2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷(理科)解析版
2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-3，1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D.4.x＞3是ln x＞1成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A.B.C.D.6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D. 7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 58.设a=log2018，b=log2019，c=2019，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.9.若函数f（x）=a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x=对称，则函数g（x）=sin x+a cos x的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称10.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2=a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若|AB|=|BF2|，则C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=（e x-a）（x+a2）（a∈R），则满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x-）8的展开式中x2的系数为______（用数字作答）．14.已知实数x，y满足约束条件，则2x-y的最大值为______．15.抛物线y2=4x上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是______16.已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，则△ABC的面积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18. 为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（Ⅰ）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（Ⅱ）完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（Ⅲ）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为x ，求x 的期望．附：K 2=19. 如图，三棱锥D -ABC 中，AB =BC =CD =DA ，（Ⅰ）求证：BD ⊥AC ；（Ⅱ）若AB =AC ，BD =AB ，求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．20. 已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），点P 1（1，1），P 2（0， ），P 3（ ， ），P 4（ ， ）中恰有三点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设R （x 0，y 0）是椭圆C 上的动点，由原点O 向圆（x -x 0）2+（y -y 0）2=2引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，试问△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21. 已知函数f （x ）=ln x -e x +a．（Ⅰ）若曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（Ⅱ）求证：a ＞1-时，f （x ）＜-e -1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （0，-1），直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，M 是线段AB 的中点，当|PM |=时，求sinα的值．23. 已知函数f （x ）=|x +a |+|x -1|．（1）若a =1，解不等式f （x ）＜4；（2）对任意满足m +n =1的正实数m ，n ，若总存在实数x 0，使得成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-3＜x＜3}；∴A∩B={1}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：=．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，所以tan2α===．故选：B．直接利用正切函数的二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e⇒推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选：B．A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．6.【答案】D【解析】解：由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，则斜边是，则大正方形的面积是10，则4个三角形的面积是×1×3×4=6，故小正方形的面积是4，故满足的条件的概率p==，故选：D．由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，分别表示出大正方形和小正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．本题考查考查概率性质、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，∵|+|=|-|，∴+2•+=-2•+，∴•=0， ∴⊥； 又AB=3，AC=4，∴在方向上的投影是||•cos＜，＞=||•cos （π-∠ACB ）=-||•cos ∠ACB =-4； 如图所示． 故选：C ．根据平面向量的数量积，化简|+|=|-|，得出⊥；再结合图形求出在方向上的投影即可．本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目． 8.【答案】C【解析】解：0＜a ＜1，0＜b ＜1，，；∴； ∴a ＞b ； 又；∴c ＞a ＞b ． 故选：C ．容易看出a ，b ∈（0，1），c ＞1，而，从而得出，从而得出a ＞b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．考查对数的运算性质，对数的换底公式，指数函数的单调性，作商比较实数大小的方法． 9.【答案】D【解析】解：∵函数f （x ）=asinx+cosx （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线x=对称， ∴f （0）=f（），即1=a+，∴a=，∴f （x ）=asinx+cosx=sinx+cosx=sin （x+）， 故函数g （x ）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin （x+），当x=-时，g （x ）=，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=-对称，故A 错误，当x=时，g （x ）=1，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=对称，故B 错误， 当x=时，g （x ）=≠0，故C 错误，当x=时，g （x ）=0，故D 正确，故选：D ．利用三角函数的对称性求得a 的值，可得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.【答案】C【解析】解：由于AB=BC=AC=3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为，由于SA ⊥底面ABC ，所以，该三棱锥的外接球直径为，因此，三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为4πR 2=π×（2R ）2=21π．故选：C ．先利用正弦定理计算出△ABC 的外接圆直径2r ，再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题． 11.【答案】A【解析】解：由双曲线的定义可得|BF 1|-|BF 2|=2a ， |AB|=|BF 2|，可得|AF 1|=2a ， 则|AF 2|=|AF 1|+2a=4a ， cos ∠BF 1F 2===，化简可得c4-10a2c2+13a4=0，由e=可得e4-10e2+13=0，解得e2=5+2，可得e=，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0，得①，或②．由①得，a≤e x且a2≥-x，则a∈∅；由②得，a≥e x且a2≤-x，则a∈∅．综上，满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为0．故选：A．把f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0恒成立转化为或，分别求解a的范围得答案．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】28【解析】解：∵（x-）8的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x8-3r，令8-3r=2，求得r=2，故展开式中x2的系数为=28，故答案为：28．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（2，0），当直线z=2x-y过点A（2，0）时，z最大是4，故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.【答案】【解析】解：由题得：如图：依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案为：．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，2）的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，2）的距离与P到焦点F的距离之和．16.【答案】（1，]【解析】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，∴由正弦定理可得：，可得：b=2sinB，c=2sin（-B），∴S△ABC =bcsinA=×2sinB×2sin （-B）×=sinB（cosB+sinB）=sin（2B-）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B-＜，可得：sin（2B-）∈（，1]，∴S△ABC =sin（2B-）+∈（1，]．故答案为：（1，]．由已知利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sin（-B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B-）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x=．II故K2=≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）=3×=．【解析】（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x．（II）依题意，完善表中的数据如下所示：利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．kKD电冰箱的台数为X～B（3，），即可得出期望．本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（Ⅱ）∵CA=AB，AB=BC=CD=DA，∴OD=OB=，∴OD2+OB2==BD2，∴，∵∠DOB是二面角D-AC-B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设A（0，-1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴=（-，1，0），=（，，），=（0，1，），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ===．【解析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵+＜+=1，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b=，+=1，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，（Ⅱ）∵直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d=r，可得=，即有（x02-2）k12-2x0y0k1+y02-2=0，同理由直线OQ：y=k2x与圆M相切，可得（x02-2）k22-2x0y0k2+y02-2=0，即k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，可得k1k2=，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴+=1，∴k1k2===-，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|=•|x1|点Q到直线OP的距离d=，∵|x1|=，|x2|=，∴△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|=••，=3=3=．【解析】（Ⅰ）根据对称性可的C经过P3，P4两点，则图象不经过点P 1，故P2在椭圆上，则可得b=，+=1，解得即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2=-，设P（x1，y 1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|，代值计算即可求出本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-e x+a的导数为f′（x）=-e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-e1+a，切点为（1，-e1+a），可得切线方程为y+e1+a=（1-e1+a）（x-1），可令y=0可得x=，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜-1；（Ⅱ）证明：f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．