二次函数增减性
二次函数的增减性及最值问题.doc(6月25日)
《二次函数的增减性及最值问题》是一节复习课。
它是人教版九年级上册《二次函数》的章节复习课第三课时。
下面我将从教材的地位与作用、教学任务，教学重难点，学生起点状况，教法学法，教学思想，教学过程设计6个方面来具体说明我对这节课的理解。
一教材的地位与作用《二次函数的增减性及最值问题》是人教版九年级上册《二次函数》的章节复习课第三课时。
二次函数函数的增减性及最值问题是初中数学的重要知识点，在学习有关性质的基础上深入理解函数值与自变量的一对多的问题；同时，二次函数的增减性与最值问题是高中重要的衔接内容。
二教学任务分析我根据《新课标》，结合学生认知水平，将本节课目标制定如下：教学目标：知识目标：理解并掌握以代数为主干的综合题中有关二次函数的增减性及最值问题。
能力目标：培养学生对于含字母的式子的计算能力及用数形结合分析解决函数问题的能力。
提高学生将复杂问题基本化，陌生问题熟悉化的能力。
三教学重难点分析重点：二次函数增减性及最值问题；带字母的计算难点：带字母的计算；二次函数中函数值与自变量之间一对多的问题四学生起点状况分析在此之前，学生已经掌握二次函数图像的性质，并会利用二次函数性质求最值；而且，对于抛物线中的动点问题学生已经掌握较好；同时，对于抛物线中的含动点的三角形面积问题也已经作为专题讲解过。
在此基础上，对于典例中以代数为主的综合题，就可以将重点放在二次函数的性质的综合运用上，不会因为动态三角形面积的计算花过多时间与精力，才能突出本节课重点，同时便于突破难点。
五教法与学法分析教法分析：在学生探究，讨论的基础上，教师充分利用多媒体进行动画演示，适时讲解点拨，学法分析：探究，交流，动画感知，数形结合，知识升华六数学思想方法分析本节课在教学中向学生渗透的数学思想主要有：转化思想、函数思想、数形结合思想等七教学过程设计基于以上对教材特点和学生情况的分析，为能更好的达成教学目标，我在本节课主要安排以下四个环节。
第一环节：铺垫导入，动画感知；第二环节：自主探究，典例剖析；第三环节：合作交流，动画演示；第四环节：知识小结，知识升华。
二次函数的增减性与凹凸性
二次函数的增减性与凹凸性在数学中，二次函数是一类形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图像通常呈现出一条平滑的弧线，这条曲线在数轴上有许多重要的性质，其中包括增减性和凹凸性。
一、二次函数的增减性二次函数的增减性是指函数图像在数轴上的增减规律。
为了分析二次函数的增减性，我们首先需要找到函数的导数。
对于f(x)=ax^2+bx+c 来说，它的导数为f'(x)=2ax+b。
当导数f'(x)大于零时，即2ax+b大于零时，二次函数的图像是上凸的，也就是说函数在该区间上是递增的。
当导数f'(x)小于零时，即2ax+b小于零时，二次函数的图像是下凸的，函数在该区间上是递减的。
具体来说，当a大于零时，二次函数的图像开口朝上，函数在整个定义域上是递增的；当a小于零时，二次函数的图像开口朝下，函数在整个定义域上是递减的。
而当a等于零时，二次函数退化成线性函数，其图像为一条直线，没有增减性。
二、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
通过求解二次函数的二阶导数可以确定函数的凹凸性。
对于f(x)=ax^2+bx+c，它的二阶导数为f''(x)=2a。
当二阶导数f''(x)大于零时，即2a大于零时，二次函数的图像在该区间上是向上凸起的，也就是说函数是凹的。
当二阶导数f''(x)小于零时，即2a小于零时，二次函数的图像在该区间上是向下凸起的，函数是凸的。
同样地，当a大于零时，二次函数图像开口朝上，函数在整个定义域上是凹的；当a小于零时，二次函数图像开口朝下，函数在整个定义域上是凸的。
三、增减性与凹凸性的关系二次函数的增减性与凹凸性有着密切的关系。
当二次函数是递增的时，它的图像是上凸的；当二次函数是递减的时，它的图像是下凸的。
此外，当函数同时满足递增和凹时，函数在该区域内的值是不断增加的；当函数同时满足递减和凸时，函数在该区域内的值是不断减小的。
人教版初三数学上册二次函数增减性与极值问题
对称轴为y轴 抛物线过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④4a+2b+c＞0; ⑤9a-3b+c＞0正确的个数是 （B ）
A、2个 B、3个
总结
a>0时，当x的值越靠 近对称轴，y的值越小
a>0时，当x的值越靠 近对称轴，y的值越小
函数增减性
Y随X增大而增大即x从 左到右，y从下到上，图
象呈上升趋势。
Y随X增大而减小即x从左到 右，y从下到上，图象呈下
降趋势。
整理总结
1.反比例函数，一次函数，二次函数的 增减性都是 Y随X增大而增大（减小） 即x从左到右，y从下（上）到上（下），图 象呈上升（下降）趋势。 2.有些实际问题，只是研究函数图像的 一部分。 3.解题时，学会把实际问题转化成数学 问题。 4.注意数形结合，分类讨论的思想和方 法的运用。
y
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
已知一次函数y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐 标系中的大致图象是( )
