第四章 电子的自旋讲解
和取向是量子化的，同时也证明了 L 的空间取向也是量
子化的。
史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们， 电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，
轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分 的运动是什么呢？
相应的磁矩又是什么呢？
§4.3 电子自旋的假设
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据 史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多 实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子不仅 有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角 动量S。
如何解释这一矛盾 呢？
量子力学与实验的比较
轨道角动量： L l(l 1) h l 0,1,2, n 1
2
外场方向投影：
Lz
ml
h
2
ml 0,1,2,,l 共 2l 1个
轨道磁矩：
e L
2m
l(l 1)B
外场方向投影： z cos ml B
共 2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
施特恩和盖拉赫实验证明了原子具有 磁矩， 的数值
ml B
§4.2 斯特恩---盖拉赫实验
目的：证明原子在外磁场中具有空间量子化 特征。
原理：磁矩为的小磁体（或线圈），在非 均匀磁场中受到的合力不为零：
f
dB cos
dZ
Z
dB dZ
90时，f与B方向相反。
90时，f与B方向相反。
N S
无磁场
有磁场
o
s
s1
s2
N
a)
s
p A´
c
B z
l1D 3k T
实验发现 原子蒸气被送入不均匀磁场后，发射的原子束将分裂为多束。这证明了原 子磁矩 μz 的空间量子化行为。但实验发现H（基态）原子 （T=7×104K,kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉赫装置后分裂为两束；基 态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。
按照H原子理论，基态H是1s，l＝0，m＝0, μz ＝0,不受力，不会分裂为 二。
第四章 碱金属原子
§4.1 原子中电子轨道运动的磁矩 §4.2斯特恩—盖拉赫实验 §4.3电子的自旋假设 §4.4碱金属双线 §4.5 塞曼效应
教学要求
（1）掌握电子自旋、单价电子总角动量的合成方法和描述电
子量子态的四个量子数。
（2）掌握造成碱金属原子能级精细结构的原因，能写出电子 自旋与轨道的相互作用能的表达式。
A
dA
T
0
1 2
r 2dt
1 2m
T
0
mr 2dt
1 2m
T
0
Ldt
LT 2m
iA e L
2m
e
L
2m
L l(l 1) h 是量子化的
2
e L
2m
l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B
he
4m
9.27401023 A m2
玻尔磁子
Lz
ml
h
2
空间取向量子化
z
e 2m
Lz
s
s(s 1)
自旋量子数s 1 2
Sz
ms
1 2
所以ms
1 2
自旋角动量s必然伴随有自旋磁矩
e μs m s
s 2 s(s 1)B 3B
sz
2
1 2
B
B
二、朗德g因子
如果只考虑自旋角动量 gs＝2，上式可改为
s gs s(s 1)B 3B sz gsmsB B
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
力矩是引起角动量变化的原因：M
d dt
(m ) rF
r
d (m )
dL
dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为： i e
T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
z
面积： dA 1 r rd 1 r2dt 1 r2dt
2
2
2
i
一个周期扫过的面积2
Z1
1 2
azt1
1 2
Fz m
l1 vo
2
1 2
z
B z
l12
mv
2 o
在l段 原子不受力，作自由运动。经l后沿Z偏移为
Z2
v2t2
azt1t2
z
m
B d z vo
l vo
原子沿Z总位移
Z
Z1
Z2
B
B z
d(
d 2
l2 )
1
mv
2 o
z
B z
dD
mv
2 o
＝ z
z (2) 非均匀电场中：电场强度沿 轴，随 z 的变化为 dE dz
q
q(E dE l cos )
dz
)
z
qE q
合力
Fz
q
dE dz
l cos
pz
dE dz
pz p cos ： p 在外场方向的投影
2．磁矩
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0 M B
