2020-2021学年四川省成都市树德中学高二上学期12月阶段性测试数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都市树德中学高二上学期12月阶段性测试数学（理）试题一、单选题1．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则11a b< C ．若a b >，则a b -<- D ．若a b >，则22a b >【答案】C 【分析】当0c时，A 不正确；当2,1a b =-=-时，B 不正确；C 正确；当1,2a b =-=-时，D 不正确.【详解】对于A ，当0c时，22ac bc >不成立，A 不正确；对于B ，当2,1a b =-=-时，11a b<不成立，B 不正确； 对于C ，若a b >，则a b -<-，C 正确；对于D ，当1,2a b =-=-时，22a b >不成立，D 不正确. 故选：C.【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质求解是解题关键. 2．设命题2:,3n p n N n ∀∈>，则（ ） A ．0200:,3n p n N n ⌝∃∈≤ B ．0200:,3n p n N n ⌝∃∉≤ C ．20:,3n p n N n ⌝∀∈≤ D ．2:,3n p n N n ⌝∀∉≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定形式判断即可.【详解】因为命题2:,3n p n N n ∀∈>，为全称命题，则0200:,3n p n N n ⌝∃∈≤，为特称命题. 故选：A.3．设命题:p 函数()12xf x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数，命题:q 方程22121x y a a +=--表示椭圆，若命题“p q ∨”为真，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】分别求出,p q 为真时实数a 的取值范围，它们的并集即为所求的实数a 的取值范围.【详解】若p 为真，则112a ->即32a >. 若q 为真，则201032a a a ⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪≠⎩即312a <<或322a <<.因为p q ∨为真，故p 真或q 真，故实数a 的取值范围为312a <<或32a >. 故选：C.【点睛】方法点睛：对于p q ∨为真的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，最后通过求并集得到最终的参数的取值范围．4．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【答案】C【分析】根据程序框图的运行，依次计算a 的值，当221a -∈Z 时，即可得到输出的a 的值.【详解】输入1n =，得8a =，不满足221a -∈Z ； 输入2n =，得13a =，不满足221a -∈Z ； 输入3n =，得18a =，不满足221a -∈Z ； 输入4n =，得23a =. 满足221a -∈Z ，即输出a 的值为23. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图的应用；考查学生分析理解能力，属于基础题. 5．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5:2:3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n 名，若青年旅客抽到60人，则（ ）A ．老年旅客抽到150人B ．中年旅客抽到20人C ．200n =D ．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200 【答案】C【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5:2:3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n 名，若青年旅客抽到60人， 所以603523n =++，解得200n =人. 故选:C .【点睛】本题主要考查了分层抽样的概念及计算方法，其中解答中熟记分层抽样的计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”及它的逆命题､否命题､逆否命题中，真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【分析】利用原命题与其逆否命题同真同假可判断真命题的个数.【详解】当0m >时，140m ∆=+>，故方程20x x m +-=有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题.逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则0m >. 取14m =-，则20x x m +-=有实根12-，当104m =-<，故逆命题为假命题， 所以否命题为假命题， 故答案为：C.7．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ） A ．32B ．32-C ．32±D ．12±【答案】A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =距关系求参数即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r，故ABC的周长为4+24r AB +=+，得AB =，又直线与圆相交后的弦心距d ==，故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 8．平面内一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．22132x y +=B ．22132x y -=C ．22(1)132x y ++= D ．22123x y +=【答案】A【解析】设(),P x y=22132x y += 故选A点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程，属于中档题. 求轨迹方程的常见方法有: ① 直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；② 定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③ 参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④ 逆代法，将()()00{?x g x y h x ==代入()00,0=f x y .本题就是利用方法①动点P 的轨迹方程的.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为A ．1 BC ．D【答案】C【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以sin AFx ∠，所以直线l 的斜率tan k AFx =∠=C ． 10．已知圆22:(3)(4)4C x y ++-=和两点(,0)A m -，(,0)B m .若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B【分析】由90APB ∠=︒求出点P 的轨迹是一个圆，根据两圆有公共点可得出m 的最大值.【详解】解：设(,)P x y 因为90APB ∠=︒，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上，记该圆为圆M ， 即此时点P 的方程为222x y m +=， 又因为点P 在圆C 上， 故圆C 与圆M 有公共点，故得到m 2m 2-≤≤+||||||，解得：3m 7≤≤|| ， 故max m 7=，故选B.【点睛】本题考查了轨迹思想，考查了两圆的位置关系，解题的关键是将条件90APB ∠=︒转化为轨迹方程，从而解决问题.11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B C D 【答案】B【分析】先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a=±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bc FA b b a==+，根据题意513AF BF =，则135bBF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan ba α=，18185tan 25b AB b OA a aα===，由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan aba b ααα==--，即221825b aba a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知22131319c b e a a==+==故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.12．已知12,F F ，分别为椭圆22142x y +=的左右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F ，关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 2 B ．1C 6D 3 【答案】C【分析】利用椭圆的定义可得当,,M P N 三点共线时，MN 最大且此时123F PF π∠=，计算出焦点三角形的面积后可求点P 到x 轴的距离.【详解】连接,PM PN ，则21,PM PF PN PF ==， 所以2124MN PM PN PF PF a ≤+=+==， 当且仅当,,M P N 三点共线时等号成立.如下图，当,,M P N 三点共线时，有1122MPF F PF NPF ∠=∠=∠， 故当,,M P N 三点共线时，有11223MPF F PF NPF π∠=∠=∠=.因为124PF PF +=且2212122cos 4283PF PF PF PF π+-⨯⨯=⨯=，故1283PF PF ⨯=，所以121831222322F PF P S y =⨯⨯=⨯， 解得6P y =， 故选：C.【点睛】关键点点睛：利用对称性和椭圆的定义得到线段长最大时焦点三角形满足的性质，再结合解三角形的方法得到所求的距离.二、填空题13．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为()53254321x f x x x x --=+-，用秦九韶算法求这个多项式当2x =时3v 的值为___________. 【答案】24【分析】根据秦九韶算法的计算过程可得2x =时3v 的值. 【详解】()()()()()403215f x x x x x x =+--+-根据秦九韶算法可知：04v =，1428v =⨯=，228313v =⨯-=，3213224v =⨯-=. 故答案为：24.14．若关于x 的不等式21ax ax >--对任意实数x 都成立，则实数a 的范围是___________. 【答案】04a ≤<【分析】分类讨论a ，根据二次函数的图象列式可求得结果. 【详解】当0a =，不等式21ax ax >--对任意实数x 都成立；当0a ≠时，关于x 的不等式21ax ax >--即210ax ax ++>对任意实数x 都成立，等价于240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上所述：04a ≤<. 故答案为：04a ≤<【点睛】易错点点睛：容易漏掉0a =的情形.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:24C x y -+=，点A 是直线20x y -+=上的一个动点，直线,AP AQ ，分别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 长的最小值为___________.【答案】【分析】求出min ||AC =111||||||||222AC PQ PA PC ⋅=⋅可得||PQ =min ||AC =代入可得结果.【详解】圆()22:24C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r ，圆心(2,0)C 到直线20x y -+=的距离d ==min ||AC d ==因为111||||||||222AC PQ PA PC ⋅=⋅， 所以2||||||||PA PC PQ AC ⋅=4||||PA AC=== 所以当||AC取最小值时，||PQ取最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：利用面积关系将||PQ 的最小值转化为||AC 的最小值求解是解题关键.16．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆224x y +=上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是______． 【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】设PA 斜率为,(0)k k ≠，则PB 斜率为1,k由(2)y k x =+与223412x y +=联列方程组解得2226812(,)3434k kQ k k-++， 所以222221211231(),1(,0)(0,1)3124124PB QFQF k k k k k k k k k-=≠∴==-∈-∞⋃-三、解答题17．设命题:p 实数x 满足()()20x a x a --<；命题:q 实数x 满足()()216220xx --≤（1）若2a =，p ，q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,4；（2）[]1,2.【分析】（1）将2a =代入，求解不等式()()240x x --<的解集与()()216220xx --≤的解集，取交集即为所求结果；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则()()20x a x a --<的解集为()()216220xx --≤解集的真子集，然后利用几集合之间的包含关系求参数的取值范围.