高考数学-函数的基本性质
高考数学中的函数基本性质及应用
高考数学中的函数基本性质及应用在高考数学中，函数是一个非常重要的概念。
作为数学的一门基础学科，函数贯穿于整个数学教育中，乃至于其他实用科学领域中。
为了成功地应对高考数学考试，在这篇文章中，我们将重点探讨函数基本性质及其应用。
函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，由两个集合A 和B 构成，其中 A 称为自变量的定义域（domain），B 称为函数值域（range）。
函数的定义可以用符号表示为：f(x):A→B。
例如，我们可以定义一个简单的函数：f(x) = x²。
在这种情况下，我们可以说定义域为实数集，函数值域也为实数集，而每个自变量 x 对应一个函数值 x²。
函数的性质在高考数学中，有一些基本的函数性质需要牢记。
这些性质不仅是理解和解决函数问题的基础，也是解决其他高等数学问题的基础。
1. 单调性函数的单调性指的是函数在定义域内是否单调递增或者单调递减。
如果函数在定义域内是单调递增的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)>f(y)。
同样，如果函数在定义域内是单调递减的，那么就是不论 x 和 y 取何值，只要 x>y，则 f(x)<f(y)。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中是否关于原点对称。
如果函数是奇函数，那么 f(-x) = -f(x)。
如果函数是偶函数，那么 f(-x) = f(x)。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，那么它就是一般函数。
3. 周期性函数的周期性指的是函数图像是否可以沿 x 轴平移得到相似的图像。
如果函数是周期性的，那么就存在一个正数 p，满足对于所有 x∈定义域，f(x+p)=f(x)。
4. 对称性如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (-a, f(-a)) 对称，那么就称函数关于 a 点对称。
如果函数图像在点 (a, f(a)) 和 (a, -f(a)) 对称，那么就称函数关于 y 轴对称。
高二数高考必刷题
高二数高考必刷题高二数学高考必刷题（一）函数的基本性质1、函数的定义。
函数的定义是指给定若干个自变量x1,x2...xn，将它们按照某种规律，即函数的关系式y=f(x1,x2......xn)，表示成一对称值对(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，记为{(x,f(x))}，这样上述对称值对叫做函数f 关于(x1,x2...xn)的值。
2、函数的域。
函数的域指的是函数f关于(x1,x2...xn)的定义域，它是定义该函数的所有可以取得的值，一般以大括号与方括号表示，例如f(x)={x|x>0}表示f(x)的定义域为x>0的集合。
3、函数的值域。
函数的值域指的是函数f关于(x1,x2...xn)的可能取得的值，一般以大括号或者方括号表示，例如f(x)={y|y=x^2}表示f(x)的值域为y=x^2的集合。
（二）函数的初等求导1、常见的初等求导公式。
函数求导的基本原理是利用微分的定义，也就是用一个极小量Δx来进行拆分，从而推导出求导公式。
常见的初等求导公式有：sqrtx求导是1/2x^(-1/2);exp(x)求导结果是exp(x);lnx求导是1/x;cosx求导是-sinx;sinx求导是cosx;tanx求导是sec^2x等等。
2、怎样利用求导公式简便的求导函数？利用求导公式简便的求导函数需要做一些简单的变换，比如常见的链式法则，即对被求导函数先进行变换，用其他变换后的函数来求导，最后再进行变换，从而容易地求出求导函数。
比如，求sqrt(x)+lnx的导数，可以先将sqrt(x)+lnx变换成1/2x^(-1/2)+1/x，然后借助求导公式，求出答案-1/2x^(-3/2)+1/x^2，再进行变换，得到答案sqrtx-1/x。
（三）函数的导数的应用1、判断函数的单调性。
当函数的导数大于0时，函数是递增函数；当函数的导数小于0时，函数是递减函数；当函数的导数等于0时，函数可能也是递增也可能是递减函数，这取决于函数的二阶导数的大小。
数学高考知识点总结函数
数学高考知识点总结函数一、函数的基本概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种对应关系，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素之间的关系。
如果对于集合X中的每一个元素x，都有集合Y中的唯一元素y与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
