沪科版数学八年级下册 19.2.2 平行四边形对角线的性质 同步练习题(WORD版无答案)
19.2.2 平行四边形对角线的性质
1、如图，在▱ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，则下列结论不一定成立的是( )
A．BO＝DO B．AD＝BC C．OA＝OC D．OB＝OC
2、如图，在▱ABCD 中(CD
第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
3、如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知 AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC 的周长
为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
4、如图，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB⊥AC.若 AB＝4，AC＝6，则 BD 的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
5、已知▱ABCD 的两条对角线相交于点 O，如果 AB＝8 cm，BC＝6 cm，△AOB 的周长是 18 cm，
那么△AOD 的周长是( )
A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．18 cm
6、如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F.若▱ABCD 的周长为 18，OE
＝1.5，则四边形 EFCD 的周长为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
7、若平行四边形的一边长为 6，一条对角线长为 4，则另一条对角线长 x 的取值范围为
________________．
8、已知▱ABCD 的对角线相交于点 O，若 S△AOB＝2 cm2，则 S▱ABCD＝________ cm2.
9、如图，在▱ABCD 中，AC＝6，BD＝8，AC⊥BD，则 AB 的长为________．
10、如图，在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝5，对角线 AC，BD 相交于点 O.过点 O 作 OE⊥AC，交 AD
于点 E，连接 CE，则△CDE 的周长为________．
11、如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF，与 AB，
CD 分别交于点 E，F.
求证：△AOE≌△COF.
12、如图所示，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，EF 过点 O 且分别与 BA，DC 的延长线交
于点 E，F.求证：AE＝CF.
13、如图，已知四边形 ABCD 和四边形 EBFD 都是平行四边形．求证：AE＝CF.
14、如图，在▱ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，AE⊥BD 于点 E，∠EAD＝60°，AE＝2 cm，AC＋BD＝
14 cm.求△BOC 的周长．
15、如图①，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且分别与 AD，BC 相交于点 E，F，
则 OE＝OF.
若将 EF 向两方延长，与▱ABCD 的两对边的延长线分别相交(如图②和图③)，则 OE 与 OF
还相等吗？若相等，请说明理由．
16、 如图①，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF，分别交 BC，AD 于
点 E，F.
(1)求证：OF＝OE；
(2)小明从图 19－2－30①找到了一种将平行四边形面积平分的方法．图②是一张纸片，其
形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，小明发现可以用一条直线将其分
割成面积相等的两部分，请你帮助小明设计三种不同的分割方案．
17、(1)如图①，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，直线 EF 过点 O，分别交 AD，BC 于点 E，
F.求证：AE＝CF；
(2)如图②，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落
在点 B
1 处．设 FB1 交 CD 于点 G，A1B1
分别交 CD，DE 于点 H，I.求证：EI＝FG.
① ②
2020--2021学年沪科版八年级数学下学期 19.2 平行四边形 同步练习
19.2 平行四边形一．选择题1．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形2．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两组对角分别相等的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形3．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC ＝6，则四边形ABCD的面积是（）A．4B．2C．8D．64．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5B．9C．10D．125．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE＝3，则四边形ABFE的周长是（）A．21B．24C．27D．186．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AB边上的高为c，BC边上的高为d，则下列式子成立的是（）A．a：c＝b：d B．a：b＝c：d C．ab＝cd D．ac＝bd7．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．15C．30D．608．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AD⊥BD，点E为AO的中点，若∠DAE＝30°，DE＝1，则▱ABCD的周长为（）A．B．2C．2+D．2+29．已知平行四边形两邻边长16，20，若两个长边间距离为8，则两条短边间距离（）A．4B．5C．10D．810．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB∥CD，AB＝CD D．AB＝AD，CB＝CD11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．AB＝AD，CD＝CBC．AO＝BO，DO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO12．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AC交CD于点E，连接AE，若▱ABCD的周长为28，则△ADE的周长为（）A．