湘教版九年级数学上册 第3章知识梳理
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
湘教版九年级数学上册第3章教学课件：3.4.1 第4课时 相似三角形的判定定理3(共19张PPT)
C1 ∴ △ABC∽△A1B1C1.
二 相似三角形的判定定理3的运用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
D E 2 .4 0 .6 ,E F 2 .1 0 .6 ,F D 1 .8 0 .6 , A B4 B C3 .5 C A3
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
A
A1
B
C
D
E
∴ A1D DE A1E
B1
C1
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB BC AC A1B1B1C1A1C1,A1DAB
∴
= 90°，且A' B' A'C'
AB AC
求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件可设AB=k A′B′,AC=k A′C′
从而 BC2 = AB2-AC2 =(kA′B′)2-(kA′C′)2 = k 2A′B′ 2 – k 2A′C′2 =k 2(A'B'2-A'C'2) = k 2B′C′2 =(k B′C′)2.
解：公路AB与CD平行.
∵ AB 14 2 BD 21 3
AD 28 2
BC 42 3
BD 21 2 DC 31.5 3
28 D
A
31.5
湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习说课稿
湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习说课稿，主要涵盖了锐角三角函数的定义、性质以及应用。
本章内容是初中的重要知识点，也是高考的考点之一。
通过本章的学习，使学生掌握锐角三角函数的定义、性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题，为高中阶段的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角函数的基本知识，对本章内容有一定的了解。
但学生在理解和运用锐角三角函数解决实际问题方面还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解和运用锐角三角函数，提高学生的解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握锐角三角函数的定义、性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作探究的方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习锐角三角函数的兴趣，培养学生的自信心，使学生体验到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义、性质。
2.教学难点：运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作探究、讲解演示、练习巩固的方法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助教学。
六. 说教学过程1.引入新课：通过复习锐角三角函数的定义、性质，引导学生进入学习状态。
2.自主学习：让学生自主探究锐角三角函数的运用，引导学生发现问题、解决问题。
3.合作探究：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
4.讲解演示：教师对学生的解题方法进行讲解，引导学生正确理解锐角三角函数的运用。
5.练习巩固：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以采用流程图、图示、等形式，展示锐角三角函数的定义、性质及运用。
八. 说教学评价教学评价可以从以下几个方面进行：1.学生对锐角三角函数的定义、性质的掌握程度。
2023九年级数学上册第3章图形的相似3.3相似图形教案(新版)湘教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、课程基本信息
1.课程名称：九年级数学上册第3章《图形的相似》3.3相似图形教案（新版）湘教版
2.教学年级和班级：九年级一班
3.授课时间：2023年4月10日
4.教学时数：1课时（45分钟）
- 相似图形的周长比：相似比为k:1的图形，周长比为k:1。
- 相似图形的转换：相似图形可以通过缩放、旋转和翻转相互转换。
- 相似图形与全等图形的区别：相似图形只要求形状相同，而全等图形要求形状和大小都相同。
三、学情分析
九年级的学生在数学学习方面已经积累了一定的基础知识，对平面几何图形有一定的了解。他们已经学习了三角形的性质、全等图形的概念和判定、比例线段等知识，这些都为相似图形的学习奠定了基础。大部分学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，能够通过观察和分析发现图形的相似性质。
然而，学生在学习过程中仍存在一些问题。首先，部分学生在理解相似图形的概念时，容易与全等图形混淆，分不清两者的区别。其次，学生在运用相似性质解决问题时，往往缺乏推理能力和证明意识，不能灵活运用所学知识解决实际问题。此外，部分学生的空间想象力较弱，对复杂图形的相似关系难以理解和把握。
教学反思方面，我认为自己在教学方法和策略上还有待改进。例如，在讲解相似图形的性质时，我采用了举例子的方式，但有些学生仍然难以理解和掌握。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更多地采用直观的教学手段，如使用教具、多媒体资源等，帮助学生更好地理解和掌握相似图形的性质。此外，我在课堂管理方面也存在一些问题，如学生在课堂讨论时过于嘈杂，影响了其他学生的学习。这让我认识到，在今后的教学中，我需要加强对课堂纪律的管理，确保每个学生都能在良好的学习环境中学习。
湘教版数学九年级上册 第3章 小结与复习
△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条边长
为 36 和 39 ．
3. 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上
且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与
△ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 .
