等差、等比数列公式总结
(完整版)等差等比数列的性质总结,推荐文档

6.等差数列的证明方法
定义法:若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列.
7.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧:
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差,可设为…, a 2d , a d , a, a d , a 2d …(公差为 d ); ③偶数个数成等差,可设为…, a 3d , a d , a d , a 3d ,…(注意;公差为 2 d )
8..等差数列的性质:
(1)当公差 d 0 时,
5.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列. (2) 等差中项:数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 . ⑶数列 an 是等差数列 an kn b (其中 k, b 是常数)。 (4)数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,(其中A、B是常数)。
即 当 a1 0,d 0,由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值.
或求 an中正负分界项
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对
称轴最近的整数时, Sn 取最大值(或最小值)。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
S奇 S偶
n 1 n
等差、等比数列公式总结

一、等差数列1.定义:)(1常数d a a n n =-+2.通项公式:d n a )1(a 1n -+=3.变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --=4.前n 项和:2)(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义:①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=⇔+=⇔+=⇔++-11122 7.性质① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+③ Λ=+=+=+--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=-n S a n n 二、等比数列1.定义:常数)(a 1q a n n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a3.变式: m n m n q a -=a m n mn q a a -= 4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q qq a q na S n n 前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 qq a S n n --=11()1 )1(≠q5.变式:mn m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质:① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅② p n m 2=+ 则 2p n m a a a =⋅③ Λ=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a ΛΛ三、等差与等比的类比{}n a 等差{}n b 等差 和积 差商 系数指数 “0”“1”1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和:前如求n n n )}1({+)2)(1(31 )1(21)12)(1(61 )321()321( )()22()11(])1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n ΛΛΛΘ).11(11}{1 111+++-=⋅⋅n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()121121(21)12)(12(1)2(111)1(1)1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b a ba n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ;;;;;;列的求和.数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解,一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导:前如:等比数列n a n }{11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S ΛΛ.)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a qq a q na n n THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载,资料仅供参考。
等比等差数列的公式

等比等差数列的公式等比数列与等差数列是数列中常见的两种形式,它们在数学中有着重要的应用。
本文将分别介绍等比数列和等差数列的公式及其应用。
一、等差数列的公式及应用等差数列是一种数列,其中每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a1,公差为d,第n项为an,则等差数列的通项公式为:an = a1 + (n-1)d等差数列的求和公式为:Sn = (n/2)(a1 + an)其中,Sn表示等差数列的前n项和。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
比如,假设某人每天存储一笔相同金额的钱进入银行,首次存入的金额为a1,每天存入的金额与前一天相比增加了d元。
那么,第n天他存入的金额为an。
根据等差数列的公式,我们可以轻松地计算出第n天他存入的金额。
此外,在数学、物理等领域中,等差数列也被广泛应用于模型建立和问题解决中。
二、等比数列的公式及应用等比数列是一种数列,其中每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a1,公比为r,第n项为an,则等比数列的通项公式为:an = a1 * r^(n-1)等比数列的求和公式为:Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中,Sn表示等比数列的前n项和。
等比数列在实际生活中也有着重要的应用。
例如,某人每天购买的商品价格是前一天的r倍,第n天购买的商品价格为an。
根据等比数列的公式,我们可以轻松地计算出第n天购买的商品价格。
此外,在金融、经济等领域中,等比数列也被广泛应用于复利计算、增长模型等问题的解决中。
等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列形式。
它们都有着重要的公式和应用。
通过掌握等差数列和等比数列的公式,我们可以在实际生活和学习中更好地应用数学知识,解决各种问题。
因此,对于数学学习者来说,熟练掌握等差数列和等比数列的公式及其应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
高中数学等差数列和等比数列公式

