2013年陕西数学中考副题

数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页，全卷共120分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共30分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，请你千万别忘了将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B)用2B 铅笔和钢笔或中性笔准确涂写在答题卡上；并将本试卷左侧的项目填写清楚。

2.当你选出每小题的答案后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

把答案填在试题卷上是不能得分的。

3.考试结束，本卷和答题卡一并交给监考老师收回。

一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的) 1.－23的倒数是A.－32B.32C.－23D.232.如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是3.若a ≠0，则下列运算正确的是A.a 3－a 2＝aB.a 3·a 2＝a 6C.a 3＋a 2＝a 5D.a 3÷a 2＝a4.如图，AB ∥CD ，A E 平分∠C AB 交CD 于点E .若∠C ＝50°，则∠A ED 的大小为 A.55° B.105° C.65° D.115°(第4题图)5.则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为A.40，41B.41，41C.41，42D.42，43 6.若一个正比例函数的图象经过点(－3，2)，则这个图象一定也经过点 A.(2，－3) B.(32，－1) C.(－1，1) D.(2，－2)7.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4.若点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、D A 的中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 的面积为A.8B.6 3C.4 3D.6(第7题图) (第9题图)8.如果点A (m ，n )、B (m ＋1，n ＋2)均在一次函数y ＝kx.＋b (k ≠0)的图象上，那么k 的值为A.2B.1C.－1D.－29.在矩形ABCD 中，AB ＝3.4，BC ＝5，以BC 为直径作半圆O ，点P 是半圆O 上的一点.若PB ＝4，则点P 到AD 的距离为A.45B.1C.65 D .8510.若一个二次函数y ＝ax.2－4ax.＋3(a ≠0)的图象经过两点A(m ＋2，y 1)、B (2－m ，y 2)，则下列关系正确的是A.y 1＞y 2B.y 1＜y 2C.y 1＝y 2D.y 1≥y 2 机密★启用前2013年陕西省初中毕业学业考试数学试卷第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1. 答卷前请你将密封线内的项目填写清楚。

