《方程的根与函数的零点》测试题
函数与方程-高考真题复习-高考复习
设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则
1.函数的零点与方程的根
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0
3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a
第06讲 利用导数研究函数的零点(方程的根) (精讲+精练)(学生版)
第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数高频考点二：证明唯一零点问题高频考点三：根据零点情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点问题②利用数形结合法研究函数的零点问题③构造函数研究函数零点问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数()y f x=，把使()0f x=的实数x叫做函数()y f x=的零点．（2）三个等价关系方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数)(xfy=有零点．2、函数零点的判定如果函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b⋅<，那么函数()y f x=在区间(,)a b内有零点，即存在(,)c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是()0f x=的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点1．（2022·全国·高二）已知函数()f x的定义域为[]15-，，部分对应值如下表：()f x的导函数()y f x='的图象如图所示，则下列关于函数()f x的命题：① 函数()y f x=是周期函数；② 函数()f x在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t∈-时，()f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a<<时，函数()y f x a=-有4个零点．其中真命题的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（文））已知函数()2e1xf x x a=+-()a R∈有两个极值点，则实数a的取值范围为（）A．1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭B．2,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．2,e⎛⎫-+∞⎪⎝⎭3．（2022·全国·高二）若函数()3239f x x x x m =--+仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,-+∞B ．(,27)(5,)-∞-⋃+∞C ．(,27)-∞D ．(,5)(27,)-∞-⋃+∞4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数()326f x x x m =-+有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，4）B ．[﹣4，4]C ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数1．（2022·全国·高二）设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )（ ）A ．在区间1(,1)e，(1，e )内均有零点 B ．在区间1(,1)e，(1，e )内均无零点C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1，e )内无零点D ．在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1，e )内有零点2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()()12xx e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·高三专题练习（理））函数()()1ln 03f x x x x =->的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·高二课时练习）求函数3()231f x x x =-+零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数()e x f x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．（2022·江苏苏州·模拟预测）方程3269100x x x -+-=的实根个数是______ ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()1x f x e x =-+的零点个数是__________．8．（2022·广东佛山·高二阶段练习）已知函数()()1ln 2af x x a x x=+---，其中R a ∈． (1)若()f x 存在唯一极值点，且极值为0，求a 的值； (2)若2e a <，讨论()f x 在区间2[1,e ]上的零点个数．9．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（文））给定函数()()1e xf x x =+．(1)判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值； (2)求出方程()()f x a a R =∈的解的个数．高频考点二：证明唯一零点（根）问题1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知函数321()(1)3=-++f x x a x x ．(1)若1a =，求()f x 的单调区间及相应区间上的单调性； (2)证明:()f x 只有一个零点．2．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数()ln x axf x x+=，R a ∈. (1)若0a =，求()f x 的最大值；(2)若01a <<，求证：()f x 有且只有一个零点.3．（2022·广西玉林·模拟预测（文））已知函数217()ln 4,()2ln 22f x x x xg x x x =-=++. (1)求函数()f x 的最小值；(2)证明：函数()()()h x f x g x =+仅有一个零点.高频考点三：根据零点（根）情况求参数①利用最值（极值）研究函数零点（根）问题1．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数32()34f x x ax bx =+++在1x =-时有极值0． (1)求函数()f x 的解析式；(2)记()()21g x f x k =-+，若函数()g x 有三个零点，求实数k 的取值范围．2．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）已知函数()21xx x f x e+-=. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x a =-（a 为常数）有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.3．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数3()91f x ax x =-+，0a >． (1)若3a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围．4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()f x = (1)当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； (2)若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．5．（2022·广西桂林·二模（理））已知函数()()()211e 2xf x x ax a R =--∈ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.②利用数形结合法研究函数的零点（根）问题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））已知函数ln ()xf x x= (1)填写函数()f x 的相关性质；2．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.3．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））已知函数()2e xf x a x =-（R a ∈，e 为自然对数的底数）.(1)若()0f x =有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；4．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数()()2x x f x e ae a =+∈R(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()21x g x a x e x =-+，若方程()()g x f x =有三个不同的解，求a 的取值范围.6．（2022·四川绵阳·二模（文））已知函数()2()ln 1R f x x ax a =+-∈(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．