可得g′（x）=-（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1-，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜-e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e-1-a，故当0＜x＜e-1-a时，g（x）＞0，即g（x）=f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）=ln x0-e x0+a，又e x0+a=，可得f（x0）=ln x0-，在x0＞0递增，又a=ln-x0=-（ln x0+x0），a＞1-⇔-（ln x0+x0）＞1-=-（ln+），所以ln x0+x0＜ln+，由于ln x0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）=-1-e．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y=0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（Ⅱ）求得f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）在ρ+ρcos2θ=8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ-sin2θ）=8ρsinθ，∴x2+y2+x2-y2=8y，即x2=4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2=4y．（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y得：（cosα）2t2-4（sinα）t+4=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△=16sin2α-16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2=，由|PM|=||==，所以20sin2α+9sinα-20=0，解得sinα=或sinα=-（舍去），所以sinα=．【解析】（Ⅰ）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-1|，当x≤-1时，由f（x）=-2x＜4，得x＞-2，则-2＜x≤-1；当-1＜x≤1时，f（x）=2＜4恒成立；当x＞1时，由f（x）=2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|-2＜x＜2}；（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x-1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x-1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：-5≤a≤3．【解析】（1）通过讨论x的范围，解绝对值不等式即可；（2）根据基本不等式的性质求出+≥4，由绝对值不等式得f（x）≥|a+1|，问题转化为4≥|a+1|，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
教考联盟·四川省高中2019届毕业班第二次诊断性考试数学(理工类)参考答案
评 分 说 明 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同可 根 据 试 题 的 主 要 考 查 内 容 比 照 评 分 参 考 制 定 相 应 的 评 分 细 则 对 计 算 题当 考 生 的 解 答 在 某 一 步 出 现 错 误 时如 果 后 继 部 分 的 解 答 未 改 变 该 题 的 内 容 和 难 度可 视 影 响 的 程 度 决 定 后 继 部 分 的 给 分但 不 得 超 过 该 部 分 正 确 解 答 应 得 分 数 的 一 半如 果 后 继 部 分 的 解 答 有 较 严 重 的 错 误就 不 再 给 分 解 答 右 端 所 注 分 数表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 只 给 整 数 分选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 一选 择 题 分 解 析 选 择由
#,8 " # " ! # !5!,!5&*6! 6 $ 2 )$)$ 2 )$ * * 1 1 * 2 , )%"% $)%% 2 *# $ % ! * 6 0 2 2 * *,! 1 1 高中 $ % % ) 届毕业班第二次诊断性考试 1 1 $ % % 1 1 % ! 数学 理工类 参考答案 1 1 % ) % % 1 1 $ " 6! 7% "# ",# * *# 3 4" # *$ 1 1 # ! # % ! 1 1 $ % -" % $ #! **"& )> 4"* .% 8" "# "# "# "# "# 1" 1" 1" 1 % % 1! !" *# 3 4 # "# ", , -" . & 1 1 ! % ! > 4 ",!% " # 1 1 ) > 4 * "# "," 8 "# 1" 1" 1 " $' ) "# '% 1" 8 8 % % " " " " ? # % # % 1 1 * / / * / / * , , , + + * *$ $ # $ # #" 1 & 1 !% ! % 1 1 *"# "# '% ! "# 1" 1" ,+ /' 8" 8 % % % % ? ? " # % " # % *# 3 4 # # " " " , " " , ' + + 1 1 $ # $ $ $ 1 1 !% ! % % % "# "# "# "# *1" 1" 1 ,+ @ 4* 8" -" 1 1 ? ? "* ) $! $" 1 1 # 1 1 ! %" $ % ) 1 1 "# ? -" " % # % " # " % # % , ' " , > 4 " ' ,+ * ' , 1 " + 1 1 ! " % % ! 1 1 ? & ' 1 8! $ .% 0 1% $ 0 1 # 0 ! $ 0* 1 ! ! ! 1 1 4 "'% " ! ")$ 1 2 1 > ? ? ? % $ !! (% ) +% ## $% , +# "'#"$# ""$% #* " %& % $ % % % $ # 0 * $ 0 # # 0 * $ 2 ) * 0 0 1 * $ # *# 2 & * $ 0 1 ) $ 0 9 : # # ) , ")# & 1 1 $ % 1 1 ( $&#* ' !% $ ! ) # 1 *# 1 # 0)$ 0* $ 2 ) 2 * "$)! 2 ; 3* * * $,!! ) % % % % & $)! 1 1 $ % ) 1 1 ! $ % % ! 1 1 1 1 # ' ) % % ! # " # $ " % %# )%*' %# , #! (% %,% %, *%# )%, " %# ,%# 1 1 1 1 % $ % %'' %*!! - * !,#,$,%,0 * $% .* $ $ $ % $)$% 3 (% " 4 1 2 3 3 4 , * $! * % + * ) % . 1 <! 1! 0 0 0 ! ' # & $ % ) 1 1 = 6,' = 8,!,! = !,! = % % ! = 6 1 ' 4 4 $ $ ! % $)$ .) -*!)' % *!4 *' = ! 6% '* &* ' " = ! 65$*' = % <% 1 . 2 3 ! 3 4 1 2 3 ,1 3 4 * 5 , ) 5 * ! 0 ! ' 1 1 & & 0 # ! ' 0 # 1 1 # 4 4 $ $! .% ( !* ))#*'% * )! *#% = ! 6 ",' = % <% "*8 % = ! 658,' = % <* 1 .*' .*' $ % % 1 1 1 + * + * ( ! *# 8 ! = 8 0 ! ! = 8 0% ) ! 1 1 $ % % $ % 1 1 " " $ )!% & % %! &) & & &% &/!% "# '% ! * "'% 0 -" 1 1! ) % ! ! 1 1 " " & % & % &/'% &'!# '% !'% !&) & 1 1 $ % % $ % /% %! ! '! 7 ! ' 1 1 6 ! % 6 ! # ' * &)!*!% !# *'% &*#% > 2 ,> 2 *> 2 , A A A & & -" -" 1 1 % &! ! 5% ,% ! ! ! ! ! 1 1 $ ) % ! % 1 1 **0% ! ! ! *)!! * > 2 > 2 A A & # 1 1 # ! % # ) , 5 # # # 1 $ (% & 1 2 3 #, ' 1 2 3 $*% 3 4 (% )*% 3 4 (% * 1 0! " # % 0 % % * 5)0 , , *# 6 3 4 ( 1 $ % ) $ 1 1 1 # ( * *#% % %% ! )$ # # % ! 5*<% ,*$% , , * , 5 1 1 $ , % ) 1 1 # ! ",!,. % . < ! ' ! $ < % ",.*!% % , ! * 1 1! *#, , 0! 5 , ",! ",! . ",! . # # % % ! 1 1 $ % , 1 1 $ , $) $) , $ # " % # ",! ! 0 ! # /% " # ",! + ( # , !" ,*'% !% #% $# &! . !",! < % ,,! * $ , , , ! 1 1 , " ,# * "* % .* ! # # # $ $ # ",! # . . 1 1 ! % , ! ! 1 1 $ ) " # 1 1 6 $ * * # $ % " % # % % !! . " 0 #' " * )# " 1 . *8 % )1 ! % % !% ,*$ ! 6 7 * * 1 1 # # % % ,*# ( $ 5#*& ! 6 $ * * % 1 1! $ 6 $ % 6 &! #5 5$ #5$ (53 4,# $ (5$ $! *$ $% ! <! 2 ** 6 0*,!% 2 )$% # 6 0 * *,! 1 1
2019届泸州二诊数学理科答案精选
泸州市高2019级第二次教学质量诊断性考试数 学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题二、填空题 13．2； 14．28； 15. (,2][1,)-∞-+∞； 16．54+三、解答题17．解：（Ⅰ）当1n =时，1121a a =-，所以11a =， ·························································································· 1分 因为21n n S a =-，*n ∈N ，所以2n ≥时，1121n n S a --=-， ··································································· 2分 两式相减得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， ·················································· 4分 因为10a ≠，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ······················ 5分 所以12()n n a n -*=∈N ； ············································································ 6分（Ⅱ）由(1)132nn n b a -+=+ 可知，当n 为奇数时，3n b =；············································································ 7分 当n 为偶数时3n n b a =+， ········································································· 8分 则21321242()()n n n T b b b b b b -=+++++++ ······················································ 9分 13213(2223)n n n -=+++++ ······································································ 10分212(14)22661433n n n n +-=+=+--. ····································································· 12分 18．解： (Ⅰ) 由题得各组频率如下：[65,75) 0.02， [75,85) 0.09， [85,95) 0.22， [95,105) 0.33， [105,115) 0.24， [115,125] 0.08， [125,135) 0.02所以，抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 100=， ···························································································· 2分 22222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯22200.08300.02+⨯+⨯150=， ···························································································· 4分 所以，由题得(100,150)XN ，从而 0.95440.6826(112.2124.4)0.13592P X -<≤==； ······························ 6分（Ⅱ）因一件产品中一等品的概率为(124.4)0.50.47720.0228P X ≥=-=， ·············· 7分设商家欲购产品的件数为m ,且其中一等品可能的件数为ξ， 所以(,0.0228)B m ξ， ········································································ 8分 所以m 件产品中一等品的期望0.0228E m ξ=， ·········································· 10分 又因商家欲购m 产品中一等品的期望为100.1m m =℅ ，······························ 11分 因0.1E m ξ<，所以该批产品不能达到商家要求，不能参与招标. ······································· 12分19．