高中数学完整讲义——数列3.等比数列3-等比数列的通项公式与求和
等比数列知识点归纳及总结公式
等比数列知识点归纳及总结公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的定义是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项与一个固定的非零常数的乘积。
在学习等比数列时，我们需要了解其定义、性质、求和公式等相关知识点。
本文将对等比数列的常见知识点进行归纳总结，并提供相应的公式。
一、等比数列的定义等比数列可以通过以下定义来进行理解：在数列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 中，若对于任意的正整数 $n$ ，都有$\frac{{a_{n+1}}}{{a_n}}=r$ 成立（常数 $r$ 称为等比数列的公比），则称这个数列为等比数列。
通常我们用 $a_1$ 表示等比数列的首项。
二、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：等比数列的公比 $r$ 与首项 $a_1$ 之间存在以下关系：$a_2=a_1 \cdot r$，$a_3=a_2 \cdot r=a_1 \cdot r^2$，以此类推，可得第 $n$ 项为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
2. 通项公式：根据等比数列的性质1，可推导出等比数列的通项公式为 $a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$。
3. 首项与公比的关系：若已知等比数列的首项 $a_1$ 和第 $n$ 项$a_n$，则公比 $r$ 可以通过 $r=\sqrt[n-1]{\frac{{a_n}}{{a_1}}}$ 来求解。
4. 等比数列的倒数列：等比数列的倒数列也是一个等比数列，其公比为原数列公比的倒数。
即若 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 是一个等比数列，且公比为 $r$，则其倒数列为$\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},...,\frac{1}{a_n}$，且其公比为 $\frac{1}{r}$。
5. 前 $n$ 项和公式：等比数列的前 $n$ 项和可以通过以下公式来求解：$S_n=a_1\frac{{1-r^n}}{{1-r}}$，其中 $S_n$ 表示前 $n$ 项和。
等比数列的通项公式与求和公式
等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之比都相等的数列。
在等比数列中，有两个重要的公式，分别是通项公式和求和公式。
一、等比数列的通项公式
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，我们需要找到等
比数列中第n项与首项的关系。
根据等比数列的定义，第n项与首项的关系可以表示为以下式子：an = ar^(n-1)
其中，ar^(n-1)表示首项经过n-1次公比的连续乘积得到的第n项。
通过上述公式，我们可以很方便地求得等比数列中任意一项的数值。
二、等比数列的求和公式
设等比数列的首项为a，公比为r，共有n项，我们需要找到等比数列的前n项和的公式。
根据等比数列的定义，前n项和可以表示为以下式子：
Sn = a(1-r^n)/(1-r)
其中，a(1-r^n)表示将首项与公比的连续乘积r^n-1相乘得到的一个
中间结果，然后通过(1-r)进行除法运算来获得前n项和。
通过上述公式，我们可以很方便地求得等比数列前n项的和。
三、等比数列的应用
等比数列在数学中有广泛的应用。
例如在金融领域中，复利计算中的利率比例就是等比数列中的公比。
另外，在自然科学领域，一些指数型增长或衰减的现象也可以通过等比数列来进行建模和分析。
总结：
等比数列是一种常见的数列形式，其中通项公式和求和公式是重要的基础工具。
通项公式用于求解等比数列中特定项的数值，求和公式用于计算等比数列前n项的和。
了解这两个公式的含义和应用，有助于我们更好地理解和运用等比数列。
等比数列的概念及通项公式ppt课件
a与b的 等比 中项
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋ 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
3.等比数列的通项公式：
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
又a1－1＝－2，
an＋1－n＋1＝3an－2n＋1＋3－n＋1＝3an－3n＝3(n＝1,2,3，…).
n
1
8
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a 1 和 q表示 a n ？
❖ 方法：累加法
等 a2-a1d
差 数 列
a3 -a2 d
a4 -a3 d
类比
……
+）an -an-1 d
累乘
等法
比
数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n-1
等差数列anan- 1d,n2
a2 a1d
归
a3 a2 d
(a1 d ) d
纳 法
a1 2d
a4 a3 d
类比
(a1 2d ) d
a…1 …3d
ana1(n-1)d
等比数列 anan-1q,n2
a2 a1q
a3
aa21qq2(a1q)q
a4 a3q (a1q2)q
a1q3
……
a a q n-1
反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点： ①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个 常数，且不能为0.
