线MA 方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理，求出12x x +，即可得出结论.抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ， 设直线l 方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my --=，2=16160m ∆+>，1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，12124,4y y m y y +==-，12211212121211(1)(1)MA MN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++ 121212()(1)4=0,(1)(1)y y y y AMF BMF x x ++=∠=∠++，设直线AM的倾斜角为22tan ,tan 21tan θθθθ==-，2tan 0θθ+=，解得tan 3θ=或tan 2θ=-（舍去） 直线AM方程为1)y x =+， 根据对称性，直线MA 与抛物线的另一个交点与B 关于x 轴对称，联立24(1)3y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得，2410x x -+=， 124x x +=，由抛物线的定义得12||116AB x x =+++=.故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的性质，利用抛物线的对称性是解题的关键，本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，考查计算能力，属于较难题.三、解答题17．已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的极值点个数.【答案】（1）22ln 20x y --=； （2）见解析.【解析】（1）求导，当1a =时，求出(2)f 和切线斜率(2)f '，用直线方程的点斜式，求出切线方程；（2）对()f x '在(0,)+∞是否恒小于等于0，对a 分类讨论，求出单调区间，进而求出极值. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=1a =时，()11f x x'=-， 故()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为()122k f ==， 又()21ln 2f =-，故()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()()11ln 222y x --=-， 即：22ln 20x y --=为所求切线方程.（2）当0a ≤时，()0f x '≤在()0,∞+上恒成立， 函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 所以()f x 在()0,∞+上没有极值点. 当0a >时，由()0f x '<得：10x a<<； 由()0f x '>得：1x a>， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a=处有极小值. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0,∞+上有一个极值点1a.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导函数求函数的单调区间、极值点，考查分类讨论思想，属于中档题.18．在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，12BB BC ==，D 为线段AB 上一点，1AC ∥平面1B CD .（1）求证：D 为AB 中点；（2）若1AB 与1A C 所成角为45︒，求直线1AB 与平面1B CD 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析； （2）10545. 【解析】（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接OD ，则O 为1BC 中点.，由1AC ∥平面1B CD ，根据线面平行的性质定理，可证1AC OD P ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设AC a =，得出11,,,,A B C A B 坐标，进而有11,AC AB u u u r u u u r坐标，由1AB 与1A C 所成角为45︒，利用向量夹角公式求出a ，求出,A D 坐标，求出平面1B CD 的法向量，根据线面角公式，即可求解.【详解】（1）证明：连接1BC 交1B C 于O ，连接OD∵12BB BC ==，∴11BB C C 为正方形，∴O 为1BC 中点. 又1AC ∥平面1B CD ，平面1BC D I 平面1ABC OD =，1AC ⊂平面1ABC ，∴1AC OD P ，又O 为1BC 中点，∴D 为AB 中点.（2）如图，以C 为原点，以CA u u u r ，u u r CB ，1CC u u u u r 为x ，y ，z 的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，设AC a =，则()0,0,0C ，(),0,0A a ，()0,2,0B ，()10,2,2B ，()1,0,2A a ，()1,0,2AC a =--u u u r ，()1,2,2AB a =-u u u r. ∵1AB 与1A C 所成角为45︒，∴211221142cos 4548AB AC aAC AB a a ⋅-︒===⋅+⋅+u u u r u u u ru u u r u u u r ，整理得422280,28a a a -==或20a =（舍去），0,27a a >∴=Q ，∴()27,0,0A ，∵D 为AB 中点，∴()7,1,0D，()127,2,2AB =-u u u r.设平面1B CD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则100n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r ，即70220x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取7y =-，得1x =，7z =，∴()1,7,7n =-r设直线1AB 与平面1B CD 所成角为α，则1127105sin 45615AB n AB nα⋅===⨯⋅u u u r ru u u r r ，故直线1AB 与平面1B CD 所成角的正弦值为105【点睛】本题考查线面平行的性质定理，要注意平行之间的互相转化，考查空间向量的线线角和线面角的求法，考查计算能力，属于基础题.19．