数列公式汇总
高中数列公式总结大全
高中数列公式总结大全数列是数学中比较基础的概念，也是高中数学中常出现的内容之一。
在学习数列时，我们需要掌握一些基本的公式，下面是高中数列公式总结大全。
一、定义1. 数列：按照一定的规律排列成的数的序列。
2. 通项公式：数列中第 n 项 a_n 与 n 之间的关系式。
3. 通项公式（递推公式）：数列中第 n 项 a_n 与前几项（如前一项）之间的关系式。
二、等差数列公式1. 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数 d，那么这个数列就称为等差数列。
2. 通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d3. 前 n 项和公式：S_n = n/2( a_1 + a_n) = n/2[2a_1 + (n-1)d]4. 差值公式：d = a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n = ... = a_2 - a_15. 求和公式：（1）n 为奇数时：S_n = [n/2(a_1+a_n)]（2）n 为偶数时：S_n = n/2 [a_1+a_n]6. 证明：设等差数列有n项，公差为d，则：S_n = a_1 + (a_1+d) + ... + (a_1 + (n-1)d)将公式第一项和最后一项括起来，第二项和倒数第二项括起来，以此类推：S_n = [(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)]/2设 a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = ... = a_{n/2}+a_{n/2+1} = S则 S_n = [n/2]S三、等比数列公式1. 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比等于同一个常数 q，那么这个数列就称为等比数列。
2. 通项公式：a_n = a_1*q^{n-1}3. 前 n 项和公式（n≠1）：S_n = a_1*(1-q^n)/(1-q)4. 无穷级数收敛条件（|q|<1）：S = a_1/(1-q)5. 等比中项公式：a_m = sqrt(a_{m-1}*a_{m+1})6. 连续 n 项的和：Sn = a_1*(q^n-1)/(q-1)四、等差数列与等比数列的转化1. 等差数列转化为等比数列令 b_n = a_n/d，则有：b_n = a_n/d = a_1/d*q^{n-1}即 b_n 是以 q 为公比的等比数列，通项公式是 b_n = (a_1/d)*q^{n-1}。
数列的知识点公式归纳总结
数列的知识点公式归纳总结数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数列中，每个数称为该数列的项，而数列中的规律通常通过一个公式来描述。
本文将对数列的知识点进行公式归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念。
一、等差数列等差数列是最常见且最简单的数列类型之一。
在等差数列中，每一项与它前一项之差都相等。
这个相等的差值称为公差，记作d。
等差数列的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项。
1. 求等差数列的第n项公式等差数列的第n项公式可以通过递归关系式an = an-1 + d得到，其中an表示第n项，an-1表示第n-1项。
而首项a1和公差d是已知条件，则可将递归公式带入，得到等差数列的第n项公式。
2. 求等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式可以通过求和公式Sn = n/2 * (a1 + an)得到，其中Sn表示前n项和。
该公式可通过将首项a1和第n项an代入得到。
二、等比数列等比数列也是常见的数列类型之一。
在等比数列中，每一项与它前一项的比值相等。
这个相等的比值称为公比，记作q。
等比数列的一般形式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项。
1. 求等比数列的第n项公式等比数列的第n项公式可以通过递归关系式an = an-1 * q得到，其中an表示第n项，an-1表示第n-1项。
而首项a1和公比q是已知条件，则可将递归公式带入，得到等比数列的第n项公式。
2. 求等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)得到，其中Sn表示前n项和。
该公式可通过将首项a1、公比q和第n项数代入得到。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
即F1 = 1，F2 = 1，Fn = Fn-1 + Fn-2（n≥3）。
数列所有公式大全
数列所有公式大全1、等差数列：所有项的差值都相等的数列。
公式为：a_n=a_1+(n-1)d；其中，a_1表示数列的第一项，d表示等差数列的公差，n表示从第一项开始的项数。
特别地，当d=1时，称为等比数列。
2、等比数列：所有项的比值都相等的数列。
公式为：a_n=a_1*q^(n-1)；其中，a_1表示数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示从第一项开始的项数。
3、调和数列：调和数列又叫等级数列，它的前2项相加的结果作为第3项。
公式为：a_n=a_1+(a_1+a_2+…+a_(n-1))；其中，a_1表示数列的第一项，a_2表示第二项，a_(n-1)表示第n-1项，n表示从第一项开始的项数。
4、椭圆数列：椭圆数列又称斐波那契数列，是一种只由两个初始斐波那契数开始，其它任何项都只能由之前最少两个数构成的数列。
公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)；其中，a_(n-1)表示第n-1项，a_(n-2)表示第n-2项，n表示从第一项开始的项数。
5、斜坡数列：斜坡数列也叫等差等比数列，它的前2项相加的结果作为第3项。
公式为：a_n=a_1+((n-1)*q^(n-1))；其中，a_1表示数列的第一项，d表示等差数列的公差，q表示等比数列的公比，n表示从第一项开始的项数。
6、平方数列：平方数列的每一项都是以前面某一个数的平方来构成的数列。
公式为：a_n=c^2+(n-1)d；其中，c表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n表示从第一项开始的项数。
7、立方数列：立方数列的每一项都是以前面某一个数的立方来构成的数列。
公式为：a_n=c^3+(n-1)d；其中，c表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n表示从第一项开始的项数。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
数列常用性质公式总结
数列常用性质公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn --4．等差中项：,,,2a bA a A b +=⇔成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S += （2）2)1(1dn n na S n -+= （3）n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式（4）{}n a 为等差数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等差数列. 公差为2k d7.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值8．（1）在等差数列{}n a 中,当项数为2n 时,1,n n S aS S nd S a +-==奇偶奇偶（中间两项）,当项数为2n -1时,,1nS nS S a S n -==-奇偶奇偶（中间项） (2).若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数),则1212n nn n a S T b ++=.或1212--=n n n n T S b a等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比q （q ≠0），即：1-n n a a=q （q ≠0）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.a ,G, b 成等比数列 6．性质：若m+n=p+q ，m n p q a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和9．等比数列的前n 项和公式：（1） ∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q qa a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.（2）{}n a 是等比数列，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-（k 项的和）是等比数列. 公比为k q 。
高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+（n—1）d a n=a k+(n—k)d （其中a1为首项、a k为已知的第k项）当d≠0时，a n是关于n 的一次式；当d=0时，a n是一个常数.3、等差数列的前n项和公式：S n= S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: a n= a1 q n-1a n= a k q n—k(其中a1为首项、a k为已知的第k项,a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n 的正比例式）;当q≠1时,S n= S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列｛a n｝的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m—S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列｛a n｝中,若m+n=p+q，则3、等比数列｛a n}中,若m+n=p+q,则4、等比数列｛a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m—S m、S3m—S2m、S4m— S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的和差的数列｛a n+b n｝、{a n—b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n｝与｛b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n｝、、仍为等比数列.7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a—d,a，a+d；四个数成等差的设法：a—3d，a-d，，a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？）11、{a n}为等差数列,则 (c〉0）是等比数列。