③构造函数研究函数零点（根）问题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数()e xf x =（e 为自然对数的底数），()sing x a x =（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），a R ∈.(1)若直线:l y kx =与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求a 的取值范围.2．（2022·重庆南开中学高二期末）已知函数()()2ln ,f x x x g x x ax b ==++.(1)若()f x 与()g x 在1x =处有相同的切线，求实数,a b 的取值；(2)若2b =时，方程()()f x g x =在()1,+∞上有两个不同的根，求实数a 的取值范围.3．（2022·四川·成都七中高三阶段练习（理））已知函数()(1)f x a x =-，()e (1)x g x bx =-，R a ∈． (1)当2b =时，函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围； (2)当b a =时，不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．4．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()()11ln e f x a x x=+++，()()e x g x x a a =++∈R ．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若当1≥x 时，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．5．（2022·河南·三模（理））已知函数()()ln 1f x x =+，()e 1xg x =-.(1)判断函数()()()h x f x g x =-的零点个数；6．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()(1)x f x e a x =+-，()sin cos g x ax x x =++ (1)求函数()f x 的最值；(2)令()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间(,)4π-+∞上的零点个数，并说明理由．1．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．2．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．3．（2021·浙江·高考真题）设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()x f x a bx e x =-+∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)一、单选题1．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）已知a ∈R ，则函数()()32113f x x a x x =-++零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．与a 有关2．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数()22x f x xe x x m =---在()0,∞+上有零点，则m 的取值范围是（ ）A ．)21ln 2,-+∞⎡⎣B ．)2ln 21,--+∞⎡⎣C ．)2ln 2,-+∞⎡⎣D ．21ln 2,2-+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．（2022·全国·高二）函数32()2f x x x x =-++-的零点个数及分布情况为（ ） A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B ．二个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,∞+内C ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞内D ．三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,1，()1,+∞内4．（2022·全国·高二）直线y a =与函数33y x x =-的图象有三个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞-5．（2022·全国·高二）已知函数20()210x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，若函数()()g x f x kx =-有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．e -B ．1-C ．2D ．2e6．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））已知函数()2ln f x x =，()322g x x ex ax =-+，其中e 为自然对数的底数，若方程()()f x g x =存在两个不同的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．22,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭C ．()2,e -∞D ．22,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数22()2(2)e (1)e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3122312222e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．368．（2022·全国·高三专题练习）已知方程|ln |2x kx =+在区间()50,e 上恰有3个不等实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．5331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5331,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题9．（2022·河南焦作·二模（理））函数1()e ln 1x f x a x -=--在(0,)+∞上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______. 10．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．12．（2022·全国·高二）已知函数3211()(2)1()32xf x ax ax e x a R =---+∈在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题13．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知()2()e ()x f x x a a =+∈R ．(1)若2是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断2是()f x 的极大值点还是极小值点； (2)若关于x 的方程()2ln e x f x x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．参考数据：ln 20.693≈14．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数()1e x f x ax =--，a ∈R ． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若方程()ln f x x x =在(1,e)上有实根，求实数a 的取值范围．15．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数()ln f x x =. (1)当[)1,x ∞∈+时，证明：函数()f x 的图象恒在函数()322132=-g x x x 的图象的下方； (2)讨论方程()0f x kx +=的根的个数.16．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若函数()32113f x x ax bx =++-，当2x =时，函数()f x 有极值13-.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程()f x k =有三个解，求实数k 的取值范围.17．（2022·浙江浙江·二模）已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．。
高中数学课时分层作业二十三方程的根与函数的零点含解析必修1
课时分层作业二十三方程的根与函数的零点（30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1。
已知函数f(x）=若f(f（0))=4a，则实数a等于（）A。
B. C.2D。
9【解析】选C。
由题知f(0）=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2。
2.设函数f(x）=，若f（m）=3,则实数m的值为（)A。
—2 B。
8 C.1 D.2【解析】选D。
因为当0<x〈2时,log2x<1，所以由f（m)=3得m ≥2,所以m2-1=3,解得m=2。
3.函数y=f（x)在区间［1，4]上的图象是连续不断的曲线,且f(1)·f(4）〈0，则函数y=f（x）（）A。
在(1, 4）内至少有一个零点B.在(1，4)内至多有一个零点C。
在(1，4)内有且只有一个零点D.在（1, 4）内不一定有零点【解析】选A。
由已知y=f（x）的图象在区间[1，4]上是连续不断的曲线,且f(1)·f（4)〈0,故在（1，4）内至少有一零点.4。
函数f(x）=—x3—3x+5的零点所在的大致区间是()A.(-2，0）B。
(0，1) C.(1，2）D。