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属 的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
一、电子自旋
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特 根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道 运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量 S ，具体内容是：
电子自旋运动的量子化角动量为
难点
• 单电子角动量的合成 • 电子自旋与轨道运动的相互作用 • 碱金属原子光谱精细结构分析 • 氢原子光谱精细结构分析
§4.1原子中电子轨道运动的磁矩
一、电磁学知识
1．电偶极矩
p ql
(1) 均匀电场中： F 0 M l F l (qE) p E
q
F qE
l
E
F
q
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z 轴，随z 的变化为dB
dz
合力
Fz
dB dz
cos
z
dB dz
z cos ： 在外场方向的投影
z
i
附：
F U (U i U j U k) x y z
B x Bx y By z Bz
Fz
U z
x
Bx z
y
By z
z
Bz z
θ是磁矩与磁场方向的夹角，μz是磁矩在磁场方向的分量。当 θ<90°有F>0，即力是沿着磁场方向的；当θ>90°，F<0，即力 是逆着磁场方向的
A
p
N
b)
c）
史特恩—盖拉赫实验的仪器示意图
•
史特恩—盖拉赫实验演示图
磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力 作用产生运动，如沿z方向磁场不均匀，则有
F
(-μ
B) ; Fz
z
(zB)
z
B z
,
(
z
e m
2me
mB )
原子进入非均匀磁场l中，沿x方向不受力,作匀速运动。x＝v0t。沿Z方向 作匀加速运动：
（3）掌握单电子跃迁选择定则，并能画出碱金属原子精细能 级跃迁图，解释碱金属原子精细光谱的形成，写出用光谱项 符号表示的谱线的公式。
（4） 掌握氢原子能级的狄拉克公式和光谱的精细结构；了解 氢原子能谱的研究进展
• 重点
• 电子自旋 • 单电子角动量的合成 • 四个量子数、 • 单电子跃迁选择定则 • 原子光谱的精细结构
子化的。
史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们， 电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，
轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分 的运动是什么呢？
相应的磁矩又是什么呢？
§4.3 电子自旋的假设
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据 史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多 实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子不仅 有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角 动量S。
如何解释这一矛盾 呢？
量子力学与实验的比较
轨道角动量： L l(l 1) h l 0,1,2, n 1
2
外场方向投影：
Lz
ml
h
2
ml 0,1,2,,l 共 2l 1个
轨道磁矩：
e L
2m
l(l 1)B
外场方向投影： z cos ml B
共 2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
施特恩和盖拉赫实验证明了原子具有 磁矩， 的数值
ml B
§4.2 斯特恩---盖拉赫实验
目的：证明原子在外磁场中具有空间量子化 特征。
原理：磁矩为的小磁体（或线圈），在非 均匀磁场中受到的合力不为零：
f
dB cos
dZ
Z
dB dZ
90时，f与B方向相反。
90时，f与B方向相反。
N S
无磁场
有磁场
o
s
s1
s2
N
a)
s
p A´
c
B z
l1D 3k T
实验发现 原子蒸气被送入不均匀磁场后，发射的原子束将分裂为多束。这证明了原 子磁矩 μz 的空间量子化行为。但实验发现H（基态）原子 （T=7×104K,kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉赫装置后分裂为两束；基 态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。
按照H原子理论，基态H是1s，l＝0，m＝0, μz ＝0,不受力，不会分裂为 二。
第四章 碱金属原子