证明：（I ）如图，取BD 中点E ，连结AE 、CE ， ······················································ 1分因为ABD △是等腰直角三角形，所以AE BD ⊥， ······················································································· 2分设AB a =，则BD CD =， ·································································· 3分 在CDE △中，由余弦定理得：222))2cos120CE =+-272a =， ······································· 4分因为22AC AB a ==，AE =， 所以222AC AE CE =+，即AE CE ⊥， ·························································· 5分 又AE BD ⊥，BD CE E =， 所以AE ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ； ································································· 6分（II ）解法一：过点E 在平面BCD 内作EF BD ⊥交BC 于点F ，由（I ）知AE ⊥平面BCD ，分别以,,EB EF EA 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， ··················· 7分 不妨设2BD =，则：(0,0,1),(1,0,0),(1,0,0),(A B D C --， ············································ 8分则(1)AC =--，(1,0,1)AB =-，(1,CD =， ································· 9分 设平面ABC 的法向量(,,)x y z =m ，则020x z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取=m ， ········· 10分设平面ABC 的法向量(,,)x y z =n ，则020x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取=n ， ····· 11分所以3cos ||||5<>===⋅m n m,n m n ，因为二面角B AC D --的平面角是锐角， 所以二面角B AC D --. ·················································· 12分 解法二：过点D 作DN ⊥AC 于点N ，设D 在平面ABC 上的射影为M ，连接MN ，则AC ⊥MN ，所以∠DNM 为所求二面角的平面角， ····································· 7分设AB =1,则AD =1,BD =CD=AC =2，BC 在△ADC 中，cos ∠DAC =34,所以DN , ·········································· 8分在△ABC 中，cos ∠BAC=14-,所以sin ∠BAC , ······································ 9分由D ABC ABCD V V --=,所以21111123232DM ⨯⨯⨯=⨯⨯,即DM , ····················································································· 11分 在△DMN中，sin ∠DNM,所以cos ∠DNM =,C所以二面角B AC D --. ·················································· 12分 20．解：（Ⅰ）12,F F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，， 其中0c >，)y x c +，························· 1分2F 到直线AB 的距离为33=， 解得c = ·························· 2分 所以有223a b -=， 由题意知:12242a b ⨯⨯=， 即2ab =， ······················································ 3分 解得：2a =，1b =，所求椭圆C 的方程为2241x y +=；······························································ 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x 整理得：22(4)230m y my ++-=， ··································································· 5分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 所以12224m y y m -+=+，12234y y m -=+， ····················································· 6分直线AP 方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 方程为22(2)2y y x x =--， ··············· 7分 解法一：要证明直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上， 只需证明1212(42)(42)22y y x x +=-+-， ······················································ 8分 即证明2112123620x y x y y y ---=， ·························································· 9分 只需证明2112123(1)(1)620my y my y y y +-+--=， ······································ 10分 即证明121223()0my y y y -+=，而222332440m m m m --⋅⋅+-=+成立，所以直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上． ············································ 12分 解法二：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-， ······························································ 8分 解得：1212124263my y y y x y y -+=+ ···································································· 9分因为121223y y my y +=， ··············································································· 10分 即121223()my y y y =+ ············································································· 11分所以1212124263my y y y x y y -+=+122112266()43y y y y y y -+==++. ······································································ 12分 21. 解：（Ⅰ）因为1()=12ln a f x ax a x x-++--，[1,)x ∈+∞，则(1)=0f ， ······························ 1分 222211(1)1()=(1)()a ax x a a af x a x x x a x x x -----'--==--. ·································· 2分 ①当 102a <<，时，此时11a a->， ······························································· 3分 当11ax a-<<，则()0f x '<，()f x 在1[1,)a a -上是减函数，所以在1(1,)a a -上存在x 0， 使得0()(1)0f x f <<，()f x ≥0在[1,)+∞上不恒成立； ································································ 4分②当12a ≥时，11a a-≤，()0f x '≥在[1,)+∞上成立， ()f x 在[1,)+∞上是增函数，()(1)0f x f =≥， ··············································· 5分 ()f x ≥0在[1,)+∞上恒成立，综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞； ···················································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当12a ≥时，()f x ≥0在[1,)+∞上恒成立， 112ln 0(1)a ax a x x x-++--≥≥， ······························································ 7分 令12a =，有11()ln 2x x x-≥， ···································································· 8分 当1x >时，11()ln 2x x x->， ····································································· 9分 令1k x k +=，有111111ln()[(1)(1)]2121k k k k k k k k ++<-=+--++， ······················ 10分 即111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3,,k n =，将上述n 个不等式依次相加得：11111ln(1)(+++)2232(1)n n n +<+++， ······················································ 11分 整理得1111++++ln(1)1)232(1)n n n n n >+++（≥. ·········································· 12分22．解：（I ）直线l 的普通方程为：0y +， ····················································· 1分因为圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-，所以214cos )2ρρθθ=-， ······························································· 3分 所以圆C的普通方程2220x y x ++-=； ··············································· 4分 （II ）直线l0y +=的参数方程为：122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， ··································································· 5分 代入圆2C的普通方程2220x y x ++-=消去x 、y 整理得：29170t t -+=， ····················································································· 6分 则1||||PA t =，2||||PB t =， ········································································ 7分 1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=-················································ 8分===······························································································· 10分 23．解：（I ）当1a =时，()()1f x g x ->，即1211x x --+>， ······································· 1分即112(1)1x x x -⎧⎨-+++>⎩≤或1112(1)1x x x -<⎧⎨-+-+>⎩≤或112(1)1x x x >⎧⎨--+>⎩， ······················ 4分 所以21x -<-≤或213x -<<-，所以原不等式的解集为2(2,)3--； ······························································ 5分（II ）2()()212f x g x x x a +=-++2222x x a =-++ ·················································································· 6分 2222x x a---≥|22|a +=， ···························································································· 7分 因为不等式22()()(1)f x g x a ++≤有解，所以2|22|(1)a a ++≤，即|1|2a +≥， ························································· 9分 所以a 的取值范围是(,3][1,){1}-∞-+∞-． ·············································· 10分。
