试卷4(含答案)

《概率论与数理统计》试卷 (A)姓名： 班级： 学号： 得分：一．是非题（7分，每题1分）1．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立. （ ） 2．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定. （ ） 3．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)2,0(~N Y X +. （ ） 4. 设有分布律：,2/1}/2)1({1n n n n X P =-=+),2,1( =n ，则X 的期望存在. （x ） 5. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，（ ）6. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 7．在假设检验中，显著性水平α是指α-=1)(00为假拒绝H H P . （ ）二. 选择题（15分，每题3分）1. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则=>)2004(X P .)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.2. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .)(A ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； )(B ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(Gy x y x f ；)(C ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； )(D ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(Gy x y x f .)(A 0； )(B 1； )(C π/21+； )(D π/21-.4. 设总体),1(~p B X ，12,,,n X X X 是来自总体的样本，X 为样本均值，则==)/(n k X P .)(A p ； )(B k n k p p --)1(；)(C k n k k np p C --)1(； )(D k n k k n p p C --)1(. 5. 设总体),(~2σμN X ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对假设检验2:,2:10<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 .)(A )1(22/12-≤-n αχχ； )(B )1(212-≤-n αχχ； )(C )(22/12n αχχ-≤； )(D )(212n αχχ-≤.三. 填空题（15分，每题3分）1．已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=⋃)(B A A P .2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧=_________________________)(z F Z .3. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2)12(+-=Y X Z ，则其数学期4. 设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间.5. 设12,,,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，=)(X D .四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分）1． 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。

不放回抽取，每次任取一个，共取两次， (1 ) 求：第二次才取到新球的概率;(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.2． “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座， （1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.3．设随机变量X 在),0(a 上随机地取值，服从均匀分布，当观察到x X =)0(a x <<时，Y 在区间),(a x 内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求：(1 ) ),(Y X 的联合密度函数),(y x f ； (2 ) Y 的密度函数()Y f y .4． 学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问n 应取多大？（用中心极限定理）5． 设总体θθxex f X -=21)(~0>θ,),(∞+-∞∈x （θ 未知）且12(,,,)n X X X 为来自X 的一个样本，求：θ 的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.6． 自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重),(~2σμN X ，（2,μσ未知）按规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 一天，为检查机器的工作情况，随机地抽取6问：通过检验期望μ和方差2σ来判断包装机该天的工作是否正常(α=0.05)？五. 证明题 （6分）设C B A ,,是不能同时发生但两两独立的随机事件，且ρ===)()()(C P B P A P ， 证明ρ可取的最大值为1/2.[ 附 正态分布、t 分布、2χ分布数值表 ] 99.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ0.0250.0250.050.05(5) 2.5706,(6) 2.4469,(5) 2.0150,(6) 1.9432t t t t ====22220.050.050.0250.025(5)11.071,(6)12.592,(5)12.833,(6)14.449χχχχ====概率统计试A 卷解析一. 是非题是 是 非 非 非 是 非 .二. 选择题D A D C B . 三. 填空题1. 8/7 ；2. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1,110,20,0)(2z z z z z y F Y3. 4.2 ； 4. 0与0.25 之间 ； 5. n ，2 .四. 计算题1．解： 设 i A ={第i 次取得新球}，i=1,2. (1) 设C={第二次才取得新球}，有12C A A =12121464()()()(|)10915P C P A A P A P A A ===⨯=， [30/7]； (2) 设事件 D = {发现其中之一是新球}，E = {其中之一是新球，另一个也是新球} 12121651()()()(|)1093P ED P A A P A P A A ===⨯= 121212121121()()()()1()(|)()(|)31644613310910915P D P A A P A A P A A P A P A A P A P A A =++=++=+⨯+⨯= ()1/35(|)()13/1513P ED P E D P D ===.解法二 设事件 =B {两个中至少有一个是新球}，=A {两个都是新球}，则B A ⊂，2. 解： 分布律[ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15/115/25/115/43/143210]期望 E (X) = 35/21 ≈ 1.67，P {X ≥2} = 10/21 ≈ 0.476.3.解 ⎪⎩⎪⎨⎧∈=他其，0),0(,1)(~a x a x f X X, ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-==他其，0,0,)(1)()(),(a y x a x x a a x y f x f y x f X Y X⎪⎩⎪⎨⎧∈-=他其，0),0(,ln1)(a y y a a a y f Y4．解 ),(~p n B X , p n X E =)(, )1()(p p n X D -=,{||0.1}0.95XP p n-<>. 有中心极限定理{||0.1}210.95X P p P n -<=<≈Φ->20.97519.6(1)n p p ⇒Φ>⇒>- 记 )1()(p p p g -=, 令 021)(=-='p p g , 2/1=p , 4/1max =g22119.6(1)19.696.044p p -≤⨯= 故 n > [ 96.4 ]+1 = 97 人 .5. 解： ||2221()22x E X x e dx θθθ-+∞-∞==⎰， 矩估计量 12n n θ=∑ 极大似然估计量 11||ni i X n θ==∑.6．解： 3.495=x ，74.13=s ，788.1882=s ,（1）提出检验假设 01:500;:500H H μμ=≠()0.0250.05,5 2.5706,(, 2.5706)(2.5706,)t W α===-∞-⋃+∞0|500||495.3500||| 2.44950.837913.74x T W s --==⨯≈∈，[W ∈4098.0] 接受0H . （2）提出检验假设 2201:100;:100H H σσ=>,071.11)5(,05.0205.0==χα 拒绝域为),071.11(∞+=W ，W s n ∉=⨯=-=439.9100788.1885)1(20220σχ，接受0H , 机器工作正常.五. 证明题（6分）)()(C A C AB ⋃⊂⋃⇒)()(C A P C AB P ⋃≤⋃⇒ ⇒)()()()()()(AC P C P A P ABC P C P AB P -+≤-+⇒ )()()()()()()(C P A P C P A P C P B P A P -+≤+ 即 222ρρρρ-≤+ ⇒ 022≥-ρρ 解此不等式得 ]2/1,0[∈ρ，所以ρ可取的最大值为1/2.。