【详解】()1当2a =时，由()()240x x --<， 得命题{}:24p P x x =<<， 由()()216220xx--≤，所以命题{}:14q Q x x =≤≤， 若p ，q 都是真命题，则只需求解P Q ，即()2,4P Q =，因此x 的取值范围是()2,4.()2若p 是q 的充分不必要条件，则PQ ，当0a ≤时，则PQ =∅，所以不成立，当0a >时，解得：{}2P x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤，当PQ 时有：[]111,2242a a a a a ≥≥⎧⎧⇒⇒∈⎨⎨≤≤⎩⎩， 故a 的取值范围是[]1,2.【点睛】本题的难点在于利用充分条件、必要条件求参数的取值范围，解决这类问题一般是将问题转化为集合间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解,在求解时，一定要注意区间端点值的检验．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=.（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）过点1,0A 作圆M 的切线，求切线l 的方程【答案】（1）()()22611x y -+-=；（2）1x =或1235120x y --=.【分析】（1）设()06,N y ，根据圆N 与x 轴相切，与圆M 外切可得关于0y ，从而可求0y ，进而得到所求的圆的方程．（2）利用点到直线的距离为半径可求切线的方程，注意斜率不存在的情形．【详解】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5.（1）由圆心在直线6x =上，可设()06,N y ，N 与x 轴相切，与圆M 外切，007y ∴<<且圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =.因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=.（2）当切线的斜率不存在时，切线l 的方程为1x =，满足条件； 当切线的斜率存在时，设切线方程为()1y k x =-，圆M 与直线l 相切，∴圆心()6,7M 到直线l 的距离等于半径5， 即26751k k k --=+，化简得7024k =，解得1235k =， 故直线方程为1235120x y --=，综上，切线的方程为1x =或1235120x y --=．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l y x =与直线2:l y x =-之间的阴影部分记为W ，区域W 中动点(),P x y 到12,l l 的距离之积为1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线:2l y x m =+交直线12,l l 于,A B 两点，若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，求OAB 的面积.【答案】（1）22122x y -=；（2）2.【分析】（1）由题意(),P x y 到12,l l 的距离之积为11=，再根据点P在区域W 内，所以x y +与x y -同号，整理可得点P 的轨迹C 的方程. （2）根据直线方程确定直线l 与x 轴交点D 的坐标，可得12AOBA B S OD y y =⋅⋅-，再根据直线l 与曲线C 只有一个公共点，将直线l 与曲线C 联立，利用判别式0∆=，可求得m 的值，由直线l 与12,l l 于,A B 两点，可求得,A B 两点的坐标，从而求得OAB 的面积.【详解】解：()11=即2x y x y -⋅+=因为点P 在区域W 内，所以x y +与x y -同号， 因此得()()222x y x y x y -⋅+=-=即点P 的轨迹C 的方程为22122x y -=()2在方程 2y x m =+中，令0y = 得,02m D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故12AOBA B SOD y y =⋅⋅- 联立2222x y y x m ⎧-=⎨=+⎩得223420x mx m +++=由题意得()222161224240m m m ∆=-+=-= 故26m =联立2y x y x m=⎧⎨=+⎩，得A y m =-联立2y x y x m=-⎧⎨=+⎩，得3B my =因此211222233AOBA B m m m SOD y y m =⋅⋅-=⋅-⋅--== 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，设抛物线()2:20C x py p =>，一平行于y 轴的光线从上方射向抛物线上的点P ，经抛物线2次反射后，又沿平行于y 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 任作一直线l 与曲线C 交于,A B 两点，直线,OA OB 与直线2y =-分别交于点,M N (O 为坐标原点).求证：以线段MN 为直径的圆经过点F 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，设直线PQ 的直线方程为2py kx =+，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到122x x pk +=，212x x p =-，再根据()21212124d x x x x x x =-=+-可解得结果；（2）设直线AB 的方程为2y kx =+，221212,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出,M N 的坐标，利用0FM FN ⋅=可证结论正确. 【详解】（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴设直线PQ 的直线方程为2p y kx =+，由222x pyp y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2220x pkx p --=， 122x x pk ∴+=，212x x p =-，则两束平行光线之间的距离12d x x =-==所以当0k =时，min 28d p ==，所以4p =， 故抛物线的方程为28x y =（2）证明：设直线AB 的方程为2y kx =+，221212,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12:,:88OA OB x xl y x l y x == 由182x y xy ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得116,2M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，同理216,2N x ⎛⎫--⎪⎝⎭， 121616,4,,4FM FN x x ⎛⎫⎛⎫--∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩ 得2128160,16x kx x x --==- 则()()121212161616161616,4,44416FM FN x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯⋅=--⋅-=-⨯-+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则12161616161616016FM FN x x ⨯⨯⋅=+=⨯=⋅-，因此，以线段MN 为直径的圆经过点F .【点睛】关键点点睛：转化为证明0FM FN ⋅=是解题关键.21．已知抛物线24y x =的焦点为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F ，点B 为此抛物线与椭圆C 在第一象限的交点，且53BF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于PQ 两点，直线2l 与直线4x =交于点T ，求TFPQ的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[)1,+∞. 【分析】（1）先算出点B 的坐标，利用点B 在椭圆上以及已知的焦点坐标可得关于,a b 的方程组，求解后可得椭圆的方程．（2）设直线PQ 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =+，联立直线方程和椭圆方程结合弦长公式可求PQ ，再利用弦长公式可求TF ，利用函数的单调性可求比值的范围．【详解】（1）解：由24y x =，得()1,0F ．设()()0000,0,0B x y x y >>，则0513BF x =+=，得023x =，所以由2028433y =⨯=． 由点B 在椭圆上，得2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，所以224,3a b ==， 故椭圆方程为22143x y +=．（2）设直线PQ 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =+，由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩，得()2234690m y my ++-=，故12122269,3434m y y y y m m --+==++，()212212134m PQ y m +∴=-==+， 当0m ≠时，直线 FT 的方程为()1y m x =-- 令4,x =得()4,3T m -，TF ∴=()223414121TFm PQ m ⎛⎫+∴== +⎝，令1t =>，则3144TF t TQ t=+， 3144t y t =+在()1,+∞上是增函数，31144y ∴>+=即1TF TQ >． 当0m =时，()()221,0,4,0,3,3b F T TF PQ a===，1TF TQ ∴=， 综上TF TQ的取值范围是[)1,+∞．【点睛】思路点睛：（1）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. （2）直线与圆锥曲线的位置关系中的范围问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理把要求解的目标代数式化为与直线参数有关函数表达式，利用函数的单调性可求目标代数式的取值范围.22．已知椭圆22122: 1 (0)x y C a b a b +=>>的左右焦点是12,F F，且1C 抛物线()22:2 0C y px p =>的焦点为2F ，过2OF 的中点Q 垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设椭圆1C 上一动点T 满足：2OT OA OB λμ=+，其中,A B 是椭圆1C 上的点，且直线,OA OB 的斜率之积为14-.若(,)N λμ为一动点，点P 满足1212PQ F F =.试探究NP NQ +是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）为定值；2NP NQ +=. 【分析】（1）由抛物线的弦长求得抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，结合离心率可求得,a b 得椭圆方程；（2）设(,)T x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由向量关系表示出,x y ，代入椭圆方程得一等式，同时由121214OA OB y y k k x x ⋅==-得121240x x y y +=代入可得2241λμ+=，即N 点一椭圆上，,P Q 恰为此椭圆的两个焦点，结论即得． 【详解】解：（1）抛物线22:2C y px =的焦点为2(,0)2p F ，∴(,0)4pQ 过Q 垂直于x 轴的直线截22y px =所得的弦长为所以224pp =⨯，解得p =所以2F 又∵椭圆1C∴2,1a b == ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=，. （2）设(,)T x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OT OA OB λμ=+， 得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,T A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y += 故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==- 因此121240x x y y += 所以2241λμ+=..所以N 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.∵(2Q ，又∵1212PQ F F =，∴2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ∴,P Q 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2NP NQ +=为定值.【点睛】本题考查抛物线的焦点，求椭圆标准方程，考查向量的线性运算，以及椭圆的应用．本题旨在考查学生的分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力，运算求解能力．。
2020年四川省成都市树德实验中学东区高二数学理月考试卷含解析
