试卷4(含答案)

《概率论与数理统计》试卷 (A)

姓名： 班级： 学号： 得分：

一．是非题（7分，每题1分）

1．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立. （ ） 2．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定. （ ） 3．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)2,0(~N Y X +. （ ） 4. 设有分布律：,2/1}/2)1({1n n n n X P =-=+),2,1( =n ，则X 的期望存在. （x ） 5. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，

（ ）

6. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 7．在假设检验中，显著性水平α是指α-=1)(00为假拒绝H H P . （ ）

二. 选择题（15分，每题3分）

1. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则

=>)2004(X P .

)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.

2. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .

)(A ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； )(B ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G

y x y x f ；

)(C ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； )(D ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G

y x y x f .

)(A 0； )(B 1； )(C π/21+； )(D π/21-.

4. 设总体),1(~p B X ，12,,

,n X X X 是来自总体的样本，X 为样本均值，则

==)/(n k X P .

)(A p ； )(B k n k p p --)1(；

)(C k n k k n

p p C --)1(； )(D k n k k n p p C --)1(. 5. 设总体),(~2σμN X ，μ为未知参数，样本12,,

,n X X X 的方差为2S ，对假设检验

2:,2:10<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 .

)(A )1(22/12-≤-n αχχ； )(B )1(212-≤-n αχχ； )(C )(22/12n αχχ-≤； )(D )(212n αχχ-≤.

三. 填空题（15分，每题3分）

1．已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=⋃)(B A A P .

2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧=_________________________)(z F Z .

3. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2)12(+-=Y X Z ，则其数学期

4. 设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间.

5. 设12,,

,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，

=)(X D .

四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分）

1． 一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次， (1 ) 求：第二次才取到新球的概率;

(2 ) 发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.

2． “新天地”某酒吧柜台前有吧凳7张，此时全空着，若有2陌生人进来随机入座， （1） 求：这2人就座相隔凳子数的分布律和期望；

（2） 若服务员预言这2人之间至少相隔2张凳子，求：服务员预言为真的概率.

3．设随机变量X 在),0(a 上随机地取值，服从均匀分布，当观察到x X =)0(a x <<时，Y 在区间),(a x 内任一子区间上取值的概率与子区间的长度成正比， 求：

(1 ) ),(Y X 的联合密度函数),(y x f ； (2 ) Y 的密度函数()Y f y .

4． 学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。 决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问n 应取多大？（用中心极限定理）

5． 设总体θθ

x

e

x f X -=21)(~0>θ,),(∞+-∞∈x （θ 未知）且12(,,,)n X X X 为来自X 的

一个样本，求：θ 的 (1 ) 矩估计量 ； (2 ) 极大似然估计量.

6． 自动包装机加工袋装食盐，每袋盐的净重),(~2σμN X ，（2,μσ未知）按规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 一天，为检查机器的工作情况，随机地抽取6

问：通过检验期望μ和方差2σ来判断包装机该天的工作是否正常(α=0.05)？

五. 证明题 （6分）

设C B A ,,是不能同时发生但两两独立的随机事件，且ρ===)()()(C P B P A P ， 证明ρ可取的最大值为1/2.

[ 附 正态分布、t 分布、2χ分布数值表 ] 99.0)33.2(,975.0)96.1(,

95.0)645.1(,

9.0)285.1(=Φ=Φ=Φ=Φ

0.0250.0250.050.05(5) 2.5706,(6) 2.4469,(5) 2.0150,(6) 1.9432t t t t ====

2222

0.05

0.050.0250.025(5)11.071,(6)12.592,(5)12.833,(6)14.449χχχχ====