28B．24C．21D．14二．填空题13．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为．14．如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是．15．如图，点A、E、F、C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD．则当点E、F不重合时，BD与EF的关系是．16．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝．三．解答题17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．（1）求证：AD与BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．18．如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE．（1）如图1，求证：AF＝EF；（2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．A．4．B．5．A．6．D．7．C．8．D．9．C．10．C．11．D．12．D．二．填空题13．1．14．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．15．互相平分．16．126°．三．解答题17．（1）证明：如图，连接BD、AE，∵FB＝CE，∴BC＝EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分；（2）解：∵FB＝CE，∴BE＝2BF+FC，∴BF＝＝＝3，∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，∵AB⊥AC，∴由勾股定理得：AB＝＝＝4．18．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．又∵DC＝CE，∴AB＝CE．∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF．∴△ABF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∵AF＝CF，∴OF是△ACE的中位线，∴OF∥CE，CE＝2OF，∵AB＝CD＝CE，∴AB＝CD＝CE＝2OF，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形，∴AC∥BE，∵OF∥CE，∴四边形OGEC为平行四边形，∴OG＝CE＝2OF，故图中长度是OF二倍的线段有AB，CD，CE，OG．。
2022年最新沪科版八年级数学下册第19章 四边形同步练习练习题(含详解)
沪科版八年级数学下册第19章四边形同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转30，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（）米．A．80 B．100 C．120 D．1402、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F 是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7 B．152C．8 D．93、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E 到点B的距离为（）A B C D4、如图所示，四边形ABCD是矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝5，设AB＝x，AD＝y，则x2+（y﹣5）2的值为（）A．10 B．25 C．50 D．755、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（）A B C．4.5 D．4.36、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．9条B．8条C．7条D．6条7、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（）A．内角和比外角和大180°B．外角和比内角和大180°C．内角和比外角和大360°D．内角和与外角和相等8、如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A 落在点A'处，则∠A'EB的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．40°9、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A B．C．1cm D．2cm10、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（）A．22 B．24 C．48 D．44第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．2、在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为 _____．3、如图，圆柱形容器高为0.8m，底面周长为4.8m，在容器内壁离底部0.1m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A处，若容器壁厚忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的最短路程是______m．4、如图，△ABC中，AC=BC=3，AB=2，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB 上的动点，则PE+PF的最小值是_____．5、七边形内角和的度数是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC上截取CE，使CE＝CD，连接DE与AC交于点F，过点F作线段AD的垂线交AD 于点M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，猜想线段FM和CF的数量关系，并证明你的结论．2、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）判断四边形ABFC的形状并证明；（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．3、（1）先化简，再求值：（a +b ）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣2b ），其中a ＝1，b ＝2；（2）如图，菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接AE 、CF ．证明：四边形AECF 是矩形．4、如图，△AOB 是等腰直角三角形．