等差等比数列的运用公式大全
等差和等比数列前n项和公式
等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。
下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。
等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。
由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。
等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。
由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。
以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。
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数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导
数学中的等差数列与等比数列公式整理与推导在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
它们在数学、科学和日常生活中都有重要的应用。
本文将对这两种数列的公式进行整理和推导。
一、等差数列等差数列是一种数列，其中相邻两项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d（1）其中，a₁为首项，n为项数，d为公差。
为了更好地理解等差数列的公式，我们可以通过一个例子进行推导。
假设我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，其中首项a₁=2，公差d=3。
我们可以按照公式（1）计算第5项的值：a₅ = a₁ + (5-1)d= 2 + 4 × 3= 2 + 12= 14因此，这个等差数列的第5项为14。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中相邻两项之比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ × r^(n-1)（2）其中，a₁为首项，n为项数，r为公比。
同样，我们通过一个例子来推导等比数列的公式。
假设我们有一个等比数列：2, 4, 8, 16, 32, ...，其中首项a₁=2，公比r=2。
按照公式（2），我们可以计算第5项的值：a₅ = a₁ × r^(5-1)= 2 × 2^4= 2 × 16= 32因此，这个等比数列的第5项为32。
三、等差数列的公式整理与推导在前面的讨论中，我们已经给出了等差数列的通项公式，即公式（1）。
现在，我们来推导这个公式的正确性。
设等差数列的首项为a₁，公差为d。
我们知道第n项aₙ与前一项aₙ₋₁之间的关系是：aₙ = aₙ₋₁ + d（3）我们使用数学归纳法来证明等差数列的通项公式。
（1）初始条件：当n=1时，等式（3）成立，即a₁=a₁+0，初始条件满足。
（2）归纳假设：假设当n=k时等式（3）成立，即aₙ=aₙ₋₁+d。
等差等比数列公式大全
等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要)3、 若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a4、 若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a mn --=q p a a q p --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211dn n na -+（已知首项和公差） =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112（可以求最值问题）7、 等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n , 奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ， 奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列，a,G ,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列 13、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 14、在等比数列中抽取新数列：,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ，如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ，且n k 成公差为m 的等差数列，那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()q q a n --111=qqa a n --11。
等差数列与等比数列的求和公式
等差数列与等比数列的求和公式在数学中，等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
对于这两种数列，我们可以使用求和公式来计算它们的和。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义以及它们的求和公式，并通过具体例子进行说明。
一、等差数列（Arithmetic progression）等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等差数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等差数列的求和公式。
设等差数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2或者Sₙ = [2a₁ + (n-1)d] * n / 2其中，[]表示取整。
下面通过一个例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例子：求等差数列1，4，7，10，...，前100项的和。
解：首先，我们可以得到等差数列的首项a₁为1，公差d为3（4-1=3）。
因此，我们可以使用等差数列的求和公式来计算前100项的和。
S₁₀₀ = [2*1 + (100-1)*3] * 100 / 2= (2 + 297) * 100 / 2= 299 * 100 / 2= 14950因此，等差数列1，4，7，10，...，前100项的和为14950。
二、等比数列（Geometric progression）等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等比数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等比数列的求和公式。
设等比数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)下面通过一个例子来说明等比数列的求和公式的应用。
例子：求等比数列2，6，18，54，...，前8项的和。
解：首先，我们可以得到等比数列的首项a₁为2，公比q为3（6/2=3）。
高中数列求和方法大全
数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。
7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个n n S 111111111++++=②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。
解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a Λ321Λ个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S Λ n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=ΛΛ（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=Λ2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n ΛΛΛ)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。
数列与等差数列等比数列的通项公式
数列与等差数列等比数列的通项公式数列是数学中一个重要的概念，它由按照一定规律排列的一系列数所组成。
数列中的每个数称为该数列的项。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等差数列和等比数列的通项公式以及其应用。
一、等差数列的通项公式等差数列是指数列中每两个相邻的项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13...来说，首项a1=1，公差d=3（每相邻两项之间的差值为3），第n项可以用通项公式表示为：an = 1 + (n - 1)3二、等比数列的通项公式等比数列是指数列中每两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32...来说，首项a1=2，公比r=2（每相邻两项之间的比值为2），第n项可以用通项公式表示为：an = 2 * 2^(n - 1)三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来表示每年的收入或支出的增长情况；等比数列可以用来表示复利计算中的收益情况。
此外，在物理学中，等差数列可以用来描述匀速运动的位置变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的情况。
总结：数列是数学中重要的概念，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)。
高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)
一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+（n—1）d a n=a k+(n—k)d （其中a1为首项、a k为已知的第k项）当d≠0时，a n是关于n 的一次式；当d=0时，a n是一个常数.3、等差数列的前n项和公式：S n= S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: a n= a1 q n-1a n= a k q n—k(其中a1为首项、a k为已知的第k项,a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n 的正比例式）;当q≠1时,S n= S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列｛a n｝的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m—S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列｛a n｝中,若m+n=p+q，则3、等比数列｛a n}中,若m+n=p+q,则4、等比数列｛a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m—S m、S3m—S2m、S4m— S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的和差的数列｛a n+b n｝、{a n—b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n｝与｛b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n｝、、仍为等比数列.7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a—d,a，a+d；四个数成等差的设法：a—3d，a-d，，a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？）11、{a n}为等差数列,则 (c〉0）是等比数列。
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……
1 2n
an
2n
5 ，求 an
解
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1 时，
1 2
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14
①
n
2 时，
1 2
a1
1 22
a2
……
1 2n1
an1
2n
1
5
②
①—②得：
1 2n
an
2
，∴ an
2n1 ，∴ an
14 (n 1) 2n1 (n 2)
［练习］数列an
满足
Sn
Sn1
5 3
an1，a1
4
，求
an
a1
d ，c c 1
为公比的等比数列
∴
an
c
d 1
a1
c
d 1
·
cn1 ，∴ an
a1
c
d 1
c n 1
c
d
1
（5）倒数法
如：
a1
1，an1
2an an 2
，求
an
由已知得： 1 an 2 1 1 ，∴ 1 1 1
an1 2an 2 an
an1 an 2
∴
1 an
为等差数列，
S2n n(a1 a2n ) n(a2 a2n1 ) n(an an1 )(an , an1为中间两项 )
S偶
S奇
nd
， S奇 S偶
an an1
.
