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北京市中考数学二模试题分类 实验操作题(教师版)

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2024年北京中考数学第二次模拟卷含答案解析

2024年北京中考数学第二次模拟卷含答案解析

2024年中考第二次模拟考试数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．37．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x 可取的一个数是 ．10．将2327m n n -因式分解为 ．11．方程12131x x =+-的解为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e 的卡片写有数字 ．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE的形状，并证明；(2)连接EF，若EF CD的长．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺为3m，且空白区域A B贴用纸费用分别为：A区域10元2/m，铺贴三个区域/m，B区域15元2/m，C区域20元2共花费150元，求C区域的面积．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（　）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A ．23B ．34C ．25D ．358．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②a b +>)a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③==+，∴DF AC a b∵DF DE<，+<，①正确，故符合要求；∴a b c∵EAB BCD≌△△，第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9x可取的一个数是．∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n -=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =+-的解为 ．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值 ．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于 .AB是直径，CD丄AB∴=，CE DE=BD BC=60︒，∠ACDA∴∠=︒，30∴∠=∠=︒，DOE A26014．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，根据题意可列分式方程为.CE=．连接15．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，E点为BC边延长线一点，且3⊥于点H，则DH=．AE交边CD于点F，过点D作DH AE16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．【答案】B；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()20211π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭18．（本题5分）解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中1x =．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若EF =CD 的长．四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，60HDE ∠=︒ ，633OE OD ∴===21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域AB 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖人数101010第一次竞赛平均数828795人数21216第二次竞赛平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n 91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/m y 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；x=，求得函数值，即可解答．（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫⎪⎝⎭，，代入得，18342c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF =【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()0y b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，AB =若线段AB 是O的关于直线()0y b b =+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线故答案为：11A B ；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点当0y =时，()030x b b =-+>，将点C 代入直线3y x b =-+中，得0解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时2024年中考第二次模拟考试数学·参考答案 第Ⅰ卷 选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．12345678BDBDCBDD第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）9．如4等（答案不唯一，3x ≥）10．()()333n m m +-11．x ＝312．2-（答案不唯一）13．14．()621031x x-=1516．B ；4三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）【详解】解：原式1144=-+-+....................（2分）114=-++-....................（4分）4=．....................（5分）18．（5分）【详解】解：221352x xxx+<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x>，....................（2分）解不等式②得：5x<，....................（4分）∴不等式组的解集为35x<<．....................（5分）19．（5分）【详解】解：原式22121211(1)x x xx x x⎛⎫---=+÷⎪+++⎝⎭()()22112x x xx x-+=⋅+-....................（2分）()1x x=-+....................（3分）2x x=--，....................（4分）当1x=时，原式)1113=--+=-....................（5分）20．（5分）【详解】（1）解：四边形DFHE是菱形，理由如下：CD平分ACB∠，过点D作DE BC⊥于点E，DF AC⊥于点F，60ACB∠=︒，DF DE∴=，30FCD DCE∠=∠=︒，....................（1分）点H是CD的中点，FH CH DH∴==，EH CH DH==，FH HE∴=，30DCE∠=︒，DE CB⊥，60HDE∴∠=︒，DHE∴ 是等边三角形，DE HE DH∴==，DF DE HE FH∴===，∴四边形DFHE 是菱形；....................（2分）（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，12OF OE EF ===EF DH ⊥，....................（3分）60HDE ∠=︒，OD ∴===....................（4分）24CD DH OD ∴===....................（5分）21．（5分）【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，....................（1分）解得2x =，....................（2分）9225-⨯=，....................（3分）答：C 区域的面积是25m ．....................（5分）22．（5分）【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，....................（1分）该一次函数的表达式为112y x =-+，....................（2分）令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；....................（3分）（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，....................（4分）4m ∴>-．....................（5分）23．（6分）【详解】（1）解：如图所示；....................（2分）（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，....................（3分）∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；....................（4分）（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．....................（6分）24．（6分）【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，....................（1分）∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，....................（2分）∴ AD CD =，∴ AB AD BC CD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；....................（3分）（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD =，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．....................（4分）∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．....................（5分）∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．....................（6分）25．（6分）【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示， ....................（1分）（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；....................（3分）（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，....................（4分）∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，....................（5分）答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．....................（6分）26．（6分）【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，。

13.代数综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)

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202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题：（一）定直线+动抛物线1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C：y=ax2-2（a0）与线段AE恰有一个公共2点，结合函数的图象，求a的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx+3经过点B（3，0）∴3k+3=0k=-1……1分∴y=-x+3与y轴的交点，即为点C（0，3）……2分（2）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴y=x2+bx+3∴9+3b+3=0b=-4∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-4x+3……3分∴y=（x-2）2-1∴顶点D的坐标为（2，-1）……4分（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点∴点E的坐标为（-2，1）3当y=ax2-2经过点E（-2，1）时，a=4当y=ax2-2经过点A（1，0）时，a=2∴a的取值范围是3≤a<2……………6分4（ 2y（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y = mx 2 - 3 (m - 1) x + 2m - 1(m ≠ 0 ) ．（1）当 m =3 时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点 A （1，2）．试说明抛物线总经过点 A ；（3）已知点 B （0，2），将点 B 向右平移 3 个单位长度，得到点 C ，若抛物线与线段 BC只有一个公共点，求 m 的取值范围． 26．解： 1）把 m =3 代入 y = mx 2 - 3(m - 1)x + 2m - 1中，得y = 3x 2 - 6x + 5 = 3(x - 1)2 + 2 ，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2 分（2）当 x =1 时， y = m - 3(m - 1) + 2m - 1 = m - 3m + 3 + 2m - 1 = 2 ．∵点 A （1，2），∴抛物线总经过点 A ．………………………………………………3 分（3）∵点 B （0，2），由平移得 C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点 A （1，2）时，抛物线与线段 BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4 分 ② 当抛物线过点 B （0，2）时，将点 B （0，2）代入抛物线表达式，得 2m -1=2．yB A 1C3∴m = >0．2O图11 x此时抛物线开口向上（如图 1）．∴当 0<m < 3时，抛物线与线段 BC只有一个公共点．………5 分③当抛物线过点 C （3，2）时，将点 C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．B 1O A C1 x此时抛物线开口向下（如图 2）． ∴当-3<m <0 时，抛物线与线段 BC只有一个公共点． ………………… 6 分图2综上，m 的取值范围是 m =3 或 0<m <3 2或-3<m <0．（2）动抛物线：①不变：与y轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0,2）．（1）求c的值；（2）当a=2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（-2,0），B(1,0),若抛物线y=ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26．解：（1）∵抛物线y=ax2+a2x+c与y轴交于点（0,2），∴c=2.（2）当a=2时，抛物线为y=2x2+4x+2，∴顶点坐标为（-1,0）.（3）当a＞0时，①当a=2时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点.②当a=1+2时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点.图2图1结合函数图象可得2<a≤1+2.当a＜0时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点.综上所述，a的取值范围是2<a≤1+2.（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020 房山二模 26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在 y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与 x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax 2 + 2ax + c 与 x 轴交于点 A 、B ，且 AB = 4 .抛物线与 y 轴交于点 C ，将点 C 向上移动 1 个单位得到点 D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点 D 纵坐标（用含有 a 的代数式表示）；（3）已知点 P (-4,4 ) ，若抛物线与线段 PD 只有一个交点，求 a 的取值范围.26．（1）对称轴 x = - 2a2a= -1 ……………………………………1 分（2）∵ AB = 4A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2 分 把（1，0）代入表达式： a + 2a + c = 0 得： c = -3a ……………3 分 ∴ C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）,y = -3a + 1…………………………4 分D（3）当 a > 0 时将点 P (-4,4 ) 代入抛物线 y = ax 2 + 2ax - 3a 得：4 = 16a - 8a - 3a , a = 45∴当 a ≥ 4 5时，抛物线与线段 PD 只有一个交点…5 分当 a < 0 时抛物线的顶点为 (-1,-4a )当 -4a = 4 时a = -1…………………6 分45或a=-1时，抛物线与线段PD只有一个交点.综上所述，当a≥B 0图 5 )图31 5.（2020 燕山二模 26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与 x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 4ax(a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A ， (A 在 B 的左侧)．(1) 求点 A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点 P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵ y = ax 2 - 4ax ＝ ax( x - 4) ，∴抛物线与 x 轴交于点 A (0，0)，B (4，0)．抛物线 y = ax 2 - 4ax 的对称轴为直线： x = --4a2a= 2 ．………3 分(2) y = ax 2 - 4ax ＝ a( x 2 - 4 x ) ＝ a( x - 2)2 - 4a ，抛物线的顶点坐标为(2，－4a )．令 y = 5a ，得 ax 2 - 4ax = 5a ，a( x - 5)( x + 1) = 0 ，解得 x = -1 ，或 x = 5 ，∴当 y = 5a 时，抛物线上两点 M (－1，5a )，N (5，5a )．yyMN QyP1 4 xPO14xP 14 xMQNQ M N①当 a > 时，抛物线开口向上，顶点位于 x 轴下方，且 Q (2＋2a ， a 位于点 P 的右侧， 图 2如图 1，当点 Q 与点 N 重合或位于点 N 右侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时 2＋2a ≥5，5202006 初三数学 代数综合北京各区二模试题分类整理解得 a ≥ 32．②当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点位于 x 轴上方，点 Q (2＋2a ， a )位于点 P 的左侧，(ⅰ)如图 2，当顶点与点 P 重合或位于点 P 下方时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时－4a ≤2，解得 a ≥ - 12．(ⅱ)如图 3，当顶点位于点 P 上方，点 Q 与点 M 重合或位于点 M 左侧时，抛物线与线段 PQ 有公共点，此时 2＋2a ≤－1，解得 a ≤ - 32．综上，a 的取值范围是 a ≥ 3 1 3，或 - ≤ a<0 ，或 a ≤ - ． …………………6 分2 2 26.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a与y轴交于点A.（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P(a，0)，Q(0，a-2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．26.解：（1）令x=0，则y=3a.∴点A的坐标为（0，3a）.………………………………………………1分（2）令y=0，则ax2-4ax+3a=0.…………………………………………2分∵a≠0，∴解得x=1,x=3.12∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0）,（3，0）.…………4分（3）①当a<0时，可知3a≥a-2.解得a≥-1.∴a的取值范围是-1≤a<0.②当a＞0时，由①知a≥-1时，点Q始终在点A的下方，所以抛物线与线段PQ恰有一个公共点时，只要1≤a<3即可.综上所述，的取值范围是-1≤a<0或1≤a<3.......….........….....………7分ay 二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题：7.（2020 海淀二模 26）在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y =mx 2+2mx +3 的图象与 x 轴交于点 A(-3,0) ，与 y 轴交于点 B ，将其图象在点 A ，B 之间的部分（含 A , B 两点）记为 F .（1）求点 B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数 y =x 2+2x +a 的图象与 F 只有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3 的图象与与 y 轴交于点 B ，∴点 B 的坐标为(0, 3).–4 –3 –2 –1 y 6 5 4 3 2 1O 1–1–22 3 4 x∵y =mx 2+2mx +3 的图象与 x 轴交于点 A(-3,0) ，∴将 A(-3,0) 代入 y =mx 2+2mx +3 可得 9m - 6m + 3 = 0 .∴ m = -1.∴该函数的表达式为 y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数 y =mx 2+2mx +3 的图象在点 A ，B 之间的部分（含 A , B 两点）记为 F ，∴F 的端点为 A , B ，并经过抛物线 y =mx 2+2mx +3 的顶点 C （其中 C 点坐标为(-1,4)）.∴可画 F 如图 1 所示.∵二次函数 y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为 x =-1，且与 F 只有一个公共点,∴可分别把 A , B , C 的坐标代入解析式 y =x 2+2x +a 中.∴可得三个 a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图 2 所示.∴结合函数图象可知：A–4 –3 –2 –1Cy6 5 4 3 B 2 1O 1 2 3 4 x–1 –2–3 –4 图 1 6 543 B 2 1二次函数 y =x 2+2x +a 的图象与 F 只有一个公共点时，a 的取值范围是-3≤a <3 或 a =5.A–4 –3 –2 –1O–11 2 3 4 x–2 –3 –4图 2202006初三数学代数综合北京各区二模试题分类整理三、整点问题8.（2020平谷二模26）含同参的动线段+动抛物线。

