面面垂直的判定习题详细答案
在Rt△BSC中，∵SB=SC=a，∴SD=
2 a， 2
BD= BC .在2Rta△ABD中，AD=
2 a，
在△AD2S中，2∵SD2+面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
方法二：(利用判定定理) ∵SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC，∴点A在平面SBC上的 射影为△SBC的外心. ∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平 面SBC. 又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.
面面垂直的判定与证明 【技法点拨】证明面面垂直的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问 题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此 平面.
【典例训练】 1.(2012·新课标全国高考)如图，三棱 柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB =90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点. (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC; (2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两 部分体积的比.
(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1，由题意得
V1= 1 1 2 11 1 . 又三棱3柱A2BC-A1B1C1的2 体积V=1，所以(V-V1)∶V1=1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
2.方法一：(利用定义证明) ∵∠BSA=∠CSA=60°，SA=SB=SC， ∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
(2)相关概念：
两个半平面
①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.
棱
面
(3)画法： (4)记法：二面角_____α_-l_-_β_或_______P_-_A或B-_Q_______. P-l-Q
(5)二面角的平面角:
⊂
⊂
⊥
⊥
∠AOB 则二面角α-l-β的平面角是______. (6)范围：___0_°__≤_二__面__角__θ_≤_1_8_0_°___.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC； (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
【解题设问】(1)在证明(1)中，可先证明BC垂直于哪一个
平面？BC⊥_________.
(2)求解三棱锥P平-M面APBD的C体积的关键是什么？____________
_________________，由PD∥MA可将距离转化为点___到平面
(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角②.
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴sin∠BPC=
……………………………………8分
BC 2 . PB 5
(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM PA，且DM=
由(1)知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平/ /面1PBC③，
垂线
垂直
(2)图形语言
(3)符号语言 ______________.
l l
1.剖析二面角 (1)二面角的平面角可以度量二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说 这个二面角是多少度，约定二面角的取值范围是［0,π］，平面角是直角的二 面角叫做直二面角. (2)构成二面角的平面角的三要素 ①角的顶点在二面角的棱上；
平面与平面垂直的判定
1.理解二面角，面面垂直的概念. 2.掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理. 3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题.
1.本课重点是面面垂直的判定定理以及应用. 2.本课难点是二面角的概念的理解以及求法.
1.二面角
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形.
1
2
2.如图所示，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证：平 面ABC⊥平面SBC.
【解析】1.(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面 ACC1A1， 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，所以∠CDC1=90°，即DC1⊥DC.又 DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面 BDC.
(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则
PD=AD=2，
所以VP-ABCD= S正方形ABCD·PD= .………………………8分 由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA的长即为点P到平面
MAB的距离.
三棱锥VP-MAB= 1
………………8…………10分
所以VP-MAB∶VP-3ABCD=1∶4.……………3……………………12分
5 3，
∵S△BCM= S2△PBC=
∴VM-BCD=VD-BCM=
……………………………………………………………12分
1 2
2 21，
1 5 3 2 21 10 7 . 3
【规范训练】(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥ 平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA.
MAB的距离.
关键是求点
P到平面MAB的距离
D
【规范答题】(1)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.…………………………2分 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC. 又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.…………………………4分 在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点， 所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.………………6分
2.两个平面互相垂直 (1)定义:两个相交平面，所成的二面角是__________. (2)画法：通常把直立平面的竖边画成与水平面的___直_二__面__角_.
(3)记作：_______________.
横边垂直
平面α⊥平面β
3.两平面垂直的判定定理 (1)自然语言 条件：一个平面过另一个平面的_____. 结论：两平面______.
1 1 1 2 2 2 ,
32
3
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件 是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α (C)m∥n,n⊥β,m⊂α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对 1【解析】选C.m∥n,n⊥β则m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β.
2【解析】选D.三条直线两两垂直,其中任何一条直线都垂直于另两条直线确 定的平面，从而过此直线的两个平面垂直于另两条直线确定的平面(如墙角).
②角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；
③角的两边分别和二面角的棱垂直.
2.对面面垂直的判定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”. (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另 一个面的垂线. (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂 直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.
5.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO= ，斜边πAB=4，Rt△AOC 可直以二通面过角R，t△D是AOABB以的直中线点A. O为轴旋转得到，且6二面角B-AO-C是
求证：平面COD⊥平面AOB.
【证明】由题意知，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面 角，又二面角B-AO-C是直二面角， ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB. ∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.
