医药数理统计方法7-1方差分析的基本原理
方差分析(ANOVA)简介
方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。
ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。
二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。
2. 观测值是正态分布的。
3. 各组的方差是相等的。
三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。
2. 收集数据并进行数据清洗。
3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。
4. 计算均方和。
5. 计算F值。
6. 进行显著性检验。
四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。
2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。
五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。
它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。
六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。
2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。
3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。
方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。
2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。
七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。
具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。
2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。
3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。
4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。
5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。
6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。
方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。
它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。
方差分析的原理
方差分析的原理方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上组的均值是否相等。
它是一种用于检验组间差异是否显著的方法，通常用于实验设计和数据分析中。
方差分析的原理基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
方差分析的原理可以通过以下步骤来解释，首先，假设我们有多个组，每个组都有一定的样本量和均值。
我们想要知道这些组的均值是否有显著差异。
方差分析的原理就是通过计算组间变异和组内变异来判断这一点。
具体来说，方差分析的原理包括以下几个步骤：1. 计算组内变异，首先，我们计算每个组内观察值与该组均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组内观察值与该组均值之间的差异程度。
2. 计算组间变异，然后，我们计算每个组均值与总体均值的偏差平方和。
这个偏差平方和反映了每个组均值与总体均值之间的差异程度。
3. 比较组间变异和组内变异，接下来，我们比较组间变异和组内变异的大小。
如果组间变异显著大于组内变异，说明组间均值存在显著差异；反之，如果组间变异远小于组内变异，说明组间均值之间没有显著差异。
4. 判断显著性，最后，我们通过F检验或t检验来判断组间均值是否有显著差异。
如果F值或t值大于一定的临界值，我们就可以拒绝原假设，认为组间均值存在显著差异；反之，如果F值或t值小于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为组间均值之间没有显著差异。
方差分析的原理是基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。
它是一种常用的统计方法，可以帮助研究者判断不同组之间的差异是否显著，对于实验设计和数据分析具有重要意义。
通过深入理解方差分析的原理，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地进行数据分析和实验设计。
方差分析基本原理与步骤
知识回顾…
知识回顾…
自变量：由实验者操纵的，对被试的反应产生 影响的变量，又称因素。
水平：自变量的每个特定的值。 实验处理：指实验中一个特定的、独特的实验
条件。 在单因素实验设计中，自变量的每一个水平相 当于一个实验处理。 在多因素实验设计中，实验处理是各自变量不 同水平的组合。 因变量：由操纵自变量而引起的被试的某种特 定反应。
若F＞1且落入F分布的临界区域，表明数据的 总变异基本上由不同的实验处理造成，或者说 不同的实验处理的效果之间存在显著差异。
所以，方差分析又称作变异分析（analysis of variance, ANOVA），是对数据样本变异量的 分析。其主要功能在于分析实验数据中不用来 源的变异对总变异的贡献大小，从而确定实验 中的自变量是否对因变量有重要影响。
MS B
SSB dfB
9-6
MSW
SSW dfW
9-7
MSB表示组间均方，或称组间方差；dfB为组间自由度。 MSW表示组内均方或称组内方差；dfW为组内自由度。
自由度是任何变量中可以自由变化的数目。
组间自由度：dfB k 1（即组数减1）
组内自由度：dfW=K(n-1）
总自由度： dfT nk 1
