第四章 转动参考系
转动参照系
例：一光滑直管中有一质量为 m 的 一光滑直管中有一质量为 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 小球，直管以匀角速度绕一端旋转。 初始条件： 初始条件：小球距转轴为 a, 球相对 于管子的速度为零。分析小球的运 于管子的速度为零。 动规律和受到的约束反作用力。 动规律和受到的约束反作用力。 z
y
ω
N F离 x
& x = Aωeωt − Bωe−ωt
[ 例 ]( 续)
& 初始条件： 当 t = 0 时，x = a, x = 0 初始条件：
A= B = a/ 2
a ω t −ω t 于是得到小球的运动规律： 于是得到小球的运动规律： x = (e + e ) 2 & Nz = −2mωx = −maω2 (eωt − e−ωt )
F科
v v v v & F = −2mω ×v' = 2mω x k 科 v v v v v && = mg + F + F + N mr C 科 离
m&& = mω2 x x m&& = 0 = Ny − mg y & m&& = 0 = 2mω x + Nz z
v v 2v 2 F = mω r = mω x i 离
特殊情况：定轴转动，恒定角速度
v dω ≡0 dt
M
三、 相对 平衡
v v v v v 2 ma' = F + mω R − 2mω × v'
三、相对平衡 质点相对于转动参照系静止不动的问题，
ω R
P
θ
O
v v 即 v' = 0, a' = 0 v v v v v v v v v v & × r − m(ω⋅ r )ω + mω2r − 2mω × v' = 0 ma' = F − mω
四章转动参考系-PPT精选文档
）的瞬时加速度。
牵连加速度vt也可以看成是在该瞬时将P点固结在动参考刚体
上，跟随动参考刚体一起运动时所具有的加速度，即受动参考
刚2体0s‘s的系系拖中中带的的或观观牵察察连者者而只只产能能生观观的测测加到到速v度v和 观和 。无a测a法不区到分 中v 的v 、 v e 、 va 和 、 a vt和 ea c
v
a ( x y y ) i ( y x x ) j ( x y ) d i ( y x ) d j
牵
3、 (y ix j)由 于 平r 板作变角速度转动所引起
连 加
的加速度，切向加速度
速
度
第四章
？ 4、2 ( y i x j ) 2 k 称v 为 科2 里 奥v 利加速度
方向垂直于与 v构成的平面，在平板平面内。
第四章
OP ＝R 时的速度
动点－P
定系－地面OXY
动系－直管oxy
绝对速度 va＝？
相对速度 vr ＝u＝ui 牵连速度 ve ＝(Rω) j
yY
va x
vr P
X
O
P
v a v e v r v e j v r i R j u i
第四章
二、加速度合成公式
牵连速度ve是动参考系（平面转动参考系）上与点P重
合的点(称为牵连点）的瞬时速度。
牵连速度ve也可以看成是在该瞬时将P点固结在
动参考刚体上，跟随动参考刚体一起运动时所具 有的速度，即受动参考刚体的拖带或牵连而产生 的速度。
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法
球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法全球坐标系中速度与加速度的转动参考系是一种求解物体在三维空间中运动轨迹的几何方法。
具体而言，首先将物体处在全球坐标系(GCS)内，然后将物体相对于GCS连续旋转一定角度所产生的新参考系称为转动参考系(R)，再将物体在R中的速度(V)与加速度(A)从R转换到GCS的运算模型即为所求转动参考系求法。
首先，通过计算可以求出物体在R中的速度和加速度，分别用v_r和a_r表示：v_r=(v^r_x,v^r_y,v^r_z)a_r=(a^r_x,a^r_y,a^r_z)其中v^r_x=v_x·cosα+v_y·sinαv^r_y=-v_x·sinα+v_y·cosαv^r_z=v_za^r_x=a_x·cosα+a_y·sinαa^r_y=-a_x·sinα+a_y·cosαa^r_z=a_z其中α为物体从GCS轨迹向R坐标系引入时需要旋转的角度。
接着，可以用下面的公式从R参考系转换至GCS：v_x=v^r_x·cosα-v^r_y·sinαv_y=v^r_x·sinα+v^r_y·cosαv_z=v^r_za_x=a^r_x·cosα-a^r_y·sinαa_y=a^r_x·sinα+a^r_y·cosαa_z=a^r_z最后，我们可以得到物体在GCS中的速度和加速度，分别用v_x，v_y，v_z表示：v:(v_x,v_y,v_z)a:(a_x,a_y,a_z)通过以上步骤，我们就可以用全球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法来解决物体在三维空间中运动轨迹问题。