A
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( C )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 已知 △ABC ∽ △A′B′C′，下列图形中， △ABC 和
△A′B′C′ 不存在位似关系的是
B
B
A
C' B
( B) B'
C
A(A') B'
B
B'
C
A(A') C'
B
B'
C
D
C C'
A(A')
CF
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长. 解：作 BM⊥AC 于点 M. ∵ AC＝AB＝6，A ∴ AM＝CM＝3. ∵ AD ＝ 2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. 在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中，
M
E
D
BM 62 32 3 3 ，
B
CF
BD BM 2 MD2 2 7 . 由(1) △ABD ∽△CED 得，
8. 位似
(2(1) )性如质果：两位个似图图形形不上仅任相意似一，对而对且应对点应到顶位点似的中连心 的线距相离交之于比一等点于，位那似么比这；样对的应两线个段图平形行叫或作者位在 一似条图直形线，上这. 个点叫作位似中心.
湘教版九年级上册数学第3章 图形的相似 相似图形
4．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝12, AC＝15，A′B′＝16，则A′C′的长为( ) A．18B．20C．24D．32
B
5．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A
A．87°B．60°C．75°D．120°
6．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E ＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21.求∠D，∠F的大小和AD的长．
2．相似三角形的对应角________，相对等应边________． 成比例
3．对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角________、对应边
________，那么这两个多边形叫作相似多边形．
相等
成比例
1．下列图形不一定相似的是( )
C
A．两个圆
B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．国旗上的五角星
解：∵E 为矩形 ABCD 的边 AD 的中点， ∴AE＝12AD，AD＝BC. ∵矩形 ABCD∽矩形 EABF， ∴AAEB＝ABBC，∴AAEB＝AADB， ∴AE·AD＝AB2＝1，即12AD2＝1， 解得 AD＝ 2(负值已舍去)．
8．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a ，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
2．若△ABC∽△DEF，∠A＝50°，则∠D的度数是( )
A
A．50°B．60°C．70°D．80°
Байду номын сангаас
3. 若△ABC与△DEF的相似比为4∶3，则△DEF与△ABC的相似比为( ) A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶16
B
湘教版数学九年级上册第三章《图形的相似》复习说课稿
湘教版数学九年级上册第三章《图形的相似》复习说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册第三章《图形的相似》是整个初中数学的重要内容，也是九年级上学期的重点和难点。
本章主要介绍了相似图形的概念、性质和运用。
通过本章的学习，学生能够理解相似图形的定义，掌握相似图形的性质，并能运用相似图形解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一些基本的数学概念和运算规则有一定的了解。
但是，对于图形的相似这一概念，学生可能比较抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过大量的实例和图形，帮助学生直观地理解相似图形的概念和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解相似图形的定义，掌握相似图形的性质，并能运用相似图形解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似图形的定义和性质。
2.教学难点：相似图形的性质的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际的图形，引导学生观察和思考，引出相似图形的概念。
2.新课导入：介绍相似图形的定义和性质，通过实例和图形进行讲解和演示。
3.课堂练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学的内容。
4.应用拓展：通过一些实际问题，引导学生运用相似图形进行分析和解决。
5.总结提升：对本章的内容进行总结，强调相似图形的重要性和应用价值。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以采用图示、列表、流程图等形式，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂参与度、作业完成情况、考试成绩等方面进行。
同时，教师还需要及时进行自我评价，反思教学过程中的不足之处，不断改进教学方法和手段。
湘教版九年级数学[上册]知识点归纳总结
![湘教版九年级数学[上册]知识点归纳总结](https://img.taocdn.com/s3/m/3856eead58fafab068dc020e.png)
