四面体外接球的球心、半径求法(经典)
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法
正四面体外接球和内切球的半径的九种求法【作者简介】张秀洲（1987.06），江苏滨海人，毕业于湖南师范大学，中学数学一级教师，省先进工作者，州、县优秀班主任，州先进个人，县优秀教师，县优秀教育工作者，县教师培训师团队成员，县“国培计划”(A307)指导教师，吉首大学“国培计划”(B101)指导老师。
2016年被花垣县人民政府授予“高考优秀教师”荣誉称号，2013年、2019年被花垣县人民政府记“三等功”。
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。
如果一个球与多面体的各面都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。
有关多面体外接球与内切球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
本文重点研究正四面体外接球和内切球的半径的求法：正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合．分析：如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等．又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中，有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上；同理：球心O也在其它面的高线上．图1又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD，得：点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心．这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．已知正四面体ABCD棱长为a，设外接球半径为R，内切球半径为r，球心为O ，则正四面体的高h即34R h =即14r h =．外接球半径是内切球半径的3倍．下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）如图2，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以O 1D． 因为OO 1⊥平面BCD ，O 1D ⊂平面BCD ， 所以OO 1⊥O 1D .所以，在Rt △OO 1D 中，由勾股定理，得22211OD OO O D =+，即222R R ⎫⎫=-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得R =，所以r R =-．． 知识联系：正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合，半径之比为1：2；正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合，半径之比1：3．方法二：（三角正切倍角公式）如图3，因为在正四面体ABCD 中，△BCD 是正三角形，O 1是其中心，所以OO 1⊥平面BCD ，O 1D，高1h AO =． 1,,2.OA OD ADO DAO DOO θθ=∴∠=∠=∠= 在1Rt ADO ∆中，11tan DO AO θ===2222tan 2tan 21tan 1θθθ∴===--⎝⎭在1Rt ODO ∆中，113tan 2DO OO r θ====r ∴=，R h r =-==． 图2图3． 方法三：（平行线法）如图4，连接DO 并延长交平面ABC 于点G ，则G 为△ABC 的中心.连结DO 1并延长交BC 于中点E ，则A ，G ，E 三点共线，113EO EGED EA==； 再连接1GO ，则1GO ∥AD ，从而有1113O O O G EG AO AD EA ===，所以134AO AO =，1114OO AO ==．． 方法四：（分割体积法）如图5，记正四面体ABCD 的体积为V ，每个面的面积为S ，高为h ，内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，则O ABC O BCD O ACD O ABD V V V V V ----=+++，所以11433Sh Sr =⋅，从而13,.44r h R h ====． 【方法拓展延伸】1.多面体的体积为V ,表面积为S ,利用体积分割法,可得其内切球的半径为3Vr S=； 2.高为h ,各面面积均为S 的棱锥内的任意一点到各面的距离之和为定值h .方法五：（补形法）以正四面体的各棱为正方体的面对角线，将其补形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球，所以正四面体的外接球也是正方体的外接球.设正方体的棱长为x，则2R =且a ,所以R =，从而13r R =．． 【方法拓展延伸】1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其外接球也是以这三条侧棱为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,若设其三条侧棱长分别为,,,a b c 则易得外接球的半径为R =． 