随着我国经济的高速发展，汽车的销量也快速增加，每年因道路交通安全事故造成伤亡人数超过20万人，根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》（19522GB -醉驾车的测试2004）的规定：饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20/100mg ml ，小于80/100mg ml 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80/100mg ml 的驾驶行为，某市交通部门从2018年饮酒后驾驶机动车辆发生交通事故的驾驶员中随机抽查了100人进行统计，得到如下数据：已知从这100人中任意抽取两人，两人均是醉酒驾车的概率是59165. （1）求m ，n 的值；（2）实践证明，驾驶人员血液中的酒精含量与发生交通事故的人数具有线性相关性，试建立y 关于x 的线性回归方程；（3）试预测，驾驶人员血液中的酒精含量为多少时，发生交通事故的人数会超过取样人数的69%？ 参考数据：517400i ii x y==∑，回归直线方程ˆˆy bxa =+中系数计算公式()()()121ˆniii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）26 12； （2）0.351y x =-； （3）驾驶人员血液中的酒精含量大于200/100mg ml 时，发生交通事故的人数会超过取样的69%..【解析】（1）用组合数公式分别求出100,34n +中取2人抽取的方法个数，求出两人均是醉酒驾车的概率，得到关于n 的方程，求解得出n 的值，再由38m n +=，求出m 值；（2）由已知求出60x =，20y =，将已知公式化为()121ˆni ii nii x y nxybx x ==-=-∑∑，已知数据代入，求出ˆb，再代入ˆˆa y bx =-，即可求出线性回归方程； （3）解不等式0.35169y x =->，求出x 的范围，即为所求. 【详解】（1）记“两人均是醉酒驾车”为事件A ，则()()()23421003433592100991652n n n C P A C +++===⨯， 整理得26724180n n +-=，解得26n =，或93n =-（舍去） 又6222634100m ++++=，∴12m = （2）由题知：60x =，20y =，()()()()1122111400ˆ0.354000n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx x x x ====---====--∑∑∑∑ 将60x =，20y =代入ˆˆay bx =-得ˆ1a =-， 所以线性回归方程为0.351y x =- （3）由0.35169y x =->解得x >200，故驾驶人员血液中的酒精含量大于200/100mg ml 时， 发生交通事故的人数会超过取样的69%. 【点睛】本题考查运用组合数求古典概型的概率，考查线性回归方程，要注意公式的化简，考查利用线性回归方程进行预测，考查计算能力，属于中档题.20．如图所示，已知矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，P 是半圆弧CD 上异于C ，D 的点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PAC ；（2）若22AB AD ==，()01PQ tPD t =<<，当三棱锥C PAD -的体积最大且二面角Q AB P --的平面角的大小为30°时，试确定t 的值. 【答案】（1）见解析； （2）31t =.【解析】（1）由已知结合面面垂直性质定理，可证AD ⊥平面PCD ，进而有AD PC ⊥，再由P 是半圆弧CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，得到DP PC ⊥，可证明PC ⊥平面PAD ，即可证明结论；（2）当三棱锥C PAD -的体积最大时，用等体积法，可得P 为»CD的中点，建立空间直角坐标系，求出,,,A B C P 坐标，求出向量,AB PA u u u r u u u r坐标，由()01PQ tPD t =<<，求出向量QA u u u r坐标，分别求出平面QAB 和平面PAB 的法向量，根据空间向量的面面角公式，得出关于t 的方程，求解，即可得出结论. 【详解】（1）由题设知：平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ， ∵AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面PCD ，故AD PC ⊥.又P 是半圆弧CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， ∴DP PC ⊥.又AD DP D =I ，∴PC ⊥平面PAD ， 又PC ⊂平面PAC ，∴平面PAD ⊥平面PAC . （2）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -， 由等积法知13C PAD A PDC PCD V V AD S --∆==⨯， 当三棱锥C PAD -的体积最大时，PCD S ∆最大，则P 到CD 边的距离最大，此时P 为»CD的中点.由题设知()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,1P ，则()0,2,0AB =u u u r ，()1,1,1PA =--u u u r.∵()01PQ tPD t =<<，∴()0,1,1Q t t --，()1,1,1QA t t =--u u u r.设平面QAB 的法向量为(),,n x y z =r，由00n AB n QA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即()()20110y x t y t z =⎧⎨+-+-=⎩，取()1,0,1n t =-r，设平面PAB 的法向量为(),,m x y z '''=r，由00m AB m PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u u v r ，即200y x y z =⎧⎨--=⎩，取()1,0,1m =r，因二面角Q AB P --的平面角的大小为30°，∴()2cos30112m n m nt ⋅︒==⋅-+⋅r r r r ，整理得2220t t +-=，解得：31t =-或31t =--（舍去）， 所以31t =-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，要熟练掌握空间垂直间的转换，考查用空间向量法求面面角，考查计算能力，属于中档题.21．