函数定义域、值域求法总结(精彩)
(完整版)高三文科数学一轮复习之求函数定义域和值域方法总结
求函数定义域和值域方法总结一、求函数定义域方法总结（一）简单函数定义域的类型及方法【必会！！！】（1）f(x)为整数型函数时，定义域为R.例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R.（2）f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合.例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠=x x f x x f （3）f(x)为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合.例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f（4）f(x)为对数型函数时，定义域为使真数大于零的实数集合.例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a（5）正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ例如Z)k ,2k 4(x )2tan()(∈+≠=ππx x f （6）00没有意义.例如)21(x ,)12()(0≠-=x x f（二）对于抽象函数定义域的求解（1）若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围；例如：已知)(x f 的定义域为]5,1[，则)23(+x f 的定义域为]1,31[-. （2）若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域.例如：已知)3(-x f 的定义域为]7,0[，则)(x f 的定义域为]4,3[-.二、求函数值域方法总结（一）常见函数的值域（结合图像）【必会！！！】（1）一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为：当0>a 时，值域为}44|{2a b ac y y -≥；当0<a 时，值域为}44|{2ab ac y y -≤. （3）反比例函数)0( ≠=k xk y 的值域为}0|{≠y y . （4）指数函数)10( ≠>=a a a y x 且的值域为}0|{>y y .（5）对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R .（6）三角函数：正弦函数：x y sin =值域是]1 ,1[-；余弦函数：x y cos =值域是]1 ,1[-；正切函数：x y tan =值域是R . （二）常数分离法：对于dcx b ax y ++=型函数 例如：,313313)1(313≠-+=-+-=-=x x x x x y 故13-=x x y 值域为}3|{≠y y .（三）换元法：对于b ax y ±+=例如：求x x y 21--=值域.解：函数定义域为]21,(-∞，令)0( 21≥-=t x t ，则212t x -=， 1)1(21212121222++-=+--=--=∴t t t t t y1 -=x 开口向下，对称轴211210=+-≤≥y t 时，当 故所求值域为]21,(-∞. （四）复合函数用变量替换法例如：求函数)4(log 22+=x y 的值域，解：函数定义域为R ，令42+=x t ，则t y 2log =，24log 42=≥∴≥y t Θ 故函数值域为),2[+∞.（五）导数法利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.（六）分段函数：先分段求范围再取并集即得值域例如：求分段函数值域⎩⎨⎧∈--∈-=]5,2( ,3]2,1[ ,3)(2x x x x x f ].3 ,1[ 231]5 ,2(;331]2 ,1[2-∴≤-<-∈≤-≤--∈值域为时，当时，解：当x x x x。
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
求函数的定义域值域方法总结
函数的定义域、值域方法总结一．常见函数（基本初等函数）：1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．xy 1= 5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
如：d cx bx ax y +++=23，x x y 2log 1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。
二．定义域：“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
函数定义域的求法tan ...(,,)2y x x R x k k ππ=∈≠+∈Z 且cot y x = (),,x R x k k π∈≠∈Z 且例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同2. 111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同3. x x f =)( 2)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同 4．x x f =)( 33)(x x F = 解：是同一函数 5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同练习求下列函数的定义域 ①)2lg(2x x y -=②1112++-=x x y③02)45()34lg()(-++=x x x x f④)1(log 1|2|)(2---=x x x f⑤(x 1)(x)f x -=⑥1(x)tan f x =⑦(x)lgcos f x = ⑧(x)f =⑨2(x)lg(3x 1)f =++⑩ y ＝ln(x ＋1)－x2－3x ＋4关于复合函数例1、设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
定义域和值域的求法(经典)
函数定义域求法总结一、定义域就是函数y=f（ｘ)中得自变量ｘ得范围。
（1)分母不为零(2）偶次根式得被开方数非负。
（3)对数中得真数部分大于０。
(４）指数、对数得底数大于0,且不等于1（5）y=ｔanｘ中x≠ｋπ＋π/2;ｙ＝ｃｏｔx中x≠ｋπ等等。
（ 6 )中x二、抽象函数得定义域1、已知得定义域，求复合函数得定义域由复合函数得定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数得值域必须包含于外层函数得定义域之中,因此可得其方法为：若得定义域为，求出中得解得范围,即为得定义域。
２、已知复合函数得定义域，求得定义域方法就是:若得定义域为，则由确定得范围即为得定义域.3、已知复合函数得定义域,求得定义域结合以上一、二两类定义域得求法,我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得得定义域,再由得定义域求得得定义域。
4、已知得定义域,求四则运算型函数得定义域若函数就是由一些基本函数通过四则运算结合而成得,其定义域为各基本函数定义域得交集，即先求出各个函数得定义域，再求交集。
函数值域求法四种在函数得三要素中,定义域与值域起决定作用,而值域就是由定义域与对应法则共同确定。
研究函数得值域,不但要重视对应法则得作用,而且还要特别重视定义域对值域得制约作用。
确定函数得值域就是研究函数不可缺少得重要一环。
对于如何求函数得值域，就是学生感到头痛得问题,它所涉及到得知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定得地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍得作用。
本次课就函数值域求法归纳如下，供参考.1、直接观察法对于一些比较简单得函数，其值域可通过观察得到。
例1、求函数得值域。
∴显然函数得值域就是:例2、求函数得值域。
解：∵故函数得值域就是：２、配方法配方法就是求二次函数值域最基本得方法之一。
