华南理工大学有限元考试试题
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a 0 S1 E a2 - 1 a 2 0 0 0 0 -a S D B1 B2 B3 0 a ， S3 E 0 -a ， S 2 E 0 ； 2 2 a a S1 S 2 S3 1 a 1 a 0 0 - 1 a 2 2 2
四．计算题（共 40 分，每题 20 分） 1、如图 1 所示等腰直角三角形单元，其厚度为 t ，弹性模量为 E ，泊松比 0 ； 单元的边长及结点编号见图中所示。求 2 (1) 形函数矩阵 N (2) 应变矩阵 B 和应力矩阵 S (3) 单元刚度矩阵 K e a 3 a
图1
1
2、图 2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为 t ，四边受到均匀荷载的作用，荷 载集度为 1N / m 2 ， 同时在 y 方向相应的两顶点处分别承受大小为 2 N / m 且沿板 厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为 E ，泊松比 0 。 试求 (1) 利用对称性，取图（b）所示 1/ 4 结构作为研究对象，并将其划分为 4 个 面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计 算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并 进行单元编号和结点编号） 。 (2) 设单元结点的局部编号分别为 i 、 j 、 m ，为使每个单元刚度矩阵 K e 相 同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度 矩阵 K e 。 (3) 计算等效结点荷载。 (4) 应用适当的位移约束之后， 给出可供求解的整体平衡方程 （不需要求解） 。
华南理工大学广州学院有限单元法期末试题大纲
一、选择题： 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方 法称为________________。 （A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值 函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上 下震荡 （D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶， 单元的完备性是指试探函数 必须至少是______完全多项式。 （A）m-1 次 （B）m 次 （C）2m-1 次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因 此，不用进行回代计算。 （A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号 9 n 个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵 K 的__________。 （A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性
尺寸、边界上的约束条件、所承受的外载荷等。材料性质是否均匀，是否要考虑 体力，要不要分区计算等。(2)将建立的力学模型进行离散化，即划分单元网格。 根据问题的几何特点和精度要求等因素选择单元形式和插值函数， 将物体划分为 单元并形成网格，这样原来的连续体离散为在节点处相互联结的有限单元组合 体。接着对所有节点和单元进行编号。(3)计算单元的刚度矩阵并组集形成总 i 刚度矩阵。(4)按静力等效原则，将作用在各单元上的载荷等效到各节点上，形 成等效节点载荷列阵。(5)由总刚度矩阵和等效节点载荷列阵形成所有节点的力 平衡方程组。(6)引入强制（给定位移）边界条件，修改步骤(5)得到的方程组， 使之具有确定的解， 然后选择合适的方法解这个方程组， 得到各节点的位移。 (6) 得到各节点的位移后，根据有关计算公式就可以求出应变和应力。(7)进行其它 必要的后处理。 2．有限单元法的单元刚度矩阵具有什么特征？ 答：单元刚度矩阵的特性主要有：(1)对称性，即单元刚度矩阵是对称矩阵。(2) 奇异性，即单元刚度矩阵的系数行列式的值等于零。(3)主元恒正，即单元刚度 矩阵或者它的分块矩阵的主对角元素（主元）恒为正值。 3．保证有限单元法的解收敛有哪些准则？ 答：准则 1：完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶，则有 限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是 m 次完全多项式， 或者 说试探函数中必须包含本身和直至 m 阶导数为常数的项。 当单元的插值函数满足 上述要求时，称这样的单元是完备的。 准则 2：协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是 m 阶，则试探函数 在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性， 即在相邻单元的交界面上函数应有直至 m-1 阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。 当选取的单元既完备又协调时， 有限元解是收敛的， 即当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
Hale Waihona Puke Baidu
9、在用有限元法分析实际工程问题中，常见的问题有： 分析， 分析， 分析， 分析， 分析， 技术等。 4. 用 商 业 有 限 元 软 件 ANSYS 进 行 静 力 强 度 分 析 的 基 本 步 骤 是： ， ， 。 10 、 举 例 列 出 静 力 分 析 所 使 用 的 单 元 类 型： ， ， ， ， 等。 11 、 在 用 ANSYS 软 件 分 析 考 虑 自 重 的 结 构 静 力 问 题 时 ， 材 料 参 数 中 的 ， ， 和 是必须输入的。 12、在进行有限元分析时，利用 ，在满足计算精度要求的前 提下， 可以减少计算工作量。 三、简答题： （1） 1．试说明弹性力学有限单元法解题的主要步骤。 答：应用有限元法解决具体问题的主要步骤有：(1)根据实际结构的工作情况， 确定其计算简图， 也即创建力学模型。 其中包括： 如何简化实际问题的几何形状、