此法可有效求解物体在GCS中的三维运动轨迹，且操作简单、效率高。
第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
转动参考系
在高度不大时, 2项的值很小, 计算发现比科里奥利 加速度小100倍, 所以可以忽略. 这样上式就简化为
0, 2 gt cos , g x y z
两次积分, 并考虑初始条件, 得
1 3 1 2 x 0, y gt cos , z h gt 3 2
y z 0, x y 0, z h t 0, x
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
所以对
积分, 得
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有
dr dt
*
d r dt r d *r r 2 dt
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
消去时间, 得到轨道方程
惯性力有三项:
d m r m r dt
*
参考系做变角速运动引起的
2 m r m r
dr 2 m 2 m v ' dt
*
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
第四章-转动参考系
转动参考系
§4.1 平面转动参考系
di j d t dj i dt
r xi yj
dr d d e e xi yj dt dt dt
r k xi yj xj yi
r r 2 0
r Acht +Bsht
t 0, r a
2r 2mr R m r 2m asht 2ma 2sht
0 r
r acht
[补充例题4.1]
v vj sin vk cos k
2
d 2 a sin d sin gdcos a
§4.4 地球自转所产生的影响
1. 有关地球运动的几个量
T 86164 s
7.292 10 rad/s 1016 rad/s 2
5
R 6.378 106 m
RSE 1.496 1011 m
2
3. 相对平衡
相对加速度 牵连加速度
科氏加速度
dr d r d a 2 r r 2 dt dt dt
2
a a at aC F mat 0
刚体运 动
[例 ]
u uj k r bi b ut j v b ut i u b j 2 2 a b 2u i b ut j
2 r 2 v
r
2 r r 2 v a a
第四章转动参照系
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
d G dGx dGy dGz i j k ,是 i , j , k 固定不动时的 G 变化率. 式中 dt dt dt dt
*
* dG dG 故 包含两部分:一为观测者在 S 系所观测出来的 G 的变化率 dt dt
(4.2.10)
式中
d 2 at r ( r ) r dt * d r ac 2 2 v dt
(4.2.11)
如质点 P 固着在 S 系上不动,则 v 0 ,故 a 0， ac 0 ,而 a 与 at
其中 又
vM vA AM vr vA R r j , AM r j
rr R
故
R r r
R vr r AM AM R j r
dt dt di dj dk dr yj zk x y z v xi dt dt dt dt y)i ( y x) j (x
（4.1.3）
及y 为 P 对转动参照系 上式中的 x （平板） 诸轴的分速度，
2
2 处可仍按原先 O12 的径向及横向进行投影,因此
vr [v cos t (r vt )sin t ] v [v (r vt )t ] v 2rt
(1)
v [(r vt )cos t v sin t ] r
相等.所以 a t 只和 S 系的转动有关,故称为牵连加速度.它又包括
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第四章转动参考系第四章思考题4、1为什么在以角速度转动得参照系中,一个矢量得绝对变化率应当写作？在什么情况下？在什么情况下？又在什么情况下？4、2式(4、1、2)与式(4、2、3)都就是求单位矢量、、对时间得微商,它们有何区别？您能否由式(4、2、3)推出式(4、1、2)？4、3在卫星式宇宙飞船中,宇航员发现自己身轻如燕,这就是什么缘故？4、4惯性离心力与离心力有哪些不同得地方？4、5圆盘以匀角速度绕竖直轴转动。
离盘心为得地方安装着一根竖直管,管中有一物体沿管下落,问此物体受到哪些惯性力得作用？4、6对于单线铁路来讲,两条铁轨磨损得程度有无不同？为什么？4、7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出得炮弹,落地就是否发生东西偏差？如以仰角朝北射出,或垂直向上射出,则又如何？4、8在南半球,傅科摆得振动面,沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处,它旋转得周期就是多大？4、9在上一章刚体运动学中,我们也常采用动坐标系,但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4、1、答:矢量得绝对变化率即为相对于静止参考系得变化率。