高中数学等差数列和等比数列公
式
数列基础知识归纳
等差数列定义与性质
定义:
an+1-an=d (d为常数),
an= a1+(n-1)d
等差中项:
x , A , y成等差数列: 2A=x+y
前n项和:
性质:{an}是等差数列
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;
(2)数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列,公差为n2d ;
(3)若三个成等差数列,可设为a-d,a,a+d ;
(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则
(5){an}为等差数列,则Sn=an2+bn(a,b为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数),Sn的最值可求二次函数
Sn=an2+bn的最值;或者求出{an}中的正、负分界项,即:
当a1>0,d<0,解不等式组:
可得Sn达到最大值时的n值。
当a1<0,d>0,解不等式组:
可得Sn达到最小值时的n值。
(6)项数为偶数2n的等差数列{an},有
(7)项数为偶数2n-1的等差数列{an},有
等比数列定义与性质
性质:{an}是等比数列
(1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq
(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列,公比为qn 注意:
由Sn求an时应注意什么?
n=1时,a1=S1 ;
n≥2时,an=S1-Sn-1
求数列通项公式的常用方法
求差(商)法
叠乘法
等差型递推公式
答案:
等比型递推公式
倒数法。
等差等比数列公式大全

等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意:1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立,而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式:n a =1a +(n-1)d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要)3、 若{n a }是等差数列,m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a4、 若{n a }是等比数列,m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列,若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a mn --=q p a a q p --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ,则n s =()21na a n + (已知首项和尾项)=()211dn n na -+(已知首项和公差) =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112(可以求最值问题)7、 等差数列部分和性质:m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题:若{n a }是等差数列,1a 为首项,d 为公差 ① 首项1a >0,d <0,n 满足n a ≥0,1+n a <0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a <0,d >0,n 满足n a ≤0,1+n a >0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中,奇s 与偶s 的关系:①当n 为奇数时,n s =n.a 21+n , 奇s -偶s =a 21+n ,偶奇s s =11-+n n ②当n 为奇数时,n s =n.2122++nn a a , 奇s -偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列,a,G ,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a },{}n b (项数相同)是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时,若0<q <1则{n a }是递减数列; q >1则{n a }是递增数列 ②当1a <0时,若0<q <1则{n a }是递增数列; q >1则{n a }是递减数列 13、在等差数列中抽取新数列:一般地,对于公差为d 的等差数列{n a },若.,321k k k 成等差数列,那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列,而且公差为(12k k -)d 14、在等比数列中抽取新数列:,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ,如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ,且n k 成公差为m 的等差数列,那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()q q a n --111=qqa a n --11。
等比等差数列公式总结

等比等差数列公式总结数列是数学中一个非常重要的概念。
在数列中,等差数列和等比数列是最为常见和基础的两种形式。
它们具有简单明了的规律性,用简洁的公式能够表达出来。
本文将对等差数列和等比数列的公式进行总结,希望可以帮助到对数列感兴趣的读者。
一、等差数列公式总结等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
比如,1,3,5,7,9,11...就是一个等差数列,它的公差为2。
对于等差数列,我们可以通过以下公式进行总结。
1. 通项公式等差数列的通项公式可以用来求出数列中的任意一项。
设等差数列的首项为a₁,公差为d,第n项为aₙ,则通项公式可以表示为:aₙ = a₁ + (n-1)d 。
这个公式的原理是通过每一项之间的差值与公差之间的关系来确定每一项的值。
2. 前n项和公式在等差数列中,我们经常需要求出前n项和的值。
这可以通过前n项和公式来实现。
设等差数列的首项为a₁,公差为d,则前n项和公式可以表示为:Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d) 。
这个公式的原理是通过将数列拆分成两个相同的递增序列,然后对每一项求和来计算前n项和的值。
二、等比数列公式总结等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
比如,1,2,4,8,16...就是一个等比数列,它的公比为2。
对于等比数列,我们可以通过以下公式进行总结。
1. 通项公式等比数列的通项公式可以用来求出数列中的任意一项。
设等比数列的首项为a₁,公比为q,第n项为aₙ,则通项公式可以表示为:aₙ = a₁ * qⁿ⁻¹。
这个公式的原理是通过每一项与首项之间的比值与公比之间的关系来确定每一项的值。
2. 前n项和公式在等比数列中,我们同样需要求出前n项和的值。
这可以通过前n项和公式来实现。
设等比数列的首项为a₁,公比为q,则前n项和公式可以表示为:Sₙ = a₁(1-qⁿ)/ (1-q) 。
这个公式的原理是通过将数列拆分成n个相同的递增序列,然后对每一项求和来计算前n项和的值。
等差数列等比数列的公式