第三讲等比数列及数列求和讲义
第三讲 等比数列及数列求和一.知识提要:1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示即{a n }成等比数列⇔nn a a 1+=q （n ∈N +,q ≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项a n≠0且q ≠02.等比数列的通项公式1:a n = a 1 q n-1（a 1 q ≠0）；等比数列的通项公式2:a n =a m q n-m（a 1q ≠0）3.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G=±ab ;a,G,b成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）5.等比数列的性质:若m+n=p+q,则a n a m =a p a q6.等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =na 1当q ≠1时,q q a S nn--=1)1(1 ① 或qqa a S n n --=11 ②;7.特殊数列求和：⑴1+2+3+…+n=2)1(+n n ;⑵1+3+5+…+（2n-1）=n 2;⑶6)12)(1(3212222++=++++n n n n ;⑷23333]2)1([321+=++++n n n8. S n 是等比数列{a n }的前n 项和①当q=－1且k 为偶数时, S n , S 2k －S k ,S 3k －S 2k 不是等比数列.②当q ≠－1或k 为奇数时, S n ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k 仍成等比数列。
二.应用举例例 1.求下列各等比数列的通项公式:⑴a 1=-2,a 3=-8；⑵a 1=5,且2a n+1=-3a n例2.求数列1a =5, 且11+=+n n a a nn 的通项公式例3.已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n b n }是等比数列.例4. 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab cb a ++++ 也成等比数列。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的比值都是一个常数。
在等比数列中，我们可以通过一些公式来求解其通项和求和。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值都是一个常数。
这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
对于一个等比数列{a₁, a₂, a₃, ...}，它的公比为q，那么可以得到以下性质：1. 第n项与第m项的比值等于q的n-m次方，即aₙ/aₙ = q^(n-m)。
2. 等比数列的任意一项都可以表示为第一项乘以公比的n-1次方，即aₙ = a₁* q^(n-1)。
3. 等比数列的前n项和可以表示为第一项乘以公比的n次方减一，再除以公比减一，即Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的通项公式的推导为了推导等比数列的通项公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质2，第n项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
三、等比数列的求和公式的推导同样地，为了推导等比数列的求和公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质3，前n项和可以表示为Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
四、等比数列的应用举例等比数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些应用举例：1. 财务投资：假设某人每年向银行存入1000元，年利率为5%。
那么他每年的存款金额就可以构成一个等比数列，其中第一项为1000，公比为1.05。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n年的存款金额。
而通过等比数列的求和公式，可以计算出n年内的总存款金额。
2. 科学实验：在某个科学实验中，每次实验的结果都是前一次实验结果的一半。
这个实验结果就可以构成一个等比数列，其中第一项为1，公比为0.5。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n次实验的结果。
高中数学 数列 版块三 等比数列 等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版) 教案
学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ．【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．【例11】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n -典例分析【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值.【例15】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n 和公比q ．【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例18】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【例19】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【例20】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项；⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例22】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【例23】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【例24】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比;⑵求数列{}n T 的通项公式．【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【例32】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例34】 用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
等比数列的通项与求和
等比数列的通项与求和等比数列是数学中的一种常见的数列形式，它的每一项与前一项的比值都相等。
在等比数列中，我们常常需要求解它的通项公式和求和公式，以便求得数列的任意项和总和。
本文将介绍等比数列的通项公式和求和公式，并提供一些例题进行说明。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，其中n为自然数。
根据等比数列的定义，可得到以下递推关系式：an = a * r^(n-1)这就是等比数列的通项公式。
根据这个公式，我们可以通过给定首项和公比，求解任意项的值。
2. 等比数列的求和公式求等比数列的总和是通过将数列各项相加得到的。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn。
根据等比数列的通项公式，可得到以下关系式：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将等式两边乘以公比r，并记作（1）r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将（1）式两边相减，可得：Sn - r * Sn = a - ar^n化简后可以得到求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)根据这个公式，我们可以通过给定首项、公比和项数，求解等比数列的总和。
3. 实例分析现在我们通过几个例题来详细说明等比数列的通项和求和公式的应用。
例1：求等比数列2，4，8，16中的第10项和前10项和。
解：由题可知，首项a=2，公比r=4/2=2，项数n=10。
代入通项公式可得：a10 = 2 * 2^(10-1) = 2 * 2^9 = 2 * 512 = 1024代入求和公式可得：S10 = 2 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 2 * (1 - 1024) / (-1) = -2046例2：已知等比数列的第3项为9，总和为567，公比为多少？解：设首项a，公比r，项数n。
由题可得到以下方程组：a * r^2 = 9 （第3项为9）a * (1 - r^n) / (1 - r) = 567 （总和为567）解方程组可得：a = 3，r = 3所以，等比数列的公比为3。
等比数列的通项与求和
等比数列的通项与求和等比数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项的比值都相等。
在等比数列中，我们可以通过求通项和求和来对其进行分析和计算。
一、等比数列的通项公式对于一个等比数列，我们需要找到一个固定的比值q，使得每一项与前一项的比值都等于q。