5、 （13 分）回答下列问题： （1） 弹性力学平面问题 8 节点等参元， 其单元自由度是多少？单元刚阵元素 是多少？ （2） 弹性力学空间轴对称问题三角形 3 节点单元， 其单元自由度是多少？单 元刚阵元素是多少？ （3） 弹性力学空间问题 20 节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元 素是多少？ （4） 平面刚架结构梁单元 （考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚 阵元素是多少？ 答： （1）弹性力学平面问题 8 节点等参元，自由度 16 个，刚阵元素 16×16＝256； （2）空间轴对称三角形 3 节点单元，单元自由度 6 个，单元刚度元素 36 个； （3）空间问题 20 节点等参元，其单元自由度 60 个，单元刚度元素 3600 个；
6. 引入位移边界条件后，解第 5 步得到的方程组，可以得到结点位移
简答题（2） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。 4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、 （2）单元应力磨平和 （3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢） 进行排序。 1、答： （答对前 3 个给 4 分） （1）对称性； （2）奇异性； （3）主对角元恒正； （4）稀疏性； （5）非零元 素带状分布 2、答： 一般原则有 (1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等； (2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备； (3)多项式的选取应由低阶到高阶； (4)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。 3、答： 完备性要求，协调性要求 (2 分) 具体阐述内容 (3 分) 4、答： 计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）
(3) 单元刚度矩阵 K e
K11 K12 K B DB tA K 21 K 22 K 31 K 32
e T
(6 分) 3 1 1 0 2 1 1 3 1 2 0 1 K13 1 1 1 0 0 1 K 23 Et 4 0 2 0 2 0 0 K 33 2 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 1
（4）平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度 6 个，单元刚度元 素是 36 个。 6、 （10 分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学 问题基本方程？ 答：弹性力学有限元的基本过程是： e 1. 假设单元的位移场模式 { f } [ N ]{ }
e 2. 代入到几何方程得到 { } [ B ]{ } e 3. 代入到物理方程得到 { } [ D ][ B ]{ } e e 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 [ F ] [k ]{ } e e 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 [ F ] [k ]{ }
2、解： (1) 对称性及计算模型正确 (2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3) 求单元刚度矩阵 K e (4) 计算等效结点荷载 (5 分) (3 分) (4 分) (3 分)
(5) 应用适当的位移约束之后， 给出可供求解的整体平衡方程 （不需要求解） 。 (5 分)
1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 3 1 2 1 K e Et 4 3 0 1 对 2 0 称 1
（a）
图2
（b）
四．计算题 1、解： 设图 1 所示的各点坐标为 点 1（a，0） ，点 2（a，a） ，点 3（0，0） 1 于是，可得单元的面积为 A a2 ，及 2 (1) 形函数矩阵 N 为 (7 分) 1 N1 2 (0 ax ay ) a N IN1 IN 2 IN 3 1 ； N1 2 (0 0x ay ) a N1 N 2 N 3 1 N1 2 (a 2 ax 0 y ) a (2) 应变矩阵 B 和应力矩阵 S 分别为 (7 分) a 0 0 0 -a 0 1 1 1 B B1 B2 B3 B1 2 0 -a ，B2 2 0 a ，B3 2 0 0 ； a a a -a a a 0 0 -a
C
B
B
C
B
C
D
C
C
C
二、填空题： （课本· · ·黑色字体） · · · ·仿题 1、有限元网格划分的过程中应注意：网格数目、网格疏密、单元阶次、网格质 量
2、网格分界面和分界点 应使网格形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来适应网格。 3、位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调， 一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 4、网格布局 当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。 5、单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和 为零。 6、单元刚度矩阵中对角线上的元素为正、单元刚度矩阵为对称矩阵、单元刚度 矩阵为奇异矩阵 7、四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标 x、y 的一次函数。在三角形单 元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。 8、 等参单元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 利用高斯点的应力进行应力 精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。