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202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。

2024北京二中初三二模数学试卷和答案

2024北京二中初三二模数学试卷和答案

2024北京二中初三二模数 学一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）A. 25(2)3y x =++B. 25(2)3y x =-+C. 25(2)3y x =--D. 25(2)3y x =+-3. 已知O 的半径为 r ，点P 到圆心的距离为d ．如果d r ≥，那么点P （ ）A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内4. 一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（ ）A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形5. 正比例函数y=kx 和反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6. 若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ）A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 117. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定8. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题（本大题共8小题）9. 分解因式：32232x y x y xy -+-= ______10. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．11. 若分式67x--的值为正数，则x 满足______12. 请写出一个解为34x y =⎧⎨=-⎩，的二元一次方程组，这个方程组可以是_________．13. 若点P 是△ABC 角平分线的交点，且S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，则点P 到边AB 的距离是 _____．14. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，AB AC =，72C ∠=︒，若4AB =，则CE 的长度为________．15. 正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为______．16. 某超市现有n 个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放_______个收银台．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 计算：2cos45°﹣|1|＋（13）﹣118. 解不等式组243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝ S 小⊙O ．21. 如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，连结BD 并延长到点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，交AB 于点G ．（1）若BD DE =，求证：CD DF =；（2）若7025BG GE ACB E =∠=︒∠=︒，，，求∠A 的度数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()230y ax bx a =+-≠，经过点()1,0A -，()4,5B ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ，当PM PN >时，求点P 的横坐标p x 的取值范围．23. 小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分篮板失误得分篮板失误第一场2110225172第二场2910231150第三场2414316124第四场261052282平均值a 11223.5132（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是______分；（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是______，中位数是______；（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分1⨯+平均每场篮板 1.2⨯+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．24. 如图1，直线AB 与直线1l ，2l 分别交于C ，D 两点，点M 在直线k 上，射线DE 平分ADM ∠交直线1l 于点Q ，2AC Q C D Q ∠=∠．（1）证明：12l l ∥；（2）如图2，点P 是CD 上一点，射线QP 交直线2l 于点F ，70ACQ ∠=︒．①若15QFD ∠=︒，求出FQD ∠的度数．②点N 在射线DE 上，满足QCN QFD ∠=∠，连接CN ，请补全图形，探究CND ∠与PQD ∠的等量关系，并写出证明过程．25. 小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，20x -≤<当时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x 0121322523L y 0116167161954872L综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，)(0)m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是_________．26. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．27. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．（1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，则∠DEC 度数为_________°；（2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值．28. 问题探究：（1）如图1，在等边ABC 中，3AB =，点P 是它的外心，则PB ＝ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，3AB =，边BC 上存在点P ，使90APD ∠=︒，求矩形ABCD 面积的最小值；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，3AB =，90A B ∠=∠=︒，45C ∠=︒，边CD 上存在点P ，使60APB ∠=︒，在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．3. 【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．【详解】解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d．如果d≥r，∴P点在圆外或圆上．故选B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 【答案】Cn-⨯=，然后解方程即【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(2)1801260可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，n-⨯=，(2)1801260n=，解得9故这个多边形为九边形．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n 边形的内角和为2180()n -⨯︒．5. 【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx 所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）中，()2k 1-+＜0，图象在第二、四象限，故A 、D 不合题意，当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象在第一、三象限，经过原点，故C 符合；当k ＜0时，正比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，经过原点，故B 不符合；．故选C ．6. 【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵13a a -=-，∴221a a +＝（a ﹣1a ）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s <；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题）9. 【答案】()2xy x y --【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答．【详解】32232x y x y xy -+-()222xy x xy y =--+()2xy x y =--，故答案为：()2xy x y --．10. 【答案】6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC =，即可得．【详解】解：如图：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴90ABE ACD ∠=∠=︒，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE ABCD AC =，∴1.8310CD =，解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11. 【答案】7x >【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．【详解】根据题意有：67x ->0-，∵60-<，∴70x -<，∴7x >，故答案为：7x >．12. 【答案】17x y x y +=-⎧⎨-=⎩【分析】由题意知，可组的二元一次方程组不唯一，加减是最简单的，所以可给出17x y x y +=-⎧⎨-=⎩的形式．【详解】解：∵1x y +=-，7x y -=∴最简单的二元一次方程组可为17x y x y +=-⎧⎨-=⎩故答案为：17x y x y +=-⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键在于按照方程组的解给出正确的方程组的形式．13. 【答案】2【分析】由角平分线的性质可得，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∵S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，∴点P 到边AB 的距离23030⨯==2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线是解题的关键．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14. 【答案】6-【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到36A ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，推出36EAB EBA ∠=∠=︒，进而求出36EBC ∠=︒，则72BEC ∠=︒，即可得到BE BC =，证明ABC BCE ∽，设CE x =，则4AE BE BC x ===-，利用相似三角形的性质建立方程444x x x-=-，解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，72C ∠=︒，∴72ABC C ∠=∠=︒，∴18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，∴AE BE =，∴36EAB EBA ∠=∠=︒，∴36EBC ABC EBA A =-=︒=∠∠∠∠，∴18072BEC C EBC C ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴BE BC =，又∵C C ∠=∠，∴ABC BCE ∽，∴BE CE AC BC=，设CE x =，则4AE BE BC AC CE x ===-=-，∴444x x x-=-，∴28164x x x -+=，解得6x =-（不合题意的值舍去），∴6CE =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．15. 【答案】30︒或150︒【分析】画出图形，连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，由正六边形的性质得出,60AB BC CD DE AE EF AOB =====∠=︒，由圆周角定理得出3120AEB AOB ∠=∠=︒，由圆内接四边形的性质得出180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即可得出结论．【详解】解：连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，如图所示：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴360,=606AB BC CD DE AE EF AOB ︒=====∠=︒，∴3120AEB AOB ∠=∠=︒，∵四边形AEBG 是圆内接四边形，∴180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30︒或150︒；故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正六边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16. 【答案】6【分析】设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得y =2x ，n =60x ．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，将y 和n 代入，即可求得a 的取值，从而请求解．【详解】解：设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得2022012312x n y x n y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩化简，得y =2x ，n =60x ，∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，即6a ·2x ≥6x +60x ，12a ≥66，∵x >0，∴．a ≥112，∵a 是正整数，∴．a ≥6，∴需要至少同时开放6个收银台．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等关系是解题的关键．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解．【详解】2cos45°﹣|1|＋（13）﹣12133=++-133=++-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18. 【答案】-2≤ x <1【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．【详解】解：243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-，解不等式②得：1x <，∴不等式组的解集为：21x -£<．【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．19. 【答案】（1）14m -＞ 且0m ≠ （2）另一个根为32【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程，0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac \D=-＞ ，即：[]2(21)4(2)0m m m ----＞ ，整理得：410m +＞ ，14m \-＞ ，综上所述：14m -＞ 且0m ≠．【小问2详解】∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x == ，∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0D Û＞方程有两个不相等的实数根 ， =0D Û方程有两个相等的实数根，0D Û＜方程没有实数根，0D³Û方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD r 即可得到S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）60︒【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知DBC E ∠=∠，结合已知,BD DE BDC EDF =∠=∠（对顶角相等），可证得BDC EDF ≌ （ASA ），即可根据全等三角形的性质定理证得CD DF =．（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：∵EF BC∥∴E DBC∠=∠在Rt BDC Rt EDF 和中，DBC E BD DEBDC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EDF BDC ≌ （ASA ）∴CD DF =；【小问2详解】解：∵EF BC∥∴25E DBC ∠=∠=︒又∵BG GE=∴25GBE E ∠=∠=︒∴50ABC GBE DBC ∠=∠+∠=︒在ABC中，∵70ACB ∠=︒∴180180507060A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键．22. 【答案】（1）2=23y x x --（2）4p x >或2p x <【分析】（1）将点()1,0A -，()4,5B 代入解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出直线AB 的解析式，设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，根据PM PN >列出不等式，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()4,5B ，∴ 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为2=23y x x --．【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y kx t =+．将点()1,0A -，()4,5B 代入，可得045k t k t -+=⎧⎨+=⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+．设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，PM PN >，∴2231p p p x x x -->+，∴()1310p p x x +⋅-->，10p x +>，∴310p x -->，∴31p x ->或31p x -<-，∴4p x >或2p x <．即点P 的横坐标p x 的取值范围是4p x >或2p x <．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，利用绝对值的性质解不等式等，第2问有一定难度，正确求解不等式是解题的关键．23. 【答案】（1）25 （2）10，11（3）小彬在对阵乙队时表现更好，理由见解析【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；（2）根据众数，中位数的概念求解即可；（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．【小问1详解】()21292426425a =+++÷=∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是25分，故答案为：25．【小问2详解】在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，∴众数是10，从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，∴在中间的两个数为10，12∴中位数为1012112+=，故答案为：10，11；【小问3详解】小彬在对称甲队时的“综合得分”为：()25111 1.22136.2⨯+⨯+⨯-=，∵36.237.1<∴小彬在对阵乙队时表现更好．【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．24. 【答案】（1）见详解 （2）①20︒；②CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【小问1详解】证明：如图1，DE 平分ADM ∠，12ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠，∵2AC Q C D Q ∠=∠，ACQ ADM ∴∠=∠，12l l ∴∥；【小问2详解】解：①12l l ∥，70ADM ACQ ∴∠=∠=︒，DE 平分ADM ∠，1352ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠=︒，EDM QFD FQD ∠=∠+∠ ，351520FQD ∴∠=︒-︒=︒；②证明：CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，理由如下：如图3，12l l ∥，NCQ CTD ∴∠=∠，QCN QFD ∠=∠ ，CTD QFD ∴∠=∠，NT FQ ∴∥，CND PQD ∴∠=∠；如图4，由①可得1352CDQ CQD ACQ ∠=∠=∠=︒，CND CQN QCN ∠=∠+∠ ，QCN QFD ∠=∠，CND CQN QFD ∴∠=∠+∠，35CND QFD ∴∠=︒+∠，即：35CND QFD ︒∠-∠=，35QFD FQC CQD PQD QDM FQD PQD ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒-∠ ，(35)35CND QFD CND PQD ∴∠-∠=∠-︒-∠=︒，70CND PQD ∴∠+∠=︒，综上所述，CND ∠与FQD ∠满足的等量关系为CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．25. 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析； （3）73．【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，2x =-时，m 的值最大．【小问1详解】当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而减小，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而减小，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象可知，2x =-时，m 的值最大，最大值172(421)63m =⨯⨯++=，故答案为：73．26. 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）；故答案为：173；（2）17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．27. 【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE －BE=2．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE ，再根据BC=BD ，可得出∠BDC 的度数，然后可得出∠BDE 的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC 的度数；（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE ，BD=AC ，再根据ASA 判定△ADC ≌△BED ，即可得到CD=DE ；（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE ，进而得到CE=DE ，再在DE 上取点F ，使得FD=BE ，进而判定△CDF ≌△DBE （SAS ），得出CF=DE=CE ，再根据CH ⊥EF ，运用三线合一即可得到FH=HE ，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°=∠CDE ，又BC=BD ，∴∠BDC=∠BCD=12(180°-∠B)=67.5°，∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；故答案为：67.5；（2）证明：∵AC=BC ，∠CDE=∠A ，∴∠A=∠B=∠CDE ，∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE ，∴∠ACD=∠BDE ，又∵BC=BD ，∴BD=AC ，在△ADC 和△BED 中，ACD BDEAC BD A B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD=DE ；（3）解：∵CD=BD ，∴∠B=∠DCB ，由（2）知：∠CDE=∠B ，∴∠DCB=∠CDE ，∴CE=DE ，如图，在DE 上取点F ，使得FD=BE ，在△CDF 和△DBE 中，DF BECDE B CD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△DBE （SAS ），∴CF=DE=CE，又∵CH ⊥EF ，∴FH=HE ，∴DE －BE=DE －DF=EF=2HE=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．28. 【答案】（1（2）18（3+【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；（2）如图2中，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小,求出AD 的长即可解决问题；（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．想办法求出AD 、AB 即可解决问题．【小问1详解】如图，∵在等边ABC 中，3AB =，∴60B BC AB CW AB ∠=︒====，，，∵点P 是等边ABC 的外心，∴23PB PC WC ==，∴2233PB PC WC ====，【小问2详解】如图，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小．连接OP ．∵O 与BC 相切，∴OP BC ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OP OD ==，∴四边形ABPO ，四边形CDOP 都是正方形，∴AB OP=∴3AB CD AO ===，6BC AD ==，∴矩形ABCD 面积的最小值为：18BC AB ⋅=．【小问3详解】存在．如图，在AB 的右边作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．延长MO 交AB 于E ，过点O 作OF AD ⊥于F ，过点P 作PT BC ⊥于T ，连接OP ，PT 交OM 于R ．TP 的延长线交AD 的延长线于点N ，∵90A B ∠=∠=︒∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，又∵3AB =，45C ∠=︒，∴CD ==．∵ABM 是等边三角形，圆O 外接等边三角形ABM ，∴EM AB ⊥，结合OF AD ⊥、PT BC ⊥、90A B ∠=∠=︒，即四边形AEOF 、四边形AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，∴32AE EB NR RT ====，AF EO ==，OM OP ==∵45C ∠=︒，AD BC ∥，90N ∠=︒，∴45NDP C ∠=∠=︒，∴45NPD ∠=︒，即DNPN =，∵OP CD ⊥，∴90DPO ∠=︒，∴18045OPR DPO DPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴OR PR ===，∴BT AN ==，32DN PN NR PR ==-==∴AD AN DN =-==，32BC BT CT =+=++=，∴2ABCD AD BC S AB +=⋅=四边形．【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