1.2 函数的表示函数可以用不同的形式进行表示，常见的表示形式包括：① 变量关系式表示：y=f(x)或者y=f(x₁,x₂,…,xₙ)。
② 表格表示：将自变量和因变量的对应关系列成表格。
③ 图像表示：通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
二、函数的性质2.1 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数的一种性质，它们的定义如下：① 奇函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么我们称函数f(x)是奇函数。
② 偶函数：如果对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么我们称函数f(x)是偶函数。
奇函数以原点对称，而偶函数以y轴对称。
2.2 周期函数如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，其中T为一个正常数，那么我们称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
2.3 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质，可以分为严格单调增、严格单调减、非严格单调增、非严格单调减四种类型。
2.4 凹凸性函数的凹凸性描述了函数图像的凹凸形状，它可以分为凹函数和凸函数两种类型。
2.5 极值函数的极值是指函数在一定区间内取得最大值或最小值的点，可以分为最大值和最小值两种。
三、函数的图像3.1 函数的图像基本性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何形象，它具有以下基本性质：① 函数的图像可以用方程y=f(x)来表示。
② 函数的图像关于y轴对称，当且仅当函数f(-x)=f(x)时。
③ 函数的图像可以用表格来表示，通过将自变量和因变量的对应关系列成表格。
3.2 常见函数的图像常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们都有各自的特点和图像形状。
高考数学总复习 函数的基本性质(基础)知识梳理教案
函数的基本性质（基础）【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
2023年高考数学客观题专题六 函数与导数
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
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函数的基本性质知识梳理1) 函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f[g(x)]，令u g(x)，若y f(u)为增，u g(x)为增，则y f [ g(x)]为增；若y f(u)为减，u g(x)为减，则y f[g(x)]为增；若y f(u)为增，u g(x)为减，则y f[g(x)]为减；若 y f （u ）为减， u g （x ）为增，则 y f [ g （x ）]为减．f （x ） （2）打“√”函数 ax (a 0)x的图象与性质yf(x) 分别在( , a]、[ a,）上为增函数，分别在[ a,0) 、(0, a]上为减函数．（3）最大（小）值定义ox①一般地，设函数 yf （x ）的定义域为 I ，如果存在实数M满足：（1 ）对于任意的 x I ，都有 f（x ）M；（2）存在 x 0 I ，使得 f（x0） M．那么，我们称M 是函数f （x ）的最大值，记作 f max（x ） M②一般地，设函数 y f （x ）的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f（x ） m（2）存在 x 0 I ，使得 f （x 0）m ．那么，我们称 m是函数f（x ）的最小值，记作fmax （x ） m．2）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数 f （x ）为奇函数，且在x 0处有定义，则f （0） 0．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数） 的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．3) 函数的周期性定义】若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f (x T) f ( x)恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
