【精准解析】江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
邗江中学高一数学期中考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线350x +-=的倾斜角为（ ） A. 30- B. 150C. 120D. 60【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，解方程即可. 【详解】由已知，设直线的倾斜角为α，则3tan 3α=-，又[0,180)α∈， 所以150α=. 故选：B【点睛】本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2. 在ABC 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC 最大内角为（ ） A. 30 B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】 分析】根据题意，设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，利用余弦定理求得cos C 的值，即可求解.【详解】在ABC ∆中，因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理，可得设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，（其中0m > ）， 因为,c a c b >>，所以角C 为三角形的最大角，又由余弦定理可得222222(3)(5)(7)1cos 22352a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以120C =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3. 当a 为任意实数时，直线（a –1）x –y +2a +1=0恒过的定点是 A. （2，3） B. （–2，3）C. （1，–12） D. （–2，0）【答案】B 【解析】试题分析：直线方程可化为，故选B.考点：直线方程.【方法点晴】本题主要考查直线方程，涉及方程的恒成立问题，对于绝大多数学生思维跨越较大，属中等难题．解决本题时，先将直线方程按照的降幂排列得，该方程要恒成立需，从而解得，求得定点．本题还可以通过特值法取得方程组，再解方程组即可得定点．4. 设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A. 若//,//m m αβ，则//αβB. 若//,//m n αα，则//m nC. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβD. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβ【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可.【详解】A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误， B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误，C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立，D .若,αγβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误，故选：C .【点睛】本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.5. 若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ）． A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定【答案】C 【解析】【详解】由题知222a b r +>， 圆心到直线的距离2d r =<，故选C ．6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A. 1 C. 2【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πrr =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B点睛】本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 如果圆()()2231x a y a -+-+=上存在两个不同的点P ，Q ，使得2OP OQ ==（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ） A. 0<<3a B. 03a ≤≤ C. 1a <-或4a > D. 1a ≤-或4a ≥ 【答案】A 【解析】 【分析】由2OP OQ ==可得P ，Q 两点在圆224x y +=上，然后条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点，然后建立不等式求解即可.【详解】因为2OP OQ ==（O 为坐标原点） 所以P ，Q 两点在圆224x y +=上所以条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点因为圆()()2231x a y a -+-+=的圆心为(),3a a -，半径为1所以()22133a a <+-<，解得0<<3a故选：A【点睛】本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..9. 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A. 20︒B. 28︒C. 38︒D. 48︒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.【详解】依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米， 如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<， 故选：C ．【点睛】本题考立体几何中求线段的长度和正切函数的单调性，属于简单题.10. 已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A. 2 5 C. 25 D. 4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA AC PA ⨯⨯⨯=，而21PA PC -. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而()22014521d ++==+-故四边形PACB 512-=， 故选A.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．11. 在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A. 1PC 与1AA 异面 B. 1PC 与1A C 垂直 C. 1PC 与平面11AB D 相交 D. 1PC 与平面11AB D 平行【答案】D 【解析】 【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误； 对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点， 在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =，O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案． 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ， 由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=，即1212121x x y y x x +=+-， 由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211221212120()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=，∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为______.【解析】 【分析】先得到圆222430x y x y +-++=的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】圆222430x y x y +-++=的圆心为：()1,2-，所以圆心到直线1x y -=的距离为d ==【点睛】本题主要考查圆的方程以及点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则a 的值为_________. 【答案】1- 【解析】 【分析】根据两直线平行得出实数a 满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则()()23262a a a a ⎧-=⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）【答案】235【解析】【分析】根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.【详解】如图，根据已知可得60,75,30,ABF CBF CBD ∠=︒∠=︒∠=︒ 设飞行高度为x 千米，即CD x =，则3BC x =;在直角三角形CFB 中，75,3CBF BC x ∠=︒=,所以3sin 75CF x =︒，3cos 75BF x =︒；在直角三角形ABF 中，同理可求3cos75AF x =︒；因为飞行速度为722千米/小时，飞行时间是1分钟，所以72262ED AC ===, 所以623sin 753cos 755AF CF x x +=︒+︒=，解得235x =，故答案为235.【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.16. 在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是______.【答案】36π 【解析】 【分析】取AC 中点D ，连接,BD SD ，利用线面垂直的判定与性质，结合三角形中位线的性质可确定,,SA SB SC 两两互相垂直，由此可将所求的外接球转化为以,,SA SB SC 为棱的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球的半径可求得结果. 【详解】取AC 中点D ，连接,BD SD .三棱锥S ABC -为正三棱锥，SA SC ∴=，AB BC =，又D 为AC 中点，SD AC ∴⊥，BD AC ⊥，,SD BD ⊂平面SBD ，SD BD D =，AC ∴⊥平面SBD ，又SB ⊂平面SBD ，AC SB ∴⊥，又,M N 分别为,SC BC 中点，//MN SB ∴，AC MN ∴⊥，又AM MN ⊥，AMAC A =，,AM AC ⊂平面SAC ，MN ∴⊥平面SAC ，SB ∴⊥平面SAC ，又,SA SC ⊂平面SAC ，SB SA ∴⊥，SB SC ⊥，由正三棱锥特点知：,,SA SB SC 两两互相垂直，∴三棱锥S ABC -的外接球即为以,,SA SB SC 为棱的正方体的外接球， ∴三棱锥S ABC -的外接球半径3R ==， ∴三棱锥S ABC -的外接球表面积2436S R ππ==.故答案为：36π.【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够利用线面垂直的判定与性质定理得到三条侧棱两两互相垂直，进而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知ABC 顶点的坐标为()4,3A ，()5,2B ，()1,0C ，求ABC 外接圆的方程； （2）求直线230x y +-=被圆()()22214x y -++=截得的弦长. 【答案】（1）()()22315x y -+-=（2【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标，即可由方程组解得参数，求得圆的方程. （2）利用点到直线距离公式先求得弦心距，再根据勾股定理即可求得弦长一半，进而得弦长. 【详解】（1）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点A ，B ，C 在所求的圆上，故有43250,52290,10,D E F D E F D F +++=⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩解得6,2,5.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为226250x y x y +--+=， 化为标准方程可得()()22315x y -+-=.（2）圆()()22214x y -++=，圆心()2,1-，半径2r，直线230x y +-=，所以圆心()2,1-到直线230x y +-=的距离为d =故由勾股定理可得弦长5==，.【点睛】本题考查了由三个点的坐标求圆的一般方程的方法，直线与圆相交所得弦长的求法，属于基础题.18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足)2224S ac b=+-，b=.（1）求角B的大小；（2）当9a c时，求S.【答案】（1）60B=︒（2）【解析】【分析】（1）根据)222S a c b=+-，b=，结合三角形的面积公式和余弦定理可求角B；（2）由9a c，结合余弦定理求出20ac，则S可求.【详解】解：（1）根据余弦定理222cos2a c bBac+-=，所以2222cosa cb ac B=+-由)2224S a c b=+-，得1sin2cos24ac B ac B=，∵0ac>，∴sin B B=，∵cos0B≠，∴sintancosBBB==又0Bπ<<，∴60B=︒.（2）由（1）及余弦定理得：2222cos6021b ac ac=+-︒=，∴2221a c ac+-=，又9a c，∴()2381321a c ac ac+-=-=，20ac，故11sin2022S ac B==⨯=【点睛】考查余弦定理、三角形面积公式的应用以及恒等变形，中档题.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（23【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 111133313344C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7n mile 以内海域被设为警戒水域.