2.若点P 到两两垂直的三个面的距离分别为,,,a b c 点O 为它们的公共点,则图4图5图6PO =22212a b c ++． 3.若点P 到两两垂直且共点于O 的三条直线m ,n ,l 的距离分别为x ,y ,z ,则PO =2222()2x y z ++．方法六：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD ∆于1O ，则1O 为BCD ∆的外心，求得1163,,33AO a DO a == 由相交弦定理得2663(2).333a R a a ⎛⎫⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭解得64R a =． 666633412r a R a a a ∴=-=-= 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法七：（坐标法）如图6, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则6333(0,0,),(0,,0),(,,0),(,,0)332626a a A a B a C a D a -- 设球心O 的坐标为(,,)x y z ，则由OA OB OC OD R ====，得2222OA OB OC OD ===，即22222222222263()()333()()263()()26x y z a x y a z ax y a z ax y a z ++-=+++=-+-+=++-+解得60,.12x y z a ===所以66,.124r z a R a ∴=== 故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为64a 和612a ． 方法八：（相似法）（侧棱、高相似）如图7, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设M 是AB 的中点，连结OM ，OB ，BO 1，AO BO OM AB =∴⊥190AMO AO B ∴∠=∠=，又1MAO O AB ∠=∠，AMO ∴∆∽1AO B ∆， 1AM AO AO AB ∴=，即2,63aRa a = 6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-=方法九：（相似法）（斜高、高相似）如图8, 作111 , AO BCD O O BCD 平面于点则点是的中心，⊥∆高163h AO a ==，设O 为球心，则1.O AO ∈设E 为BC 中点，连结AE ,EO 1，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC ∆中心，N 是AE 的三等分点， ON ABC ON r 平面，是内切圆半径,⊥且Rt ANO ∆∽1Rt AEO ∆1AN AO AO AE ∴=， 即336332aR a a =，6666,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
正四面体外接球内切球半径
解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。
正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。
这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。
我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。
正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。
现在我们来证明r=R。
步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。
步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。
步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。
步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。
AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。
cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。
因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。
cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。
BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。
正四面体外接球公式
正四面体外接球公式
正四面体外接球，也叫正四面体旋转体，是一种数学上的几何体，是由单一晶体构成的固体物质，也是数学上的重要几何体之一。
正四面体外接球的公式成为正四面体外接球公式，它是一种用来确定正四面体外接球的体积和表面积的公式。
正四面体外接球公式中的前提条件是正四面体是一种球体，它由六个正四面体面构成，六个面相互接触，相互垂直。