（1）若A （﹣4，1），求点B 的坐标；（2）AN ⊥y 轴，垂足为N ，BM ⊥y 轴，垂足为点M ，点P 是AB 的中点，连PM ，求∠PMO 度数；（3）在（2）的条件下，点Q 是ON 的中点，连PQ ，求证：PQ ⊥AM ．5、Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD CA =，DE AB ⊥，联结AE 交CD 与点F ，点M 是AE 的中点，联结CM 并延长与AB 交于点H ．（1）点F是CD中点时，求证：AE CD⊥；（2）求证：222MH HD AM+=-参考答案-一、单选题1、C【分析】由小明第一次回到出发点A，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为360︒，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案. 【详解】解：由360=12,30可得：小明第一次回到出发点A，一个要走1210=120⨯米，故选C【点睛】本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为360︒得到一共要走12个10米”是解本题的关键.2、C【分析】根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．【详解】解：∵∠AEB＝90︒，D是边AB的中点，AB＝6，AB＝3，∴DE＝12∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．3、C【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解5,51,AC CF设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．【详解】解：矩形ABCD，∴∠=︒B90,设BE=x，∵AE为折痕，∴AB =AF=1，BE =EF =x ，∠AFE =∠B =90°，Rt △ABC 中，2222125,AC AB BC∴Rt △EFC 中，51FC ，EC =2-x ， ∴222251x x ，解得：x =，则点E 到点B ． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到1CF ，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．4、B【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．5、A【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC ＝DC ，每一个角都是直角可得∠B ＝∠DCF ＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE ≌△DCF ，得∠BCE ＝∠CDF ，进一步得∠DHC ＝∠DHE ＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，DE，∴GH＝12∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，∴DE==∴GH故选A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．7、D【分析】直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．【详解】解：A ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；B ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；C ．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；D ．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．故选：D ．【点睛】本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．8、C【分析】由折叠的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则AE CE BE A E '===，然后结合三角形的内角和，等腰三角形的性质，即可求出答案．【详解】解：∵△ABC 是直角三角形，CE 是中线，∴AE CE BE ==，有折叠的性质，则AE A E '=，AEC A EC '∠=∠，∴AE CE BE A E '===，∵∠A =50°，∴∠ACE =50°，∴180505080AEC A EC '∠=∠=︒-︒-︒=︒，∵5050100BEC ∠=︒+︒=︒，∴1008020A EB '∠=︒-︒=︒；故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．9、B【分析】由菱形的性质得AB ＝BC ＝2（cm ），OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，再证△ABC 是等边三角形，得AC ＝AB＝2（cm ），则OA ＝1（cm ），然后由勾股定理求出OB cm ），即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB ＝BC ＝2（cm ），OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝2cm ，∴OA ＝1（cm ），在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OB cm ），∴BD ＝2OB ＝cm ），故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．10、B【分析】先判断出四边形ACED 是平行四边形，从而得出DE 的长度，根据菱形的性质求出BD 的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE 是直角三角形，计算出面积即可．【详解】 解： 菱形ABCD ，6,AC =,3,2,5,,AD BC OA OC BD BO AB BC AD AC BD ∥在Rt △BCO 中，224,BOBC OC 即可得BD =8，,AC DE ∥ ∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC =DE =6，5,CE AD∴ BE =BC +CE =10，222100,BE BD DE∴△BDE 是直角三角形，90,BDE ∠=︒∴S △BDE =12DE •BD =24．故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD 的长度，判断△BDE 是直角三角形，是解答本题的关键．二、填空题1、50︒ 130︒ 50︒【分析】利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，B 、D ∠是A ∠的邻角，C ∠是A ∠的对角，∴50∠=∠=︒B D ，130C ∠=︒，故答案为：50︒ ，130︒，50︒．