2021年考研数学一试题(含答案)
考研数学一真题(WORD清晰版)
2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。
2021年考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题欧阳光明(2021.03.07)填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上)x2(1)曲线y=莎刁的斜渐近线方程为。
1 1［答案l y = ^-4【解析】_ 1 1所以斜渐近线方程为7 =^-401 1综上所述，本题正确答案是y =^-4o【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性.拐点及渐近线(2)微分方程兀"+ 2y »屁满足以1)=-話勺解为。
［答案】y -押处_ 9%【解析】原方程等价于y+2、lnx所以通解为将y(i)=鳥代入可得c = °综上所述，本题正确答案是y =^/nx"k【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程2 2 2(3)设函数u(x,y,z) = 1 +石+正+码单位向量九=乔｛I」」｝,贝［］du1 1+「希V3综上所述，本题正确答案是三。
【考点】高等数学一多元函数微分学一方向导数和梯度（4）设°是由锥面Z =与半球面z = J" _X 2_『围成的空间区域，，是"的整个边界的外侧，则If xdydz + ydzdx + zdxdy =Zo【答案】2*（1-字）R ： 【解析】综上所述，本题正确答案是W-T ）«3O【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、 性质及计算（5）设旳，％也均为三维列向量，记矩阵力=（旳，也°） 如果⑷=1,那么⑹=。
【答案】2。
【解析】 【方法一】 【方法二】dn (1,2,3) 一o£【答案】丁。
【解析】du x du y du 因为 Ox— 3f dy ~ 6f dzdu1 1所以乔(1,2,3) =3 •蔚两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以 综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数一行列式T 亍列式的概念和基本性质，行列 式按行(列)展开定理(6) 从数1234中任取—个数记为X,再从1,2,…,X 中任一个数,记为侦］P{Y = 2} = o13【答案】屁。
2021年考研数学一真题分析及答案解析考研必看版
考研数学一真题及答案解析一、选取题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出四个选项中，只有一项符合题目规定，请将所选项前字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处持续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处持续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，因此选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表达甲速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表达乙速度曲线2()v v t =，三块阴影某些面积数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。
考研数学一真题及答案解析(完整版)
2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔 〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔 〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕TA 与TB 相似 〔B 〕1A -与1B -相似 〔C 〕TA A +与TB B +相似 〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔 〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加 〔B 〕p 随着σ的增加而增加 〔C 〕p 随着μ的增加而减少 〔D 〕p 随着σ的增加而减少 〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： 〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案
2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====，所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0，故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得：()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得：()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得：()11,10f '=,()21,11f '=，故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+，()2442111x x x xο=-+++，则()332sin 716x x x x xο=-++，所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，这里将区间[]0,1分为n 等份，即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅， 故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】（B ）【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为：0,1,3-，所以正负惯性指数为1,1.答案为（B ）.(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】（A ）【解析】由施密特正交法：11βα=，21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==，32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选（A ） (7) 设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ）(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】（C ）【解析】（C ）选项，因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件，且()01,P B << 下列命题中为假命题的是（ ）(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立，所以()()P A B P A =，故（A ）正确；()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而,A B 也满足条件，所以()()P A B P A >，故（B ）正确； ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>，故（C ）正确；(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>，故（D ）不正确，选（D ）. (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则（ ）(A) θ是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=，所以ˆθ是θ的无偏估计； 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑，故选（C ）.