2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷(理科)解析版
2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-3，1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.已知，则tan2α=（）A. B. C. D.4.x＞3是ln x＞1成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A.B.C.D. 6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.7.在△ABC中|+|=|-|，AB=3，AC=4，则在方向上的投影是（）A. 4B. 3C.D. 58.设a=log2018，b=log2019，c=2019，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.9.若函数f（x）=a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x=对称，则函数g（x）=sin x+a cos x的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称10.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.11.双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2=a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若|AB|=|BF2|，则C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=（e x-a）（x+a2）（a∈R），则满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x-）8的展开式中x2的系数为______（用数字作答）．14.已知实数x，y满足约束条件，则2x-y的最大值为______．15.抛物线y2=4x上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是______16.已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，则△ABC的面积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等比数列；（Ⅱ）设b n=log2a2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（Ⅰ）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（Ⅱ）完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（Ⅲ）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为x，求x的期望．附：K2=19.如图，三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA，（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若AB=AC，BD=AB，求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P1（1，1），P2（0，），P3（，），P4（，）中恰有三点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设R（x0，y0）是椭圆C上的动点，由原点O向圆（x-x0）2+（y-y0）2=2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21.已知函数f（x）=ln x-e x+a．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴正半轴有公共点，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：a＞1-时，f（x）＜-e-1．22.在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．（1）若a=1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意满足m+n=1的正实数m，n，若总存在实数x0，使得成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-3＜x＜3}；∴A∩B={1}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：=．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，所以tan2α===．故选：B．直接利用正切函数的二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e⇒推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．5.【答案】B【解析】解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选：B．A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．6.【答案】D【解析】解：由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，则斜边是，则大正方形的面积是10，则4个三角形的面积是×1×3×4=6，故小正方形的面积是4，故满足的条件的概率p==，故选：D．由题意设角三角形中较小的直角边是1，则较大的直角边是3，分别表示出大正方形和小正方形的面积，从而求出满足条件的概率即可．本题考查考查概率性质、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：△ABC 中，∵|+|=|-|，∴+2•+=-2•+，∴•=0， ∴⊥； 又AB=3，AC=4，∴在方向上的投影是 ||•cos ＜，＞=||•cos （π-∠ACB ） =-||•cos ∠ACB =-4； 如图所示． 故选：C ．根据平面向量的数量积，化简|+|=|-|，得出⊥；再结合图形求出在方向上的投影即可．本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目． 8.【答案】C【解析】解：0＜a ＜1，0＜b ＜1，，；∴； ∴a ＞b ； 又；∴c ＞a ＞b ． 故选：C ．容易看出a ，b ∈（0，1），c ＞1，而，从而得出，从而得出a＞b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．考查对数的运算性质，对数的换底公式，指数函数的单调性，作商比较实数大小的方法． 9.【答案】D【解析】解：∵函数f （x ）=asinx+cosx （a 为常数，x ∈R ）的图象关于直线x=对称，∴f （0）=f（），即1=a+，∴a=，∴f （x ）=asinx+cosx=sinx+cosx=sin （x+）， 故函数g （x ）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin （x+），当x=-时，g （x ）=，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=-对称，故A 错误，当x=时，g （x ）=1，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x=对称，故B 错误， 当x=时，g （x ）=≠0，故C 错误，当x=时，g （x ）=0，故D 正确，故选：D ．利用三角函数的对称性求得a 的值，可得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论． 本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.【答案】C【解析】解：由于AB=BC=AC=3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为，由于SA ⊥底面ABC ，所以，该三棱锥的外接球直径为，因此，三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为4πR 2=π×（2R ）2=21π．故选：C ．先利用正弦定理计算出△ABC 的外接圆直径2r ，再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的半径，考查计算能力，属于中等题． 11.【答案】A【解析】解：由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2===，化简可得c4-10a2c2+13a4=0，由e=可得e4-10e2+13=0，解得e2=5+2，可得e=，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0，得①，或②．由①得，a≤e x且a2≥-x，则a∈∅；由②得，a≥e x且a2≤-x，则a∈∅．综上，满足f（x）≥0恒成立的a的取值个数为0．故选：A．把f（x）=（e x-a）（x+a2）≥0恒成立转化为或，分别求解a的范围得答案．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】28【解析】解：∵（x-）8的展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x8-3r，令8-3r=2，求得r=2，故展开式中x2的系数为=28，故答案为：28．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（2，0），当直线z=2x-y过点A（2，0）时，z最大是4，故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.【答案】【解析】解：由题得：如图：依题设A在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，A（0，2）．F在准线上的射影A″∵抛物线y2=4x，∴F（1，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=．故答案为：．先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点（0，2）的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到点（0，2）的距离与P到焦点F的距离之和．16.【答案】（1，]【解析】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A=，∴由正弦定理可得：，可得：b=2sinB，c=2sin（-B），∴S△ABC =bcsinA=×2sinB×2sin （-B）×=sinB（cosB+sinB）=sin（2B-）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B-＜，可得：sin（2B-）∈（，1]，∴S△ABC =sin（2B-）+∈（1，]．故答案为：（1，]．由已知利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sin （-B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC ═sin（2B-）+，由已知可求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x=．（II）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2=≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）=3×=．【解析】（I）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4=0.20，在区间[4，8）内的频率=0.09×4=0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数=0.05×4+0.09×（x-4）=0.5，解得x．（II）依题意，完善表中的数据如下所示：利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（III）使用时间不低于4年的频率=1-4×0.05=．kKD电冰箱的台数为X～B（3，），即可得出期望．本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（Ⅱ）∵CA=AB，AB=BC=CD=DA，∴OD=OB=，∴OD2+OB2==BD2，∴∠ ，∵∠DOB是二面角D-AC-B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设A（0，-1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴=（-，1，0），=（，，），=（0，1，），设平面ABD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ===．【解析】（Ⅰ）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵+＜+=1，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b=，+=1，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，（Ⅱ）∵直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d=r，可得=，即有（x02-2）k12-2x0y0k1+y02-2=0，同理由直线OQ：y=k2x与圆M相切，可得（x02-2）k22-2x0y0k2+y02-2=0，即k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，可得k1k2=，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴+=1，∴k1k2===-，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|=•|x1|点Q到直线OP的距离d=，∵|x1|=，|x2|=，∴△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|=••=3=3=．