等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
高考数学《等差与等比数列》练习题
等差与等比数列一、单项选择题1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，2S 8＝S 7＋S 10，则S 21＝( )A ．21B ．11C ．－21D ．02．在等比数列{}a n 中，若a 2 019＝4，a 2 021＝9，则a 2 020＝( )A ．6B ．－6C ．±6D ．1323．在等差数列{}a n 中，a 1＋a 8＋a 6＝15，则此等差数列的前9项之和为( )A ．5B ．27C ．45D ．904．等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，设甲：q >0，乙：{}S n 是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知等差数列{}a n 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )A ．28B ．29C ．30D ．316．设{}a n 为等比数列，{}b n 为等差数列，且S n 为数列{}b n 的前n 项和，若a 2＝1，a 10＝16，且a 6＝b 6，则S 11＝( )A ．20B ．30C ．44D ．887．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，等差数列{}b n 的前n 项和为T n .若S n T n ＝2n －1n ＋1 ，则a 5b 5＝( ) A ．1911 B ．1710 C ．32 D ．758．在等差数列{}a n 中，已知a 5>0，a 3＋a 8<0，则使数列{}a n 的前n 项和S n <0成立时n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10二、多项选择题9．已知等比数列{}a n 的公比为q ，且a 5＝1，则下列选项正确的是( )A ．a 3＋a 7≥2B ．a 4＋a 6≥2C ．a 7－2a 6＋1≥0D ．a 3－2a 4－1≥010．已知无穷等差数列{}a n 的公差d ∈N *，且5，17，23是{}a n 中的三项，则下列结论正确的是( )A ．d 的最大值是6B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{}a n 中的项11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是( )A ．若S n ＝n 2－1，则{}a n 是等差数列B ．若S n ＝2n －1，则{}a n 是等比数列C ．若{}a n 是等差数列，则S 99＝99a 50D ．若{}a n 是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 2n －1·S 2n ＋1>S 22n12．已知数列{}a n 是等比数列，下列结论正确的为( )A ．若a 1a 2>0，则a 2a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若a 2>a 1>0，则a 1＋a 3>2a 2D ．若a 1a 2<0，则()a 2－a 1 ()a 2－a 3 <0三、填空题13．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 7＝28，则a 2＋a 3＋a 7的值为________．14．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 3＝7，S 3＝21，则公比q ＝________．15．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3，a 5，a 10成等比数列，则S 7a 7＝________． 16．已知等差数列{}a n 的公差为d ()d >1 ，前n 项和为S n ，若a 7＝a 5＋3a 1，且a 2是S 4－1和a 1－1的等比中项，则d ＝________，S n ＝________．。
等差数列等比数列高考历年真题
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【考点16】等差数列、等比数列2009年考题1.（2009安徽高考）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18【解析】选B.由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =.2．（2009安徽高考）已知为等差数列，，则等于（ ）A. -1B. 1C. 3 D .7【解析】选B.∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-. ∴204(204)1a a d =+-⨯=.3．（2009福建高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．1B 53C.- 2 D 3 【解析】选C.∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=-2a a d a =+∴.4．（2009海南宁夏高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9【解析】选C.因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m ma a a -++-=，得：2m a －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10.5.（2009广东高考）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【解析】选C.由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-.6.（2009广东高考）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （ ）A. 21B.22C. 2D.2 【解析】选B.设公比为q ,由已知得()22824111a q a q q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =故21222a a q ===. 7.（2009辽宁高考）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69SS =（ ）（A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3【解析】选B.设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 Þ q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++. 8．（2009辽宁高考）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（ ）（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2【解析】选B. a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 Þ d ＝－12.9．（2009湖南高考）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）.A ．13B ．35C ．49D ． 63 【解析】选C.172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++=== 10．（2009四川高考）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）A. 90B. 100C. 145D. 190【解析】选B.设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100.11．（2009辽宁高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 【解析】∵S n ＝na 1＋12n(n －1)d ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4 答案:3112．（2009山东高考）在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .【解析】设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得⎩⎨⎧++=+=+6472111d a d a d a 解得132a d =⎧⎨=⎩,所以61513a a d =+=.答案:13.13.（2009海南宁夏高考）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =【解析】由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ，即062=-+q q ，0q >，解得q ＝2，又2a =1，所以，112a =，21)21(2144--=S ＝152。
等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)