(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑，则11.5μ= 时，该检验犯第二类错误的概率为 （ ）(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ，所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ，选（B ）.二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ，()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为：()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=，特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ，()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得：22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰（其中Ω为Σ围成的封闭区域）由于图形关于xoz 平面对称，所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理：图形关于yoz 平面对称，则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2，所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知，X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =，()()0.5E X E Y ==，()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题：1722小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑， 当1xe-<时，则0x >，此时1()S x 收敛，且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑，0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑，由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+，得收敛区间为(1,1)-， 在1x =±时，当n →∞时，()1211(1)n n n n +±+，且211n n ∞=∑收敛，故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛， 故2()S x 的收敛域为[]1,1-，故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑，1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑， 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰，2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰，()0,1x ∈，当1x =时，211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑， 故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-，()0,1x ∈， 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑， 综上所述：(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ，到xOy 坐标面距离为z ，目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=，则0μ=，代入（3）可得0z =，代入（4）（5）2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩，此方程无解.若0λ≠，则4x y =，代入（4）（5）2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值； (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大，则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域，故221{(,)|4}D x y x y =+≤，从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点，所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小，取顺时针方向，且L 围成的区域为D ''，则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件，于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， (I) 求正交矩阵P ，使TP AP 为对角矩阵；(II) 求正定矩阵C ，使2(3)C a E A =+-，其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---， 所以A 的特征值为121a λλ==-，32a λ=+，当121a λλ==-时，[(1)]0A a E x --=，111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为：1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时，[(2)]0A a E x -+=，211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为：3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化，11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭，112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度； (II) 求Z 的概率密度； (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ，由题意：~(0,1)X U . 所以X 的概率密度：1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=，则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ，()0=Z F z ; ②1z ≥，222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+，，,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩，，. (III)法1：令2==-X X U Y X ,同理可得：22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2：10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。
2021年考研《数学》试题及答案(卷一)
2021年考研《数学》试题及答案（卷一）[ABCD参考答案：A[单选题]设随机变量，则方程有实根的概率为()。
ABCD0参考答案：C[单选题]ABCD参考答案：D[问答题]设，则参考答案：因为P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。