【解析】（Ⅰ）根据对称性可的C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，则可得b=，+=1，解得即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02-2）k2-2x0y0k+y02-2=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2=-，设P（x1，y 1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S=|x1x2|•|k1-k2|，代值计算即可求出本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-e x+a的导数为f′（x）=-e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-e1+a，切点为（1，-e1+a），可得切线方程为y+e1+a=（1-e1+a）（x-1），可令y=0可得x=，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜-1；（Ⅱ）证明：f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．可得g′（x）=-（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1-，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜-e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e-1-a，故当0＜x＜e-1-a时，g（x）＞0，即g（x）=f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）=ln x0-e x0+a，又e x0+a=，可得f（x0）=ln x0-，在x0＞0递增，又a=ln-x0=-（ln x0+x0），a＞1-⇔-（ln x0+x0）＞1-=-（ln+），所以ln x0+x0＜ln+，由于ln x0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）=-1-e．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y=0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（Ⅱ）求得f′（x）=-e x+a．设g（x）=f′（x）=-e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）在ρ+ρcos2θ=8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ-sin2θ）=8ρsinθ，∴x2+y2+x2-y2=8y，即x2=4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2=4y．（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y得：（cosα）2t2-4（sinα）t+4=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△=16sin2α-16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2=，由|PM|=||==，所以20sin2α+9sinα-20=0，解得sinα=或sinα=-（舍去），所以sinα=．【解析】（Ⅰ）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）联立直线l的参数方程与x2=4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-1|，当x≤-1时，由f（x）=-2x＜4，得x＞-2，则-2＜x≤-1；当-1＜x≤1时，f（x）=2＜4恒成立；当x＞1时，由f（x）=2x＜4，得x＜2，则1＜x＜2．综上，不等式f（x）＜4的解集为{x|-2＜x＜2}；（2）由题意+=（+）（m+n）=2++≥4，由绝对值不等式得f（x）=|x+a|+|x-1|≥|a+1|，当且仅当（x+a）（x-1）≤0时取等号，故f（x）的最小值为|a+1|，由题意得4≥|a+1|，解得：-5≤a≤3．【解析】（1）通过讨论x的范围，解绝对值不等式即可；（2）根据基本不等式的性质求出+≥4，由绝对值不等式得f（x）≥|a+1|，问题转化为4≥|a+1|，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
四川省泸州市2019届高三数学下学期第二次教学质量诊断性考试试题理(含解析)
泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题.2.=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简.【详解】=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展开后，代入tana值即可求出.【详解】，故选B.【点睛】本题考查正切函数二倍角公式的运用，属于基础题.4.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5.几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是【答案】B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.7.在中，，则在方向上的投影是（）A. 4B. －4C. 3D. －3【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的数量积，化简，得出；根据投影的几何意义结合图形求出在方向上的投影．【详解】解：△ABC中，∵，∴，∴，∴又AB＝3，AC＝4，∴在方向上的投影是=＝﹣4；如图所示．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的数量积、投影的几何意义，也考查了数形结合思想的应用，是基础题目．8.设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系. 【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x∈R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，与的左、右两支分别交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.已知函数，则满足恒成立的的取值个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时， f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x∈R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x∈R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．13.的展开式中x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_____．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越大，z 越小，作直线2x-y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过F（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.已知数列的前项和满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算求和．【详解】解：（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n＝2+S n，可得2a1＝2+S1＝2+a1，解得a1＝2，a2＝4；n≥2时，2a n﹣1＝2+S n﹣1，又2a n＝2+S n，相减可得2a n﹣2a n﹣1＝2+S n﹣2﹣S n﹣1＝a n，即a n＝2a n﹣1，检验a2＝2a1，所以数列{a n}是首项为2、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n＝2n，b n＝log2a2n+1＝log222n+1＝2n+1，数列{b n}的前n项和T n ＝（3+2n+1）n＝n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：（1）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；（2）完善表中数据，并据此判断是否有的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关；（3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望．附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程;（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出.【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；（2）求证：时，．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由得，则；当时，恒成立；当时，由得，则.综上，不等式的解集为（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
【市级联考】四川省泸州市2019届高三二诊数学(理科)试题-8fc3b530cef34688a4e699e912c2c87f
○…………外…………○…………内…………绝密★启用前 【市级联考】四川省泸州市2019届高三二诊数学（理科)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 2． =（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知 ，则tan2α （ ） A ． B ． C ． D ． 4． 是 n 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是………线………………线………由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ） A ． B ．C ．D ．7．在△ABC 中| + |=| - |，AB =3，AC =4，则 在 方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C ．D ．58．设 2 ， 2 ， 2，则 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数 n 为常数， ）的图象关于直线对称，则函数n 的图象（ ）A ．关于直线 对称B ．关于直线对称C ．关于点对称 D ．关于点对称10．三棱锥 中， 底面 ，若 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．2D ． 211．双曲线的左、右焦点分别为 ，过 的直线与圆相切，与 的左、右两支分别交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）A ． 2B ． 2C ．D ．12．已知函数 ，则满足 恒成立的 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3○…………装………学校:___________姓名：_______○…………装………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13． 的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答） 14．已知实数 满足约束条件 2 2，则2 的最大值为_____． 15．抛物线 上的点到 2 的距离与到其准线距离之和的最小值是_____. 16．已知锐角 的外接圆的半径为1， ，则 的面积的取值范围为_____． 三、解答题 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2a n =2+S n ． （1）求证：数列{a n }是等比数列； （2）设b n =log 2a 2n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下：………○………○…………订……※※请※※装※※订※※线※※内※※答※………○………○…………订……（2）完善表中数据，并据此判断是否有 的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市民年龄”有关； （3）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为 ，求 的期望． 附：19．如图，三棱锥 中， .（1）求证： ；（2）若，求直线 与平面 所成角的正弦值．20．已知椭圆，点 ，2 2 2 2 中恰有三点在椭圆 上．（1）求椭圆 的方程；（2）设 是椭圆 上的动点，由原点 向圆 2引两条切线，分别交椭圆于点 ，若直线 的斜率存在，并记为 ，试问 的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数 n ．（1）若曲线 在点 处的切线与 轴正半轴有公共点，求 的取值范围；22．在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．23．已知函数．（1）若，解不等式；（2）对任意满足的正实数，若总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．参考答案1．A【解析】【分析】先求出集合B，然后根据集合的交集的运算求出.【详解】解：B={x|-3＜x＜3},又∴A∩B={1}．故选：A．【点睛】本题考查集合列举法、描述法的定义，交集的运算，属于基础题. 2．C【解析】【分析】先对分母实数化，然后按照复数代数形式的乘除运算法则化简. 【详解】（－=，故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】直接由正切函数的倍角公式，代入求出答案即可.【详解】由正切函数倍角公式：tan2故选B【点睛】本题主要考查了正切倍角公式，属于基础题.4．A【解析】【分析】解出关于x的不等式，再结合充分必要条件的定义找出两者之间的关系.【详解】解：lnx＞1⇔x＞e∵x＞3⇒x＞e，x＞e推不出x＞3，∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要条件故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，解不等式，属于基础题.5．