§4.1 原子中电子轨道运动的磁矩 §4.2斯特恩—盖拉赫实验 §4.3电子的自旋假设 §4.4碱金属双线 §4.5 塞曼效应
教学要求
（1）掌握电子自旋、单价电子总角动量的合成方法和描述电
子量子态的四个量子数。
（2）掌握造成碱金属原子能级精细结构的原因，能写出电子 自旋与轨道的相互作用能的表达式。
A
dA
T
0
1 2
r 2dt
1 2m
T
0
mr 2dt
1 2m
T
0
Ldt
LT 2m
iA e L
2m
e
L
2m
L l(l 1) h 是量子化的
2
e L
2m
l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B
he
4m
9.27401023 A m2
玻尔磁子
Lz
ml
h
2
空间取向量子化
z
e 2m
Lz
s
s(s 1)
自旋量子数s 1 2
Sz
ms
1 2
所以ms
1 2
自旋角动量s必然伴随有自旋磁矩
e μs m s
s 2 s(s 1)B 3B
sz
2
1 2
B
B
二、朗德g因子
如果只考虑自旋角动量 gs＝2，上式可改为
s gs s(s 1)B 3B sz gsmsB B
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
力矩是引起角动量变化的原因：M
d dt
(m ) rF
r
d (m )
dL
dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为： i e
T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
z
面积： dA 1 r rd 1 r2dt 1 r2dt
2
2
2
i
一个周期扫过的面积2
Z1
1 2
azt1
1 2
Fz m
l1 vo
2
1 2
z
B z
l12
mv
2 o
在l段 原子不受力，作自由运动。经l后沿Z偏移为
Z2
v2t2
azt1t2
z
m
B d z vo
l vo
原子沿Z总位移
Z
Z1
Z2
B
B z
d(
d 2
l2 )
1
mv
2 o
z
B z
dD
mv
2 o
＝ z
z (2) 非均匀电场中：电场强度沿 轴，随 z 的变化为 dE dz
q
q(E dE l cos )
dz
)
z
qE q
合力
Fz
q
dE dz
l cos
pz
dE dz
pz p cos ： p 在外场方向的投影
2．磁矩
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0 M B
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属 的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
一、电子自旋
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特 根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道 运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量 S ，具体内容是：
电子自旋运动的量子化角动量为
难点
• 单电子角动量的合成 • 电子自旋与轨道运动的相互作用 • 碱金属原子光谱精细结构分析 • 氢原子光谱精细结构分析
§4.1原子中电子轨道运动的磁矩
一、电磁学知识
1．电偶极矩
p ql
(1) 均匀电场中： F 0 M l F l (qE) p E
q
F qE
l
E
F
q
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z 轴，随z 的变化为dB
dz
合力
Fz
dB dz
cos
z
dB dz
z cos ： 在外场方向的投影
z
i
附：
F U (U i U j U k) x y z
B x Bx y By z Bz
Fz
U z
x
Bx z
y
By z
z
Bz z
θ是磁矩与磁场方向的夹角，μz是磁矩在磁场方向的分量。当 θ<90°有F>0，即力是沿着磁场方向的；当θ>90°，F<0，即力 是逆着磁场方向的
A
p
N
b)
c）
史特恩—盖拉赫实验的仪器示意图
•
史特恩—盖拉赫实验演示图
磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力 作用产生运动，如沿z方向磁场不均匀，则有
F
(-μ
B) ; Fz
z
(zB)
z
B z
,
(
z
e m
2me
mB )
原子进入非均匀磁场l中，沿x方向不受力,作匀速运动。x＝v0t。沿Z方向 作匀加速运动：
（3）掌握单电子跃迁选择定则，并能画出碱金属原子精细能 级跃迁图，解释碱金属原子精细光谱的形成，写出用光谱项 符号表示的谱线的公式。
（4） 掌握氢原子能级的狄拉克公式和光谱的精细结构；了解 氢原子能谱的研究进展
• 重点
• 电子自旋 • 单电子角动量的合成 • 四个量子数、 • 单电子跃迁选择定则 • 原子光谱的精细结构