[问答题]二元函数f(x，y)=在(0，0)点是否可微?________。
(填是或否)参考答案：否[问答题]设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X-2Y，则=_____。
参考答案：[单选题]函数y=x+ex的反函数的二阶导数=()。
ABCD[问答题]设随机变量X服从参数为2的泊松分布，令Y=4X-3，则E(Y)=_____。
D(Y)=_____。
参考答案：因为X~P(2)，所以E(X)=D(X)=2，于是E(Y)=4E(X)-3=5，D(Y)=16D(X)=32[问答题]参考解析：[问答题]参考答案：[问答题]一工人同时独立制造3个零件，第k个零件不合格的概率为;，以随机变量X表示3个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=______。
参考答案：令Ak={第k个零件不合格}(k=1，2，3)，则[问答题]参考答案：[问答题]设y=y(x)满足y’=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性。
参考答案：[单选题]设，则A与B()。
A合同且相似B合同但不相似C不合同但相似D不合同且不相似参考答案：A[单选题]设f(x)的导函数为，则f(x)的一个原函数是()。
A1+arctan xB1-arctan xC1+ln(1+x2)D1-ln(1+x2)参考答案：C[单选题]设总体X服从N(μ，σ2)，与分别是取自总体X的样本容量为10和15的两个样本均值，记P1=。
AP1<p2< p="">BP1=P2CP1>P2DP1=1，P2=σ参考答案：C[问答题]设f(x)是连续函数，且，则f(7)=______。
2021年全国硕士研究生入学招生考试数一试题解析
2021 年全国硕士研究生入学招生考试数一试题解析一、选择题 ：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）函数1, 0()1, 0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ）（A ）连续且取得极大值 （B ）连续且取得极小值 （C ）可导且(0)0f '= （D ）可导且(0)0f '≠ 【答案】（D ）【解析】001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x→→-===，故()f x 在0x =处连续200011()(0)11(0)lim lim lim 02x x x x x e f x f e x x f x x x →→→-----'====≠ 故0x =不是极值点.（2）设(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =.则(1,1)df =（ ）（A ）dx dy + （B ）dx dy - （C ）dy （D ）dy - 【答案】（C ）【解析】222(1,)(1),(,)2ln xf x e x x f x x x x +=+=两边对x 求导2122212(1,)(1,)(1)2(1)(,)(,)24ln 2x x x f x e f x e e x x x f x x f x x x x x x''⎧+++⋅=+++⎪⎨''+⋅=+⎪⎩ 121122(1,1)(1,1)1(1,1)0(1,1)(1,1)22(1,1)1f f f f f f '''+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨'''+⋅==⎩⎩故12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=. （3）设函数2sin ()1xf x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则（ ） （A ）71,0,6a b c ===-（B ）71,0,6a b c === （C ）71,1,6a b c =-=-=-（D ）71,1,6a b c =-=-=【答案】（A ） 【解析】3322332sin 17()(())(1())()166x f x x x o x x o x x x o x x ==-+-+=-++， 则71,0,6a b c ===-. （4）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则10()f x dx =⎰（ ） （A ）1211lim()22nn i k f n n →∞=-∑（B ）1211lim ()2nn i k f n n →∞=-∑ （C ）2111lim()2nn i k f n n →∞=-∑（D ）212lim ()2nn i k f n n →∞=∑【答案】（B ）【解析】对于（A ），（B ），区间[]0,1分为20,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，24,22n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2(1)2,22n n n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 取21,2k k n ξ-=区间中点，则11212211lim ()lim ()222n nn n i i k k f f n n n n →∞→∞==--==∑∑1()f x dx ⎰对于（C ），（D ），区间[]0,1分为10,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,22n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，212,22n n n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 取1,2k k n ξ-=或,2k k n ξ=则11lim ()2nk n i f n ξ→∞==∑1()f x dx ⎰，故选（B ）（5）222122331()()()f x x x x x x =+++--的正负惯性指数（ ）（A ）2,0 （B ）1,1 （C ）2,1 （D ）1,2 【答案】（B ）【解析】22221223312121323()()()2222f x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++2222131321313213112()()22()()2222x x x x x x x x x x x x ++=+-++=+-- 则正惯性指数为1，负惯性指数为1.（6）1231130,2,1,112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11221331122,,,k l l βαβαββαββ==-=--若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为（ ）（A ）51,22 （B ）51,22- （C ）51,22- （D ）51,22-- 【答案】（A ）【解析】根据施密特正交化公式，可得2111(,)21(,)2=k αβββ==，即221020βαβ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 3132121122(,)(,)521,(,)2(,)42l l αβαβββββ=====.