(2,3)【解析】选C。
因为函数f(x)=—x3-3x+5是单调递减函数,又因为f(1)=—13—3×1+5=1>0，f(2）=—23-3×2+5=-9〈0,所以函数f（x）的零点必在区间(1，2)上，故必存在零点的区间是（1,2）.5.已知x0是函数f（x)=2x+的一个零点.若x1∈（1，x0)，x2∈（x0，+∞）,则有（）A.f(x1)〈0，f(x2）<0B.f（x1）〈0,f(x2）>0C.f（x1）〉0，f(x2）<0D.f（x1）>0，f（x2)〉0【解析】选B。
因为x〉1时,y=2x，y=都是增函数，所以f（x)=2x+在(1，+∞)上是增函数，所以有且只有一个零点x0，根据零点存在性定理及函数增减性知，f（x1）<0，f（x2)〉0。
(必修第一册)函数的零点与方程的解(同步练习)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解一、单选题1．以下函数在区间（0，12）上必有零点的是（ ） A ．y ＝12xB ．y ＝143x -C ．y ＝ln （x +45）D ．y ＝2x +12．若曲线224,43,x x ay x x x a ⎧->=⎨-+≤⎩与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．3a ≥C ．12a ≤≤或3a ≥D ．12a ≤<或3a ≥3．函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（10，12）C ．（5，6）D ．（20，24）4．设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(e ，3)5．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20212021log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2021二、多选题 6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ） A ．y =﹣2xB ．y =x ﹣6C ．y =3xD ．y =x 2﹣3x +47．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x 8．已知函数2ln ,0,()=4,0.x x f x x x x >⎧⎨--≤⎩关于x 的方程()0f x t -=的实数解个数，下列说法正确的是（ ）A ．当0t ≤时，方程有两个实数解B ．当4t >时，方程无实数解C ．当04t <<时，方程有三个实数解D ．当4t =时，方程有两个实数解 三、填空题9．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数()y f x =在区间[]16，上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数y f x =在区间16，上零点的个数为，则的最小值为________. 11．方程22x x +=的根为a ，方程2log 2x x +=的根为b ，则a b +=__________四、解答题12．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围.13．已知函数1122()log (2)log f x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点．14．若函数()221,1log ,1x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩．（1）在所给的坐标系内画出函数()f x 图像；（2）求方程()f x m =恰有三个不同实根时的实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，12）上有没有零点，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：，y ＝12x 0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符对于B ，y ＝143x -x 0，12）单调递增，且有y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意;对于C ，y ＝ln （x +45），当x ＝15时，y ＝ln1＝0，区间（0，12）上有零点，符合题意;对于D ，y ＝2x +1，在区间（0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意. 故选：C ． 2．D 【分析】作出函数24x y =-与243y x x =-+的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数24x y =-与243y xx =-+的图象，令240x y =-=，即2x =，故()2,0B ，令2430y x x =-+=，即1x =或3x =，故1,0A 或()3,0C ,当1a <时，只有B 一个零点；当12a ≤<时，有A ,B 两个零点；当23a ≤<时， 有A 一个零点；当3a ≥时，有A,C 两个零点；综上，实数a 的取值范围是：12a ≤<或3a ≥， 故选：D.【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a 、b 、c 的取值范围，再利用函数解析式证明ab ＝1，最后数形结合写出其取值范围即可 【详解】解：函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图：∵f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等 ∵a ∵（0，1），b ∵（1，10），c ∵（10，12）∵由f （a ）＝f （b ）得|lg a |＝|lg b |，即﹣lg a ＝lg b ，即ab ＝1 ∵abc ＝c由函数图象得abc 的取值范围是（10，12） 故选：B ．4．A 【分析】通过等价转化，把函数的零点转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标，然后画出函数的图象，通过图象即可判断出零点所在的区间. 【详解】函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标， 画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，从图象可知它们仅有一个交点A ，且交点横坐标的范围为()0,1.故选：A.【分析】当0x >时，作出函数2021x y =，2021log y x =-的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及(0)0f =，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当0x >时，令()0f x =，即20212021log xx =-，在同一坐标系中作出函数12021xy =，22021log y x =-的示意图，如下图：函数12021xy =为单调增函数，22021log y x =-为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P ，横坐标记为0x . 即0x >时方程()0f x =有且只有一个实根0x ， ②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当0x <时，方程()0f x =也有一个实根0x -，③又∵()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，∵即0也是方程()0f x =的根， 综上所述，方程()0f x =有3个实根. 故选：B. 6．AC 【分析】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，依次计算即可. 【详解】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，对于A,2y x y x =⎧⎨=-⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即存在完美点()0,0，对于B,6y x y x =⎧⎨=-⎩，无解，即不存在完美点，对于C,3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(对于D,234y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 24x x x -+=,即2240x x -+=，解得2(2)44120∆=--⨯=-<，即不存在完美点， 故选：AC. 7．ABD 【分析】函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 即为函数函数2log (1)y x =-，y m =，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A ；根据()12()0f x f x ==，化简整理即可判断B ； 结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C ； 利用整体代换结合基本不等式即可判断D. 【详解】解：令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=， 令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=， 所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=， 所以12111x x +=，故B 正确；因为12x x +≥，所以()121212x x x x x x -+≤-120x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误； ()21121212122112233x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=当且仅当21122x x x x =，即21x 时，取等号，故D 正确. 