2024年北京西城区初三二模数学试卷和答案

2024年北京西城区初三二模数学试卷和答案

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第1页（共8页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数 学 2024.5考生须知1．本试卷共8页，共两部分，28道题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．右图是某几何体的三视图，该几何体是 （A ）圆柱 （B ）圆锥 （C ）三棱柱（D ）长方体2．新能源革命受到全球瞩目的同时，也成为中国实现“碳达峰碳中和”目标的关键所在．2023年全球可再生能源新增装机510 000 000千瓦，其中中国的贡献超过了50%． 将510 000 000用科学记数法表示应为 （A ）90.5110 （B ）85.110 （C ）95.110 （D ）75110 3．正十二边形的每一个外角的度数为（A ）30°（B ）36°（C ）144°（D ）150°4．如图，直线AB ⊥CD 于点C ，射线CE 在∠BCD 内部，射线CF平分∠ACE ．若∠BCE =40°，则下列结论正确的是 （A ）∠ECF =60° （B ）∠DCF =30° （C ）∠ACF 与∠BCE 互余 （D ）∠ECF 与∠BCF 互补5．不透明的袋子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字4，5，6．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是 （A）12 （B ）13（C ）23（D ）49北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第2页（共8页）6．如图，点C 为线段AB 的中点，∠BAM =∠ABN ，点D ，E 分别在射线AM ，BN 上，∠ACD 与∠BCE 均为锐角．若添加一个条件一定 可以证明△ACD ≌△BCE ，则这个条件不能是 （A ）∠ACD =∠BCE （B ）CD=CE （C ）∠ADC =∠BEC（D ）AD =BE7．某农业合作社在春耕期间采购了A ，B 两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A 型机器的进价比每台B 型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A ，B 两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．若设每台B 型机器的进价为x 万元，根据题意可列出关于x 的方程为（A ）12.621(20.7)x x （B ）2112.620.7x x （C ）2112.620.7x x（D ）2112.620.7x x8．下面问题中，y 与x 满足的函数关系是二次函数的是①面积为102cm 的矩形中，矩形的长y （cm ）与宽x （cm ）的关系；②底面圆的半径为5cm 的圆柱中，侧面积y 2(cm )与圆柱的高x （cm ）的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(100)x 件． 利润y （元）与每件售价x （元）的关系． （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）①③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 若分式34x 有意义，则x 的取值范围是______． 10．分解因式：2218x y y =______．11．方程组25,24x y x y的解为______． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(3,1)A 关于原点O 的对称点的坐标为______．13．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ．若BE =3，△BDE 的面积为1.5，则点D 到边AB 的距离为______． 14．如图，AB 与⊙O 相切于点C ．点D ，E 分别在OA ，OB上，四边形ODCE 为正方形．若OA =2，则DE =______．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第3页（共8页）15．如图，(2,)A m ，(3,2)B 两点在反比例函数ky x（x ＞0）的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段OA ，OB 及反比例函数图象上A ，B 两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为______．16．在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分，负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为m （分），则m 的最小值为______；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为______场． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：04cos 45(π3) ．18．解不等式组3 2 < 4,2,53x x x x≥并写出它的所有整数解． 19．已知230x x ，求代数式233(1144x x x的值． 20．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA=BC ．求作：点D ，使得点D 在△ABC 内，且12ADB BDC ．下面是小华的解答过程，请补充完整：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：①作线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点E ；②以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，与直线PQ 在△ABC 内交于点D ． 点D 就是所求作的点．（2）完成下面的证明．证明：连接DA ，DB ，DC ．∵ 点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ DB = DC （ ）（填推理的依据）， DE ⊥BC ．∴ 12BDE CDE BDC ．∵ ∠ABC =90°，∠DEC =90°， ∴ ∠ABC =∠DEC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第4页（共8页）∴ AB ∥DE ． ∴ ∠ABD =∠BDE ． ∵ ， ∴ ∠ADB =∠ .∴ 12ADB BDE BDC ．21．已知关于x 的一元二次方程2320x x k 有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根．22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ，FG =CF ，连接AG ．（1）求证：四边形AEFG 是矩形；（2）若∠ABD =30°，AG =2AE =6，求BD 的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，点E 是 BD的中点，连接AE 交BC 于 点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若BF =6，3cos 5C，求AB 的长．24．我国快递市场繁荣活跃，某快递公司为提高服务质量，对公司的业务量、公众满意度等数据进行统计分析．公司随机抽取了某日发往相邻城市的快递中的1000件，称重并记录每件快递的重量（单位：kg，精确到0.1）．下面给出了部分信息．a.每件快递重量的频数分布直方图（数据分成11组：0≤x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10，10≤x＜11）；b.在3≤x＜4这一组的数据如下：3.0 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.4 3.4 3.4 3.43.5 3.5 3.5 3.5 3.6 3.6 3.7 3.7 3.8 3.9c.这1000件快递重量的平均数、中位数、众数如下：平均数 中位数 众数快递重量3.6 m n（单位：kg）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）写出m的值；（3）下面四个结论中，① n的值一定在2≤x＜3这一组；②n的值可能在4≤x＜5这一组；③n的值不可能在5≤x＜6这一组；④n的值不可能在8≤x＜9这一组.所有正确结论的序号是 ；（4）该日此快递公司在全市揽收的快递包裹中有3800件发往相邻城市，估计这批快递的重量.北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第5页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第6页（共8页）25．已知角x （0°≤x ≤90°），探究sin x 与角x 的关系.两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案：方案一：如图，点P 在以点O 为圆心，1为半径的 MN上，∠MON =90°，设∠POM 的度数为x . 作PC ⊥OM 于点C ，则线段 ① 的长度c 即为sin x 的值.方案二：用函数35π1π1π()()()1806180120180x x x F x的值近似代替sin x 的值．计算函数 ()F x 的值，并在平面直角坐标系xOy 中描出坐标为(,())x F x 的点.两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（精确到0.001）. 若()c F x ≤0.001记为√，否则记为×. x 0 102030 40455060708090 c 0 0.174 0.342 ②0.643 0.707 0.766 0.866 0.940 0.985 1 ()F x0.174 0.342 0.500 0.643 0.707 0.766 0.866 0.941 0.987 1.005√或× √√√√√√√√×根据以上信息，解决下列问题： （1）①为 ，②为 ； （2）补全表中的√或×；（3）画出()F x 关于x 的函数图象，并写出sin55°的近似值（精确到0.01）.26．在平面直角坐标系xOy 中，11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c上任意两点．设抛物线的对称轴是x=t ．（1）若对于12x ，21x ，有12y y ，求t 的值；（2）若对于1x ≥2，都有1y c 成立，并且对于21x ，存在2y c ，求t 的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD=AB （点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．图1图2北京市西城区九年级模拟测试试卷数学2024.5 第7页（共8页）北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学2024.5 第8页（共8页）28．如图1，对于⊙O 外的线段PQ （线段PQ 上的各点均在⊙O 外）和直线PQ 上的点R ，给出如下定义：若线段PQ 绕点R 旋转某一角度得到的线段P ′Q ′恰好是⊙O 的弦，则称点R 为线段PQ 关于⊙O 的“割圆点”．图1图2在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．（1）如图2，已知点(1,4)S ，(1,2)T ，(1,2)U ，(0,3)W . 在线段ST ，TU ，UW 中，存在关于⊙O 的“割圆点”的线段是_______，该“割圆点”的坐标是_______； （2）直线y x b 经过点(0,3)W ，与x 轴的交点为点V ．点P ，点Q 都在线段VW 上，且PQ PQ 关于⊙O 的“割圆点”为点R ，写出点R 的横坐标R x 的取值范围；（3）直线l 经过点H ，不重合的四个点A ，B ，C ，D 都在直线l 上，且点H 既是线段AB 关于⊙O 的“割圆点”，又是线段CD 关于⊙O 的“割圆点”．线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，记线段MN 的长为d ，写出d 的取值范围．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第1页（共6页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.5一、选择题（共16分，每题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBADABCC二、填空题（共16分，每题2分）9．4x 10．2(3)(3)y x x11．2,1x y 12．(3,1) 13．1 1415．(1,1)，(2,2) 16．6；4 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解： 04cos 45(π3) 2412…………………………………………………………… 4分 1 ． ……………………………………………………………………………… 5分18．解：原不等式组为3 2 < 4,2.53x x x x≥ 解不等式①，得3x ．……………………………………………………………1分 解不等式②，得1x ≥．………………………………………………………… 2分∴ 原不等式组的解集为1 ≤3x ．…………………………………………… 3分 ∴ 原不等式组的所有整数解为1 ，0，1，2．……………………………… 5分19．解： 233(1)144x x x2231(2)x x x3(1)(2)x x232x x． ……………………………………………………………………… 3分∵ 230x x ， ∴ 23x x ．∴ 原式3 ．…………………………………………………………………………5分① ②北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第2页（共6页）20．解：（1）作图见图1．……………………………………………………………………2分（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；……………… 3分 AB=AD ；……………………………………………………………………… 4分ABD ．………………………………………………………………………… 5分21．解：（1）依题意，得234(2)174k k ．…………………………………… 1分∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ 1740k ．………………………………………………………………2分 解得 174k．…………………………………………………………………3分 （2）∵ k 为满足条件的最大整数，∴ 4k ．此时方程为2320x x ．此时方程的根为11x ，22x ．…………………………………………5分22．（1）证明：如图∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，AB=CD ．…………………………………………………… 1分 ∴ ∠ABE=∠CDF ．∵ AE ⊥BD 于点E ，CG ⊥BD 于点F ， ∴ ∠AEB=∠CFD=∠AEF=∠EFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF ．图1北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第3页（共6页）∴ AE=CF ．∵ FG =CF ，∴ AE= FG ．∵ ∠AEF=∠EFC ，∴ AE//FG ．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．∵ ∠AEF=90°，∴ 四边形AEFG 是矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ △ABE ≌△CDF ，∴ BE= DF ．∵ AG=2AE =6，∴ AE =3．在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∠ABE =30°，AE =3，∴3tan tan 30AE BE ABE4分 ∵ 四边形AEFG 是矩形，AG =6，∴ EF=AG=6．……………………………………………………………… 5分∴26BD BE EF DF BE EF ． ………………………… 6分23．（1）证明：如图3，连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，∴ ∠BDA=90°．∴ 90B DAB ．∵ 点E 是 BD的中点， ∴ BEED ． ∴ 1EAB ．∴ 12DAB EAB EAB ．∵ ∠ACB =2∠EAB ，∴ ∠DAB =∠ACB ．∴ 90B ACB ．∴ ∠BAC=90°．………………………………………………………… 2分∴ AC ⊥AB ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ AC 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 3分 图3北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第4页（共6页）（2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，3cos 5C ． 设AC =3k ，则BC =5k ，AB =4k ．∵ 90B DAB ，90CAD DAB ，∴ B CAD ．∵ 2B EAB ，1CAF CAD ，1EAB ，∴ 2CAF ．∴ CF=AC=3k ．∴ 2BF BC CF k ．∵ BF =6，∴ k =3．∴ 412AB k ．…………………………………………………………… 6分24．解：（1）补全频数分布直方图见图4；……………………………………………… 1分（2）2分（3）②④；………………………………………………………………………… 4分（4）3.6380013680 （kg ）．……………………………………………………5分25．解：（1）PC ，0.5； …………………………………………………………………… 2分（2）√，×；……………………………………………………………………… 4分（3）画图见图5；5分0.82．………………………………………………………………………… 6分 图5北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第5页（共6页）26．解：（1）∵ 对于12x ，21x ，有12y y ，∴ 42a b c a b c ．∴ b a ．∴ 122b t a ．………………………………………………………………2分 （2）由题意可知，抛物线2y ax bxc 与y 轴的交点为(0,)c ．①当a > 0时，抛物线开口向上．∴ 当1x ≥2时，1y 有最小值，没有最大值．∴ 与“对于1x ≥2时，都有1y c ”不符，所以不合题意．∴ a > 0不成立．②当a < 0时，抛物线开口向下，且经过点(0,)c ，(2,)t c ．若抛物线经过点(1,)c ，则12t ； 若抛物线经过点(2,)c ，则1t ．（i ）当12t ≤时， 01t ≤或021t t ≤．∴ 对于21x ，都有2y c ．与“对于21x ，存在2y c ”不符，所以不合题意．（ii ）当112t 时，122t t ． ∴ 对于21x ，存在2y c ，对于1x ≥2，都有1y c ．∴112t 成立． （iii ）当1t ≥时，022t ≤． ∴ 当12x 时，1y c ．与“对于1x ≥2，都有1y c 成立”不符，所以不合题意． 综上所述，112t ．27．解：（1）补全图形见图6．∵ 点D 与点B 重合，MD=AB ，∠BAM ∴ ∠AMD =∠BAM =2α．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∴ 90AMD MAC ．∵ ∠BAC =α，∴ 5α=90AMD BAM BAC ．北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学答案及评分参考 2024.5 第6页（共6页）解得α=18 ．∵ ∠MDE =2α，∴ 2α+2α4α=72AED AMD MDE ．………………………… 2分（2）补全图形见图7．…………………………………………………………… 3分ME =2BC ．…………………………………………………………………… 4分证明：如图7，在BC 的延长线上截取CF=BC ，连接AF ．以点B 为圆心，BF 为半径作弧，交AF 于点N ，连接BN ．∵ CF=BC ，∠ACB =90°，∴ AB=AF ．∴ ∠BAN =2∠BAC =2α．∵ ∠MDE =2α，∴ ∠MDE =∠BAN ．∴ 在等腰△ABF 中，18090α2BAF F ． ∵ BN=BF ，∴ 390αF ．在Rt △AMC 中，190903αMAC ．∴ 21(903α)+2α90αMDE ．∴ 23 ．∵ 41802 ，1803BNA ，∴ 4BNA ．∵ DM =AB ，∴ △DME ≌△ABN ．∴ ME=BN ．∵ BN=BF ，∴ ME=BF=2BC ．……………………………………………………7分28．解：（1）UW ，(2,1) ；…………………………………………………………………2分（2）2R x ≤或1R x ≥；………………………………………………………… 4分（3）02d或4d ≤．……………………………………………… 7分。