四．计算题（共 40 分，每题 20 分） 1、如图 1 所示等腰直角三角形单元，其厚度为 t ，弹性模量为 E ，泊松比 0 ； 单元的边长及结点编号见图中所示。求 2 (1) 形函数矩阵 N (2) 应变矩阵 B 和应力矩阵 S (3) 单元刚度矩阵 K e a 3 a
图1
1
2、图 2（a）所示为正方形薄板，其板厚度为 t ，四边受到均匀荷载的作用，荷 载集度为 1N / m 2 ， 同时在 y 方向相应的两顶点处分别承受大小为 2 N / m 且沿板 厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为 E ，泊松比 0 。 试求 (1) 利用对称性，取图（b）所示 1/ 4 结构作为研究对象，并将其划分为 4 个 面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计 算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并 进行单元编号和结点编号） 。 (2) 设单元结点的局部编号分别为 i 、 j 、 m ，为使每个单元刚度矩阵 K e 相 同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度 矩阵 K e 。 (3) 计算等效结点荷载。 (4) 应用适当的位移约束之后， 给出可供求解的整体平衡方程 （不需要求解） 。
华南理工大学广州学院有限单元法期末试题大纲
一、选择题： 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方 法称为________________。 （A）配点法 （B）子域法 （C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值 函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数 （B）单元结点自由度数 （C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解 （B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上 下震荡 （D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶， 单元的完备性是指试探函数 必须至少是______完全多项式。 （A）m-1 次 （B）m 次 （C）2m-1 次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因 此，不用进行回代计算。 （A）上三角矩阵 （B）下三角矩阵 （C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力 （B）反对称应力 （C）对称位移 （D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号 （B）单元组集次序 （C）结点编号 9 n 个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵 K 的__________。 （A）对称性 （B）稀疏性 （C）奇异性
尺寸、边界上的约束条件、所承受的外载荷等。材料性质是否均匀，是否要考虑 体力，要不要分区计算等。(2)将建立的力学模型进行离散化，即划分单元网格。 根据问题的几何特点和精度要求等因素选择单元形式和插值函数， 将物体划分为 单元并形成网格，这样原来的连续体离散为在节点处相互联结的有限单元组合 体。接着对所有节点和单元进行编号。(3)计算单元的刚度矩阵并组集形成总 i 刚度矩阵。(4)按静力等效原则，将作用在各单元上的载荷等效到各节点上，形 成等效节点载荷列阵。(5)由总刚度矩阵和等效节点载荷列阵形成所有节点的力 平衡方程组。(6)引入强制（给定位移）边界条件，修改步骤(5)得到的方程组， 使之具有确定的解， 然后选择合适的方法解这个方程组， 得到各节点的位移。 (6) 得到各节点的位移后，根据有关计算公式就可以求出应变和应力。(7)进行其它 必要的后处理。 2．有限单元法的单元刚度矩阵具有什么特征？ 答：单元刚度矩阵的特性主要有：(1)对称性，即单元刚度矩阵是对称矩阵。(2) 奇异性，即单元刚度矩阵的系数行列式的值等于零。(3)主元恒正，即单元刚度 矩阵或者它的分块矩阵的主对角元素（主元）恒为正值。 3．保证有限单元法的解收敛有哪些准则？ 答：准则 1：完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是 m 阶，则有 限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是 m 次完全多项式， 或者 说试探函数中必须包含本身和直至 m 阶导数为常数的项。 当单元的插值函数满足 上述要求时，称这样的单元是完备的。 准则 2：协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是 m 阶，则试探函数 在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性， 即在相邻单元的交界面上函数应有直至 m-1 阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，称这样的单元是完备的。 当选取的单元既完备又协调时， 有限元解是收敛的， 即当单元尺寸趋于零时， 有限元解趋于精确解。
Hale Waihona Puke Baidu
9、在用有限元法分析实际工程问题中，常见的问题有： 分析， 分析， 分析， 分析， 分析， 技术等。 4. 用 商 业 有 限 元 软 件 ANSYS 进 行 静 力 强 度 分 析 的 基 本 步 骤 是： ， ， 。 10 、 举 例 列 出 静 力 分 析 所 使 用 的 单 元 类 型： ， ， ， ， 等。 11 、 在 用 ANSYS 软 件 分 析 考 虑 自 重 的 结 构 静 力 问 题 时 ， 材 料 参 数 中 的 ， ， 和 是必须输入的。 12、在进行有限元分析时，利用 ，在满足计算精度要求的前 提下， 可以减少计算工作量。 三、简答题： （1） 1．试说明弹性力学有限单元法解题的主要步骤。 答：应用有限元法解决具体问题的主要步骤有：(1)根据实际结构的工作情况， 确定其计算简图， 也即创建力学模型。 其中包括： 如何简化实际问题的几何形状、