那么，我们可以得到等比数列的通项公式如下：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，q表示比值。
二、等比数列的求和公式除了通项公式，我们还可以通过求和的方式，计算等比数列的总和。
假设数列共有n项，那么等比数列的求和公式如下：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sn表示数列的总和。
三、应用实例让我们通过一个实例来说明等比数列的应用。
假设有一个等比数列，首项为2，公比为3。
我们需要求出数列的第10项和前10项的总和。
首先，我们可以使用通项公式来求出数列的第10项：a10 = a1 * q^(10-1) = 2 * 3^(10-1) = 2 * 3^9 = 19683接下来，我们使用求和公式来计算前10项的总和：S10 = (a1 * (q^10 - 1)) / (q - 1) = (2 * (3^10 - 1)) / (3 - 1) = (2 * (59049 - 1)) / 2 = 59048因此，该等比数列的第10项为19683，前10项的总和为59048。
四、总结通过以上的讨论，我们了解到等比数列的通项与求和的计算方法。
使用通项公式，我们可以直接求出数列的任意一项；而使用求和公式，我们可以计算数列一定范围内的总和。
这对于解决数学问题和实际应用中的计算需求非常有帮助。
等比数列是数学中重要的概念之一，它具有广泛的应用领域，在金融、科学、工程等领域中都有着重要的意义。
因此，掌握等比数列的通项与求和的计算方法对于我们的学习和工作都至关重要。
在实际应用中，我们可以通过数列的特性与公式，快速准确地求解等比数列的相关问题。
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【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵求n a 的通项公式及10S ．典例分析等比数列的通项公式与求和高中数学讲义 2思维的发掘 能力的飞跃【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．【例11】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( )高中数学讲义3思维的发掘 能力的飞跃A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n -【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值.【例15】 在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n和公比q ．【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例18】{}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .高中数学讲义 4思维的发掘 能力的飞跃【例19】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【例20】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项；⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例22】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【例23】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【例24】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．高中数学讲义5思维的发掘 能力的飞跃【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>高中数学讲义 6思维的发掘 能力的飞跃【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【例32】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？高中数学讲义7思维的发掘 能力的飞跃【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例34】 用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
对第i 行12,,,i i in a a a ，记12323....(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-，1,2,3,,!i n =。
例如：用1,2,3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b +++=-+⨯-⨯=-，那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12120b b b +++=________。
123123123123123123高中数学讲义 8思维的发掘 能力的飞跃【例35】 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．⑴ 设第2行的数依次为12n B B B ，，，，试用n q ，表示12n B B B +++的值；⑵ 设第3行的数依次为123n c c c c ，，，，，求证：对于任意非零实数1322q c c c +>，； ⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问)．①能否找到q 的值，使得⑵中的数列123n c c c c ，，，，的前m 项()123m c c c m ，，，≥成为等比数列？若能找到，m 值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q 的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．高中数学讲义9思维的发掘 能力的飞跃【例36】 已知数列012n a a a a ，，，，，满足关系式()()13618n n a a +-+=，且03a =，则01ni ia =∑的值是 .【例37】 在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,12)ij a i j n =⋅⋅⋅，，，． 当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【例38】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n ∈N⑴ 证明：{}1n a -是等比数列；⑵ 求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．【例39】 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞= A ．0 B ．12C ． 1D ．2【例40】 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5高中数学讲义 10思维的发掘 能力的飞跃项和为A ．158或5B ．3116或5C ．3116 C ．158【例41】 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = A ．11B ．5C ．8-D ．11-【例42】 在数列{}n a 中，11a =，()()1*121n n n a ca c n n ++=++∈N ，其中实数0c ≠．⑴求{}n a 的通项公式；⑵若对一切*k ∈N 有21k zk a a ->，求c 的取值范围．【例43】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知241a a =，37S =，则5S =A ．152B ．314C ．334D ．172【例44】 设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．【例45】 设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ．【例46】 在数列{}n a 中，13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值；⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；高中数学讲义11 思维的发掘 能力的飞跃 ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例47】 在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N ．⑴求2a ，3a 的值；⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．【例48】 设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++，n *∈N ，已知1b m =，232m b =，其中0m ≠． ⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m =时，求n b ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围．【例49】 若,4,3a a 为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．2047。