（7）项数为奇数 2n 1的等差数列an ，有
S2n1 (2n 1)an (an为中间项 ) ，
S奇
S偶
an
，
S奇 S偶
n. n 1
Sn Sn
a1 an
a2 …… an1 an1 …… a2
Hale Waihona Puke an a1相加2Sn
a1
an
a2
an1
… a1
an
…
［练习］已知
f
(x)
x2 1 x2
，则
f
(1)
f
(2)
f
1 2
f
(3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
由
f
(x)
f
1 x
1
x
2
x
2
1
x
（2）数列 a2n1 , a2n ,a2n1仍为等差数列， Sn，S2n Sn，S3n S2n…… 仍为等差数列，
公差为 n2d ；
（3）若三个成等差数列，可设为 a d，a，a d
（4）
若
an，
bn
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n，Tn
，则
am bm
S2m1 T2m1
（5）an 为等差数列 Sn an2 bn（ a，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）
5. 迭加法：主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等 比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列 式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。
6. 分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这 类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并。
注意到 an1
Sn1
Sn
，代入得
S n 1 Sn
4 又 S1 ；
4 ，∴
Sn
是等比数列， Sn 4n
n 2 时， an Sn Sn1 …… 3· 4n1
（2）叠乘法
如：数列an 中， a1
3，an1 an
n
n
1
，求
an
解
a2· a1
a3 …… an
a2
an1
1· 2
2 …… n 1 ，∴
∴ an a0 f (2) f (3) …… f (n)
（4）等比型递推公式
an can1 d （ c、d 为常数， c 0，c 1，d 0 ）
可转化为等比数列，设 an x c an1 x an can1 c 1 x
令
(c
1)x
d
，∴
x
d ，∴ c 1
an
c
d
1
是首项为
1 ak 1
1 d
1 a1
1 a2
1 a2
1 a3
……
1 an
1 an1
1 1 1
d
a1
an1
［练习］求和：1
1 1
2
1
1 2
3
……
1
2
3
1 ……
n
an
…… ……，Sn
2
1 n 1
（2）错位相减法
若an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列 anbn（差比数列）前 n 项和，可由 Sn qSn ， 求 Sn ，其中 q 为bn 的公比.
3. 裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下 有限项，从而求出数列的前 n 项和。
4. 错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相 乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和 式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。
p q ，则 am·
an
a
·
p
aq
（2）
Sn，S2n
Sn，S3n
S2
……
n
仍为等比数列,公比为
q
n
.
注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？
n 1 时， a1 S1 ； n 2 时， an Sn Sn1 . 3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列an ，
1 2
a1
1 22
a2
如： Sn 1 2x 3x2 4x3 …… nxn1
①
x· Sn x 2x2 3x3 4x4 …… n 1 xn1 nxn
②
①—② 1 x Sn 1 x x2 …… xn1 nxn
x
1 时，
Sn
1
1
xn
x2
nxn 1 x
，
x
1 时，
Sn
1
2 3 ……
n
nn 1
2
（3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
1 x
2
x2 1 x2
1 1 x2
1
∴原式
f
(1)
f
(2)
f
1 2
f
(3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
111
3
1 2
求数列的前 n 项和
1. 倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项 之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，
第六讲：等差、等比数列的运用
1. 等差数列的定义与性质
定义： an1 an d （ d 为常数）， an a1 n 1 d
等差中项： x，A，y 成等差数列 2A x y
前
n 项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
性质：an 是等差数列
（1）若 m n p q ，则 am an ap aq；
7. 构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征， 构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项 和。)
这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索
其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：
等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列 的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的 应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
3
n
an a1
1 n
又 a1
3 ，∴ an
3 n
.
（3）等差型递推公式
由 an an1 f (n)，a1 a0 ，求 an ，用迭加法
a2 a1 f (2)
n 2 时，
a3 a2 f (3) …… ……
两边相加得
an
a1
f
(2)
f
(3) ……
f
(n)
an an1 f (n)
1
a1
1，公差为 1 2
，∴ 1 an
1 n 1·
1 2
1 n 1 ，
2
∴
an
2 n 1
a (附：公式法、利用 n
S1(n1)
Sn Sn1 (n2) 、累加法、累乘法.构造等差或等比 an1 pan q
或 an1 pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
4. 求数列前 n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：
an
是公差为
d
的等差数列，求
n k 1
ak
1 ak
1
解：由
1 ak· ak1
ak
1
ak d
1 d
1
ak
1 ak 1
d