.
已知一次函数y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐 标系中的大致图象是( )
.
(河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二 次函数y=ax2+c的图象大致为( B ).
yax2bxc(a0)
承德县安匠初中 王文顺
学习目标：
22.1.4y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像特点、增减性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
突破方法：通过大量绘制图像，让学生观察、总结规律，形成直观认识。
（2）对称轴的求解：学生对对称轴的计算公式容易忘记或混淆；
突破方法：引导学生回顾一次函数的对称轴概念，进而理解二次函数对称轴的计算方法，并给出具体例子进行讲解。
（3）二次函数在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将现实问题抽象为二次函数模型；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
突破方法：通过列举生活中的实际例子（如抛物线形状的拱桥、物体抛掷等），引导学生学会建立二次函数模型，并求解相关问题。
在教学过程中，教师需针对上述重点和难点内容，通过讲解、举例、互动等方式，帮助学生透彻理解二次函数的图像和性质，并能够将所学知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+bx+c的基本概念。二次函数是描述变量间二次关系的函数，它是数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程等领域。
第03讲 二次函数的增减性与最值问题(原卷版)
第3讲 二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】❖ 无区间范围的二次函数最值由a 与定点纵坐标共同决定对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上⇔ a ＞0⇔二次函数有最小值ab ac 442-； 开口向下⇔a ＜0⇔二次函数有最大值ab ac 442-； ❖ 区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2，有最小值﹣2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D ．有最大值2，无最小值2．已知函数y ＝x 2﹣6x +2，当﹣1＜x ＜4时，则y 的取值范围为 ．3．设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a4．已知抛物线y ＝（x ﹣b ）2+c 经过A （1﹣n ，y 1），B （n ，y 2），C （n +3，y 3）三点，y 1＝y 3．当1﹣n ≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5B．3C．D．45．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1B．C．或﹣8D．1或﹣86．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤07．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或39．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A ．﹣B ．或﹣C ．2或﹣D ．2或﹣或﹣13．当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或514．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y ＝m （m 是常数）交于点A 、B ，AB ＝6，则m ＝ ．（3）当﹣3＜x ＜3时，y 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于A （﹣3，0）、B （0，﹣3），二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）若二次函数y ＝x 2+mx +n 图象与y 轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象上？（3）当n ＞0，m ≤5时，二次函数y ＝x 2+mx +n 的最小值为t ，求t 的取值范围．