2. 请用钢笔、 中性笔或圆珠笔直接答在试卷上。

二、填空题(共6小题， 每小题3分， 计18分)11.在5，－1，227，π这四个数中，无理数有________个.12.不等式31-x ＋2＞x.的正整数解为__________. 13.请从以下两个小题中任选一个．．．．作答，若多选，则按所选的第一题计分. A.如图，一斜坡的坡角α＝30°，坡长AB 为100米，则坡高BO 为______米. B.用计算器计算：9cos25°－17≈______.(精确到0.01)(第13题图)14.某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为__________元.(第16题图)15.若一个反比例函数的图象经过两点A (2，m )、B (m －3，4)，则m 的值为__________. 16.如图，在半圆O 中，AB 是直径，CD 是一条弦.若AB ＝10，则△C OD 面积的最大值是__________.三、解答题(共9小题，计72分.解答应写出过程)17. (本题满分5分)解分式方程：31--x x －xx 322-＝1.18. (本题满分6分)如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、CD 的中点，连接BM 、A N 交于点E . 求证：A N ⊥BM .(第18题图)19. (本题满分7分)为了庆祝六一儿童节，红旗中学七年级举办了文艺演出.该校学生会为了了解学生最喜欢演出中的哪类节目，对这个年级的学生进行了抽样调查.我们根据调查结果绘制了两幅统计图.(第19题图)请依据以上两幅统计图提供的相关信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查了多少名学生？ (2)补全两幅统计图；(3)若该校七年级有800名学生，求这些学生中最喜欢歌唱类节目的约多少名？20. (本题满分8分)小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小.如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A 处测得热气球底部点C 、中部点D 的仰角分别为50°和60°.已知点O 为热气球中心，EA ⊥AB ，OB ⊥AB ，OB ⊥OD ，点C 在OB 上，AB ＝30米，且点E 、A 、B 、O 、D 在同一平面内.根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？(精确到0.1米)(参考数据：si n 50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，t an 50°≈1.192)(第20题图)21. (本题满分8分)某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费.如图是居民每户每月的水(自来水)费y (元)与所用的水(自来水)量x.(吨)之间的函数图象.根据下面图象提供的信息，解答下列问题：(1)当17≤x.≤30时，求y 与x.之间的函数关系式；(2)当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费是多少元？ (3)已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？(第21题图)22. (本题满分8分)甲、乙两人利用五个小球做“找象限”游戏，这五个小球的球面上分别标有数字－2、－1、1、2、3，这些小球除球面上数字不同外其他完全相同.他们俩约定：把这五个小球放在一个不透明的口袋中，甲先从口袋中任摸一个小球，记下数字作为一点的横坐标，再将这个小球放回这个袋中摇匀，接着乙从口袋中任摸一个小球，记下数字作为这个点的纵坐标，这样就得到坐标平面上的一个点.若此点在第一、三象限，则甲胜，否则乙胜.这样的游戏对甲、乙双方公平吗？为什么？23. (本题满分8分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，过A 、B 两点分别作⊙O 的切线P A 、PB 交于一点P ，连接OP .(1)求证：∠A PO ＝∠BPO ； (2)若∠C ＝60°，AB ＝6，点Q 是⊙O 上的一动点，求PQ 的最大值.(第23题图)24. (本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)、B(0，2)，点C在x.轴上，且∠ABC＝90°.(1)求点C的坐标；(2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式；(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P，使∠P AC＝∠BCO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(第24题图)25. (本题满分12分)平面上有三点M、A、B，若MA＝MB，则称点A、B为点M的等距点.问题探究(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点；(2)如图②，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由.问题解决(3)如图③，在正方形ABCD中，AB＝1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出C Q的长；若不存在，说明理由.(第25题图)机密★启用前2013年陕西省初中毕业学业考试数学答案及评分参考第Ⅰ卷(选择题 共30分)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(共6小题，每小题3分， 计18分) 11.2 12.1，2 13.A.50 B.4.03 14.132 15.6 16.12.5三、解答题(共9小题，计72分)(以下给出了各题的一种解法及评分参考，其它符合题意的解法请参照相应题的解答赋分)17.解：去分母，得x (x －1)－2＝x.2－3x.(2分) ∴x.2－x.－2＝x.2－3x.. ∴x ＝1.(4分)经检验：x ＝1是原方程的根.