3.m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n，则下列关系中，不 可能成立的是( ) (A)n∥β (B)α∥β (C)m⊥β (D)α⊥β
3.m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n，则下列关系中，不 可能成立的是( ) (A)n∥β (B)α∥β (C)m⊥β (D)α⊥β 【解析】选C.m⊥β时，n⊂β,则m，n互相垂直，与已知条件矛盾，所以 m⊥β不可能成立.
【规范解答】线面垂直的综合应用
【典例】(12分)如图所示，已知三 棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4， AB=20，D为AB的中点，且△PDB是 正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D-AP-C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.
【解题指导】
【规范解答】(1)∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，
AB=20，∴PD= AB=10，∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC=P，
∴AP⊥平面PBC①.…1 ………………………………………2分 又BC⊂平面PBC，∴2AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC①. 又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.…………………4分
面面垂直答案
1.已知如图， P 平面ABC PA=PB=PC / APB=/ APC=60，/ BPC=90 ° 求证：平面 ABC!平面 PBC线，然后证明直线与另一平面 D,证明AD 垂直平PBC 即可证明：取BC 中点D 连结AD PD •/ PA=PB / APB=60•••△ PAB 为正三角形 同理△ PAC 为正三角形设 PA=a在 RT A BPC 中, PB=PC=a BC= -2a在 A ABC 中 AD= AB 2 BDA D+P[5= —a=a =AP•A APD 为直角三角形即AD 丄DP 又••• AD 丄 BC • AD 丄平面PBC •平面ABCL 平面PBC12 .如图（1）在直角梯形 ABCD 中, AB//CD , AB AD 且AB=AD^ CD=1现以 AD 为一边 向梯形外作正方形 ADEF 然后沿AD 将正方形翻拆，使平面 ADEF 与平面ABCD 互相垂直 如图（2）。
【答案】【解析】要证明面面垂直，要在其呈平面内找一条 垂直即可。
显然 BC 中点(1) 求证平面BDE 平面BEC(2) 求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值。
又在 BCD 中，DB BC 2， DC 2，三边满足勾股定理， BC BD 。
由线面垂直的判定定理即证得结论。
(2)因为DB ,2,只需求出点D 到平面BEF 的距离也是点 A 到平面BEF 的距离,易证出 AD//EF ， AD 平面BEF ，由面面垂直的判定定理得平面ABF 平面BEF ， ABF 中BF 边上的高就是点 A 到平面BEF 的距离。
根据线面角的定义可求 直线BD与平面BEF 所成角的正弦值。
(1)求证：EF//平面CBD ; (2)求证：平面 CAAC 丄平面CBD . 【答案】(I)略(H )略【解析】(1 )证明：连结 BD 在长方体AC 1中BD// B 1D 1.又 Q E 、F 为棱 AD AB 的中点，/. EF//BD . /• EF//B 1D 1. ................ 4 分又 BD 平面 CB 1D 1, EF 平面 CBD ,： EF//平面 CBD................ 7 分 (2) Q 在长方体 AC 1中，AA 丄平面A B 1C 1D ，而BD 平面ABC D ,「. AA 丄B D .…9分又Q 在正方形 A B C D 中，A C X B 1 D ，: B D 丄平面CAAC . 又Q B 1 D 平面CBD ,：平面 CAAC 丄平面 CBD .……1 4分 4 .如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB 2AD 2, BD .3, PD 丄底面 ABCD .【答案】⑴证见解析⑵sinAH 1 BD 2【解析】(1 )由折前折后线面的位置关系得ED平面ABCD ，所以EDBC ，3 •(本小题满分14分)如图，在正方体 ABC B A i BiGD 中，E 、F 为棱 AD AB 的中点. EA 1D 1FBC（i）证明：平面PBC 平面PBD ；【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明和二面角与线面角的求解的综合运用。
平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析
2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面P DFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.∵P A∩AC＝A，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.。
立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)
第六节面面关系(一)平行(二)垂直―。
____ 1 ——ACB=90 , AC=BC= 2AA1, D 是棱1.如图，三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱垂直底面，/AA1的中点(I )证明：平面BDC平面BDC(n )平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比A1D2.12012高考江西文19](本小题满分12分)如图，在梯形ABCD中，AB //CD, E, F是线段AB上的两点，且DE^AB, CFXAB ,AB=12 , AD=5 , BC=4 后,DE=4.现将△ ADE , △ CFB 分别沿 DE, CF折起，使A, B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEGL平面CFG;(2)求多面体CDEFG的体积。
3.如图，已知空间四边形. ______ .中，BC AC,AD BD , E是AB的中点。