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】❖ 常规问题需要由a 与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：a ＞0时，图象开口向上； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而减小，反之则y 随x 的增大而增大； a ＜0 时，图象开口向下； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而增大，反之则y 随x 的增大而减小； ❖ y 1、y 2比较大小问题规律总结：若点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上的两个点，则：当a ＞0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a ＜0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y ＝﹣x 2+2，下列说法正确的是（ ）A ．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜23．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2C．若x1+x2＞1，则y1＞y2D．若x1+x2＜1，则y1＞y24．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3B．3C．D．±35．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y26．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣110．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3 的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．。
初中数学 如何确定二次函数的增减性
初中数学如何确定二次函数的增减性确定二次函数的增减性是初中数学中的一个重要概念。
在这篇文章中，我将详细介绍如何确定二次函数的增减性，并提供一些实例和性质来帮助你更好地理解二次函数的增减性。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解二次函数的概念。
二次函数的增减性指的是二次函数图像的上升和下降趋势。
确定二次函数的增减性可以通过以下步骤进行：Step 1: 确定二次函数的一般形式二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
确保你的二次函数写成这种形式。
Step 2: 确定二次函数的开口方向根据二次函数的系数a的正负，可以确定二次函数的开口方向。
如果a > 0，那么二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线；如果a < 0，那么二次函数的图像是一个开口朝下的抛物线。
Step 3: 确定二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标可以使用公式x = -b / (2a)来计算，其中b是二次函数的系数。
Step 4: 确定二次函数的增减性根据二次函数的开口方向和顶点的位置，可以确定二次函数的增减性。
1. 如果二次函数的开口朝上，那么顶点是函数的最低点，函数在顶点左侧是递增的，在顶点右侧是递减的。
2. 如果二次函数的开口朝下，那么顶点是函数的最高点，函数在顶点左侧是递减的，在顶点右侧是递增的。
例如，考虑函数y = x^2 - 4x + 3。
我们可以使用公式x = -b / (2a)来计算顶点的横坐标。
在这个例子中，a = 1，b = -4，所以顶点的横坐标为x = -(-4) / (2 * 1) = 2。
因为a > 0，所以二次函数的开口朝上。
根据顶点的位置，可以确定函数在顶点左侧是递增的，在顶点右侧是递减的。
通过确定二次函数的增减性，我们可以了解二次函数图像的上升和下降趋势。
这对于解决实际问题和理解二次函数的性质都非常有帮助。
总结起来，确定二次函数的增减性可以通过确定二次函数的开口方向和顶点的位置来完成。
2024年中考数学复习课件---微专题2-二次函数的增减性、最值问题全
∴m2-2m-3=2m,解得m1=2+ (舍),m2=2- .∴m=2- ;
②当m-1>1时,m>2,x=m-1时,y取最小值,
∴(m-1)2-2(m-1)-3=2m,解得m1=0(舍),m2=6.∴m=6;
③当m-1≤1≤m时,1≤m≤2,y=-4为最小值,∴-4=2m,解得m=-2(舍).
数).当自变量x的值满足-1≤x≤2时,与其对应的函数值y随x的
增大而增大,则m的取值范围是 m≤-1
.
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7
综上所述,m=2- 或6.
3
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5
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
类型三
返回类型清单
对称轴不确定,求最值或取值范围
方法指导Βιβλιοθήκη 先用含字母的式子表示出抛物线的对称轴,然后分三种情况讨论:
①当对称轴大于x取值范围的最大值时;
②当对称轴小于x取值范围的最小值时;
③当对称轴位于x取值范围内时.