2020年四川省成都市树德实验中学东区高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列双曲线，离心率的是（）A. B. C. D.参考答案：B略2. 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩Z={0，1，2}，则A∩Z中所有元素的和为0+1+2=3，故选：C3. 若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C． D．不存在这样的实数k 参考答案：B4. 已知，，，则下列三个数，，（）A. 都大于4B. 至少有一个不大于4C. 都小于4D. 至少有一个不小于4参考答案：D分析：利用基本不等式可证明，假设三个数都小于2，则不可能，从而可得结果.详解：，假设三个数都小于2，则，所以假设不成立，所以至少有一个不小于2，故选D.点睛：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题. 反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．5. 函数的图像大致为（）参考答案：A6. 在等比数列中，已知，则（）A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32参考答案：A略7. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．8. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为（）A． B.C． D.参考答案：A9. 函数的单调递增区间是A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w..c.o.m参考答案：D略10. 执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A ． 29B ． 44C ． 52D ． 62参考答案：A考点： 循环结构．专题： 算法和程序框图．分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，T ，n 的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29． 解答： 解：执行程序框图，有 S=3，n=1，T=2，不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29． 故选：A ．点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下面伪代码的输出结果为 ▲ ．参考答案：9 略12. 计算定积分：=参考答案：13. 已知，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为，（≠0），若的最小值为1，则椭圆的离心率为 ．参考答案：略14. 已知A （3，1），B （﹣4，0），P 是椭圆上的一点，则PA+PB 的最大值为 ．参考答案：10+【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，可知B 为椭圆的左焦点，A 在椭圆内部，设椭圆右焦点为F ，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A 的距离与F 距离差的最大值求解． 【解答】解：由椭圆方程，得a 2=25，b 2=9，则c 2=16， ∴B （﹣4，0）是椭圆的左焦点，A （3，1）在椭圆内部， 如图：设椭圆右焦点为F ，由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10， 则|PB|=10﹣|PF|，∴|PA|+|PB|=10+（|PA|﹣|PF|）．连接AF 并延长，交椭圆与P ，则此时|PA|﹣|PF|有最大值为|AF|=∴|PA|+|PB|的最大值为10+．故答案为：10+15. 已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则= .参考答案：316. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_____________.参考答案： 3217. 已知，，且，则的最小值是 ．参考答案：4根据题意得到，即故答案为：4.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都市树德中学2020学年高二数学上学期阶段性考试题 文
四川省成都市树德中学2020学年高二数学上学期阶段性考试题 文 一：选择题（60分）1．下列说法正确的是（ ）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“0R x ∃∈， 20010x x --<”的否定是“R x ∀∈， 210x x -->” C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a b 、都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是假命题 2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 （ ） A. 3 B. 9 C. 51 D. 173．θ是任意实数，则方程224x y sin θ+=表示的曲线不可能是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆4.已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）A ． 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ． 充要条件 D.既不充分又不必要条件5．把离心率512e +=的曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ，则圆O 与黄金双曲线C （ ）A.无交点B. 有1个交点C. 有2个交点D. 有4个交点6．已知椭圆E 的中心为坐标原点，长轴的长为8， E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，抛物线C 的准线与椭圆E 交于,A B 两点，则AB = （ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 37．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈I ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影长分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A.m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<， D ．m n θϕ<>，8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是平面1111A B C D 内一点，且1BM ACD P 平面，则1tan DMD ∠的最大值为（ ）．A. 22B. C. 2 D. 29．如图程序框图在输入1a =时运行的结果为p ，点M 为抛物线22y px =-上的一个动点，设点M 到此抛物线的准线的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A.52B. 522C. 2D. 210．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1B D 上运动且不与D ，1B 重合，给出下列结论： ①AC BP ⊥； ②1A B ⊥平面PDA ；③二面角A PD C --的大小随P 点的运动而变化；④三棱锥P ABC -在平面11BCC B 上的投影的面积与在平面11CDD C 上的投影的面积之比随P 点的运动而变化；其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①③C ．①②④D ．①②11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点Q 为椭圆上一点. 12QF F ∆的重心为G ，内心为I ，且12GI F F λ=u u v u u u u v，则该椭圆的离心率为（ ）A.12 B. 22 C. 13D.23 12．如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点，2,60,AC CBD P α=∠=o为内的动点，且P 到直线BD 的距离为3则APC ∠的最大值为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°二：填空题（20分）13.若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．14．执行程序框图，该程序运行后输出的S 的值是__________．A B DCαA Ba blαβ15．如图所示，在正方体中，已知分别是和的中点，则与所成角的余弦值为 _________16、抛物线()220x py p =>上一点()()3,1A m m >到抛物线准线的距离为134，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则OE OF ⋅u u u r u u u r的取值范围为__________．三．解答题（70分）17. （10分）已知p ：方程()2220x mx m +++=有两个不等的正根； q ：方程221321x y m m -=+-表示焦点在y 轴上的双曲线.（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.18．（12分）设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线323y x =-与双曲线的右支交于,M N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=u u u u r u u u r u u u r，求t 的值及点D 的坐标．19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M N 、分别是111A B B C 、的中点。
四川省成都市树德联合学校(高中部)高二数学理上学期期末试卷含解析
四川省成都市树德联合学校(高中部)高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则椭圆离心率的取值范围是( )A． B． C． D．第Ⅱ卷参考答案：A略2. 已知，则的值为（）A．2 B．C．D．4参考答案：A略3. 设是奇函数的导函数, ,当时,则使得成立x的取值范围是（）A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C. (－1,0)∪(1,+∞) D．(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：C4. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形参考答案：A5. 现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（）A．1m B．1.5m C．0.75m D．0.5m参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其取最大值时的宽即为所求．【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是=米，（0＜x＜）则该长方体的体积V（x）=x?2x?（），由V′（x）=0，得到x=1，且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．所以该长方体体积最大值时，x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．故选A．【点评】本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．6. 为等差数列，公差为，为其前项和，,则下列结论中不正确的是( )（A）（B）（C）（D）参考答案：C7. 圆（x﹣1）2+y2=1与直线的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d，和圆的半径r比较大小，即可得到此圆与直线的位置关系．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=1，所以（1，0）到直线y=x的距离d==＜1=r，则圆与直线的位置关系为相交．故选A【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法．8. 异面直线是指（）A．空间中两条不相交的直线B．平面内的一条直线与平面外的一条直线C．分别位于两个不同平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线参考答案：D【考点】异面直线的判定．【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．D 正确，这就是异面直线的定义．故选 D．9. 已知命题，则（） A． B．C． D．参考答案：C略10.A．B．C． D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列，则称数列为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________．参考答案：10012. 若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。
四川省树德中学2015-2016学年高二上学期12月月考试题 数学(理) PDF版含答案
△BCE 中 ， BCE 90 ， BC 2 ， BE
B C
所以
x 1 0 y 2 0
x 1 y 2
, 即直线恒过 (1,2), 又 1 (2 1) 2 5 , 所以 (1,2)
2 2
恒在圆内 所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 (2)若直线 a 的斜率不存在,即 A(1,-1),B(1,3),此时 AP PB ,不满足条件,舍去
(2)设外接圆的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0 ,代入三点得
26 D 5 E F 0
505 D5 E F 0 406 D2 E F 0
2 2
D 4
E 2 F 20
2 2
若 直 线 a 的 斜 率 存 在 , 设 a : y 1 k ( x 1) , 即 kx y k 1 0 , 设 C 到 直 线 a 的 距 离 为
5 5
B.
2 5 5
C.
3 5
D.