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第四章 原子的精细结构：电子的自旋
矩以及在z方向的分量分别表示为：
l l ( l 1) gl B , s s( s 1) g s B , j j( j 1) g j B l , z ml gl B , s . z m s g s B , j , z m j g j B
j j( j 1) g j B j ,z m j g j B
g—朗德因子
其中，j=l±s，mj=j，j-1，…，-j，共 2j+1个 数值。
g因子是反映物质内部运动的一个重要物理量， 但至今仍是一个假设。
引入 g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁
r 2 iS r n n 2 r 2
e e me rn L 2me 2me
def
e 定义旋磁比： 2me
则电子绕核运动的磁矩为 L
结论：电子绕核运动的磁矩与电子的轨道角 动量反方向，大小通过旋磁比联系。
当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为
原子经磁场区（长度为d）后，与x轴线的偏角为：
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
由以上讨论知，不仅μ呈量子化， μ在z方向的 投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的。故从实验测得z2是分立的，反 过来证明μ呈量子化。 此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一 次量度原子基态性质的实验。
当只考虑轨道角动量时，
l l ( l 1) B j l , gl 1， 则 l , z m m B
s 3 B j s,gs 2， 则 s,z B
l l ( l 1) gl B , s s( s 1) g s B , j j( j 1) g j B l , z ml gl B , s . z m s g s B , j , z m j g j B
j j( j 1) g j B j ,z m j g j B
g—朗德因子
其中，j=l±s，mj=j，j-1，…，-j，共 2j+1个 数值。
g因子是反映物质内部运动的一个重要物理量， 但至今仍是一个假设。
引入 g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁
r 2 iS r n n 2 r 2
e e me rn L 2me 2me
def
e 定义旋磁比： 2me
则电子绕核运动的磁矩为 L
结论：电子绕核运动的磁矩与电子的轨道角 动量反方向，大小通过旋磁比联系。
当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为
原子经磁场区（长度为d）后，与x轴线的偏角为：
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
由以上讨论知，不仅μ呈量子化， μ在z方向的 投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的。故从实验测得z2是分立的，反 过来证明μ呈量子化。 此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一 次量度原子基态性质的实验。
当只考虑轨道角动量时，
l l ( l 1) B j l , gl 1， 则 l , z m m B
s 3 B j s,gs 2， 则 s,z B
第四章 原子的精细结构电子的自旋PPT课件
x
12
二、实验结果
对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子经过不均匀的磁场 作用后分成两束，屏幕上看见两条黑斑；但对于锌、汞、镉、锡 等原子经过不均匀的磁场作用只观察到一束；对于基态的氧原子 经过不均匀的磁场作用却观察到五束。
三、实验结果解释
匀强原磁子场具，有则磁原矩子，只在能磁受力场偶中矩的作行用为象M 一个磁B 偶使极磁子偶。极如子果转磁向场沿为
d S1r dr1r2d1r2dt
2
22
则 :S 0 d 0 S 1 2 r 2d 2 m 1 te0 ( m e r 2) d 2 m L te0 d 2 m te L
由此可得到磁矩的大小为：
iSe2m eL2m eeLL
考虑到 与 L 反向，写成矢量式则为：
L
e 称为旋磁比
点击此处输入 相关文本内容
2
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合 的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这 说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成 以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史 特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设 的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应.可是 “自旋是一种结构呢？还是存在着几类电子呢？”并且到现在为止，我们的研 究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我们 将要着手讨论原子的壳层结构。