6
7
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
函数y=ax2-2ax+3的图象上.当x=1时,y<3,则y1,y2,y3的大小比较正
确的是( C
A.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3
)
B.y1<y3<y2
D.y2<y3<y1
1
2
微专题2 二次函数的增减性、最值问题
返回类型清单
2.已知二次函数y=ax2+4ax+c(a<0)的图象经过A(-5,y1),B(-3,y2),
微专题2
二次函数的增减性、最值问题
微专题2
高中数学同步学案 二次函数的图象和性质——增减性和最值
1．2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值二次函数的增减性与最值定理定理 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0,x ∈R),当a>0(a<0)时,在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减(递增),在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增(递减),图象曲线开口向上(下),在x ＝－b 2a 处取到最小(大)值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－Δ4a ,这里Δ＝b 2－4ac.试求二次函数y ＝x 2＋2x －3的单调区间和最值．[提示] 在区间(－∞,－1]上是减函数,在[－1,＋∞)上为增函数,当x ＝－1时,y 有最小值,y min ＝－4.二次函数的单调性及应用[例1] 已知函数(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值,试比较f(－1)和f(1)的大小． [思路点拨] 配方后确定单调区间,利用单调性求解．[解] 配方,得y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－18,对称轴为x ＝34.(2)因为2>0,所以抛物线开口向上, 所以当x ＝34时,y min ＝－18.(3)∵函数y ＝2x 2－3x ＋1的对称轴为x ＝34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋x . ∴f(－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.又∵函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上是增函数,52>1>34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f(1),即f(－1)>f(1).借题发挥 配方法是解决二次函数单调性和最值的较好方法,在求函数的最值前往往需要确定函数的单调性.1．函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数的条件是( ) A ．a ∈(－∞,1] B ．a ∈[2,＋∞)C ．a ∈[1,2]D ．a ∈(－∞,1]∪[2,＋∞)解析：选D f(x)＝x 2－2ax －3＝(x －a)2－a 2－3, 若f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数, ∴a≤1或a≥2.2．已知函数y ＝(m 2－3m)xm 2－2m ＋2是二次函数,则m ＝________,该函数的值域为________．解析：由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m≠0，m 2－2m ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m≠0且m≠3，m ＝0或m ＝2，所以m ＝2,所以y ＝－2x 2.故值域为{y|y≤0}． 答案：2 {y|y≤0}二次函数的最值及应用[例2] 金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？ [思路点拨] 建立二次函数模型求解．[解] (1)当每辆的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12,所以这时租出了100－12＝88(辆)． (2)设每辆车的月租金定为x 元,则月收益f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 ＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时,f(x)最大,最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司收益最大,最大收益为307 050元. 借题发挥 二次函数是我们接触最早的基本初等函数,建立二次函数模型可以解决生活中的最值优化问题,值得注意的是在求二次函数最值时,切记要注意自变量的取值范围.3．某商店已按每件80元成本购进某种上装1000件,根据市场预测,当每件售价100元时,可全部售完,若定价每提高1元时,销售量就减少5件,若要获得最大利润,则销售价应定为( )A ．110元B ．130元C ．150元D ．190元解析：选D 设每件涨价x 元,利润函数为： y ＝(100＋x －80)(1000－5x) ＝(20＋x)(1000－5x) ＝－5x 2＋900x ＋20000.当x ＝90时,y 取最大值,故销售价定为190元．1．函数y ＝－x 2＋1的单调增区间是( ) A ．[0,＋∞) B ．(－∞,0] C ．(0,＋∞)D ．(－∞,＋∞)解析：选B ∵y ＝－x 2＋1为开口向下,对称轴为x ＝0的抛物线, ∴该函数y ＝－x 2＋1在(－∞,0]上递增．2．