【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．2、2.5或2．【分析】需要分类讨论：①BE 1＝E 1C ，此时点E 1是BC 的中垂线与AD 的交点；②BE ＝BC ，在直角△ABE 中，利用勾股定理求得AE 的长度，然后求得DE 的长度即可．【详解】解：①当BE 1＝E 1C 时，点E 1是BC 的中垂线与AD 的交点，1112252.DE AD BC ；②当BC ＝BE ＝5时，在直角△ABE 中，AB ＝4，则3AE =，∴532DE AD AE =-=-=．综上所述，线段DE 的长为2.5或2．故答案是：2.5或2．【点睛】本题考查矩形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．3、2.5．【分析】如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，然后分别求出AC ，BC 的长度，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，将容器侧面展开，连接AB ，则AB 的长即为最短距离，∵圆柱形容器高为0.8m ，底面周长为4.8m 在容器内壁离底部0.1m 的点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器的顶部点A 处，∴0.8m AD =， 2.4m DE =，0.1m BE =，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD =90°，∵四边形ADEF 是矩形，∴∠ADE =∠DEF =90°∴四边形BCDE 是矩形，∴ 2.4m BC DE ==，=0.1m CD BE =，∴=0.7m AC AD CD =-，∴ 2.5m AB ==，答：则壁虎捕捉蚊子的最短路程是2.5m ．故答案为：2.5．【点睛】本题主要考查了平面展开—最短路径，解题的关键在于能够根据题意确定展开图中AB 的长即为所求．4【分析】首先证明四边四边形ABCD 是菱形，作出F 关于AB 的对称点M ，再过M 作ME ′⊥AD ，交AB 于点P ′，此时P ′E ′＋P ′F 最小，求出ME 即可．【详解】解：作出F 关于AB 的对称点M ，再过M 作ME ′⊥AD ，交AB 于点P ′，此时P ′E ′＋P ′F 最小，此时P ′E ′＋P ′F ＝ME ′，过点A 作AN ⊥BC ，CH ⊥AB 于H ，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝12AB＝1，由勾股定理可得，CH∵12×AB×CH＝12×BC×AN，可得AN∴ME ′＝AN∴PE ＋PF ．【点睛】 本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、900°900度【分析】根据多边形内角和公式计算即可．【详解】解：七边形内角和的度数是(72)180900-⨯︒=︒，故答案为：900°．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解题关键是熟记n 边形内角和公式：2180()n -⨯︒．三、解答题1、（1）图形见解析；（2）FM FC =，证明见解析【分析】（1）以C 为圆心CD 长为半径画弧于BC 交点即为E ；连DE 与AC 交点即为F ；过F 作AD 的垂直平分线与AD 交点即为M ；（2）证明DF 平分ADC ∠，再利用角平分线的性质判定即可．【详解】（1）图形如下：（2）FM FC =，证明如下：由（1）可得：90FMD ∠=︒,CE ＝CD∴CED CDE ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD∴CED ADE ∠=∠,∴ADE CDE ∠=∠即DF 平分ADC ∠∵∠BAC ＝90°∴90ACD FMD ∠=∠=︒∴FM FC =【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．2、（1）矩形，见解析；（2）3【分析】（1）利用AAS 判定△ABE ≌△FCE ，从而得到AB ＝CF ；由已知可得四边形ABFC 是平行四边形，BC ＝AF ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC 是矩形；（2）先证△ABE 是等边三角形，可得AB ＝AE ＝EF ＝3．【详解】解：（1）四边形ABFC 是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE ， ∵E 为BC 的中点，∴EB ＝EC ，在△ABE 和△FCE 中，BAE CFE ABE FCE BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△FCE （AAS ），∴AB ＝CF ．∵AB CF ∥，∴四边形ABFC 是平行四边形， ∵AD ＝BC ，AD ＝AF ，∴BC ＝AF ，∴四边形ABFC 是矩形．（2）∵四边形ABFC 是矩形，∴BC ＝AF ，AE ＝EF ，BE ＝CE ，∴AE ＝BE ，∵∠ABC ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴EF ＝3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．3、（1）22b ab -+，0；（2）证明见解析．【分析】（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；（2）首先根据菱形的性质得到AD BC ∥，AD BC =，然后根据E 、F 分别是BC 、AD 的中点，得出AF CE =，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF 是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出AE BC ⊥，即可证明出四边形AECF 是矩形．【详解】（1）（a +b ）（a ﹣b ）﹣a （a ﹣2b ）222222a b a abb ab =--+=-+将a ＝1，b ＝2代入得：原式＝222120-+⨯⨯=；（2）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，且AD BC =，又∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，即90AEC ∠=︒，∴平行四边形AECF 是矩形．【点睛】此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．