北京市中考数学二模试题分类 圆(教师版)

北京市中考数学二模试题分类 圆(教师版)

BDO CA （一）与圆有关的填空选择题1.（西城3）若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确的是A.12O O =5B.12O O =11C.12O O ＞11D. 5＜12O O ＜11 A2.（延庆） 如图,⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 1OD =,则BAC ∠的度数是A ．55° B．60° C．65° D．70°B3.（通州7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=60o ，则sin ∠BDC 的值为（ ）A ．12B 3C 2D 34.（丰台11）如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 如果1OD =，那么BAC ∠=________︒．60°5.（西城6）如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，3cos 5BOD ∠=， 则AB 的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 86.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．DOCBAF E B A O 在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7.（怀柔5）一条排污水管的横截面如图所示，已知排污水管的横截面圆半径OB=5m ，横截面的圆心O 到污水面的距离OC =3m ，则污水面宽AB 等于 A ．8m B ．10m C ．12m D ．16m A8.（密云7）如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:43AC BC =10AB =cm ，则OD 的长为A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π D10.（平谷11）如图，在⊙O 中，直径AB=6，∠CAB=40°，则阴影部分的面积是 ．11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．23πA O12.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．13．（延庆）如图，点A 、B 、C 在直径为23的O ⊙上，45BAC ∠=°，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留π）3π342-14.（西城8）如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B CD '''，则AD 边扫过的 面积(阴影部分)为A . 21π B. 31π C.41π D. 51π15.（东城12） 如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON，使∠MON＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H, 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．2π-16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将第12题图 AC两条含120︒圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积比是 ______ ．17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ） A ．132π平方厘米B ．312π平方厘米C ．25π平方厘米D ．无法计算18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ． 19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（ ）.A ．15πB ．14πC ．13πD ．12π D20.(西城11)如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．（二）与圆有关的计算问题1.怀柔20. 如图，点D 在O ⊙直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC=CD ，∠ACD=120°.（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.20题图20.（1）证明：连结O C .………………1分∵ CD AC =，120A C D ︒∠=，∴ 30A D ︒∠=∠=.……………2分∵ OC OA =,∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=.∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分（2）解:∵∠A=30o， ∴ 1260A ︒∠=∠=.∴2602360O B CS π⨯==扇形23π. ……………………4分 在Rt△OCD 中, tan 603CD OC =⋅︒=.∴Rt 112232322OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=.∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. ……………5分2.（石景山21）已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；DP B（2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．解：21.（1）联结CO, …………………………1分 ∵DM ⊥AB∴∠D+∠A=90° ∵PC PD = ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC ⊥OC∴直线PC 是⊙O 的切线 ……………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q ∴Rt △CQA 中∴22tanD QAC tan ==∠∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x …………………………4分∴22=AQ∴242==AQ AN …………………5分∴22163CD AC AD =-=……………… 5分3.（门头沟20） 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足 为D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线； (2)若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC, ∴∠OCA=∠OAC . ∵CD⊥PA， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO . ………………………1分∴∠DC O =∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作O F⊥AB，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分 ∵⊙O 的直径为10， ∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt△AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分OB DC EA P∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，AB=2AF=6. ………………………..5分4.（通州20）已知：如图直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线DC切⊙O 于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径．20. 答案：(1)连结OC∵DC切⊙O于C∴OC⊥DC又∵PA⊥DC∴OC∥PA∴∠PAC=∠OCA ……………………..(1分)又 OC=OA∴∠OCA=∠OAC∴∠PAC=∠OAC∴AC平分∠DAB …………………..(2分)(2)作OF⊥AE于F，设⊙O的半径为R ……………..(3分)又∵PA⊥DC OC⊥DC∴四边形OCDF为矩形∴OF=CD=4 且 DF=OC=R又 DA=2，∴ AF=DF-AD=R-2……………………………..(4分)在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2∴ 42+(R-2)2=R2 解得：R=5∴⊙O的直径：2R=10 ……………………………..(5分)5.（海淀20）如图，AC、BC是⊙O的弦, BC//AO, AO的延长线与过点C 的射线交于点D, 且∠D=90︒-2∠A.（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若BC=4，1tan2D=，求CD和AD的长．ODCBA20.（1）证明：连结OC. ∴ ∠DOC =2∠A. …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠，∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E, 则∠OEC=90︒. ∵ BC=4,∴ CE=12BC=2.∵ BC//AO, ∴ ∠OCE=∠DOC.∵∠COE+∠OCE=90︒, ∠D+∠DOC=90︒,∴ ∠COE=∠D. ……………………3分∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12.∵∠OEC =90︒, CE=2,∴4tan CEOE COE ==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得 222 5.OC OE CE =+=在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得5CD =, (4)分由勾股定理可得 10.OD =∴510.AD OA OD OC OD =+=+=+…………………5分 6.（密云）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线， A 、C 为切点，∠BAC=30．ODCBEBCDO（1）求∠P 的大小；（2）若AB=6，求PA 的长． 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA AB ⊥．∴90BAP ∠=-----------------1分∵ ∠BAC=30， ∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ， ∴ PA PC =--------------2分 ∴△PAC 是等边三角形．∴ 60P ∠=． ------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB=90． --------4分 在Rt △ACB 中，AB=6，∠BAC=30， ∴cos 6cos3033AC AB BAC =⋅∠==． 又∵△PAC 是等边三角形，∴ 33PA AC ==． --------------------------5分7.（西城区21）如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P.(1)求证：AP 是⊙O 的切线； (2)若OC=CP ，AB=33，求CD 的长.21.(1)证明：连结AO ，AC.(如图5) ∵ BC 是⊙O 的直径，∴ 90BAC CAD ∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E 是CD 的中点， ∴ AE DE CE ==. ∴ EAC ECA ∠=∠. ∵ OA=OC ，∴ OCA OAC ∠=∠.∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD ⊥OC. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 ∴ 90ECA OCA ∠+∠=︒.∴ 90EAC OAC ∠+∠=︒.∴ OA ⊥AP.∵ A 是⊙O 上一点，∴ AP 是⊙O 的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 (2) 解：由(1)知OA ⊥AP.在Rt △OAP 中，∵90OAP ∠=︒，OC=CP=OA ，即OP=2OA ，∴ sinP 21==OP OA .∴ 30P ∠=︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分∴ 60AOP ∠=︒. ∵ OC=OA ， ∴ 60ACO ∠=︒.在Rt △BAC 中，∵90BAC ∠=︒，AB=33，60ACO ∠=︒，∴3tan AB AC ACO ===∠.又∵ 在Rt △ACD 中，90CAD ∠=︒，9030ACD ACO ∠=︒-∠=︒，∴3cos cos30ACCDACD===∠︒. ﹍﹍﹍﹍5分8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．（1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11sin23APC∠=，求PC的长及点C到PA的距离．20．解：（1）直线PC与⊙O相切．证明：连结OC，∵BC∥OP，∴∠1 =∠2，∠3=∠4．∵OB=OC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．又∵OC=OA，OP=OP，∴△POC≌△POA．………………………… 1分∴∠PCO =∠PAO．∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO =90°．∴∠PCO =90°．∴PC与⊙O相切．…………… 2分（2）解：∵△POC≌△POA，∴∠5=∠6=12APC ∠．∴11sin5sin23APC∠=∠=．OCBAP4321OCBAPD85674321O CBAP∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．∴1cos 2sin 53∠=∠=．∵∠3=∠1 =∠2，∴1cos 33∠=．连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．…………… 3分∴OA=OB=OC=3，AC ==∴在Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠．∴PC == 4分 过点C 作CD ⊥PA 于D ， ∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=． 在Rt △CAD中，1cos 83AD AC =∠==．9.（延庆19）已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。