点E 正北55n mile 处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402 n mile 的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东(其中，090θ<<)且与点A 相距1013n mile 的位置C ．（I ）求该船的行驶速度（单位：n mile /h ）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.【答案】（I1051553=（海里/小时）.（II ）船会进入警戒水域.【解析】试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出cos θ,然后利用余弦定理求出BC 的值，从而可求出船的行驶速度.(II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E 到直线l 的距离与半径7的关系，因而可求出直线l 的方程，以及E 点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论. （I ）如图，AB=402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ=2265261().26-= 由余弦定理得BC=222?·cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=1051553=（海里/小时）.（II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D. 由题设有，x 1=y 12AB=40,x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k=20210=,直线l 的方程为y=2x-40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离7.=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=⋅222.从而sin 10ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE=55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE=QE·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC∠=⋅∠=⋅-∠=157.5⨯=<所以船会进入警戒水域. 考点：正余弦定理在解三角形当中的应用，直线方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II ）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.21. 已知圆M 的方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.（1）若60APB ∠=︒，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程. 【答案】（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）证明见解析；定点()0,2和42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22173042x y x y +--+=【解析】 【分析】（1）设()2,P m m ，由题可知2M P =，代入两点间的距离公式可得()()22224m m +-=，求解m 可得点P 的坐标；（2）MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为PA 是圆M 的切线，进而可知经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线AB 的方程，且得直线AB 过定点13,42R ⎛⎫⎪⎝⎭，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果. 【详解】（1）设()2,P m m ，因为PA 是圆M 的切线，60APB ∠=︒， 所以30APM ∠=︒，2M P =，所以()()22224m m +-=，解之得0m =，45m =， 故所求点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫⎪⎝⎭. （2）MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：()()222220x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,220,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点()0,2和42,55⎛⎫⎪⎝⎭. （3）由()22222220,430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎨+-+=⎩可得AB ：()22320mx m y m +-+-=，即()22230m x y y +--+=，由220,230x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫⎪⎝⎭.因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN AB ⊥，即MN RN ⊥， 故点N 在以MR 为直径的圆上， 点N 的轨迹方程为22173042x y x y +--+=. 【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值． 试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =，()112,2,0BC B C ==-，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅，故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅．由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．考点：利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．。
江苏省邗江中学2020学年高一数学下学期期中试题
江苏省邗江中学2020年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在ABC ∆中，下列等式正确的是( )A.::a b A B =∠∠B.:sin :sin a b A B =C.:sin :sin a b B A =D.sin sin a A b B =2、若直线l 的斜率]3,1[-∈k ，则直线倾斜角α的范围是（ ） A . [,]43ππ- B. 3[0,][,)34πππ⋃ C. 3[,]34ππ D. 3[,)(,]3224ππππU 3、下列说法正确的是（ ）A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线B. 棱柱的底面一定是平行四边形C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形4、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且,7:5:3sin :sin :sin =C B A 则最大角为（ ） A 65π B 6π C 32π D 3π 5、已知不重合的直线a ，b 和平面α，下面命题中正确的是( )① 若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；② 若c ⊥a ，b ⊥c ，则a ∥b ；③ 若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④ 若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂αA ①④B ③④C ③D ④6、在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的对角线中，与1AD 所成角为60︒的有( )A.4条B.6条C.8条D.10条7、如果满足60ABC ︒∠=，AB=8，AC=k 的三角形ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ． B. C.(4,8) D.8、两点(2,3),(4,5)--到直线l 的距离都等于5，则直线l 有（ ）条A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条9、在ABC ∆中，若tan tan tan tan tan tan A C B C A B +=，且222a b mc +=，则实数m 的值为( )A ．3 B. 2 C. 2 D. 310、点P 为直线34y x =上任意一点，12(5,0),(5,0)F F -，则12||||||PF PF -的取值范围是 （ ）A ．[0,8) B. [2,10] C. [3,6] D. [0,+∞）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一(新疆班)下学期期中考试数学试题含解析
江苏省邗江中学2019—2020学年度第二学期新疆高一数学期中试卷总分 150分 时间 120分钟 命题人：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则AB 的值是（ ） A. 5 5 C. 9 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】计算()1,2,2AB =，再计算模长得到答案.【详解】A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则()1,2,2AB =，故2221223AB =++=.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.2.设(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-,且//a b , 则实数m + n 的值为（ ） A.113B.192C. 8D. 6【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行得到λa b ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，解得72m =，6n =，得到答案.【详解】//a b ，则λab ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，故()()242321232m m n n λλλ⎧=⎪-=+⎨⎪+=-⎩， 解得12λ=，72m =，6n =，故192m n +=. 故选：B.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知,a b 分别为平面,αβ的法向量，且()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，若αβ⊥，则x 的值为（ ） A. 2 B. -2C.103D. 103-【答案】C 【解析】 【分析】根据αβ⊥得到a b ⊥，即0a b ⋅=，计算得到答案.【详解】αβ⊥，故a b ⊥，故8230a b x ⋅=--+=，解得103x =. 故选：C.【点睛】本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4.若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ） A. 1- B. 0C. 2-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先求出a λb +的坐标，利用()a b a λ+⊥可得()0a b a λ+⋅=，代入坐标计算即可. 【详解】解：由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-， 由()a b a λ+⊥得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=，2λ∴=-，故选：C.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=是解题的关键，是基础题.5.已知向量(2,a =-是直线l 的方向向量，向量(1,0,0)n =是平面α的法向量，则直线l 与平面α所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A 【解析】 【分析】 计算1cos ,2a n a n a n⋅==⋅，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案. 【详解】21cos ,412a n a n a n⋅===⨯⋅，故向量夹角为60︒， 则直线l 与平面α所成的角为906030︒-︒=︒. 故选：A.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅取最小值时，点M 的坐标为（ ） A. (2,2,4)B. 224(,,)333C. 5510(,,)333D.448(,,)333【答案】D 【解析】 【分析】设OM OC λ=，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅，计算得到答案.【详解】设OM OC λ=，即(),,2OM OC λλλλ==，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅--- 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题. 8.函数2()1f x x x=+-在区间(,0)-∞上（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，又有最小值 D. 既无最大值，又无最小值【答案】A 【解析】 【分析】求导得到(2'()x x f x x =，得到函数的单调区间，得到最值.【详解】2()1f x x x =+-，则(222222'()1x x x f x x x x+-=-==，故函数在(,-∞上单调递增，在)⎡⎣上单调递减，故函数有最大值为(1f =-，无最小值. 故选：A.【点睛】本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键. 9.直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（ ）A .eB. 2eC. e -D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1fx x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.