求证：(1) AB 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC。
4.如图，在正方体ABCD ABQ1D1中，E是AA1的中点.(1)求证：A1C//平面BDE；(2)求证：平面A1AC 平面BDE .5.已知四棱锥P—ABCD ,底面ABCD 是菱形, DAB 60 , PD 平面ABCD , PD=AD ,点E为AB中点，点F为PD中点.(1)证明平面PEDL平面PAB;(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节面面关系答案（一）平行 （二）垂直1 .【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题^【解析】（I ）由题设知 BC± CC i ,BC±AC, CC 1 AC C , BC 面 ACC 1A 1,又・ DC 1 面 ACC 1A ，•一 DC 1 BC ,由题设知 A 1DC 1 ADC 450, /. CDC 1=900,即 DC 1 DC ,又 DC BC C , DC 1L 面 BDC , DC 1 面 BDC 1,，面 BDC ，面 BDC 1 ;1121 (n)设棱锥B DACC 1的体积为V 1, AC =1,由题意得，V 1 = — —— 11=—,3 22由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1 ,・♦・平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为 1:1.2 .【解析】（1）由已知可得 AE=3 , BF=4,则折叠完后 EG=3 , GF=4 ,又因为EF=5,所以可得EG GFEG ,即EG 面CFG 所以平面DEG ，平面CFG.••• (V V 1):V 1=1:1, 又因为CF 底面EGF ,可得CF过G 作GO 垂直于EF , 侑CC1 12二 S 正方形DECF GO -55 — 3 3 53.证明：(1) BC AC CEAE BE GO 即为四棱锥 G-EFCD20AB 的高，所以所求体积为同理, AD AE BD BEDE AB又「 CE DE EAB 平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又「 AB 平面ABC ,，平面CDE 平面ABC4 .证明：（1）设 AC BD 0,E 、O 分别是AA 、AC 的中点，AC // EO又 BD AC , AC 1AAA, BD 平面 A i AC , BD 平面 BDE , 平面 BDE平面A i AC5 . (1)证明：连接BD.AB AD, DAB 60 , ADB 为等边三角形. E 是AB 中点， AB DE.PD 面 ABCD, AB 面 ABCD , AB PD.DE 面 PED, PD 面 PED, DE PD D, AB 面 PED.AB 面 PAB, 面PED 面 PAB.(2)解： AB 平面 PED, PE 面 PED, AB 连接 EF, EF PED, AB EF.PEF 为二面角P —AB —F 的平面角.设 AD=2,那么 PF=FD=1, DE=V 3. 在 PEF 中,PE J7,EF 2, PF 1,即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为 27.14又AC 平面BDE , EO 平面BDE ,A i C //平面 BDE⑵••• AA 平面 ABCD , BD平面 ABCD , AA 1 BDcos PEF(17) 2 22 1 5J ； 2 2.7 14PE.。
面面垂直的性质习题详细答案
变种2
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面垂直。
提高题
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 求证这两个平面的交线与 原直线垂直。
综合பைடு நூலகம்解析与解答
• 综合题1：已知一个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合题解析与解答
面面垂直的性质习题详细答案
contents
目录
• 面面垂直的性质概述 • 习题解析 • 习题解答技巧 • 面面垂直的性质习题答案 • 习题拓展与提高
01 面面垂直的性质概述
定义与定理
定义
两个平面互相垂直，当且仅当一 个平面内的任意直线都与另一个 平面垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么其 中一个平面内的任意直线都与另 一个平面垂直。
机械工程
在机械设计中，面面垂直的性质 常常用于确定零件的安装角度和 位置，以确保机器的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的经纬线分布 和角度计算也涉及到面面垂直的 性质，例如在计算地球上的纬度、 经度等数值时，需要利用到面面
垂直的性质。
02 习题解析
基础习题解析
总结词
掌握基础概念
题目
两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线，那么这条直线与另一个平面的关 系是什么？
由于直线a⊥平面α，且直线b⊥直线a，根 据面面垂直的性质定理，直线b必然在平面 α内。
中等难度习题答案
总结词
中等难度习题在考察面面垂直性质的基础上，增加了对空间想象能力和推理能力的考察。
题目3
已知平面α与平面β互相垂直，点A属于平面α，点B属于平面β，且AB与两平面的交线分别交 于C和D两点，若AC=CD，求证线段BD的长度。
面面垂直证明例题
例4.如图，AB是◎O的直径，PA垂直于◎0所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC工平面PBC
少
8.已知△ABC中，LABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC.求个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理.由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.
证明：因为AB是◎O的直径，C是圆周上的点，所以有BC工AC①.