(b 1b n)nn + 1 ，则有2n3等差数列与等比数列的类比一、选择题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）{a } S S =n (a 1 + a n ) 1. 记等差数列 n 的前 n 项和为 n ，利用倒序求和的方法得 n 2 ；类似地，记等比数列{b n }的前 n 项积为T n ，且b n> 0(n ∈ N *)，类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成关于首项b 1，末项b n 与项数 n 的关系式 为 ( )1. Anb 1b nA. B. 2 C. nb 1b nnb 1b nD. 2 二、填空题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）2. 在公差为 d 的等差数列{a n }中有：a n = a m + (n - m )d (m 、n ∈ N + )，类比到公比为 q 的等比数列{b n }中有： ．2.b n = b m ⋅ q n - m (m ，n ∈ N * ){a} b = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + n a n{b }3. 数列 n 是正项等差数列，若 n 1 + 2 + 3 + … + n ，则数列 n 也 为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = 则数列{d n }也为等比数列．1(c c 2c 3…c n )1 + 2 + 3 + … + n 3. 1 2 3 n4. 等差数列{a n }中，有a 1 + a 2 + … + a 2n + 1 = (2n + 1)a n + 1，类比以上性质，在等比数列{b n }中，有等式 成立．4.b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1T5. 若等比数列{a n }的前 n 项之积为T n T 3n = ( T n ) ；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前 n 项之和为S n ，则有 ．5. S 3n = 3(S 2n - S n ){a}a 11 + a 12 + … + a 20 = a 1 + a 2 + …a 306. 已知在等差数列 n 中， 10 30 ，则在等比数列{b n }中，类似的结论为10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30q S nn7. 在等比数列{a n}中，若a9 = 1，则有a1⋅a2…a n = a1⋅a2…a17- n(n < 17，且n∈N* )成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7 = 0，则有．b1 + b2 + … + b n= b1 + b2 + … + b13- n(n < 13，且n∈ N* )8.设S n是公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和，则数列S6 - S3，S9 - S6，S12 - S9是等差数列，且其公差为9d.通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2 的等比数列{b n}的前n 项积，则数列T6T9T12T3，T6，T9 是等比数列，且其公比的值是．5129.若等差数列{a n}的公差为d，前nS n{ }项的和为，则数列为等差数列，d. {b}公差为2 类似地，若各项均为正数的等比数列n的公比为q，前n 项的积为T n，则数列{nT n}为等比数列，公比为．10. 设等差数列{a n}的前n 项和为S n m，n(m < n)，使得S m= S n，则S m + n= 0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n 项积为T n，若存在正整数m，n(m < n)，使得T m= T n，则T m + n=．10. 1答案和解析【解析】{a} S= n(a1 + a n)1. 解：在等差数列n的前n 项和为n 2 ，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n 项积T n= (b1b n)n，故选：A由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．n + 1n + 12. 解：在等差数列{a n }中，我们有a n = a m + (n ‒ m )d ，类比等差数列，等比数列中也是如此，b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．故答案为b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．因为等差数列{a n }中，a n = a m + (n ‒ m )d (m ，n ∈ N + )，即等差数列中任意给出第 m项a m ，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第 m 项 b m 和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．3. 解： ∵ 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字 倍的和，除以下标的和，∴ 根据新的等比数列构造新的等比数列， c c 2c 3…c n乘积变化为乘方 1 2 3 n ，1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n原来的除法变为开方 1 2 3 n1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n故答案为： 1 2 3 n根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和， 除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方， 写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．4. 解：把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，∴ 在等比数列{b n }中有结论b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ).故答案为：b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ). 利用“类比推理”，把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5. 解：在等差数列中S 3n= S n + (S 2n ‒ S n ) + (S 3n ‒ S 2n ) = (a 1 + a 2 + … + a n ) ++ (S 2n ‒ S n ) + (a 2n + 1 + a 2n + … + a 3n )因为a 1 + a 3n = a 2 + a 3n ‒ 1 = … = a n + a 2n + 1 = a n + 1 + a 2n 所以S n + (S 3n ‒ S 2n ) = 2(S 2n ‒ S n )，所以S 3n = 3(S 2n ‒ S n ). 故答案为：S 3n = 3(S 2n ‒ S n ).本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．6. 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30． 故答案为：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．在等差数列中，等差数列的性质m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q ，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m + n = p + q ，则b m b n = b p b q ．本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．7. 解：在等比数列中，若a 9 = 1，则a 18 ‒ n ⋅⋅⋅ a 9 ⋅⋅⋅ a n = 1即a 1 ⋅ a 2…a n = a 1 ⋅ a 2…a 17 ‒ n (n < 17，且n ∈ N ∗)成立，利用的是等比性质，若 m + n = 18，则a 18 ‒ n ⋅ a n = a 9 ⋅ a 9 = 1，∴ 在等差数列{b n }中，若b 7 = 0，利用等差数列的性质可知，若m + n = 14，b 14 ‒ n + b n = b 7 + b 7 = 0，∴ b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗ )故答案为：b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗).据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．T 6 T 9 T 12 T 3，T ， T 929 = 5128. 解：由题意，类比可得数列6是等比数列，且其公比的值是 ，故答案为 512．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．{a } SS n= a + (n ‒ 1) ⋅ d 9. 解：因为在等差数列 n 中前 n 项的和为 n 的通项，且写成了n1 2． 所以在等比数列{b n }中应研究前 n 项的积为T n 的开 n 方的形式．类比可得nT n = b 1( q )n ‒ 1.其公比为 故答案为 q ．S nS nd{ n } n= a 1 + (n ‒ 1) ⋅ 2仔细分析数列 为等差数列，且通项为 的特点，类比可写出对应数 列{nT n }为等比数列的公比．本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．10. 解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数 m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则T m + n = 1．故答案为 1．在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存q在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”.类比推理可得：“已知正项数列 {b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则 T m + n = 1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．。
