初中数学基础测试专项训练： 特殊四边形相关的折叠问题(含答案)
特殊四边形中的旋转、翻折问题
专题02 特殊四边形中的旋转、翻折问题题型一 菱形中的旋转、翻折问题1．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A Ð=°，点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 落在AB 边的垂直平分线上的点C ¢处，则DEC Ð的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解答】解：连接BD ，如图所示：Q 四边形ABCD 为菱形，AB AD \=，60A Ð=°Q ，ABD \D 为等边三角形，120ADC Ð=°，60C Ð=°，P Q 为AB 的中点，DP \为ADB Ð的平分线，即30ADP BDP Ð=Ð=°，90PDC \Ð=°，\由折叠的性质得到45CDE PDE Ð=Ð=°，在DEC D 中，180()75DEC CDE C Ð=°-Ð+Ð=°．故选：D ．2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，点D 是边BC 的中点，现将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D 的坐标为( )A ．9(2B ．9(2-，C ．9(2，D ．9(2-【解答】解：如图，连接OD ，过点C 作CH OB ^于H ，Q 四边形OABC 是菱形，120AOC Ð=°，点B 的坐标为(6,0)，6OB \=，OC BC =，60BOC Ð=°，BOC \D 是等边三角形，6OC OB BC \===，Q 点D 是BC 中点，OD BC \^，3BD =，OD \==，CH OB ^Q ，60COB Ð=°，3OH BH \==，CH ==，\点(3,C -，Q 点D 是BC\点9(2D ，，Q 将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转，每秒旋转60°，\第1秒后，点1D 坐标为(0,-，第2秒后，点2D 坐标为9(2-，，第3秒后，点3D 坐标为9(2-，，第4秒后，点4D 坐标为(0，，第5秒后，点5D 坐标为9(2，第6秒后，点6D 坐标为9(2，，¼由上可知，点D 的坐标每6个为一组依次循环着，202163715\¸=¼，\第2021秒时，点D 的坐标为9(2，故选：A ．3．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 逆时针旋转105°至111OA B C 的位置，若2OA =，120C Ð=°，则点1B 的坐标为( )A ．(-B ．(3,C ．(D ．【解答】解：连接AC 与OB 相交于点E ，过点1B 作1BF x ^轴，垂足为F ，Q 四边形OABC 为菱形，120C Ð=°，OA OC =，60AOC \Ð=°，2OC OA AC ===，AC OB ^Q ，\在Rt OAE D 中，2OA =，112AE AC ==，OE \===，OB \=，又1302AOB AOC Ð=Ð=°Q ，1105BOB Ð=°，111801803010545B OF AOB BOB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，在Rt △1B OF 中，1OB OB ==，1OF B F =，22211OF B F OB \+=，可得1OF B F ==，Q 点1B 在第二象限，\点1B 的坐标为(．故选：C ．4．如图，在正方形ABCD 中，顶点A ，B ，C ，D 在坐标轴上，且(4,0)B ，以AB 为边构造菱形ABEF ，将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转45°，则第164次旋转结束时，点164F 的坐标为( )A ．(4-，B ．(4,--C ．，4)-D ．(-，4)-【解答】解：Q 点(4,0)B ，4OB \=，4OA \=，AB \==，Q 四边形ABEF 是菱形，AF AB \==，\点F ，4)，由题意可得每次8旋转一个循环，1648204\¸=¼，\点164F 的坐标与点F 坐标关于原点对称，\点164F 的坐标(-，4)-，故选：D ．5．如图，已知菱形ABCD 的边长2，60A Ð=°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将AEF D 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，则EF【解答】解：延长CD ，过点F 作FM CD ^于点M ，连接GB 、BD ，作FH AE ^交于点H ，如图所示：60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60MDF \Ð=°，30MFD \Ð=°，设MD x =，则2DF x =，FM =，1DG =Q ，1MG x \=+，222(1))(22)x x \++=-，解得：0.3x =，0.6DF \=， 1.4AF =，10.72AH AF \==，sin 1.4FH AF A =Ð==g ，CD BC =Q ，60C Ð=°，DCB \D 是等边三角形，G Q 是CD 的中点，BG CD \^，2BC =Q ，1GC =，BG \=，设BE y =，则2GE y =-，222(2)y y \+=-，解得：0.25y =，1.75AE \=，1.750.7 1.05EH AE AH \=-=-=，EF \===．6．已知菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，12AB =，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将AEF D 沿着直线EF 折叠，使得点A 落在G 点．（1）如图1，若点G 恰好落在AC 上，且3CG =，求DE 的长；（2）如图2，若点G 恰好落在BD 上，且3BG =，求DE 的长．【解答】解：（1）连接BD ，交AC 于点O ，Q 四边形ABCD 是矩形，1602ABD ABC \Ð=Ð=°，90AOB Ð=°，2AC AO =，在Rt AOB D 中易得到AO =，AC =Q 菱形ABCD 中，AD DC =，DAC DCA \Ð=Ð，Q 点A 与点G 关于EF 轴对称，AE EG \=，DAC EGA \Ð=Ð，DCA EGA \Ð=Ð，//EG DC \，\DE CG AD AC =，\12DE =，DE \=．（2）Q菱形ABCD中，120ABCÐ=°，AD AB\=，60AÐ=°，ABD\D是等边三角形，60EDG FBGÐ=Ð=°，又由翻折可得60EGF AÐ=Ð=°，又EGB EGF FGB DEG EDG Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，FGB DEG\Ð=Ð．DEG BGF\D D∽，\DE DG EG BG BF FG==，设DE x=，则12EG AE x==-，\9123x xBF FG-==，27BFx\=，363x FGx-=，又12 AB AF BF FG BF=+=+=，\2736312xx x-+=，解得：215x=，即215 DE=．7．四边形ABCD为菱形，BD为对角线，在对角线BD上任取一点E，连接CE，把线段CE绕点C顺时针旋转得到线段CF，使得ECF BCDÐ=Ð，点E的对应点为点F，连接DF．（1）如图1，求证：BE DF=；（2）如图2，若2DFC DBCÐ=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于(BD BE和DE除外）．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）解：BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．8．如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ^，1AB =，BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．（1）证明：当90AOF Ð=°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，AF 与CE 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AOF Ð度数．【解答】（1）证明：当90AOF Ð=°时，//AB EF ，//AF BE Q ，\四边形ABEF 是平行四边形．（2）证明：Q 四边形ABEF 是平行四边形，AO CO \=，//AF EC ，FAO ECO \Ð=Ð，在AOF D 和COE D 中，FAO OCE OA OCAOF COE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AOF COE \D @D ，AF CE \=．（3）解：结论：四边形BEDF 可能是菱形．AOF COE D @D Q ，OE OF \=，EF \与BD 互相平分，\四边形BEDF 是平行四边形，\当EF BD ^时，四边形BEDF 是菱形，在Rt ABC D 中，2AC =，1OA AB \==，AB AC ^Q ，45AOB \Ð=°，45AOF \Ð=°，\当四边形BEDF 是菱形时，45AOF Ð=°．9．如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，//AD x 轴且4AD =，60A Ð=°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是( )A ．(0，B ．(2,4)-C ．0)D ．(0，或(0,-【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C 旋转到y 轴负半轴时，A 、B 、C 均在坐标轴上，如图，60BAD Ð=°Q ，4AD =，30OAD \Ð=°，2OD \=，AO OC \====，\点C 的坐标为(0,-，同理：当点C 旋转到y 轴正半轴时，点C 的坐标为，\点C 的坐标为或(0,-，故选：D ．10．如图，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB Ð=°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB C D ¢¢¢，其中点C 的运动路径为 CC ¢，则图中阴影部分的面积为 342p +【解答】解：连接CD ¢和BC ¢，60DAB Ð=°Q ，30DAC CAB \Ð=Ð=°，30C AB Т¢=°Q ，A \、D ¢、C 及A 、B 、C ¢分别共线．AC \=\扇形ACC ¢4p =，AC AC =¢Q ，AD AB¢=\在OCD D ¢和△OC B ¢中，CD BC ACO AC D COD C OB ¢=¢ìïÐ=Т¢íïТ=ТîOCD \D ¢@△()OC B AAS ¢．OB OD \=¢，CO C O=¢60CBC Т=°Q ，30BC O Т=°90COD \Т=°1CD AC AD ¢=-¢=-Q 1OB C O +¢=\在Rt BOC D ¢中，222(1)1)BO BO +-=解得12BO =，32C O ¢=-，1324OC B S BO C O ¢\=¢=-V g \图中阴影部分的面积为：3242OC B ACC S S p¢¢-=+V 扇形．故答案为：342p+-题型二 矩形中的旋转、翻折问题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且5OA =，3OC =．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为( )A ．9(5-，12)5B ．12(5-，95C ．16(5-，125D ．12(5-，16)5【解答】解：过点1C 作1C N x ^轴于点N ，过点1A 作1A M x ^轴于点M ，由题意可得：1190C NO A MO Ð=Ð=°，123Ð=Ð=Ð，则△1A OM ∽△1OC N ，5OA =Q ，3OC =，15OA \=，13A M =，4OM \=，\设3NO x =，则14NC x =，13OC =，则22(3)(4)9x x +=，解得：35x =±（负数舍去），则95NO =，1125NC =，故点C 的对应点1C 的坐标为：9(5-，12)5．故选：A ．12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A ¢、B ¢、D ¢，当A ¢落在边CD 的延长线上时，边A D ¢¢与边AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF【解答】解：Q 四边形ABCD 是矩形，3AB CD \==，4AD BC ==，90ADC Ð=°，90A DF CDF ¢\Ð=Ð=°，由旋转的性质得：3CD CD ¢==，4A D AD ¢¢==，90ADC A D C ¢¢Ð=Ð=°，5A C ¢\==，532A D A C CD ¢¢\=-=-=，在Rt CDF D 和Rt △CD F ¢中，CF CF CD CD =ìí¢=î，Rt CDF Rt \D @△()CD F HL ¢，DF D F ¢\=，设DF D F x ¢==，则4A F x ¢=-，在Rt △A DF ¢中，由勾股定理得：2222(4)x x +=-，解得：32x =，32DF \=，CF \===．13．如图，矩形纸片ABCD 中，6AD =，E 是CD 上一点，连结AE ，ADE D 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作FG AD ^，垂足为G ．若3AD GD =，则DE 的值为( )A B ．52C D 【解答】解：过点E 作EH FG ^，交FG 于点H ，如图，由题意：AEF AED D @D ，则6AF AD ==，DE EF =．6AD =Q ，3AD GD =，2GD \=．624AG AD DG \=-=-=．FG AD ^Q ，FG \===．Q 四边形ABCD 是矩形，90D \Ð=°，FG AD ^Q ，EH FG ^，\四边形GHED 为矩形．GH DE \=，2HE GD ==．设DE x =，则GH EF x ==，HF x =，在Rt HEF D 中，222HF HE EF +=Q ，\222)2x x -+=．解得：x =DE \=故选：C ．14．如图，点E 在矩形ABCD 边CD 上，将ADE D 沿AE 翻折，点D 恰好落在BC 上的点F 处，若2AB CF =，3CE =，连接DF ，与AE 交于H 点，连接BH ，则点F 到BH 的距离为【解答】解：根据折叠的性质知：AD AF BC ==，DE EF =，AE 是线段DF 的垂直平分线，H 是DF 的中点，设DE EF x ==，则3DC AB x ==+，11(3)22FC AB x ==+，在Rt EFC D 中，222FC EC EF +=，即2221[(3)]32x x ++=，解得：5x =或3x =-（舍去），538DC AB \==+=，4FC =，设AD AF BC y ===，则4BF y =-，在Rt ABF D 中，222AB BF AF +=，即2228(4)y y +-=，解得：10y =，6BF \=，过H 作HN BC ^于N ，过F 作FM BH ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，//HN CD \，142HN CD \==，122FN FC ==，8BN BF FN \=+=，由勾股定理得：BH ==，1122BHF S BF HN BH FM D =´=´Q ，BF HN FM BH ´\===15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，6OA =，将ABC D 沿直线AC 翻折，使点B 落在点D 处，AD 交x 轴于点E ，若30BAC Ð=°，则点D 的坐标为( )A ．2)-B ．3)-C ．3)-D ．(3,-【解答】解：过D 点作DF x ^轴，垂足为F ，则//DF y 轴，Q 四边形AOCB 为矩形，90OAB AOC B \Ð=Ð=Ð=°，6BC AO ==，AB OC =，\=，OC AB12AC==，由折叠可知：30Ð=Ð=°，AD ABDAC BAC==，\Ð=°，OAE30OE\=，AE=，\=，ED//Q轴，DF y\Ð=Ð=°，30EDF EAODF=，\=，3EF\=+=，OF OE EF-，\点坐标为，3)D故选：B．16．