拉氏变换详解ppt课件
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高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
L [sit]n dtarc t t an arc stan
t s t2 1
s2
或
L [stit]n s t2 d 1 令 tt u 11 s 0 1 d u 2u 0 1 s1 d u 2u aru c0 1 s ta arnc 1 st
第三节 拉氏逆变换的运算
❖ 重点：拉氏逆变换的求法 ❖难点：拉氏逆变换的求法
5. 积分性质: L[f(t)]F(s) ,( s 0 ) ，且 f ( t ) 连续，则
L[1f(x)dx]L[f(t)]F(s)
0
s
s
性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数
的拉氏变换除以参数 s .
性质5可以推广到有限次积分的情形：
n次
t t
L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]Fs(ns)
(s1)2 3
(s1)2 3
24
24
f(t)e2 t co3 st3e2 t sin 3t
2
2
例2
求
F(s)s2
s3 3ss
的拉氏逆变换。
解： 先将F (s) 分解为两个简单分式之和，
s 3 s 3 AB s2 3 ss (s 1 )s( 2 ) s 1s 2
其中AB为待定的常数，上式两边同乘以(s1)s(2)，得
1 s
1 ss
e as
1 s
n!
(s ) n1
13
et sin t
14
et cost
15
tet sint
16
tet cost
17
sht
(s )2 2
s (s )2 2
2(s ) [(s )2 2 ]2
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
二章2拉氏变换ppt课件
五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2
自动控制原理课件-拉氏变换专讲
a3 an a1s a2 F ( s) s p1 s p2 s p3 s pn
1
a1s a2 s p
F ( s )s p1 s p2 s p
1
根据上述方程，令实部=实部，虚部= 虚部，可解出a1，a2
s 1 例: 求 F ( s ) 2 s s s 1 的部分分式 a3 a1 s a2 解: F ( s ) 2 s s 1 s
用拉氏变换法求解微分方程(2)
1 A a b
1 B a b
1 1 1 ba ba s a s b s a sb
用拉氏变换法求解微分方程(2)
留数法（适用于复杂函数)
s z1 s zm B( s ) 设 F ( s) A( s) s p1 s pn
a1 F (s)s 1
3 s 1
s 2s 3
2
s 1
2
用拉氏变换法求解微分方程(6)
d F ( s )s 1 a2 ds
2
3
s 1
2 s 2 s 1 0
3
1 d F ( s )s 1 a3 2 3 1! ds
2
令
A B C Y ( s) s s2 s3
2 1
0.866a1 a2 0.866
2
0.5
用拉氏变换法求解微分方程(5)
化简: a1 a2 1 求解得:
a1 a2 1
a2 0
a1 1
s 1 a3 s 1 2 s s s 1 s 0
拉氏变换详解ppt课件
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
信号与系统课件11-拉氏变换
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2
jω
仅当>时，其收敛域为 <Re[s]<的一个带状区域， 如图所示。
α
0
β
σ
例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解
二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t) 的双边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的
收敛域。
二．拉氏变换的收敛域
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
•记为：ROC(region of convergence)
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
拉氏变换对
F ( s) L f (t )
1
f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
记作 f (t ) F ( s )， f
(t ) 称为原函数， F ( s) 称为象函数
连续系统的复频域分析
引 言
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意 信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使 响应的求解得到简化。物理意义清楚。
傅里叶正变换F ( j ) F f (t ) f (t ) e jt d t 1 1 傅里叶逆变换f (t ) F F ( j ) F ( j ) e jt d 2
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
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0
0
f ( 2
) e s d
f ( 1
) e s d
0
0
即得证。
精选ppt
F (s)F (s)
2
1
11
二.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 称为拉氏反变换。记为 L1[F(s)] 。 由F(s)可按下式求出
f(t) L 1 [F (s) ] 1C j F (s)e sd t (ts 0 ) 2jC j
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。