从静止参考系观察变矢量随转动系以角速度相对与静止系转动得同时本身又相对于动系运动,所以矢量得绝对变化率应当写作。
其中就是相对于转动参考系得变化率即相对变化率;就是随动系转动引起得变化率即牵连变化率。
若相对于参考系不变化,则有,此时牵连运动就就是绝对运动,;若即动系作动平动或瞬时平动,则有此时相对运动即为绝对运动;另外,当某瞬时,则,此时瞬时转轴与平行,此时动系得转动不引起得改变。
当动系作平动或瞬时平动且相对动系瞬时静止时,则有;若随动系转动引起得变化与相对动系运动得变化等值反向时,也有。
4、2、答:式(4、1、2) 就是平面转动参考系得单位矢对时间得微商,表示由于动系转动引起方向得变化率。
由于动坐标系中得轴静止不动。
故有;又恒沿轴方位不变,故不用矢积形式完全可以表示与。
式(4、2、3),就是空间转动坐标系得单位矢对时间得微商,表示由于动系转动引起方向得变化率,因动系各轴都转动;又在空间得方位随时间改变际不同时刻有不同得瞬时转轴,故必须用矢积表示。
(4、1、2)就是(4、2、3)得特例,当代入(4、2、3),,即为(4、1、2)式。
不能由式(4、1、2)推出(4、2、3)。
4、3、答:人随卫星式飞船绕地球转动过程中受到惯性离心力作用,此力与地心引力方向相反,使人处于失重状态,故感到身轻如燕。
4、4、答:惯性离心力就是随转动坐标系一起转动得物体受到惯性离心力,它作用于随动系一起转动得物体上,它不就是物体间得相互作用产生得,也不就是产生反作用力,就是物体得惯性在非惯性系得反映;离心力就是牛顿力,就是作用于给曲线运动提供向心力得周围物体上得力,或者说离心力就是作用于转动坐标系上得力,它就是向心力得反作用力。
4、5、答:如题4、5所示,题4-5图由于物体相对于圆盘得速度矢量,故科里奥利力;又,故牵连切向惯心力;所以物体只受到牵连法向惯性力即惯性离心力得作用,如图示,方向垂直于转轴向外。
4、6、答;单线铁路上,南来北往得列车都要通过,以北半球为例,火车受到得科氏惯性力总就是指向运动方向得右侧(南半球相反),从北向南来得列车使西侧铁轨稍有磨损,故两条铁轨得磨损程度并不相同。
4、7、答:抛体得落地偏差就是由于科里奥利力引起得,当炮弹自赤道水平方向朝北或朝正南射出时,出刻,科里奥利力为零,但炮弹运行受重力作用改变方向使得与不平行,朝北与朝南射出得炮弹都有向东得落地偏差。
若以仰角或垂直向上射出,炮弹上升与降落过程中科氏惯性力方向相反,大小相等,且上升时间等于下降时间,故落地无偏差。
4、8、答:单摆震动面得旋转就是摆锤受到科里奥利力得缘故,其中就是摆锤得质量,就是地球绕地轴得自转角速度,就是摆锤得速度。
南半球上摆锤受到得科氏力总就是指向起摆动方向得左侧,如题4、8图就是南半球上单摆得示意图,若没有科氏惯性力,单摆将沿摆动,事实上由于科里奥利力得作用单摆从向摆动逐渐向左侧移动到达点,从点向回摆动过程中逐渐左偏到达点,以此推论,摆动平面将沿逆时针方向偏转。
科里奥利力很小,每一次摆动,平面得偏转甚微,必须积累很多次摆动,才显出可觉察得偏转。
题4-8图(图中就是为了便于说明而过分夸张得示意图)。
由,在赤道上纬度,即在赤道上摆动平面不偏转。
这里不难理解得,若摆动平面沿南北方向,,科氏惯性力为零;若单摆平面沿东西方位,则科氏力一定在赤道平面与单摆得摆动平面共面,故不会引起摆动平面得偏转。
4、9、答:在上一章刚体运动学中,动系固连于刚体一起转动,但刚体上任一点相对于动坐标系没有相对运动,即各点得相对速度,故科里奥利加速度。
事实上,科氏加速度就是牵连转动与相对运动相互影响而产生得,没有相对运动,就谈不到科里奥利加速度得存在。
第四章习题4、1一等腰直角三角形在其自身平面内以匀角速绕顶点转动。
某一点以匀相对速度沿边运动,当三角形转了一周时,点走过了。
如已知,试求点在时得绝对速度与绝对加速度。
4、2一直线以匀角速在一固定平面内绕其一端转动。
当直线为于得位置时,有一质点开始从点沿该直线运动。
如欲使此点得绝对速度得量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动？4、3点离开圆锥顶点,以速度沿母线作匀速运动,此圆锥则以匀角速绕其轴转动。
求开始秒后点绝对加速度得量值,假定圆锥体得半顶角为。
4、4小环重,穿在曲线形得光滑钢丝上,此曲线通过坐标原点,并绕竖直轴以匀角速转动。
如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态,求此曲线得形状及曲线对小环得约束反作用力。
4、5在一光滑水平直管中有一质量为得小球。
此管以匀角速绕通过其一端得竖直轴转动。
如开始时,球距转动轴得距离为,球相对于管得速度为零,而管得总长则为。