10性检验提出假设提出假设求平方和总平方和组间平方和组内平方和求平方和总平方和组间平方和组内平方和计算自由度总自由度组间自由度组内自由计算自由度总自由度组间自由度组内自由度度计算均方计算均方组间均方组内均方组间均方组内均方计算计算ff值值查查ff值表进行值表进行ff检验并做出决断检验并做出决断陈列方差分析表陈列方差分析表方差齐性检验方差齐性检验提出假设提出假设计算计算f值值平方和自由度均方平方和自由度均方f查表并作出决断查表并作出决断陈列方差分析表陈列方差分析表nxnx222tbxxss2ttxxssnxx222xxsswnxx
方差分析的基本原理及分析过程
12 17
6
8
8
12
11
15
10
M
11
15
10
各组方差呈齐性
MSA2=4 MSB2=15.6 MSC2=4.8 Fmax=15.6/4=3.9
k=3 df=5-1=4 Fmax(.05)=15.5
Fmax ＜Fmax(.05)
四 方差分析的基பைடு நூலகம்条件
4.1 方差分析的基本假设 4.1.3 独立性
被试随机分配；
只被观测一次
实验中一个被试的观测值应该独立于其他被试的观测值。
当每个被试在一种实验条件下被观测多次时， 应将每个被试在同一实验条件下的观测值之 均值作为计算值
敬请各位同学批评指正
三 方差分析的步骤
步骤二：
计算各因素引起变异量对应的自由度
自由度是什么？ 如何计算？
数据发生变异的次数
三 方差分析的步骤
步骤二：
计算各因素引起变异量对应的自由度
A
B
C
10
15
10
14
20
12
12
17
6
8
8
12
11
15
10
dfb=3-1=2 dfw=3×(5-1)=12 dft=5×3-1=14
dft = dfb﹢dfw
多个处理组的平方和之和，代表不同处理组数据之间的变异大小。计算方式：各组平 均数与总平均数之差的平方和，再乘以各组被试数。
SSb = n. ∑（ ¯X j ﹣ ¯x t）2
• 组内平方和
多个组内部各自平方和之和，代表不同组内部变异的大小。计算方式：各组数据与该 组平均数之差的平方之和。
SSw = ∑∑（ X ij ﹣ ¯x j）2
方差分析
6
7
8
9 1 0 1 1 1 2 13 14 15
被试编号
图1 数据变异示意图
方差分析概述
二、方差分析的基本原 理
Xij Xt Xij Xj Xj Xt
n
1
把第j组的n个数据的平方和相加
X ij X t
j 1
SS W
SS w
( X ij X j ) 2
j 1 i 1
k k
k
n
(X
i 1
n
ij
X j )2 n * s j 2
2
n * s2 j n * s2 j
j 1 j 1
s2
(X X )
N
5 * (1 .99 1 .04 1 .20 1 .76 ) 30
H 1 : U 1 U 2; U 2 U 3; U 1 U 3;
1、耗时耗力
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
比较数量
实验误差
P 1
1 a
N
N=所做的比较的数量
图1 当a=0.05时，比较数量与实验误差的关系
2 2
N
15Biblioteka ( X ) 2 n
1600 625 400 5
525
一、各处理组样本容量相同
(1)求平方和
SS t
X
2
( X ) 2 N
555 481 .67 73 .33
方差分析的基本原理
第一节 方差分析的基本原理
例5.2： p 2 3
4
LSR0.05
4.65
LSR0.01
6.52
Xi
30.9
4.88 6.79 5%
27.9
25.8
24.1
5.03 7.06 1%
第一节 方差分析的基本原理
例5.3： p
2
LSR0.05 0.304 LSR0.01 0.412
第五章
方差分析
第一节 方差分析的基本原理
观
察
处理间变异：处理不同引起
值
不
同
的
误差变异：试验过程中偶然
原
因
因素的干扰所致。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理
1. 将测量数据的总变异按照变异原因的不同分解为处理间变异和 误差变异，即：总变异 = 处理间变异 + 误差变异
处理间变异 误差变异
LSR0.01 15.35 16.06 16.45 16.80 17.04 17.23
Xi
5%
1%
49
46
45.25
36.5
34.5
27
18
第二节 两向分组资料的方差分析
例5.5：用6种植物生长物质处理豌豆，共24箱，每箱种植4株。待豌豆种子 发芽后，分成4组，每组6个木箱，分别放置在4种不同的温度条件下，记 录各箱见第一朵花时4株豌豆的总节间数，其结果如下，试做方差分析。
Ti2 C
dft k1
SSeSSTSSt defk(n1)
st 2
SS t df t
se2
SS e df e
SST x2C dTf nk1
方差分析的基本原理
观察值
23 21
13
总和Ti. 76
平均 x i . 19
xi. x -2
B(x2) 21 24 27 20 92
23
2
C(x3) 20 18 19 15 72
18
-3
D(x4) 22 25 27 22
96 T 336
24 x 21
3
4种药品处理水稻苗得，的测苗高 (cm)
药剂 A(x1) B(x2) C(x3) D(x4)
在这个模型中xij表示为总平均数μ、处理效应 i、
试验误差εij之和。
由εij 相 互独立且服从正态分布 N（0，σ2 ）， 可知各处理i(i=1，2，…，k)所属总体亦应具 正态性，即服从正态分布N(μi , σ2 )。尽管各总 体的均数 μi 可以不等或相等， σ2则必须是相 等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：
• 2、试验因素(experimental factor) 试验中所研究 的影响试验指标的因素叫试验因素。如研究如何提高 猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、饲养方式、 环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为试验因素 来考虑。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因 素试验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验因素
i 1j 1
i 1
i 1j 1
于是有
SST =SSt+SSe
（7-8）
这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：
kn
S S SS T
x
2 ij
C
i 1 j 1
S SS t
1 n
k
T
2 i.
