面面垂直的判定习题详细答案

在Rt△BSC中，∵SB=SC=a，∴SD=
2 a， 2
BD= BC .在2Rta△ABD中，AD=
2 a，
在△AD2S中，2∵SD2+面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
方法二：(利用判定定理) ∵SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC，∴点A在平面SBC上的 射影为△SBC的外心. ∵△SBC为直角三角形，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平 面SBC. 又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.
面面垂直的判定与证明 【技法点拨】证明面面垂直的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问 题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此 平面.
【典例训练】 1.(2012·新课标全国高考)如图，三棱 柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB =90°，AC=BC= AA1，D是棱AA1的中点. (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC; (2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两 部分体积的比.
(2)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1，由题意得
V1= 1 1 2 11 1 . 又三棱3柱A2BC-A1B1C1的2 体积V=1，所以(V-V1)∶V1=1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
2.方法一：(利用定义证明) ∵∠BSA=∠CSA=60°，SA=SB=SC， ∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA=SB=SC=AB=AC，令其值为a， 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 取BC的中点D，如图所示， 连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
(2)相关概念：
两个半平面
①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.
棱
面
(3)画法： (4)记法：二面角_____α_-l_-_β_或_______P_-_A或B-_Q_______. P-l-Q
(5)二面角的平面角:
⊂
⊂
⊥
⊥
∠AOB 则二面角α-l-β的平面角是______. (6)范围：___0_°__≤_二__面__角__θ_≤_1_8_0_°___.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC； (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
【解题设问】(1)在证明(1)中，可先证明BC垂直于哪一个
平面？BC⊥_________.
(2)求解三棱锥P平-M面APBD的C体积的关键是什么？____________
_________________，由PD∥MA可将距离转化为点___到平面
(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角②.
由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴sin∠BPC=
……………………………………8分
BC 2 . PB 5
(3)∵D为AB的中点，M为PB的中点，
∴DM PA，且DM=
由(1)知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平/ /面1PBC③，
垂线
垂直
(2)图形语言
(3)符号语言 ______________.
l l
1.剖析二面角 (1)二面角的平面角可以度量二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说 这个二面角是多少度，约定二面角的取值范围是［0,π］，平面角是直角的二 面角叫做直二面角. (2)构成二面角的平面角的三要素 ①角的顶点在二面角的棱上；
平面与平面垂直的判定
1.理解二面角，面面垂直的概念. 2.掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理. 3.能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题.
1.本课重点是面面垂直的判定定理以及应用. 2.本课难点是二面角的概念的理解以及求法.
1.二面角
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形.
1
2
2.如图所示，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证：平 面ABC⊥平面SBC.
【解析】1.(1)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，所以BC⊥平面 ACC1A1， 又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，所以∠CDC1=90°，即DC1⊥DC.又 DC∩BC=C，所以DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面 BDC.
(2)因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则
PD=AD=2，
所以VP-ABCD= S正方形ABCD·PD= .………………………8分 由于DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA的长即为点P到平面
MAB的距离.
三棱锥VP-MAB= 1
………………8…………10分
所以VP-MAB∶VP-3ABCD=1∶4.……………3……………………12分
5 3，
∵S△BCM= S2△PBC=
∴VM-BCD=VD-BCM=
……………………………………………………………12分
1 2
2 21，
1 5 3 2 21 10 7 . 3
【规范训练】(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥ 平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA.
MAB的距离.
关键是求点
P到平面MAB的距离
D
【规范答题】(1)由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.…………………………2分 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC. 又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC.…………………………4分 在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点， 所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.………………6分
2.两个平面互相垂直 (1)定义:两个相交平面，所成的二面角是__________. (2)画法：通常把直立平面的竖边画成与水平面的___直_二__面__角_.
(3)记作：_______________.
横边垂直
平面α⊥平面β
3.两平面垂直的判定定理 (1)自然语言 条件：一个平面过另一个平面的_____. 结论：两平面______.
1 1 1 2 2 2 ,
32
3
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件 是( ) (A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n⊂α (C)m∥n,n⊥β,m⊂α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对
2.过空间一点的三条直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有( ) (A)0对 (B)1对 (C)2对 (D)3对 1【解析】选C.m∥n,n⊥β则m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β.
2【解析】选D.三条直线两两垂直,其中任何一条直线都垂直于另两条直线确 定的平面，从而过此直线的两个平面垂直于另两条直线确定的平面(如墙角).
②角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；
③角的两边分别和二面角的棱垂直.
2.对面面垂直的判定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”. (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另 一个面的垂线. (3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂 直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.
5.如图所示，在Rt△AOB中，∠ABO= ，斜边πAB=4，Rt△AOC 可直以二通面过角R，t△D是AOABB以的直中线点A. O为轴旋转得到，且6二面角B-AO-C是
求证：平面COD⊥平面AOB.
【证明】由题意知，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面 角，又二面角B-AO-C是直二面角， ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB. ∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.
3.m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n，则下列关系中，不 可能成立的是( ) (A)n∥β (B)α∥β (C)m⊥β (D)α⊥β
3.m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n，则下列关系中，不 可能成立的是( ) (A)n∥β (B)α∥β (C)m⊥β (D)α⊥β 【解析】选C.m⊥β时，n⊂β,则m，n互相垂直，与已知条件矛盾，所以 m⊥β不可能成立.
【规范解答】线面垂直的综合应用
【典例】(12分)如图所示，已知三 棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4， AB=20，D为AB的中点，且△PDB是 正三角形，PA⊥PC. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求二面角D-AP-C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积.
【解题指导】
【规范解答】(1)∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，
AB=20，∴PD= AB=10，∴AP⊥PB.
又AP⊥PC，PB∩PC=P，
∴AP⊥平面PBC①.…1 ………………………………………2分 又BC⊂平面PBC，∴2AP⊥BC.
又AC⊥BC，AP∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC①. 又BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.…………………4分