初中数学：2024北京市朝阳区初三二模数学试卷含答案

初中数学：2024北京市朝阳区初三二模数学试卷含答案

2024北京市朝阳区初三二模数学试卷学校班级 姓名 考号第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有．．一个．1．右图是某个几何体的展开图， 该几何体是（A ）圆柱（B ）圆锥（C ）三棱柱（D ）正方体2．北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.000 062 5米，将0.000 062 5用科学记数法表示为 （A ）6.25×10-7（B ）62.5×10-6（C ）6.25×10-5（D ）0.625×10-43．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）0<a< b （B ）a b = （C ）ab >0 （D ）a -b >0 4．如图，AB ∥CD ，BC ∥EF ，ED 平分∠AEF ，若∠C ＝50°，则∠D 的度数为 （A ）40°（B ）50°（C ）55°（D ）65°5．一组数据的方差为21s ，将这组数据中的每一个数都减去m （m ＞0），得到一组新数据，其方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系是 （A ）21s >22s （B ）21s =22s （C ）21s ＜22s （D ）无法确定6．已知2220x x +−=，则代数式()()()221112x x x x +++−+的值为 （A ）4（B ）2（C ）1（D ）0b a CFDBEA7．不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放.回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是 （A ）19（B ）13（C ）12（D ）238．如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是（A ）（B ）4（C ）（D ）2图1图2二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式34x −有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：224mx my −= ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y x=（k ≠0）的图象位于第二、四象限，且点 A （m ，y 1），B （-m ，y 2）（m>0）都在该图象上，则y 1_____y 2（填“<”，“>”或“=”）． 13．4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x （百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图.若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为 ．第13题图 第14题图AB CD14．在□ABCD 中，E 是AD 上一点，32AE ED =，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ,若AB=6，则CF 的长为 ．15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º.①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC ，AB 相交于点M 1，M 2；分别以M 1，M 2为圆心，大于12M 1M 2的长为半径画弧，两弧相交于点M ；作射线AM ．②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC ，AB 相交于点N 1，N 2；分别以N 1，N 2为圆心，大于12N 1N 2的长为半径 画弧，两弧相交于点N ；作射线BN ，与射线AM 相交于点P ． ③连接CP ．根据以上作图，若点P 到直线AB 的距离为1，则线段CP 的长为 ．16．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数a ，b ，c （0<a<b<c ）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了n （n ≥2）次游戏后，甲共获得25颗糖果，乙共获得15颗糖果，丙共获得11颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数c 的卡片，那么n 的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“a ”,“b ”或“c ”）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．关于x 的一元二次方程310x x m ++−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）给出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．20．如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE=CF ，DB 平分∠EDF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若AB=8，BC=4，CF=3，求证：□ABCD 是矩形．21．无人机作为现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积.NN N 1M M PAM 1BC A BCD F E22．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=ax+b （a ≠0）的图象经过点（-1，4），与函数y=2x 的图象交于点（1，m ）．（1）求m 的值和函数y=ax+b （a ≠0）的解析式；（2）当x>1时，对于x 的每一个值，函数y=kx -k+2（k ≠0）的值大于函数y=ax+b 的值，且小于函数y=2x 的值，直接写出k 的取值范围．23．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）：b ．七年级学生的成绩在80≤x ＜90这一组的是：80 82 84 85 86 87 87 87 87 89 c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m ，n 的值；（2）估计七、八两个年级成绩在90≤x ≤100的人数一共为_____；（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p 1，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为p 2，比较p 1，p 2的大小，并说明理由．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的角平分线交⊙O 于点D ，过点D 的直线EF ‖BC ，分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）若sin ∠ABC=35，BE=2，求BC 的长．25．如图，在矩形ABCD 中，AB=3 cm ，BC=6 cm ，点P 是BC边上一动点，连接AP ，过点P 作AP 的垂线与AC ，CD 分别相交于点E ，F ．小明根据学习函数的经验对线段BP ，CE ，CF 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在BC 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP ，CE ，CF 的长度的几组值，如下表：自变量的函数；（2）① 确定表格中m 的值约为______（结果精确到）；②在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；PFDCBEA 0.1（3）结合函数图象，解决问题：当点P 与点B ，C 不重合，且CE=CF 时，BP= ______cm （结果精确到）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)1y ax a x =+−−（a ≠0）的对称轴为直线x=t ．（1）①t =_____（用含a 的式子表示）；②当t=1时，求该抛物线与x 轴的公共点的坐标；（2）已知点（3，y 1），（12，y 2），（322a−−，y 3）在抛物线上，若a>0，比较y 1，y 2，y 3 的大小，并说明理由．27．在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段AD ，连接DB ，DC.（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CDB 的度数；（3）作BE ⊥CD 于点E ，连接AE ，用等式表示线段AE ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明.28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于⊙O 的弦AB 和点C ，给出如下定义：若△ABC 是直角三角形，称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，已知点A （-1，0），B （0，-1），在点O （0，0），C 1（1，1），C 2（1，2）中，是弦AB的“关联点”的是______；0.1（2）已知⊙O的弦A1B1的“关联点”C在y轴上，△A1B1C有一边与⊙O相切，设点A1（x1，y1），当12−≤x1≤12时，直接写出点C的纵坐标cy的取值范围；（3）若点E，F在⊙O上，EF⊥y轴，EF=t，已知点M（1，0），N（0，2），若线段MN上存在一点P是⊙O的弦EF的“关联点”，且∠EPF=90°，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 17．解：32333333+−+⨯=原式 .............................................. 4分∵该方程有两个不相等的实数根， ∴0>∆，即32-4(1-m) >0．∴45−>m ． ..................................................... 2分 （2）答案不惟一，如：1=m ． .......................................... 3分此时方程为230x x +=............................................ 4分 解得01=x ，32−=x ． .............................................. 5分20．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB//CD ． .................................................... 1分 ∴∠ABD=∠BDC ． ∵AE=CF ，∴BE=DF ．∴四边形BEDF 是平行四边形． .......................................... 2分 ∵DB 平分∠EDF ， ∴∠BDC=∠EDB ． ∴∠EDB=∠ABD ． ∴DE=BE ．∴□BEDF 是菱形. ...................................................... 3分 （2）∵CD=AB=8，CF=3， ∴DF=5． ∴BF=DF= 5． ∵BC=4，∴BF 2=BC 2+CF 2．∴∠C=90°． ........................................................... 4分 ∴□ABCD 是矩形． ..................................................... 5分 21．解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x 亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是6x 亩．............................................................ 1分 由题意，得． 300600206xx−=． ................................................ 2分解得 x=10． ................................................................ 3分 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意． .................................... 4分所以 6x=60． .......................................................... 5分答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 22．解：（1）∵函数y=2x 的图象经过点（1，m ），∴m=2. ................................................................. 1分 ∵函数y=ax+b 的图象经过点（-1，4），（1，2），∴⎩⎨⎧=+=+.2,4b a b a - ........................................................... 2分 解得⎩⎨⎧==.3,1b a -∴函数y=ax+b 的解析式为y=-x+3． ................................... 3分 （2）-1<k<2且k ≠0． ................................................... 5分23．解：（1）86.5，87； ......................................................... 2分（2）126． ............................................................ 3分 （3）p 1＜p 2． ......................................................... 4分在七年级抽取的20名学生中，第5名的成绩为89，在八年级抽取的20名学生中，第5名的成绩在90≤x ≤100这一组中，所以p 1＜p 2； ................... 6分24．证明：（1）如图，连接OD ． ∵OA=OD ， ∴∠OAD=∠ODA ． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠OAD=∠DAC ． ∴∠ODA=∠DAC ．∴AC//OD ． ............................................................ 1分∴∠ODE=∠F ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°． ........................................................ 2分 ∵EF//BC ，∴∠F=∠ACB =90°． ∴∠ODE=90°．即OD ⊥EF ．∴直线EF 是⊙O 的切线． ................................................ 3分 （2）∵BE=2，设⊙O 的半径为r ，则OE=r+2． ∵EF//BC ，∴∠ABC=∠E ． ........................................................ 4分∵sin ∠ABC =53，在Rt △OED 中，sin ∠E=53=OE OD ．即532=+r r ． ∴r = 3． ................................................................ 5分 ∴AB=6．∴18sin 5AC AB ABC =⋅∠=在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC=524． ................................... 6分 25．解：（1）BP ；CE ，CF ； .................................................... 2分（2）①2.2； ............................................................ 3分②如图所示........................ 5分（3）1.9． ............................................................... 6分26．解：（1）①12a t a−=． ..................................................... 1分 ②∵t =1，∴a=-1. ....................................................... 2分∴抛物线解析式为y=-x 2+2x -1.∴抛物线与x 轴的公共点的坐标为（1，0）. ................................. 3分（2）∵a>0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.∵111222a t a a−==−， ∴12t <. ............................................................ 4分 ∵132t <<， ∴y 2<y 1. ........................................................... 5分 ∵（3322y a −−，）关于x =t 的对称点为（3132y a+，）， ∴1332t a<<+∴y 1<y 3. ∴y 2<y 1<y 3. ............................................................ 6分27.（1）补全图形，如图所示：...................................................... 1分（2）解：根据题意，可知AB=AD=AC ，∠BAD=α.∴∠ADB=∠ABD=902α︒−. ................................................ 2分 ∵∠BAC=90°，∴∠DAC=90°+α.∴∠ADC=∠ACD=452α︒−.∴∠CDB=∠ADB -∠ADC=45°. ............................................ 3分（3）CD =+ .证明：作AF ⊥AE ，交CD 于点F.∴∠EAF=90°.∴∠EAB=∠FAC.∵BE ⊥CD ，∠BDC=45°，∴∠DBE=45°.∴BE=DE=2.......................................................... 4分 ∵∠BAD=α.∴∠ABE=452α︒−=∠ACD ，∴△ABE ≌△ACF. ........................................................ 5分 ∴AE=AF ，BE=CF ，∴AE. ............................................................ 6分∴CD=DE+EF+CF=AE. .......................................... 7分28．解：（1）O ，C 2． .......................................................... 2分（2）1c y <−或1＜c y .................................... 5分（3）3≤t ≤2． ................................................. 7分。

