等差数列与等比数列基本公式

• {an}等差Sn=cn2+bn (c≠0)
•
.Sn Sn'
a2n1 b2n1
an

SS1n,
(n 1) Sn1,
(n

2)
等比数列{an},{bn}的性质:
• m+n=k+l (m,n,k,l∈N),则aman=akal;
• {nk}等差,则 ank 等比;
• {kan}等比;
教学目的
1。系统掌握等差、等比数列定义与性 质，灵活应用等差、等比数列的定义 与性质。 2。通过对问题的讨论，提高分析解决 问题的能力。
小结
对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还 是等比，不能混淆。 2。掌握设元的技巧； 3。要掌握分析数列问题的基本思 想方法：抓两头，凑中间。
习题分析:
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数列
分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必
须根据公式
an

Sn Sn1,(n S1,(n 1)

2)求出
a1,an.
因为条件中有a1≠a2,又可推测知: 本题需同时求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.
练习2
练习2
1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成 等比数列,则a:b:c=__1_:_1:_1_或__4:_1_:(_-2_)____
2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前 100项之和为0,则θ的值为 ________
2kπ±(2π/3)(k∈Z)
1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比 数列,则a:b:c=________________

2)
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.
解法1: 如图:a1,a2,a3,a4
等比
等差2a3=a2+a4
(a2)2=a1a3
已知:
已知:
a2+ a3+ a4 =12
a1+a2+a3=19
a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4
多媒体辅助教学课件
江油中学 唐秋明制作
目的 公式 例题 小结
等差数列与等比数列基本公式
• 等差数列
• an-an-1=d(常数)
• an=a1+(n-1)d
• a,A,b等差,则A= a b
2
Sn=
n(a1
2
an
)

na1

n(n
1)d 2
• 等比数列
• an/an-1=q(常数) • an=a1qn-1 • a,G,b等比,则G2=ab
3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( )
解: ∵ ∴
A+B+C=1800 2B=A+C,b2=ac B=600, A+C=1200
由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC
3 1[cos(A C) cos(A C)] 1[ 1 cos(A C)]
a1qn1 a1 (kn 1) * d
又q=3,d=(1/2)a1
a13n 1

a1

(kn

1)

1 2
a1
kn 2 3n1 1
k1 k2 k3 ...... kn 3n n 1
归纳
1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题，在解题过程中，分清那 一步是用等差数列条件，那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号 间的联系，是使问题得解的关键。
• {k1ank2bn}等比;
• a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+ a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;
• {an}等比Sn=c(qn-1) (c≠0)
• {an}等比且an>0,则{lgan}等差;
an

S1,(n 1) Sn Sn1,(n
练习1
练习1
1. 已知等比数列{an}中,an>0,
且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
( A)
(A)5 (B)10 (C)15 (D) 20
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
S100=10,则S110=
( D)
(A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比
数列,则三内角的公差为
(A )
(A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450
1. 已知等比数列{an}中,an>0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=
提示:
a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2 原式=(a3+a5)2=25=> a3+a5=5 (an>0)
2.数列{an}是等差数列,且S10=100,
=>
a d

4 2
或
a 4 d 14
a1

a
d a
2
已知三数和为19=>
a d 2
a
ad
a
19
四数为: 9,6,4,2或
25,-10,4,18.
归纳
为了便于解方程，应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关项的数量关系，促使复 杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的 解决方法。
a1=9 a2=6 或 a3=4 a4 =2
a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.
解法2:
如图:a1,a2,a3,a4 等差
a-d,a,a+d
已知和为12 =>a-d+a+a+d=12
等比a1, a-d,a
ak1 a1
a1
a1
d

1 2
a1
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
故 akn ak1qn1
a kn a1 (kn 1)d
S100=10,则S110=
()
(A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110
解: S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d.
(S10 S20

Sa110aa211...a..1.2a.1.0.... 10a(2a0121a01(0a)1125(a22a01)
an1 an na2 n 1a2 a（2 常数）
由(1)可得a1=0 ∴a2-a1=a2
an成等差数列。
练习3
练习3
1. 数列 2, 5,2 2, 11,.....,则4 2是该数列 的第___1_1____项. 2.数列{an}对任意自然数n都满 足 an22 anan4 且a3=2,a7=4,则 a15=__1_6____
(1)求p
(2)证明{an}成等差数列
an an1 an2 ...... a4 a3
an1 an2 an3
a3 a2
n 1 n 2 n 3 ...... 3 2 n2 n3 n4 2 1
an a2

n
1,即a n
（n 1）a2，(n N )
所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2
因为a1≠0，∴a2≠0，p=1/2
例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数列
(2)根据已求得的p=1/2
Sn=(1/2)nan,
由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列
42
22
cos(A C) 1 A C
故 A=B=C, 公差 d=0.
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的 部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
故第一问的解答从计算a 1,a2开始:
例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数列
解:（1）令n=1，s1=pa1， 因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1 若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2 所以a1=a2，这与a1≠a2矛盾 故p≠1

9d
)
5(2a1 29d ) ∴ (S20-S10)-S10=100d)
S110-S100=S10+(11-1)100d
S100
10S10