如图，四边形ABCD中，//AD BC，AB BCBCDÐ=°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，^，45延长AD交EC于点F．（1）求证：四边形ABCF是矩形；AD=，3（2）若2BC=，求AE的长．【解答】（1）证明：//BCDÐ=°，^，45Q，AB BCAD BCBCD FDCÐ=Ð=°，\Ð=Ð=°，4590B BAFQ将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，Ð=°，EDCDE DC\=，90EDF FDC\Ð=°=Ð，45\^，DF CE\Ð=°，AFC90即90Ð=Ð=Ð=°，B BAF AFC\四边形ABCF是矩形；（2）解：Q四边形ABCF是矩形，\==，AF BC3\=-=，321DFQ，90Ð=°，DFEÐ=°45EDF\Ð=Ð=°，45DEF EDF\==，1DF EF在Rt AFED中，由勾股定理得：AE===．AB=，217．如图，矩形OABC中，1¢¢，则AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B CBB¢【解答】解：如图所示：Q矩形OABC中，1AB=，2AO=，将矩形OABC绕点O按顺时针转90°，得到矩形OA B C¢¢，B D¢=，\=，13BD则BB¢==．．AB=，618．如图，在矩形ABCD中，4D沿AE折叠，使点B落在矩形BC=，点E为BC的中点，将ABE内点F处，连接CF，则CF的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．185【解答】解：连接BF ，6BC =Q ，点E 为BC 的中点，3BE \=，又4AB =Q ，5AE \==，由折叠知，BF AE ^（对应点的连线必垂直于对称轴）125AB BE BH AE ´\==，则245BF =，FE BE EC ==Q ，90BFC \Ð=°，185CF \==．故选：D ．19．已知，如图，四边形ABCD 中，90D Ð=°，AB AC =，DAC B Ð=Ð，点E 是BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若8AD =，6CD =，点F 是AD 上的点，连接CF ，把D Ð沿CF 折叠，使点D 落在点G 处．当AFG D 为直角三角形时，求CF 的长度．【解答】解：（1）证明：AB AC =Q ,B ACB \Ð=Ð．DAC B Ð=ÐQ ,DAC ACB \Ð=Ð．//AD EC \．AB AC =Q ,E 是BC 的中点，AE BC \^．90AEC \Ð=°．18090EAD AEC \Ð=°-Ð=°．90D Ð=°Q ,\四边形AECD 为矩形．(2)当90AGF Ð=°时，G 在AC 上，如图，8AD =Q ,6CD =,10AC \==．CG CD =Q ,4AG AC CG \=-=．设DF x =,则8AF x =-,GF DF x ==,由勾股定理得：222AG GF AF +=．2224(8)x x \+=-．解得：3x =．\CF ===当90AFC Ð=°时，G 在CE 上，此时四边形CDFG 为正方形，如图：CF \=；当90FAG Ð=°时，G 在AB 上，此时6CG CD ==,而8CE AD ==,Q斜边大于直角边，\不可能在AB边上．G综上，CF=．20．矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E处，连BE．（1）求证：2Ð=Ð；BAE CBE（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，C CBA90CBE ABE\Ð+Ð=°，90Q将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形A点正好落在CD上的点E处，=，Ð=°，AE AB\=，90BC AGEAG\Ð=Ð，ABE AEBQ，Ð+Ð+Ð=°BAE ABE AEB180\Ð+Ð=°，ABE BAE2180Q，Ð+Ð=°CBE ABE90\Ð+Ð=°，CBE ABE22180\Ð=Ð．BAE CBE2（2）2=，AF MN证明：过B作BO AE^于O，连接EG，Q四边形AEFG是矩形，Ð=Ð=°，MAG BOM\=，90AF EG90C CBA Ð=Ð=°Q ，90AEB ABE CBE \Ð=Ð=°-Ð，90CEB CBE Ð=°-Ð，CEB OEB \Ð=Ð，在CBE D 和OBE D 中，90CBE OBE C BOE BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()CBE OBE AAS \D @D ，EC OE \=，BO BC AD AG ===，在BOM D 和GAM D 中，AMG BME BOM GAM BO AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()BOM GAM AAS \D @D ，BM GM \=，Q 点N 为BE 的中点，12MN EG \=，EG AF =Q ，2AF MN \=．题型三 正方形中的旋转、翻折问题21．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC于G ，连接AG ，则EAG Ð= 45 度．【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90ABE BAD ADG Ð=Ð=Ð=°，由翻折可知：AB AF =，90ABE AFE AFG Ð=Ð=Ð=°，BAE EAF Ð=Ð，90AFG ADG Ð=Ð=°Q ，AG AG =，AD AF =，Rt AGD Rt AGF(HL)\D @D ，GAF GAD Ð=Ð，1()452EAG EAF GAF BAF DAF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°．故答案为：45．22．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B 落在对角线CF 1- ．【解答】解：方法一：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，1EF CE \==，CF \=，1BF \=-，45BFE Ð=°Q ，\阴影部分的面积211111)122=´´-´=-；方法二：Q 过E 点作//MN BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP ，如下图所示，B Q 在对角线CF 上，45DCE ECF \Ð=Ð=°，1EC =，ENC \D 为等腰直角三角形，MB CN \===，又BC AD CD CE ===，且CP CP =，PEC D 和PBC D 均为直角三角形，Rt PEC Rt PBC(HL)\D @D ，PB PE \=，又45PFB Ð=°，45FPB MPE \Ð=°=Ð，MPE \D 为等腰直角三角形，设MP x =，则EP BP ==，MP BP MB +=Q ，\x +=x =，1BP \==-，\阴影部分的面积12211)12PBC S BC BP D ==´´´=´-=-．1．23．如图，将边长为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AB C D ¢¢¢，则图中阴影部分面积为 9-【解答】解：连接AE ，如图所示：由旋转的性质可知：AB AB =¢．在Rt △AB E ¢和Rt ADE D 中，AE AE AB AD =ìí¢=î，Rt \△Rt ADE(HL)AB E ¢@D ．DAE B AE \Ð=Т，ADE AB E S S D ¢=V ．30BAB Т=°Q ，1(9030)302DAE \Ð=´°-°=°．又3AB =Q ，DE AB \==132ADE S D \==，又239ABCD S ==Q 正方形，929S \=-=-阴影．故答案为：9-．24．如图是一张正方形纸片ABCD ，将其对折使AB 与DC 重合，折痕EF 分别与BC ，AD 交于点E ，F ，再将点D 对折到线段AE 上，折痕AG 交DC 于点G ，则DC GC【解答】解：如图，连接EG ，设DG D G x ¢==，2AB a =，由折叠得：BE EC a ==，2AD AD a ¢==，2CG a x \=-，由勾股定理得：AE ==，2D E a ¢\=-，在Rt EGD ¢D 和Rt EGC D 中，2222(2)2)a a x x a +-=+-，解得1)x a =-，\DC GC =．．25．如图，将边长为12的正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与BC 交于点G ，则DE 长度为 92 ，BG 与BC 的数量关系为 ．【解答】解：过A 作AH MG ^于H ，连接AG ，如图：设DE x =，则12AE ME x ==-，Rt DME D 中，162DM DC ==，222DM DE ME +=，2226(12)x x \+=-，解得92x =，92DE \=，Q 正方形纸片ABCD 折叠，点A 与CD 边中点M 重合，MAB AMG \Ð=Ð，//DC AB Q ，DMA MAB \Ð=Ð，DMA AMG \Ð=Ð，在ADM D 和AHM D 中，90,D AHM DMA AMG AM AMÐ=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，()ADM AHM AAS \D @D ，AD AH \=，6MH MD ==，AH AD AB \==，在Rt AHG D 和Rt ABG D 中，AH ABAG AG =ìí=î，Rt AHG Rt ABG(HL)\D @D ，HG BG \=，设BG y =，则HG y =，12CG y =-，Rt CMG D 中，162CM DC ==，6MG MH HG y =+=+，222CM CG MG +=，2226(12)(6)y y \+-=+，解得245y =，245BG \=，\2425125 BGBC==，25BG BC\=．故答案为：92，25BG BC=．26．如图，已知正方形ABCD的边长为6，以点C为直角顶点的等腰Rt CEFD绕C旋转一圈，且保持2CE=，过点C作CH DE^于H交直线BF于M，连AM，则AM的最小值为 1- ．【解答】解：如图1中，作//BT CF交CM分延长线于T．//BT CFQ，T FCM\Ð=Ð，CH DE^Q，ECFD是等腰直角三角形，90CHE ECF\Ð=Ð=°，90FCM ECH\Ð+Ð=°，90ECH DECÐ+Ð=°，DEC FCM T\Ð=Ð=Ð，90DCB DHCÐ=Ð=°Q，90BCT DCH \Ð+Ð=°，90DCH CDE Ð+Ð=°，TCB CDE \Ð=Ð，CB CD =Q ，()BCT DCE AAS \D @D ，BT EC CF \==，TMB CMF Ð=ÐQ ，T MCF Ð=Ð，()TBM CFM AAS \D @D ，BM FM \=，如图2中，取BC 的中点N ，连接AN ，MN ．Q 四边形ABCD 是正方形，6AB BC \==，90ABN Ð=°，3BN NC ==Q ，AN \===，BM MF =Q ，BN NC =，112MN CF \==，AM AN MN -Q …，1AM \…，AM \的最小值为1-．故答案为：1-．27．在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AE 与BF 相交于点G ．（1）如图1，求证：AE BF ^；（2）如图2，将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，延长FP 交BA 的延长线于点Q ，若4AB =，求QF 的值【解答】（1）证明：E Q ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，CF BE \=，在ABE D 和BCF D 中，AB BC ABE BCFBE CF =ìïÐ=Ðíï=îRt ABE Rt BCF(SAS)\D @D ，BAE CBF \Ð=Ð，又90BAE BEA Ð+Ð=°Q ，90CBF BEA \Ð+Ð=°，90BGE \Ð=°，AE BF \^；（2）解：Q 将BCF D 沿BF 折叠，得到BPF D ，FP FC \=，PFB BFC Ð=Ð，90FPB Ð=°，//CD AB Q ，CFB ABF \Ð=Ð，ABF PFB \Ð=Ð，QF QB \=，设QF x =，4PB BC AB ===，2CF PF ==，QB x \=，2PQ x =-，在Rt BPQ D 中，222(2)4x x \=-+，解得：5x=，QF=．即528．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当55Ð的度数；BEAÐ=°时，求HADÐ的大小；（2）设BEA aÐ=，试用含a的代数式表示DFAÐ有怎样的数量关系，并说明理由．（3）点E运动的过程中，试探究BEAÐ与FEA【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，90\Ð=Ð=°，EBA BAD\Ð=°-Ð=°-°=°，90905535EAB BAE\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；90453510HAD BAD EAF EAB（2）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=Ð=°，90EBA BAD ADF\Ð=°-Ð=°-，9090EAB BAE a\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，DAF BAD EAF EAB a a9045(90)45\Ð=°-Ð=°--°=°-；9090(45)135DFA DAF a aÐ=Ð，理由如下：（3）BEA FEA=，连接AI．延长CB至I，使BI DFQ四边形ABCD是正方形，\=，90AD ABÐ=Ð=°，ADF ABC90\Ð=°，ABIQ，又BI DF=\D@D，()DAF BAI SASÐ=Ð，\=，DAF BAIAF AIEAI BAI BAE DAF BAE EAF\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，45D的公共边，D与EAFQ是EAI又AEEAI EAF SAS\D@D，()\Ð=Ð．BEA FEA=，过D作DG EF29．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，DE EF^于点H，交AB边于点G．（1）如图1，求证：DE DG=；（2）如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG，若H为DG中点，EG．在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段（不包括)【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，DAG DCEÐ=Ð=°，AD BC，90AD DC\=，//\Ð=Ð，DEC EDFQ，DE EF=\Ð=Ð，EFD EDF\Ð=Ð，EFD DECQ于H，DG EF^\Ð=°，GHF90AGH AFH\Ð+Ð=°，180Q，Ð+Ð=°AFH EFD180DGA EFD DEC \Ð=Ð=Ð，在DAG D 和DCE D 中：DGA DEC DAG DCEDA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()DAG DCE AAS \D @D ，DG DE \=．（2）KE EF ^Q ，DG EF ^，//KE DG \，且DG EF KE DE ===，\四边形KEDG 是平行四边形，且DG DE =，\四边形KEDG 是菱形，GK DG KE DE \===，DG EF ^Q ，H 是DG 的中点，EG DE \=，EG DE DG GK KE EF \=====．30．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，EAF m Ð=°，将EAF Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、CD 于点E 、F ，G 是CB 延长线上一点，且始终保持BG DF =．（1）求证：ABG ADF D @D ；（2）求证：AG AF ^；（3）当EF BE DF =+时：①求m 的值；②若F 是CD 的中点，求BE的长．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，2AB AD BC CD ====，90BAD C D ABC ABG Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°．BG DF =Q ，在ABG D 和ADF D 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，()ABG ADF SAS \D @D ；（2）证明：ABG ADF D @D Q ，GAB FAD \Ð=Ð，GAF GAB BAF\Ð=Ð+Ð90FAD BAF BAD =Ð+Ð=Ð=°，AG AF \^；（3）①解：ABG ADF D @D ，AG AF \=，BG DF =．EF BE DF =+Q ，EF BE BG EG \=+=．AE AE =Q，。