基本结论】1、设函数y=f(x) 的定义域为 D ，x∈D,存在非0 常数T，有f(x+T)=f(x) → f(x) 为周期函数，2 、若函数y=f(x) 满足f(x+a)=-f(x)(a>0), 则f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数 f x a f x a，则 f x是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x) 满足f(x+a)= f x(a>0), 则f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期15、若函数y=f(x) 满足f(x+a)= f x(a>0), 则f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期。
函数的点对称典型例题T为f(x)的一个周期；f(x a) 6、1 f(x)1 f(x) ，则x是以T2a为周期的周期函数f (x a) 7、1 f (x)f x1 f (x)，则 f x是以T 4a 为周期的周期函数8、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；( 4 )对称性函数的轴对称ab定理1：如果函数满足fb x，则函数y f x的图象关于直线2对称.推论1：如果函数满足x，则函数y f x的图象关于直线a对称.推论2：如果函数满足则函数y的图象关于直线x 0(y 轴)对称定理2：如果函数满足x 2b，则函数yx a,b的图象关于点对称.推论3：如果函数满足x 0，则函数y x的图象关于点a,0对称.推论 4 ：如果函数满足0，则函数y f x的图象关于原点0,0对称.特别地，推论 4 就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理 2 的简化.考点 3 函数的单调性题型五 确定函数的单调性（区间）变式训练 函数 yx 2 2x 3 的增区间是（ ）A ． [ 3, 1]B ． [ 1,1]C ． (例求函数yx 2x 3的单调区间求证:函数 f （x ） x a （a 0）在 （ a, ）上是增函数x证明 :设 x 1 x 2a则f (x 1) f (x 2)(x 1xa) (x 2 a)(x 1 x 2)(1a ) (x 1x 1x 2 a x 2)( 1 2 )x 1 x 2x 1x 2x 1x 2当 x 1 x 2 a时x 1x 20 , x 1x 2 0 , x 1x 2 a ， 所以 f(x 1)f(x 2) 0所以函数 f （x ） x a(a 0)在 ( a, ） 上是增函数例.设 f(x) 是定义在R 上的函数，对 m 、n R 恒有f(m n) f (m) （ 1 ）求证： f (0) 1； （2） 证明： x R 时恒有 f(x) （ 3 ）求证： f （x ） 在 R 上是减函数；（4） 若 f (x) f (2 x) 1，求 f ( n) ，且当 x 0时， 0 f(x) 1。
3) D ． [ 1, )x0；x 的范围。
题型六 已知函数的单调性求参数的取值范围范围是 ( )A ． ( 2 2 1,2 2 1)B ． ( ,2 2 1)C ． (0,2 2 1]D ． [2 2 1, )变式训练2f (x) x 22(a1)x 2 在 ( , 4］上是减函数，则 a 的取值范围是( )A ． a 3B ． a3 C ．a 5 D ． a 3题型七 解函数不等式 设 f (x)是定义在 (0,)上的单调增函数，满足 f(xy) f(x) f(y), f(3) 1求：(1)f (1)；(2)当 f(x) f(x 8) 2时 x 的取值范围 .变式训练x若 f (x)是定义在 (0, )上的增函数，且对于 x 0满足 f( ) f (x) f(y)y 1(1)求 f (1)的值；(2)若 f (6) 1，试求解不等式 f(x 3) f ( ) 2。
xA. m>0B. 0<m< 32C.-1<m<3D.单调增函数 f(x) 对任意 x,y R， 满足 f (x y)f (x)1) f (2m 1)，实数 m 的取值范围为 ( )13m22f (y),若f (k 3x ) f (3x 9x 2) 0 恒成立，则k 的取值已知函数 f(x) 是定义在 ( 2,2)上的减函数，若 f(m考点 4 函数的奇偶性与周期性题型八函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性（1）f (x)3xx（2）f(x) 1 x2x21（3）已知函数 f (x) x5 ax3 bx 8，若f (2) 10，求f(2) 的值变式训练（1）f (x)2xx[ 1,2]判断奇偶性，求 f (2)的值（2） f (x)a,a 0,判断奇偶性题型九函数的周期性）上以 2 为周期的周期函数，且 f （x）是偶函数，在区间2,3上，f (x) 2(x 3) 4.