5、 （13 分）回答下列问题： （1） 弹性力学平面问题 8 节点等参元， 其单元自由度是多少？单元刚阵元素 是多少？ （2） 弹性力学空间轴对称问题三角形 3 节点单元， 其单元自由度是多少？单 元刚阵元素是多少？ （3） 弹性力学空间问题 20 节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元 素是多少？ （4） 平面刚架结构梁单元 （考虑轴向和横向变形）的自由度是多少？单元刚 阵元素是多少？ 答： （1）弹性力学平面问题 8 节点等参元，自由度 16 个，刚阵元素 16×16＝256； （2）空间轴对称三角形 3 节点单元，单元自由度 6 个，单元刚度元素 36 个； （3）空间问题 20 节点等参元，其单元自由度 60 个，单元刚度元素 3600 个；
6. 引入位移边界条件后，解第 5 步得到的方程组，可以得到结点位移
简答题（2） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。 4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、 （2）单元应力磨平和 （3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢） 进行排序。 1、答： （答对前 3 个给 4 分） （1）对称性； （2）奇异性； （3）主对角元恒正； （4）稀疏性； （5）非零元 素带状分布 2、答： 一般原则有 (1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等； (2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备； (3)多项式的选取应由低阶到高阶； (4)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。 3、答： 完备性要求，协调性要求 (2 分) 具体阐述内容 (3 分) 4、答： 计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）
(3) 单元刚度矩阵 K e
K11 K12 K B DB tA K 21 K 22 K 31 K 32
e T
(6 分) 3 1 1 0 2 1 1 3 1 2 0 1 K13 1 1 1 0 0 1 K 23 Et 4 0 2 0 2 0 0 K 33 2 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 1
（4）平面刚架结构梁单元（考虑轴向和横向变形）的自由度 6 个，单元刚度元 素是 36 个。 6、 （10 分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学 问题基本方程？ 答：弹性力学有限元的基本过程是： e 1. 假设单元的位移场模式 { f } [ N ]{ }
e 2. 代入到几何方程得到 { } [ B ]{ } e 3. 代入到物理方程得到 { } [ D ][ B ]{ } e e 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 [ F ] [k ]{ } e e 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 [ F ] [k ]{ }
2、解： (1) 对称性及计算模型正确 (2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3) 求单元刚度矩阵 K e (4) 计算等效结点荷载 (5 分) (3 分) (4 分) (3 分)
(5) 应用适当的位移约束之后， 给出可供求解的整体平衡方程 （不需要求解） 。 (5 分)
1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 3 1 2 1 K e Et 4 3 0 1 对 2 0 称 1
（a）
图2
（b）
四．计算题 1、解： 设图 1 所示的各点坐标为 点 1（a，0） ，点 2（a，a） ，点 3（0，0） 1 于是，可得单元的面积为 A a2 ，及 2 (1) 形函数矩阵 N 为 (7 分) 1 N1 2 (0 ax ay ) a N IN1 IN 2 IN 3 1 ； N1 2 (0 0x ay ) a N1 N 2 N 3 1 N1 2 (a 2 ax 0 y ) a (2) 应变矩阵 B 和应力矩阵 S 分别为 (7 分) a 0 0 0 -a 0 1 1 1 B B1 B2 B3 B1 2 0 -a ，B2 2 0 a ，B3 2 0 0 ； a a a -a a a 0 0 -a
C
B
B
C
B
C
D
C
C
C
二、填空题： （课本· · ·黑色字体） · · · ·仿题 1、有限元网格划分的过程中应注意：网格数目、网格疏密、单元阶次、网格质 量
2、网格分界面和分界点 应使网格形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来适应网格。 3、位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调， 一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。 4、网格布局 当结构外形对称时，其网格也应划分对称网格。 5、单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和 为零。 6、单元刚度矩阵中对角线上的元素为正、单元刚度矩阵为对称矩阵、单元刚度 矩阵为奇异矩阵 7、四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标 x、y 的一次函数。在三角形单 元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。 8、 等参单元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 利用高斯点的应力进行应力 精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。