Bz z沿磁场方向的磁感应强度变化的梯度
磁矩与磁场方向的夹角
讨论：（1）如果 B z >0，当 900 时，则 f 0
z
力的方向沿磁场方向。
12
二、实验结果
对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子经过不均匀的磁场 作用后分成两束，屏幕上看见两条黑斑；但对于锌、汞、镉、锡 等原子经过不均匀的磁场作用只观察到一束；对于基态的氧原子 经过不均匀的磁场作用却观察到五束。
三、实验结果解释
匀强原磁子场具，有则磁原矩子，只在能磁受力场偶中矩的作行用为象M 一个磁B 偶使极磁子偶。极如子果转磁向场沿为
d S1r dr1r2d1r2dt
2
22
则 :S 0 d 0 S 1 2 r 2d 2 m 1 te0 ( m e r 2) d 2 m L te0 d 2 m te L
由此可得到磁矩的大小为：
iSe2m eL2m eeLL
考虑到 与 L 反向，写成矢量式则为：
L
e 称为旋磁比
点击此处输入 相关文本内容
2
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合 的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这 说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成 以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史 特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设 的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应.可是 “自旋是一种结构呢？还是存在着几类电子呢？”并且到现在为止，我们的研 究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我们 将要着手讨论原子的壳层结构。
Bz z沿磁场方向的磁感应强度变化的梯度
磁矩与磁场方向的夹角
讨论：（1）如果 B z >0，当 900 时，则 f 0
z
力的方向沿磁场方向。
第四章 电子的自旋
在原子内部，有两种角动量 L 和 S
必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。
s 与s
l 与 l
分别共线，合成后
j ls
l s
三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
原子的精细结构—电子自旋
j , z m j g j B
轨道 g 1 l 运动
l , z
e Lz m l B 2me
S z ms
S s ( s 1)
e e s S s( s 1) 2 s( s 1) B me me
自旋 gs 2 运动
s , z
e e Sz m s 2m s B me me
自旋-轨道耦合 的附加能量。
作数量级估计（对氢，n=2）：
U e2 ( c ) 2 4 0 2 E0 2 4a1 3 (1.44eV nm)(197eV nm) 2 105 eV 2(0.511106 eV ) 2 (4 0.53nm)3
精确计算：求 S L 2 2 2 J S L J S L 2S L
L 0, 1, 2, 3,
能级重数
2S+1
2
S1/ 2
S P D F
J 值= L S ， S ＋1， ，L S L
见课本p163，表……
（4）施特恩－盖拉赫实验的解释
Bz dD z2 cos z 3kT
其中μ 应为原子的总磁矩，即轨道磁矩和自旋磁矩 的合成 cos J cos mJ g J B
§4.4 碱金属双线
（1）碱金属谱线的精细结构：定性考虑 碱金属的原子光谱有四个主要线系（以锂为例）： 主线系：np→2s跃迁；
锐线系：ns→2p跃迁；
漫线系：nd→2p跃迁；
基线系：nf→3d跃迁。
当用高分辨率光谱仪观察，发现这些谱线有双 线结构：
主线系
np→2s
线系限
锐线系
ns→2p
电子的角动量与电子的自旋
pl
μs
学习材料
Bl
6
§4.2 电子的角动量与电子的自旋
• 光谱和能级的精细结构应该从原子的运动特征进行解释 • 在球对称的库仑场中，仅仅有电子的轨道运动，不可能产生能级分
裂 • 除了相对论效应外，还应该有其它因素
不同l的能级移动
• 电子应该还有除了轨道运动之外的其它运 动特征
• 用其它一个力学量描述这种运动特征
• 尝试引入其它一种角动量
s 1/ 2
2. 自旋角动量的Z重量
1
ps,z 2 ms
1
ms 2