函数()ln f x x x =的单调减区间是（ ） A .(,)e -∞- B. 1(,)e-∞C. 1(0,)eD. (0,)e【答案】C 【解析】 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，取()'0f x <解得答案.【详解】()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 10f x x =+<，解得10x e<<. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11.如果函数()y f x =的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间（3，5）内单调递增B. 函数()y f x =在区间（-2，2）内单调递增C. 当12x =-时，函数()y f x =有极大值D. 当x =2时，函数()y f x =有极小值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知：导函数在()3,5上有正有负，故函数先减后增，A 错误； 导函数在()2,2-上恒为正，故函数单调递增，B 正确；导函数在()1,0-上恒为正，函数单调递增，故12x =-不是极值点，C 错误；导函数在()0,2上为正，函数单调递增；导函数在()2,4为负，函数单调递减，故2x =是极大值点，D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了根据导函数的图像判断函数性质，确定导函数和函数的关系是解题的关键.12.若2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B. [),e +∞C. 1(,)2+∞D. 1[,)2+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到'1()220f x mx x =+-≥，即2111122m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，计算最值得到答案.【详解】2()ln 2f x mx x x =+-，则'1()220f x mx x=+-≥，0x >恒成立， 故22111111222m x x x ⎛⎫≥-+=--+ ⎪⎝⎭，当1x =时，2111122y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的最大值为12，故12m ≥. 故选：D.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数范围，参数分离转化为求函数最值是解题的关键. 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13.设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则2a b -＝___________________． 【答案】()5,1,6-- 【解析】 【分析】直接根据向量的坐标运算得到答案.【详解】a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则()()()21,1,24,2,45,1,6a b -=---=--. 故答案为：()5,1,6--.【点睛】本题考查了向量的运算，属于简单题.14.函数32()35f x x x =-+的极小值为_______________． 【答案】1 【解析】 【分析】求导得到()'2()3632f x x x x x =-=-，得到函数单调区间，求得极小值.【详解】32()35f x x x =-+，故()'2()3632f x x x x x =-=-，取'()0f x <得到02x <<，故函数在()0,2上单调递减；取'()0f x >得到2x >或0x <，故函数在(),0-∞和()2,+∞上单调递增.故极小值为(2)1f =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了函数的极小值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.函数()sin 1f x x =+的图像在点(,1)π处的切线方程为_____________. 【答案】10x y π+--= 【解析】 【分析】求导得到'()cos f x x =，故'()cos 1f ππ==-，得到切线方程. 【详解】()sin 1f x x =+，则'()cos f x x =，'()cos 1f ππ==-， 故切线方程为：()1y x π=--+，即10x y π+--=. 故答案为：10x y π+--=.【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，则m 的取值范围是________. 【答案】(],3-∞- 【解析】 【分析】设()24f x x x =-，函数在[]0,1上单调递减，计算()()min 13f x f ==-，即可得到答案.【详解】24x x m -≥恒成立，设()()22424f x x x x =--=-，函数在[]0,1上单调递减，故()()min 13f x f ==-，故3m ≤-. 故答案为：(],3-∞-.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题（本大题共六小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求下列函数的导数：（1）()2cos f x x x =+ （2）2(2)()1x f x x -=+【答案】（1）()'12sin f x x =-；（2）()29'()11f x x =-+【解析】 【分析】（1）直接根据导数运算法则计算得到答案. （2）利用除法的导数的运算法则得到答案.【详解】（1）()2cos f x x x =+，则()'12sin f x x =-；（2）2(2)()1x f x x -=+，则()()()()()222222(2)12289'()1111x x x x x f x x x x -+--+-===-+++.【点睛】本题考查了导数的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间【答案】（1）f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2；（2）f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.【解析】【详解】分析：（1）求出导函数'()f x ，题意说明(0)2f =，()11f -=，'(1)6f -=，由此可求得,,a b d ；（2）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间. 详解：（1）∵f（x ）的图象经过P （0，2），∴d=2， ∴f（x ）=x 3+bx 2+a x+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ． ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①，还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1② 由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2． （2）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+.当x<1-,或x>1+时，f'（x ）>0；当1-<x<1+时，f'（x ）<0.故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）点睛：（1）过曲线()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程是000()'()()y f x f x x x -=-；（2）不等式'()0f x >解集区间是函数()f x 的增区间，不等式'()0f x <的解集区间是()f x 的减区间.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，试用空间向量知识解决下列问题（1）求证：1D F DE ⊥ （2）求证1D F ⊥平面ADE ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，得到()10,1,2D F =-，()2,2,1DE =，故10D F DE ⋅=，得到证明.（2）计算()0,2,1AE =，计算10D F AE ⋅=，得到证明.【详解】（1）如图所示：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则()10,0,2D ，()0,1,0F ，()0,0,0D ，()2,2,1E ，()2,0,0A ，故()10,1,2D F =-，()2,2,1DE =，故10220D F DE ⋅=+-=，故1D F DE ⊥. （2）()0,2,1AE =，故10220D F AE ⋅=+-=，故1D F AE ⊥， 又1D F DE ⊥，AEDE E =，故1D F ⊥平面ADE .【点睛】本题考查了利用空间向量证明线线垂直，线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，试用空间向量知识解下列问题：（1）求1AB 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1AB ⊥平面1A BD .【答案】（1）24；（2）证明见解析 【解析】【分析】 （1）以,,OB OE OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(11,2,3AB =-，()2,0,0BC =-，计算夹角得到答案.（2）计算110AB AB ⋅=，10AB BD ⋅=得到11A B AB ⊥，1BD AB ⊥得到证明.【详解】（1）取BC 中点为O ，11B C 中点为E ，连接,OA OE ，正三棱柱111ABC A B C -，故OA ⊥平面11CBB C ，故OA OB ⊥，OA OE ⊥，BC 中点为O ，11B C 中点为E ，故OE BC ⊥，故,,OA OB OE 两两垂直，以,,OB OE OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()003A ,,，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()11,2,0B ，()10,2,3A ，()1,1,0D -， 则()11,2,3AB =-，()2,0,0BC =-，故1112cos ,222AB BCAB BC AB BC ⋅===-⨯⋅，故1AB 与BC 所成角的余弦值为2. （2）()11,2,3A B =--，()()111,2,31,2,30AB AB ⋅=--⋅-=，故11A B AB ⊥， ()2,1,0BD =-，故()()11,2,32,1,00AB BD ⋅=-⋅-=，故1BD AB ⊥，1BD A B B =，故1AB ⊥平面1A BD .【点睛】本题考查了异面直线夹角，利用空间向量证明线面垂直，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21.已知E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，（1）求1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值．（2）求二面角11C D B B --的余弦值． 【答案】（1）223；（2）6 【解析】【分析】（1）以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， ()12,1,2A F =--，易知()10,1,0n =是平面1B EB 的一个法向量，计算夹角得到答案.（2）平面11CD B 的一个法向量()21,1,1n =--，平面11D B B 的一个法向量为()32,2,0n =-，计算夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则()12,0,2A ，()0,1,0F ，()12,2,2B ，()1,2,0E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()10,0,2D ， 故()12,1,2A F =--，易知()10,1,0n =是平面1B EB 的一个法向量，故11111111cos ,313A F n A F n A F n ⋅===⨯⋅，故1A F 与平面1B EB 所成角的余弦值为22. （2）设平面11CD B 的一个法向量为()2,,n x y z =，则2112100n D B n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 取1x =，则1y =-，1z =-，故()21,1,1n =--.易知AC ⊥平面11BDD B ，故平面11D B B 的一个法向量为()32,2,0n CA ==-，则2323236cos ,326n n n n n n ⋅===⋅，故二面角11C D B B --的余弦值为6.【点睛】本题考查了线面夹角，二面角，意在考查学生计算能力和空间想象能力.22.已知函数2()ln f x a x x =+ (a 为实常数) ． （1）当4a =-时，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值；（2）当(1,)x ∈+∞时，讨论方程()0f x =根的个数． 【答案】（1）当x e =时，()2max 4f x e =-；（2）当2a e >-时，方程无解，当2a e =-时，方程有唯一解，当2a e <-时，方程有两解【解析】【分析】（1）求导得到(2'()x x f x x=，得到函数单调区间，得到最值.（2）2()ln 0f xa x x =+=得到2ln x a x =-，设()2ln x g x x =-，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】（1）2()4ln f x x x =-+，则(22424'()2x x x f x x x x x+-=-+==， 当x ⎡∈⎣时，'()0f x ≤，当x e ⎤∈⎦时，'()0f x >，故函数在⎡⎣上单调递减，在e ⎤⎦上单调递增，()11f =，()()241f e e f =->， 故当x e =时，函数有最大值为24e -. （2）2()ln 0f x a x x =+=，故2ln x a x =-，设()2ln x g x x =-，(1,)x ∈+∞， 则()()()212ln 'ln x x g x x -=， 当(x ∈时，()'0g x >，函数单调递增； 当)x ∈+∞时，()'0g x <，函数单调递减，且2ge =-， 画出函数图像，如图所示：当2a e >-时，方程无解，当2a e =-时，方程有唯一解，当2a e <-时，方程有两解.【点睛】本题考查了函数最值，利用导数研究方程的解的个数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离是解题的关键.。