已知椭圆()222:11x C y a a+=>，直线:l y kx m =+不经过椭圆上顶点B ，与椭圆C 交于M ，N 不同两点.（1）当1k =，2m =-时，求椭圆C 的离心率的取值范围；（2）若2a =，直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点.【答案】（1）⎫⎪⎪⎝⎭； （2）见解析. 【解析】（1）由已知得直线:2l y x =-，直线方程与椭圆方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程有两个解，>0∆，求出a 的取值范围，1b =，得e =，即可求出结论；（2）椭圆方程为2214x y +=，上顶点()0,1B ，直线方程与椭圆方程联立，消元，得出关于x 的一元二次方程，设()11,M x y ，()22,N x y ，根据韦达定理，可得12,x x 关系，将,BM BN k k 用12,x x 表示，由2BM BN k k +=，求出,m k 关系，即可求解. 【详解】（1）1k =，2m =-，则由22212x y a y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22221430a x a x a +-+=， 因椭圆C 与直线l 相交于M ，N 不同两点， ∴()422161210a aa∆=-+>，23a >.于是椭圆C的离心率e ==>，故椭圆C的离心率范围为⎫⎪⎪⎝⎭.（2）∵2a =，∴椭圆方程为2214x y +=，上顶点()0,1B ，直线:l y kx m =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m -++-=，由韦达定理得()()12221228 31444 414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩依题意有：2BM BN k k +=，即121212121111BM BN y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+ ()()111121=2 5k m x x ⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭将（3）（4）代入（5）得：()2821244kmk m m -+-=-， 化简得：1m k =-，∴直线l 为：()111y kx k k x =+-=+-， 即直线l 过定点()1,1--. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，要熟练应用韦达定理，设而不求解决相交弦的问题，考查直线过定点，属于中档题. 22．已知函数()1x f x ea -=+，函数()()ln g x ax x a R =+∈.（1）当0a =时，若()()f x g x k ≥+对任意0x >恒成立，求k 的取值范围； （2）若函数()()()ln G x f x g x x =-+有两个不同的零点1x 和2x ，求a 的取值范围，并证明：()()12111x x --<.【答案】（1）1k ≤； （2）见解析.a e >【解析】（1）()()()F x f x g x =-，由已知得()1ln x F x ex -=-，问题转化为()min k F x ≤⎡⎤⎣⎦，0x >，求()F x '，通过判断()0F x ''>，得出()F x '单调性，以及()10F '=，求出单调区间()F x 的极值，最值，进而求出结论； （2）()()1x G x ea x -=--1，()1x G x e a -'=-，0a ≤时，()0G x '>，至多一个零点，不成立；0a >时，求出单调区间，极值，分析()G x 函数值的变化趋势，求得()G x 由两个零点时，()ln 10G a +<，a e >，设12x x <，并满足12111211x x e e a x x --==--，可得212111x x x e x --=-，令210t x x =->，则1111tx t e x +-=-，即11t t x e =+1-，要证()()12111x x --<，等价转化为证明21tt tee <-，设()()210t tk t e te t =-->，通过求导，再构造函数再求导，可证()k t 在()0,∞+上单增，即可证明结论. 【详解】（1）令()()()F x f x g x =-，当0a =时，()1ln x F x ex -=-.若()()f x g x k ≥+对任意0x >恒成立，即为()min k F x ≤⎡⎤⎣⎦ ∵()()110x F x ex x -'=->，()1210x F x e x-''=->， ∴()F x '在()0,∞+上单调递增，又()10F '=，∴()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 在()0,1上单调递减；()1,x ∈+∞时，()0F x '>， ()F x 在()0,1上单调递增，∴()()min 11F x F ==，∴1k ≤. （2）()()1x G x ea x -=--1，()1x G x e a -'=-，0a ≤时，()0G x '>，()G x 在R 上单增，至多一个零点，不成立；0a >时，由()0G x '=得ln 1x a =+，()G x 在(),ln 1a -∞+上单减，在()ln 1,a ++∞上单增.x →-∞时，()G x →+∞；x →+∞时，()G x →+∞，要存在两零点只需()ln 10G a +<，即ln ln 0a e a a -<，得a e >.不妨设12x x <，由12111211x x e e a x x --==--得212111x x x e x --=-， 令210t x x =->，则1111tx t e x +-=-，即11t t x e =+1-，而()()()1212121111112x x x x x x x x t x t --<⇔<+⇔+<+()()()22222211111tt t t t tt t t e e te e e e ⇔+<⇔<-⇔<--- （） 令()()210tt k t e te t =-->，()2212t t tk t e e ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()212tth t e =--，()21102th t e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，∴()h t 在()0,∞+上单增，()()00h t h >=，第 21 页 共 21 页 ∴()0k t '>，()k t 在()0,∞+上单增，()()00k t k >=，故（）成立，得证.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到单调区间、极值、最值、零点、证明不等式，解题的关键要合理构造函数，考查等价转化思想和分类讨论思想，属于难题.。