2024北京北师大实验中学初三二模数学试题及答案

2024北京北师大实验中学初三二模数学试题及答案

2024北京北师大实验中学初三二模数 学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ） A. ⨯7.1695107B. ⨯716.95105C. ⨯7.1695106D. ⨯71.6951062. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A. >x 3B. ≥x 3C. <x 3D. ≤x 34. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为101的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是不可能事件C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 5. 将方程−+=x x 6102配方后，原方程可变形为（ ） A. −=x (3)82B. −=−x (3)102C. +=−x (3)102D. +=x (3)826. 某无盖分类垃圾桶如右图所示，则它的俯视图是（ ）A. B. C. D.7. 如图 ，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB ，AC ＝2 ，BD ＝4 ，则AE 的长为（ ）A.2B.23 C.7D.78. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D （-2，3），AD =5，若反比例函数=xy k（k ＞0，x ＞0）的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A.316 B. 8 C. 10 D.332 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 点−1,3)(关于原点对称的点的坐标是______． 10. 因式分解： −=x y 422．11. 计算+−的结果等于__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数=≠xy k k0)(的图象经过点−A 3,2)(和−B m ,2)(，则m 的值为______．13. 如图，在长方形ABCD 中，=AD 5，=AB 8，点E 为射线DC 上一个动点，把ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．14. 若一组数据x x x n ,,,12的平均数为17，方差为3，则另一组数据+x 221，+x 222，+x n 22的平均数是_______，方差是_______15. 已知一次函数=+y x 451与=+y x 3102，则>y y 12的解集是________．16. 如图，在△ABC Rt 中，∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，=AC 4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使=AD AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于DE 21的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则+CP AP 21的最小值是______________．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：−+−⎭−−⎝ ⎪︒⎛⎫−323sin 45102)．18.先化简，再求值：⎝⎭ ⎪÷−⎛⎫+x x x x 11，其中=x ． 19. 解不等式组：⎩⎪≥⎨+⎪⎧−<x x 31212520. 在平面直角坐标系xOy =−y kx 1与=y x 21交于点A m 2,)(． （1）求k ，m 的值；（2）已知点P n ,0)(，过点P 作垂直于x 轴的直线交直线=−y kx 1于点M ，交直线=y x 21于点N ．若=MN 2，直接写出n 的值．21. 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为A ，《无名》表示为B ，《流浪地球2》表示为C ，《熊出没·伴我“熊心”》表示为D ．（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为________； （2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．22. 如图，在四边形ABCD 中，∥AB CD ，过点D 作∠ADC 的角平分线交AB 于点E ，连接AC 交DE 于点O ，∥AD CE ．（1）求证：四边形AECD 是菱形；（2）若=AD 10，ACD 的周长为36，求菱形AECD 的面积． 23. 如图，AB 为O 的直径，弦⊥CD AB 于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ，∥AF CE ，AF 与O 的交点为F ．（1）求证：=AF CD ； （2）若O 的半径为6，=AH OH 2，求AE 的长．24. 在平面直角坐标系xOy 中，对于G 和线段AB 给出如下定义：如果线段AB 上存在点P ，Q ，使得点P 在⊙G 内，且点Q 在G 外，则称线段AB 为G 的“交割线段”．（1）如图，O 的半径为2，点，，，，，−A B C 022210)()()(． ①在ABC 的三条边，，AB BC AC 中，O 的“交割线段”是 ；②点M 是直线OB 上的一个动点，过点M 作⊥MN x 轴，垂足为N ，若线段MN 是O 的“交割线段”，求点M 的横坐标m 的取值范围； （2）已知三条直线=y 3，=−yx ，=−+y x 23分别相交于点D ，E ，F ，T 的圆心为，t 0)(，半径为2，若DEF 的三条边中有且只有两条是T 的“交割线段”，直接写出t 的取值范围．25. 如图，直线=+y x x 轴，y 轴分别交于点A B ,，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C D ,，其中点C 的坐标为2,0)(．直线BC 与直线PD 相交于点E ．（1）如图2，若抛物线经过原点O ． ①求该抛物线的函数表达式；②求ECBE的值． （2）连接∠PC CPE ,与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由． 26. ABC 和△ADF 均为等边三角形，点E 、D 分别从点A ，B 同时出发，以相同的速度沿、AB BC 运动，运动到点B 、C 停止.（1）如图1，当点E 、D 分别与点A 、B 重合时，请判断：线段、CD EF 的数量关系是____________，位置关系是____________；（2）如图2，当点E 、D 不与点A ，B 重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D 运动到什么位置时，四边形CEFD 的面积是ABC 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【答案】A【分析】科学记数法的表示形式为⨯a n 10的形式，其中＜≤a 110，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ =⨯716950007.1695107． 故选∶A ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为⨯a n 10的形式，其中＜≤a 110，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义旋转︒180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B 、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键． 3. 【答案】D【分析】本题考查了二次根式的定义，形如≥a 0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可． 【详解】解：依题意，得−≥x 30，解得，≤x 3． 故选：D ． 4. 【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可． 【详解】A. “买中奖率为101的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意； B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定． 5.【答案】A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：−+=x x 6102x x 612−=−−+=−+x x 69192 −=x (3)82．故选A ．【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 6. 【答案】B【分析】本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断． 【详解】解：从上向下看，是两个同心圆． 故选：B 7. 【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD 的面积即可求出． 【详解】解：∵AC =2，BD =4，四边形ABCD 是平行四边形， ∴====AO AC BO BD 221,211，∵=AB∴+=AB AO BO 222， ∴∠=︒BAC 90，∵在BAC Rt 中，===BC ，∵=⨯⨯=⨯⨯∆S AB AC BC AE BAC 2211，=2，∴=AE 7． 故选D【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC 是直角三角形是解此题的关键．8. 【答案】D【分析】先由D （-2，3），AD =5，求得A （2，0），即得AO =2；设AD 与y 轴交于E ，求得E （0，1.5），即得EO =1.5；作BF 垂直于x 轴于F ，求证△AOE ∽△CDE ，可得BACD310，求证△AOE ∽△BF A ，可得AF =2，BF =38，进而可求得B （4，38）；将B （4，38）代入反比例函数=xy k ，即可求得k 的值．【详解】解：如图，过D 作DH 垂直x 轴于H ，设AD 与y 轴交于E ，过B 作BF 垂直于x 轴于F ，∵点D （-2，3），AD =5， ∴DH =3， ∴AHAD DH -=5-3=42222，∴A （2，0），即AO =2， ∵D （-2，3），A （2，0）， ∴AD 所在直线方程为：=−y x 4233， ∴E （0，1.5），即EO =1.5， ∴AEAO EO 222352222, ∴ED=AD - AE =5-25=25， ∵∠AOE=∠CDE ，∠AEO=∠CED ， ∴△AOE ∽△CDE ， ∴ED CD EO AO, ∴EOCDAOED 310, ∴在矩形ABCD 中，BA CD310， ∵∠EAO+∠BAF=90°，又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF ， 又∵∠AOE=∠BFA ， ∴△BF A ∽△AOE ， ∴AE EO AOBA AF BF, ∴代入数值，可得AF =2，BF =38， ∴OF =AF+AO=4， ∴B （4，38）， ∴将B （4，38）代入反比例函数=xy k ，得=k 332， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE ，△AOE ∽△BF A ，得到B 点坐标，将B 点坐标代入反比例函数，即可得解．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 【答案】−1,3)(【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：点−1,3)(关于原点对称的点的坐标是−1,3)(， 故答案为：−1,3)(．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 10. 【答案】+−x y x y 22)()( 【分析】利用平方差公式分解即可．本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】=+−−=−x y x y x y y x 22422222)()()(． 故答案为：+−x y x y 22)()(． 11. 【答案】3【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．【详解】解：原式=）2-2 =6-3 =3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 12. 【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数=≠xy k k0)(的图象经过点−A 3,2)(和−B m ,2)( ∴把点−A 3,2)(代入得=−⨯=−k 326， ∴反比例函数解析式为=−xy 6， 把点−B m ,2)(代入得：−=−m26， 解得：=m 3， 故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 13. 【答案】25或10 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E 在线段DC 上时，②当点E 在线段DC 延长线上时，点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，先求出==FG 3，再求出FH ，设=DE x ，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：①当点E 在线段DC 上时，过点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，∥GH AD ， ∴四边形AGHD 为矩形， ∴==AD GH 5，⊥GH AB ， ∵点F 在线段AB 的垂直平分线上， ∴==AG AB 241，则==DH AG 4， ∵ADE 沿直线AE 折叠得到△AFE ，∴==AF AD 5，根据勾股定理可得：===FG 3，∴=−=−=FH GH FG 532，设=DE x ，则=−EH x 4，==EF DE x ，根据勾股定理可得：+=EH FH EF 222，即−+=x x 42222)(， 解得：=x 25， 即=DE 25； ②当点E 在线段DC 延长线上时，过点F 作AD 的平行线，交DC 于点H ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，∥GH AD ，∴四边形AGHD 为矩形，∴==AD GH 5，⊥GH AB ，∵点F 在线段AB 的垂直平分线上， ∴==AG AB 241，则=DH AG 4， ∵ADE 沿直线AE 折叠得到△AFE ，∴==AF AD 5，根据勾股定理可得：===FG 3，∴=+=+=FH GH FG 538，设=DE x ，则=−EH x 4，==EF DE x ，根据勾股定理可得：+=EH FH EF 222，即−+=x x 48222)(，解得：=x 10，即=DE 10． 综上：=DE 25或=DE 10． 故答案为：25或10． 14. 【答案】 ①. 36 ②. 12【分析】本题考查根据一组数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，若一组数据x x x n ,,,12的平均数为x ，方差为s 2；则数据+++x kx b b k kx b n ,,,12的平均数为+kx b ，方差为k s 22，由此可解． 【详解】解：由题意得：=+++nx x x n 1712，=−+−++−n x x x n 317171712222)()()(， 则另一组数据+x 221，+x 222，+x n 22的平均数是：++++++n x x x n 22222212=++++n x x x n 2212)(=⨯+2172=36， 方差为：+−++−+++−n x x x n 22362236223612222)()()( =⨯−+−++−nx x x n 417171712222)()()(=⨯43 =12，故答案为：36；12．15. 【答案】>x 5【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及解一元一次不等式，根据>y y 12建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：>y y12，∴+>+x x 45310，解得>x 5，故答案为：>x 5．16. 【答案】【分析】过点P 作⊥PQ AB 于点Q ，过点C 作⊥CH AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠=︒BAF 30，然后利用含︒30的直角三角的性质得出=PQ AP 21，则+=+≥CP AP CP PQ CH 21，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，+CP AP 21最小，+CP AP 21最小值为CH ，利用含︒30的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P 作⊥PQ AB 于点Q ，过点C 作⊥CH AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，∴∠=︒BAC 60， ∴∠=∠=︒BAF BAC 2301， ∴=PQ AP 21， ∴+=+≥CP AP CP PQ CH 21， ∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，+CP AP 21最小，+CP AP 21最小值为CH ， ∵∠=︒ACB 90，∠=︒ABC 30，=AC 4，∴==AB AC 28， ∴BCAB AC 4322， ∵=⋅=⋅A CH BC B S AC ABC 1122∴===⋅⨯AB CH AC BC 84即+CP AP 21最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含︒30的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 【答案】−6【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：−+−⎭−−⎝ ⎪︒⎛⎫−323sin 45102)=−+−22139=−+−−21319=−6．