特殊平行四边形的翻折折叠问题(含答案)
,;【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，然后求出四边形ABEB 1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB ，然后根据CE=BC-BE ，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE 对折点B 落在边AD 上的点B 1处，∴∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．，。
【>【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE 是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，？∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，[∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，~∴C选项不正确，故选：C．*~*。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图所示 在长方形ABCD 中 610AD AB ==， 若将长方形ABCD 沿DE 折叠 使点C 落在AB 边上的点F 处 则线段CE 的长为（ ）A ．13B ．1730C ．103D ．102．如图 在ABCD 中 将ADC △沿AC 折叠后 点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处．若=60B ∠︒ 1AB = 则ABCD 的周长为( )A ．4B ．43C ．6D ．33．如图 在ABC 中 已知8AB = 点DE 、分别在边AC AB 、上 现将ADE 沿直线DE 折叠 使点A 恰好落在点F 处 若将线段BC 向左平移刚好可以与线段EF 重合 连接CF 若215BC CF += 则2BC CF -的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图 矩形ABCD 中 3AB = 4BC = 点E 是BC 边上一点 连接AE 把B ∠沿AE折叠 使点B 落在点B '处 当CEB '为直角三角形时 BE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．3或1.55．如图 将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后 若170=︒∠ 则2∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒6．如图 在平面直角坐标中 矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD == 将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置 线段1OD 恰好经过点B 点C 落在y 轴的点1C 位置 点E 的坐标是（ ）A ．()1,2B ．1,2C ．)1,2D ．()12 7．如图 在平面直角坐标系中 已个纸片OACB 顶点10006A B （，），（，）点P 为BC 边上的动点 将OBP 沿OP 折叠得到OPD 连接CD AD 、．则下列结论中：①当45BOP ∠=︒时 四边形OBPD 为正方形 ①当30BOP ∠=︒时 OAD 的面积为15 ①当P 在运动过程中CD 的最小值为5 ①当OD AD ⊥时 2BP =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图 把一张长方形纸片沿对角线折叠 若30EDF ∠= 则长方形纸片的长宽比为( )A ．2：1B 2：1C 31D ．23二 填空题9．在平行四边形ABCD 中 点E F 在BC 边上 把ABE 沿直线AE 折叠 CDF 沿直线DF 折叠 使点B C 落在对角线AC 上的点G 处 若110AGD ∠=︒ 则B ∠的度数为 ．10．如图 点O 是矩形ABCD 的中心 E 是边AB 上的点 沿CE 折叠后 点B 恰好与点O 重合 若9BC = 则折痕CE 长度为 ．11．如图 将长方形ABCD 沿EF 折叠得到两个全等的小长方形 1210AB BC ==，， 点G 在AB 上运动 当点 A 关于DG 的对称点A '落在右侧长方形BCEF 内部(含边界)时 则AG 的长度 m 的取值范围为 ．12．如图 菱形ABCD 的边5AB = 高4CE = F 是边CD 上一动点 将四边形AEFD 沿直线EF 折叠 A 点的对应点为P 当CP 的长度最小时 CF 的长为 ．13．如图 把正方形纸片ABCD 进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF 连接CE 将CB 折叠到CE 上 点B 对应点H 得折痕CG ．那么AG BG= ．三 解答题14．如图1 点E 为矩形ABCD 边BC 上一点 且CE CD = 把ABE 沿着AE 折叠 点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上．(1)求证：≌AFD DCE(2)如图2 延长CF 交AE 于点G 交AB 于点H ．①求证：GE DF GF CD ⋅=⋅①求:GH GA 的值．15．如图 沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边 使点D 落在BC 边上一点F 处．若6AB = 且ABF △的面积为24 则：(1)BF 的长为_______________(2)BC 的长为________________(3)求EC 的长．16．如图1 已知长方形纸片ABCD 点E 在边AD 上 F 为AB 上的一个动点 G 为DC 上的一个动点 将长方形ABCD 沿直线EF EG 、折叠 点A D 、的对应点分别是点A '和点D ．(1)如图2 当点A '落在ED 上时 求FEG ∠的度数(2)如图3 若54A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(3)如图4 若10A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(4)若A ED n ''∠=︒直接写出FEG ∠的度数（用含n 的代数式表示）17．如图 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒ 点D 是ABC 外一点连接AD BD将ABD △沿DB 折叠使点A 落在边BC 上的点1A 处 连接1A D 若1A D AC ⊥．(1)求证：四边形1ABA D 是菱形(2)连接1AA DC 若2AB = 求四边形1ADCA 的面积．18．综合探究：如图 四边形ABCD 是正方形 点M 在边AD 上 直线MN AB ∥．将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 MN 与BD 交于点P 连接AP A P ' A P '交CD 与点F ．(1)连接PC 猜想PC 与PA '的数量关系为________ A PC '∠=________°(2)连接B D ' CA ' 两线段交于点O 移动直线MN 若CD 平分PCA '∠ 求证：CP B D '∥(3)移动直线MN 若6=BC 2B C '= 直接写出PAD ∠的度数．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．75︒10．11．10103m ≤≤ 12．41314．（1）解：证明：CD CE =CDE ∴为等腰直角三角形45CDE FDA ︒∴∠=∠= ABE 沿AE 折叠得到AEF △ 且四边形ABCD 是矩形 AB AF CD ∴== 90AFE AFD B ∠=∠=∠=︒ 在AFD △与ECD 中AFD ECD CDE FDA AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFD DCE ∴≌．（2）①证明：AFD DCE ≌△△AD DE ∴= AF DF DC CE ===()11804567.52DCF DFC ∴∠=∠=︒-︒=︒ 45DEC ∠=︒ 180135BED DEC167.52AEF AEB BEF ∴∠=∠=∠=︒ GEF DCF ∴∠=∠ GFE DFC ∠=∠GEF DCF ∴∽GE GF DC DF∴= GE DF GF CD ∴⋅=⋅．①在Rt CED 中 45CDE ∠=︒DE ∴=DF DC CE ==)()2121EF DE DF CD CE ∴=-== 21EF CE ∴ 由①知：67.5BEA DFC ∠=∠=︒18067.5112.5EFC GEC ∴∠=∠=︒-︒=︒ECF GCE ∠=∠CEG CFE ∴△∽△21GE EF GC CE∴==． 15．（1）由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == ABF △的面积为24 ①1242ABF S AB BF =⨯⨯= ①24224286BF AB ⨯⨯=== 故答案为：8（2）在（1）中已得8BF =由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == AD BC = 由折叠的性质可得：AF AD BC == 由勾股定理可得：22228610BC AF BF AB =++= 故答案为：10（3）由（1）（2）可得2CF BC BF =-=根据折叠的性质有：EF DE =设CE x = 则6EF DE x ==-在Rt CEF △中 222CE CF EF +=即()22226x x +=- 解得83x = 即83CE =．16．（1）解：由翻折得：12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①180AEA DED ''∠+∠=︒ ①()111809022FEG A EF D EG AEA DED ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）解：由 (1) 知12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①54A ED ''∠=︒①126AEA DED ''∠+∠=︒①()1632A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=⨯∠+∠=︒ ①5463117FEG A ED A EF D EG ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ （3）解：①10A ED ''∠=︒ ①()()11180109522A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒ ①951085FEG A EF D EG A ED ''''∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒ （4）解：如图3 ①A ED n ''∠=︒①()180180AEA DED A ED n ''''∠+∠=︒-∠=-︒ ①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒-︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒-︒︒+︒''''∠=∠+∠+∠=+︒= 如图4 ①180AEA DED A ED ''''∠+∠-∠=︒ ''A ED n ∠=︒ ①180AEA DED n ''∠+∠=︒+︒①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒+︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒+︒︒-︒''''∠=∠+∠-∠=-︒= 综上 FEG ∠的度数为1802n ︒+︒或 1802n ︒-︒． 17．（1）证明：如图1 连接1AA 设1A D 交AC 于点E由折叠的性质得：1AB A B = 1AD A D =90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒903060ABC ∴∠=︒-︒=︒1ABA ∴是等边三角形1AB AA ∴= 160BAA ∠=︒11906030CAA BAC BAA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1A D AC ⊥190AEA ∴∠=︒1903060AA D ∴∠=︒-︒=︒∴1AA D △是等边三角形1AD AA ∴=11AB A B AD A D ∴===∴四边形1ABA D 是菱形（2）解：如图2由（1）可知 四边形1ABA D 是菱形 12A D AB ∴==90BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒24BC AB ∴==22224223AC BC AB ∴--1A D AC ⊥∴四边形1ADCA 的面积=1AA C ADC S S + 111111232232222AC A E AC DE AC A D =⋅+⋅=⋅=⨯= 18．（1）解：①四边形ABCD 是正方形 ①AB BC CD DA === 90BAD ABC BCD CDA ∠∠∠∠====︒ 四边形ABCD 是轴对称图形 BD 所在直线是其一条对称轴①45ADP ∠=︒ PA PC = PAM PCF ∠∠= ①MN AB ∥①90PMD BAD ∠∠==︒①MN AD ⊥18090A DF CDA '∠=︒-∠=︒①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN AA '⊥①点A D A '三点共线同理：点B C B '三点共线①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①PA PA '= PA D PAM PCF '∠=∠=∠ 90CB A B A D ABC BAD ''''∠=∠=∠=∠=︒ ①PC PA '=①90A DF '∠=︒ 180A DF PA M DFA PCF PFC A PC ''''∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ PA M PCF '∠=∠ DFA PFC '∠=∠ ①90A D A PC F '∠=︒'∠=故答案为：PC PA '= 90（2）证明：由（1）得PC PA '= 90A PC '∠=︒ ①45PCA PA C ''∠=∠=︒①CD 平分PCA '∠①22.5OCD PCD ∠=∠=︒①90CB A B A D ''''∠=∠=︒ 90A DF '∠=︒ ①四边形A B CD ''是矩形①OA OD OB OC ''===①ODC OCD ∠∠==22.5︒①45A ODC O A OD PC CD ''∠=︒=∠+∠=∠ ①CP B D '∥（3）解：如图 在AN 上取一点N 使得AN =①四边形A B CD ''是矩形 ①2,A D B C ''=①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN 垂直平分AA ' ①62MA MA +'== 90PMD PMN ∠∠==︒ ①MN AM AN =-=6232662+-=①45PDM ∠=︒ ①904545MPD PDM ∠∠=︒-︒=︒= ①PM DM AD AM ==-62626+-==①在Rt PMN 中6232tan 326PM PNM MN -∠===-①30PNM ∠=︒ ①262N PN PM A === ①PAD APN ∠∠==130152⨯︒=︒．。
2024年中考数学总复习考点培优训练第七章专项5与特殊四边形有关的折叠问题
(2)若DE＝5，△GDF的周长为20，求四边形BCDE的周长．
(2)解：由折叠的性质得GF＝CF，DG＝DC，
∵△GDF的周长为20，
∴GF＋FD＋GD＝20，
∴CF＋DF＋DC＝20.