i 1
C
SSe SSTSSt
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j1 i1
组间离差平方和(sum of squares of deviations between groups)
k nj
SSA
(x j x)2
j1 i1
数理统计
07-01-21
SST = SSE + SSA 总离差平方和 = 组内离差平方和
+ 组间离差平方和
数理统计
方差分析表
07-01-22
数理统计
07-01-10
例（无重复双因素交叉分组试验） 为了考察蒸馏水的pH值和硫酸
铜溶液浓度对血清中白蛋白和球蛋 白化验结果的影响，蒸馏水的pH取 四个水平，硫酸铜溶液浓度取三个 水平。在不同的水平组合下各做一 次试验，共进行12次试验，考察两 个因素单独对指标的影响。
数理统计
07-01-11
5.0 4.5 2.6 1.3 2.1 2.5 1.2 2.1
数理统计
07-01-09
双因素试验(two factor experiment) 考虑分别具有 r 个水平和 s 个水平
的两个因素单独或联合对某试验指标的 影响，两个因素的每一个交叉水平组合 下的试验指标构成一个总体，共有 rs 个总体，对每个总体随机安排的试验， 称为双因素试验。针对双因素试验进行 的方差分析，称作双因素方差分析(two way analysis of variance)。
离差 来源
离差 平方和
自由度
均方
F值 P值 显著性
组间 SSA
组内 SSE 总和 SST
k1
MSA= SSA/ k1
F=
nk
MSE= MSA/MSE SSE/ nk
n1
F(k1,nk)
数理统计
07-01-23
例 进行某化学反应时，为了解催 化剂对收率是否有影响，分别用5种 不同的催化剂独立地在相同条件下 进行试验，每种催化剂试验4次，得 收率如下表，试判断催化剂对收率 是否有影响。
07-01-04
数理统计
07-01-05
因素(factor) 试验的结果称为试验指标，试
验中变化的条件称为因素，因素在 试验中所取的每一个状态称为因素 的一个水平(level)。
数理统计
07-01-06
单因素试验(one factor experiment) 在试验中，如果只考虑一个因素对
某试验指标的影响，选择这个因素的 r 个水平对试验指标进行考察，每一个水 平下的试验指标构成一个总体，共 r 个 总体，对每个总体随机安排的试验，称 为单因素试验。针对单因素试验进行的 方差分析，称作单因素方差分析(oneway analysis of variance4 0.84 0.95 0.90 0.84 0.85 0.82 0.94
0.8900 0.8375 0.8800 0.8075 0.9450
数理统计
07-01-18
总离差平方和(sum of squares of
deviations)
k nj
SST
(xij x)2
数理统计
07-01-14
缝合 方式
A1
A2
缝合后时间
B1
B2
10,10,40, 30,30,70,
50,10 60,30
10,20,30, 50,50,70, 50,30 60,30
数理统计
07-01-15
方差分析的前提条件就是各个 总体为互相独立的正态分布，而且 具有相同的方差。
方差分析即为根据各个总体的 样本观测值，检验各个总体均数间 和两两总体均数间是否存在显著性 差异。
j1 i1
数理统计
07-01-19
总离差平方和由两部分组成：
（1）由随机因素（误差）引起的组 内离差
（2）由因素作用（即处理水平不同） 引起的组间离差
数理统计
07-01-20
组内离差平方和(sum of squares of deviations within groups)
k nj
SSE
(xij x j)2
数理统计
07-01-08
适量生理 盐水(A1)
剂量1(A2)
剂量2(A3)
剂量3(A4)
3.6 4.5 3.0 2.3 0.4 1.7 3.3 1.2
4.2 4.4 2.4 1.1 2.3 4.5 0.0 2.7
3.7 5.6 4.0 3.7 3.6 1.3 3.0 3.2
7.0 4.1 2.7 1.9 3.2 3.0 0.6 1.4
医药数理统计方法7-1方差分析的基 本原理
数理统计
07-01-02
方差分析(analysis of variance) 是在总体正态同方差的假设下，
对多总体间均数比较问题所作的一 种统计检验方法。
数理统计
07-01-03
第一节 方差分析 的基本原理
数理统计
一、因素、水平、析因试验 二、方差分析的基本原理
数理统计
07-01-16
例 进行某化学反应时，为了解催 化剂对收率是否有影响，分别用5种 不同的催化剂独立地在相同条件下 进行试验，每种催化剂试验4次，得 收率如下表，试判断催化剂对收率 是否有影响。
数理统计
07-01-17
催化剂 1
2
3
4
5
0.86 0.80 0.83 0.76 0.96 收 0.89 0.83 0.90 0.81 0.93
数理统计
07-01-07
例（单因素试验） 为研究中药三
棱莪木对肿瘤重量的影响，以便选
定最佳抑癌作用剂量。今先将一批
小白鼠致癌，然后随机分成四组 （每组10只）分别实施三种剂量的 药物注射及适量的生理盐水注射，
经过相同的实验期之后，测定四组
鼠的肿瘤重量，以判断药物的不同 剂量对肿瘤的抑制作用是否有差别。
数理统计
07-01-13
例（等重复双因素交叉分组试验） 为了考察医学手术中手术缝合方式
和手术缝合后时间对轴突通过率的影响， 缝合方式(A)取外膜缝合(A1)、束膜缝合 (A2)两个水平，缝合后时间(B)取1月(B1)、 2月(B2)两个水平。在不同的水平组合下 各做5次试验，共进行20次试验，考察两 个因素单独对指标的影响以及两个因素 联合对指标的影响。
蒸馏水 pH值
A1 A2 A3 A4
硫酸铜浓度 B1 B2 B3 3.5 2.3 2.0 2.6 2.0 1.9 2.0 1.5 1.2 1.4 0.8 0.3
数理统计
07-01-12
析因试验(factorial experiment) 按照因素的水平进行交叉分组
后随机安排的试验，叫做交叉分组 试验，又叫做析因试验。