学习材料
ps
3 2
3
2
2
cos1( 1 )
3 54.7
2
3电.s自子 旋由em磁pe于s矩自2 旋s(s而1产)生B 电的子轨磁道矩运μp动ll 的dre磁矩μpllBiA2enlm(le1)2emple
3B
l l(l 1)B
4. 自旋磁矩的Z重量
μs
z
Байду номын сангаас
ps
s,z B 2ms B B
ps μs
学习材料
3
Paul Ehrenfest 1880–1933 Austrian physicist
George Eugene Uhlenbeck 1900 – 1988 Netherland physicist
Kramers
Samuel Abraham Goudsmit 1902–1978 Netherland physicist
学习材料
4
z
sz
s
1
2
3
2
s
sz
z s
sz
第四章 电子自旋和角动量
两式对比，可以看出 c1 c2
ˆ 的属于本征值 E n1 n2 的并且是反对称的本征函数为 这样算符H 0
其中c可由归一化条件来定，其值为 1 2 。于是
对于由 N个费米子组成的全同粒子体系，上述结果不难推广。当 不考虑粒子间的相互作用时 E n1 n2 nN 相应的定态波函数为
ˆ ，仿照轨道角动量，它 用来表示自旋角动量 S 的算符叫做自旋算符 S
也有三个分量。它们之间满足下面的对易关系
Sˆ , Sˆ iSˆ
x y
z
ˆ2 S ˆ2x S ˆ2y S ˆ2z S
Sˆ , Sˆ 0
2 u
u = x, y, z
(2) 自旋算符的本征值 ˆ 的本征值，假定 ˆ2 和 L 对比 L z 2 ˆ 的本证值为 S (S 1) 2，S称为自旋角量子数。 S ˆ 的本征值为 ms ， ms 也可取2S+1个值：从+S到-S。 ms 称为自旋磁量 S z 子数。
ˆ kY 是 M ˆ 的本征函数，其本征值为 b k 。现在要证明 由此可见， M z 2 ˆ 的本征函数，且其本征值不变，即仍为c。 这些函数也是 M
4.4 角动量的一般讨论
ˆ 等角动量算符的本征值。本节 只利用算符的对易关系就可能解出 L z 的方法适用于任何满足角动量对易关系的算符。如自旋角动量。
我们用角动量分量之间的对易关系作为角动量M的一般定义：
ˆ 为 定义算符 M
2
ˆ 2,M ˆ ]0 [M u
(u x, y, z )
ˆ 有共同的本征函数系。现在来求这两个算符的本征值。 ˆ 2和 M 于是 M z
2. 全同粒子和全同粒子体系
质量、电荷、自旋等一切固有性质都相同的粒子为全同粒子。 由多个全同粒子所组成的体系，称为全同粒子体系。 基本特点：交换其中任意两个粒子，不会引起体系状态的改变。
§1819电子自旋new资料
1. 原子的磁矩
μ半经i 典S计算给e出Sn 0 T
e 2 r / v
r
2
n
0
e 2me
me
v
rn
0
e 2me
L
原子中电子轨道运动产生磁矩示ห้องสมุดไป่ตู้图
即 μ L 其中 e
2me
量子力学的计算给出相同的结果
电磁学中磁矩概念的复习
M ISn
矩形线圈在均匀磁场中 所受的力矩
F Idl B
第四章 原子的精细结构： 电子自旋
张劭光
物理学与信息技术学院
一、引言
通过对原子的磁偶极矩的测定来间接测量原子的轨道角动量。考虑这些实验结果 时，我们将发现一个重要的实验事实，即电子不仅具有轨道角动量及与之相对应的磁 偶极矩，还具有一种内禀磁矩，与该磁矩相对应，电子具有一种称为自旋的内禀角动 量。而且磁矩（因而角动量）的空间取向都是量子化的。
类似地 pˆ y p (r )=py p (r ), pˆ z p (r )=pz p (r )
量子力学中如何描述角动量 尝试定义角动量算符(momentum operator): Lˆ = rˆ pˆ 可导出其对易关系（the commutation relations）为:
[Lˆx , Lˆy ] i Lˆz，[Lˆy , Lˆz ] i Lˆx， [Lˆz , Lˆx ] i Lˆy. Then the following relations can be verified: [Lˆ, Lˆ2 ] 0, 即 [Lˆx , Lˆ2 ] 0, [Lˆy , Lˆ2 ] 0, [Lˆz , Lˆ2 ] 0. 选取Lˆ2 , 和 Lˆz 为力学量完备集，求解Lˆ2 , 和 Lˆz的本征值方程， 可得其共同本征态为Ylm
第4章 原子的精细结构：电子自旋 ppt课件
0
即角动量矢量在
空间有三个取向
v 轨道角动量的大小 L及其z分量Lz的取值是量子化的， 而 Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化 的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即 L在z 轴上应 有2l+1个分量，因而 L有2l+1个取向。
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与l =1情况相同，我们有l =2时有5个取向， l =3时有 7个取向
Z
L 6 2