B【解析】试题分析：由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．考点：三视图．6．D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为2,故概率为.7．C【解析】解：在中，，平方整理可得，在方向上的投影是.点晴:平面向量的数量积的相关计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．8．C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于 2 2 2 ，所以为三个数中最大的.由于 2 2 ，而 2 2 ，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.9．D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】解：∵函数f（x）＝a sin x+cos x（a为常数，x R）的图象关于直线x＝对称，∴f（0）＝f（），即，∴a＝，所以函数g（x）＝sin x+a cos x＝sin x+cos x＝sin（x+），当x＝﹣时，g（x）＝-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故A 错误，当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝对称，故B错误，当x＝时，g（x）＝≠0，故C错误，当x＝时，g（x）＝0，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．10．C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，则△ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为2 2，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝21π．故选：C．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题．11．A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．【详解】解：由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a，cos∠BF1F2＝＝，化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，由e＝可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝5+2，可得e＝2，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用直角三角形中三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．B【解析】【分析】由f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，对a分类讨论，可知a≤0时不合题意，当a＞0时，f（x）的两个因式同正同负，则需在同一x处等0，则转化为﹣a2＝lna的根的个数求解．【详解】解：f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0，当a＝0时，f（x）＝（e x﹣a）（x+a2）≥0化为e x•x≥0，则x≥0，与x R矛盾；当a＜0时，e x﹣a＞0，则x+a2≥0，得x≥﹣a2，与x R矛盾；当a＞0时，令f（x）＝0，得x＝lna或x＝﹣a2，要使f（x）≥0恒成立，则﹣a2＝lna，作出函数g（a）＝﹣a2与h（a）＝lna的图象如图：由图可知，a的取值个数为1个．故选：B．【点睛】本题考查恒成立问题，考查数学转化思想和分类讨论的思想，是中档题．13．【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理14．4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】解：作出实数x，y满足约束条件22表示的平面区域，由z＝2x-y可得y＝2x-z，则z表示直线y＝2x-z在y轴上截距的相反数，截距越大，z越小，作直线2x-y＝0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过22的交点（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15．【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|P A|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|P A″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|P A|≥|AF|＝．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题. 16．【解析】【分析】由已知利用正弦定理2可以得到b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．【详解】解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，∴由正弦定理可得：2，可得：b＝2sin B，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bc sin A＝×2sin B×2sin（﹣B）×＝sin B（cos B+sin B）＝sin（2B﹣）+，∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+（1，]．故答案为：（1，]．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（1）见解析；（2） 2【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【详解】（1）证明：数列{a n}的前n项和S n满足2a n=2+S n，可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；n≥2时，2a n-1=2+S n-1，又2a n=2+S n，相减可得2a n-2a n-1=2+S n-2-S n-1=a n，即a n=2a n-1，可得数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得a n=2n，b n=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，数列{b n}的前n项和T n=（3+2n+1）n=n2+2n．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18．（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.20，在区间[4，8）内的频率为0.36．可得该款电冰箱使用时间的中位数在区间[4，8内，根据条形图计算中位数的方法求解．（2）依题意，完善表中的数据，然后利用独立性检验计算公式可得K2，进而得出结论．（3）使用时间不低于4年的频率．电冰箱的台数为X～B（3，），则可得出期望．【详解】解：（1）依题意，该款电冰箱使用时间在区间[0，4）的频率为0.05×4＝0.20，在区间[4，8）内的频率＝0.09×4＝0.36．∴该款电冰箱使用时间的中位数＝0.05×4+0.09×（x﹣4）＝0.5，解得x＝．（2）依题意，完善表中的数据如下所示：故K2＝≈243.06＞10.828；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．（3）使用时间不低于4年的频率＝1﹣4×0.05＝．∴电冰箱的台数为X～B（3，），∴X的期望E（X）＝3×＝．【点睛】本题考查了二项分布列的计算公式及其期望、独立性检验计算公式及其原理、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出AC⊥DO，AC⊥BO，从而AC⊥平面BOD，由此能证明BD⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值．【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC，△ADC均为等腰三角形，∴AC⊥DO，AC⊥BO，∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BOD，∵BD⊂平面BOD，∴BD⊥AC．解：（2）∵CA＝AB，AB＝BC＝CD＝DA，∴OD＝OB＝，∴OD2+OB2＝＝BD2，∴，∵∠DOB是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴平面DAC⊥平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，﹣1，0），则C（0，1，0），B（0，0），D（0，0，），∴＝（﹣，1，0），＝，＝（0，1，），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），设直线BC与平面ABD所成角为θ．则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sinθ＝.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程，（2）由直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2＝﹣，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|，代值计算即可求出【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为.（2）∵直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆M相切，由直线和圆相切的条件：d＝r，可得2，即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，同理：直线OQ：y＝k2x与圆M相切，可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，即k1，k2为方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的两个不等的实根，可得k1k2＝，∵点R（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴k1k2＝＝，设P（，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|OP|＝•|x1|点Q到直线OP的距离d＝，∵|x1|＝，|x2|＝，∴△OPQ的面积S＝|x1x2|•|k1﹣k2|＝••，＝．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．21．（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；（2）求得f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．【详解】解：（1）函数f（x）＝lnx﹣e x+a的导数为f′（x）＝﹣e x+a．曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；（2）证明：f′（x）＝﹣e x+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣e x+a．可得g′（x）＝﹣（+e x+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；由a＞1﹣，e x+a＞e x．若e x＞，g（x）＜﹣e x＜0，当0＜x＜1时，e x+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）≤f（x0），又f（x0）＝lnx0﹣e x0+a，又e x0+a＝，可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），a＞1﹣⇔﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和构造函数法，考查函数零点存在定理的运用，考查变形能力和推理能力，属于难题．22．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23．(1) 22 (2)a【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先利用1的代换求最小值，再根据绝对值三角不等式求的最小值，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，由 2 得 2，则 2；当时，2恒成立；当时，由 2 得2，则2.综上，不等式的解集为22（2）由题意，由绝对值不等式得，当且仅当时取等号，故的最小值为.由题意得，解得.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