（7）设,A B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是（ ）（A ）()2T A O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭ （B ）()2T A AB r r A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（C ）()2T A BA r r A O AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （D ）()2T A O r r A BA A ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】（C ） 【解析】由()()A O r r A r B O B ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为()()Tr A r A A =，则()2TA O r r A O A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（A ）是正确 对于（B ），,T T A AB A O O A O A ⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2T A AB r r A O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（B ）是正确 对于（D ），,T T A O A O BA A O A ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2T A O r r A BA A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（D ）是正确 （8）设,A B 为随机事件，且0()1P B <<.下列命题中为假命题的是（ ） （A ）若()()P A B P A =，则()()P A B P A = （B ）若()()P A B P A >，则()()P A B P A > （C ）若()()P A B P A B >，则()()P A B P A > （D ）若()()P A A B P A A B ⋃>⋃，则()()P A P B >【答案】D 【解析】（A ）若()()()()()P A B P A P AB P A P B =⇒=,()()()()()()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====（B ）若()()P A B P A >()()()P AB P A P B ⇒>，()()1()1()()()()=()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P A B P B P B P B P B +-+--+-=== ()()()()()()()()()[1()]()()()()P B P A P AB P B P A P A P B P B P A P B P A P B P B P B -+-+--=>==（C ）()()()()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B P A B =+<+= A,B,C 均正确，故选D （9）设1122(,),(,),(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本.令121111ˆ,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑则 （A ）ˆθ是θ的无偏估计，2212ˆ()D nσσθ+=（B ）ˆθ不是θ的无偏估计，2212ˆ()D nσσθ+=（C ）ˆθ是θ的无偏估计，2212122ˆ()D nσσρσσθ+-=（D ）ˆθ不是θ的无偏估计，2212122ˆ()D nσσρσσθ+-=【答案】C 【解析】由题可知221212(,),(,)XN YN nnσσμμ12ˆ()=()()()E E X Y E X E Y θμμθ-=-=-=22121111ˆ()()=()()2(,)+2(,)n ni i i i D D X Y D X D Y Cov X Y Cov X Y n n n n σσθ===-+-=-∑∑2212112222=+[(,)+(,)++(,)]n n Cov X Y Cov X Y Cov X Y nnnσσ-222212121211++22=(,)=Cov X Y nn nσσσσρσσ--，故选C （10）设1216,,,X X X 是来自总体(,4)N μ简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10H H μμ≤>，()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{11}W X =≥,其中161116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）（A ）1(0.5)-Φ （B ）1(1)-Φ （C ）1(1.5)-Φ （D ）1(2)-Φ 【解析】B犯第二类错误即受伪错误，接受0H ，则1111.5{11}}2/4X P X P -<=<1}(1)1(1)X P =<-=Φ-=-Φ，故选B.二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）+2022dxx x ∞=++⎰【答案】4π 【解析】++02200(+1)arctan(1)22(1)14dx d x x x x x π∞∞+∞==+=++++⎰⎰（12）设函数()y y x =由参数方程2214(1)tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定，则220_____.t d y dx == 【答案】23【解析】44(1)22,21t t t dy e t e tt dx e +-+==+220022213t t t d y dx e ====+ （13）欧拉方程2+40x y xy y '''-=满足条件(1)1,(1)2y y '==的解y =【答案】221344y x x -=+ 【解析】令ln t x e t x =⇒=原方程化为(1)40D D y Dy y -+-=即240D y y -= 特征方程为212402,2r r r -=⇒=-=通解为22221212tt y C eC e C x C x --=+=+因为112122114(1)1,(1)222134C C C y y C C C ⎧=⎪+=⎧⎪'==⇒⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩即221344y x x -=+ （14）设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰【答案】0【解析】由题可知，∑与xoy 面垂直，则0zdxdy ∑=⎰⎰，又因为∑关于yoz 对称，且2x是关于x 的偶函数，则20x dydz ∑=⎰⎰，同理20y dzdx ∑=⎰⎰，则原式为0（15）设=ij A a 为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且=3A ，则112131++=A A A【答案】32【解析】由题可知1211221121A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2λ=为A 的特征值，111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的特征向量则321131121132A A λ*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭故1121313++=2A A A （16）甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令X 、Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 和Y 相关系数为【答案】15【解析】由题可知{}{}{}{}101012P X P X P Y P Y ========，{}{}371,01010P XY P XY ====则311104154ρ-=== （17）（本题满分10分）求极限20011lim sin 1x t x x e dt x e →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2sin (1)1lim(1)sin xt x xx x e dt e e x→+-+=-⎰202sin (1)1limx t x x x e dt e x→+-+=⎰22cos (1)sin lim2x t x xx x e dt x e e x→++⋅-=⎰2200cos 1cos sin 1lim2xt x x x x x e dt x e e x→-++⋅-+=⎰220000cos cos 1sin 1lim limlim lim 2222x t x x x x x x x e dt x x e e x x x x→→→→-⋅-=+++⎰12= （18）（本题满分12分） 设1()(1,2,)(1)n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数1()n n u x ∞=∑的收敛域及和函数. 