求x 1,2 时，f(x)的解析式例．设 f （x）是定义在（f (2 x)对任意 x R 均成立，判断函数 f (x) 的奇偶性变式训练设f(x)是( - ∞， + ∞)上周期为 2的奇函数，当 0≤x ≤1时， f(x)=x, 求f(7.5)考点 5 函数的奇偶性及对称性与周期性 题型十 函数性质综合应用 例例.已知 f ( x)的周期为 4，且等式 f (2 x)例.设 f(x) 是定义在区间 ()上且以 2 为周期的函数，对 kZ，用I k 表示区间 (2k 1,2k 1), 已知当x I 0 时，f(x)x 2.求f(x)在Ik上的解析式1 、定义在R 上的函数f ( x)是偶函数，且f (x)f(2 x).若 f ( x)在区间[1,2] 上是减函数，则 f (x)在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4] 上是__ 函数.2、已知 f (x)是定义在R 上的奇函数，当x 0时， f (x) x22x,若2f (2 a ) f(a),则实数a 的取值范围变式训练1、定义在R上的偶函数 f (x)，满足 f (x 1) f (x),且在区间[ 1,0] 上位递增，则f(2), f(3), f( 2)的大小关系.2、已知f(x)是奇函数，定义域为x|x R,x 0 , 又f(x) 在(0, )上是增函数，且 f ( 1) 0,则满足f (x) 0的x的取值范围.四. 归纳总结五. 每节一测1.函数y ＝2x2x 80的单调递增区间为(A．( , 8) B．( ,1) C．(1, ) D．( 8, )2．对于定义域为R 的任意奇函数f(x) 一定有(A ．f(x) －f(－x)>0 B．f(x) －f( －x) ≤03 ．下面四个结论中，正确命题的个数是 ( )① 偶函数的图象一定与 y 轴相交 ② 奇函数的图象一定通过原点 ③ 偶函数的图象关于 y 轴对称5．设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈ [0 ，＋∞ )时， f(x) ＝ x(1 ＋ x3) ，那么当 x ∈(－∞， 0]时， f(x) ＝ ． 6．设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数， 且在 ( －∞，0) 上是增函数， 7．判断下列函数的奇偶性：8.(1) 证明：函数 y x 在 [0, ) 上是增函数，(2) 并判断函数 y x x 在 [0, ) 上的单调性 (3)求函数 y xx 在区间 [1 ，4] 上的值域 .第三讲 答案1. A 2． D 3．A24. f ( 2)> f (lg100) > f (3 )C ． f(x) ·f( － x)< 0D ．f(x) ·f(－ x)≤0④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x) ＝ 0(x ∈R)A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数 f (x) 在 [0, π)上是递减函数，那么下列三个数2f (lg100) , f ( ), f ( 3 ) ，从大到小的顺序是23则 f(－2)与 f(a2 － 2a ＋ 3)(a ∈R)的大小关系是(1) f (x) x 1 1 x(2)f(x) x 2 1 1 x 2115．解：任取 x ∈(－∞， 0]，有－ x ∈ [0 ，＋∞ )，∴f( － x)＝－ x[1 ＋(－x)3] ＝－ x(1 － x3) ，∵f(x)是奇函数， ∴f( －x) ＝－ f(x) ∴f(x) ＝－ f(－x) ＝x(1 －x3) ，即：当 x ∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为 x(1 －x3) ．所以 y f (x) g(x) ，即 y x x 在 [0, ) 上是增函数(3)由(2) 可以知道该函数在区间 [1,4] 上为增函数则由函数单调性可以知道 ,该函数的值域为 [1,3]6． f( － 2) ≥f(a2 －2a ＋3)7． (1) f (x) x 1 1 x 定义域为 x ＝1， ∴函数为 f(x) ＝0(x ＝ 1) ，定义域不关于原点对称，(2) f(x) x 1 1 x 为非奇非偶函数．f(x) x 2 1 1 x 2 定义域为 1x { 1} ， ∴函数变形为 f(x) ＝0(x ＝±1) ，∴ f(x)x 2 1 1 x 2 既是奇函数又是偶函数． 8. 证明： (1) 设 0 x 1 x 2 ，则由已知 y x ，有x 1 x 2 x 1 0 ，即 y 1 y 2 . 所以函数 y x 在 [0,) 上是增函数 . (2) f (x) x,g(x) x 在 [0, ) 上都是增函数，x 2 0 ，所以x 1 x 2。