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题(新疆班)(解析版)
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题（新疆班）一、单选题1．直线30x y ++=的倾斜角为（ ）度 A ．30 B ．45C ．135D ．150【答案】C【解析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】将直线30x y ++=的方程变形为3y x =--，该直线的斜率为1-， 因此，该直线的倾斜角为135度. 故选：C. 【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知正四棱锥的底面边长是6 ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积. 【详解】正四棱锥的底面积为2636=，因此，该正四棱锥的体积为1363⨯=故选：B. 【点睛】本题考查正四棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，属于基础题.3．已知点()2,P m -、(),4Q m ，且直线PQ 的斜率为1，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】根据斜率公式建立关于m 的方程，解出该方程可得出实数m 的值.【详解】 由斜率公式可得412m m-=--，整理得220m -=，解得1m =.故选：B. 【点睛】本题考查利用斜率公式求参数的值，解题的关键就是要建立方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.4．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心到直线2x y -=的距离是（ ） A1 BC1 D．【答案】B【解析】将圆C 的方程表示为标准方程，求出圆C 的圆心坐标，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x y -=的距离. 【详解】圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=，圆心坐标为()1,1，因此，该圆的圆心到直线20x y --=的距离为d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，解题的关键就是利用点到直线的距离公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题. 5．棱长都是1的三棱锥的表面积为（） AB ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和， 故241)S=⨯表面= A. 6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( ) A ．4BCD 【答案】D【解析】解：因为直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则3306260x y x y +-=⇔+-=，则m=2,选D 7．当102k <<时，两条直线2x y k -=、1x y +=-的交点在（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】C【解析】联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由102k <<得出交点横坐标和纵坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限. 【详解】联立21x y k x y -=⎧⎨+=-⎩，解得212212k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，当102k <<时，2102k -<，2102k +-<， 因此，两条直线2x y k -=、1x y +=-的交点在第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交点坐标，考查运算求解能力，属于中等题.8．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含【答案】C【解析】计算出两圆圆心距，再将圆心距与两圆半径差的绝对值和两圆半径和进行大小比较，可得出两圆的位置关系. 【详解】圆228690x y x y +-++=的标准方程为()()224316x y -++=，圆心坐标为()4,3-，半径为4，两圆圆心距为5d ==，43543-<<+，因此，两圆229x y +=和228690x y x y +-++=相交. 故选：C. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，一般利用圆心距与两圆半径差与和的绝对值进行大小比较，利用几何法来进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】【详解】分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,∠（或其补角）就是PA与BD所成的角；所以DOE因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=∆是正三角形，所以,DOEDOE∠=，60故选C10．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为3、4、5，则此球的表面积为（）A．25πB．50πC．125πD．都不对【答案】B【解析】计算出长方体的体对角线长，作为长方体外接球的直径，然后利用球体的表面积公式可计算出长方体外接球的表面积. 【详解】设长方体外接球的半径为R ，则2R =，2R ∴=.因此，长方体外接球的表面积为2244502R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是要知道长方体体对角线长即为外接球的直径，考查计算能力，属于中等题.11．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A ．，B ．，C ．，，共面D ．，，共点，，共面【答案】B 【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条。
江苏省扬州中学高一数学下学期4月阶段测试试题(含解析)
学习资料江苏省扬州中学2019-2020学年高一数学下学期4月阶段测试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,计60分．每小题所给的A 、B 、C 、D 四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑． 1。
直线20x ++=的倾斜角是（ ) A 。
30 B. 60︒C 。
120︒D 。
150︒【答案】D 【解析】 【分析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.【详解】20x +=化y x =，斜率为3-0150。
故选:D 。
【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系,属于基础题. 2。
已知ABC 中，4a =,b =，6A π=，则B 等于（ ）A 。
30B. 30或150︒C 。
60°D 。
60︒或120︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理=sin sin a b A B，得sin B =，再根据大边对大角和三角形内角和定理即可. 【详解】解：ABC 中，4a =,b =，6A π=,由正弦定理得，4=,,sin sin sin sin 2sin 6a b B A B B π==,3B π=或23B π=满足b a >和A B π+< 故选:D【点睛】考查正弦定理的应用，注意大边对大角和三角形内角和定理，基础题. 3。
若方程2220x y x m +--=表示圆，则m 的范围是（ ） A. (,1)-∞-B 。
[1,)-+∞C 。
(1,)-+∞D 。
(,1]-∞-【答案】C 【解析】 【分析】配方变形为圆的标准方程后可得．【详解】方程配方后得22(1)1x y m -+=+，它表示圆，则10m +>，1m >-． 故选:C ．【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆,可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件．4。
在ABC 中，若cos cos a B b A =，则ABC 的形状是（ ） A 。
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案
江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得：02x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666x πππ-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6x π-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．（2）102sin 613f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，故12cos 13α=； 512120sin 22sin cos 21313169ααα==⨯⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴12CF EI ∥∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合进而，直线EF 与GH 相交方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112EB CD HC ∥∥∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴112FG BC ∥∴∥EH FG ，EH FG ≠∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3CAM π∠=，sin CMA ∠=，2AC =，由正弦定理，得sin sin CM AC CAM CMA=∠∠，解得sin233sin AC CM CMA π⋅===∠．（2）因为12BMN ACB S S =△△，所以111sin 22622BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯BM BN ⋅=在BMN ∆中，由余弦定理得，()22222cos2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭，即()2221BM BN ⎛=+-⨯+⎝⎭， ()(22194BM BN +=+=+，故4BM BN +=+21．（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=，3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=o ，cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==o ，1132622228PMN S MN BN ∆+∴=⋅=⨯⨯=，即三角形铁皮PMN的面积为68+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02x π<≤。
2020年江苏省扬州市邗江区高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知直线l：y=-x，则直线l的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若a=3，b=4，C=60°，则c=（）A. 5B. 11C.D.3.棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A. 12πB. πC. 8πD. 4π4.已知直线l1：x+2y-1=0，l2：2x+ny+5=0，l3：mx+3y+1=0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为（）A. -10B. 10C. -2D. 25.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A. 8B. 6C. 8D. 86.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=a cos C+c，则角A为（）A. 60°B. 120°C. 45°D. 135°7.已知实数x，y满足x+y-3=0，则的最小值是（）A. B. 2 C. 1 D. 48.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题①若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥β其中正确的命题是（）A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③9.已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的值范围是（）A. B. C. D.10.已知，，点P在直线上，若使取最小值，则P点坐标是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在△ABC中，已知，则△ABC的形状是______三角形．12.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为______（填序号）．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC=BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°．13.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_____________.14.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为______．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，若sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，则a+b的取值范围______．