九上第一章 反比例函数（一）反比例函数1 ． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 ． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式： （ ）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量且 x 应对称取点（关于原点对称）1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．2）图象的位置和性质： 自变量，函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大．， ）在双曲线的另一支上．图象关于直线 对称，即若（ a ， b ）在双曲线的一支上，则（， ）和（ ， ）在x 的取值不能为 0 ，．图1图 25 ．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（ 2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系． 3 、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章 一元二次方程一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数 ），且都可以化为 ax 2 bx c 0（ a 、b 、c 为常 数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
2 、把 ax 2 bx c 0（a 、b 、c 为常数， a ≠0）称为一元二次方程的 一般式 ，a 为二次项系数； b 为一 次项系数； c 为常数项（包括符号）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本章总结提升
问题5 位似及其作图
如何利用位似将一个图形放大或缩小？你能说出平移、轴 对称、旋转和位似之间的异同，并举出一些它们的实际应用 的例子吗？
例6 如图3－T－4，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单 位的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平 面直角坐标系．
(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画 出两次平移后的△A1B1C1，若M为△ABC内的一点，其坐标为 (a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；
为( B )
A．4
4．如图，E(－4,2)，F(－1，－1)，以 O 为位似中心，按比例尺 1∶2，把△
EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标为( A )
A．(2，－1)或(－2,1)
B．(8，－4)或(－8,4)
C．(2，－1)
D．(8，－4)
(第 4 题图)
本章总结提升
(2)以原点 O 为位似中心，在第三象限内画出将△ABC 缩小为原来的12得到的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标．
图 3－T－4
本章总结提升
解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求，点 M1 的坐标为(a－7，b－3)．
(2)如图所示，△A2B2C2 即为所求，点 A2 的坐标为(－1，－4)．
二、填空题
5．在比例尺为 1∶500000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 25cm，则两
地的实际距离是 125 km.
6．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内
角是 80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个
等腰三角形．其中一定是相似图形的是 ②⑤⑥(填序号)．
CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在
同一直线上)．已知小明的身高EF是
1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.
(结果精确到0.1 m)
图3－T－3
本章总结提升
[解析] 要求楼高AB，由太阳光所成影子的特点，可通过添加辅助线构 造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从 而列式求解．
解：过点 D 作 DG⊥AB，与 EF 交于点 H，则 EH＝AG＝CD＝1.2 m， DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5 m.
因为 EF∥AB，所以△DHF∽△DGB， 所以BFHG＝DDHG，即B0.G5 ＝03.08， 解得 BG＝18.75(m)， 所以 AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0(m)． 答：楼高 AB 约为 20.0 m.
F，AC 与 DF 交于点 H，如果 AB＝5，BH＝1，CH＝2，那么DEFE的
值等于( D )
1
1
2
3
A.5
B.3
C.5
D.5
本章总结提升
[解析] ∵直线 l1∥l2∥l3， ∴DEEF＝BACB. ∵AB＝5，BH＝1，CH＝2， ∴BC＝BH＋CH＝3， ∴ABCB＝35，∴DEEF＝35.故选 D.
本章总结提升
问题2 平行线分线段成比例及其推论的应用
基本事实“平行线分线段成比例”的内容是什么？它有什么 推论？它们有哪些应用？
例 2 如图 3－T－1，直线 l1∥l2∥l3，直线 AB 与直线 l1，l2，l3 分别交于点 A，B，C，直线 DF 与直线 l1，l2，l3 分别交于点 D，E，
一、选择题
1．如果 ad＝bc，那么下列比例式中，错误的是( C )
A.ab＝dc
B.ac＝db
C.ad＝bc
D.ba＝dc
2．△ABC∽△A1B1C1，相似比为 2∶3，△ABC 的周长为 20cm，则△A1B1C1
的周长是( B )
A．45cm
B．30cm
C．15cm
D．36cm
3．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长
7．如果2x＝3y＝4z≠0，那么3xx＋＋22yy＋－32zz的值是 5 .