正四面体外接球的公式计算非常简单，可以用来计算正四面体的表面积和体积。
正四面体外接球公式的具体形式如下：V=√2r3/3，其中V表示正四面体外接球的体积，r表示正四面体外接球的半径。
在计算正四面体外接球体积时，我们只需要计算出外接球半径，然后代入公式中就可以计算出外接球的体积。
正四面体外接球半径可以通过一个简单的公式来计算：r=a√3/6，其中a表示正四面体每个面的边长。
正四面体外接球公式不仅可以用来计算外接球的体积，而且还可以用来计算外接球的表面积，表面积的公式如下：S=4πr2，其中S 表示外接球的表面积，r表示外接球的半径。
要计算出表面积，只需要把外接球半径代入公式中就可以得出外接球的表面积。
在数学和计算机科学中，正四面体外接球的应用非常广泛，它可以用在很多不同的领域中。
比如在计算机中，正四面体外接球可以用来表示物体的大小，控制物体的移动，同时用来判断两个物体是否在特定距离内。
此外，正四面体外接球的体积和表面积公式在几何学和
微积分中也有着广泛的应用。
正四面体外接球公式是一种非常有用的工具，可以根据不同的计算要求来高效率地计算出正四面体外接球的体积和表面积。
同时，它也有着广泛的应用，可以用在计算机科学，几何学和数学上的不同领域中。
四面体外接球半径公式
四面体外接球半径公式在几何学中，外接球是一种可以用来描述形状的几何体。
它指的是一个由尽可能少的三角形构成的球形物体，在外部形状上等价于被描述的几何体。
其中一种常见的外接球是四面体外接球，它是由一个四面体组成的一种外接球，它是一个由四个三角形构成的球形物体，可以在外部形状上等价于被描述的四面体。
显而易见，在求出外接球半径时，求四面体外接球半径就显得尤为重要。
那么，求四面体外接球半径的方法有哪些呢？下面将介绍求四边形外接球半径的常用公式。
首先，克朗普特公式（Cromptons Formula）是一个求四边形外接球半径的古老、广泛使用的公式，它的公式如下：R=a/4sin3(π/4n)，其中，R是四面体外接球的半径，a是给定的每个三角形的边长，n是给定的三角形的个数。
其次，沙尔克公式（Schlfli Formula）是一个求四边形外接球半径的最新公式，它的公式如下：R=a/4sin(π/n)，其中，R是四面体外接球的半径，a是给定的每个三角形的边长，n是给定的三角形的个数。
此外，拉格朗日公式（Lagrange Formula）是一个求四面体外接球半径的有效公式，它的公式如下：R=a/4sin(π/2n)，其中，R 是四面体外接球的半径，a是给定的每个三角形的边长，n是给定的三角形的个数。
最后，贝尔法公式（Belle Formula）是一个求四面体外接球半径的常用公式，它的公式如下：R=a/2sin(π/n)，其中，R是四面体外接球的半径，a是给定的每个三角形的边长，n是给定的三角形的个数。
以上就是求四面体外接球半径的常用方法和公式。
简而言之，求四面体外接球半径就是求以每个三角形边长a、给定的三角形个数n为参数的三角形外接球的半径R。
上述的四种公式都能够有效地计算出四面体外接球的半径，但其中贝尔法公式更为可靠和可行，因为它比克朗普特公式、沙尔克公式和拉格朗日公式更为通用。
四边形外接球半径的求解是一个非常重要的几何知识，在几何学的应用中，四面体外接球半径的应用也是非常广泛的，它在三角测量、航空航天科学和体育运动中都有重要的应用。
正四面体的外接球半径的求法
正四面体的外接球半径的求法
正四面体是一种比较灵活的多面体，而球又是高中教材中唯一保
留下来的旋转体,此两种几何的组合无疑有着特殊的意义。
现把求四
面体外接球的半径的几种方法总结如下,本人认为很有代表意义，希
望它对高三备考的师生能有启发作用。
如右图:已知正四面体A BCD -,H 为底面的中心，O 为外接球的球
心,设棱长为a,外接球半径为Ｒ,内切球半径为ｒ,试求R ．
方法一：易知R+r=ＡＨ=63a ,由等积法得： A BCD O ABC O BCD O CDA O DAB V V V V V -----=+++
所以：
11433BCD BCD AH S r S ∆∆⋅=⋅⋅ 故14r AH =,34
R AH = 所以 64
R a =.
方法二:如图AHM BNM ∆≅∆所
HM ON AM OA =，即13r R
=,又由Ｒ6可得 64R a =.
方法三:
如图设延长ＡＨ交球面上一点K,则AK=2R,在直角三角形AB Ｋ中由
射影定理得2AB AH AK =⋅ 即2623a a R =⋅ 故得64
R a =. 方法四：如图正四面体可补成一个边长为
22a 的正方体，显然正方体的外接球即为正四面体的外接球,而23()22a R =故可得64
R a =.
小结:此四种方法立体交叉，思想性、艺术性各有千秋,对培养学生的
空间想象能力以及综合解题能很有帮助。
多面体外接球半径常见的5种求法(推荐文档)
多面体外接球半径常见的5种求法文/郭军平如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. CD A B S O 1图3A O D B 图4。
正四面体外接球和内切球的半径的求法
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正四面体外接球和内切球的半径的求法
作者：李凤华
来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第01期
题已知正四面体ABCD的棱长为a，求其外接球的半径R和内切球的半径r.