1 2
A O B
C
4.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直线 xsinA＋ay＋c＝0 与直线 D1 bx－ysinB＋sin C＝0 的位置关系是( ) B1 A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 A1 5.如右图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误 的是( ) ．． A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B. AC1 ⊥BD D. 平面BCB1 平面CB1D1
EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CE AP ．
P
BEC 是二面角 B AP C 的平面角．
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二年级上册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）221259x y +=A ．B ．C ．D ．216y x=28y x=-216y x =-216x y=-【答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆可得，221259x y +=4==c 所以左焦点坐标为，(4,0)-所以以为焦点的抛物线的标准方程为，(4,0)-216y x =-故选：C.2．曲线（ ）221x xy y ++=A ．关于轴对称B ．关于轴对称C ．关于原点对称D ．不具有对称性x y 【答案】C【分析】将点，，分别代入方程，即可检验对称性.(,)x y -(,)x y -(,)x y --【详解】对于A ，将点代入曲线方程得：，(,)x y -221x xy y -+≠所以曲线不关于轴对称，A 错误；221x xy y ++=x 对于B ，将点代入曲线方程得：，(,)x y -221x xy y -+≠所以曲线不关于轴对称，B 错误；221x xy y ++=y 对于C ，将点代入曲线方程得：，(,)x y --221x xy y ++=所以曲线关于原点对称，C 正确，D 错误.221x xy y ++=故选：C 3．已知圆，圆，动圆M 与圆外切，同时与圆内切，则()221:125C x y ++=()222:11C x y -+=2C 1C 动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．B ．2213x y +=22132x y +=C ．D ．2219x y +=22198x y +=【答案】D【分析】画图，分析出，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出，121262C M C M C C +=>=23,8a b ==得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：，，其中，15C M MQ=-21C M MP=+MQ MP=所以，12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以为焦点的椭圆，设，12,C C 22221x y a b +=则，解得：，26,1a c ==2223,918a b a c ==-=-=故动圆圆心M 的轨迹方程为.22198x y +=故选：D4．已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为1C )42C 22152x y -=1C （ ）A ．7B ．14C D ．【答案】B【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，2C )4λ1C 进而求解.【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：1C ()220152x y λλλ-=≠≠且)4516752λ-=-=1C，则，则焦距.2211435y x -=7c ==214c =故选：B5．已知命题﹐命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）:,sin 1p x x ∃∈<R :q x ∀∈R ||e 1x ≥A ．B ．C ．D ．p q ∧p q ⌝∧p q∧⌝()p q ⌝∨【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此p q确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；sin 0=0p 由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；x y e =R 0x ≥||01x e e ≥=q 所以为真命题，、、为假命题.p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝()p q ⌝∨故选：A ．6．直线l 过点与圆C ：交于两点且，则直线l 的方程为()0,3222220x y x y +---=,A B AB =（ ）A ．B ．或34120x y +-=34120x y +-=4210x y ++=C ．D ．或0x =0x =34120x y +-=【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C ：的方程化为，222220x y x y +---=22(1)(1)4x y -+-=则圆心C 的坐标为，半径为2.(11)，当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为时，代入圆的方程得 ，0x =2220y y --=解得，此时，符合题意；11y =2,1y =||1(1AB ==当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 ，3y kx =+由，得圆心C 到直线l ，||AB =1=，解得，故此时直线的方程为 ，即，1=34k =-334y x =-+34120x y +-=综上可得，直线l 的方程为 或，0x =34120x y +-=故选：D.7．执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的S 的最大值为（ ）．,x y ∈R A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S 的最大值，再与进行比较即可.1【详解】不等式组在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：01x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩平移直线，当直线经过时，有最大值，最大值为，20x y +=(1,0)A 2S x y =+21021⨯+=>故选：C8．若椭圆的动弦斜率为，则弦中点坐标可能是（ ）22134x y +=AB 1A ．B ．C ．D ．()34-，3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭()43-，4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.【详解】设，，则由已知得，，，()11,A x y ()22,B x y 2211134x y +=2222134x y +=两式作差可得，，整理可得.22221212034x x y y --+=121212124433y y x x x x y y +-=-=-+-中点D 的坐标为，则有.AB ()00,x y 0043y x =-又点D 在椭圆的内部，所以02y <故选：B.9．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，2:4C y x =且，则（O 为坐标原点）的最小值为（ ）||5AF =||||PA PO +A ．8B ．C D ．6【答案】B【分析】依题意得点坐标，作点关于的对称点，则，求A O lB ||||||||PA PO PAPB AB+=+≥即为最小值．AB【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设O l B ,PB AB (),A x y 0y >由题意知，直线l 方程为，则，得()1,0F =1x -||15AF x =+=4x =所以，得24416y =⨯=4y =由，当三点共线时取等号，||||||||PA PO PA PBAB+=+≥,,A B P===所以的最小值为||||PA PO +故选：B【点睛】关键点点睛：作点关于的对称点，将化为，利用三点共线是求得最小值的O l B POPB关键点．10．在棱长为的正四面体中，点为，2ABCD P ABC 则的最大值为（ ）PDA ．BCD ．32【答案】B【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长P ABC A B的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，以所在直线为轴建AB O AB x CO y 立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.PD【详解】如图所示，在平面，ABC 2>所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线P ABC AB O CO AB x 为建立如下图所示的空间直角坐标系，OC y O xyz -则椭圆的半焦距，长半轴1c =a =b ==所以，椭圆方程为.()2233104x y z +==点在底面的投影设为点，则点为的中心，，D E E ABC 1133OE OC ===故点正好为椭圆短轴的一个端点，E23CE OC == DE ==因为，故只需计算的最大值.222PD DE EP =+EP设，则，(),,0P xy E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则，22222241543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝当时，取最大值，y ⎡=⎢⎣2EP 即，22max516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎝因此可得，故.2241640999PD ≤+=PD 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并P 结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用.EP 11．已知圆，，过圆上一点P 作圆221(2)4C x y -+=：()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：2C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则的最小值是 1C PE PF ⋅()A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心轨迹，然后画出圆的圆心轨迹图像以及2C 2C 2C 圆的图像，通过图像可以得出线段的取值范围以及的解析式，最后通过函数性质即1C PA PE PF ⋅可得出结果．【详解】由可得：()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：圆的圆心在圆的圆周上运动，2C 22(2)25x y -+=设，则，()20A ，[]46PA d =∈，由图可知：，()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==-- ，()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭由在上为增函数可知，()2223212f d d d =+-[]1636，当时，取最小值6，故选A ．216d =PE PF ⋅ 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．12．设，是双曲线的左､右焦点，过作C 的一条渐近线的垂线l ，1F 2F ()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若，且，则下列说法正确的是12F H HP =25PF =（ ）A ．到直线l 的距离为aB 2FC ．D ．的面积为912PF F △12PF F △【答案】B【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的H 1FQ OH 12QF F 2F l 距离判断A 选项；利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断Ba b c选项；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断C 选项；利用三角形12sin PF F ∠12PF F 的面积公式，即可求得△的面积，可判断D 选项．12PF F 【详解】由题意，到准线，又，()1,0F c -0bx ay +===bc b c1F O c=∴，如图过向作垂线，垂足为，OH a=2F 1F P Q 由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为2//OH F Q O 12F F OH 12QF F 1F H HQ =H 1FQ ，，，，，因此到直线的距离为，故A 错误；12F H HP =2||2F Q a =||HQ b =||PQ b =1||3=PF b 2F l 2a 在中，，又，得到，2QPF △2222425+==b a PF 12||||2PF PF a -=352b a -=解得，，B 正确；3b =2a =c =c e a ==，设△的外接圆半径，121sin sin aPF F HFO c ∠=∠=12PF F R 因此，所以，故C 错误；212||2sin PF R PF F ==∠R △的面积．故D 错误.12PF F 1121211||||sin 3231822aS F P F F PF F b c ab c =∠=⨯⨯⨯==故选：B ．二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（为正整数）化为十进制数为177，则______.m m =【答案】3【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为，解得.01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=3m =故答案为：3【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题.14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数a 的:411p x -≤()()2:2110q x a x a a -+++£p ⌝q ⌝取值范围是______．【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】若是的必要而不充分条件，可得是的必要而不充分条件，分别解不等式利用集p ⌝q ⌝qp 合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题，解得，记:411p x -≤102x ≤≤1|02A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎩⎭命题，即，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤()[(1)]0x a x a --+≤解得：，记，1a x a ≤≤+{}|1B x a x a =+≤≤又因为是的必要而不充分条件，p ⌝q ⌝即是的必要而不充分条件，所以真包含于，qp A B 所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为.112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩102a -≤≤a 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知M 为抛物线上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线的垂线，2:4C y x =()152x m y m+-=-垂足为N ，则的最小值为______．MF MN+【答案】##33+【分析】根据题意先确定出N 点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化，所求最小值转化为圆||MF 上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.