18. 【答案】−x111．【分析】先对小括号部分通分，再把除化为乘，然后根据分式的基本性质约分，最后代入求值．【详解】解：⎝⎭⎪÷−⎛⎫+x xxx11=÷+−x xx x112+−=⋅+x x xx x(1)(1)1−=x11，当=x==1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．19. 【答案】≥x1【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解；②①⎩⎪≥+⎨⎪⎧−<xx312125，解不等式①得：>−x3，解不等式②得：≥x1，则不等式组的解为≥x1．20. 【答案】（1）==k m11,（2）=n6或−2【分析】（1）将点A m2,)(代入=y x21求得m，将A2,1)(代入=−y kx1，即可求得k的值；（2）−M n n,1)(，⎝⎭⎪⎛⎫N n n2,1，根据=MN2，则−−=n n2121，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点A m 2,)(代入=y x 21 即=⨯=m 2211， ∴A 2,1)(，代入=−y kx 1，即=−k 121，解得：=k 1；【小问2详解】解：依题意，−M n n ,1)(，⎝⎭ ⎪⎛⎫N n n 2,1， ∵=MN 2， ∴−−=n n 2121， 解得：=n 6或−2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 21. 【答案】（1）41 （2）41 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，共有4种不同的选法， 故选中《满江红》的概率为=P 41． 【小问2详解】解：画树状图如下：∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的情况有4种，分别是A A ,)(、B B ,)(、C C ,)(、D D ,)(， ∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率：=16441，即P （小亮和小丽恰好选择观看同一部电影）=41． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．正确的列出树状图是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析 （2）96【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得∠=∠ADE AED ，再利用等腰三角形的等角对等边得到=AD AE ，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得AC ，进而利用勾股定理求得DE 即可求解．【小问1详解】证明：∵∥AB CD ，∥AD CE ，∴四边形AECD 是平行四边形，∠=∠CDE AED ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠=∠CDE ADE ，∴∠=∠ADE AED ，∴=AD AE ，∴四边形AECD 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形AECD 是菱形，∴=AD CD ，⊥AC DE ，=OA OC ，=OD OE ，∵=AD 10，ACD 的周长为36，∴=−⨯=AC 3621016，则===OC OA AC 281，在AOD Rt 中，===OD 6， ∴==DE OD 212，∴菱形AECD 的面积为⨯⨯=12192166．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．23. 【答案】（1）证明见解析（2）12【分析】（1）利用切线性质，圆周角定理，余角的性质证明=AF CD ；（2）利用三角函数计算即可．本题考查了切线性质，圆周角定理，余角的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质，三角函数是解题的关键．【小问1详解】证明：连接，、、AC OC BC 则=OC OA ，∵CE 与O 相切于点C ，∴⊥CE OC ，∵AB 为O 的直径，∴∠=∠=︒OCE ACB 90，∴，∠+∠=︒∠+∠=︒ACE OCA B OAC9090， ∵∠=∠OCA OAC ，∴∠=∠ACE B ，∵∥AF CE ，∴∠=∠=∠CAF ACE B ，∴=CF AC ，∵⊥CD AB ，∴=AD AC ，∴=AD FC ，∴=+=+=AF AC FC AD AC CD ＝CF +AC ＝AD +AC ＝CD ，∴=AF CD ．解法2 证明：连接OC ，交AF 于点M ， ∵CE 与O 相切于点C ，∴⊥CE OC ，∴∠=︒OCE 90，∵∥AF CE ，∴∠=︒AMO 90， ∴==AM MF AF 21， ∵⊥CD AB ，∴∠=︒OHC 90， ∴==CH DH CD 21， ∵=∠=CO AOCOH CH AM sin ，=AO CO ， ∴=CH AM ，∴=AF CD ．【小问2详解】 解：∵O 的半径为6，=AH OH 2， ∴==+=OC OA OH OH 26，∴=OH 2，∵∠=∠=︒OHC OCE 90， ∴==∠OC OECOE OH OC cos ， ∴==OHOE OC 182， ∴=-=-=AE OE OA 18612，∴AE 的长为12．24. 【答案】（1）①BC ；②当−<<m 2<<m 2（2）−<≤t 31或≤<t 5【分析】（1）先根据点A 和点B 的坐标得到O 与AB 相切，则线段AB 上没有点在O 外；再证明线段AC 上没有点在O 外，线段BC 上有点在O 内，也有点在O 内，即可得到结论；（2）设直线OB 在x 轴上方与O 交于T ，过点T 和点B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G 、H ，设、T t t )(，利用勾股定理求出=t ，由函数图象可知，当点M 在BT 之间（不包括端点），即<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；由对称性可得当−<<m 2MN 是O 的“交割线段”；（3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t 的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案．【小问1详解】解：∵，，，A B 0222)()(， ∴⊥，=OA OA AB 2，∴点A 在O 上， ∴O 与AB 相切，∴线段AB 上没有点在O 外，∴线段AB 不是O 的“交割线段”，∵，=<==>OC OB 122， ∴点C 在O 内，点B 在O 外，∴线段AC 上没有点在O 外，线段BC 上有点在O 内，也有点在O 内， ∴线段AC 不是O 的“交割线段”，线段BC 是O 的“交割线段”， 故答案为：BC ；②如图所示，设直线OB 在x 轴上方与O 交于T ，过点T 和点B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为G 、H ，设、T t t )(，∴==OH BH 2，==OG TG t ，∴此时点H 刚好在O 上，且此时BH 与O 相切； ∵O 的半径为2，∴=OT 2，∴+=t t 2222，解得=t 或=t ，∴由函数图象可知，当点M 在BT 之间（不包括端点）<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；由对称性可得当−<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；综上所述，当−<<m 2<<m 2时，线段MN 是O 的“交割线段”；【小问2详解】解：联立⎩=−⎨⎧=y x y 3 得⎩=⎨⎧=−y x 33， ∴，−E 33)(，同理可得，D 03)(，，−F 33)(； 如图2-1所示，当T 恰好经过点D 时，∴=TD 2，∴=+=t 235；如图2-2所示，当T 恰好与EF 相切于H 时，连接TH ，∵，−E 33)(，，D 03)(， ∴⊥，==DE OD DE OD 3，∴∠=︒DOE 45，由切线的性质可得∠=︒THO 90，∴△TOH 是等腰直角三角形，∴===t OT ，∴当≤<t 5时，，DE DF 是T 的“交割线段”，EF 不是T 的“交割线段”；如图2-3所示，当T 恰好经过点D 时，∴=TD 2，∴=−=t 321；如图2-4所示，当T 恰好与DF 相切于P 时，连接TP ，设直线DF 与x 轴交于Q ， ∴，⎝⎭ ⎪⎛⎫Q 203，∴==DQ 2，∴∠==DQ ODQ OQ sin ； 由切线的性质可得，∠=︒=TPD TP 902，∴∠==DT TDP TP 5sin ，∴=DT ，∴=−=−OT DT OD 3，∴=−t 3，∴当−<≤t 31时，，EF DF 是T 的“交割线段”，DE 不是T 的“交割线段”；综上所述，当−<≤t 31或≤<t 5时，DEF 的三条边中有且只有两条是T 的“交割线段”．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．25. 【答案】（1）①=−+y x 22；②31 （2）能，6或32或−76或−314． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点E 作⊥EH OC 于点H ．设直线BC 为=y kx ，把C 2,0)(代入，得=+k 02，解得=−k 2，直线BC 为=−+y x 2．同理，直线OP 为=y x 2．联立两直线解析式得出⎝⎭⎛E 24,1，根据∥EH BO ，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点P 的坐标为⎝ +⎛t t 2，则点D 的坐标为−t 22,0)(．①如图2-1，当>t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAO APC ,，则∠=+αβAPD ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2，进而得出点P 的横坐标为6．②如图2-2，当<≤t 02时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAD APD ,．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为32．③如图−23，当−<≤t 20时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2．在APF Rt 中，=∠=AP BAO AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为−76．④如图2-4，当≤−t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=−−AF t 2．在APF Rt 中，=∠=AP PAF AF 3cos 2，得出点P 的横坐标为−314． 【小问1详解】解：①∵=OC 2，∴顶点P 的横坐标为1．∴当=x 1时，=+=y x 22，∴点P 的坐标是⎝⎭⎪⎛⎫21,．设抛物线的函数表达式为=−+y a x 2(1)2，把0,0)(代入，得=+a 20，解得=−a 2．∴该抛物线的函数表达式为=−−+y x 221)2，即=−+y x 22． ②如图1，过点E 作⊥EH OC 于点H ．设直线BC为=+y kx ，把C 2,0)(代入，得=+k 02，解得=k ， ∴直线BC为=−y x 2同理，直线OP为=y x 2．由⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−+⎧y x y x 2.2解得⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=⎧y x 42,1∴⎝⎭⎛E 21． ∴==−=OH HC 222,2113． ∵∥EH BO ， ∴==EC HC BE OH 31． 【小问2详解】设点P的坐标为⎝ +⎛t 2,，则点D 的坐标为−t 22,0)(． ①如图−21，当>t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAO APC ,，则∠=+αβAPD ．∵∠PCD 为△PAC 的外角，∴∠=+αβPCD ．∵=PC PD ．∴∠=∠=+αβPDC PCD ．∴∠=∠APD ADP ．∴==AP AD t 2．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2， ∴=+t t 2322，解得=t 6． ∴点P 的横坐标为6．②如图2-2，当<≤t 02时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=∠=∠=αβCPE BAD APD ,． ∵∠PDC 为PAD 的外角，∴∠=+αβPDC ．∴∠=∠=+αβPCD PDC∴∠=∠APC ACP ．∴==AP AC 4．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，∠==AP BAO AF 3cos 2， ∴=+t 4322，解得=t 32． ∴点P 的横坐标为32．③如图2-3，当−<≤t 20时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠BAO =α．∵=PC PD ， ∴∠=∠=∠=PDC PCD CPE 221． ∴∠=∠−∠=−=ααAPD BAO PDC 2211． ∴∠=∠APD PDA ．∴==−AD AP t 2．过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=+AF t 2． 在APF Rt 中，=∠=AP BAO AF 3cos 2， ∴−=+t t 2322，解得=−t 76． ∴点P 的横坐标为−76． ④如图2-4，当≤−t 2时，存在∠=∠CPE BAO ．记∠=αBAO ．∵=PC PD ， ∴∠=∠=∠=αPCD PDC CPE 2211．∴∠=∠−∠=−=αααAPC BAO PCD 2211． ∴==PA CA 4． 过点P 作⊥PF x 轴于点F ，则=−−AF t 2． 在APF Rt 中，=∠=AP PAF AF 3cos 2， ∴=−−t 4322，解得=−t 314． ∴点P 的横坐标为−314． 综上，点P 的横坐标为−−3736,,,2614． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．26. 【答案】（1）CD =EF ，CD ∥EF（2）CD =EF ，CD ∥EF ，成立，理由见解析（3）点D 运动到BC 的中点时，BDEF 是菱形，证明见解析【分析】（1）根据ABC 和△ADF 均为等边三角形，得到AF =AD ，AB =BC ，∠F AD =∠ABC =60°，根据E 、D 分别与点A 、B 重合，得到AB =AD ，EF =AF ，CD =BC ，∠F AD =∠F AB ，推出CD =EF ，CD ∥EF ； （2）连接BF ，根据∠F AD =∠BAC =60°，推出∠F AB =∠DAC ，根据AF =AD ，AB =AC ，推出△AFB ≌△ADC ，得到∠ABF =∠ACD =60°，BF =CD ，根据AE =BD ，推出BE =CD ，得到BF =BE ，推出△BFE 是等边三角形，得到BF =EF ，∠FEB =60°，推出CD =EF ， CD ∥EF ；（3）过点E 作EG ⊥BC 于点G ，设△ABC 的边长为a ，AD =h ，根据AB =BC ，BD =CD = 21BC = 21a ， BD =AE ，推出AE =BE = 21AB ，根据AB =AC ， 推出AD ⊥BC ，得到EG ∥AD ，推出△EBG ∽△ABD ，推出==AD AB EG BE 21，得到EG AD 21= 21h ，根据CD =EF ， CD ∥EF ，推出四边形CEFD 是平行四边形，推出=⋅=⋅=⋅=S CD EG a h ah S CEFD ABC 2222211111，根据EF =BD ，EF ∥BD ，推出四边形BDEF 是平行四边形，根据BF =EF ，推出BDEF 是菱形．【小问1详解】 ∵ABC 和△ADF 均为等边三角形，∴AF =AD ，AB =BC ，∠F AD =∠ABC =60°，当点E 、D 分别与点A 、B 重合时，AB =AD ，EF =AF ，CD =BC ，∠F AD =∠F AB ，∴CD =EF ，CD ∥EF ；故答案为：CD =EF ，CD ∥EF ；【小问2详解】CD =EF ，CD ∥EF ，成立．证明：连接BF ，∵∠F AD =∠BAC =60°，∴∠F AD -∠BAD =∠BAC -∠BAD ，即∠F AB =∠DAC ，∵AF =AD ，AB =AC ，∴△AFB ≌△ADC (SAS)，∴∠ABF =∠ACD =60°，BF =CD ，∵AE =BD ，∴BE =CD ，∴BF =BE ，∴△BFE 是等边三角形，∴BF =EF ，∠FEB =60°，∴CD =EF ，BC ∥EF ，即CD ∥EF ，∴CD =EF ， CD ∥EF ；【小问3详解】如图，当点D 运动到BC 的中点时，四边形CEFD 的面积是ABC 面积的一半，此时，四边形BDEF 是菱形．证明：过点E 作EG ⊥BC 于点G ，设△ABC 的边长为a ，AD =h ，∵AB =BC ，BD =CD = 21BC = 21a ， BD =AE ，∴AE =BE = 21AB ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴EG ∥AD ，∴△EBG ∽△ABD ， ∴==AD AB EG BE 21， ∴EG AD 21= 21h ， 由（2）知，CD =EF ， CD ∥EF ，∴四边形CEFD 是平行四边形， ∴形边四=⋅=⋅=⋅=S CD EG a h ah S CEFD ABC 2222211111,此时，EF =BD ，EF ∥BD ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∵BF =EF ， ∴BDEF 是菱形．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．。