函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减,则a 的取值范围是( ) A ．[3,＋∞) B ．(－∞,3] C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选D ∵f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减, ∴－4a2≥6,即a≤－3.3．若y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值为2,则k ＝________. 解析：∵y ＝－x 2＋4x ＋k＝－(x 2－4x ＋4)＋4＋k ＝－(x －2)2＋4＋k, ∴其最大值为4＋k ＝2,∴k ＝－2. 答案：－24．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限,且在区间[－2,1]上的最大值和最小值分别为1和－2,求函数f(x)＝x 2－ax ＋b 在[－2,1]上的最大、最小值．解：∵y ＝ax ＋b 不经过第一象限,且最大、最小值不等,∴a<0, 从而有y max ＝－2a ＋b ＝1,y min ＝a ＋b ＝－2,∴a ＝－1,b ＝－1,即f(x)＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.∵x≤－12时,f(x)单调递减,而x≥－12时,f(x)单调递增．∴在[－2,1]上,f(x)max ＝f(－2)＝f(1)＝1,f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－54.简述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的性质函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x ＝h,h ＝－b2a,k ＝4ac －b24a；当a>0时,抛物线开口向上,函数在x ＝h 处取最小值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是减函数,在区间[h,＋∞)上是增函数；当a<0时,抛物线开口向下,函数在x ＝h 处取最大值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是增函数,在区间[h,＋∞)上是减函数．一、选择题1．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间为( ) A ．[0,＋∞) B ．[1,＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞,32]答案：D2．若f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称,则f(x)在(－3,1)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选C ∵f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称 ∴m ＝0,∴f(x)＝－x 2＋3, ∴f(x)在(－3,1)上先增后减．3．某商品进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件．通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件,商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元解析：选D 设当商品定价为x 元时,商店的销售利润为y 元,则有 y ＝(x －40)[500－10(x －50)](x≥50) ＝(x －40)(1000－10x)＝－10x 2＋1 400x －40 000(x≥50), ∴当x ＝70时,y 有最大值．4．函数f(x)＝9－ax 2(a>0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A f(x)＝－ax 2＋9开口向下,在[0,3]上单调递减,所以在[0,3]上最大值为9. 二、填空题5．用一根长为12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是________． 解析：设矩形一边长为x m, 则另一边长为12－2x2＝(6－x) m,∴面积S ＝x(6－x)＝－x 2＋6x(0<x<6), ∴当x ＝3时,S max ＝－32＋18＝9. 答案：9 m 26．函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间是(－∞,4],则a 的值为________．解析：f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2.∴f(x)的单调递减区间是(－∞,1－a]． 又∵f(x)的单调递减区间是(－∞,4], ∴1－a ＝4,即a ＝－3. 答案：－3 三、解答题7．求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－4x ＋6,x ∈[1,5)； (2)y ＝2x －x －1.解：(1)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5),∴如图所示：函数的值域为[2,11)． (2)函数的定义域是{x|x≥1}． 令x －1＝t,则t≥0,x ＝t 2＋1, ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2,问题转化为y(t)＝2t 2－t ＋2在t ∈[0,＋∞)值域的问题．用配方法解决, ∴y ＝2(t －14)2＋158,∵t≥0,如图,则y min ＝158,∴所求函数的值域为[158,＋∞)．8．已知f(x)＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上的最小值为－3,求a 的值． 解：当－a2>1,即a<－2,y min ＝f(1)＝4＋a ＝－3,∴a ＝－7. 当－1≤－a2≤1,即－2≤a≤2,y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－a 24＝－3,∴a ＝±26(舍去)． 当－a2<－1,即a>2时,y min ＝f(－1)＝4－a ＝－3, ∴a ＝7.综上可知,a ＝±7.。