(5分) 18. 证明：∵∠BAD ＝∠D ＝90°，BA ＝AD ＝DC ， 又∵点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，∴AM ＝DN ＝12AD .∴△ABM ≌△DAN .(3分) ∴∠ABM ＝∠DAN .而∠BAN ＋∠DAN ＝90°， ∴∠BAN ＋∠ABM ＝90°. ∴∠AEB ＝90°. 即AN ⊥BM .(6分)19. 解：(1)本次抽样调查的学生人数： 6÷5%＝120(名).(2分)(2)舞蹈类人数：120×35%＝42(名). 歌唱类的百分数：36120×100%＝30%.小品类的百分数：24120×100%＝20%.如图所示统计图.(5分)(第19题答案图)(3)∵800×30%＝240，∴最喜欢歌唱类节目的约有240名学生.(7分) 20.解：设热气球半径为r 米.如图，过点E 作EF ⊥OB 交OB 于点F ，过点D 作DG ⊥EF 交EF 于点G ， 则四边形ODGF 为矩形.(第20题答案图)∴DG ＝OF ，GF ＝OD ＝r .(2分)在Rt △E C F 中，∠C EF ＝50°，EF ＝AB ＝30， ∴C F ＝EF ·ta n ∠C EF ＝30ta n 50°.∴DG ＝r ＋30ta n 50°，EG ＝30－r .(4分) 在Rt △DEG 中，∠DEG ＝60°，∴ta n ∠DEG ＝EG DG ＝r ＋30tan50°30－r .∴r ＝30tan60°－30tan50°1＋tan60°≈5.93.∴2r ≈2×5.93≈11.9.所以，热气球的直径约为11.9米.(8分) 21.解：(1)设y ＝kx.＋b ，(1分) 由图象知：当x ＝20时，y ＝66； 当x.＝30时，y ＝116.则有⎩⎨⎧=+=+.11630,6620b k b k解得⎩⎨⎧-==.34,5b k∴y ＝5x.－34(17≤x.≤30).(4分) (2)当x ＝17时，y ＝5x －34＝51. ∵51÷17＝3，∴此时每吨水的价格为3元. ∴15×3＝45元.∴这户居民这个月的水费为45元.(6分) (3)当y ＝91时，91＝5x.－34. ∴x.＝25.∴当水费为91元时，该居民上月用水25吨.(8分) 22.解：这个游戏对双方不公平.(1分) 根据题意，列表如下：其中点在第一、三象限的情况有13种，点在第二、四象限的情况有12种. ∵P (点在第一、三象限)＝1325，P (点在第二、四象限)＝1225，而1325≠1225.∴这样的游戏对双方不公平.(8分)23.(1)证明：如图，连接AO 、BO .(第23题答案图)∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.(1分) 又∵AO ＝BO ，PO ＝PO ， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO . ∴∠APO ＝∠BPO .(3分) (2)解：∵∠C ＝60°， ∴∠AOB ＝2∠C ＝120°.又∵∠PAO ＝∠PBO ＝90°， ∴∠APB ＝60°. 由(1)知PA ＝PB ，∴PA ＝AB ＝6，∠APO ＝12∠APB ＝30°.(5分)∴在Rt △APO 中，PO ＝30cos PA＝43，OA ＝PA ·ta n 30°＝2 3.延长PO 交⊙O 于点Q ′，则此时PQ ′是PQ 的最大值. ∴PQ m a x.＝PQ ′＝PO ＋OQ ′＝43＋23＝6 3.(8分) 24. 解：(1)∵A (－1，0)、B (0，2)， ∴OA ＝1，OB ＝2.∵∠AB C ＝90°，OB ⊥AC ， ∴△AOB ∽△BO C. ∴OB 2＝OA ·O C.即22＝O C. ∴O C ＝4.∴C(4，0).(3分)(2)设抛物线的表达式为y ＝a(x.＋1)(x.－4). ∵点B (0，2)在抛物线上，∴2＝－4a.∴a ＝－12. ∴y ＝－12(x.＋1)(x.－4).即y ＝－12x.2＋32x.＋2.(5分)(第24题答案图)(3)存在.(6分)如图，作PH ⊥x.轴，垂足为H .设P (m ，－12m 2＋32m ＋2)， ∵A (－1，0)，∴AH ＝m ＋1.∵∠P AC ＝∠B C O ，∴ta n ∠PAH ＝ta n ∠B C O ＝12， ∴PH ＝12(m ＋1).(7分) i)当点P 在x.轴上方时，－12m 2＋32m ＋2＝12(m ＋1). 解得m ＝3，m ＝－1(舍).此时，12(m ＋1)＝2. ∴P (3，2).ii)当点P 在x.轴下方时，－12m 2＋32m ＋2＝－12(m ＋1). 解得m ＝5，m ＝－1(舍).此时，－12(m ＋1)＝－3. ∴P (5，－3).∴符合条件的点有两个P (3，2)或P (5，－3).(10分)25.解：(1)如图①，在AC 上截取AQ ＝AP ，则点Q 为所求.(2分)(第25题答案图①)(2)如图②，连接PO 并延长交B C 于点Q ，以点O 为圆心，OQ 长为半径画弧交B C 于Q 1点，则Q 、Q 1两点都满足题意.∵在□AB C D 中，AD ∥B C ，AO ＝C O ，(第25题答案图②)∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，∴△A OP ≌△C OQ .∴PO ＝QO ，PO ＝Q 1O ，即点P 、Q 、Q 1为点O 的等距点.(5分)(3)存在.(第25题答案图③)如图③，以点P 为圆心，PB 长为半径画弧，交D C 于D 、Q 两点，则D 、Q 两点都为点P 的等距点.(7分)i)当点B 、Q 为点P 的等距点时，过点P 作PF ⊥B C 交B C 于点F ，作PE ⊥C D 交C D 于点E ，则四边形PF C E 为正方形，∴BF ＝DE ＝EQ ，S 四边形B C QP ＝S 正方形PF C E .要使S 四边形B C QP ＝12S 正方形A B C D ， 则S 四边形PF C E ＝12S 正方形A B C D .即C E 2＝12. ∴C E ＝22，DE ＝1－22. ∴C Q ＝C D －2DE ＝2－1.ii)当点B 、D 为点P 的等距点时，若S 四边形B C DP ＝S 正方形A B C D ，则B 、P 、D 三点共线，与题意不符.综上所述，符合题意的点Q 存在，且C Q ＝2－1.(12分)。