等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用

1. 等差数列的定义与性质

定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()

1112

2

n n a a n n n S na

d +-=

=+

性质：{}n a 是等差数列

m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；

{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n

n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

a d a a d -+，，

n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b

T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）

n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，

即：当100a d ><，，解不等式组10

0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值.

当

100a d <>，，由1

0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值.

项数为偶数n 2的等差数列{}

n a ，

有

),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a

a n a a n S nd S S =-奇偶，

1

+=

n n

a a S S 偶

奇. 12-n 的等差数列{}

n a ，有

)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

n a S S =-偶奇，

1

-=

n n S S 偶

奇. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

1

n n

a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.

等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=

，或G =

前n 项和：()11(1)

1(1)1n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?（要注意！）

性质：{}n a 是等比数列

（1）若m n p q +=+，则m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？

1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法

如：数列{}n a ，122111

25222

n n a a a n +++=+……，求n a

解 1n =时，11

2152a =?+，∴114a = ①

2n ≥时，12121111

215222n n a a a n --+++=-+…… ②

①—②得：

122n n a =，∴1

2n n a +=，∴114(1)2(2)

n n n a n +=?=?≥? ［练习］数列{}n a 满足1115

43

n n n S S a a +++==，，求n a

注意到11n n n a S S ++=-，代入得

1

4n n

S S +=；

又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =

2n ≥时，113

4n n n n a S S --=-==……·

如：数列{}n a 中，1131

n n a n

a a n +==+，，求n a

解

3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11

n a a n

=又13a =，∴3n a n =.

由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法

2n ≥时，21321(2)

(3)()n n a a f a a f a a f n --=?

?-=?

???-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……

∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……

1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）

可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =

-，∴1n d a c ?

?+??-??

是首项为11d a c c +

-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -??+

=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?

?=+- ?--?

?

11212

n

n n a a a +==

+，，求n a 由已知得：

1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112

n n a a +-= ∴1n a ??????

为等差数列，11

1a =，公差为12，∴()

()11111122n n n a =+-=+·， ∴2

1n a n =

+

(附：公式法、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q

+=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法) 4. 求数列前n 项和的常用方法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求11

1

n

k k k a a =+∑

解：由

()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??

==-≠ ?+??

·

∴11111

223111*********n

n

k k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??

????????=-=-+-++-?? ? ? ? ???????????∑∑…… 11111n d a a +??=- ???

［练习］求和：111

112123123n

+

+++

+++++++ (121)

n n a S n ===-

+…………，

若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.

如：2311234n n S x x x nx -=+++++……

①

()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……

②

①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……

1x ≠时，()()

2

111n

n

n

x nx S x x -=-

--，1x =时，()

11232

n n n S n +=++++=……

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?

?=++++?

…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……

［练习］已知2

2

()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??

??

??

++++

++= ? ? ???

??

??

由2

222222

111()111111x x x f x f x x x x x ?? ?????+=+=+= ?+++????

+ ???

∴原式1111

1(1)(2)(3)(4)11132342

2f f f f f f f ?

??

??

???????=++

++++=+++= ? ? ???????????????????

求数列的前n 项和

1. 倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

2. 公式法：对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

3.裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下

有限项，从而求出数列的前n项和。

4.错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相

乘的形式。即若在数列{a n·b n}中，{a n}成等差数列，{b n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

5.迭加法：主要应用于数列{a n}满足a n+1=a n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等

比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n，从而求出S n。

6.分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这

类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

7.构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，

构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)

8.