【详解】由知，焦点，准线的方程为，2:4C y x =(1,0)F l =1x -由可得，()152x m y m+-=-5(2)0x y m y --++=由解得，即直线恒过定点，5020x y y --=⎧⎨+=⎩32x y =⎧⎨=-⎩(3,2)P -设中点为，则，由题意知，PF E (2,1)E -NF PN ⊥所以的轨迹为以为直径的圆，N PF则圆的方程为，22(2)(1)2x y -++=过作于，则，M MD l ⊥D ||||MF MN MD MN +=+所以由图知，当运动到时，运动到，共线时，M M 'N N ',,,D M N E '''的最小值为圆上动点到准线的距离的最小值，即||||MD MN +22(2)(1)2x y -++=N [](1)3E xr ---=故答案为：316．已知是椭圆和双曲线的交点，，P ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>1F 是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最大值为2F 1C 2C 1e 2e 1C 2C122π3F PF ∠=1211e e ⋅______．【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出12,PF PF 12,a a 12PF F △的关系，然后再用基本等式求解.12,e e【详解】设12,PF m PF n==因为点在椭圆上，所以①P 12m n a +=又因为点在双曲线上，所以②P 22m n a -=则①②得；①②+12m a a =+-12n a a =-在中由余弦定理得：12PF F △2221222cos3F F m n mn π=+-即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即，即即2221243c a a =+22122234a a c c =+2212314e e =+由基本不等式得：2212314e e =+≥=所以即时成立.1211e e ⋅≤=221231e e =12e =三、解答题17．已知命题 : “方程表示双曲线”，命题: 方程表 示椭圆”p 22112x y m m +=-:q 2211x y m m +=-(1)若 为真命题，求的取值范围;p q ∧m (2)若 为真命题，求的取值范围.p q ∨m 【答案】(1)110122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，(2)()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，【分析】(1)先分别求出命题为真，为真的条件，然后根据为真命题求出结果即可；p qp q ∧(2) 先分别求出命题为真，为真的条件，然后根据为真命题求出结果即可.p qp q ∨【详解】（1）若 为真，有，即; p ()120m m -<()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，若为真，则有，即.q0101m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，若 为真，则有，即.p q ∧m A B ∈⋂112m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）若 为真，有，即; p ()120m m -<()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，若为真，则有，即.q0101m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，若 为真，则有，即.p q ∨m A B ∈⋃()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，18．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线上，与x 轴相切，被直线截得的弦长为30x y -=0x y -=(1)求圆C 的方程；(2)由直线上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形PACB 面积的最小值．40x y ++=【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方(),3,0a a a >0x y -=程来求得，从而求得圆的方程.a C （2）先求得，通过求的最小来求得的最小值.PACB S PA r r=⋅PCPACB S 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为，C (),3,0a aa >3a，(),3a a 0x y -=d 所以，解得，==1a 所以圆的方程为.C ()()22139x y -+-=（2）由（1）得，圆的圆心为，半径，C ()1,3C =3r，所以当最小时，最小.PACB S PA r r=⋅PCPACB S到直线，()1,3C 40x y ++==所以的最小值为，PC所以四边形PACB 3=19．已知平面内两个定点，，过动点M 作直线的垂线，垂足为N ，且(2,0)A -(2,0)B AB .2||MN AN BN =⋅ (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)若直线与曲线E 有且仅有一个交点，求实数k 的取值范围.:1l y kx =+【答案】(1)224x y -=(2)或1k =±k =【分析】（1）设点M 坐标为，然后求出、、的坐标，然后根据可(,)x y MN AN BN2||MN AN BN =⋅ 得答案；（2）由可得，然后分、两种情况求解即可.2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩()221250k x kx ---=210k -=210k -≠【详解】（1）设点M 坐标为，则，，，，(,)x y (,0)N x (0,)MN y =- (2,0)AN x =+(2,0)BN x =- ，，2||MN AN BN =⋅224y x ∴=-即：，点M 的轨迹方程为；224x y -=∴224x y -=（2）将直线方程与曲线方程联立，，2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩()221250k x kx ∴---=①当，即时，直线与曲线E 渐近线平行，满足210k -=1k =±l②当时，直线与曲线E 相切，满足题意，解得()2221042010k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩l k =综上，的取值范围为或k 1k =±k =20．已知椭圆的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．22:132x y E +=(1)求直线PA 与PB 的斜率之积；(2)任意过且与x 轴不重合的直线交椭圆E 于M ，N 两点，证明：以MN为直径的圆恒Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭过点A ．【答案】(1)；23-(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数的值，则得到顶点坐标，设出点，利用椭圆方程和斜a P 率公式，可得答案；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.【详解】（1）由椭圆，可得，则，．22:132x y E +=223,2a b ==()A)B 设点，则有，即，(),P x y 22132x y +=()222221333x y x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭所以．()22222323333PA PBx y k k x x -⋅====---（2）证明：设，，()11,M x y ()22,N x y 因为MN 与x 轴不重合，所以设直线，):MN l x ty t =∈R 由，化简得；222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩()2214423025ty +-=由题意可知成立，且；0∆>121221442523y y y y t ⎧⎪⎪+=⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎩()()11221212AM AN x y x y ty ty y y ⎛⋅==+ ⎝()()2121248125t y y y y =+++，将韦达定理代入上式，可得，()221444825102325t t -++=+所以，即以MN 为直径的圆恒过点A ．AM AN ⊥21．设抛物线的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，于，定点使()220y px p =>AA l '⊥A '()0,1K有最小值．KA AA '+(1)求抛物线的方程；(2)当（且）时，是否存在一定点T 满足为定值？若存在，求出T 的坐KA KB λ= R λ∈1λ≠TA TB ⋅标和该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)24y x=(2)存在定点，使得为定值．19,48T ⎛⎫ ⎪⎝⎭TA TB ⋅8564【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；（2）由已知可得，直线经过点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，AB K 得到，，表示出，整理完成得到124y y t +=124y y t =TA TB ⋅，可知当所有的形式前面的系数均为0时为定值，即()()22214222m t n T T m t m A B n =-+-⋅+++t 可解出T 的坐标和该定值.【详解】（1）设抛物线焦点为F ，，根据抛物线的定义有，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭AA AF'=，所以（舍去负值），=2p =±则抛物线的方程为．24y x =（2）∵，∴K 、A 、B 三点共线．KA KB λ=∴设直线AB 方程为，()1x t y =-设，，，()11,A x y ()11,B x y (),T m n 联立得，()241y x x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2440y ty t -+=，则或.()24440t t ∆=-⨯>0t <1t >，，，，124y y t +=124y y t =()111x t y =-()221x t y =-且有，()()()()1212TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--而()()()()1212TA TB ty m t ty m t y n y n ⋅=-+-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()22212121t y y t m t n y y m t n =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()222144t t t m t n t m t n=+-+++++⎡⎤⎣⎦，()()22214222m t n m t m n =-+-+++因为，的任意性，要使该值为定值，需满足t ，可得，此时.140220m n m -=⎧⎨-+=⎩1498m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8564TA TB ⋅=22．已知椭圆是C 上的动点，以M 为圆心()2222:10x y C a b a b +=>>()00,M x y 作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，若存在圆M 与两坐标2r =轴都相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；1k 2k 12k k (3)证明：为定值？并求的最大值．22OP OQ+OP OQ⋅【答案】(1)；221205x y +=(2)证明见解析；(3)证明见解析，最大值为．252【分析】（1）由存在圆M 与两坐标轴都相切确定圆心M 坐标，由离心率及点M 坐标即可列方程组求参数；（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得，是该方程的两个不相等的实数根，1k 2k 由韦达定理及点在椭圆C 上可得为定值；()00,M x y 12k k （3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设，，由（2）得，结()11,P x y ()22,Q x y 22221212116y y x x =合，在椭圆C 上，可得，，即有，当直()11,P x y ()22,Q x y 221220x x +=22125y y +=2225OP OQ +=线OP ，OQ 落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得的最大值.OP OQ⋅【详解】（1）由椭圆的离心率，c e a===224a b =又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，M ()2,2M ±±代入，解得：，则，222214x y b b +=25b =220a =∴椭圆方程：．221205x y +=（2）因为直线，与圆M 相切，1:OP y x k =2:OQ y k x =由直线与圆联立，1:OP y x k =()()2200:4M x x y y -+-=可得，()()22221100012240k x x k y x x y +-+++-=同理，()()22222200012240k x xk y x x y +-+++-=由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，∴1k 2k ()22200004240x k x y k y --+-=，20122044y k k x -=-因为点在椭圆C 上，所以，所以．()00,M x y 220054x y =-1214k k =-（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设，，()11,P x y ()22,Q x y 因为，所以，1214k k =-22221212116y y x x =因为，在椭圆C 上，所以，整理得，()11,P x y ()22,Q x y 2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221220x x +=所以，所以．22222212121255105444x x x x y y ++=-+-=-=2225OP OQ +=当直线落在坐标轴上时，显然有，2225OP OQ +=综上，，所以，2225OP OQ +=()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=所以的最大值为．OP OQ ⋅252【点睛】（2）中由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，1k 2k 即可进一步消元化简.。
2020-2021学年四川省树德中学高二上学期12月阶段性测试 物理 PDF版
A．t=T 时，小球到达 B 点，此时速度大于 v
B．0 到 T 时间内小球的动量变化量与 T 到 T
2
2
时间内小球的动量变化量相同
C． T 时刻与 T 时刻小球的速度方向相同 2
D. T 时刻与 3T 时刻小球的速度大小相同
4
4
13.竖直放置的带电平行金属板之间的电场可以看成是匀强电场，现有
一带电小球从两带电平行金属板中的 M 点竖直向上抛出，其运动轨迹
C．电源的输出功率变大
B．乙图中表示条形磁铁的磁感线从 N 极出发，到 S 极终止 C．丙图中导线通电后，其正下方小磁针的旋转方向符合物理事实 D．丁图中环形导线通电后，其轴心位置小磁针的旋转方向符合物理事实 2．在研究微型电动机的性能时，可采用如图所示的实验电路．当调节滑动变阻器 R，使 电动机停止转动时，电流表和电压表的示数分别为 1.0A 和 1.0V；重新调节 R，使电动机 恢复正常运转时，电流表和电压表的示数分别为 2.0A 和 15.0V．则当这台电动机正常运转
的示数为 3.5V；换用 0～15V 挡（内阻为 3000Ω）接在该电源两端时，示数为 5.0V；则电
源的电动势 E 为______V，内阻 r 为______Ω；
16．(8 分)为测量某金属丝的电阻率，小明同学设计了如图甲、乙所示的两种实验方案，
已知电源的电动势 E 和内阻 r 在实验过程中保持不变。
(1)小明先进行了如图甲方案的测量。
树德中学高 2019 级 12 月阶段性测试物理试题 第 2 页 共 4 页
①他首先利用游标卡尺和螺旋测微器分别测出甲、乙两根不同金属丝的直径，示数分别如 图甲、乙、所示。则两根金属丝直径的测量值分别为: d 甲=________mm、d 乙=________mm.