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
数列等差数列与等比数列练习题
数列等差数列与等比数列练习题数列是数学中基础而重要的概念之一，同时也是数学的应用领域中常见的数学模型之一。
其中，等差数列和等比数列是数列中最基础的两种常见类型。
本文将为大家提供一些关于等差数列和等比数列的练习题，以巩固和提高大家对数列的理解和运用能力。
【练习题一】1. 若等差数列的首项是3，公差是4，求第n项的表达式。
解析：由题意，首项是3，公差是4。
所以等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入已知条件，可得an = 3 + (n-1)4。
2. 若等差数列的第7项是18，公差是2，求首项和第n项的和。
解析：由题意，第7项是18，公差是2。
所以等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入已知条件，可得18 = a1 + (7-1)2。
解方程得a1 = 5。
首项和第n项的和可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
代入已知条件，得Sn = (n/2) * (5 + 5 + (n-1)*2)。
【练习题二】1. 若等比数列的首项是2，公比是3，求第n项的表达式。
解析：由题意，首项是2，公比是3。
所以等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
代入已知条件，可得an = 2 * 3^(n-1)。
2. 若等比数列的第4项是16，公比是2，求首项和第n项的和。
解析：由题意，第4项是16，公比是2。
所以等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
代入已知条件，可得16 = a1 * 2^(4-1)。
解方程得a1 = 2。
首项和第n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
代入已知条件，得Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。
等差数列高考真题及答案
等差数列真题一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.答案：C2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12解析：在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 答案：C3．(20XX 年高考上海卷)设{}a n 是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{}A n 为等比数列的充要条件是( )A.{}a n 是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．答案：D4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.答案： D5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2， ∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16[1－(12)5]1－12＝31. 答案：C 二、填空题6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16) ＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1. 答案：4n －17．(20XX 年高考湖南卷)设S n 是等差数列{}a n (n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得 3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝25.答案：258．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0，得 ⎝⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d·⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＋15＝0. 整理可得2a 21＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0.∵a 1，d 为实数，∴Δ＝(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2. 答案：d ≤－22或d ≥2 29．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝a 1(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝1－q 4q 3(1－q )＝1－124123×12＝15.答案：15 三、解答题10．(20XX 年高考福建卷)已知等比数列{}a n 的公比q ＝3，前3项和S 3＝133. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解析：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3； 因为当x ＝π6时f (x )取得最大值， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1. 又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.11．(20XX 年高考课标全国卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解析：(1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n －n 2＋3n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)数列{a n ＋λn 2＋μn }是公比为2的等比数列，求λ，μ的值；(3)在(2)的条件和结论下，设b n ＝1a n ＋n －2n －1，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，证明：S n ＜53.解析：(1)由题意得a 2＝2a 1－12＋3＝2－1＋3＝4，a 3＝2a 2－22＋6＝8－4＋6＝10.(2)∵数列{a n ＋λn 2＋μn }是公比为2的等比数列，即a n ＋1＋λ(n ＋1)2＋μ(n ＋1)＝2(a n ＋λn 2＋μn )，而a n ＋1＝2a n －n 2＋3n ，代入得2a n －n 2＋3n ＋λ(n ＋1)2＋μ(n ＋1)＝2(a n ＋λn 2＋μn )，即λn 2＋(μ－2λ)n －λ－μ＝－n 2＋3n ， 故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ－2λ＝3－λ－μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝1.(3)证明：由(2)得a n －n 2＋n ＝(a 1－12＋1)·2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1＋n 2－n ，故b n ＝1a n ＋n －2n －1＝1n 2.∵b n ＝1n 2＝44n 2＜44n 2－1＝22n －1－22n ＋1， ∴n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＜1＋(23－25)＋(25－27)＋…＋(22n －1－22n ＋1)＝1＋23－22n ＋1＜53. 又b 1＝1＜53，∴S n ＜53(n ∈N *)．。
数列--历届高考真题解析版