∵四边形BFDE是平行四边形，DE＝5，
∴BE＝DF，BF＝DE＝5，
第7题图
∴四边形BCDE的周长为BC＋CD＋DE＋BE＝BF＋
5 )2，
∴点F到AB的距离为1；
第5题解图
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
(2)求CE的长． (2)由(1)知FM＝1，
∴AM＝BM＝2，FN＝ 5－1.
∵∠BFE＝90°，∴∠BFM＋∠EFN＝90°.
∵MN⊥CD，∴∠FNE＝90°，
∴∠EFN＋∠FEN＝90°，∴∠BFM＝∠FEN.
∵∠BMF＝∠FNE＝90°，∴△BMF∽△FNE，
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ 5 ，E为CD边上一点，将
△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，tan ∠BAF
＝
1 2
.
(1)求点F到AB的距离；
解：(1)如解图，过点F作MN∥AD，分别交AB，
CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD. 由折叠的性质，得EC＝EF，BC＝BF＝ 5 ，
第4题图
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
解题关键点 观察设问：求DE的长； 观察题干：▱ABCD，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，△ABE折叠得 △A′BE，点A′落在EC上； 关键点：如图，过点C作CH⊥AD交AD的 延长线于点H，构造Rt△CDH求得HC的 长；连接EC，构造Rt△ECH求得DE的长．
专题07 特殊的平行四边形中折叠问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题07 特殊的平行四边形中折叠问题【典型例题】1．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD =8cm ，宽AB =4cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合. （1）求证：BE =BF ；（2）求折叠后DE 的长；（2）求以折痕EF 为边的正方形面积.【答案】（1）证明见解析；（2）5cm ；（3）20cm 2.【详解】（1）在长方形ABCD 中，AD //BC ，DEF EFB ∴∠=∠，DEF BEF ∠=∠，EFB BEF ∴∠=∠，∴ BE =BF ，设DE =x cm ，则BE =x cm ，AE =()8x cm -，在Rt ABE △中，由勾股定理()22248x x +-=， ∴5x =，即DE 的长为5cm ．（2）过E 作EH BF ⊥于点H ，则EH =AB =4，BH =AE =3，∴ HF =BF -BH =5-3=2，∴2222420EF =+=，∴ 以EF 为边长的正方形的面积为220cm ．【专题训练】一、选择题1．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】 根据菱形的性质证明∴ABD 是等边三角形，求得BD =4，再证明EF 是∴ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∴ABC ，4AB BC CD DA ==== ∴∴111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∴AB AD =∴∴ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∴BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为∴ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．2．如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点C 折叠纸片，使点C 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为1，则FM 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】B【分析】根据翻折得到1FB BC ==，12BM =，在Rt BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值． 【详解】 解：四边形ABCD 是正方形， 1AB BC ∴==，由折叠的性质可知，1FB BC ==，1122BM AB ==， 在Rt BFM 中，由勾股定理得：2FM ===． 故选：B ．【点睛】本题考查翻折、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】D【分析】 根据菱形及矩形的性质可得到∴BAC 的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC 的长．【详解】解：∴四边形AECF 为菱形，∴∴FCO =∴ECO ，EC =AE ，由折叠的性质可知，∴ECO =∴BCE ，又∴FCO +∴ECO +∴BCE =90°，∴∴FCO =∴ECO =∴BCE =30°，在Rt ∴EBC 中，EC =2EB ，又∴EC =AE ，AB =AE +EB =3，∴EB=1，EC=2，∴Rt∴BCE中，BC ，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AB，CD上，∴EFC=120°．若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（）A．2B C D．1【答案】A【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∴AEB'=60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．【详解】解：∴四边形ABCD是正方形，∴AB∴CD，∴A=90°，∴∴BEF=180°-∴EFC=60°，∴将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∴BEF=∴FEB'=60°，BE=B'E，∴∴AEB'=180°-∴BEF-∴FEB'=60°，∴∴AB'E=30°，∴B'E=2AE，设AE=x，则B'E=2x=BE，∴AB=6，∴x+2x=6，解得x=2．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．5．如图，菱形ABCD中，∴ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将∴CDE沿CE折叠，得到∴CFE，则∴BCF 面积的最大值是（）A．8B．C．16D．【答案】A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当∴BCF的高最大时，∴BCF的面积最大，即当FC∴BC时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∴将∴CDE沿CE折叠，得到∴CFE，∴FC=CD=4由此，∴BCF的底边BC是定长，所以当∴BCF的高最大时，∴BCF的面积最大，即当FC∴BC时，三角形有最大面积∴∴BCF面积的最大值是11448 22BC FC=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键． 6．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为（ ）cm ．A 32B ．52CD ．32【答案】A【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】解：如图1中，∴四边形ABCD 是矩形，∴AB ∴CD ，∴∴1=∴3，由翻折的性质可知：∴1=∴2，BM =MB ′，∴∴2=∴3，∴MB ′=NB ′，∴NB '==cm ），∴BM NB '==（cm ）．如图2中，当点M 与A 重合时，同理可得：AE =EN ，设AE =EN =x cm ，在Rt ∴ADE 中，则有2222(4)=+-x x ，解得x =52， ∴53422DE =-=（cm ）， 如图3中，当点M 运动到MB ′∴AB 时，DE ′的值最大，DE ′=5-1-2=2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）51(4=-=（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径3322(4)22EE E B '''=+=-+-=（cm ）． 故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题7．如图a 是长方形纸带，∴DEF =22°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∴CFE 的度数是________°．【答案】114°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∴EFB=∴DEF，再根据翻折的性质，图c中∴EFB处重叠3层，然后根据∴CFE=180°-3∴EFB代入数据行计算即可得解【详解】∴∴DEF =22°长方形ABCD的对边AD//BC∴∴EFB=∴DEF=22°由折叠，∴EFB处折叠了3层∴∴CFE=180° -3∴EFB=180°—3 × 22°=114°故答案为:114°【点睛】本题考查折叠问题，熟知折叠中蕴含着全等，有相等的角与边进行分析是关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，则CE＝_____．【答案】4 3【分析】由折叠求出BF和CF，再设CF＝x，在∴CEF中用勾股定理列方程即可得答案．【详解】解：∴矩形ABCD沿AE折叠，AB＝3，AD＝5，∴AF＝AD＝5，∴B＝∴C＝90°，DE＝EF，∴BF4，∴CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则EF＝DE＝3﹣x，在Rt∴CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴x2＋12＝（3﹣x）2，解得x＝43，∴CE＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查矩形性质及勾股定理应用等知识，解题的关键是在Rt∴CEF中用勾股定理列方程．9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若32NEC FMN∠=︒∠=，_____︒．【答案】119【分析】根据正方形的性质得到∴A=∴C=∴D=90°，根据折叠的性质得到∴F=∴A=90°，∴FEN=∴C=90°，∴DNM=∴ENM，根据平角的定义得到∴ENM=12（180°-∴ENC）=12（180°-58°）=61°，根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：∴四边形ABCD是正方形，∴∴A=∴C=∴D=90°，∴将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，∴∴F=∴A=90°，∴FEN=∴D=90°，∴DNM=∴ENM，∴∴NEC=32°，∴∴ENC=58°，∴∴ENM=12（180°-∴ENC）=12（180°-58°）=61°，∴∴FMN =360°-90°-90°-61°=119°，故答案为：119．【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．10．对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B '两点重合，MN 是折痕．若1B M '=，则CN 的长为_______．【答案】4【分析】连接AC 、BD ，如图，利用菱形的性质得132OC AC ==，142OD BD ==，90COD ∠=︒，再利用勾股定理计算出5CD =，接着证明OBM ODN ∆≅∆得到DN BM =，然后根据折叠的性质得1BM BM'==，从而有1DN =，于是计算CD DN -即可．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，132OC AC ∴==，142OD BD ==，90COD ∠=︒， 在Rt COD ∆中，5CD ==，//AB CD ，MBO NDO ∴∠=∠，在OBM ∆和ODN ∆中MBO NDO OB ODBOM DON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， OBM ODN ∴∆≅∆，DN BM ∴=，过点O 折叠菱形，使B ，B ′两点重合，MN 是折痕，1BM BM'∴==， 1DN ∴=，514CN CD DN ∴=-=-=，故答案为：4．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．11．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把ABE △沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，当CEF △为直角三角形时，CF 的长为________．【答案】4或【分析】当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，先利用勾股定理计算出10AC =，根据折叠的性质得90AFE B ∠=∠=︒，而当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，所以点A 、F 、C 共线，即B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，则,6EB EF AB AF ===，可计算出CF ； ②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，根据勾股定理计算出CF ．【详解】解：当CEF △为直角三角形时，有两种情况：①当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，在Rt ABC 中，6,8AB BC ==，∴10AC =，∴B 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴90AFE B ∠=∠=︒，当CEF △为直角三角形时，只能得到90EFC ∠=︒，∴点A 、F 、C 共线，即B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴,6EB EF AB AF ===，∴1064CF =-=；②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，∴6,862BE AB CE ===-=，∴CF =综上所述，CF 的长为4或．故答案为：4或．【点睛】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．12．如图，在正方形ABCD 中，12AB =，点E 在边CD 上，3CD DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．有下列结论：①ABG AFG ≅；②BG GC =；③//AG CF ；④6FGC S =△．其中正确的结论是__________．（填序号）【答案】①②③【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出AB =AF ，∴AFG =90°，由HL 证明Rt ∴ABG ∴Rt ∴AFG ，得出①正确；设BG =FG =x ，则CG =12-x ．由勾股定理得出方程，解方程求出BG ，得出GC ，即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∴AGB =∴AGF =∴GFC =∴GCF ，得出AG ∴CF ，即可得出③正确；通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．【详解】解：①正确．理由如下：四边形ABCD 是正方形，12AB BC CD AD ∴====，90B GCE D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质得：AF AD =，90AFE D ∠=∠=︒，90AFG ∴∠=︒，AB AF =，在Rt ABG △和Rt AFG △中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ABG AFG ∴≅△△；②正确．理由如下： 由题意得：143EF DE CD ===，设BG FG x ==，则12CG x =-． 在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(12)8(4)x x -+=+，解得：6x =，6BG ∴=，1266GC ∴=-=，BG GC ∴=；③正确．理由如下：CG BG =，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴△是等腰三角形，GFC GCF ∠=∠．又∴Rt Rt ABG AFG ≅△△，AGB AGF ∴∠=∠，218022+==︒-=+==∠∠∠∠∠∠∠∠AGB AGF AGB FGC GFC GCF GFC GCF ，AGB AGF GFC GCF ∴∠=∠=∠=∠，//AG CF ∴；④错误；理由如下：11682422GCE S GC CE =⋅=⨯⨯=△， 6GF =，4EF =，GFC 和FCE △等高，:3:2GFC FCE S S ∴=△△，37224655GFC S ∴=⨯=≠△． 故④不正确．∴正确的个数有①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．三、解答题13．如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD ＝10cm ，宽 AB ＝5cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后AE 的长是多少？【答案】154cm【分析】设DE ＝x ，根据折叠的性质可得BE ＝x ，表示出AE ＝10−x ，然后在Rt ∴ABE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：设 DE ＝xcm ，则BE ＝xcm ，∴AE ＝（10﹣x ）cm ，∴在 Rt ∴ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，∴52＋（10﹣x ）2＝x 2，∴解得：x ＝254， ∴AE ＝10﹣254＝154cm 答：折叠后AE 的长是154cm ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B D ，重合），折痕为EF ，若26DG BG ==，，求AF 的长.