故选：ABD. 8．CD 【分析】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，数形结合可得结果. 【详解】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，由图可知：当0t <时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解；当0t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故A 错误；当4t >时，函数()y f x =的图象与直线y t =有1个交点，即方程()0f x t -=有1个实数解，故B 错误； 当04t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故C 正确； 当4t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解，故D 正确. 故选：CD.9．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】通过参变分离，转化为1a x x =+在1(,3)2上有解，转化为求函数t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2的值域. 【详解】由题意知方程ax ＝x 2＋1在1(,3)2上有解，即1a x x =+在1(,3)2上有解．设t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2，则t 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【详解】解：由题意，因为()()230f f <，()()450f f <，()()560f f <，所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，故函数()y f x =在区间[]16，上的零点至少有3个，即n 的最小值为3， 故答案为：3． 11．2 【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解【详解】a 是方程22x x +=的根，就是2x y =和2y x =-图象交点的横坐标；b 是方程2log 2x x +=的根，就是2log y x =和2y x =-图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示：由图可知，a 是2x y =和2y x =-图象交点A 的横坐标，b 是2log y x =和2y x =-图象交点B 的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数， 所以图象关于直线y x =对称， 故点A ，B 也关于直线y x =对称， 所以点A ，B 为(),A a b ，(),B b a ， 而点A ，B 又在2y x =-上， 所以2b a =-，2a b =-， 即2a b +=， 所以2a b +=， 故答案为：2 12．10a -<<． 【分析】用分离参数法变形方程为1a x x x =-++，引入函数()1g x x x x =-++，作出函数()g x 的图象，由图象与直线y a =有三个交点可得结论． 【详解】方程()f x x =可化为1a x x x =-++，设()1g x x x x =-++，则1,0()1,101,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+<-⎩，函数图象如下：由图象知()y g x =的图象与直线y a =有三个交点时，10a -<<． 13．（1）(0,2)；（2）1. 【分析】（1）根据真数大于0即可. （2）令()0f x =即可. 【详解】（1）由已知可得200x x ->⎧⎨>⎩，解得02,()x f x <<∴的定义域为(0,2)．（2）()()()212log 20,2f x x x x =-+∈，，由()0f x =得221x x -+=，即2210x x -+=，解得1x =， ()f x ∴的零点是1．14．(1)图象见解析；(2)01m <<. 【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察()f x 图象,根据()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点确定m 的范围.【详解】 (1)作图如下：11(2)方程()f x m =有3个解等价于函数()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点， 观察图象可得01m <<.。
新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点
)
解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数． 3 ∵f(6)＝lg 6－ <0， 2 9 f(7)＝lg 7－ <0， 7 9 f(8)＝lg 8－ <0， 8 f(9)＝lg 9－1<0， 9 f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0，∴零点在区间(9,10)内．
答案：D
＋1＝0 －2x＋1
Δ＝ 0
(1,0)
x2＝1
方程
对应 判别 方程 函数 式 的根
函数的图象
图象与x轴 交点坐标 无交点
x2－ f(x)＝
2x＋
x2－
Δ＝ 无实
3＝0 2x＋3 2x－4 f(x)＝
－8
数根
x＝ 2
(2,0)
＝0
2x－4
问题2：方程的根与对应函数的图象有何关系？ 提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值， 也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的 f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 一条曲线，并且有 f(a)·
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值 时，其函数值等于零． 2．根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零
[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
方程的根与函数的零点(最终版)
10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
函数的零点与方程根的关系
函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
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《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题
一、选择题
1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ).
A.0
B.1
C.2
D.3
考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用.
答案：B.
解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B.
2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想.
答案：B.
解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，.
(方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得.
3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C.
D.
考查目的：考查函数零点的存在性定理.
答案：D.
解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2).
二、填空题
4.若函数的零点位于区间内，则
.
考查目的：考查函数零点的存在性定理.
答案：2.
解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴.
5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围.
考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想.
答案：.
解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得.
6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数
的取值范围是.
考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想.
答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是.
三、解答题
7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？
⑴；
⑵.
考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况.
解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根；
⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根．
8.求出下列函数零点所在的区间.
⑴；⑵.
考查目的：考查函数零点的存在性定理.
解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在
上最多只有一个零点.又∵，，
，∴函数的零点所在的区间为.
⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.。