8．已知三条线段的长分别为 1， 2，2，请再添上一个线段，使这四条线段
成比例，则这条线段长可以是
2或 2
2或
2 2
.
9．如图所示，已知 AB∥CD，AD、BC 相交于点 E，F 为 BC 上一点，且∠ EAF＝∠C.
求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB.
证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∠C＝∠EAF，∴∠EAF＝∠B
(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，∴△AFE∽△BFA，则ABFF＝FFAE，∴AF2 ＝FE·FB.
例 1 已知a2＝b3＝4c(abc≠0)，则a＋c b的值是( D )
A.45
B.74
C．1
D.54
本章总结提升
[解析] 令a2＝b3＝4c＝k(k≠0)， 则 a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴a＋c b＝2k4＋k3k＝54kk＝54.故选 D.
本章总结提升
【归纳总结】 当遇到连等式或连比式时，往往引 入辅助未知数，把其他字母都用这个辅助未知数表 示，然后求解，这种方法称为“设参法”．
本章总结提升
[解析] (1)要证EAGD＝CCGD，只需证明△EGC∽△ADC； (2)由(1)的结论及 EG＝AF 得AADF＝CCGD，可证△ADF∽△CDG， 从而得∠ADF＝∠CDG. 解：(1)证明：在△EGC 和△ADC 中， ∵∠EGC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C， ∴△EGC∽△ADC，∴EAGD＝CCGD.
本章总结提升
(2)FD⊥DG.证明如下： 由题意易知四边形 AFEG 是矩形， ∴EG＝AF. ∵EAGD＝CCGD，∴AADF ＝CCGD，∴CAGF ＝ACDD. ∵∠C＋∠CAD＝∠BAD＋∠CAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD，∴△ADF∽△CDG， ∴∠ADF＝∠CDG. ∵∠ADG＋∠CDG＝90°， ∴∠ADF＋∠ADG＝90°， ∴∠FDG＝90°，即 FD⊥DG.
本章总结提升
问题3 相似三角形的判定
三角形相似与三角形全等有什么关系？如何判定两个三角形相似？
例 3 如图 3－T－2 所示，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点(不与点 B，C 重合)，EF⊥AB， EG⊥AC，垂足分别为 F，G.
(1)求证：EAGD＝CCGD. (2)FD 与 DG 是否垂直？若垂直，请给出证明图；3－T－2 若不垂直，请说明理由．
本章总结提升
例5 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下
，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了
一种测量方案，具体测量情况如下：
如图3－T－3(示意图)，小明边移动边观察，发现站到点E处
时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重
叠，且高度恰好相同．此时，测得
小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，
本章总结提升
问题4 相似三角形的性质及其应用
相似三角形的性质有哪些？用相似三角形测量物体的高度 都有哪些方法？
例4 如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似
的三角形的最长边长为39，那么较大的三角形的面积为( C )
A．90 B．180 C．270 D．540
本章总结提升
[解析] ∵52＋122＝132， ∴三边长为 5，12，13 的三角形是直角三角形，面积为12×5×12＝30. ∵两个三角形的相似比为1339＝13， ∴则两个三角形的面积比为(13)2＝19， ∴较大的三角形的面积为 30×9＝270. 故选 C.
第3章 图形的相似
本章总结提升
知识框架
相似三角形的应 用
比
成
例
比
的
例
性
线
质
段
相相 似似 图多 形边
形
相 似
判定定
三
理
角
形
性质定
理
位似图 图形的变换与坐标 形
本章总结提升
整合提升
问题1 成比例线段与比例的性质的应用
什么是成比例线段？它与小学学过的成正比例有什么区别？ 比例的性质有哪些？如何把比例式与等积式互化？