【答案】AF 的长为267． 【分析】 作FH BD ⊥于点H ，通过菱形的性质和折叠的性质证明ABD △为等边三角形，设AF x =，则FG x =，8DF x =-，在Rt DFH 中，利用特殊角表示出DH ,FH ，最后在Rt FHG 中利用勾股定理即可求解．【详解】如图，作FH BD ⊥于点H ．由折叠的性质可知，FG FA =．由题意，得8BD DG BG =+=．∴ 四边形ABCD 是菱形． ∴1602AD AB ABD CBD ABC =∠=∠=∠=︒，， ∴ABD △为等边三角形，∴8AD BD ==．设AF x =，则FG x =，8DF x =-，在Rt DFH 中，∴60FDH ∠=︒，∴()118422DH x x =-=-，)822FH x x =-=， ∴1222HG DH x =-=-． 在Rt FHG 中，222FG FH GH =+，即222122x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得267x =， ∴AF 的长为267． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握菱形的性质，勾股定理及方程的思想是解题的关键．15．如图，正方形纸片ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别沿AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都在点G 处，已知2BE =，求FC 的长．【答案】3【分析】因为正方形ABCD 的边长为6，由图形折叠可得=2BE EG =，624EC =-=，6DF FG x ==-， 再利用勾股定理进行计算即可.【详解】解：设FC x =，由图形折叠可得=2BE EG =，624EC =-=，6DF FG x ==-，在直角ECF ∆中，∴222EF EC CF =+，∴222(426)x x +-=+，解得3x =，∴3=FC ．【点睛】此题考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．16．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）30.【解析】试题分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB =CD ，AD ∴BC ，∴ANF =90°，∴CME =90°，易得AN =CM ，可得∴ANF∴∴CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8-x，CM=10-6=4，在Rt∴CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．试题解析：（1）证明：∴折叠，∴AM=AB，CN=CD，∴FNC=∴D=90°，∴AME=∴B=90°，∴∴ANF=90°，∴CME=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∴BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在∴ANF和∴CME中，{FAN EMC AN CMANF CME∠=∠=∠=∠，∴∴ANF∴∴CME（ASA），∴AF=CE，又∴AF∴CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∴AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt∴CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．17．如图1．将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在A'处，然后将矩形展平，沿EF折叠使点A落在折痕DE 上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2．（1）求证：EG＝CH；（2）已知AF∴CDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）∴CDE的面积＝4+【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质可得AD AE BC ==，AE EG =，BC CH =，可得结论；（2）由折叠的性质可知45ADE ∠=︒，90FGE A ∠=∠=︒，AF =，那么DG =，利用勾股定理求出2DF =，于是可得2AD AF DF =+=；再利用AAS 证明AEF BCE △≌△，得到AF BE =，于是22AB AE BE =+=+=，即可求解．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴=，将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在A '处，AD A D '∴=，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，45ADE AED ∴∠=∠=︒，AD AE ∴=，AE BC ∴=，由折叠的性质可得AE EG =，BC CH =，EG CH ∴=；（2）45ADE ∠=︒，90FGE A ∠=∠=︒，AFDG ∴=2DF =，2AD AF DF ∴=+；由折叠知AEF GEF ∠=∠，BEC HEC ∠=∠，90GEF HEC ∴∠+∠=︒，90AEF BEC ∠+∠=︒，90∠+∠=︒AEF AFE ，BEC AFE ∴∠=∠，在AEF 与BCE 中，90AFE BEC A B AE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AEF BCE AAS ∴△≌△，AF BE∴=，22AB AE BE CD ∴=+=+==，CDE ∴的面积11(2(24 22CD AD=⨯⨯=⨯+⨯=+【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识．18．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF 折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当∴BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）当∴BAE=30°时，四边形AECF是菱形【分析】（1）首先证明∴ABE∴∴CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由折叠性质得到∴BAE=∴CAE=30°，求得∴ACE=90°-30°=60°，即∴CAE=∴ACE，得到EA=EC，于是得到结论．【详解】（1）∴四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∴BC，∴B=∴D=90°，∴BAC=∴DCA．由翻折的性质可知：∴EAB=12∴BAC，∴DCF=12∴DCA．∴∴EAB=∴DCF．在∴ABE和∴CDF中B DAB CDEAB DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴ABE∴∴CDF（ASA），∴DF=BE．∴AF=EC．又∴AF∴EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）当∴BAE=30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∴BAE=∴CAE=30°，∴∴B=90°，∴∴ACE=90°-30°=60°，即∴CAE=∴ACE，∴EA=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．19．探究：如图①点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，连结AE、AF、EF，将∴ABE、∴ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与∴AEF完全重合的三角形．若BE＝2，DF＝3，求AB的长；拓展：如图②点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，且∴B＝∴D＝90°．连结AE、AF、EF将∴ABE、∴ADF分别沿AE、AF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与∴AEF完全重合的三角形．若∴EAF＝30°，AB＝4，则∴ECF的周长是．【答案】探究：AB＝6；拓展：．3【分析】探究：设：正方形的边长为a，则EC=a-2，CF=a-3，则由勾股定理得：EF2=EC2+CF2，即可求解；拓展：证明∴ABC∴∴ADC，∴BAE+∴DAF=∴EAF=30°，则∴BAD=60°，∴BAC=∴DAC=12（∴BAD）=30°，CD=BC=ABtan∴BAC，即可求解．【详解】探究：设：正方形的边长为a，则EC＝a﹣2，CF＝a﹣3，则EF＝BE+DF＝5，则EF2＝EC2+CF2，即：25＝（a﹣2）2+（a﹣3）2，解得：a＝6或﹣1（舍去﹣1），故AB＝6；拓展：由题意得：AB＝CD＝4，连接AC，∴AB＝CD，AC＝AC，∴∴ABC∴∴ADC，∴BC＝CD，∴BAC＝∴DAC，∴点E、F分别在四边形BACD的边BC、CD上，故：∴BAE+∴DAF＝∴EAF＝30°，则∴BAD＝60°，∴∴BAC＝∴DAC＝12（∴BAD）＝30°，CD＝BC＝ABtan∴BAC＝4∴ECF的周长＝EF+EC+FC＝AE+FD+EC+FC＝AC+CD＝2CD，故答案为：3． 【点睛】 本题考查的是翻折变换（折叠问题），涉及到正方形的性质、三角形全等等，其中（2）证明∴ABC ∴∴ADC ，是本题解题的关键．20．(1)如图1，将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，折痕为AE ，点B 落在点1B 处，若66DAC ∠=︒，则BAE ∠= º;(2)小丽手中有一张矩形纸片，9AB =，4=AD .她准备按如下两种方式进行折叠:①如图2，点F 在这张矩形纸片的边CD 上，将纸片折叠，使点D 落在边AB 上的点1D 处，折痕为FG ，若5DF =，求AG 的长;②如图3，点H 在这张矩形纸片的边AB 上，将纸片折叠，使HA 落在射线HC 上，折痕为HK ，点A ，D 分别落在1A ，2D 处，若73DK =，求1AC 的长. 【答案】（1）12；（2）①AG =32;②13A C = 【分析】 （1）由折叠的性质可得∴BAE ＝∴CAE ＝12°；（2）①过点F 作FH ∴AB 于H ，可证四边形DFHA 是矩形，可得AD ＝FH ＝4，由勾股定理可求D 1H ＝3，由勾股定理可求AG 的长；②首先证明CK ＝CH ，利用勾股定理求出BH ，可得AH ，再利用翻折不变性，可知AH ＝A 1H ，由此即可解决问题.【详解】解：（1）∴∴DAC ＝66°，∴∴CAB ＝24°∴将矩形ABCD 折叠，使AB 落在对角线AC 上，∴∴BAE＝∴CAE＝12°故答案为：12；（2）如图2，过点F作FH∴AB于H，∴∴D＝∴A＝90°，FH∴AB∴四边形DFHA是矩形∴AD＝FH＝4，∴将纸片ABCD折叠∴DF＝D1F＝5，DG＝D1G，∴D 1H2225163FH，∴AD1＝2∴AG2＋D1A2＝D1G2，∴AG2＋4＝（4−AG）2，∴AG＝32；②∴DK＝73，CD＝9，∴CK＝9−73＝203，∴四边形ABCD是矩形，∴DC∴AB，∴∴CKH＝∴AHK，由翻折不变性可知，∴AHK＝∴CHK，∴∴CKH＝∴CHK，∴CK＝CH＝203，∴CB＝AD＝4，∴B＝90°，∴在Rt∴CDF中，BH22400161693BC，∴AH＝AB−BH＝11 3，由翻折不变性可知，AH＝A1H＝11 3，∴A1C＝CH−A1H＝3．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题，属于中考压轴题．。
(完整版)中考数学几何图形折叠试题典题及解答
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD 上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A 落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿E F折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠B EG°．8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△P EQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC 上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C 重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图，△OAB 是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x 的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线B D折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.648.50°三、9. 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB= 90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时，y 有最大值．由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c ，则∴y=．由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．10. 证明：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE～△QAB.（2）∵△PBE～△QAB ，∴∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得，∠AE B＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.11. 解：(1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连结AC，交EF于点K，则AK＝CK．∵AB∥CD，∴BH＝CD，BD＝CH．∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB，∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．（2）解：由（1）得BH∥CD，EF∥BD，∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7，CD＝3，∴AH＝10．∵AE＝CE，AE＝EH，∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB，∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD，∠AEF＝∠ABD，∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：(1)由折纸过程知0＜5x＜26，,0＜x ＜.（2）图④为轴对称图形，∴A M ＝.即点M与点A的距离是（13－x）cm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝A D′，∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形．14. 解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB，∴AN = BN.由折叠知AB = BN ，∴AN = AB = BN，∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =9 0°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP.在Rt△BNP中，BN = BA =a，∠PBN =30°，∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC =60°，∴∠ABM′=90°－60°= 30°.在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(，2). 代入y=kx中，得k== .设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD 内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′，∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中，A′H =A′B =1 ，BH=，∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解：(1)如图.等腰三角形DAC.16.（1）证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB，∴△PBE∽△QAB.（2）∵△PBE∽△QAB，∴. ∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能折叠在直线EC上.由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE 重合.17. 解：（1）由已知可得∠A'OE=60o , A'E= AE.由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.设A′的坐标为（0，b），则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是（0，1）与（，1）.（2）因为A'、E在抛物线上，所以所以函数关系式为y =.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（，0）.（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10（1），重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴，即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0＜x≤3）.②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图10（2），重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x, A'H＝A'F－FH＝x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.（2）当0＜x≤3时，y的最大值；当3＜x＜6时，由,可知当x=4时，y的最大值y2=9.∵y1＜y2，∴当x=4时，y有最大值y最大＝9．19. 证明：（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,∴BF=DF.（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BD A）,∴AE∥BD.。