16.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1=3，AB=2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1-EBD的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l的斜率为-，且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P．（1）求直线l的方程；（2）若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE∥平面AC1D；（2）平面ADC1⊥平面BCC1B1．19.已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，-2），C（-2，3）．（1）求AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．20.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=，C=．（1）若2sin A=3sin B，求a，b；（2）若cos B=，求sin2A的值．21.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示；其为五边形ABCDE．其中三角形区域ABE为球类活动场所；四边形BCDE为文艺活动场所，AB，BC，CD，DE，EA，为运动小道（不考虑宽度）∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=2BC=2CD=6千米．（1）求小道BE的长度；（2）求球类活动场所△ABE的面积最大值．22.如图四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求二面角A-SB-C的平面角的正弦值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=-，∴θ=120°．故选：C．设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．可得tanθ=-，即可得出．本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵a=3，b=4，C=60°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：c2=32+42-2×3×4×cos60°=13．∴解得：c=．故选：C．3.【答案】A【解析】解：∵棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，∴该球面的半径R==，∴该球面的表面积为S=4πR2=12π．故选：A．先求出该球面的半径R=，由此能求出该球面的表面积．本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵l1∥l2且l1⊥l3，∴n-4=0，m+6=0，解得n=4，m=-6．则m+n=4-6=-2．故选：C．由l1∥l2且l1⊥l3，可得n-4=0，m+6=0，解得n，m即可得出．本题考查了直线位置关系与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于基础题．画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．【解答】解：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B=30°，可得BC1==2，可得BB1==2，所以该长方体的体积为：2×=8．故选：C．6.【答案】A【解析】解：∵b=a cos C+c．∴由正弦定理可得：sin B=sin A cos C+sin C，可得：sin A cos C+sin C cos A=sin A cos C+sin C，可得：sin C cos A=sin C，∵sin C≠0，∴cos A=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos A的值，结合A的范围即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：点P满足直线x+y-3=0，则表示直线l的上点P（x、y）与定点A（2，-1）的距离，其最小值是点A到直线l：x+y-3=0作垂线段为最短，所以点A到直线l的距离为d==，即所求的最小值是．故选：A．把问题化为“直线l的上点P（x、y）与定点A（2，-1）的距离”，即从“点A向直线l：x+y-3=0作垂线段，由点A到直线l的距离”求出结果．本题主要考查了点到直线的距离公式与转化思想的应用问题，是基础题目．8.【答案】C【解析】解：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或相交，因此不正确；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α∥β也可能相交，因此不正确；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确．综上可知：只有①④正确．故选：C．①利用面面垂直的判定定理即可判断出；②利用线线、线面平行的判定与性质即可得出；③利用线面平行于垂直的判定与性质定理即可得出；④利用面面垂直的判定定理即可得出．本题考查了线线、线面与面面平行与垂直的判定与性质定理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，锐角△ABC中，若B=2A，则有B=2A＜90°，即A＜45°，又由C＜90°，则A+B=3A＞90°，即A＞30°，综合可得：30°＜A＜45°，若B=2A，则====tan A，又由30°＜A＜45°，则＜＜，即的值范围是（，）；故选：D．根据题意，由锐角三角形的性质分析可得A的取值范围是30°＜A＜45°，进而由正弦定理可得====tan A，结合A的范围分析可得答案．本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，注意分析A的范围．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是最短路径问题，实际考查了点关于直线对称的点以及求两直线交点问题，属于中档题．求出A关于直线l：x+y=0的对称点为C，则P为直线BC与直线l的交点时，满足条件，进而得到答案．【解答】解：如下图所示：点A（3，-1）关于直线l：x+y=0的对称点为C（1，-3），由BC的方程为：，即x-4y-13=0，可得直线BC与直线l的交点坐标为：（，-），即P点坐标为：（，-）时，|PA|+|PB|最小．故选：C．11.【答案】等腰【解析】解：在△ABC中，∵，，∴cos A=cos B，∵A∈（0，π），B∈（0，π），余弦函数y=cos x在[0，π]上单调递减，∴A=B，则△ABC为等腰三角形；故答案为：等腰．由已知利用正弦定理可求cos A=cos B，利用余弦函数y=cos x在[0，π]上单调递减，可直接得到A=B，从而可求三角形为等腰三角形．本题主要考查了正弦定理，余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】①②④【解析】解：在四面体ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ⊄平面ACD，MN⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．由BD∥PN，∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°．由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．综上可知：①②④都正确．故答案为：①②④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可判定．本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于中档题．13.【答案】8【解析】解：设直线l：y=k（x-3），联立方程组可得，解方程组可得A（，），同理联立方程组，解方程组可得B（，），由中点坐标公式得+=6，解得k=8，故答案为：8．设直线l：y=k（x-3），分别联立方程组可得A、B坐标，由中点公式可得k的方程，解之可得所求．本题考查直线的一般式方程，涉及待定系数法求直线的方程和中点公式，属基础题．14.【答案】600【解析】解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD，交于O连接PO，则PO⊥平面ABCD，则在正四棱锥中，BO⊥平面PAC，则连接OE，DE，则∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，∵正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，∴V=•PO=2，则高PO=1，∵底面积为6，∴BC=，OC=OB=，则侧棱PB=PC==2，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，则EH⊥OC，则EH=PO=，OH==，则OE===1，在直角三角形BOE中，tan∠BEO==，则∠BEO=60°，故答案为：600在正四棱锥中，连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥平面ABCD得到∠BEO是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可．本题主要考查线面角的计算，根据线面角的定义结合正四棱锥的性质得到∠BOE是直线BE与平面PAC所成的角是解决本题的关键．考查学生的计算能力．15.【答案】（2，4]【解析】解：∵sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2，∴可得cos C==，∵C∈（0，π），∴C=．∴由已知及正弦定理可得：==，∴a=sin A，b=sin B，B=-A．则a+b=sin A+sin B=sin A+sin（-A）=4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴sin（A+）∈（，1]，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2-ab=c2，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得：==，解出a，b代入a+b，利用三角函数两角和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA1=3，AB=2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，∴==3，点E到平面BDB1的距离h==，∴三棱锥B1-EBD的体积为：====．故答案为：．三棱锥B1-EBD的体积为=，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，直线kx-y+2k+5=0，即y-5=k（x+2），过定点（-2，5），直线l的斜率为-，且过点（-2，5），其方程为y-5=-（x+2），变形可得3x+4y-14=0，则直线l的方程为3x+4y-14=0；（2）根据题意，若直线m平行于直线l，设直线，则或,∴直线m为：或.【解析】（1）根据题意，分析可得直线kx-y+2k+5=0过定点（-2，5），即可得直线l 过点（-2，5），由直线的点斜式方程可得直线l的方程；（2）根据题意，设直线，又由P到直线m的距离为3，由点到直线的距离公式计算可得b的值，即可得答案．本题考查直线过定点问题以及点到直线的距离公式，关键是求出直线l的方程．18.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，∴EC1BD，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴BE∥DC1，∵BE⊄平面AC1D，DC1⊂平面AC1D，∴BE∥平面AC1D．解：（2）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥ABC，∴AD⊥BB1，∵点D别是边BC，且AB=AC，∴AD⊥BC，∵BC∩BB1=B，∴AD⊥平面BCC1B1．∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1．【解析】（1）推导出EC1BD，从而四边形BDC1E是平行四边形，进而BE∥DC1，由此能证明BE∥平面AC1D．（2）推导出AD⊥BB1，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1．由此能证明平面ADC1⊥平面BCC1B1．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）AB中点M的坐标是M（1，1），中线CM所在直线的方程是，即2x+3y-5=0．（2）解法一：，直线AB的方程是3x-y-2=0，点C到直线AB的距离是，所以△ABC的面积是．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，∴S△ABC=S△ABD+S△CBD=|BD|•（x A-x C）=×4=11．【解析】（1）AB中点M的坐标是M（1，1），利用两点式可得：中线CM所在直线的方程．（2），直线AB的方程是3x-y-2=0，利用点到直线的距离可得：点C到直线AB的距离，可得△ABC的面积S=|AB|d．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，可得：S△ABC=S△ABD+S△CBD．本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵c=，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C，即a2+b2-ab=7①，∵2sin A=3sin B，由正弦定理化简得：2a=3b②，∴联立①②解得：a=3，b=2；（2）∵cos B=，B为三角形内角，∴sin B==，∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=2cos2B-1=，∴sin2A=sin2（π-B-C）=sin（-2B）=-cos2B+sin2B=．