第8节 曲线与方程

第8节曲线与方程考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知识梳理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤[常用结论与微点提醒]1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线.()解析对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝x是曲线x＝y2的一部分，错误.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(老教材选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案 C3.(老教材选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.解析由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).答案(x－2)2＋y2＝4(y≠0)4.(2019·广州调研)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线. 答案 D5. (2020·重庆一中月考)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆D.抛物线解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线. 答案 D6. (2020·福州调研)已知点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线的中点的轨迹方程是________________.解析 设AP 的中点坐标为(x ，y )，则P (2x ，2y ＋1)，由点P 在曲线上，得2·(2x )2－(2y ＋1)＝0，即y ＝4x 2－12. 答案 y ＝4x 2－12考点一 直接法求轨迹方程【例1】 (1)已知A (－1，0)，B (1，0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MN →2＝λAN →·NB →，则当λ<0时，动点M 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线(2)(2020·西安调研)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13.则动点P的轨迹方程为________________.解析(1)设M(x，y)，则N(x，0)，所以MN→2＝y2，λAN→·NB→＝λ(x＋1，0)·(1－x，0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋y2λ＝1，所以当λ<0时，动点M的轨迹为双曲线.(2)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).设点P的坐标为(x，y)，由题意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1.)答案(1)C(2)x2＋3y2＝4(x≠±1)规律方法利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【训练1】与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.解析若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以（x－3）2＋y2＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).答案y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)考点二定义法求轨迹方程典例迁移【例2】(经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).【迁移1】将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P 与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________.解析由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).答案y＝0(x<－2)【迁移2】在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________.解析由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.答案y2＝4x规律方法定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.【训练2】 (2020·豫北名校联盟联考)已知△ABC 中，AB ＝2，且sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cos A )＝0，以边AB 的中垂线为x 轴，以AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则动点C 的轨迹方程为________.解析 在△ABC 中，由sin A (1－2cos B )＋sin B (1－2cos A )＝0得sin A ＋sin B ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，由正弦定理得|BC |2R ＋|AC |2R ＝2·|AB |2R (R 为△ABC 外接圆半径)，可得|CB |＋|CA |＝2|AB |＞|AB |.∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(除y 轴上的点)，其中2a ＝4，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故点C 的轨迹方程为y 24＋x 23＝1(x ≠0).答案 y 24＋x 23＝1(x ≠0)考点三 相关点(代入)法求轨迹方程【例3】 (1)(2020·银川模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3，0)连线的中点的轨迹方程是________.(2)设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，点N 的轨迹方程为________.解析 (1)设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，可得A (2x －3，2y )，因为点A 在圆上，将点A 的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(2)设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求点N 的轨迹方程是y 2＝4x .答案 (1)(2x －3)2＋4y 2＝1 (2)y 2＝4x 规律方法 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 0，y 0). (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.【训练3】 (2020·长沙月考)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).A 级 基础巩固一、选择题1.方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( )A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 答案 C2.已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆D.双曲线解析 设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，所以动点P 的轨迹是圆.故选B. 答案 B3.(2019·怀化调研)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( ) A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D.x 2＋43y 2＝1(y ≠0)解析 依题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ，代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0). 答案 C4.已知|AB→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，且OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D.x 2＋y 29＝1解析 设A (0，a )，B (b ，0)，则由|AB →|＝3得a 2＋b 2＝9，设P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →，得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b ，0)，由此得b ＝32x ，a ＝3y ，代入a 2＋b 2＝9，得9y 2＋94x 2＝9，即x 24＋y 2＝1.答案 A5.(2020·广东七校联考)设圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为C ，A (2，0)是圆内一定点，Q 是圆周上任一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的交点为R ，则点R 的轨迹方程为( ) A.y 29＋x 25＝1 B.y 29－x 25＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 29－y 25＝1解析 连接AR ，由题意可知|RQ |＝|RA |，所以|RC |＋|RA |＝|RC |＋|RQ |＝|CQ |＝6＞4＝|AC |，所以点R 的轨迹是以A (2，0)，C (－2，0)为焦点的椭圆，其中2a ＝6，2c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝32－22＝5，所以点R 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.故选C.答案 C 二、填空题6.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________.解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，∴|MN →|＝4，|MP →|＝（x ＋2）2＋y 2，MN →·NP→＝4(x －2).根据已知条件得4（x ＋2）2＋y 2＝4(2－x ).整理得y 2＝－8x .∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .答案 y 2＝－8x7.△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________.解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，|AB|＝10.即|CA|－|CB|<|AB|，根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x>3).答案x29－y216＝1(x>3)8.直线xa＋y2－a＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________.解析直线xa＋y2－a＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝a2，y＝1－a2，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.答案x＋y＝1(x≠0且x≠1)三、解答题9.已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.解(1)由题意，得|MP||MQ|＝5，即（x－26）2＋（y－1）2（x－2）2＋（y－1）2＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25. 轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆. (2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1，1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.10.在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x ，1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点). 求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型. 解 OM→＝(x ，1)，ON →＝(x ，－2)， A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y ). 因为λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →， 所以(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)为点P 的轨迹方程. (1)当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线； (2)当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；(3)当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为x 22＋y 22（1－λ2）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；(4)当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22（λ2－1）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线.B 级 能力提升11.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支解析可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选C.答案 C12.(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③解析曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<4，3满足条件的整数x可取－1，0，1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1，0)，(－1，1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0，1)；当x ＝1时，y ＝0或1，∴曲线C 经过的整点有(1，0)，(1，1).故曲线C 恰好经过6个整点，①正确；∵x 2＋y 2＝1＋|x |y ≤1＋x 2＋y 22，∴x 2＋y 2≤2，∴x 2＋y 2≤ 2 ，当且仅当|x |＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为2，故②正确；顺次连接(－1，0)，(－1，1)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(0，－1)，(－1，0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C 所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确.故选C.答案 C13.已知过点A (－3，0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为________.解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |（m －n ）2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD 的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋3＝y －m x －3，yx －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6y x ＋3，n ＝－6y x －3，所以－36y 2x 2－9＝9，所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0).答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0)14.如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程.解 (1)由点A 的横坐标为2及点A 在第一象限，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ， 得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0解得k ＝1y 1，所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，22]，联立，得⎩⎨⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，即x 0y 2＋2y 0y －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22].C 级 创新猜想15.(多选题)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2，0)和F 2(2，0)的距离的积等于常数a 2(a 2＞4)的点的轨迹，则下列结论正确的有( ) A.曲线C 过坐标原点 B.曲线C 关于x 轴对称 C.曲线C 关于坐标原点对称D.若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2 解析 设动点坐标为(x ，y )，由已知得（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝a 2，即[(x ＋2)2＋y 2]·[(x －2)2＋y 2]＝a 4(a 2＞4)，代入原点验证，方程不成立，故A 错；把方程中的y 被－y 代换，方程不变，故B 正确；把方程中的x 被－x 代换，y 被－y 代换，方程也不变，故C 正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，故D 正确. 答案 BCD。