【解析】1111()(1,2,)(1)n nxn n n n x u x en n n +∞∞∞-====+=+∑∑∑ 对于1nxn e∞-=∑，(1)1lim ||1n xx nx n e e eρ-+--→∞==<得0x >；对于11(1)n n x n n +∞=+∑，212lim ()/()1(1)(2)(1)n n n x x x n n n n ρ++→∞==<+++得11x -<<；综上得01x <<. 当0x =时，11()1n n n u x ∞∞===∑∑，发散当1x =时，1111()(1,2,)(1)nn n n n u x e n n n ∞∞∞-====+=+∑∑∑，收敛所以级数1()nn u x ∞=∑的收敛域为(0,1].当01x <<时： 令1111()()(1)n nxn n n n x S x u x en n +∞∞∞-=====++∑∑∑，11()nxn S x e ∞-==∑，121()(1)n n x S x n n +∞==+∑111()11x nxx x n e S x ee e -∞--====--∑； 21()n n x S x n ∞='=∑，1211()1n n S x x x ∞-=''==-∑，则2201()(0)ln(1)1x S x dt S x t ''=+=---⎰ 220()ln(1)(0)(1)ln(1)xS x t dt S x x x =--+=--+⎰当1x =时，1(1)lim ()1x eS S x e -→==- 所以1(1)ln(1)011()11x x x x x e S x e x e ⎧+--+<<⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩.（19）（本题满分12分）已知曲线2226:4230x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上的点到xOy 坐标面距离的最大值，【解析】设C 上的点(,,)x y z 到xOy 面的距离d z =令222(,,,,)(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-2224042084202,1661226042300x y z F x F x x x F z y y z z F x y z F x y z λμλμλμλμ'⎧=+=⎪'=+==-=⎧⎧⎪⎪⎪⎪'=-+=⇒=-=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=='=+--=⎩⎩⎪⎪'=++-=⎩，则max 66d = （20）（本题满分12分）设2D R ⊂是有界的单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记作1D .（1）求1()I D 的值；（2）计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中1D ∂是1D 的正向边界.【解析】（1）由题意可知显然2214D x y +≤：，则12222210()(4)(4)8D I D x y dxdy d r rdr πθπ=--=-=⎰⎰⎰⎰取2224((0,1)),L x y εε+≤∈：方向取顺时针，又因为22224422224,44x y x y xe y ye x P Q x y x y +++-==++， 且22422222228(41)4(4)xy P xye x y x y Qyx y x+∂+-+-∂==∂+∂ 则2222221144222()(4)()(4)04xy x y D D LLLxe y dx ye x dyxe y dx ye x dyx y εεε++∂∂+++-++-=-=-+⎰⎰⎰⎰22211=(11)(2)2D dxdy επεπεε--=-=-⎰⎰222()D x y εε+≤：（21）（本题满分12分）已知111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， （1）求正交矩阵P ，使得T P AP 为对角矩阵（2）求正定矩阵C ，使得2(3)C a E A =+-【解析】111111aE A aa λλλλ---=---111111a a aaλλλλ-+-=--+--1110121a a aλλλ-+-=---[](1)(1)()2a a a λλλ=-+----2(1)(2)0a a λλ=-+--=故特征值为121a λλ==-，32a λ=+当121a λλ==-时，[](1)0a E A x --=，则111111111000111000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1=(1,1,0)T α-,1=(1,0,1)T α；当32a λ=+时，[](2)0a E A x +-=，则211101121011112000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=(1,1,1)T α--令11=(1,1,0)Tβα=-；2122111(,)1=(1,1,2)(,)2T αββαβββ=-；111Tβγβ⎛⎫== ⎪⎝⎭，222Tβγβ==，333Tαγα⎛== ⎝令123(,,)P γγγ=，则112Ta P AP a a -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.（2）2(3)C a E A =+-由（1）可知，24(3)(3)41T T T T T P C P P a EP P AP a E ⎛⎫ ⎪=+-=+-Λ= ⎪ ⎪⎝⎭又22()T T P C P P CP =，则221T P CP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故221T C P P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 511333151333115333⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（22）（本题满分12分） 在区间(0,2)上随机取一点，将区间分成两段，其中较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. （1）求X 的概率密度；（2）求Z 的概率密度；（3）求X E Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意得:区间(0,2)上随机取一点服从(0,2)上均匀分布，又2X Y +=，且X Y ≤，因此X 的概率密度为1,01()0,X x f x other <<⎧=⎨⎩. （2）由定义法得：{}22()1Z X F z P Z z P z P z X X -⎧⎫⎧⎫=≤=≤=≤+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当1z <时，()0Z F z =； 当1z ≥时，12122()1111Z z F z P X dx z z +⎧⎫=≥==-⎨⎬++⎩⎭⎰； 因此，X 的分布函数为1,1()101Z z z F z z z -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，，X 的概率密度22,1(1)()0,Z z z f z other ⎧>⎪+=⎨⎪⎩.（3）21112()2ln 21(1)z X E E f z dz dz Y Z z z z +∞+∞-∞⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰⎰.。