二次函数的单调性的概念
二次函数的单调性的概念二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
在讨论二次函数的单调性之前，先简要回顾一下函数的单调性的概念。
函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体地说，如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1小于x2时，函数值f(x1)小于f(x2)，则称函数在该段定义域上是递增的；当x1小于x2时，函数值f(x1)大于f(x2)，则称函数在该段定义域上是递减的。
对于二次函数来说，它的图象是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的单调性与抛物线的开口方向有关。
下面分别讨论二次函数的单调性。
首先讨论当二次函数的系数a大于0时，即抛物线开口朝上的情况。
当二次函数的系数a大于0时，其图象是一个开口朝上的抛物线。
在这种情况下，二次函数取得最小值的点是抛物线的顶点。
对于任意的x1和x2，如果x1小于x2，则f(x1)小于等于f(x2)。
也就是说，二次函数在定义域内是递增的。
这是因为抛物线开口朝上的特点导致了这种单调性。
图中抛物线越靠近顶点，斜率越小，增长速度越慢。
当x1小于x2时，x2离顶点更远，对应的函数值也更大。
因此，二次函数在抛物线顶点两侧是递增的，在整个定义域内是递增的。
但是需要注意的是，尽管二次函数整体是递增的，但抛物线的开口方向决定了函数图像在顶点处的单调性。
如果顶点是最小值点，那么函数图像在顶点处是取得最小值的点，也就是局部极小值点。
如果顶点是最大值点，那么函数图像在顶点处是取得最大值的点，也就是局部极大值点。
综上所述，二次函数在抛物线的开口朝上的情况下，在整个定义域内都是递增的，但在顶点处取得极值。
接下来讨论当二次函数的系数a小于0时，即抛物线开口朝下的情况。
当二次函数的系数a小于0时，其图象是一个开口朝下的抛物线。
同样地，在这种情况下，二次函数取得最大值的点是抛物线的顶点。
对于任意的x1和x2，如果x1小于x2，则f(x1)大于等于f(x2)。
二次函数的图象和性质__增减性和最值课件
2a＝2，
∴2b＝4，
2a＋2c＝0，
a＝1，
∴b＝2，
c＝－1，
∴f(x)＝x2＋2x－1.
要点二 二次函数的增减性 例2 f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求
m的取值范围. 解 函数的顶点横坐标为 x＝m8， 又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数， ∴m8 ≤－2，即 m≤－16， 故m的取值范围是{m|m≤－16}.
)叫作二次函数
图象的顶点.
要点一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的 最大值是8，试确定此二次函数解析式. 解 方法一 利用二次函数一般式. 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1，①
则a－b＋c＝－1，②
4ac－b2
谢谢！
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t).
t2－2t＋2，t＞1 解 g(t)＝1，0≤t≤1
t2＋1，t＜0.
1234
1.若f(x)＝(m－1)x2＋(m＋1)x－1是二次函数，则( B )
A.m为任意实数
B.m≠1
C.m≠－1
D.m≠1且m≠－1
解析 由m－1≠0，得m≠1，故选B.
[预习导引]
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，
在区间(－∞，－ 2ba ]上递减(递增)，在[－ 2ba，＋∞)上递增(递
减)，图象曲线开口向 上(下) ，在x＝，这里Δ＝b2－4ac.点(－2ba，－
Δ 4a
又根据题意函数有最大值为n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8，
∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1. 解之得a＝－4. ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
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二次函数增减性
1、已知抛物线822
--=x x y ，当自变量x 在 范围内，0<y 时，y 随
x 的增大而增大；
2、二次函数562
-+-=x x y ，当x 时，0<y ;且y 随x 的增大而减小； 3、已知抛物线562++=x x y ，当0>y 时，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是__；
4、对于二次函数为22
--=x x y ，当自变量0<x 时，函数图像在 （ ） (A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第三、四象限 (D) 第一、四象限
5、如图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）（03金华）
A 、x ＞3
B 、x ＜3
C 、x ＞1
D 、x ＜1
6、已知y=x 2
＋ax －1，在0≤x ≤3上有最小值-2，求a 的值。