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在矩形纸片ABCD 中 将BCD △沿BD 折叠 C 点落在C '处 则图中共有全等三角形（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．如图 对折矩形纸片ABCD 使AB 与DC 重合得到折痕EF 将纸片展平 再一次折叠 使点D 落到EF 上点G 处 并使折痕经过点A 展平纸片后DAG ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．60︒C ．55︒D ．75︒3．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8BC = 点E 和F 是边BC 上的两点 连结AE DF 、 将ABE 和CDF 沿AE DF 、折叠后 点B 和点C 重合于点M 则EF 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．1.5D ．44．如图 在矩形纸片ABCD 中 已知8AD = 折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合 点B 落在点F 处 折痕为AE 且3EF = 则ABE 的面积为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．75．如图 在矩形OABC 中 9OA = 15AB = E 是BC 上一点 沿AE 折叠 使点B 恰好落在x 轴的点D 处．E 点坐标是（ ）A ．()5,15B ．()3,15C ．()15,2D ．()15,4 6．如图 在矩形ABCD 中 点E 是边CD 的中点 将ADE 沿AE 折叠后得到AFE △ 且点F 在矩形ABCD 的内部 将AF 延长后交边BC 于点G 且45CG GB = 则AB AD 的值为（ ）A ．43B ．56C ．1D ．77．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ≌△△C ．EB ED = D ．30ABE ∠=︒ 8．如图 在一张菱形纸片ABCD 中 2AB = 30B ∠=︒ 点E 在BC 边上（不与B C 重合）将ABE 沿直线AE 折叠得到AFE △ 连接BF EF DF 有以下四个结论：AE EF =① 105BFD ∠=︒② ③当AE BC ⊥时 FD AC = ④当FE 平分AFB ∠时 则23FD = 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 正方形纸片ABCD 的边长为12 E 是边CD 上一点 连接AE 折叠该纸片 使点A 落在AE 上的点G 并使折痕经过点B 得到折痕BF 点F 在AD 上．若5DE = 则GE 的长为 ．10．将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠 AE AF 为折痕 点B D 折叠后的对应点分别为B' 'D 若''4B AD ∠=︒ 则EAF ∠的度数为 ．11．如图 在长方形ABCD 中 3AD = 2AB = 点F 是AB 上一点 1AF = 点E 是BC 上一动点 连接EF 将BEF △沿EF 折叠 记点B 的对应点为点B ' 连接DB ' 则FB DB '+'的最小值是 ．12．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8AD = 边AD 上有一动点P 连结BP 把ABP沿BP 折叠当点A 的对应点A '刚好落在BC 的垂直平分线上时 点A '到AD 的距离为 ．13．如图所示 在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中 8AB = 16BC = 将上面的矩形纸片折叠 使点C 与点A 重合 折痕为EF 点D 的对应点为点G 连接DG 则图中阴影部分的面积为 ．三 解答题14．如图 正方形纸片ABCD 的边长12AB = E 是DC 上一点 5CE = 折叠正方形纸片 使点B 和点E 重合 折痕为FG 试求FG 的长．15．如图 把一张长方形纸片ABCD 折叠起来 使其对角顶点A 与C 重合 D 与G 重合 若长方形的长BC 为8 宽AB 为4(1)求DE 的长(2)求阴影部分的面积．16．如图1 将矩形纸片()ABCD AD AB >折叠 使点C 刚好落在线段AD 上 且折痕分别与边BC AD 相交 设折叠后点C D 的对应点分别为点G H 折痕分别与边BC AD 相交于点E F ．（1）求证：四边形CEGF 是菱形（2）如图2 若3AB = 9BC = 当点G 与点A 重合时 求折痕EF 的长.17．如图 在四边形纸片ABCD 中 AD BC ∥ AD CD > 将纸片沿过点D 的直线折叠 使点C 落在AD 上的点C '处 折痕DE 交BC 于点E 连接C E '．(1)请确定四边形CDC E '的形状 并说明理由(2)若30BCD ∠=︒ 2CE = 过点C '作C F BC '⊥于F 连接CC '交DE 于点M 连接FM ： ①四边形CDC E '的面积为①2FM = ．18．已知矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点P 是边AD 的中点．(1)如图1 连接BP 并延长 与CD 的延长线交干点F 问：线段CF 上是否存在点Q 使得PFQ △是以PF 为腰的等腰三角形 若存在 请直接写出DQ 的长 若不存在 请说明理由．(2)①如图2 把矩形ABCD 沿直线MN 折叠 使点B 落在点D 上 直线MN 与AD BD BC 、、的交点分别为M H N 求折痕MN 的长．①如图3：在①的条件下 以点A 为原点 分别以矩形ABCD 的两条边AD AB 、所在的直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系 若点R 在x 轴上 在平面内是否存在点S 使以R M N S 为顶点的四边形是菱形？若存在 请求出点S 的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图4：若点E 为CD 边上的一个动点 连结PE 以PE 为边向下方作等边PEG △ 连结AG 则AG 的最小值是______．（请直接写出答案）参考答案：1．C2．B3．B4．B5．D6．A7．D8．B9．491310．43︒111012．213．72514．解：如图 过点F 作FM BC ⊥ 垂足为M 连接BE ．①四边形ABCD 为正方形①AB BC CD AD === 90A ABC C D ∠=∠=∠=∠=︒①90A ABC BMF ===︒∠∠∠①四边形ABMF 为矩形①12MF AB BC ===①将正方形纸片ABCD 折叠 使点B 落在边CD 上的点E 折痕为FG ①90C FMG ∠=∠=︒ BE FG ⊥①90BNG C ∠=∠=︒①90MGF CBE BEC CBE ∠+∠=∠+∠=︒ ①MGF CEB ∠=∠在FMG 和BCE 中 MGF CEB FMG C FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS FMG BCE ≌①MG CE =．又①5CE =①5MG =．在Rt MFG 中 根据勾股定理得13FG == 即FG 的长是13．15．（1）设DE EG x == 则8AE x =- 在Rt AEG △中 222AG EG AE +=所以()22168x x +=-解得：3x =即3DE =（2）过点G 作GM AD ⊥于M 则1122AG GE AE GM ⨯=⨯4AG AB == 5AE = 3GE = 所以1143522GM ⨯⨯=⨯⨯所以125GM = 所以11825CED S GM DE =⨯=△． 16．解：（1）证明：①四边形ABCD 是矩形 ①AD ①BC①①GFE =①FEC①图形翻折后点G 与点C 重合 EF 为折线 ①①GEF =①FEC FG =FC EG =EC ①①GFE =①FEG①GF =GE①GE =EC =CF =FG①四边形CEGF 为菱形（2）当G 与A 重合时 由折叠的性质得AE =CE ①①B =90° AB =3 BC =9 BE =9-CE ①Rt ①ABE 中 AE 2=AB 2+BE 2即CE 2=32+(9-CE )2解得 CE =5．AC 222239310AB BC ++=由（1）知四边形CEGF 为菱形 ①12CEGF S EF AC CE AB =⨯=⨯菱形 ①10310EF == 17．（1）解：四边形CDC E '是菱形 理由如下： 根据折叠的性质可得：CD C D C DE CDE '∠=∠ CE C E '= ①AD BC ∥①C DE CED '∠=∠①CDE CED ∠=∠①CD CE =①CD C D C E CE ''===①四边形CDC E '为菱形（2）①①四边形CDC E '是菱形 ①2C E CE '== C E CD '∥ CM C M '= ①30C EF DCB '∠=∠=︒ ①C F BE '⊥ ①112C F C E ''== EF F '=①四边形CDC E '的面积212CE C F '=⨯=⨯= 故答案为：2①①EF = 2CE =①2CF =①(2222218C C C F CF ''=+=+=+①C F BC CM C M ''⊥=， ①12FM C C '=①22124FM C C '==故答案为：2 18．（1）解：存在 理由如下： 四边形ABCD 是矩形 90A ADC ∴∠=∠=︒ AB CD = 90FDP ∴∠=︒点P 是边AD 的中点 AP DP ∴=又APB DPF ∠=∠ ()ASA ABP DFP ∴△≌△ PF PB ∴= AB DF = 4,6AB AD ==4DF AB ∴== 132AP PD AD === 90A ∠=︒在Rt ABP 中：2222345PB AB AP +=+=5PF ∴=PFQ △为等腰三角形 以PF 为腰的等腰三角形分为两种情形： ①当PF PQ =时 此时点Q 与点C 重合 故4DQ DC == ①当FP FQ =时 如图：5PF = 5FQ = FD =4541DQ FQ FD =-=-=综合①① DQ 的长为：4或1（2）解：①如图：连接BM DN根据题意可知：MN 垂直平分BD ,MN BD BH DH ∴⊥= ,NB ND MB MD == 四边形ABCD 是矩形AD BN ∴MDH HBN ∴∠=∠ 又MHD NHB ∠=∠MHD NHB ∴△≌△MH HN ∴= MD NB =∴四边形MBND 是菱形设AM b = 则6MD MB b ==-在Rt AMB △中222BM AM AB =+即：222(6)4b b -=+ 解得：53b = 5513,6333AM BM ∴==-= 在Rt △ABD 中BD 12BH BD ∴=MH BD ⊥∴在Rt MHB △中MH ==2MN MH ∴== ①建立平面直角坐标系如图：由①知：53AM = 133BN MD MB ===4AB = MN = ①5130433M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， R M N S 为顶点的四边形是菱形 点R 在x 轴上当MR 为对角线时 MR NS ⊥,M R 都在x 轴上 ∴,N S 关于x 轴对称 1343S ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 当MN 为对角线时 MN RS ⊥ 由（2）知 四边形MBND 是菱形 则S 与点B 重合 ∴此时(0,4)S -当MS 为对角线时 则MR SN ∥ MR SN =MN = 13(,4)3N -①1343S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭综上可知 存在点S 使得以R M N S 为顶点的四边形是菱形 点S 坐标为：134134⎫--⎪⎪⎝⎭ 134134⎫+-⎪⎪⎝⎭ 13,43⎛⎫⎪⎝⎭ (0,4)- （3）解：如图：分别以PD PC 为边向下方作等边,PDF PCH △△ 过点F 作FI AD ⊥垂足为I 连接AF HF P 为AD 中点 ∴132AP PD AD ===PDF △为等边三角形1322PI PD ∴== 60DPF ∠=︒ PD PF =PA PF = 60DPF ∠=︒30PAF PFA ∴∠=∠=︒120APF ∴∠=︒92AI AP PI ∴=+=点E 为CD 边上的一个动点 以PE 为边向下方作等边PEG △ 当点E 与点D 重合时 点G 与点F 重合 当点E 与点C 重合时 点G 与点H 重合 ∴点G 在线段FH 上运动 当AG HF ⊥时 AG 最小 PEG △为等边三角形60EPG ∴∠=︒ PE PG =60 FPG FPE FPE EPD∴∠+∠=∠+∠=︒FPG DPE∴∠=∠∴FPG DPE△≌△PDE PFG∴∠=∠90PDE∠=︒∴90PFG∠=︒PF FH∴⊥当AG HF⊥时AG PF120,30APF PAF∠=︒∠=︒18012060PAG∴∠=︒-︒=︒603030 FAG PAG PAF∠=∠-∠=︒-︒=︒IAF GAF∴∠=∠FI AD⊥90AIF∴=︒在AFI和AFI中AIF AGFAF AFFAG FAI∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAAFI AFI≌AG AI∴=∴当AG HF⊥时92AG AI==故答案为：92．。
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-24 特殊平行四边形折叠(基础篇)
专题1.24 特殊平行四边形折叠专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形折叠问题1．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形AB=，则2．如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若6BC的长为（）A．2B．C．4D．3．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若70∠=︒，则EDCB∠的大小为（）．A．15︒B．20︒C．30D．25︒4．如图，在菱形纸片ABCD中，60A∠=︒，点E是边BC上的一点，将纸片沿DE折叠，点C落在C'处，DC'恰好经过AB的中点P，则DEC∠的度数是（）A．75︒B．60︒C．45︒D．78︒【知识点二】矩形将折叠问题5．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为()A．28°B．31°C．62°D．56°6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将∠DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（）A．103B．203C．3D．47．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC 上一点，将∠BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（）A．（0，4）B．（0，5）C．（0，3）D．（0，2）8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN=30°，连接BM，则∠AMB的度数为（）A．60°B．75°C．80°D．85°【知识点三】正方形折叠问题9．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若1AE=，30∠=︒，则AB的长为（）AFEA．2B．1C．D．2+10．如图，AC是正方形ABCD的对角线，E是BC上的点，1BE=，将ABE△沿AE折叠，使点B落在AC上点F处，则AB的长为（）A．2B．3C．1D．111．把一个面积为4的正方形，通过沿虚线折叠得到一个新正方形，它的边长是（）A．2 B C ．1 D ．1.41412．将一张正方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，CE 、CF 为折痕，点B 、D 折叠后的对应点分别为B '、D '，若∠ECF ＝21°，则∠B 'CD '的度数为（ ）A ．35°B ．42°C ．45°D ．48°二、填空题【知识点一】菱形折叠问题13．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数为________．14．如图，在菱形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿BE 折叠ABE △，点A 恰好落在BD 上的点F 处，连接CF ，若110DFC ∠=︒，则A ∠=__________．15．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为_____．16．如图，将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'，若∠=︒==，则线段AC的长度为_________．90,5,4BAC DE CE【知识点二】矩形将折叠问题17．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt∠ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__．18．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD=________．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是__．20．