四川省成都市树德实验中学东区2020年高二数学理上学期期末试题含解析
四川省成都市树德实验中学东区2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.参考答案：A2. 如图:图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案。
【详解】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，，，，，由此类推可得：经检验满足条件。
故答案选C 【点睛】本题考查归纳推理能力，解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题。
3. 已知函数的部分图象如题（6）图所示，则（）A. =1 =B. =1 =-C. =2 =D. =2 = -参考答案：D由五点作图法知，= -.4. 已知随机变量～，且，则A．0.15 B．0.35 C．0.85 D．0.3参考答案：C5. 已知m,n是两条不重合的直线，,,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若则；②若则；③若则；④若m,n是异面直线,则。
其中正确的命题是（）A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④参考答案：D6. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A B C D参考答案：D略7. 观察数组：，，，------则的值不可能是（）A．112 B．278 C. 704 D．1664参考答案：B8. 用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根参考答案：A【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．9. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.参考答案：B【分析】先求出圆心到直线的距离，根据距离的最小值为，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得，圆心到直线的距离所以圆上的点到直线的距离的最小值为.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.10. 如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．sin2θ+cos2θ=B．sin2θ+cos2θ=C．sin2θ+cos2θ=1D．sin2θ+cos2θ=1参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，根据双曲线的几何性质可得，=，以及离心率以及a，b，c的关系即可求出答案．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）?，∴c2（）tanθ=c2（）?，∴（）sin2θ=（）?cos2θ，∴，故选：B【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质，以及椭圆和双曲线的简单性质，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的焦点为，离心率为，则双曲线的方程是-----_________参考答案：略12. 已知二面角α－AB－β为120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF与AB成30°角，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为参考答案：13. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为________．参考答案：14. 若双曲线上一点到右焦点的距离为4，则点到左焦点的距离是▲．参考答案：10略15. 已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=________．参考答案：2【考点】导数的运算【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），则其导数f′（x）=1+ ，则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）的解析式，将x=0代入即可得答案．16. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。
2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市成都市树德中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．与直线320x ++=垂直的直线的倾斜角为（ ）． A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可. 【详解】323320x y y x +=⇒=,所以该直线的斜率为33-,设与它垂直的直线的斜率为k ,所以有313k k =-⇒=,设与直线320x +=垂直的直线的倾斜角为α,则有tan 33παα=⇒=.故选：B 【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.2．命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是（ ）． A ．若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠ B ．若0x =且0y =,220x y +≠ C ．若220x y +≠,则0x ≠或0y ≠ D ．若220x y +≠,则0x ≠且0y ≠【答案】A【解析】根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若220x y +=,则0x =且0y =”的等价命题是若0x ≠或0y ≠,则220x y +≠. 故选：A本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.3．若双曲线221yxm-=的一个顶点在抛物线212y x=的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．3B．5C．23D．25【答案】B【解析】求出抛物线212y x=的准线，这样可以求出m的值，进而可以求出双曲线的离心率.【详解】∵抛物线212y x=的准线方程为12y=-，∴14m=，则离心率114512e+==，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.4．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题． 5．下列说法正确．．的个数是（ ）． ①“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”是一个真命题； ③命题:p αβ≠,:sin sin q αβ≠,则p 是q 的必要不充分条件；④命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】说法①：按照逆命题的定义写出“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断p 是不是q 的必要不充分条件；说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是不是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”． 【详解】说法①：“若4m n +≥,则m ,n 中至少有一个不小于2”的逆命题是若m ,n 中至少有一个不小于2”,则4m n +≥,当3,0m n ==时,显然满足m ,n 中至少有一个不小于2”,但是得不到4m n +≥,所以本说法是错误的；说法②：命题“设,a b ∈R ,若5a b +≠,则2a ≠或3b ≠”的逆否命题是若2a =且3b =则5a b +=,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；说法③：当0,αβπ==时，显然αβ≠成立,但是sin sin αβ≠不成立,故由:p αβ≠不一定能推出sin sin αβ≠成立,但是由sin sin αβ≠成立,一定能推出αβ≠,所以本说法是正确的；说法④：因为命题“x ∃∈R ,使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++≥”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.6．甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可. 【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为13， 故选B. 【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.7．为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入（x 万元） 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1支出（y 万元） 5.8 7.88.18.49.9根据上表可得x ,y 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0.78b =,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）． A ．11.12万元 B ．12.02万元C ．11.02万元D ．12.12万元【答案】A【解析】求出,y x ,根据ˆ0.78b=,ˆˆa y bx =-,可以求出ˆa ,最后把14代入ˆˆˆy bx a =+中,求出家庭年支出. 【详解】5.87.88.18.49.98.38.69.911.112.18,1055y x ++++++++====.因此有ˆˆ80.78100.2ay bx =-=-⨯=,所以ˆ0.780.2y x =+,最后把14代入得, ˆ0.78140.211.12y=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,若AO BO =（O 为坐标原点）,则实数t 的值为（ ）． A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：12,,O C C 在同一条直线上,得到t 的值,再检验两圆是否相交. 【详解】因为圆()()221:1216C x y -++=与圆()()222:31C x t y t -+--=交于点A ,B 两点,所以直线12C C 垂直平分线段AB ,又因为AO BO =,所以点A 在线段AB 的垂直平分线上,故12,,O C C 在同一条直线上, 圆()()221:1216C x y -++=的圆心坐标为1(1,2)C -,半径为4, 圆()()222:31C x t y t -+--=的圆心坐标为2(,3)C t t +,半径为1,所以直线1OC 的方程为2y x =-,把2(,3)C t t +的坐标代入,得321t t t +=-⇒=-, 此时有12253255C C =<<∴符合题意. 故选：C【点睛】本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力. 9．已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.【详解】 由题意，根据 ，，得是的中点，且.过作于点，则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.设直线交轴于点，根据及是的中点，得.又，所以，即,因此直线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知()(){22,11A x y x y =+-≤或()22224110x y x y x ⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪++≥⎨⎬⎪⎪≤⎪⎪⎩⎭，下列命题中：①A 在平面直角坐标系中表示的区域的面积为3π2；②()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=；③(),x y A ∀∈，都有25225x y -≤+≤+点(),x y A ∈，则223x t x y -=--的取值范围是2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】集合A 表示的图形，分别分析选项，得到正确答案， ①根据图象，直接求判断集合A 的面积是圆面积的一半； ②转化为两圆是否相交问题； ③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，转化为线性规划问题； ④变形为()22112312222x y x y y tx x x --+---===----，先求12y z x -=-的范围，最后求t 的范围.【详解】①如图，根据对称性可知，集合A 表示的面积占圆面积的一半，2114222S r πππ==⨯⨯=，故①不正确；②22000410x y x +-+=，整理为()2223x y -+=，以()2,0为圆心，3r =的圆，与()2211x y +-=的圆的圆心距2221531d+=<，可知两圆相交，有2个交点，所以()00,x y A ∃∈，使得22000410x y x +-+=，故②正确；③设2z x y =+，122z y x =-+，表示斜率为12-的直线，2z表示纵截距，如图，当直线与圆()2211x y +-=相切时，2z x y =+取得最大值，此时圆心到直线的距离0215zd +-==，解得25z =-或25z =+，如图，舍去25z =-，所以z 的最大值是25+，如图，当直线与224x y +=相切时，2z x y =+取得最小值，圆心到直线的距离 25z d ==，25z =±，如图舍去25z =，所以z 的最小值是25z =-，所以(),x y A ∀∈，都有25225x y -≤+≤+成立，③正确；④()22112312222x y x y y tx x x --+---===----， 设12y z x -=-表示可行域内的点与点()2,1连线的斜率， 设()12y k x -=-，当直线与圆()2211x y +-=相切时，圆心到直线的距离212111k d k -++==+，解得3k =，如图可知3k =，当直线过点()0,2-时，斜率()123202k --==-，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以332z ≤≤，13222z ∴≤-≤+632t -≤≤，故④不正确.故只有②③正确.故选：B 【点睛】本题考查不等式，线性规划问题，圆与圆的位置关系的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.11．双曲线22:13x C y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于P 、Q 两点,且190F PQ ∠=︒,则1F PQ V 的内切圆半径等于（ ）． A 52- B 51- C 51 D 53【答案】D【解析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出12PF PF +的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出1F PQ V 的内切圆半径. 【详解】因为190F PQ ∠=︒,所以22212(231)16PF PF +=+=,而1223PF PF -=可得 1225PF PF +=根据直角三角形内切圆半径,可得1F PQ V 的内切圆半径等于11122125235322PF PQ FQ PF PF F Q FQ +-++--===故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.12．如图，过抛物线24y x =焦点F 作直线l ，交抛物线于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，则22AB CD的最小值为（ ）A ．114B ．52C ．1314D ．1312【答案】D【解析】设出直线l 的方程，代入抛物线方程，求出线段PQ 的中点M 的坐标，以及圆M 的半径，然后表示出2AB ，2CD ，最后用换元法及基本不等式求出22AB CD的最小值. 