7、二次函数y=x 2
＋mx ＋m 在-3≤x ≤-1的最大值与最小值。
8、对于函数222
--=x x y ，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是_____________。
9、已知二次函数)0(2
1≠++=a c bx ax y 与一次函数
)0(2≠+=k m kx y 的图象交于点A （-2，4），B （8，2）（如图所示），
则能使 21y y > 成立的x 的取值范围是________________（02杭州） 10、已知二次函数2
5
3212---
=x x y ，设自变量分别为x 1、x 2、x 3且-3<x 1<x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（ ）
A y 3<y 2<y 1
B y 3>y 2>y 1
C y 2<y 3<y 1
D y 2>y 3>y 1
11、小颖在二次函数y =2x 2
+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，，y 2)， (－，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）。
>y 2>y 3 >y 3>1 C>y 1>y 2 >y 2>y 1 12．已知点A （1,1y ）、B （2,2y -
）、C （3,2y -）在函数()2
1
122
-
+=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）
A 1y ＞2y ＞3y
B 1y ＞3y ＞2y
C 3y ＞1y ＞2y
D 2y ＞1y ＞3y
13、二次函数y=4x 2-mx+5, 当x ＜-2时y 随x 的增大而减小；当x ＞-2时y 随x 的增大而增大；则当x=1时函数y=( ) A 、-7 B 、1 C 、17 D 、25
14、已知抛物线)0(2<++=a c bx ax y 的对称轴为x=2，且过A （-1，y 1）、B （1，y 2）、C （2
7，
y 3）三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ）
A 、y 1＜y 2＜y 3
B 、y 1＜y 3＜y 2
C 、y 3＜y 2＜y 1
D 、y 2＜y 3＜y 1
15、已知a ＜－1，点（a - 1，y 1）、（a ，y 2）、（a + 1，y 3）都在函数2
x y =的图象上，则（ ）
A 、y 1＜y 2＜y 3
B 、y 1＜y 3＜y 2
C 、y 3＜y 2＜y 1
D 、y 2＜y 1＜y 3
16、二次函数c bx x y ++=2
的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是 。
（03山西）
17、二次函数y ax bx c =++2
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）（03海淀）
A. a b c ><>000，，
B. a b c <<>000，，
C. a b c <><000，，
D. a b c <>>000，，
18、二次函数y = ax ２
+ bx + c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a <0；②c>0；③b ２
-4ac>0；④b
a
<0中，正确的结论有（03常德）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
19、已知抛物线)0(2
<++=a c bx ax y 的对称轴为x=2，且过A （-1，y 1）、B （1，y 2）、C （
2
7
，y 3）三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ） A 、y 1＜y 2＜y 3 B 、y 1＜y 3＜y 2 C 、y 3＜y 2＜y 1 D 、y 2＜y 3＜y 1 20、 已知点(－1,y 1),(－
27,y 2),(2
1,y 3)在函数y=3x 2
+6x+12的图象上,则y 1,y 2,y 3 的大小为( )
A y 1>y 2>y 3
B y 2>y 1>y 3
C y 2>y 3>y 1
D y 3>y 1>y 2
21、已知二次函数y=ax 2
+c ,且当x ＝1时，－4≤y ≤－1，当x ＝2时,－1≤y ≤5，则当x ＝3时，y 的取值范围是 ( )
A 、－1 ≤y ≤20
B 、 －4 ≤ y ≤15
C 、7 ≤y ≤26
D 328-
≤ y ≤3
35 22. （06资阳）已知函数y =x 2
-2x -2的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得
第10题图
-4
-1
y
x
第10题图
-4
-1y
x
使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）
A ．-1≤x ≤3
B ．-3≤x ≤1
C ．x ≥-3
D ．x ≤-1或x ≥3
23、（06旅顺）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2=
m
x
的图象，观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围 ．
24、如图一次函数y 1 = ax + b ， y 2 = kx + c 的图象，观察图象，写出同时满足y 1≥0，y 2≥0时x 的取值范围____________________。
25、如图，在同一坐标系中，一次函数图象与坐标轴交于B 、C 两点，二次函数图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且对称轴平行于y 轴。
求：⑴这两个函数的解析式
⑵根据图象指出，当x 为何值时，一次函数、二次函数值均随x
⑶根据图象指出当x 为何值时，一次函数与二次函数的值之积大于零。
x。