求球刚要离开管口时得相对速度与绝对速度,并求小球从开始运动到离开管口所需得时间。
4、6一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端得水平轴以匀角速转动,管中有一质量为得质点。
开始时,细管取水平方向,质点距转动轴得距离为,质点相对于管得速度为,试求质点相对于管得运动规律。
4、7 质量分别为及得两个质点,用一固定有长度为得弹性绳相连,绳得倔强系数为。
如将此系统放在光滑得水平管中,管子绕管上某点以匀角速转动,试求任一瞬时两质点间得距离。
设开始时,质点相对于管子就是静止得。
4、8 轴为竖直而顶点向下得抛物线形金属丝上,以匀角速绕竖直轴转动。
另有一质量为得小环套在此金属丝上,并沿着金属丝滑动。
试求小环运动微分方程。
已知抛物线得方程为,式中为常数。
计算时可忽略摩檫阻力。
4、9 在上题中,试用两种方法求小环相对平衡得条件。
4、10 质量为得小环,套在半径为得光滑圆圈上,并可沿着圆圈滑动。
如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点转动,试求小环沿圆圈切线方向得运动微分方程。
4、11 如自北纬为得地方,以仰角自地面向东方发射一炮弹,炮弹得腔口速度为。
计及地球自转,试证此炮弹落地得横向偏离为式中为地球自转得角速度。
计算时可忽略项。
4、12一质点如以初速在纬度为得地方竖直向上射出,达到h高后,复落至地面。
假定空气阻力可以忽略不计,试求落至地面时得偏差。
第四章习题解答4、1解如题4、1、1图所示、题４．１．１坐标系得原点位于转动得固定点,轴沿轴与角速度得方向一致,即设点沿运动得相对速度为则有题意得:故在点时得绝对速度设与轴得夹角为,则故与边得夹角为,且指向左上方。
点时绝对速度设得夹角为,则,故与边得夹角为,且指向左下方。
4、2解如题4、2、1图所示,以转动得方向为极角方向建立坐标系。
轴垂直纸面向外,设点相对速度①设绝对速度得量值为常数,则:对②式两边同时球时间导数得:依题意故解得通解当时,,将其带入①式游客得知:时,即最后有4、3解如题4、3、1图所示,题４．３．１图直角坐标得原点位于圆锥顶点轴过圆锥得对称轴、点在轴上对应得一点,且有,所以点得绝对加速度:最后有4、4解如题4、4、1图所示,题4、4、1图坐标系就是以轴转动得坐标系、图中画出得就是曲线得一段,在任意一点处,假设某质点在此处静止,则该质点除了受重力、钢丝得约束力之外,还会受惯性离心力得作用,,方向沿轴正向,在作用下,致信处于平衡状态,则有①②有①得又因为过原点、对上式积分得抛物线有③得将代入②得反作用力4、5以直管为参照系,方向沿管,沿竖直轴建立坐标系,则小球受力为:故沿方向运动得微分方程为:①有初始条件:可得①式解为故当邱刚离开管口时,即时、则得所以此时:故当球刚要离开管口时得相对速度为,绝对速度为,小球从开始运动到离开管口所需时间为4、6解以光滑细管为参考系,沿管,沿水平轴建立坐标系,如题4、6、1图所示,则小球受力为:故沿方向运动得微分方程为:①方程得通解而方程①得特解为:故方程①得通解为:初始条件为当时,故可得所以质点相对于管得运动规律为:t g e g v a e g v a x t t ωωωωωωωωsin 222122122020+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=- 4、7解 以水平细管为参考系,沿管,沿竖直转动轴向上建立坐标系,如题图4、7、1图所示y 则易得质点反方向得运动微分方程为:①②将方程①②作简单变换可得:化简得其通解为:初始条件为:故可得:故4、8解以抛物线形金属丝为参照物沿抛物线在顶点得切线方向,沿竖直轴建立坐标系,题４．８．１图则小环得运动微分方程为:①②故代入①②得化简即得4、9解一当小环相对平衡时,由上题可知即要求为常数,故故解二 以地面为参照系,则小球受力,如图4-8所示、其中为固定地面得坐标系,故平衡时有:4、10解 以地面为参考系,则小环得运动微分方程为:其中为与圆心得连线与通过点得直径间所夹得角()θωωθθθθθωθθθθϕϕϕθ&&&&&&&&&&&&&&&222cos 2sin 212sin 22cos 22tan 222++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=a a a a r r r r 化简得4、11解 以地面为非惯性参考系,建立坐标系,指正南,竖直向上,发射点为原点,炮弹得运动微分方程为:①②③初始条件为故将①②③积分一次代入初始条件后得:④⑤⑥有⑥可得落地时间:⑦其中所以将展开可得由式及初始条件可得所以炮弹落地时得横向偏离为()ααλωααλωcos sin sin 41sin 4cos sin 2232222gV b g V V d ≈+= 4、12 解 以地面为非惯性,建立坐标系指向正南,竖直向上,上抛点为原点,质点得运动微分方程为:①初始条件为:如上题同理可得②③④代入①式得有④式求出落地时间为:有③式得:将代入得复落至地面时:。