【详解】由题意()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入24y x =，并消去x ，得2440y my --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12124,4y y m y y +==-，1222y y m +=，代入2121x my m =+=+ ， ()22,21M m m ∴+，圆的半径()222121212111114222r PQ m y m y y y y ==+-=++-()222111616212m m m =++=+ 过点M 作MG AB ⊥，MH CD ⊥，则()()()()2222224244222161AB r MGm m m m ⎡⎤=-=+-=++⎢⎥⎣⎦， ()()()()22222222442221443CD r MHm m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ()()24222161443m m AB m CD++∴=+ ，令()2433m t t +=≥ ，234t m -=，22223312134444t t AB t t t t CD--⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭∴=⨯= ()()1131122132131442t t ⎛⎫=+-≥-=- ⎪⎝⎭，当13t t=时，等号成立，即13t =. ∴22AB CD的最小值为131-.故选：D 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系的综合问题，意在考查逻辑推理和计算能力，属于中档难题，本题的关键是通过所设的直线，正确表示2AB 和2CD .二、填空题13．某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1200~编号,并按编号顺序平均分为40组（15~号,610~号,…,196200~号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______． 【答案】28【解析】根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第k 组的号码,让6k =代入求值即可. 【详解】有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第k 组的号码为5(1)352k k -+=-,当6k =时，可得28. 故答案为：28 【点睛】本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力. 14．已知函数()4f x x x=+，()2xg x t =+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则实数t 的取值范围是______．【答案】1t ≤【解析】首先根据单调性求两个函数的值域，由题意可知()()max max f x g x ≥ 【详解】()4f x x x=+，在[]1,2上单调递减， ()()15,24f f == ， ()45f x ∴≤≤，()2x g x t =+，在[]1,2上单调递增，()()12,24g t g t =+=+ ()24t g x t ∴+≤≤+，若[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()21f x g x ≥，则()()max max f x g x ≥，即54t ≥+ ， 解得：1t ≤ . 故答案为：1t ≤ 【点睛】本题考查双变量任意，存在问题求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，一般对于双变量，若满足1x A ∀∈，2x B ∃∈，使()()12f x g x ≥，只需满足()()min min f x g x ≥ ，若是()()12f x g x ≤，只需满足()()max max f x g x ≤.15．已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线C于A ，B 两点，若AF 、BF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为______． 31【解析】首先根据数形结合分析，FA FB ⊥，且O 是AB 的中点，所以OF OA =，直线与双曲线方程联立求点A 的坐标，根据22OF OA =，得到222222222333a b a b c b a b a∴+=--，再转化为关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由对称性可知原点O 是AB 的中点，又AF 、BF 的中点分别为M 、N ，//,//OM BF ON AF ∴， ∴四边形ONFM 是平行四边形，Q 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，OM ON ∴⊥ ， ∴ 四边形ONFM 是矩形，FA FB ∴⊥,OF OA ∴=设(),A x y222213x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得2222222222333a b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩ ， 222222222333a b a b c b a b a∴+=-- ，即()2222243a b c b a =- ，222b c a =-， ()()22222244a c a c c a -=-4224840c a c a -+= ，两边同时除以4a ，得42840e e -+=，1e > ，()2242331e ∴=+=+ ，∴ 31e =+.31【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：222111c b e a ab c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.16．已知向量1a =r，2b =r ，则2a b a b ++-r r r r 的取值范围为______．【答案】333z ≤≤【解析】首先根据绝对值三角不等式求最小值，然后利用数量积求()()222254cos 88cos a b a b a ba bθθ++-=+-=+-r r r r r r r r 利用柯西不等式求最大值. 【详解】a b a b +≥+r r r r Q 当a r 与b r同向时，等号成立，()()2233a b a b a b a b a ∴++-≥++-==r r r r r r r r r，当a b +rr 与2a b -r r 同向，即a r 与b r 同向时，确定最小值3， ()()222254cos 88cos a b a b a ba bθθ++-=+-=+-r r r r r r r r()()2222ac bd ab c d +≤++Q ，当ad bc =时等号成立，上式()()154cos 244cos 1254cos 44cos 33θθθθ=+-≤+++-=44cos 254cos θθ-=+，解得1cos 2θ=-， 0θπ≤≤Q ，23θπ∴=，当a r 与b r的夹角为23π时取得最大值33∴原式的最大值是33333z ∴≤≤【点睛】本题考查向量的模的范围，意在考查转化与化归和计算能力，公式a b a b +≤+既适应于实数，也适用于向量，柯西不等式注意变形.三、解答题17．已知圆C 过点()2,1A --，和直线10x y -+=相切，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 【答案】（1）()()22122x y +++=；（2）0x =或34y x =． 【解析】（1）根据条件设圆心(),2C a a ，圆心到直线10x y -+=的距离就是半径，CA r =， 待定系数法求圆的方程；（2）由弦长公式可知圆心到直线的距离1d =，所以分k 不存在和k 存在两种情况讨论求直线方程. 【详解】（1）设圆心为(),2C a a ， ∴()()2212212a d a a -==+++1a =-．所以圆心()1,2--，2r =C 的方程()()22122x y +++=．（2）2222222l r d d =-⇒=-21d =， ①k 不存在时，0x =，满足条件1d =； ②k 存在时，设:l y kx =，2211k d k -==+，得34k =，所以3:4l y x =． 综上，直线l 的方程为0x =或34y x =． 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程和求直线方程，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.18．设命题:p 实数m 满足240m am -+>；命题:q 曲线22115x y m m +=--表示双曲线．（1）若5a =，若p 为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）14m <≤；（2）4a <．【解析】（1）分别求两个命题表示的m 的取值范围，由题意可知，命题p 假q 真，列不等式求m 的取值范围；（2）根据逆否命题的等价性可知q 是p 的充分不必要条件，转化为在给定区间恒成立求参数，即4a m m ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，15m <<时恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当5a =时，2540m m -+> ，解得：4m >或1m <，22115x y m m +=--表示双曲线，可知()()150m m --<，解得：15m <<， :4p m >或1m <；:15q m <<．由题意知，p 假q 真141415m m m ≤≤⎧⇒<≤⎨<<⎩．综上，14m <≤．（2）由条件得q 是p 的充分不必要条件， ∴()1,5m ∀∈，240m am -+>恒成立，4a m m ∴<+恒成立，当()1,5m ∈时， 即min4a m m ⎛⎫<+⎪⎝⎭， 44m m +≥，当4m m=时等号成立，解得2m = 所以4a <． 【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数和根据充分必要条件求参数，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.19．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在[]50,100内,现将成绩按区间[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90，[]90,100进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组[)80,90,[]90,100的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率．【答案】(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2) 求邮青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y ,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自[]90,100分数段的概率． 【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为()550.01650.03750.03850.025950.0051073.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．(2)青年组[)80,90,[]90,100的分数段中答卷分别为12份,8份, 抽取比例为511284=+,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记[)80,90中的3位市民为a ,b ,c ,[]90,100中的2位市民为x ,y , 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：(),,a b c ,(),,a b x ,(),,a b y ,(),,a c x ,(),,a c y ,(),,a x y ,(),,b c x ,(),,b c y ,(),,b x y ,(),,c x y ．其中,有2位来自[]90,100的有3种：(),,a x y ,(),,b x y ,(),,c x y ． 所以所求概率310P =． 【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3直线30x y +=过椭圆C 的右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过椭圆C 上顶点M 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ,B 两点,且1MA MB k k +=-．求证：直线l 恒过定点,并求出该定点．【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析,过定点()2,1-.【解析】(1)根据直线30x y +=过椭圆C 的右焦点可以求出c 的值,再根据离心率的公式求出a 的值,根据,,a b c 之间的关系求出b ,最后写出椭圆方程即可； (2)求出上顶点M 的坐标,设()11,A x y ,()22,B x y ,利用斜率公式化简等式1MA MB k k +=-,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到21m k =--,进而可以确定直线l 恒过定点,也就求出该定点的坐标.【详解】解：(1)3c =，322c e a a ==⇒=,1b =,椭圆C 的方程为2214x y +=；(2)上顶点()0,1M ,设()11,A x y ,()22,B x y ,12121111MA MB y y k k x x --+=-⇒+=-, 即()1212121211211kx m kx m x x k m x x x x +-+-++=+-=-．① 联立直线和椭圆得()222418440k x kmx m +++-=,12221282441x x km km x x m m +--==--,代入①式得,21m k =--, ∴:21l y kx m kx k =+=--恒过定点()2,1-． 【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.21．已知动圆过定点()0,1A ，在x 轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）若()0001,2P x y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭为轨迹E 上一动点，过点P 作圆()22:11C x y +-=的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点，求PMN V 面积的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）22x y =；（2）2，()2,1P ±．【解析】（1）设(),E x y ，根据EA R =，弦长2222222l R d R y =-=- ，所以221R y =+，利用2R 相等，转化成关于(),x y 的方程；（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-，首先表示纵截距00y y kx =-，然后利用直线与圆相切，有002111kx y d k -+==+，表示为关于k 的二次方程，并且()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=-，最后再表示面积()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△，再求最值. 【详解】（1）设(),E x y ，根据EA R =()2221R x y ∴=+-Q 弦长2222222l R d R y =-⇒=-，解得：221R y =+ ，()22211x y y ∴+-=+ ，整理为：22x y =,E ∴的轨迹方程为22x y =．（2）设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为()00y y k x x -=-， 令0x =，得00y y kx =-，∴切线与y 轴的交点为()000,y kx -，而002111kx y d k -+==+，整理得()()2220000012120x k x y k y y -+-+-=，012y >，∴201x >． 