4、（1）（1，4）；（2）45°；（3）见解析【分析】（1）过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，证明△OAE ≌△BOF 得到OF =AE ，BF =OE ，再由点A 的坐标为（-4，1），得到OF =AE =1，BF =OE =4，则点B 的坐标为（1，4）；（2）延长MP 与AN 交于H ，证明△APH ≌△BPM 得到AH =BM ，再由A 点坐标为（-4，1），B 点坐标为（1，4），得到AN =4，OM =4，BM =1，ON =1，则HN =AN -AH =AN -BM =3，MN =OM -ON =3，瑞出HN =MN ，即可得到∠NHM =∠NMH =45°，即∠PMO =45°；（3）连接OP ，AM ，取BM 中点G ，连接GP ，则GP 是△ABM 的中位线，AM ∥GP ，证明△PQO ≌△PGB 得到∠OPQ =∠BPG ，再由∠OPQ +∠BPQ =90°，得到∠BPG +∠BPQ =90°，即∠GPQ =90°，则PQ ⊥PG ，即PG ⊥AM ；【详解】解：（1）如图所示，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点B 作BF ⊥x 轴于F ，∴∠AEO =∠OFB =90°，∴∠AOE +∠OAE =90°，又∵∠AOB =90°，∴∠AOE +∠BOF =90°，∴∠OAE=∠BOF，∵AO=OB，∴△OAE≌△BOF（AAS），∴OF=AE，BF=OE，∵点A的坐标为（-4，1），∴OF=AE=1，BF=OE=4，∴点B的坐标为（1，4）；（2）如图所示，延长MP与AN交于H，∵AH⊥y轴，BM⊥y轴，∴BM∥AN，∴∠MBP=∠HAP，∠AHP=∠BMP，∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∴△APH≌△BPM（AAS），∴AH=BM，∵A点坐标为（-4，1），B点坐标为（1，4），∴AN=4，OM=4，BM=1，ON=1，∴HN=AN-AH=AN-BM=3，MN=OM-ON=3，∴HN=MN，∴∠NHM=∠NMH=45°，即∠PMO=45°；（3）如图所示，连接OP，AM，取BM中点G，连接GP，∴GP是△ABM的中位线，∴AM∥GP，∵Q是ON的中点，G是BM的中点，ON=BM=1，∴1122MG OQ ON BM===，∵P是AB中点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，∴12AP OP BP AB===，∠OAB=∠OBA=45°，∠OPB=90°∴∠PAO=∠POA=45°，∴∠POB=45°，∵∠NAO+∠NOA=90°，∠NOA+∠BON=90°，∴∠NAO=∠BON，∵∠OAB=∠POB=45°，∴∠BAN+∠NAO=∠POQ+∠BON，即∠BAN=∠POQ，由（2）得∠GBP=∠BAN，∴∠GBP=∠QOP，∴△PQO≌△PGB（SAS），∴∠OPQ=∠BPG，∵∠OPQ+∠BPQ=90°，∴∠BPG+∠BPQ=90°，即∠GPQ=90°，∴PQ⊥PG，∴PG⊥AM；【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC MD=,根据点F是CD中点，即可判断AE是CD的垂直平分线；（2）证明CH是AD的垂直平分线，可得HA HD=，进而在Rt MHA中，222+=，等量代MH HA AM换即可得222+=MH HD AM【详解】（1）证明：联结MD．∵DE AB ⊥，∴90EDA ∠=︒∵点M 是AE 的中点， ∴12MD AE =．同理可证：12CM AE =， ∴CM MD =．∵点F 是CD 中点，∴AE CD ⊥．（2）证明：∵DE AB ⊥，∴90DEA ∠=︒．∵点M 是AE 的中点， ∴12MD MA AE ==． ∵CD CA =，∴点M ，点C 在线段AD 的垂直平分线上．∴CM 是线段AD 的垂直平分线．∴CH AD ⊥，HA HD =．∴90MHA ∠=︒．∴Rt MHA 中，222MH HA AM +=∴222+=．MH HD AM【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．。
八年级数学下 第19章 四边形19.2 平行四边形第2课时 平行四边形的对角线的性质教学 沪科
随堂练习
2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列 结论： ①CF＝AE； ②OE＝OF； ③DE＝BF；AECF ④图中共有四对全等三角形． 其中正确结论的个数是( B ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
随堂练习
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，
于点O.OA与OC,OB与OD有什么关系?你能证明发
现的结论吗？
D
C
O
A
B
猜想：在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD.
课程讲授
1 平行四边形对角线的性质
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）, B
∴ OA=OC，OB=OD.
BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为
(C ) A．3
B．6
AE CF
C．12
D．24
随堂练习
4.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD， 过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行 四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD. ∵OE⊥BD， ∴BE=DE. AECF ∵△CDE的周长为10， ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20．
练一练： （中考·泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交 于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长 是( B ) A．10 B．14 C．20 D．22
沪科版八年级数学下册习题精选19.2平行四边形(2)
《19.2 平行四边形》习题
一、请你好好选，把正确的答案填在括号内.
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等
C．一组对边平行，一组邻角互补D．一组对边相等，一组邻角相等
2．两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数（）
A．4B．3C．2D．1
3．过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．以下结论正确的是（）
A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形
B．一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是平行四边形
二、认真解答，写出解答步骤.
5．在□ABCD的对角线AC上取AF＝CE，作EH⊥BC，垂足为H作FG⊥AD，垂足为G，求证：GH与EF互相平分．
6．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，EF过O交AB于E，交CD
于F，且OE＝OF，求证：ABCD是平行四边形．。