【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，将c与cos C的值代入得到一个关系式，再将已知等式利用正弦定理化简得到另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值；（2）由cos B的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值，进而确定出sin2B 与cos2B的值，将sin2A变形为sin2（π-B-C），把C度数代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）如图，连接BD，在△BCD中，BC=CD==3千米，∠BCD=∠CDE=120°，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CD cos∠BCD=27，∴BD=3．∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD=30°，又∠CDE=120°，∴∠BDE=∠CDE-∠CDB=120°-30°=90°，在Rt△BDE中，所以BE===3…6分（2）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°-α．在△ABE中，由正弦定理，得====2，∴AB=2sin（120°-α），AE=2sinα．∴S△ABE=|AB||AE|sin60°=2×2×sin（120°-α）sinα=21×{-[cos（120°-α+α）-cos（120°-α-α）]}=cos（120°-2α）+∵0＜α＜120°，∴-120°＜2α-120°＜120°．∴当α=60°时，S△ABE取得最大值为+=．即生活区△ABE面积的最大值为km2．注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解．…12分【解析】（1）连接BD，在△BCD中由余弦定理得BD的值，在Rt△BDE中，求解BE 即可．（2）设∠ABE=α，在△ABE中，由正弦定理求解AB，AE，表示S△ABE，然后求解最大值．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.【答案】证明：（1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形．即DE=CB=2，AD==，∵侧面SAB为等边三角形，∴SA=SB=AB=2，且SE=，又∵SD=1，∴SA2+SD2=AD2，SE2+SD2=ED2，∴SD⊥SA，SD⊥SE，而SA⊂面SAB，SE⊂面SAB，SA∩SE=S，∴SD⊥平面SAB．------（5分）解：（2）过点S作SG⊥DE于G，∵AB⊥SE，AB⊥DE，SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE，又∵AB⊥平面ABCD，∴平面SDE⊥平面ABCD，由平面与平面垂直的性质，知SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD•SE=DE•SG，得1×=2×SG，∴SG=．过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，则∠AFH为二面角A-SB-C的平面角，∵CD∥AB，AB⊥平面SDE，∴CD⊥平面SDE，∴CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD=SD=1，得SC=．在△SBC中，SB=BC=2，SC=，∴=．由V A-SBC=V S-ABC，得，即，解得AH=，∴sin∠AFH===，∴二面角A-SB-C的平面角的正弦值为．---（12分）【解析】（1）取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，推导出SD⊥SA，SD⊥SE，由此能证明SD⊥平面SAB．（2）过点S作SG⊥DE于G，推导出AB⊥平面SDE，从而平面SDE⊥平面ABCD，进而SG⊥平面ABCD，过点A作AH⊥平面SBC于H，取SB中点F，连结AF，FH，则∠AFH 为二面角A-SB-C的平面角，由此能求出二面角A-SB-C的平面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．。
江苏省邗江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题
邗江中学高一数学期中考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线50x +-=的倾斜角为（ ）A.30-︒B.150°C.120°D.60°2．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，那么△ABC 最大内角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3. 当a 为任意实数时，直线（a －1）x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．⎝⎛⎭⎫1，－12D ．（－2，0）4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．若点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线ax ＋by ＝R 2与圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1BC ．2D7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8. 如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a +3）2＝1上存在两个不同的点P ，Q ，使得|OP |＝|OQ |＝2（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ）A ．0＜a ＜3B ．0≤a ≤3C ．a ＜﹣1或a ＞4D ．a ≤﹣1或a ≥49. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ） A.20°B.28°C.38°D.48°10. 已知点()y x P ,是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A. 2B.5C.25D.411. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．PC 1与AA 1异面 B. PC 1与A 1C 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D. PC 1与平面AB 1D 1平行12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为_________.14. 直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为 ． 15. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号）．16. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）（1）已知△ABC 顶点的坐标为A （4，3），B （5，2），C （1，0），求△ABC 外接圆的方程； （2）求直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长.18. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积为S且满足222),S a c b b =+-= （1）求角B 的大小； （2）当a +c ＝9时，求S .19. (本小题满分12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．S ABC -M N 、SC BC、SA =（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．120．（本小题满分12分）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C.(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．21. （本小题满分12分）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．（1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；东（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.22. （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．,,A P M高一数学期中考试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线50x +-=的倾斜角为（ ） A.30-︒B.150°C.120°D.60°【答案】B2．在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，那么△ABC 最大内角为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C3. 当a 为任意实数时，直线（a －1）x －y ＋2a ＋1＝0恒过的定点是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．⎝⎛⎭⎫1，－12D ．（－2，0）【答案】B4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥β【答案】C5．若点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线ax ＋by ＝R 2与圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B6. 已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）A ．1BC ．2D【答案】B7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C8. 如果圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a +3）2＝1上存在两个不同的点P ，Q ，使得|OP |＝|OQ |＝2（O 为坐标原点），则a 的取值范围（ ） A ．0＜a ＜3 B ．0≤a ≤3 C ．a ＜﹣1或a ＞4 D ．a ≤﹣1或a ≥4【答案】A9. 第41届世界博览会于2010年月1日至10月31日，在中国上海举行,气势磅礴的中国馆一一“东方之冠”令人印象深刻,该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念,代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米,下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ） A.20° B.28° C.38° D.48°【答案】C10. 已知点()y x P ,是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A. 25C.25D.4【答案】A11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．PC 1与AA 1异面 B. PC 1与A 1C 垂直C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D. PC 1与平面AB 1D 1平行 【答案】D12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为_________. 【答案】 214. 直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为 ． 【答案】-115. 2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为________千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号）．【答案】23516. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 . 【答案】π36三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）（1）已知△ABC 顶点的坐标为A （4，3），B （5，2），C （1，0），求△ABC 外接圆的方程； （3）求直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长.【解析】（1）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点A,B,C 在所求的圆上，故有43250,6,52290,2,10 5.D E F D D E F E D F F +++==-⎧⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩故所求圆的方程为226250x y x y +--+=. ………………………5分（2）圆心（2，-1）到直线x +2y -3=0的距离d =r=2，故弦长为5==. ………………………10分 18. （本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，它的面积为S且满足222),S a c b b =+-= （1）求角B 的大小； （2）当a +c ＝9时，求S .【解析】（1）由222)S a c b =+-，得1sin 2cos 2ac B ac B =，……………2分 S ABC -M N 、SC BC、SA =∵ac >0，∴sin B B =，∵cos 0B ≠，∴sin tan cos BB B== ……………4分 又0＜B ＜π，∴B ＝60°． ……………5分 （2）由（1）及余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos60°=21，∴a 2+c 2﹣ac ＝21，又a +c ＝9，∴（a +c ）2-3ac =81-3ac =21，ac =20， ……………8分故11sin 20222S ac B ==⨯⨯= ……………10分 19. (本小题满分12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；（2）若∠A 1AB ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BB 1，AC ＝2，BC ＝1，求三棱锥C ﹣AA 1B 的体积．【解析】（1）证明：连结AB 1交A 1B 于点O .∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，11AA BB =,四边形AA 1B 1B 为平行四边形，∴O 为AB 1的中点，又∵△AB 1C 中，D 是AC 的中点，∴OD ∥B 1C ， ……………3分 又OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD . ……………6分 （2）解：∵AC ＝2，BC ＝1，∠ACB ＝60°， ∴AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝3，得AB =∴AC 2＝AB 2+BC 2，则AB ⊥BC ．又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC ＝AB ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面AA 1B 1B ． ……………8分11∵∠A 1AB ＝60°，AB ＝BB 1＝AA 1，∴13AA =． ∴11111333sin 33,22A ABSAB AA A AB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= ……………10分 11113331.3344C A AB A ABV SBC -=⋅=⨯⨯= ……………12分 20．（本小题满分12分）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C.(1) 求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2) 若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 【解析】(1) 如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos θ＝105， ……………3分 所以v =10523＝15 5 .答：船的行驶速度为155海里/小时． ……………4分 (2) 设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q.在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝31010. ……………6分东北ABCE从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得AQ ＝ABsin ∠ABCsin （45°－∠ABC ）＝402×101022×21010＝40. ……………8分由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.……9分 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE·sin ∠PQE ＝QE·sin ∠AQC ＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×55＝3 5……………11分因为35＜7，所以船会进入警戒水域．答：若该船不改变航行方向继续行驶．则它会进入警戒水域. ……………12分 （说明：若用解析几何方法证明直线BC 和圆E 相交也相应给分.） 21. （本小题满分12分）已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标； （3）设线段AB 的中点为N ，求点N 的轨迹方程.【解析】（1）设，因为是圆的切线， ，所以∠APM =30°，， ……………2分所以，解之得, M 22(2)1x y +-=l 20x y -=P l P M,PA PB ,A B 60APB ∠=P ,,A P M (2,)P m m PA M 60APB ∠=2MP =22(2)(2)4m m +-=40,5m m ==故所求点的坐标为或． ……………3分（2）的中点， 因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：， ……………5分 化简得：22(2)(22)0x y y m x y +--+-=，此式是关于的恒等式，故2220,220,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以经过三点的圆必过定点和42,55⎛⎫⎪⎝⎭. ……………7分 （3）由22222(2)20,430x y mx m y m x y y ⎧+--++=⎪⎨+-+=⎪⎩可得AB ：2mx +（m -2）y +3-2m =0，即m （2x +y -2）-2y +3=0，由220,230x y y +-=⎧⎨-=⎩可得AB 过定点13,42R ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………9分 因为N 为圆M 的弦AB 的中点，所以MN ⊥AB ，即MN ⊥RN ，故点N 在以MR 为直径的圆上， ……………11分点N 的轨迹方程为22173042x y x y +--+=. ……………12分 （说明：如果求出点N 的坐标，再消参求出轨迹方程的相应给分.） 22. （本小题满分14分）P (0,0)P 84(,)55P MP (,1)2mQ m +PA M ,,A P M Q MQ 2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-m 02x y =⎧⎨=⎩,,A P M (0,2)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值．【解析】（1）证明：∵顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，1A B ABC ∴⊥平面，AC ABC ⊂平面,1A B AC ∴⊥， ……………2分又AB AC ⊥，1111,,ABA B B AB AB B A B AB B =⊂⊂，平面平面，1AC AB B ∴⊥平面，1AC A AC ⊂平面，11A AC AB B ∴⊥平面平面． ……………4分（2）∵在三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ,∴1AA 与BC 所成的角为∠C 1CB (或其补角). ……………6分连BC 1.1A B AC ⊥，三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ,111A B A C ∴⊥，111122,22AC A B AC AC BC ====∴=，. 2,22AC AB AB AC BC ==⊥∴=，.1A B ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面,1A B AB ∴⊥，又12AB A B ==，122AA ∴=,则11=22CC AA =，从而△BCC 1为正三角形，∠C 1CB =60°，……8分故1AA 与BC 所成的角为60°. ……………9分Q PC 1B 1A 1C（3）取A 1C 1中点Q ，∵P 为11B C 的中点，∴11PQ A B , ∵三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB ,∴PQ AB ，P ,Q ,A ,B 四点共面. 由（1）（2）可知1111,AB AC ACAC AB AC ⊥⊥，则，又1A B AB ⊥，11111111111,,AC AC B A B AC B AC A B A ⊂⊂=平面平面,∴11AB AC B ⊥平面.又∵11,QB AC B AB QB ⊂∴⊥平面,又1A B AB ⊥，故∠QBA 1为二面角1P AB A --的一个平面角. ……………12分111A B A C ⊥，111111,22AQ AC A B ===,BQ ∴=1cos QBA ∠=，…………13分即二面角1P AB A --． ……………14分。
江苏省扬州市邗江中学20XX学年高一数学下学期期中试题(含解析).doc
江苏省邗江中学2020 年度第二学期高一数学期中试卷一、选择题：本题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在中，下列等式正确的是( )A. B.C. D.【答案】 B【解析】【分析】根据正弦定理变形得到结果【详解】由正弦定理本题正确选项：.可得：，可知正确【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.2. 若直线的斜率，则直线倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系，利用正切值所处范围得到倾斜角的范围【详解】，且当时，；当时，.本题正确选项：【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，利用斜率的取值范围可求得倾斜角范围，需注意的是直线倾斜角范围为：.3. 下列说法正确的是（）A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线B.C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台棱柱的底面一定是平行四边形D.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形【答案】 D【解析】【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可.【详解】根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，可知错误；棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，可知误；由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，可知误；圆锥的轴截面为等腰三角形，可知正确 .本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体基本概念的判定，属于基础题. 错错4. 在△ ABC中，角所对的边分别为, 且则最大角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.【详解】由正弦定理可得：设，，最大为最大角本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题 .5. 已知不重合的直线a， b 和平面α，下面命题中正确的是( )①若 a∥α， b? α，则 a∥b；②若c ⊥ ，⊥c，则a∥ ；a b b③若 a∥b， b? α，则 a∥α；④若 a∥b，a∥α，则b∥α或 b? αA. ①④B. ③④C. ③D. ④【答案】 D【解析】分析】在正方体中分别寻找反例，可说明①②③错误，根据平行的位置关系可知④正确.【详解】在如下图所示的正方体中：平面，平面，此时与异面，可知①错误；，，此时，可知②错误；，平面，此时平面，可知③错误；两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，则另一条必平行于该平面或属于该平面，可知④正确本题正确选项：点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面之间的位置关系的判定，属于基础题.6. 在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有【A.4条B.6条 C.8 条( ) D. 10 条【解析】【分析】首先确定与共面的面对角线中成角的共有条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有条，共条.【详解】以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和可知与夹角为的面对角线有：根据平行关系可知也与成角可知满足题意的面对角线共有条本题正确选项：【点睛】本题考查两条直线夹角的问题，关键是在考虑共面的直线的同时，也需要考虑异面直线的情况 .7. 如果满足，AB=8，AC=k的三角形ABC有两个，那么实数 k 的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】根据三角形解得个数的确定方法，确定当有两个时，需满足，由此得到的范围 .【详解】当时，以为圆心，为半径的弧与交于两点、即此时有两个可得：本题正确选项：【点睛】本题考查解三角形中三角形解的个数的确定方法，通常我们采用画圆的方式，确定圆弧与边交点的个数，根据交点个数得到三角形个数.8. 两点A.1 条到直线的距离都等于B.2条，则直线有（ C. 3 条）条D. 4 条【答案】 C【解析】【分析】根据两点间距离可确定直线可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在直线；当平行时，求出斜率，假设直线方程，利用点到直线距离构造方程，求出直线有条；当在两点连线之间时，可确定斜率一定存在，利用点到直线距离构造方程，求出直线有条；所以满足题意的直线共有条 .【详解】与之间距离两点、到直线距离都等于可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在的直线①平行于两点连线所在的直线，则设直线方程为：，即可得：，解得：或②在两点连线之间，则直线必过中点当斜率不存在，即为时，不满足题意则斜率存在，设，即可得：，解得综上所述，直线共有条本题正确选项：【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，关键是要通过两点间距离判断满足题意的直线的位置有可能在连线之间，也可以平行于两点连线，由此分别求解得到结果.9. 在中，若，且，则实数的值为( )A. 3B. 2C.D.【答案】 A【解析】【分析】将正切化弦后进行整理，得到，根据正余弦定理将角化为边，可得到，从而可求出.【详解】，即由正弦定理、余弦定理得：，即又本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理对边角关系式进行化简，解决此类问题时如遇到正切、余切，通常采用切化弦的方式，将问题转化到正余弦的问题上再来求解.10. 点为直线上任意一点，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】两点关于原点对称，且直线过原点，可知最小值在为坐标原点时取得；利用点关于直线对称点的求解方法求出的对称点，由斜率关系可知直线平行于，则，从而可得到所求范围.【详解】当为坐标原点时，，此时，为最小值设关于对称点为则：，解得：，此时又，得：直线平行于可知必构成三角形的即综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线上动点到两定点距离之差取值范围问题，关键是能够通过对称方式，利用三角形三边关系求解最值，易错点是忽略了平行关系，导致误认为三点共线取最大值，造成求解错误 .二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一(新疆班)下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一（新疆班）下学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则AB u u u r 的值是（）A ．5BC ．9D ．