即 L [t f1(t)f2()d]F 1(s)F 2(s)
0
t
t
证明： L[ f1(t)f2()d] [ f1(t)f2()d]estdt
0
00
t时，f1(t)1(t)0
t
f1(t)f2()d f1(t)1(t) f2()d
0
精选pp0t
1est
0
0 0
0 s 0
lim lim 0
1 (1es)
s
0
1 s(111!s2 2s!2 )1
精选ppt
1
e （3）例3.求指数函数f(t)= at 的拉氏变换
F (s) e ae t sd t te (a s)td t 1e (s a )t1
0
0
s a 0 s a
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
L [ f ( t ) d 2 ] ts 1 2 F ( s ) s 1 2f( 1 )( 0 ) 1 s f( 2 )( 0 )
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有 L[ f(t)dnt]s1 nF(s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象
证：设 h(t)f(t)dt则有 h(t)f(t) 由上述微分定理，有
L [ h ( t) ] s[ h L ( t) ] h ( 0 )
L[h(t)]1L[h(t)]1h(0)1L[f(t)]1h(0)
s
s
s
s
1F(s)1f1(0)
s
s
精选ppt
5
即： L[ f(t)d]tF(s)f1(0) ss
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到精选的ppt 原函数的形式。 12
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏
变换 L [ fn ( t ) s ] n F ( s ) s n 1 f( 0 ) s n 2 f( 0 ) fn 1 ( 0 )
精选ppt
4
(3)积分性质 若 L[f(t) ]F(s)
则
L[ f(t)d]tF(s)f1(0) ss
式中 f 1 (0) 为积分 f (t)dt 当t=0时的值。
函数除以 s n 。
精选ppt
6
（4）终值定理 lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。
证：由微分定理，有
L[f(t)] f(t)esd t tsF (s)f(0)
0
等式两边对s趋向于0取极限
左边
lim
f
(t)estdt
lim
f
(t)estdt
s0 0
即： L [e af t(t) ]F (s a )
(7)时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[f(t)]aF (as)
证：
a
L[f
(t
)]
f
(t
)estd
t
a 0a
令t/a,则原式 精选pfpt()esaad aF(as)
9
0
(8)卷积定理
10
t
L[
f (t 1
)
f ( 2
)d
]
0
[
f ( t )1 ( t ) f ( ) d ]e st dt
1
2
00
f ( 2
)d
f ( t ) 1 ( t ) e st dt 1
0
0
令 t ,则
t
L[
f (t 1
)
f ( 2
)d
]
0
f ( 2
)d
f ( 1
) e d s ( )
精选ppt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L [f(t) ] 0 f(t)esd t ts 0 f(t)esd t tf(t)est0 s(F s)f(0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L [f( t) ]s[L f( t) ]f( 0 ) s [s( F s ) f( 0 ) ]f( 0 )
s 2 F (s ) s( 0 f) f( 0 )
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F(s) Asetd t AestA
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F(s) (t)estd t
1estd t
(5)初值定理：lim f(t)lim sF (s)
t 0
s
证明方法同上。只是要将 s取极限。
(6)位移定理：
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟 ，则其象函数应乘以 es
L [f(t) ]e sF (s)
精选ppt
8
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以 e at
L [ a ( t ) b f( t ) f a ] [ f ( t ) L b ] [ f ( t ) L
1
2
1
2
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。
(2)微分性质
若 L[f(t) ]F(s) ，则有 L [f(t) ]s(F s) f(0 ) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
几个重要的拉氏变换
f(t)
F(s) f(t)
F(s)
δ(t) 1
sinwt
w (s2 w2 )
1(t)
1/s
coswt s
(s2 w2 )
t
1 s2
eatsinwt w
(s a)2 w2
e at
1/(s+a)
e精a选tcppot ws t
(s
sa a)2
w2
2
❖ 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
0 s0
0
f
(t)dt
f (t) 0
lim f t
(t)
f (0)
右边 lim[sF(s) f (0)] limsF(s) f (0)
s0
s0
精选ppt
7
lim f (t) limsF(s)
t
s0
注：若 t 时f(t)极限 lim f (t) 不存在， t 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。