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
数列公式大全
数列公式大全设An为等差数列,d为公差性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)dSn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/22)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k)3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质:4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数.5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)]所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)]An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)]令B(n-1)=An-x1A(n-1) (1)B(n-1)'=An-x2A(n-1) (2)则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。
再解(1)(2)方程组可求出An。
7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2等比数列：1:q=1时;Sn=na12:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q）求和等差“(首数+末数)*项数/2等比数列求和公式＝首项*(1-比值^项数)/(1-比值)一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：自然数方幂和公式：3、 4、5、[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)解：∵x≠0∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项当x2＝1 即x＝±1时和为n+3评注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+ ），……的前顶和为，则的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列公式汇总人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质1010解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式：,,,,,321na a a a ，或简记为{}n a ，其中na 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项na 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：101，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos|π+=n an.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7．数列的表示方法（1）通项公式法如果数列{}a的第n项与序号之间的关系可以用一n个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；（2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（3）递推公式法1010如果已知数列{}na 的第1项（或前几项），且任一项na 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a an n n4、列表法．简记为 ．典型例题：例1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….解：(1) na ＝2n ＋1； (2) na ＝)12)(12(2+-n n n； (3) na ＝2)1(1n-+；(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,∴na ＝ ；(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，10∴ na ＝例2：设数列{}na 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项。
解：二、等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na },若na －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。
2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m)(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= ……10由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n)1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项na 。
由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m)1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a mm )()1()1(-+=-+--即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m)(-+ ∴d=nm aa nm -- 3．有几种方法可以计算公差d① d=na －1-n a ② d=11--n a a n③ d=mn aa mn-- 4．结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，qpnma a a a +=+即 m+n=p+q ⇒qp n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由qp n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②nm n m a a a +=+ 典型例题：例1：⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：例3：求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.10例5：100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例6：－20是不是等差数列0，－321，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例8：在等差数列{na }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .三、等差数列的前n 项和1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1nna a n S +=证明： nn na a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a Sn n n n+++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n na a a a a a a a S ++++++++=--∵=+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n na a n S+= 由此得：2)(1n na a n S+=10从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na Sn-+=用上述公式要求nS 必须具备三个条件：na a n ,,1但dn a an)1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na Sn-+=此公式要求nS 必须已知三个条件：d a n ,,1（有时比较有用）对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式3． 由nS 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，na =nS -1-n S ，即na =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 4． 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用na :当na >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当na <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用nS ：由n )2da (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 典型例题：例2：等差数列－10，－6，－2，2，·······前9项的和多少？解：例3：等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解例6：已知等差数列{a n}中，S3=21，S6=64，求数列｛|a n|｝的前n项和T n．例7：在等差数列{a n}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和．例8：已知等差数列{a n}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．例9：等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a bnn=+231100100，则等于[ ] A 1B C D ．．．．23199299200301分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T nn n n 1001002312=+例10： 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n的最大值．四、等比数列1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛na ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q an且“na ≠0”是数列｛na ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。