3答案:D 计算()1,2,2AB =u u u r ，再计算模长得到答案.解：A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则()1,2,2AB =u u u r，故3AB ==u u u r .故选：D.点评：本题考查了空间向量的模，意在考查学生的计算能力.2．设(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-r r ,且//a b r r ,则实数m +n 的值为（）A ．113B ．192C ．8D ．6答案:B根据平行得到λa b =r r ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，解得72m =，6n =，得到答案.解：//a b r r ，则λa b =r r ，故(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，故()()242321232m m n n λλλ⎧=⎪-=+⎨⎪+=-⎩， 解得12λ=，72m =，6n =，故192m n +=. 故选：B.点评：本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．已知,a b r r 分别为平面,αβ的法向量，且()2,1,3a =-r ，()4,2,b x =-r ，若αβ⊥，则x 的值为（）A ．2B ．-2C ．103D ．103- 答案:C 根据αβ⊥得到a b ⊥r r ，即0a b ⋅=r r ，计算得到答案.解：αβ⊥，故a b ⊥r r ，故8230a b x ⋅=--+=r r ，解得103x =. 故选：C.点评：本题考查了法向量，根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=v v ，且()a b a λ+⊥v v v ，则实数λ的值是（）A ．1-B ．0C ．2-D ．1 答案:C先求出a λb +r r 的坐标，利用()a b a λ+⊥r r r 可得()0a b a λ+⋅=r r r，代入坐标计算即可. 解： 解：由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-r r ，由()a b a λ+⊥r r r 得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=r r r ，2λ∴=-，故选：C.点评：本题考查数量积的坐标运算，其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=r r r r r r 是解题的关键，是基础题.5．已知向量(2,a =-r 是直线l 的方向向量，向量(1,0,0)n =r 是平面α的法向量，则直线l 与平面α所成的角为（）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o答案:A 计算1cos ,2a n a n a n ⋅==⋅r r r r r r ，得到向量夹角，再计算线面夹角得到答案.21cos ,412a n a n a n ⋅===⨯⋅r r r r r r ，故向量夹角为60︒， 则直线l 与平面α所成的角为906030︒-︒=︒.故选：A.点评：本题考查了线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6．已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2,OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在直线OC 上运动.当MA MB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，点M 的坐标为（）A ．(2,2,4)B ．224(,,)333C ．5510(,,)333D ．448(,,)333答案:D 设OM OC λ=u u u u r u u u r ，故(),,2M λλλ，()()242633MA MB OA OM OB OM λ⎛⎫=--⋅=- ⎪⎝-⎭⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，计算得到答案. 解：设OM OC λ=u u u u r u u u r ，即(),,2OM OC λλλλ==u u u u r u u u r ，故(),,2M λλλ，()()()()1,2,322,1,22MA MB OA OM OB OM λλλλλλ⋅=-⋅-=---⋅---u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 224261610633λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当43λ=时，向量数量积有最小值，此时448,,333M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.点评：本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（）A ．1B ．3C ．4D ．5答案:C根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.点评：本题考查了切线方程，属于简单题.8．函数2()1f x x x=+-在区间(,0)-∞上（） A ．有最大值，无最小值 B ．有最小值，无最大值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值 答案:A求导得到(2'()x x f x x +=，得到函数的单调区间，得到最值. 解： 2()1f x x x =+-，则(222222'()1x x x f x x x x +-=-==，故函数在(,-∞上单调递增，在)⎡⎣上单调递减，故函数有最大值为(1f =-，无最小值.故选：A.点评：本题考查了求函数的最值，求导确定单调区间是解题的关键.9．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e - 答案:C求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.解： ()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =， 当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.点评：本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．函数()ln f x x x =的单调减区间是（）A ．(,)e -∞-B ．1(,)e -∞C ．1(0,)eD ．(0,)e答案:C求导得到()'ln 1f x x =+，取()'0f x <解得答案.解： ()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 10f x x =+<，解得10x e<<. 故选：C.点评：本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．如果函数()y f x =的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（）A ．函数()y f x =在区间（3，5）内单调递增B ．函数()y f x =在区间（-2，2）内单调递增C ．当12x =-时，函数()y f x =有极大值 D ．当x =2时，函数()y f x =有极小值答案:B根据导数和函数的关系依次判断每个选项得到答案.解：根据图像知：导函数在()3,5上有正有负，故函数先减后增，A 错误； 导函数在()2,2-上恒为正，故函数单调递增，B 正确；导函数在()1,0-上恒为正，函数单调递增，故12x =-不是极值点，C 错误； 导函数在()0,2上为正，函数单调递增；导函数在()2,4为负，函数单调递减，故2x =是极大值点，D 错误.故选：B.。
2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．直线50x +-=的倾斜角为（）A ．30-oB ．150oC ．120oD ．60o 答案：B解：设直线的倾斜角为α，则tan 3α=-，解方程即可. 解：由已知，设直线的倾斜角为α，则tan α=，又[0,180)α∈o o ， 所以150α=o .故选：B点评：本题考查已知直线的斜率求倾斜角，考查学生的基本计算能力以及对基本概念的理解，是一道容易题.2．在ABC V 中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，那么ABC V 最大内角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 答案：C解：根据题意，设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，利用余弦定理求得cos C 的值，即可求解.解：在ABC ∆中，因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =，由正弦定理，可得设ABC ∆的三边分别为3,5,7a m b m c m ===，（其中0m >）， 因为,c a c b >>，所以角C 为三角形的最大角， 又由余弦定理可得222222(3)(5)(7)1cos 22352a b c m m m C ab m m +-+-===-⨯⨯，又因为(0,)C π∈，所以120C =o .故选：C.点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中利用余弦定理求得最大角的余弦值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3．当a 为任意实数时，直线（a –1）x –y +2a +1=0恒过的定点是A ．（2，3）B ．（–2，3）C ．（1，–12）D ．（–2，0）答案：B 解：试题分析：直线方程可化为，故选B.【考点】直线方程.【方法点晴】本题主要考查直线方程，涉及方程的恒成立问题，对于绝大多数学生思维跨越较大，属中等难题．解决本题时，先将直线方程按照的降幂排列得，该方程要恒成立需，从而解得，求得定点．本题还可以通过特值法取得方程组，再解方程组即可得定点．4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A ．若//,//m m αβ，则//αβB ．若//,//m n αα，则//m nC ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβD ．若,a γβγ⊥⊥，则//αβ答案：C解：根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可. 解：A .同时平行于一条直线的两个平面不一定平行，可能平行也可能相交，故A 错误，B .若//,//m n αα，则,m n 关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B 错误，C .若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，C 成立，D .若,a γβγ⊥⊥，则//αβ或α与β相交，故D 错误， 故选：C .点评：本小题主要考查空间线线、面面位置关系命题的判断，属于基础题.5．若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（）．A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 答案：C解：解：由题知222a b r +>， 圆心到直线的距离2d r =< ，故选C ．6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A ．1B C ．2 D 答案：B解：设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径. 解：设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为2π2πr r =，所以圆锥的表面积为()221ππ29π2r r +=，解得r =故选：B点评：本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 答案：C解：直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状．解：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2＝a 2+bc ． 则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===， 由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ，利用正弦定理得：bc ＝a 2，所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形．故选C ．点评：本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．如果圆()()2231x a y a -+-+=上存在两个不同的点P ，Q ，使得2OP OQ ==（O 为坐标原点），则a 的取值范围（）A ．0<<3aB ．03a ≤≤C ．1a <-或4a >D ．1a ≤-或4a ≥答案：A 解：由2OP OQ ==可得P ，Q 两点在圆224x y +=上，然后条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点，然后建立不等式求解即可.解： 因为2OP OQ ==（O 为坐标原点）所以P ，Q 两点在圆224x y +=上所以条件可转化为圆()()2231x a y a -+-+=与圆224x y +=有两个交点 因为圆()()2231x a y a -+-+=的圆心为(),3a a -，半径为1所以13<<，解得0<<3a故选：A点评：本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题..9．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒答案：C 解：根据题意得到PE 和ME 的长度，从而得到tan PME ∠的值，根据正切函数的单调性，得到3045PME ︒︒<∠<，从而得到答案.解：依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米，如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=， PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈， 而3tan300.58︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<，故选：C ．。