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图形的剪拼问题1.（大兴22）阅读材料1：把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割——重拼”．如图1，一个梯形可以分割——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割——重拼为一个正方形．（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；阅读材料2：如何把一个矩形ABCD（如图6）分割——重拼为一个正方形呢？操作如下：①画辅助图:作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M 作MI⊥OX，与半圆交于点I；②如图6，在CD上取点F，使AF＝MI ，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形.22.(1)图①图②图③图④分割正确，且画出的相应图形正确……………………………………………………2分（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．∵ON是所作半圆的直径，∴∠OIN＝90°．∵MI⊥ON，∴∠OMI＝∠IMN＝90°且∠OIM＝∠INM．∴△OIM∽△INM．∴OMIM＝IMNM．即IM 2＝OM·NM．………………3分∵OM=AB，MN=BC∴IM 2 = AB·BC∵AF=IM∴AF 2＝AB·BC=AB·AD．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF，∴DC∥AB，∠ADF＝∠BEA＝90°．∴∠DFA＝∠EAB．∴△DFA∽△EAB．∴ADBE＝AFAB．即AF·BE＝AB·AD=AF 2．∴AF＝BE．……………………4分∵AF=BH∴BH＝BE．由操作方法知BE∥GH，BE＝GH．∴四边形EBHG是平行四边形．∵∠GEB＝90°，∴四边形EBHG是正方形．………………………5分2.（怀柔22）阅读下面材料：在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：①“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；②“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.. 经过小组同学动手合作，第3组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图1和图2所示；图⑤图⑥图⑦图⑧图⑨请你参考小亮同学的做法,解决下列问题： （1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”； （2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.22．答案：（说明：本题分割方法不唯一）(1)…………………2分方法一、方法二、方法三、 方法四、（2） ……5分方法一、 方法二、 图形的面积问题3.（房山22）⑴阅读下面材料并完成问题： 已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当BD=DC 时，则S △ABD________S △ADC ．(填“=”或“＜”或“＞”)DBCADBCABCAD图1 图2 图3②如图2，当BD=21DC 时，则=∆ABD S ADC S∆ ．图3 图4③如图3，若AD ∥BC,则有ABC S ∆ DBC S ∆ ．(填“=”或“＜”或“＞”)⑵请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题： 过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1︰2的两部分．（保留画图痕迹）22．①=--------------------------------------1分②21--------------------------------------2分③=--------------------------------------3分 ⑵FEBCADDE ∥AC 交BC 延长线于点E E 为F 为BE 三等分点 过E 作FG ∥BD 交DC 于点E ，BC 于G 则直线AF 为所求 则直线DG 为所求 --------------------------------------5分 4.（西城区22） 阅读下列材料 小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A1，A2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，BCA BC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等；(2)如图3，已知△ABC ，画出两个Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，画出一个四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积B C AD Bl相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B. 图 2图3 图422.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D1BC ，△D2BC ，△D3BC ，△D4BC ，△D5BC 中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍ 2分上符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 (3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE. 则四边形ABDE 即为所求.5.（平谷22）在数学活动课上，老师请同学们在一张长为18cm ，宽为14cm 的长方形纸上剪下一个腰为12cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）.小明同学按老师要求画出了如图（1）的设计方案示意图，请你画出与小明的设计方案不同的所有满足老师要求的示意图，并通过计算说明哪种情况下剪下的等腰三角形的面积最小（含小明的设计方案示意图）.22．图2图1A'B正确画出图形2分图（1）272AEFS cm∆=； (3)分图（2）2AEFS∆=；..................................................4分图（3）2AEFS∆=.比较上述计算结果可知，图（3）剪下的三角形面积最小. ...............5分图形变换操作题6.（延庆22）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

B为旋转A’BC,,此题可解（如图2）．如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）解：（1）AP的最大值是：6（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+）…………4分7.（石景山22）阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB .（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD 的面积. 解：22. 解：（1）150° …………………1分 (2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分D CBA 图⑴ 图⑵ 图⑶O C BA得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………3分 在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴ ︒=︒-︒=90270360．……………4分 34522=-=∴BC6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分8.（顺义22）阅读下列材料：问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB 的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．EDDPPPCCCBBBAAA图1 图2 图3O 'DCBA图3M P CB A22．解：图2中∠APB 的度数为 135° ．……………… 1分（1）如图3，以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的 一个三角形是 △APM ．（含画图）………… 2分（2）以PA 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55° ．……………… 5分9．（丰台22）小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，A E⊥BC 于点E ，A F⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF 的三条高线交于点H ，如果AC=4，EF=3，求AH 的长． 小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH 平移至△G CF 的位置(如图2)，可以解决这个问题． 请你参考小杰同学的思路回答： （1）图2中AH 的长等于 ．（2）如果AC=a ，EF=b ，那么AH 的长等于 ．BADCEFHGHFECDAB图1 图2 ．解：（1；……3分（2．……5分特殊三角形10.（门头沟22） 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.（1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在 图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，图 136︒CA图 245︒45︒图 336︒36︒也不是直角三角形．） 类比学习11.（昌平22）类比学习：有这样一个命题：设x 、y 、z 都是小于1的正数，求证：x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC ，并分别在其边上截取AD=x ，BE=z ，CF=y ，设△ADF 、△CEF 和△BDE 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则 112S x y =（1-）sin60， 212S y z =（1-）sin60，312S z x =（1-）sin60．由1S +2S +3S ＜ABC S ∆，得 12x y （1-）sin60+12y z （1-）sin60+12z x （1-）sin60所以 x （1-y ）+ y （1-z ）+ z （1-x ）＜1． 类比实践：已知正数a 、b 、c 、d ，x 、y 、z 、t 满足a x +=b y +=c z +=d t +=k ． 求证：ay ＋bz ＋ct ＋dx ＜22k ．22．证明：如图，作边长为k 正方形ABCD ．…………1分并分别在各边上截取： AE=a ，DH=b ,CG=c ,BF=d , ∵ ax b y c z d tk ，∴ BE=x ，AH=y ,DG=z ，CF=t . …………………2分 ∵ 90AB C D,∴112S ay ，212S dx ，312S ct ，412S bz．………3分∵1234ABCDS S S S S 正方形,B y t dc b a S 4H x S 3S2S 1FDAB CE z∴ 211112222aydx ct bz k . ∴ 22ay bz ct dx k ． …………………5分12.（海淀22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E1、E2、E3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) ……………2分 图3（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………4分13.（密云22）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．E 3 E 1 2 P 1 P 2 N 1N 2 2 M 1B A 图3 G F H（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； ---4分②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分14.（东城区22） 阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i3=i2·i=-1×i=-i ，则i4= ， i2011=______________，i2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．15.（通州25附加题）问题情境已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型 设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x =+＞．探索研究（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x =+＞的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y = ax2＋bx ＋c （a ≠ 0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求函数1y x x =+(x ＞0)的最小值．解决问题（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．25.选作题解：⑴ ①174，103，52，2，52，103，174． 函数1y x x =+(0)x >的图象如图．………………………………………(1分) x …… 14 13 12 1 2 3 4 …… y …… ……，， ……………………………………（3分）②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x =+(0)x >的最小值为2． ………………………(5分) ③1y x x =+=221()()x x +=22111()()22x x x x x x +-⋅+⋅………………………………………(7分) =21()2x x -+当1x x -=0，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．…(8分) ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ………(10分)。

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