分析如图1，因为正四面体ABCD的外接球的球心O到点B，C，D的距离相等，所以O 在平面BCD内的射影O1到点B，C，D的距离也相等. 又因为在正四面体ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，进而在正四面体ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高线AO1上;同理:球心O也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体ABCD的内切球的球心. 这样，正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合. 记正四面体ABCD的高为h，则 . 因此，只要求出r和R中的一个，便可求出另一个.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
”。
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四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
第一节 原理部分一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，，ACCy设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
五、四个面都为直角三角形的四面体。
如图：四面体S —ABC ，其中AB ⊥AC 、SC ⊥面ABC ， AB ＝a AC ＝b SC ＝c ，求其外接球的直径。
分析：可把S —ABC 拼补成以AB 、AC 、SC 为棱的长方体.四面体S —ABC 的外接球就是补成的长方体的外接球。
则四面体S —ABC 的外接球的直径2R ＝BS四面体S —ABC 的内切球的半径也可由等体积法求得。
六、等腰四面体（三组对棱分别相等的四面体）如图：四面体ABCD ，其中AB ＝CD ＝a AC ＝BD ＝b AD ＝BC ＝c ，求其外接球的直径。
分析：可把四面体ABCD 拼补成长方体，其中四面体每组对棱为长方体一组对面上的两条异面的对角线。
四面体ABCD 的外接球就是补成的长方体的外接球。
可设长方体的三条棱长为x 、y 、z ，则：222222222,,c z y b z x a y x =+=+=+，则外接球的直径2R ＝22222222222222222c b a b c a a c b c b a ++=-++-++-+.附：角四面体的性质的证明有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；DCBABDCAABCDOH③体积 V=16a b c ； ④底面面积S △ABC =22222212a b b c c a ++；⑤S 2△BOC=S △BHC ·S △ABC ；⑥S 2△BOC+S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC⑦22221111OH a b c=++; ⑧外接球半径 R= 22212a b c ++；⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABCS S S S a b c∆∆∆∆++-++由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。
所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。
如图，四面体OABC 在点O 处的三个面角都是直角。
所以四面体OABC 是直角四面体。
直角四面体的性质：① 直角四面体的对棱互相垂直.证明：如图OB ⊥ OC ，OB ⊥ OA 。
OB ⊥ 平面OAC ， 又，同理可得:直角四面体的对棱互相垂直.②二面角A-OB-C、二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角.证明：由（1）得OB ⊥平面OAC，∠AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角A-OB-C是直二面角。
同理可得:OC ⊥平面OAB，二面角A-OC-B是直二面角，OD ⊥平面OBC，二面角B-OA-C是直二面角。
③直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.证明：连结，并延长交于，连结由三垂线定理的逆定理得同理，④S2△BOC=S△BHC·S△ABC证明：⑤.证明：即同理，在⑥不含直角的底面ABC是锐角三角形.证明：设OA = a，OB = b，OC = c，则，，，在中，由余弦定理得，所以∠BAC是锐角.同理可得∠ABC、∠ACB是锐角，所以△ABC是锐角三角形.⑦S2△BOC+S2△△AOB+S2△AOC=S2△ABC（底面面积S△ABC=）证明：由（6）得：⑧体积V=.证明：⑨外接球半径R= .如图所示，以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体OBEC-AFGH，则四面体OABC的外接球也是长方体OBEC-AFGH的外接球.设四面体OABC的外接球半径是R，则.⑩内切球半径r=设△OAB的面积是S1，△OAC的面积是S2，△OBC的面积是S3，△ABC的面积是S4，则，，，由⑦得: .由等体积原理得:所以,内切球半径r=第二部分高考真题一、直接法1、求正方体的外接球的有关问题例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是.故该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好14π.例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.二、构造法1、构造正方体例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9π.(如图1)例 6 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. D. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE ==1，体对，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A.B.C.D. 解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，0DAB=CBE=DEA=60∠∠∠，所以AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例图1图26就完全相同了，故选C.例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA ABC⊥平面，AB BC⊥，O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC⊥平面，AB BC⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于92π.（如图4）CD CE图3图42、构造长方体例9（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在Rt ABC ∆中，求出=4BC ，所以0C=60BO ∠，故B 、C 两点间的球面距离是43π.（如图5）C图5。