因为PA工平面ABC,BCc平面ABC,则PA1BC②.
由①②及AC∩PA=A,得BC工平面PAC.
因为BCc平面PBC,有平面PAC工平面PBC.
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直一线面垂直→面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.
例8答案：取AC的中点为O,连接OP、OB。
AO-OC,PA=PC,故PO垂直AC
面面垂直的判定
三、两个平面互相垂直
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.Βιβλιοθήκη 记作:
（表示两平面的平行四边形有一组边互相垂直）
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
A
l
O
10
B
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。
O l
O
B
A
B
A
? AOB AOB==
注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 等角定理：如果一个角的两边和另 （4）二面角的取值范围一般规定 一个角的两边分别平行，并且方向相 为[0°,180°]。 同，那么这两个角相等。
又∵CE∩BE=E,
∴SA⊥平面BCE.∵BC 平面BCE，
图2-4-2
∴SA⊥BC.
又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,
∴BC⊥平面SAD. ∵SH
平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC. 【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
P C A
的平面，C是圆周上不同于 A,B的任意一点，求证：
面面垂直的性质习题详细答案
2.如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面边长为2 侧棱长为4，E，F分别 为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF2⊥，平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
2.(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD. 又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,故AC⊥平面BDD1B1， ∵E，F分别为棱AB,BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3a ,
求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD.
【解析】1.∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE, 且平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE, ∴AD⊥BC.又BC⊥CD,CD∩AD=D, ∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：平面ABC⊥平面ACD
4.如图所示，已知平面α⊥平面β， α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α， BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4， AC=3，BD=12，则CD=_____. 【解析】连接BC,∵AC⊥l,∴BC= 又∵平面α⊥平面β，α∩β=l，BD⊥l, ∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD= 答案：13
2.∵a∥α,过a作平面γ交α于a′， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β=AB， ∴a′⊥β， ∴a⊥β.
【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？ 提示：应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一 个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
与面面垂直有关的计算 【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法 (1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂 直，一般转化为在三角形中的计算问题. (2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体 积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用 几何体中的转换顶点(等体积)法.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案解析
线线垂直、线⾯垂直、⾯⾯垂直的习题及答案解析线线垂直、线⾯垂直、⾯⾯垂直部分习及答案1．在四⾯体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三⾓形．(1)求证：BC ⊥AD ；2如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平⾯ABC ，平⾯SAB ⊥平⾯SBC ．（1）求证：AB ⊥BC ；3.如图，四棱锥P —ABCD 的底⾯是边长为a 的正⽅形，PA ⊥底⾯ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．（1）求证：平⾯PCE ⊥平⾯PCD ；（2）求点A 到平⾯PCE 的距离．4. 如图2-4-2所⽰，三棱锥S —ABC 中，SB=AB ，SC=AC ，作AD ⊥BC 于D ，SH ⊥AD 于H ，求证：SH ⊥平⾯ABC. (第1题)5. 如图所⽰，已知Rt△ABC所在平⾯外⼀点S，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平⾯ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平⾯SAC.6. 证明：在正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平⾯BC1DAC7. 如图所⽰，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧⾯的两条对⾓线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平⾯BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂⾜，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平⾯BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共⾯的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平⾯ABC⊥平⾯BSC．10.如图，在长⽅体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平⾯EDB⊥平⾯EBC；(2)求⼆⾯⾓E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平⾯，A为垂⾜，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的⼀点。
求证：平⾯PAC 平⾯PBC。
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)
2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点． 则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围． 四 、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅； 综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增； 当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减． 所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2， 故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件， 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)， 令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标， 可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12， 则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0， 所以1−2sin2A −3sin A +1=0， 所以sin A =12或−2(舍)， 又因为cos A <0， 所以A =5π6， 所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ， 又因为C ∈(0,π6)， 所以cos C ∈(√32,1)， 所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ， 当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上， 则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数． 故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)， 故考虑基本初等函数中的指数函数， 又f(x)在R 上单调递增， 则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案． 此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论． 此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值． 此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少． 此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13， 即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13， 解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5， 从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论． 此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12， 又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π， 根据T =2π|ω|， 得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)， 由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22， 由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可． 此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确； 对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确． 故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)， 即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误． 故选：AC ． 由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确； 故选BD .。
面面垂直证明例题（最终定稿）
面面垂直证明例题（最终定稿）第一篇：面面垂直证明例题数学面面垂直例题例4答案：例8答案：取AC的中点为O，连接OP、OB。
AO=OC,PA=PC,故PO垂直AC第二篇：怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD 垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。