设两切线斜率为1k ，2k ，则()001220211x y k k x -+=-，200122021y y k k x -=- ∴()()201002001201122PMN S y k x y k x x k k x =---=-△， ∵()()()()2222200000122222200042414111y y x y y k k x x x ---=-=---， ∴0122021y k k x -=-，则200221PMN y S y =-△．令()0210y t t -=>，则012t y +=， ()221221121222t t t t f t t t t+⎛⎫ ⎪++⎝⎭===++ 而1112122222t t t t++≥⋅=，当且仅当122t t =，即1t =时，“＝”成立．此时，()2,1P ±∴PMN S △的最小值为2，()2,1P ±． 【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线()00y y k x x-=-，利用相切，有002111kx ydk-+==+，表示为关于k的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础.22．已知抛物线21:1C y x=-与y轴交于点M,直线1:l y kx=与抛物线1C交于点A，B两点．直线MA,MB分别交椭圆222:14xC y+=于点D、E（D,E与M不重合）(1)求证：MD ME⊥；(2)若1732MABMDESS=△△,求直线1l的斜率k的值；(3)若O为坐标原点,直线2l交椭圆2C于P，Q，若ON OP OQ=+u u u r u u u r u u u r,且14OP OQk k⋅=-,则22ON PQ+是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)32k=±；(3)是定值,22ON PQ+为定值10.【解析】(1) 直线l和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出1MA MBk k⋅=-,也就证明出MD ME⊥；(2)设出直线MA的斜率,直线MB的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出A,B的坐标,最后利用面积公式求出MABS△的表达式,同理求出MDES△的表达式,最后求出直线1l的斜率k的值；(3) 设()33,P x y,()44,Q x y,根据余弦定理和14OP OQk k⋅=-,可以得到又223344x y+=,224444x y+=.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出22ON PQ+的值为定值.【详解】解：(1)由题意知,直线l的方程为y kx=．由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=,121x x =-． 又点M 的坐标为()0,1-， 所以()()()2221212121212121211111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++++-++⋅=⋅====--故MA MB ⊥,即MD ME ⊥．(2)设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -． 又直线MB 的斜率为11k ，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 于是，22111121111111111222k S MA MB k k k k k +=⋅=++=．由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=, 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又直线的斜率为11k ,同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 于是,()()()2112221132112144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此，21122111174176432S k S k ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭． 由题意知,解得214k =或2114k =．又由点A ,B 的坐标可知,21211111111k k k k k k k -==-+,所以32k =±． (3)设()33,P x y ,()44,Q x y ,四边形OPNQ 为平行四边形， 由余弦定理有2222cos ONOP PN OP PN OPN =+-⋅⋅∠,2222cos PQ OP OQ OP OQ POQ =+-⋅⋅∠,两式相加得()22222ON PQ OP OQ +=+．又3434144OA OB k k x x y y ⋅=-⇒=-． 又223344x y +=,224444x y +=，上面两式移项相乘得()()222222223434343444164x xy y x x x x --==⇒+=,上面两式相加得()2222223434344441x x y y y y -+-=-+⇒+=． 所以()()2222222234342210ON PQ OP OQ xx y y +=+=+++=．因此22ON PQ +为定值10． 【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.。
2020-2021成都树德实验中学东区高二数学上期中第一次模拟试题(含答案)
2020-2021成都树德实验中学东区高二数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1582．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( ) A ．P(0<X≤2) B ．P(X≤1) C ．P(X=1)D ．P(X=2)3．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下： 甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．66．用秦九韶算法求多项式()54227532f x x x x x x =+++++在2x =的值时，令05v a =，105v v x =+，…，542v v x =+，则3v 的值为（ ）A ．83B ．82C ．166D ．1677．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．1510．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．2511．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1312．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 二、填空题13．判断大小，，，，则、、、大小关系为_____________.14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________． 15．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表： X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．16．已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 17．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2x ，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则数据x 的所有可能值为__________．s ，则正整数M为__________．18．执行如图所示的程序框图，如果输出319．计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．20．如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm，中间是边长为2cm的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;三、解答题21．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.22．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量（单位：度）(]0200，(]200400，400600]（，(]600,800(]800,1000户数7815137(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？23．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.24．现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试成绩预计同时有了大的提升：若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为4x+.（1）试预测：高三6次测试后，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？谁的成绩更稳定？（2）若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别由低到高进步的，定义y 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值，求y 的平均值.25．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV -“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料： 日期 1月20日 2月20日 3月20日 4月20日 5月20日 6月20日 昼夜温差()x ℃1011131286就诊人数(y 人)22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b$()1122211()()nni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy x x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-$$)26．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构2．B解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．3．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.5．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】利用秦九韶算法，求解即可. 【详解】利用秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：()((((75)3)1)1)2f x x x x x =+++++按照从里到外的顺序，依次计算一次多项式当2x =时的值：07v =172519v =⨯+= 2192341v =⨯+= 3412183v =⨯+=故选：A 【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的应用，属于中档题.7．C解析：C 【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615CpC==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115CpC==；故124 15p p p=+=.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.10．D解析：D【解析】【分析】【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102. 255=故答案为D．11．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．12．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题13．a<c<b<d 【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc 的大小关系从而得出abcd 的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log解析：.【解析】 【分析】利用中间值、来比较，得出，，，，再利用中间值得出、的大小关系，从而得出、、、的大小关系． 【详解】由对数函数的单调性得，，即，，即，，即．又，即， 因此，，故答案为．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下： （1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答 解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.16．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.35.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =. 故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．-11或3或17【解析】分析：设出未知数根据这组数的平均数中位数众数依次成等差数列列出关系式因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同所以要讨论x 的三种不同情况详解：由题得这组数据的平均数为众数是解析：-11或3或17 【解析】分析：设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于x 的值不同所得的结果不同，所以要讨论x 的三种不同情况．详解：由题得这组数据的平均数为10252422577x x +++++++=，众数是2，若x ≤2，则中位数为2，此时x=﹣11，若2＜x ＜4，则中位数为x ，此时2x=2527x++，x=3， 若x ≥4，则中位数为4，2×4=2527x++，x=17， 所有可能值为﹣11，3，17. 故填 -11或3或17.点睛：本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目．在求数列的中位数时，必须分类讨论,不能不分类讨论.18．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
2020-2021学年四川省树德中学高二上学期12月阶段性测试 数学(理) PDF版
由题意可得
P
x
a
x
2a
，
Q
x
1
x
4
，从而
a 1 2a
4
a a
1 2
a
1, 2
，
故 a 的取值范围是 1, 2 .…………………………10 分
18.解：圆 M 的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.
(1) 由圆心在直线 x 6 上，可设 N(6, y0 ) ． N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，0 y0 7 ，
18．（本小题 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M : x2 y2 12x 14y 60 0．
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程；
（2）过点 A(1,0) 作圆 M 的切线，求切线 l 的方程．
（2）设椭圆 C1 上一动点T 满足：OT OA 2OB ，其中 A, B 是椭圆 C1 上的点，且直线 OA,OB
的斜率之积为
1 4
.若
N(, ) 为一动点，点 P
满足 PQ
1 2
F1F2
.试探究
NP
NQ
是否为定值，如果
是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
2020-12 高二数月 12（理） 第 2 页共 2 页
A．13
B．18
C．23
D．28
5．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、
空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某
A． 2