【精选五套高考模拟卷】2019年四川省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2019年四川省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．33．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣14．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B． C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．210．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11． =______．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8=______．13．设，则a3=______．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为______．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．17．自2019年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF ⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=6，S7=56，数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和Q n．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．2019年四川省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，B=N，则集合A∩B的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解不等式求出集合A，进而得到集合A∩B的元素个数，最后由n元集合有2n﹣1个真子集得到答案．【解答】解：∵集合=[，3]，B=N，∴集合A∩B={1，2，3}，故集合A∩B的真子集个数为23﹣1=7个，故选：C．2．已知z=2+i，（i是虚数单位），z的共轭复数是，则=（）A．5 B．25 C．4 D．3【考点】复数求模．【分析】求出z的共轭复数，代入求出的值即可．【解答】解：∵z=2+i，∴=2﹣i，则=|（3﹣2（2+i））•（2﹣i）|=|（﹣1﹣2i）•（2﹣i）|=|﹣3i|=3，故选：D．3．已知向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．1 B．C．D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的坐标可以求出向量和的坐标，根据与垂直便可得到，进行数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，从而可解出λ的值．【解答】解：；∵；∴；∴．故选C．4．已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回归直线的斜率估计值为2，且，，则回归直线方程为（）A．B．C．D．【考点】线性回归方程．【分析】根据题意，求出、，代人回归直线方程求出，写出回归直线方程即可．【解答】解：∵回归直线方程为的斜率估计值为2，且，，∴==3， ==5；代人回归直线方程得=5﹣2×3=﹣1，∴回归直线方程为=2x﹣1．故选：C．5．“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，化为：k2=1，解出即可判断出结论．【解答】解：函数（k为常数）在定义域上是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，∴+=0，化为：k2（e x+e﹣x）=e x+e﹣x，∴k2=1，解得k=±1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数．∴“k=1”是“函数（k为常数）在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．故选：A．6．设x∈[0，3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】先分析程序的功能为计算并输出分段函数y=的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x∈[0，2）时，y∈[3，5），当x∈[2，3]时，y∈[5，10]，故输出的结果的范围为[3，10]，若从输出的结果中随机取一个数a，“2a﹣10≥0”⇔a∈[5，10]，则P==，故选：C7．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C． D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．【解答】解：由题意，由三视图得该几何体是正四面体，棱长为a，此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，∴外接球的半径为R=a，∴该几何体外接球的体积为V=πR3=πa3．故选：B．8．已知a＞﹣2，若圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0恒有公共点，则a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1]∪[3，+∞）B． C． D．（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的条件进行求解即可．【解答】解：圆O1：x2+y2+2x﹣2ay﹣8a﹣15=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣a）2=a2+8a+16，圆心O1（﹣1，a），半径R==|a+4|=a+4，圆O2：x2+y2+2ax﹣2ay+a2﹣4a﹣4=0的标准方程为（x+a）2+（y﹣a）2=a2+4a+4，圆心O2（﹣a，a），半径R==|a+2|=a+2，则圆心距离|O1O2|=|﹣a+1|=|a﹣1|，若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切，即a+4﹣（a+2）≤|O1O2|≤a+2+a+4，即2≤|a﹣1|≤2a+6，若a≥1，则不等式等价为2≤a﹣1≤2a+6，即，即得a≥3，若﹣2＜a＜1，则不等式等价为2≤1﹣a≤2a+6，即，即，得﹣≤a≤﹣1，综上﹣≤a≤﹣1或a≥3，故选：C．9．设f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则m的最小值为（）A．B．1 C．D．2【考点】二次函数的性质．【分析】若x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，则4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|≥2，解得m的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|的最大值为m，∴4m≥|f（﹣1）|+|f（1）|+2|f（0）|=|1+A+B|+|1﹣A+B|+2|B|≥|（1+A+B）+（1﹣A+B）﹣2B|=2m≥，即m的最小值为，故选：A10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=|PF1|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，解得|PF1|=，|PF2|=|PF1|﹣2a，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简．令t=1﹣λ+，则上式化为8（﹣）2+，由t关于λ单调递减，可得≤t＜，即≤≤，由二次函数的单调性解出即可．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|==|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|﹣|PF2|=|QF1|﹣|QF2|，由|PQ|=λ|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=λ|PF1|，即为|PF1|﹣2a+|PF1|﹣2a=λ|PF1|，∴（1﹣λ+）|PF1|=4a，解得|PF1|=．|PF2|=|PF1|﹣2a=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，即有（）2+[]2=4c2，即为+=e2．令t=1﹣λ+，则上式化为e2==8（﹣）2+，由t=1﹣λ+=1+，且≤λ≤，由t关于λ单调递减，可得≤t＜即≤≤，由∉[，]，可得e2在[，]递增，≤e2≤，解得≤e≤．可得椭圆离心率的取值范围是[，]．故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11． = ．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解： ===﹣．故答案为：．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4=18﹣a6﹣a5，则S8= 36 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质可得：a3+a6=a4+a5=a1+a8．再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a4=18﹣a6﹣a5，∴a3+a4+a6+a5=18，a3+a6=a4+a5=a1+a8．∴2（a1+a8）=18，即a1+a8=9．则S8==36．故答案为：36．13．设，则a3= 400 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6，按照二项式定理展开，可得（x+2）3的系数a3的值．【解答】解：∵x7+x6=[（x+2）﹣2]7+[（x+2）﹣2]6=a0+a1（x+2）+a2•（x+2）2+…+a7（x+2）7，∴a3=•（﹣2）4+•（﹣2）3=400，故答案为：400．14．若x，y满足约束条件则的取值范围为[1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简所求表达式，利用表达式的几何意义，求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：则==+．由可行域可知：∈[1，k OA]，由，可得A（1，3），k OA=3，∈， +2∈，∈，则∈[1，]．故答案为：[1，]．15．已知a为正整数，f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7，若y=f（x）至少有一个零点x0且x0为整数，则a的取值为1或5 ．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，结合a为正整数，可得：﹣3≤x≤1，分别代入验证可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=a（x2+4x+4）﹣2x﹣7，∴f（﹣2）=﹣3≠0，即x=﹣2不是函数y=f（x）的零点，令f（x）=ax2+4ax﹣2x+4a﹣7=0，则a（x2+4x+4）=2x+7，即a=，∵a为正整数，∴≥1，解得：﹣3≤x≤1，当且仅当x=﹣3时，a=1，x=﹣1时，a=5，x=1时，a=1满足条件，综上可得：a的值为1或5，故答案为：1或5．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由．利用正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b ﹣c），化简再利用余弦定理即可得出．（II）bcsinA=，化为bc=4．利用余弦定理可得=4，联立解出即可得出．【解答】解：（I）在△ABC中，∵，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）=c（b﹣c），化为b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴解得A=．（II）bcsinA=，化为bc=4．=4，联立解出：或．17．自2019年1月26日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来，其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开始至初一16时，参与抢微信红包的用户超过500万，总计抢红包7500万次以上．小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．（Ⅰ）若小张发放10元红包3个，求小王恰得到2个的概率；（Ⅱ）若小张发放4个红包，其中5元的一个，10元的两个，15元的一个，记小明所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出小张发放10元红包3个，小王恰得到2个的概率．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机发放微信红包，每次发1个．∵小张发放10元红包3个，∴小王恰得到2个的概率p==．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，35，40，P（X=0）=（）4=，P（X=5）==，P（X=10）==，P（X=15）=×+=，P（X=20）==，P（X=25）=×2=，P（X=30）==，P（X=35）==，P（X=40）=（）4=，EX=+++35×=．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，底面ABCD为正方形，E为DP的中点，AF ⊥PC于F．（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向理量法能证明PC⊥平面AEF．（Ⅱ）先求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AD=2，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（1，0，1），A（0，0，0），=（1，0，1），=（2，2，﹣2），=2+0﹣2=0，∴PC⊥AE，∵AF⊥PC于F，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．解：（Ⅱ） =（2，2，0），=（1，0，1），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣AC﹣E的平面角为α，则cosα===．∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=6，S7=56，数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和Q n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=6，S7=56，可得，解出即可得出．由数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．利用递推关系即可得出．（II）对n分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=6，S7=56，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．∵数列{b n}前n项和为T n，且2T n﹣3b n+2=0．∴2b1﹣3b1+2=0，解得b1=2．当n≥2时，2T n﹣1﹣3b n﹣1+2=0，∴2b n﹣3b n+3b n﹣1=0，∴b n=3b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴b n=2×3n﹣1．（II），当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣3）=+2×=2k2+=+．当n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和Q n=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=2[1+3+…+（2k﹣1）]+2×（3+33+…+32k﹣1）=2k2+=+．20．