L 2(2 1) 6,(l 2) ml 00,1,2,(l 2) Lz 0,,2
2
l2
即，角动量量子数为l 时，其在空间有2l+1个取向，
它对应有2l+1个投影值ml
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§4.2 史特恩－盖拉赫实验
通过第一节的学习，我们知道不仅原子中电子 轨道的大小、形状和电子运动的角动量、原子内 部的能量都是量子化的，而且在外部磁场中角动 量的空间取向也是量子化的。
所以在l z方向的投影 为l ,z：
l,z
Lz
mlLeabharlann e 2me ml B
ml 0,1,2, ,l
(18 - 5)
可以看出μB 是轨道磁矩的最小单元
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另外，因为
原子的磁偶 极矩的量度
第一玻尔
半径
B
e 2me
1 2
e2 c
2 me e 2
e
1 2
0.5788104 ev T1
为玻尔磁子，是轨 道磁矩的最小单元。 是原子物理学中的 一个重要常数。
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又因为量子力学中角动量 L 在z方向的投影大小为：
电子的运动和自旋解析
电子的运动和自旋解析1.电子的运动：–电子在原子中的运动可以分为轨道运动和扩散运动。
–轨道运动是指电子在原子核周围特定的轨道上运动，如玻尔模型中的能级。
–扩散运动是指电子在原子核附近的空间中不断变化的运动，无法预测其具体位置。
2.电子的自旋：–电子的自旋是电子的一种内禀角动量，类似于地球的自转。
–自旋量子数描述了电子自旋的状态，主要有两种取值：+1/2和-1/2。
–自旋方向与电子运动方向垂直，具有量子化的特性。
3.电子的运动和自旋的关系：–电子的运动和自旋是两个独立的量子力学变量，它们之间不存在经典物理意义上的直接关系。
–在量子力学框架下，电子的运动和自旋可以通过波函数来描述，波函数包含了电子的位置、动量、自旋等信息。
4.电子的运动和自旋的测量：–电子的运动状态可以通过电子的轨道动量来测量，如电子的动能、动量等。
–电子的自旋状态可以通过自旋角动量的测量来确定，如利用电子自旋共振（ESR）技术。
5.电子的运动和自旋在材料科学中的应用：–电子的运动和自旋是材料物理中的基本概念，对于理解材料的电子性质具有重要意义。
–自旋相关的物理现象如自旋极化、自旋传输等在磁性材料、拓扑绝缘体等领域中具有重要应用。
6.电子的运动和自旋在量子计算中的应用：–电子的自旋状态可以用于量子比特的实现，从而进行量子计算。
–电子的运动状态可以用于实现量子隐形传态、量子纠缠等量子信息处理任务。
7.电子的运动和自旋的实验研究：–电子的运动和自旋可以通过各种实验方法进行研究，如粒子加速器、电子显微镜、光谱学等。
–实验研究对于验证量子力学的正确性、探索新物理现象具有重要意义。
习题及方法：1.习题：一个电子在氢原子中绕核运动，其轨道半径为0.5埃。
求该电子的轨道速度。
解题思路：根据经典物理中的向心力公式，结合玻尔模型，求解电子的轨道速度。
解答：电子的轨道速度v = ωr，其中ω为角频率，r为轨道半径。
根据玻尔模型，电子的角频率ω = e^2/（8ε0h），其中e为电子电荷，ε0为真空电容率，h为普朗克常数。
原子物理第四章 原子的精细结构电子的自旋
3 、 1925 年 1 月 初 ， 德 国 物 理 学 家 克 罗 尼 格 (Ralph De Laer Kronig)根据泡利写给朗德关于第四量子数的信，提出电子内禀 角动量假设并推出了碱金属光谱的双线结构，由于反常旋磁比 的原因，理论值是实验值的两倍。 4、1925年1月8日，克罗尼格请教泡利，电子内禀角动量归结为 电子自转不符合泡利的物理直觉而被否定。加上海森堡的反对， 克罗尼格放弃了！ 5、1925年夏天,莱顿大学艾伦费斯特(Paul Ehrenfest) 的两个 学生乌伦贝克(George Eugene Uhlenbeck)和古兹密特(Samuel Abraham Goudsmit)，将电子内禀角动量理解为第四运动自由度， 提出自旋假设并投稿Science(事先不知道泡利和克罗尼格的讨 论)，讨论了反常塞曼效应。 6、1925年秋天，洛伦兹应两人要求算出电子自转违反相对论， 而且反常旋磁比也难解释，两人追回论文未果，于11月发表。 7、1925年12月,众多物理学家云集莱顿大学庆祝洛仑兹获得博 士学位50周年，玻尔请教爱因斯坦，爱因斯坦认为自旋假设是 相对论的必然结果！
L l(l 1) Lz ml
Z
μ
L
L l l(l 1)B , l 0,1,2,3.......n
l,z mlB , m 0,1,2,3....... l
§4-2 史特恩—盖拉赫实验
史特恩和盖拉赫在1921年进行的实验是对原子在外场中取向 量子化的首次直接观测，它是原子物理学中最重要的实验之一， 其装置示意图如下 氢原子从容器O内通过小 孔逸出，氢原子通过狭缝 后,形成细束,经过一不均 匀的磁场区域,在磁场的垂 直方向运动,最后撞在底片 P上, 显像后在底片上看到 两条黑斑,表明氢原子在经 过不均匀磁场区域时已分 成两束.