数列--历届高考真题一、解答题1．（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式； (Ⅱ)首先求得n S 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.3．（2019·天津高考真题（文）） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21,,,n n n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求()*112222n na c a c a c n N +++∈L .【答案】（I ）3n a n =，3nn b =；（II ）22(21)369()2n n n n N +*-++∈【解析】 【分析】（I ）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得33d q =⎧⎨=⎩，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II ）根据题中所给的n c 所满足的条件，将112222n n a c a c a c +++L 表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【详解】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩， 故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=，所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =；（II ）112222n n a c a c a c +++L135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L123(1)[36](6312318363)2n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L 21236(13233)n n n =+⨯⨯+⨯++⨯L ，记 1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ① 则 231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ②②-①得，231233333n n n T n +=-----+⨯L 113(13)(21)333132n n n n n ++--+=-+⨯=-， 所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L22(21)369()2n n n n N +*-++=∈.【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 4．（2019·全国高考真题（理））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+。
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11， 所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16， 当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。
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1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( )A.1－2103B ．－1－2103C ．210－1D ．1－2103．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3＋a 2)，则9a 1a 2a 3…a 9等于( )A ．－9B ．9C ．－81D ．814．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．125．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( )A ．15B ．－15C ．30D ．25二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里．8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________．三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜163.B 级 能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D.9212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．1．解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .答案：A2．解析：由题意得，a n ＋1＋2a n ＝0，则a n ＋1a n＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a 2＝2，所以a 1＝－1，所以{a n }前10项的和等于S 10＝a 1（1－q 10）1－q＝－1－2103.答案：B3．解析：根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2＝q 2＝3，则9a 1a 2a 3…a 9＝ 9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9. 答案：B4．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案：B5．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 3＝3a 2＝9，得a 2＝3.又a 2－1，a 3－1，a 5－1成等比数列，所以(a 3－1)2＝(a 2－1)(a 5－1)，则(2＋d )2＝2(2＋3d )， 所以d ＝2，则a 3＝a 2＋d ＝5，故S 5＝5a 3＝25. 答案：D 二、填空题6．解析：因为a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 所以a 1＝－4，d ＝1， 所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正，所以S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －107．解析：由题意，每天走的路程构成公比为12的等比数列．设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，所以a 1＝192.因此a 4＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案：248．解析：由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 所以{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050.答案：5 050 三、解答题9．解：(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n （n －9）d 2.由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0， 解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}． 10．(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，a 3＝（a 2＋1）－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.所以a n ＝a 1qn －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝14，所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14为公比的等比数列．所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163. B 级 能力提升11．解析：依题意a 23＝a 1a 13，即(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.因此a n ＝2n －1，S n ＝n 2.则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4.答案：A12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 由a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，a ·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2， 因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n6n ＋9(n ∈N *)． (2)因为2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3， 所以T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b nb n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。