矩形ABCD中，AB=5，AD=3，P为CD上一点，将∠ADP沿AP所在的直线折叠，得到∠AEP，当B、E、P三点共线时，tan∠DAP=_______【知识点三】正方形折叠问题21．如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．22．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．23．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC 边上一点E 与点A 的连线折叠，点B '是点B 的对应点，延长EB '交DC 于点G ，经测量2cm BE =，20cm 3B G '=，则ECG 的面积为______2cm ．24．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则HBC ∠的度数为______．三、解答题25．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？小西进行了以下操作研究（如图1）：第1步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平． 第2步：再次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到了线段BN ．小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：将MN 延长交BC 于点G ，将△BMG 沿MG 折叠，点B 刚好落在AD 边上点H 处，连接GH ，把纸片再次展平．请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：∠直接写出BE和BN的数量关系：；∠根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；∠求证：四边形BGHM是菱形．26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE=CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点G处，点D落在点H处，若EH与CB的延长线交于点P．(1)求证：PH=PB；(2)若∠PEA=45°，求AE的长度．27．【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么?(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上．求证：四边形ABEF是正方形．(请完成以下填空)证明：∠四边形ABCD是矩形，∠∠BAD=∠B=90°，∠折叠，∠AFE=∠B=90°，∠四边形ABEF是矩形()∠折叠，∠AB＝()，∠四边形ABEF是正方形()(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．∠求证：四边形ABEF是菱形．∠连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积．28．如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A 落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点．(1)求证：CE＝BF；(2)若AB＝4，求GF的值．参考答案1．A【分析】将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA＝BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．解：∠将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∠BA＝BF，∠折痕为BE，沿EF剪下，∠四边形ABFE为矩形，∠四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选：A．【点拨】本题考查了正方形的判定定理，关键是根据邻边相等的矩形是正方形和翻折变换解答．2．D【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．解：∠四边形AECF为菱形，∠∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∠∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt∠EBC中，EC=2EB，又∠EC=AE，AB=AE+EB=6，∠EB=2，EC=4，∠Rt∠BCE中，BC故选：D．【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC 的长．3．A【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出70ADC B ∠=∠=︒，从而得出AED ADE ∠=∠．又因为//AD BC ，故DAE AEB ∠=∠，ADE AED ∠=∠，易得解．解：根据菱形的对角相等得70ADC B ∠=∠=︒．AD AB AE ==，AED ADE ∴∠=∠．根据折叠得70AEB B ∠=∠=︒．//AD BC ，70DAE AEB ∴∠=∠=︒，(180)255ADE AED DAE ∴∠=∠=︒-∠÷=︒．705515EDC ∴∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点拨】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．4．A【分析】连接BD ，由菱形的性质及∠A ＝60°，得到三角形ABD 为等边三角形，P 为AB 的中点，利用三线合一得到DP 为角平分线，得到∠ADP ＝30°，∠ADC ＝120°，∠C ＝60°，进而求出∠PDC ＝90°，由折叠的性质得到∠CDE ＝∠PDE ＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．解：连接BD ，∠四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∠∠ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∠P为AB的中点，∠DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∠∠PDC＝90°，∠由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在∠DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°．故选：A．【点拨】本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．5．D【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．解：∠四边形ABCD为矩形，∥，∠ADC=90°，∠AD BCBDC62,∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，∥，∠AD BC∠∠CBD=∠FDB=28°，∠矩形ABCD沿对角线BD折叠，∠∠FBD=∠CBD=28°，∠∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，矩形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质得到相等的角是解本题的关键．6．A【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD =A ′D =5，进而得到A ′B 的长，再设AE =x ，则A ′E =x ，BE =12-x ，再在Rt ∠A ′EB 中利用勾股定理可得方程：（12-x ）2=x 2+82，解出x 的值，可得答案．解：∠AB =12，BC =5，∠AD =5，∠BD =13，根据折叠可得：AD =A ′D =5，∠A ′B =13-5=8，设AE =x ，则A ′E =x ，BE =12-x ，在Rt △A ′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x =103． 故选：A ．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．C【分析】由题意可得AO =BC =10，AB =OC =8，DE =CD ，BE =BC =10，在Rt ABE △中，由勾股定理可求得6AE =，OE =4，设OD =x ，则DE =CD =8-x ，然后在Rt ODE △中，由勾股定理即可求得OD =3，继而求得点D 的坐标.解：∠点B 的坐标为（10，8），∠AO =BC =10，AB =OC =8，由折叠的性质，可得：DE =CD ，BE =BC =10，在Rt ABE △中，由勾股定理得：6AE =，∠OE =AO -AE =10-6=4，设OD =x ，则DE =CD =8-x ，在Rt ODE △中，由勾股定理得：222OD OE DE +=，即：()22248x x +=-，解得：3x =，∠OD =3，∠点D 的坐标是（0，3）.故选：C.【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.8．B【分析】由四边形ABCD 是矩形，得∠A =∠ABC =90°，根据矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点M 处，点C 落在点N 处，得∠NME =∠ABC =90°，ME =BE ，而∠DMN =30°，即知∠AME =60°，∠AEM =30°，即∠EMB +∠EBM =30°，可得∠EMB =∠EBM =15°，故∠AMB =∠AME +∠EMB =75°．解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠A =∠ABC =90°，∠矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点M 处，点C 落在点N 处，∠∠NME =∠ABC =90°，ME =BE ，∠∠DMN =30°，∠∠AME =180°-∠NME -∠DMN =60°，∠∠AEM =90°-∠AME =30°，∠∠EMB +∠EBM =30°，∠ME =BE ，∠∠EMB =∠EBM =15°，∠∠AMB =∠AME +∠EMB =75°，故选：B ．【点拨】本题考查了矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后能够重合的线段相等、能够重合的角相等．9．D【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF，进而求出AB的长.解：∠四边形ABCD是正方形，∠∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°∠EF= 2，AF∠正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，EF= BF，BF= 2，∠AB= AF+ BF故选：D．【点拨】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF，此题难度不大．10．C【分析】∠BCD＝45°，由折叠的性由正方形的性质得AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝12质得∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，证出△CEF是等腰直角三角形，则CE FE进而得出答案．解：∠四边形ABCD是正方形，∠BCD＝45°，∠AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∠ECF＝12由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∠∠CFE＝90°，∠∠CEF是等腰直角三角形，FE，∠CE＝BE＋CE＝1∠AB＝BC＝1故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质是解题的关键．11．B由原正方形的面积是4，可求得原正方形的边长为2，由勾股定理可出新正方形边长．解：∠原正方形的面积是4，∠原正方形的边长，∠由折叠可得四角是等腰直角三角形，其腰长为1，由勾股定理得：新正方形边长,故选：B．【点拨】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，掌握运用勾股定理是解题的关键．12．D【分析】可以设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可得∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，进而可求解．解：设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可知：∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，∠∠ECF＝21°，∠∠D'CE＝21°＋β，∠B'CF＝21°＋α，∠四边形ABCD是正方形，∠∠BCD＝90°，∠∠D'CE+∠ECF+∠B'CF＝90°∠21°＋β＋21°＋21°＋α＝90°，∠α＋β＝27°，∠∠B'CD'＝∠ECB'+∠ECF+∠FCD'＝α+21°+β=21°+27°=48°则∠B'CD'的度数为48°．故选：D．【点拨】本题考查了正方形与折叠问题，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．13．75°连接BD ，先证明ABD △为等边三角形，然后根据三线合一定理得到30ADP BDP ∠=∠=即可得到90PDC ∠=，则45CDE PDE ∠=∠=，再根据三角形内角和定理求解即可．解：连接BD ，∠四边形ABCD 为菱形，∠AD =AB ，60C A ∠==∠，AB∠CD ，∠180A ADC ∠+∠=，∠120ADC ∠=∠60A ∠=，∠ABD △为等边三角形，∠P 为AB 的中点，∠DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=，∠90PDC ∠=，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=，在DEC 中，()18075DEC CDE C ∠=-∠+∠=．故答案为：75°．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．100︒【分析】根据菱形的性质得到AB =BC =CD =DA ，AD//BC ，∠ADB =∠CBF =∠ABD ，再根据折叠的性质得到∠BFC =∠BCF ，由三角形内角和与外角的性质得到结果．解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB =BC =CD =DA ，AD//BC ，∠∠ADB =∠CBF =∠ABD ，∠E 是AD 上一点，沿BE 折叠ABE △，点A 恰好落在BD 上的点F 处，∠BA =BF ，∠A =∠BFE ，∠BF =BC ，∠∠BFC =∠BCF ，∠110DFC ∠=︒，∠∠BFC =∠BCF =70°，∠∠ADB =∠CBF =40°，∠∠A =180°-2∠ADB =180°-80°=100°，故答案为：100︒．【点拨】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．15．23√【分析】根据菱形AECF ，得∠FCO ＝∠ECO ，再利用∠ECO ＝∠ECB ，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC 的长，则利用菱形的面积公式即可求解．解：∵四边形AECF 是菱形，AB ＝3，∴设BE ＝x ，则AE ＝3﹣x ，CE ＝3﹣x ，∵四边形AECF 是菱形，∴∠FCO ＝∠ECO ，∵∠ECO ＝∠ECB ，∴∠ECO ＝∠ECB ＝∠FCO ＝30°，∴2BE ＝CE ，∴CE ＝2x ，∴2x ＝3﹣x ，解得：x ＝1，∴CE ＝2，利用勾股定理得出：BC 2+BE 2＝EC 2，BC 3=√又∵AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣1＝2，则菱形的面积＝AE •BC ＝23√．故答案为23√．【点拨】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．16．12【分析】由平行四边形的性质可得AD ＝BC ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝9，AB //CD ，可得∠ECD '＝90°，由折叠的性质可得D 'E ＝DE ＝5，AD ＝AD '，由勾股定理可求CD '的长，AC 的长．解：∠四边形ABCD 是平行四边形∠AD ＝BC ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝9，AB //CD∠∠BAC ＝∠ACD ＝90°∠∠ECD '＝90°∠将平行四边形ABCD 进行折叠，折叠后AD 恰好经过点C 得到AD '，∠D 'E ＝DE ＝5，AD ＝AD '∠CD '3∠AD '＝AC ＋3＝AD ＝BC∠BC 2＝AB 2＋AC 2，∠（AC ＋3）2＝81＋AC 2，∠AC ＝12故答案为：12．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD '的长是本题的关键． 17．【分析】根据折叠的性质可得ACD DEC S S =，分别求出DE ，EC ，求出DEC S ，即可得出ACD S ．解：如图：过点A 作AF DE ⊥于点F ，ABC 是等腰直角三角形，2ABC S =， 1·22ABC S AB BC ∴==，即2AB BC ==，AC ∴==折叠，AC CE ∴==DAC DEC SS =，纸片为矩形， ∴折叠后45FDA ∠=︒，90DFA ∠=︒，DFA ∴是等腰直角三角形，2DF FA EC CB ∴==+=，2AB EF ==，224DE DF FE ∴=+=+=+(114422ACD DEC S S DE EC ∴==⨯=⨯+⨯，故答案为：4．【点拨】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出ACD DEC S S =是解题的关键.18．22+【分析】证明Rt △EBF ∠Rt △EB ′D （HL ），推出BF =DB ′，再证明DB ′=EC =BF =1，想办法求出AB ′，可得结论．