已知椭圆C的中心在原点，离心率为，且与抛物线有共同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），可得+=1，根据点斜式可得直线A1P、A2P的方程，分别交直线l：x=4于M，N两点，可得d=，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），与椭圆方程联立，根据判别式即可得出．【解答】解：（I）抛物线的焦点为，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=，，a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．故椭圆C的标准方程为： =1．（II）由（I）可得：A1（﹣2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），（x0≠±2，y0≠0），则+=1，∴=4﹣．直线A1P、A2P的方程分别为：y=（x+2），y=（x﹣2），分别交直线l：x=4于M，N两点，d=====，k=表示经过椭圆上的点P（x0，y0）与点Q（4，0）的直线的斜率（y0≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x﹣4），联立，化为：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0，由△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）≥0，化为：k2≤，解得≤k≤，k≠0，∴k=±时，d取得最小值=2．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求实数a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，结合曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，即可求实数a，b的值；（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；（Ⅲ）证明e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，利用累加法，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a，∴f′（1）=e﹣a，∵f（1）=e﹣a﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣a﹣1）=（e﹣a）（x﹣1），即y=（e﹣a）x﹣1，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，∴e﹣a=2，b=﹣1，∴a=e﹣2，b=﹣1；（Ⅱ）解：∵f（x）=e x﹣ax﹣1，∴f′（x）=e x﹣a∴a≤1时，函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0；a＞1时，f′（x）=e x﹣a=0，x=lna，∴函数在[0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增，∴x=lna时，f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（lna）=a﹣alna﹣1；（Ⅲ）证明：设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）=0，故e x≥x+1．取x=﹣，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤，即（）n≤，累加可得++…+≤+…+=＜，∴．2019年9月26日数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷及解析（理科）
2019年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.（5分）已知集合A={-3,1},B={⅛2<9},则A∩B=（）A.{1}B.(-3,1)C.(-3,1}D.(-3,3)2.(5分)坦-L)=()1-iA.~3~iB.3~iC.3+iD.-3+i3.(5分)已知t anα二%∙,则tan2a=()A.ɪB.-1 c.4 D.旦43544.（5分）x>3是以>1成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（5分）我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）L C.ɪ D.-21051057.（5分）在左ABCφ∣AB+AQ=I AB-A0,AB=3,AC=4,则BC在CA方向上的投影是（）A.4B.3C.-4D.5__________[8.（5分）设Q=Iog2018^2019,A=Iog2019√2018,c=20192018,则o,b,C的大小关系是（）A.a>b'>cB.a>c^>bC.c'>a>bD.c'>b'>a9.（5分）若函数f（x）=QSilu：+CoSX（Q为常数，x∈R）的图象关于直线x=JL■对称，则函6数g（x）=siax+QCOSJV的图象（）A.关于直线X=上对称3c.关于点（JL,0）对称3b.关于直线X=2L对称6D.关于点（匹，0）对称610.（5分）三棱锥S-AB C中，SA_L底面AB C,若SA=AB=BC=AC=3,则该三棱锥外接球的表面积为（）A.18πB.21πC.21πD.42π22211.（5分）双曲线C：ɪ-=!（«>0,⅛>0）的左、右焦点分别为Fi、F2,过Fl的2.2a b直线与圆χ2+y2==决相切，与C的左、右两支分别交于点A、B,若IABl=I j BF2∣,则C的离心率为（）A.√5+2√3B.5+2√3C.√3D.√512.（5分）已知函数f（x）=（e^r-α）（x+tz2）（α∈R）,则满足f（x）NO恒成立的o的取值个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13.（5分）（χ-2-）8的展开式中普的系数为（用数字作答）.2Xy≤χ14. （5分）已知实数X,y满足约束条件＜χ+y≥2＞则2χ-y的最大值为.k x≤215.（5分）抛物线∕=4x±的点到（0,2）的距离与到其准线距离之和的最小值是16. （5分）已知锐角AABC的外接圆的半径为1,A=—,则AABC的面积的取值范围4为.三、解答题：共70分。
四川省泸县第四中学2019届高三二诊模拟数学(理)试卷(含答案)
2019年四川省泸县第四中学高三二诊模拟考试数学（理）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i iiz 211+-+=，则=z A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知集合{}{}31,0)1ln(≤≤-=≤-=x x B x x A ，则B A = A ．[]3,1- B ．[]2,1- C ．(]3,1 D ．(]2,13．若y x , 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00402y y x y x ，则y x z +=21的最大值为A ．25 B ．3 C ．27D ．4 4．已知函数)322sin()(π+=x x f ，则下列结论错误的是A ．)(x f 的一个周期为π-B ．)(x f 的图像关于点)0,65(π-对称 C ．)(x f 的图像关于直线12π-=x 对称D ．)(x f 在区间)3,3(ππ-的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．16 B ．17 C ．18 D ．196.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算 原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在 两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一 个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，A ，B 的体积不相等，A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的A ．充分不必要条件B ．B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．若6)1(xax -展开式的常数项为60，则a 的值为 A ．4 B ．4± C ．2 D ．2±8．在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率A ．18π-B ．14π-C ．34D ．4π 9．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)，若|+|=，α∈(0，π)，则与的夹角为 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．31 B ．21 C ．32 D ．65 11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 A ．21 B ．163 C ．417 D ．41712．已知双曲线C ：12222=-by a x的左、右焦点分别为21,F F ，坐标原点O 关于点2F 的对称点为P ，点P 到双曲线的渐近线距离为32，过2F 的直线与双曲线C 右支相交于N M ,两点，若3=MN ，MN F 1∆的周长为10，则双曲线C 的离心率为A ．23 B ．2 C ．25D ．3第II 卷（非选择题90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省泸州市泸县第一中学2019届高三二诊模拟数学(理)试卷(含答案)
2019年春四川省泸县第一中学高三二诊模拟考试数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则=B A A ．B ．C ．D ．2．已知复数i m n z )12()1(1++-=与i n z )2(22-+=为共轭复数，其中R n m ∈,，为虚数单位，则1z =A ．1B ．2C ．3D ．53．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-30101x y x y x 则y x z 32-=的最小值是A ．-7B ．-6C ．-5D ．-3 4．关于函数x x x f cos sin )(-=，下列叙述正确的是 A ．关于直线2π=x 对称 B ．关于点)0,2(π对称C ．最小正周期π2=TD ．图象可由x y sin 2=的图像向左平移4π个单位得到 5．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为 A ．63 B ．47 C ．23 D ．76．若向量b a ,，满足1=a ，2=b ，且)(b a a-⊥，则a 与b 的夹角为A ．4π B ．3π C ．π43 D ．π65 7．在区间[]1,0内任取两个实数x 与y ，则满足2x y ≤的概率等于 A ．41 B ．31 C ．21 D ．32 8．若6)1(xax -展开式的常数项为60，则a 值为 A ．4 B ．4± C ．2 D ．2±9．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0单调递增，则对实数b a ,, b a >是)()(b f a f >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 A ．61 B ．41 C ．31 D ．2111．已知矩形中，，，分别为，的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使二面角C EF A --的大小为0120，则过，，，，，六点的球的表面积为 A ．B ．C ．D ．12．设双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 左、右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点N M ,，连结22,NF MF ，0.22=NF MF =，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．6第II 卷（非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试理科数学试卷 word版
2019届四川省泸州市高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4 页，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合A={-3,1}，B= {0＜|2x x },则=B A A.{1} B.(-3,1) C.{-3,1} D. （-3,3）2.=-ii 12 A. i -1 B. i +1 C. i +-1 D. i --13.已知21tan =α，则=α2tan A. 34-B. 34C. 43- D. 434. 3>x 是3>ln x 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.若某几何体的二视图如图所示，则该几何体的直观图可以是6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是 A.101 B. 52 C. 103 D. 517.在△ABC 中，||||-=+，若4,3||==,则向量在方向上的投影是 A.4 B.-4 C.3D.-38.设 20181201920182019,2018log ,2019log ===c b a ,则 a ，b ，c 的大小关系是A. a> b> cB. a > c > bC. c> a>bD. c>b>a9. 若函数x x a x f cos sin )(+= (a 为常数，R x ∈)的图像关于直线6π=x 对称，则函数x a x x g cos sin )(+=的图像A.关于直线3π=x 对称 B.关于直线6π=x 对称C.关于点)0,3(π对称 D.关于点)0,65(π对称 10.三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为 A. π18 B.221πC. π21D. π42 11.双曲线C: 12222=-b y ax (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 ,过F1的直线与圆222a y x =+相切,与C 的右支交于点A ，B ，若||||2BF AB =，则C 的离心率为 A. 323+ B. 325+ C. 3 D. 512.函数))()(()(2R a a x a e x f x ∈+-=，则满足0)(≥x f 恒成立的a 的取值个数是 A.0 B.1 C.2 D.3第II 卷（非选择题共90分）注意事项:(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。