例３、求函数得值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数得性质可知：当x=１时，，当时，故函数得值域就是：[４，８］３、判别式法例4、求函数得值域。
函数定义域值域求法总结精彩
函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
1函数定义域值域求法总结
1函数定义域值域求法总结函数的定义域和值域是数学中常用的概念，在解析函数的性质和特点时非常重要。
下面将总结函数定义域和值域的求法。
首先，我们来看函数的定义域。
定义域是函数中自变量的取值范围，即能使函数有意义的输入值的集合。
对于不同类型的函数，求解定义域的方法也有所不同。
1.有理函数的定义域：有理函数是指多项式函数与多项式函数的商，即f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)是多项式函数。
求有理函数的定义域，需要考虑到分母q(x)不能为0，因此需要排除使得q(x)=0的x值。
将q(x)=0的方程求解，即可得到定义域。
2.根式函数的定义域：根式函数包括平方根函数、立方根函数等。
根式函数的定义域需要满足根式内部的表达式有意义，即根式内部不能为负数或使得分母等于0。
因此，将根式内部的表达式求解，使其不小于0，并且将整个根式函数形式中分母为0的情况排除，即可得到定义域。
3.指数函数和对数函数的定义域：指数函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为指数函数的输入。
对数函数的定义域需要满足对数底数大于0且不等于1，因此需要排除底数小于等于0或等于1的情况。
4.三角函数和反三角函数的定义域：三角函数的定义域为实数集，即所有实数都可以作为三角函数的输入。
反三角函数的定义域需要使得其在该区间内有定义，即反三角函数的取值范围在[-1,1]之间。
接下来，我们来看函数的值域。
值域是函数的输出值的范围，即函数在定义域内的取值集合。
求函数的值域有不同的方法。
1.分析法：通过对函数的性质进行分析，可以大致确定函数的值域。
例如，对于多项式函数，根据函数的最高次项的系数和项数的奇偶性，可以确定其值域的范围。
2.增减法：通过求解函数的导数，找出函数的极值点和增减区间，可以确定函数的值域的范围。
函数在增减区间内递增或递减，可以推断函数的值域的变化。
3.图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的变化情况，可以确定函数的值域的范围。
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函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：①21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域第一页解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
例5分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。
） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是[3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
练习：已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-） （提示：定义域是自变量x 的取值范围）练习：【练1】已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域【练2】若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）第二页Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【练3】已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B =Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像）解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法）函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y第三页③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=；②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=.⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值. ②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；② 顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：【练1】求函数y=3+√(2－3x)的值域解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，第四页故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的值域为[)+∞,3 .【练2】求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。
法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x －√1-3x在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
法二：换元法(下题讲)例4 求函数xx y -+=12 的值域解：（换元法）设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y[)(]2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下，对称轴y t t练习：求函数y=3+√4-x 的值域。
(答案：｛y|y ≥3｝)点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。
（答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 （选）求函数x x y -+-=53 的值域解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x[][][][]2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y第五页例6 （选不要求）求函数21x x y -+=的值域解：（三角换元法） 11≤≤-x∴设[]πθθ,0cos ∈=x[][]2,12,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为πθθθθθy小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设 )0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设（2）若题目中含有122=+b a则可设θθsin ,cos ==b a，其中πθ20<≤（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0（4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x，其中22πθπ<<-（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ例7 求13+--=x x y 的值域解法一：（图象法）可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图，观察得值域{}44≤≤-y y可得。