等差数列等比数列的公式
在等差数列中,每一项与它前一项的差都是相同的。
这个公差可以用一个字母d来表示。
假设第一项为a1,则第n项an可以表示为: an = a1 + (n-1)d
其中,n是数列中的项数。
这个公式可以帮助我们快速地计算等差数列中的任意项。
例如,如果我们知道了一个等差数列的首项和公差,就可以用这个公式来计算数列中的任意项。
另外,我们还可以用等差数列的前n项和公式来计算数列的前n 项之和Sn。
这个公式可以表示为:
Sn = n/2 * [2a1 + (n-1)d]
2. 等比数列公式
在等比数列中,每一项与它前一项的比都是相同的。
这个公比可以用一个字母q来表示。
假设第一项为a1,则第n项an可以表示为: an = a1 * q^(n-1)
其中,n是数列中的项数。
这个公式可以帮助我们快速地计算等比数列中的任意项。
例如,如果我们知道了一个等比数列的首项和公比,就可以用这个公式来计算数列中的任意项。
同样地,我们还可以用等比数列的前n项和公式来计算数列的前n项之和Sn。
这个公式可以表示为:
Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)
其中,n是数列中的项数。
需要注意的是,当公比q等于1时,等比数列就变成了等差数列,此时的前n项和公式与等差数列一样。
等比等差数列的所有公式

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。
它们不仅在高中阶段的数学学习中出现,同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。
本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用,以期为读者提供一个全面且清晰的了解。
一、等差数列等差数列是指一种数列,其任意两个相邻项之间的差值是相等的,这个相等的差值叫做公差。
举个例子,1,3,5,7,9....,就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式对于任意一个等差数列,其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d,其中an表示该数列的第n项,a1表示该数列的首项,d表示该数列的公差。
这个公式用起来非常方便,读者只需要知道该数列的首项和公差,就可以轻松地得出该数列的任意一项。
等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和,它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
韦达定理是该公式的基础,韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒,在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后,其中的所有项均相等,其和是所求等差数列的和的两倍。
求和公式: Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数,a1表示首项,an表示末项。
(特殊情况下)如果公差为1,那么求和公式可以变为:Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。
二、等比数列等比数列是指一种数列,其任意两个相邻项之间的比值是相等的,这个相等的比值叫做公比。
例如,1,2,4,8,16....就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式对于任意一个等比数列,其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1),其中an表示该数列的第n项,a1表示该数列的首项,r表示该数列的公比。
与等差数列的情况类似,知道等比数列的首项和公比,就可以很容易地得出该数列的任意一项。
等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
其中,如果公比r=1,那么求和公式就是Sn=na1,这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素,那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。
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一、等差数列
1.定义:)(1常数d a a n n =-+
2.通项公式:d n a )1(a 1n -+=
3.变式:d m n a m n )(a -+= m
n a a d m n --= 4.前n 项和:2)(1n a a S n n +=
或 d n n n a S n 2
)1(1-+= 5.几何意义: ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2
(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=
⇔+=⇔+=⇔++-11122 7.性质
① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+
② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+
③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差
⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则
n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=
-n S a n n 二、等比数列
1.定义:常数)(a 1q a n
n =+ 2.通项公式:11a -=n n q a
3.变式: m n m n q a -=a m n m
n q a a -= 4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q q
q a q na S n n
前n 项和:n a S n 1= )1(=q 或 q
q a S n n --=11()
1 )1(≠q 5.变式:m n
m n q
q S S --=11 )1(≠q 6.性质:
① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅
② p n m 2=+ 则 2
p n m a a a =⋅
③ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a
④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比
⑤ }{n a 等比,有12+n 项
偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a
三、等差与等比的类比
{}n a 等差
{}n b 等差 和
积 差
商 系数
指数 “0”
“1”
四、数列求和
1.分组求和 本数列的和公式求和.进行拆分,分别利用基,则可
或等比数列的和的形式数列,但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和:前如求n n n )}1({+
)2)(1(3
1 )1(21)12)(1(61 )321()321( )
()22()11(]
)1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n
2.裂项相消法.
).11(11}{1 1
11+++-=⋅⋅n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列,项和,其中的前项为用于通
从而计算和的方法,适别裂开后,消去一部分把数列和式中的各项分
常见的拆项方法有: ).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()1
21121(21)12)(12(1)2(1
11)1(1)
1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b
a b a n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ;
;
;;;; 3.错位相减法.
列的求和.
数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解,一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导:前如:等比数列n a n }{
11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S .)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a q
q a q na n n 。