解：由翻折的性质可知，EB =EB ′，∠B =∠AB ′E =∠EB ′D =90°，在Rt△EBF和Rt△EB′D中，EB EB EF ED'=⎧⎨=⎩，∠Rt△EBF∠Rt△EB′D（HL），∠BF=DB′，∠四边形ABCD是矩形，∠∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，∠四边形ECDB′是矩形，∠DB′=EC=1，∠BF=EC=1，由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠F AG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，∠AG=FG=1，∠AF∠AB=AB∠AD=AB′+DB故答案为：．【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19．2【分析】如图，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG＝AE﹣EG即可解决问题．解：如图，依题意：点G在以点E为圆心，12BC长为半径的圆上运动，当A、G、E共线时，AG最小，∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝90°，BE ＝EC ＝3，AB ＝4，∠AE5．此时AG ＝AE ﹣EG ＝5﹣3＝2．故答案为2．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点到圆的距离，明确点和圆的位置关系是解决本题的关键．20．13【分析】由翻折可得AD =AE ，在Rt ∠ABE 中可求出BE ，设DP =EP =x ，表示出BP 和CP ，在Rt ∠BCP 中，通过勾股定理即可列出等式，解出方程，从而求出答案．解：矩形ABCD 中，AB =5，AD =3，则CD =5，BC =3,∠ADP 沿AP 所在的直线折叠，得到∠AEP ，且B 、E 、P 三点共线，∠易证∠ADP ∠∠AEP ，∠AE =AD ，DP =EP ，∠ADP =∠AEP =90°，在Rt ∠ABE 中，AB =5，AE =3，∠BE =4；设DP =EP =x ，则BP =4x +，CP=5x -，在Rt ∠BCP 中，222+BC CP BP =,即()()2223+54x x -=+，解得1x =，∠DP =1，在Rt ∠ADP 中，tan∠DAP =13DP AD =．故答案为：13．【点拨】本题主要考查翻折问题，直角三角函数和勾股定理，找准线段之间的关系，并准确计算是解题的关键．21【分析】连接CC′，证明∠BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．解：如图，连接CC′，由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线，∠BC′=CC′，又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′，∠BC′=CC′=BC，∠∠BCC′是等边三角形，∠∠C′BC=60°，∠∠HBC=∠HBC′=30°，在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm，∠HB=2cm，∠BCcm），【点拨】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．22．45°##45度【分析】首先根据正方形的性质可得∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC＝90°，再根据折叠可得∠1＝∠2＝1 2∠ABD ，∠3＝∠4＝12∠DBC ，进而可得∠2+∠3＝45°，即∠EBF ＝45°．解：∠四边形ABCD 是正方形，∠∠ABC ＝90°，根据折叠可得∠1＝∠2＝12∠ABD ，∠3＝∠4＝12∠DBC ，∠∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ABC ＝90°，∠∠2+∠3＝45°，即∠EBF ＝45°，故答案为：45°．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的．23．403##1133 【分析】根据题意，BE B E '=，进而求得EC ，勾股定理求得CG ，即可求得ECG 的面积． 解：折叠，∴BE B E '=2cm BE =，20cm3B G '=， 2023EG ∴=+263=cm ，8EC BC BE =-=cm ∠四边形ABCD 是正方形∠90C ∠=︒Rt EGC △中103CG ==cm ． 11104082233ECG S EC CG ∴=⨯⨯=⨯⨯=△2cm ．故答案为：40 3【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．24．15°【分析】由翻折的性质AH＝AB，MN垂直平分AD，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故此∠ADH 为等边三角形，由∠ADH为等边三角形可知∠HAB＝30°，在∠ABH中可求得∠ABH＝75°，故此可求得∠HBC＝15°．解：∠MN垂直平分AD，∠DH＝AH．由翻折的性质可知：AH＝AB．∠正方形ABCD中，∠AH＝AD＝DH．∠∠ADH是一个等边三角形．∠∠DAH＝60°．∠∠HAB＝30°．∠AB＝AH，∠∠ABH＝12×（180°−30°）＝75°．∠∠HBC＝∠ABC−∠ABH＝90°−75°＝15°．故答案是：15°．【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，正方形的性质，证得∠ADH是一个等边三角形是解题的关键．25．∠BE＝12BN；∠∠ABM＝30°；∠见分析．【分析】（1）根据折叠的性质可得BE＝12AB，从而得到BE＝12BN，即可求解；（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；（3）由∠得∠ABM＝30°，从而得到∠BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．解：∠解：∠对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，AB，∠BE＝12∠再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．∠AB＝BN，BN；∠BE＝12∠解：∠由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，BN，∠BE＝12∠∠BNE＝30°，∠∠ABN＝60°，∠ABN＝30°；由折叠的性质得：∠ABM＝12∠证明：由∠得∠ABM＝30°，∠四边形ABCD是矩形，∠∠A＝∠ABC＝90°，∠∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，∠∠BMG是等边三角形，∠BM＝BG，由折叠得BM＝MH，BG＝GH，∠BM＝MH＝BG＝GH，∠四边形BGHM是菱形．【点拨】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．26．(1)见分析(2)AE【分析】（1）根据∠PEF=∠PFE，证明PE=PF，再根据折叠的性质ED=EH，DE=BF，进一步计算即可证明PH=PB；（2）先证明△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，设AE=CF=x，则EQ x，PQ(5-x) ，利用PE=PF代出方程求解即可．解：(1)证明：∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠∠DEF=∠PFE，由翻折变换可知，∠DEF=∠PEF，∠∠PEF=∠PFE，∠PE=PF；∠AD=BC，AE=FC，∠ED=BF．由折叠性质得ED=EH，∠BF=EH，∠PE-EH=PF-BF，∠PH=PB；(2)解：设PE交AB于点Q，设AE=CF=x，则DE=BF=8-x，∠∠PEA=45°，∠A=∠ABC=∠ABP=90°，∠∠AEQ=∠AQE=∠PBQ=∠QPB=45°，∠△AEQ和△BPQ都是等腰直角三角形，∠BQ=PB=5-x，由勾股定理得：EQ，PQ-x) ，∠PE=PF，∠PQ+EQ=PB+BF-x=5-x+8-x，解得：x∠AE【点拨】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．(1)有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形．(2)∠证明见详解；∠菱形ABEF的面积为25【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论；（2）∠由平行四边形的性质得AD∠BC，则∠F AE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论；∠由菱形面积公式得S菱形ABEF=12AE•BF，即可得出答案．(1)解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠BAD=∠B=90°，由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，∠四边形ABEF是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形），由折叠的性质得：AB=AF，∠四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)∠证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，∠∠F AE=∠BEA，由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠F AE，∠∠BEA=∠BAE，∠AB=BE，∠AF=BE，∠四边形ABEF是平行四边形，又∠AF=AB，∠平行四边形ABEF是菱形；∠解：如图，∠四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10，∠S菱形ABEF=12AE•BF=12×5×10=25，故菱形ABEF的面积为25．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．28．(1)见分析(2)GF的值为103．【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△F AB∠∠EBC（SAS），即可得出结论；（2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG∠Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG 中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论．解：(1)证明：∠四边形ABCD是正方形，∠AB=AD，∠A=∠ABC=90°，∠E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，∠AF=BE，∠∠F AB∠∠EBC（SAS），∠CE=BF；(2)解：如图，连接BG，由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°，∠AB=BC，∠BC=BQ，∠BG=BG，∠Rt△BQG∠Rt△BCG（HL），∠QG=GC，∠AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点，设QG=b，则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b，在Rt△DFG中，∠DF2+DG2=FG2，∠2222(4)(2)b b+-=+，∠b=43，即QG=43，∠GF=FQ+QG=2+43=103．∠GF的值为103．【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键．。
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特殊四边形相关的折叠问题 一、选择题
1. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）
A ．66°
B ．104°
C ．114°
D ．124°
2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）
A. 53
B. 35
C. 43
D.3
4
3．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）
A.3
B. 4
C. 5
D.6
二、填空题
4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．
5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．
6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_______.
三、解答题
7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.
求证：OA=OE
8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE
（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形
（2）若BE 平分∠ABC ，求证：2
22BE AE AB +=
9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。
10．将矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕交BC 于E ，交AD 于F ，
（1）求证：四边形AECF 为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF 的长．
A B C D E
O
参考答案
1. C ．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B ′AC ，∴∠BAC=∠ACD=∠B ′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
2．B 【解析】设CE=x ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ． 在Rt △ABF 中，由勾股定理得：
AF 2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt △DEF 中，由勾股定理得：
EF 2=DE 2+DF 2，
即x 2=（3-x ）2+12，
解得x=3
5． 3．B[解析]由题意设CH=xcm ，则DH=EH=（9-x ）cm ，
∵BE ：EC=2：1，∴CE=BC=3cm
∴在Rt △ECH 中，EH 2=EC 2+CH 2，
即（9-x ）2=32+x 2，
解得x=4，即CH=4cm ．
4．-1
5. 6【解析】∵将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，
∴BE=ED ．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE ．
∴BE=9-AE ，
根据勾股定理可知：AB 2+AE 2=BE 2．
∴32+AE 2=（9-AE ）2．
解得AE=4cm ．∴△ABE 的面积为×3×4=6（cm2）．
17E 关于直线AC 的对称点E ′，连接E ′F ，则E ′F 即为所求，
过F 作FG ⊥CD 于G ，
在Rt △E ′FG 中，GE ′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
7．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD=BC ，∴∠ADB=∠CBD ，由折叠可知∠EBD=∠CBD ，BE=BC ，∴∠EBD=∠ADB ，∴BO=DO ，∵AD= BE ，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.
8.证明：（1）∵将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，
∴∠DAE=∠D ′AE ，∠DEA=∠D ′EA ，∠D=∠AD ′E ，
∵DE ∥AD ′，
∴∠DEA=∠EAD ′，
∴∠DAE=∠EAD ′=∠DEA=∠D ′EA ，
∴∠DAD ′=∠DED ′，
∴四边形DAD ′E 是平行四边形，
∴DE=AD ′，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形BCED ′是平行四边形；
（2）∵BE 平分∠ABC ，
∴∠CBE=∠EBA ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE ，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
9．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，那么AD ∥BC ，AB ∥CD ，所以∠FAC=∠ACE ，∠BAC=∠DCA 。
由折叠可得∠BAE=∠EAC=21∠BAC ，∠DCF=∠NCF=21
∠DCA ，所以∠EAC=∠FCA 。
又因为AC=CA ，所以△CAE △ACF ，所以CE=AF 。
即四边形AECF 是平行四边形。
（2）因为AB=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.设EM=x ，那么BE=EM=x ，所以CE=BC-BE=8-x ，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt △CEM 中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。
所以四边形AECF 的面积=2△ACE 的面积=2×21
AC ×EM=30.
10． 证明：（1）∵矩形ABCD 折叠使A ，C 重合，折痕为EF ，
∴OA=OC ，EF ⊥AC ，EA=EC ，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，
∴（8-x）2+42=x2，解得x=5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，
∴OA=AC=2，
在Rt△AOE中，AE=5，
∴EF=2OE=2．。